deducción de la ecuación de una onda

Onda. En física, una onda es una propagación de una perturbación de alguna
propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o
campo magnético, que se propaga a través del espacio transportando energía.
El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un
trozo de metal o el vacío.
Onda Mecánica, es la propagación de una perturbación en un meio elástico
Todas las ondas mecánicas requieren: 1) alguna fuente que cree la
perturbación, 2) un medio que reciba la perturbación y 3) algún medio físico a
través del cual elementos del medio puedan influir uno al otro. El sonido es el
ejemplo más conocido de onda mecánica,
Onda Electromagnetica la podemos definir como la propagación de una
perturbación que no necesita de un medio para su propagación
Esto es debido a que las ondas electromagnéticas son producidas por las
oscilaciones de un campo eléctrico, en relación con un campo magnético
asociado. Las ondas electromagnéticas viajan aproximadamente a una
velocidad de 300000 km por segundo, de acuerdo a la velocidad puede ser
agrupado en rango de frecuencia. Este ordenamiento es conocido como
Espectro Electromagnético, objeto que mide la frecuencia de las ondas
Clasificación de las onas:
Ondas transversales, son las ondas en que las partículas oscilan
perpendicularmente a la propagación de la perturbación. ejemplo la
oscilación de una cuerda.
Ondas Longitudinales, son las ondas en que la partícula oscila en el mismo
sentido que la propagación de la perturbación, ejemplo la oscilación de un
resorte.
Definiciones importantes:
Cresta, punto de amplitud máximo de una onda
Valle, punto mas bajo de una onda.
λ(longitud de onda (lambda)), distancia existente entre dos crestas
Pulso, cuando damos al extremo de una cuerda fija un solo movimiento
lateral rápido
Tren de ondas, cuando se mueve varias veces el extremo la teral de una
cuerda con movimiento ármonico simple
Propagación en cuerdas
La velocidad de una onda viajando a través de una cuerda en vibración (v) es
directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda (T)
sobre su densidad lineal (μ):
Landa, Distancia entre dos crestas
Y=Acos(wt-kx) donde k=2π/ λ
K es llamado número de onda angular osea el número de ondas que contiene
un ángulo de 2π
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Etiquetas: ONDAS
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA ONDA
Supongamos que se tiene una cuerda de
longitud infinita. En x=0 una fuente
muévela primera partícula de la cuerda
con movimiento armónico simple de
ecuación:
Y=Acoswt
Las siguientes partículas de la cuerda se
pondrán en movimiento cuando la onda
producida por la primera partícula llegue
a ellas con velocidad v. en este
momento, las partículas tendrán un m.a.s.
Tomemos una partícula de la cuerda de abscisa x. después de un determinado tiempo x/v, la
onda llega y la partícula vibrará, y tendrá un movimiento armónico simple de ecuación
Y=Acoswt’
Siendo t’ el tiempo medido a partir de la llegada de la onda, tiempo relacionado con t(véase la
figura ) por la relación
t’=t - x/v
Finalmente la ecuación de la vibración de la partícula respecto al tiempo t es:
y = A cosω (t – x/v )
esta ecuación nos da la elongación de cualquier partícula de la cuerda a cualquier tiempo; es la
ecuación de la onda
podemos escribir la ecuación de otra manera
A cos (wt – wx/v )
Como l=v*T=v2π/w o sea que w/v=2π/l
Tenemos entonces que:
A cos (wt –2π*x/l)
Si hacemos k=2π/l que llamaremos número de onda angular (rad/m) (número de ondas que
contiene un ángulo de 2π radianes, semejante a la frecuencia angular w=2π/T (número
de periodos que contiene un ángulo de 2π radianes)
Entonces la ecuación nos queda:
y = A cos (ωt – kx )
CONCLUSIONES:
La ecuación y = A cos (kx - ωt) es igual a la anterior y, por lo tanto, es también una onda que se
propaga en el sentido positivo del eje x.
No podemos representar esta ecuación en un diagrama plano, porque tenemos tres variables
y, x y t.
Para un valor fijo de t (por ejemplo t=0), la ecuación nos da y=Acoskx.
Esta curva sinusoidal representa la forma de la cuerda (o de la superficie del agua) a un
momento dado. Es como si se tomara una fotografía de la cuerda al instante t.
Para un valor fijo de x, o sea, un punto dado de la cuerda (por ejemplo x=0), la ecuación nos da
y=Acos(-wt) = Acoswt. Es un movimiento armónico simple que llamaremos vibración u
oscilación de una partícula.
Si la onda viaja a la izquierda encontraríamos
T’=t + x/v , y la ecuación de la onda será;
Y=Acos(wt + kx)
En nuestro análisis se ha supuesto que en t=0 y x=0, la elongación correspondiente es máxima.
Si para t=0 y x=0 la elongación es y=0, la ecuación de la onda será y= Asen(wt - kx) porque
Asen(w*0 –k*0) = A*0 =0.
En conclusión, la ecuación de una onda transversal o longitudinal permite deducir de que lado
viaja la onda, y cuales son su amplitud, su frecuencia, su periodo, su longitud de onda y su
velocidad de propagación, o sea, toda la información acerca del fenómeno.
VELOCIDAD DE UNA ONDA TRANSVERSAL
Consideremos un pequeño segmento de cuerda de longitud s, que forma un arco de radio r y
que se mueve con rapidez v. Si
µ= m/s es la masa por unidad de longitud de la cuerda, que se
llama densidad lineal, entonces µs es la masa de este elemento (en cada extremo de este
elemento actúa la tensión T).
Las componentes horizontales del pulso se anulan, mientras que las dos componentes
verticales se suman, o sea 2T sen Ѳ ó 2TѲ, siendo Ѳ muy pequeño.
Finalmente, por la segunda Ley de newton, tenemos
2TѲ=ma= µs*v2/r
A0 v2/r por ser una aceleración centrípeta).
Como:
Ѳ=(s/2)/r, tenemos
2T(s/2r) = µs*v2/r
V= √T/µ
V estará dado en m/s, si T viene en Newton y µ en kg/m. Para ondas periódicas o más
complejas, la velocidad de la onda es la misma, ya que el resultado final es independiente de la
longitud de onda, de la frecuencia y de r, sólo depende de la densidad lineal y de la tensión a la
cual está sometida
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