tendrán obligatoriamente la forma , con

SOLUCIONARIO ETAPA FINAL MATEMÁTICAS DIVERSIFICADO
1. Hallar la suma:
 2008 
 2008 
 2008 
 2008 
1 

2


3


...

2009








 0 
 1 
 2 
 2008 
Solución:
n  n 
 . Por tanto:
k  nk 
Recuerde que    
 2008 
 2008 
 2008 
 2008 
S  1 

2


3


...

2009








 0 
 1 
 2 
 2008 
 2008 
 2008 
 2008 
 2008 
2S  1 

2


3


...

2009








 0 
 1 
 2 
 2008 
 2008 
 2008 
 2008 
 2008 
2009  

2008


2007


...

1








 0 
 1 
 2 
 2008 
 2008 
 2008 
 2008 
 2008 
2S  2010  

2010


2010


...

2010








 0 
 1 
 2 
 2008 
 2008   2008   2008 
 2008  
2S  2010  


  ...  

 2008  
 0   1   2 
Aplicando el binomio de Newton (1+1)2008, se obtiene
2S  2010  22008
S  2010  22007
2. Encuentre todos los números reales x y y tales que satisfagan el sistema de
ecuaciones:
x3  8 y 3  x  2 y
2x2  4xy 2  x  2 y
Solución:
Podemos reescribir las ecuaciones como:
 x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2   x  2 y
2xy  x  2 y   x  2 y
Obviamente cualquier par de números x y y que satisfacen la ecuación x  2 y  0 ,
será solución del sistema. Pero ahora asumamos que x  2 y  0 . Entonces podemos
dividir entre x  2 y y obtenemos:
x2  2 xy  4 y 2  1
2 xy  1
Luego:
 x  2y
2
 x 2  4 xy  4 y 2   x 2  2 xy  4 y 2   6 xy  4
Consideramos dos casos: x  2 y  2 y x  2 y  2
En el primer caso:
1  2xy  2  2  2 y  y  4 y  4 y2  0  4 y 2  4 y  1   2 y  1
1
; x  2  2y 1
 y
2
2
En el segundo caso:
2
x  2  2 y  1  2xy  2  2  2 y  y  4 y  4 y  0   2 y  1
 y
2
1
; x  1
2
La solución del sistema son todos los pares x y y tales que x  2 y  0 , así como los
pares x  1 ; y 
1
1
y x  1 ; y  
2
2
3. Si a, b, c son números reales positivos. Probar que:
a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 a 3  b 3  c 3



ab bc ca
2
Solución:
Por la media Harmónica – Media Geométrica tenemos:
Por la media Aritmética – Media Geométrica tenemos:
ab 
2
1 1

a b
a3  b3  2 a3b3  2ab ab
Luego:
a 2b 2
ab
ab ab a 3  b3



ab 1  1
2
4
a b
b2c 2
bc
bc bc b3  c3



bc 1  1
2
4
b c
c2a2
ca
ca ca c 3  a 3



ca 1 1
2
4
c a
(1)
(2)
(3)
Sumando (1), (2) y (3):
a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 a 3  b3 b3  c 3 c 3  a 3 a 3  b3  c 3






