ANÁLISIS DEL APRENDIZAJE DEL ALGEBRA LINEAL EN EL CONTEXTO DE UN PROGRAMA POR COMPETENCIAS Pedro T. Ortiz y Ojeda Departamento de Ciencias Básicas. ITTG Patricia G. Sánchez Iturbe Depto. de Ing. Química y Bioquímica. ITTG Eje temático: 6 Tipo de estructura: Reporte de investigación Palabras claves: Álgebra, espacio, competencia. RESUMEN El objetivo de esta investigación fue el análisis del aprendizaje del Algebra lineal desarrollada por competencias bajo el supuesto de que en su aprendizaje produce características que subyacen dentro de un eje conceptual de las competencias disciplinares de matemáticas que es el concepto de medición. Las categorías de aprendizaje fundamentales fueron identificadas por el contenido del programa por competencias. Lo anterior se contrastó con la observación directa durante las entrevistas coloquiales y en forma de diálogos entablados con los estudiantes y categorizado, usando un tamiz onto-epistemológico, implementados durante el desarrollo del curso obteniéndose la caracterización del aprendizaje de los conceptos del Algebra lineal, como métrica, forma, espacio que por el aprendizaje deben de conducir al concepto de medición, mediante un proceso dialéctico. PROBLEMÁTICA DEL ESTUDIO La naturaleza del conocimiento matemático es caracterizado de diversas maneras, según el ontologismo matemático, los principios matemáticos no son adquiridos o inventados, sino que son innatos y son anteriores a toda experiencia, el empirismo matemático, considera que las matemáticas son un reflejo de la realidad y el 1 proceso de apropiación del conocimiento matemático parte de la inducción y termina con la deducción. El formalismo considera que las matemáticas son un sistema deductivo basado en axiomas, y el intuicionismo matemático parte del concepto que los entes matemáticos son construidos por el sujeto y por último el “operacionalismo” dialéctico, considera que los entes matemáticos tienen validez en el carácter operativo, teniendo como fundamentos la profundidad y la extensión (Ortiz P. et al. 2010) En la diversa naturaleza de las matemáticas, se encuentran: estructuras, símbolos y relaciones que permiten una interpretación de los conceptos y el significado del objeto matemático, los cuales afectan al proceso de aprendizaje que se realiza como si fuera una causalidad lineal, en forma de operaciones conceptuales pasando por representaciones cualitativas, algorítmicas, heurísticas y cuantitativas. JUSTIFICACIÓN Es posible que el proceso de aprendizaje de las matemáticas esté definido dentro de la capacidad de aprender los conceptos en términos de comprender la lógica de la construcción del concepto matemático estudiado, que permitiría generalizar los conceptos, para después ejercer la versatilidad de proponer y resolver ejercicios, de manera que se desarrollara la experticia. El propósito de esta investigación fue analizar cómo se construye el conocimiento matemático de medición matemática dentro del salón de clase, mediante la observación y entrevistas desarrolladas en la asignatura de Algebra lineal, debido a que contiene elementos que entran en contradicción con la realidad cotidiana y el desarrollo epistemológico del concepto. Al realizar este tipo de investigaciones se considerar que para aprender existe un proceso dialéctico, donde se ponen en juego los conocimientos previos con la formalización ya establecida y pueden aparecer contradicciones conceptuales debido al uso del sentido común al inicio del aprendizaje del concepto 2 MARCO TEÓRICO De manera general dentro del proceso de construcción del conocimiento se encuentra implícita la ontología de las ideas desde una interpretación de la realidad en forma desestructurada, siguiendo en la posibilidad de darle sentido y por último el definir una visión integrada y sistémica del conocimiento, también caracterizada por la naturaleza epistemológica del conocimiento, partiendo de que se considera que los conceptos puros o las categorías proceden del realismo es decir, de la experiencia sensorial en forma objetiva e independiente a través de la observación, que se puede considerar dentro de una visión epistemológica llamada racionalismo pasando por innanismo y apriorismo, que al ser contrastado con una visón del positivismo conduce al