ejercicios opcionales tema 4

EJERCICIOS OPCIONALES TEMA 3. EL MOVIMIENTO ONDULATORIO
3. Corrige la siguiente frase: «El medio solo oscila en una onda transversal; en las ondas
longitudinales, se desplaza».
La frase no es correcta. En la propagación de las ondas longitudinales, el medio también oscila;
lo que ocurre es que ambas direcciones, la de propagación de la onda y la de oscilación del
medio, coinciden.
5. Pon dos ejemplos de ondas unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales.
Algunos ejemplos pueden ser los siguientes:
• Ondas unidimensionales: las ondas que se propagan por una cuerda elástica tensa y las que se
propagan por un hilo metálico.
• Ondas bidimensionales: las ondas que se propagan por una cubeta de ondas o en la superficie
de un lago.
• Ondas tridimensionales: la luz y el sonido.
13. Escribe la ecuación de una onda armónica unidimensional de 20 cm de amplitud que
avanza en el sentido negativo del eje X con una velocidad de propagación de 8 m/s, si la
frecuencia es de 200 Hz.
Teniendo en cuenta la relación entre la frecuencia, f, la longitud de onda, l, y la velocidad de
propagación de la onda, v, y sustituyendo datos, obtenemos el valor de :
v =  · f ;  = v/f = 0,04 m
El período, T, es el inverso de la frecuencia, f, luego:
T = 5 · 10 s
–3
Como el enunciado no proporciona datos adicionales, supondremos que la fase inicial es cero
 = 0). NOTA: RECORDAD QUE NECESITAMOS DATOS INICIALES PARA SACAR LA
FASE INICIAL, COMO HICIMOS EL VIERNES EN EL EJERCICIO DE CLASE, DONDE NOS
DABAN EL VALOR DE y PARA t = 0 y x = 0.
Sustituyendo los valores obtenidos, junto con el de la amplitud, que proporciona el enunciado
(A = 0,2 m) en la ecuación general de la onda armónica unidimensional, y teniendo en cuenta
que se propaga en el sentido negativo del eje X, nos queda la siguiente ecuación, en unidades
del S.I.:
19. En una cuerda se propaga una onda descrita por la siguiente ecuación:
y(x, t ) = 5 · sen (3 · x + t), donde x se expresa en metros, y t, en segundos. Calcula:
a) La velocidad de propagación de la onda.
b) La aceleración de un punto de la cuerda situado a 3 m del foco en el instante t = 6 s.
c) La diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda separados 50 cm.
a) La ecuación general que describe a una onda armónica unidimensional es:
Comparando con la ecuación del problema, tenemos:
Como la onda se propaga con movimiento uniforme,  = v · T, por lo que la velocidad de
propagación será:
b) Para obtener la ecuación de la aceleración, derivamos dos veces con respecto al tiempo la
ecuación de posición de la onda:
Sustituyendo los valores x = 3 m, t = 6 s, nos queda:
c) En la ecuación de la onda: y = 5 · sen (3 · x + t) al término (3 · x + t) se le denomina fase. La
diferencia de fase entre estos dos puntos, , será:
= [(3 · x1 + t) – (3 · x2 + t)] = 3 · (x1 – x2)
Como los puntos están separados 50 cm (0,5 m), tendremos: = 3 · 0,5 = 1,5 rad
20. Una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X tiene un período de
0,2 s. En un instante dado, la diferencia de fase entre dos puntos separados 60 cm es
igual a π rad. Determina: a) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.
b) La diferencia de fase entre dos estados de perturbación de un mismo punto que tienen
lugar en dos instantes separado por un intervalo de tiempo de 2 s.
a) Como el desfase entre dos puntos consecutivos, , separados una distancia igual a la
longitud de onda,  es 2 radianes, la longitud de onda será:
Como la onda se propaga con velocidad constante, siempre que no cambien las características
del medio, podremos escribir:
b) La ecuación general de una onda armónica es:
donde a la expresión
se denomina fase. Por tanto:
Sustituyendo datos:
21. Explica brevemente cómo varía la intensidad de una onda con la distancia.
La variación de la intensidad de una onda con la distancia se debe a dos fenómenos, la
atenuación y la absorción. En el caso de la atenuación:
• Si la onda es plana, la intensidad se mantiene constante. Este hecho es debido a que la
energía se propaga por superficies iguales.
• Si la onda es esférica, al alejarnos del foco la energía se reparte entre más puntos del medio,
por lo que la intensidad decrece. Recuerda que la expresión de la intensidad de una onda
esférica es:
Observa que la intensidad de la onda es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Por otro lado, la absorción es el fenómeno por el cual la intensidad de una onda y, por tanto, su
amplitud, disminuyen debido a efectos disipativos en el medio de propagación que reducen la
energía transportada por la onda. De acuerdo con la ley general de la absorción, la intensidad de
una onda decrece exponencialmente con el espesor del medio que atraviesa:
Donde es el coeficiente de absorción del medio
30. Calcula el tiempo que tarda el sonido en recorrer una distancia de 1 km según que el
medio en el que se propaga sea: a) Aire a 35 °C. b) Una barra de acero. (El módulo de
Young para el acero es: 6 · 10 N/m , y su densidad: 7,7 g/cm ).
10
2
3
a) El sonido se propaga con m.r.u., luego: s = v · t.
