UNIDAD II CONTENIDO TEMÁTICO

UNIDAD II
CONTENIDO TEMÁTICO
PRODUCTOS NOTABLES
I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez
1
ESQUEMA-RESUMEN DE LA UNIDAD II
Definición de
Productos
Notables
Clasificación de
productos
notables
Cuadrado de un
binomio
PRODUCTOS
NOTABLES
Producto de dos
binomios con
un término
común
Producto de
binomios
conjugados
Teorema del
Binomio
2
2.1 DEFINICIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES
Existen ciertas fórmulas que permiten multiplicar ciertos polinomios de forma
directa (sin realizar la multiplicación completa). Tales fórmulas se denominan
productos notables y muchas de ellas se refieren a operaciones con binomios.
Así pues, productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones
con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple
inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su
aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones
habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización, que es el tema
de la siguiente unidad. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de
cuadrados
perfectos
es
un
producto
de
dos
binomios
conjugados
y
recíprocamente.
Así pues, para sintetizar los conceptos:
Un producto es la cantidad que resulta de una multiplicación.
Y los productos notables, son multiplicaciones “clásicas o típicas” entre binomios
o trinomios, que dan siempre la misma estructura en su resultado, y que por ende,
pueden escribirse por simple inspección si se conoce y se ha “memorizado”, en
cierta manera, la regla que produce dicha estructura.
Comenzaremos la unidad abordando una clasificación genérica de los productos
notables, para posteriormente enfocarnos a aquellos que tendrán mayor
relevancia para el estudio de esta segunda unidad.
3
2.2 CLASIFICACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES
Binomio al Cuadrado o Cuadrado de un Binomio
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Ejemplo:(3x + 4) 2 = (3x)2 + 2(3x)(4) + 42
= 9x 2 + 24x + 16
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Ejemplo: (x - 8) 2 = (x)2 − 2(x)(8) − 82
= x2 − 16x − 64
Binomios Conjugados ó Suma por Diferencia
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
Ejemplo: (2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2− 25
Binomio al Cubo ó Cubo de un Binomio
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
Ejemplo: (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9 x2 + 27 x + 27
Ejemplo: (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
4
Trinomio al Cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplo: (x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1=
= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x=
= x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1
Suma de Cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2)
Ejemplo: 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2)
Ejemplo: 8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos Binomios que tienen un Término Común
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Ejemplo: (x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
5
Procedimiento General para el Desarrollo de
Productos Notables
6
7
2.3 CUADRADO DE UN BINOMIO
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se
suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.
Ejemplos:
simplificando:
Ilustración Gráfica del Binomio al Cuadrado.
Fuente: http://es.wikipedia.org
Regla: Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, másmenos (dependiendo del signo utilizado) el doble producto del primer término
por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
8
Ejemplo 1
9
Ejemplo 2
10
2.4 PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS
Dos binomios que sólo se diferencien en el signo de la operación se denominan
binomios conjugados. O también podrías encontrarla como Suma por
diferencia. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al
cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados.
Ejemplo:
agrupando términos:
Ilustración Gráfica del Producto de Binomios Conjugados.
Fuente: http://es.wikipedia.org
Regla: El producto de binomios conjugados, es igual a la resta de cada
monomio elevado al cuadrado.
(a + b) (a – b) = a2 – b2
11
Ejemplo 1
12
Ejemplo 2
13
2.5 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO
COMÚN
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el
cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los
otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
Ejemplo:
agrupando términos:
luego:
Ilustración Gráfica del Producto de dos Binomios con un Término
Común.
Fuente: http://es.wikipedia.org
14
2.6 TEOREMA DEL BINOMIO.
Como ya hemos vistos, un Binomio es la expresión algebraica que está formada
exactamente por dos términos separados por + o -, como x + y o ab - cd.
El teorema del binomio nos dice que la expresión general de un binomio
cualquiera, como (x + y), elevado a la n-ésima potencia está dada por:
x  y n  xn  nxn1 y  nn  1 xn2 y 2  nn  1n  2 xn3 y3  ...
1 2

1 2  3
nn 1 2 n2
x y  nx1 yn1  yn
1 2
El desarrollo completo contiene n + 1 términos, empezando con el término cero y
terminando con el término n-ésimo. En este ejemplo, el término cero es xn. El
coeficiente genérico del término k en la expresión anterior es:
n  n  1 n  2  n  3 ...  n  k  1
1  2  3  4...(k )
Este teorema fue formulado en la edad media y desarrollado (alrededor de 1676)
para exponentes fraccionarios por el científico inglés sir Isaac Newton, lo que le
permitió el uso de sus recién descubiertos métodos de cálculo para resolver
muchos problemas difíciles. El teorema del binomio, también llamado binomio de
Newton, es muy útil en varias ramas de las matemáticas, en particular en la teoría
de la probabilidad.
15
Ejemplos de uso del Teorema del Binomio:
Para n=2, n=3, n=4:
Y si el binomio fuera una resta, aparecería el signo negativo intercalándose entre
cada monomio a partir del segundo monomio. Esto es:
x  y 4  x4  4x3 y  6x2 y 2  4xy3  y 4
Ahora bien, para calcular los coeficientes binomiales de cualquier binomio como
(x + y), elevado a la n-ésima potencia, podemos usar como una alternativa
práctica, el Triángulo de Pascal. El Triángulo de Pascal es un triángulo de
números enteros, infinito, y simétrico cuyas diez primeras líneas han sido
representadas en la ilustración siguiente:
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
Se construye de la siguiente manera: Se empieza por el « 1 » de la cumbre. De
una línea a la siguiente se conviene escribir los números con un desfase de media
casilla. Así, las casillas (que no se dibujan) tendrán cada una dos casillas justo
16
encima, en la línea anterior. El valor que se escribe en una casilla es la suma de
los valores de las dos casillas encima de ella. El valor cero no se escribe.
Por ejemplo, en la última línea dibujada, el cuarto valor es 84 = 28 + 56, suma del
tercer y cuarto valor de la línea anterior.
Se observa, y no es difícil demostrarlo, que la capa exterior está formada de unos,
la segunda capa de los naturales en orden creciente, que los números no hacen
más que subir de una línea a la siguiente y que existe un eje de simetría vertical
que pasa por el vértice.
Sin embargo, el interés de este triángulo no radica en estas propiedades, sino en
el vínculo que tiene con el Álgebra elemental.
En efecto, las cifras 1; 2; 1 y 1; 3; 3; 1 recuerdan las identidades:
y
pues son los coeficientes de sus monomios. Este parecido no es casual y se
generaliza a cualquier potencia del binomio a + b.
17
REFERENCIAS
Autores varios (2002) “Enciclopedia Libre Universal en Español”. Consultado
en Agosto 4, 2009 en
http://enciclopedia.us.es/index.php/Coeficiente_binomial_y_tri%C3%A1ngulo_de_
Pascal
Fernández, J.C. (2008) “Vitutor.com sitio web de libre acceso, y con contenidos
gratuitos para todos sus usuarios”. Consultado en Mayo 23, 2009 en
http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html#
Fundación Wikimedia (2001) “Wikipedia. La Enciclopedia Libre” Consultado en
Julio 28, 2009 en http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
FORTEC, Formación y Tecnología S.L. (2009) Consultado en Julio 28, 2009 en
http://www.deberesmatematicas.com
Micronet. Enciclopedia Junior Micronet. Enciclopedia Multimedia. Micronet.
Microsoft (2006). Microsoft Encarta (2006). Biblioteca Premium. Microsoft,
Corporation.
18