empirismo del conocimiento (Hernández G. et. al. 2003) En relación con lo anterior, las matemáticas tienen que ver con el origen y la representación de la medición, las relaciones del algebra lineal se comprenden con claridad sólo al considerar los correspondientes espacios lineales: matrices y formas algebraicas. El planteamiento de esta investigación corresponde al análisis del aprendizaje del álgebra lineal haciendo especial énfasis en la capacidad de desarrollar durante el curso las competencias como: 1) Argumentar, poder seguir y evaluar argumentos matemáticos de diferentes tipos: procedimientos intuitivos, construir y expresar argumentos matemáticos. 2) Comunicar la capacidad de expresarse en forma oral y escrita, entender aseveraciones sobre los temas. 3) Representar, codificar, traducir, interpretar y distinguir entre diferentes representaciones de objetos y situaciones matemáticas y sus interrelaciones. 4) Utilizar lenguaje y operaciones simbólicas, formales y técnicas. 5) Modelar, traducir la “realidad” a una estructura matemática, trabajar con un modelo matemático, validarlo, etc. 6) Plantear y resolver problemas, empleando una variedad de métodos (Niss M. 2002). Se consideró que dentro de las cuales se encuentran contenidas las concepciones onto-epistemológicas de: medida, métrica, forma las cuales permiten desarrollar la 3 capacidad de conceptuar el espacio matemático una características del algebra lineal. También existen otras competencias especificas como son: 1) Utilizar herramientas computacionales, conocer y ser capaz de utilizarlas (TIC´s), así como comprender sus limitaciones y alcances. 2) pensar y razonar las preguntas características (¿cuántas…hay?, ¿cómo encontrar…?.), las cuales no se considero importantes para conceptualizar el espacio y por consiguiente construir el concepto de medición como competencia disciplinar. METODOLOGIA En esta investigación, la muestra representativa se tomó de una población de estudiantes de Ingeniería que aprendían Algebra lineal. Se dividió internamente a los estudiantes en tres grupos significativos de la población estudiada (todos los estudiantes inscritos), el primer grupo, formado por aquellos que en su prueba diagnóstica obtuvieron una calificación superior a 80 y hasta 100, un segundo grupo que tuvo una calificación menor de 80 pero mayor que cero y un tercer grupo en el que no se encontró ninguna respuesta correcta. Para darle validez y confiabilidad esta selección se realizó durante tres semestres consecutivos, los datos fueron obtenidos por el uso de la triangulación asincrónica de la información recopilada. GRUPOS Calificación obtenida 1 2 3 (no. de estudiantes) (no. de estudiantes) (no. de estudiantes) 100-80 5 7 9 79- 0 30 27 32 4 3 1 Sin Calificación(sin respuesta correcta) Cuadro 1. Ejemplo de la relación de número de alumnos entre grupos y rangos de calificación obtenidos 4 Se usó en esta investigación la perspectiva teórica de la fenomenología, al estudiar a los fenómenos tal como son experimentados, vividos y percibidos por el alumno, no para describir, sino para descubrir la esencia válida y útil científicamente hablando de un fenómeno. Esta se desarrolló en tres etapas: 1.-Presupuestos: se establecieron, las conjeturas, los intereses, y los valores, como punto de partida para luego establecer su posible influencia en el desarrollo de la investigación. 2.-Descripción: Para obtener los datos, por ser una perspectiva teórica de tipo ideográfica, se trabajó con la observación directa y participante, mediante entrevistas coloquiales y dialógicas. 3.-Estructuración: Se pusieron en práctica las reglas de reducción fenomenológica tendiendo a ver más de lo que hay en el objeto, las nuevas realidades que fueron estructuradas descriptivamente usando el lenguaje técnico y científico que corresponde. Se considera como ejemplo alguno de los elementos que se desarrollaron durante la observación y la entrevista en la construcción estructural de los conceptos de medida, métrica, formas fundamentales para la formación ontoepistemológica del espacio algébrico lineal, los cuales están representados en el siguiente cuadro descriptivo: 5 Inicialmente: RESPUESTAS Y UBICACIÓN PRESUPUESTOS DE DESCRIPCIÓN ESTRUCTURACIÓN LOS ESTUDIANTES -Las operaciones adición