ab bc ca
4
4
4
2
4. El baricentro del triángulo  ABC es G. Denotamos por g a , g b , g c las distancias
desde G a los lados a, b y c respectivamente. Sea r el radio de la circunferencia
inscrita. Demostrar que:
ga 
2r
2r
2r
, gb 
, gc 
3
3
3
Solución:
Es sabe que uniendo G con cada vértice,
se forman tres triángulos BGC de base a y
altura ga , AGC de base b y altura gb y
AGB de base c y altura gc de la misma
área.
Por tanto, llamando S al área de ABC:
A
c
b
gc
gb
G
B
ga
a·ga = b·gb = c·gc =
2S
3
(1)
C
a
Por otra parte sabemos que r·(a + b + c)
= 2S (basta unir el centro con los tres vértices y quedan tres triángulos de bases a,
b, c y altura común r).
Sustituyendo 2S en (1), y despejando queda:
r abc
r abc
r abc
; gb 
; gc 
3
a
3
b
3
c
abc
bc
 1
 2 , de donde
y por la desigualdad triangular (b + c  a) , resulta :
a
a
2r
ga 
y de modo análogo para gb y gc .
3
ga 
5. DETERMINE EL PRODUCTO DE TODOS LOS DIVISORES DE
2100  3100 .
LOS DIVISORES DE 2100 ∙ 3100 TENDRÁN OBLIGATORIAMENTE LA FORMA 2𝑎 ∙ 3𝑏 , CON 0 ≤
𝑎 ≤ 100, 0 ≤ 𝑏 ≤ 100.
SI LOS ORDENAMOS DE FORMA MATRICIAL (SÓLO PARA PODER VISUALIZARLOS BIEN)
TENDRÍAMOS UNA MATRIZ DE 101 FILAS Y 101 COLUMNAS:
20 ∙ 30 20 ∙ 31 20 ∙ 32
20 ∙ 3100
⋯ 21 ∙ 3100
21 ∙ 30 21 ∙ 31 21 ∙ 32
22 ∙ 30 22 ∙ 31 22 ∙ 32
22 ∙ 3100
⋮
⋱
⋮
100
[2100 ∙ 30 2100 ∙ 31 2100 ∙ 32 ⋯ 2 ∙ 3100 ]
Multiplicando cada fila tenemos:
Primera fila
:
Segunda fila
:
Tercera fila
:
(ASÍ HASTA LA FILA 101)
Fila 101
:
SI
MULTIPLICAMOS ESTOS
BASE 2 OBTENEMOS:
101
(20 )101 ∙ (30 ∙ 31 ∙ 32 ∙ … ∙ 3100 )
(21 )101 ∙ (30 ∙ 31 ∙ 32 ∙ … ∙ 3100 )
(22 )101 ∙ (30 ∙ 31 ∙ 32 ∙ … ∙ 3100 )
(2100 )101 ∙ (30 ∙ 31 ∙ 32 ∙ … ∙ 3100 )
RESULTADOS PARCIALES Y AGRUPAMOS LOS QUE TIENEN
[(20 )101 ∙ (21 )101 ∙ (22 )101 ∙ … ∙ (2100 )101 ][30 ∙ 31 ∙ 32 ∙ … ∙ 3100 ]101 =
(20 ∙ 21 ∙ 22 ∙ … ∙ 2100 )101 ∙ (31 ∙ 32 ∙ 33 ∙ … ∙ 3100 )101 =
(20+1+2+⋯+100 )101 ∙ (30+1+2+⋯+100 )101 =
(25050 )101 ∙ (35050 )101 = 2510050 ∙ 3510050 = 6510050
6.- EN LA SIGUIENTE CONFIGURACIÓN DE 9 CÍRCULOS HAY SEIS MANERAS DE ELEGIR CUATRO
CÍRCULOS DE MODO QUE LOS CENTROS DE LOS CUATRO CÍRCULOS SEAN LOS VÉRTICES DE UN
CUADRADO
REPRESENTEMOS CON UNA LETRA CADA UNO DE LOS CÍRCULOS DE LA FIGURA:
ENTONCES SI “S” ES LA SUMA DE CADA UNO DE LOS 6 CUADRADOS TENEMOS:
𝑆 =𝑎+𝑏+𝑑+𝑒
𝑆 =𝑏+𝑐+𝑒+𝑓
𝑆 =𝑑+𝑒+𝑔+ℎ
𝑆 =𝑒+𝑓+ℎ+𝑖
𝑆 =𝑎+𝑐+𝑔+𝑖
𝑆 =𝑏+𝑓+ℎ+𝑑
SUMANDO MIEMBRO A MIEMBRO LAS CINCO PRIMERAS ECUACIONES, OBTENEMOS:
5𝑆 = 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 + 2𝑑 + 4𝑒 + 2𝑓 + 2𝑔 + 2ℎ + 2𝑖
5𝑆 = 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 + ℎ + 𝑖) + 2𝑒
COMO 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖 SON, EN ALGÚN ORDEN, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 RESULTA:
5𝑆 = 2(1 + 2 + ⋯ + 9) + 2𝑒
5𝑆 = 90 + 2𝑒
DE AQUÍ SE SIGUE QUE 𝑒 ES MÚLTIPLO DE 5 (PUES 5𝑆 Y 90 LO SON) Y, POR LO TANTO, 𝑒 =
5.
ADEMÁS,
90 + 2𝑒 90 + 10
𝑆=
=
= 20
5
5
HASTA AQUÍ TENEMOS QUE EL NÚMERO DEL CÍRCULO CENTRAL ES 5 Y QUE LA SUMA DE
CADA CUADRADO ES 20.
OBSERVEMOS QUE CADA UNO DE LOS NÚMEROS 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖 ESTÁ POR LO MENOS
UNA VEZ EN UN CUADRADO QUE TIENE AL 5.
SI UN CUADRADO TIENE AL 1 Y AL 5, LA SUMA DE LOS OTROS DOS NÚMEROS ES 20 − 1 −
5 = 14. LA ÚNICA MANERA DE OBTENER 14 COMO SUMA DE DOS NÚMEROS DEL 1 AL 9
QUE NO UTILICE 1 NI 5 ES 14 = 6 + 8. ENTONCES, HAY SÓLO UN CUADRADO QUE
SIMULTÁNEAMENTE EL 1 Y EL 5, DE MODO QUE EL 1 DEBE UBICARSE EN UNA ESQUINA DE
LA CONFIGURACIÓN DE 9 CÍRCULOS (EN EL LUGAR DE 𝑎, 𝑐, 𝑔, 𝑖) Y SUS 2 VECINOS DEBEN
SER EL 6 Y EL 8.
PODEMOS UBICAR 𝑎 = 1, 𝑏 = 6, 𝑑 = 8.
POR OTRA PARTE SI UN CUADRADO TIENE AL 3 Y AL 5, LA SUMA DE LOS OTROS DOS
NÚMEROS ES 20 − 3 − 5 = 12. LA ÚNICA MANERA DE OBTENER 12 COMO SUMA DE DOS
NÚMEROS DEL 1 AL 9 QUE NO UTILIZA AL 1 NI AL 3 NI AL 5 ES 12 = 4 + 8. LUEGO, AL IGUAL
QUE EL 1, 3 DEBE UBICARSE EN UNA ESQUINA DE LA CONFIGURACIÓN Y SUS VECINOS
DEBEN SER EL 4 Y EL 8. DE ACUERDO CON LAS ELECCIONES YA HECHAS, DEBEMOS PONER
𝑔 = 3, ℎ = 4.
DE 20 = 𝑏 + 𝑓 + ℎ + 𝑑 = 6 + 𝑓 + 4 + 8, RESULTA 𝑓 = 2.
DE 20 = 𝑏 + 𝑐 + 𝑒 + 𝑓 = 6 + 𝑐 + 5 + 2, RESULTA 𝑐 = 7.
DE 20 = 𝑒 + 𝑓 + ℎ + 𝑖 = 5 + 2 + 4 + 𝑖, RESULTA 𝑖 = 9.
CON ÉSTA CONFIGURACIÓN, LA SUMA DE LOS NÚMEROS EN LOS VÉRTICES DE LOS 6
CUADRADOS ES 20.
HAY OTRAS DISTRIBUCIONES, PERO TODAS TIENEN EL 5 EN EL CÍRCULO CENTRAL Y EN EL
BORDE SE ENCUENTRA LA SECUENCIA 1,8,3,4,9,2,7,6 RECORRIDA EN SENTIDO HORARIO O
ANTI HORARIO, COMENZANDO POR EL 1 EN UNA ESQUINA