La velocidad con la que el sonido se propaga en el aire es:
Luego:
b) En un sólido, la velocidad de propagación del sonido viene dada por:
siendo J el módulo de Young para el sólido dado, y p, su densidad. Sustituyendo datos, la
velocidad resulta:
Luego:
Se observa que la velocidad de propagación en un sólido es mayor que en un líquido. Esto es
debido a que las partículas están más próximas unas a otras en el estado sólido que en el
líquido. Así, se cumple que:
vgas< vlíquido< v sólido
36. Un altavoz tiene una potencia sonora de 40 W. Representa gráficamente la intensidad
de la onda sonora frente a la distancia al centro del foco emisor cuando sea: d = 5 m, 10
m, 15 m y 20 m.
A partir de la ecuación de la intensidad de una onda esférica:
calculamos la intensidad para cada valor de la distancia. Así:
Ejercicios del final del tema:
7. Una pequeña bola de plomo cae en una piscina llena de agua, originando una onda
armónica que tarda 4 s en recorrer 12 m. Si la distancia entre dos crestas consecutivas es
de 30 cm, determina:
a) La velocidad de propagación de la onda.
b) Su frecuencia angular.
a) Como las ondas se propagan con velocidad constante, siempre y cuando el medio sea
homogéneo e isótropo, tenemos:
b) La frecuencia angular, w, se define como:
Puesto que la distancia entre dos crestas consecutivas es, precisamente, la longitud de onda,
tenemos:
Por tanto, la frecuencia angular resulta:
12. Una onda sinusoidal, que avanza con una velocidad de 10 m/s desde un punto O que
consideramos el origen del eje X, tiene una amplitud de 2,5 cm y una frecuencia de 50 Hz:
a) Determina la longitud de onda.
b) Escribe la correspondiente ecuación de onda.
c) Calcula la elongación para x = 10 cm, t = 1 s.
a) Aplicando la ecuación  = v · T se obtiene:
b) La ecuación general que describe el movimiento ondulatorio armónico es:
Como el enunciado no proporciona los suficientes datos, supondremos que 0 = 0, por lo que, al
sustituir los datos de los que disponemos, nos queda:
donde:
c) En el punto x = 0,1 m y en el instante t = 1 s, la elongación ( y ) vale:
18. Una onda transversal armónica se propaga en el sentido positivo del eje OX. En la
primera figura se muestra el perfil de la onda en t = 0 s, y en la segunda se representa el
desplazamiento transversal del punto de la cuerda situado en x = 0.
a) Escribe la ecuación de la onda.
b) Calcula su velocidad de propagación.
a) A partir de las figuras del enunciado podemos obtener las magnitudes que caracterizan a la
onda necesarias para escribir su ecuación: amplitud, A; período, T, y longitud de onda,:
A = 2 mm ;  = 2 m ; T = 10 ms
La ecuación general que describe a una onda armónica unidimensional puede escribirse como:
Por tanto, la ecuación de la onda, expresada en unidades S.I., vale
Para calcular la fase, 0, sustituimos los valores iniciales, que obtenemos a partir de las figuras
del enunciado, quedando:
Por tanto, la ecuación de la onda es, finalmente:
b) La velocidad con la que se propaga la onda la calculamos como sigue:
21. Para una onda armónica, con f = 500 Hz y v = 300 m/s, determina:
a) La distancia mínima, en un cierto instante, entre dos puntos del medio que oscilan
con = 60°.
b) La diferencia de fase de la oscilación en un cierto punto en un intervalo de tiempo de
t = 0,01 s.
a) La ecuación general de una onda armónica es:
donde la expresión:
se denomina fase.
La longitud de onda, , vale:
Por tanto, la fase de esta onda toma la expresión:
Como la diferencia de fase entre los dos puntos es 60° (3 rad), tenemos:
Luego, la distancia mínima que pide el enunciado es:
b) Utilizando de nuevo la expresión concreta de la fase de esta onda, será:
Entonces, la diferencia de fase pedida resulta:
28. El coeficiente de absorción de un determinado medio es 10 cm . Calcula cuál ha de ser
su espesor para que la intensidad de una onda que lo atraviesa se reduzca a la cuarta
parte del valor que tenía al entrar en el medio.
La ley general de la absorción para ondas planas es:
–1
donde x es el espesor del medio, y  el coeficiente de absorción del medio. Para este problema
tenemos los siguientes datos:
Sustituyendo datos:
Tomando logaritmos neperianos, nos queda:
Y este es el ejercicio que teníamos en el guión y que no corregimos en clase, por si queréis
echarle un vistazo:
31. Dispones de un cronómetro que mide décimas de segundo y de una piedra. Indica
cómo podrías calcular la profundidad de un pozo, h. Obtén una ecuación general que te
permita calcular la profundidad de cualquier pozo en función del valor de g, de la
velocidad del sonido, v, y del tiempo medido, t.
Al dejar caer una piedra y chocar con el fondo, el tiempo que tardamos en escuchar el sonido, t,
que mediríamos con el cronómetro, será la suma del tiempo que tarda la piedra en llegar al fondo
( t1), más el tiempo que tarda el sonido en recorrer la altura del pozo, h (t2).
En la bajada, la piedra realiza un m.r.u.a.; por tanto, de acuerdo con la ecuación cinemática que
corresponde a este movimiento:
En la subida, el sonido efectúa un m.r.u.; entonces:
Por tanto, la ecuación general que solicita el enunciado es la siguiente:
La dejamos así expresada, ya que no es posible transformarla de forma sencilla en otra donde
aparezca la profundidad del pozo, h, despejada.