RESULTANTE la La expresión anterior fue Se nota una carencia de sustracción, expresada por varios una conceptualización multiplicación y división alumnos, que estaban en apegada a la realidad. solo se realizan con el rango de calificación, números con 50 puntos o más. Posteriormente, durante el curso: CONCEPTUALIZACION PRESUPUESTOS DE DESCRIPCION LOS ESTUDIANTES ESTRUCTURACION RESULTANTE -Es difícil entender que Hubo cierto desconcierto Entra en conflicto la las operaciones incluyen al establecer similitudes situación de definir un a polinomios, matrices y y diferencias con sus número operadores. conocimientos en forma generalizada anteriores. OPERATIVIDAD PRESUPUESTOS DE DESCRIPCION LOS ESTUDIANTES ESTRUCTURACION RESULTANTE -Se toma en cuenta los El grupo de 80 a 100 La objetos con los que se presenta realizan las operaciones. falta de claridad en explicaciones las propiedades de las plausibles de las relaciones operaciones. 6 RESULTADOS Y DISCUSIÓN Resulta interesante observar la construcción del conocimiento matemático al localizar elementos de la epistemología y la ontología, de manera que presenten una característica ontológica de las ideas que va desde una interpretación de la realidad en forma desestructurada, siguiendo en darle sentido y por último definir una visión integrada y sistémica, de los conceptos que forman el espacio epistémico del Álgebra lineal. En forma dialéctica es posible establecer siguiente tamiz onto-epistemológico: TAMIZ ONTO-EPISTEMOLÓGICO MEDIDA EPISTEMOLOGIA No METRICA ESPACIO FORMA se Incomprensión Representación Falta percibe lo del significado que es no Euclidiana significado intrínseco posible concebir ONTOLOGIA Desconexión en Carencia de Apreciación la generalización cualitativa No se establecen interpretación invariantes conceptual conceptuales CONCLUSIONES Según el tamiz onto-epistemológico aplicado al análisis del aprendizaje del Álgebra lineal, puede concebirse que el conocimiento del espacio matemático es una dualidad entre el sujeto y el objeto, la función del sujeto es aprender al objeto y la del objeto ser aprehensible y aprendido, en una correlación no reversible, donde al parecer el conocimiento se presenta como una transferencia de las propiedades del objeto al sujeto. El conocimiento es verdadero cuando existe concordancia con el objeto, mostrándose en algunos casos como la ausencia de contradicción y en otros 7 como la evidencia. Coincidiendo con Hernández G. et. al. (2003) y Cázares L. (2009), todo fenómeno de conciencia es un proceso dialéctico entre el sujeto y el objeto. Así la realidad viene determinada por la epistemología identificada con el sujeto y por lo que entiende por conocimiento matemático y por la ontológica identificada por el objeto que determina el concepto general de la realidad, la didáctica de las matemáticas y del Álgebra lineal se puede encausar hacia una mejor adecuación y armonía entre las concepciones: mentales, cognitivas, ideales, convencionales y las estructuras peculiar y particular de las matemáticas. REFERENCIAS Anton H. (2010). Introducción al algebra lineal. México: Ed. Limusa Cázares L. (2009). Planeación y evaluación basadas en competencias. México: Ed. Trillas De la Peña A. (1999). Algebra en todas partes. México: Ed. FCE. Hernández G. et. al. (2003). Filosofía de la experiencia y ciencia experimental. México: Ed. FCE. Krutitskaya N. Ch. (1987). Algebra lineal. Preguntas y problemas. Moscú: Ed. Mir Ortega P. (2004) La enseñanza del álgebra lineal mediante sistemas informáticos de cálculo algebraico. Tesis Doctoral. http://eprints.ucm.es/tesis/edu/ucm- t25694.pdf Larson R. (2010). Fundamentos del algebra lineal. México: Ed. Cengage Learnig Martinez M. (2006). Ciencia y arte de la metodología cualitativa. México: Ed. Trillas Niss M. (2002) Mathematical competencies and the learning of mathematics. The Danish Kom Project, IMFUFA, Roskilde University, Roskilde, Denmark Ortiz P. et al. (2010). Epistemología y cognición: elementos para comprender el proceso de aprendizaje de la matemáticas en Ingeniería En: revista PAKBAL, año 9. Abril/10. pp: 16-22 8 Uzuriaga L. et. al. Algunos medios que contribuyen a mejorar el aprendizaje del algebra lineal. http://www.utp.edu.co/php/revistas/ScientiaEtTechnica/.../21829341346.pdf 9