¿Se pueden crear Matemáticas desde la Didáctica de la

¿Se pueden crear Matemáticas desde la Didáctica de la Matemática?
Tomás Ortega
Didáctica de la matemática.
Universidad de Valladolid. España
[email protected]
Resumen
El presente trabajo se enmarca en dos de las investigaciones llevadas a cabo sobre el
concepto de límite y sobre la demostración matemática. En la primera se plasmó una
nueva conceptualización de límite funcional, más dinámica que la conceptualización
métrica, tan rigurosa como esta última, que no está sujeta al formalismo impuesto por la
sintaxis de la manipulación simbólica, y que favorece la interpretación del concepto. En
la segunda se analizan los “esquemas de prueba” de los alumnos, los procesos y los
enunciados matemáticos, teniendo en cuenta tanto el razonamiento como las funciones
de la demostración. Se aplican las conclusiones de ambas investigaciones para
establecer algunos resultados matemáticos.
Resumo
O presente trabalho tem como marco duas pesquisas levadas a cabo sobre o conceito de
limite e sobre a demostração matemática. Na primeira criou uma nova conceitualização
de limite funcional, mais dinâmica que a conceitualização métrica, tão rigorosa como
esta última, que não esta presa ao formalismo imposto pela sintaxe da manipulação
simbólica, e que favorece a interpretação do conceito. Na segunda se analisam os
“esquemas de prova” dos alunos, os processos e os enunciados matemáticos, tendo em
conta tanto o raciocinio nalização como as funções da demonstração. Se aplicam as
conclusões de ambas pesquisas para estabelecer alguns resultados matemáticos.
1. El origen de las investigaciones
Las dos investigaciones citadas tienen su origen en problemas educativos de aula, y
tanto los Profesores-Investigadores, que son profesores de los grupos experimentales,
como el Director de las investigaciones pensaban que la mayor parte de los alumnos no
entienden ni el concepto de límite ni la mayor parte de las demostraciones que se hacen
en las aulas.
Ya en la década de 1980 T. Ortega construyó un programa de ordenador1 específico
1
Programa hecho en Turbo Basic para trabajar con ordenadores Amstrad 8086. Este programa fue
presentado en las XIII Jornadas Hispano-Lusas de Matemáticas de Valladolid (España) en 1988.
para el aprendizaje del concepto de límite, programa que trabajaba de forma numérica y
gráfica la definición del concepto, y que daba paso al formalismo métrico en los
términos de ε y δ, y al teorema de caracterización, porque el autor era consciente de las
dificultades que tenían los alumnos al respecto. Años más tarde, S. Blázquez también
cree en esta hipótesis sobre las dificultades de los alumnos y ambos piensan que el
concepto de límite es uno de los conceptos matemáticos más complicados de todos los
niveles educativos, supuesto que, en cierto modo, es contrastado por T. Ortega con
licenciados en matemáticas, que en su mayor parte, tras un período no muy largo de
inactividad2, tienen serias dificultades para reproducir la definición conceptual métrica
con rigor. Así las cosas, nos pareció interesantísimo investigar esta problemática y con
este fin se desarrolló un trabajo de tesis doctoral, que fue defendida brillantemente en el
año 2000, Blázquez. (2000), que constituye el documento base de las aportaciones
sobre esta investigación.
Nuestra primera creencia sobre el no aprendizaje acerca de las demostraciones de
“matemáticas básicas” también tuvo lugar en el aula, y data de la década de 1990. T.
Ortega preguntó a 83 licenciados (Matemáticas (21), Físicas (27), Economistas (15),
Ingeniería (11), y Químicos y Biólogos (11)) si la demostración que da P. Puig (1980)
sobre el teorema de Tales (los alumnos la tenían escaneada en una hoja) era ciertamente
una demostración o no. (El enunciado del teorema y la correspondiente demostración
que se les mostró se reproducen en el ANEXO I). Curiosamente, el mayor número de
respuestas negativas, 12, se produjo en los licenciados en Matemáticas y, aunque hubo
43 respuestas afirmativas, las explicaciones que dieron la mayor parte de los licenciados
en ambos casos para justificar su elección eran totalmente disparatadas. M. Ibañes, tras
su larga experiencia como docente, tenía una creencia similar y nos propusimos
averiguar cómo se producían estos aprendizajes en los alumnos, dando lugar a un
trabajo de tesis doctoral que culminó con éxito en el año 2001, Ibañes (2001), que
constituye el documento base de las aportaciones sobre esta investigación.
2. Metodología
Si bien la Investigación-Acción (I-A) tiene sus orígenes en los años cuarenta de la mano
de Kurt Lewin en Norteamérica con fines sociales, a finales del pasado siglo se ha
aplicado con éxito en varios países para investigar fenómenos educativos. A nivel
teórico esta metodología ha sido ampliamente tratada en la literatura, entre otros
autores, por Kemmis y McTaggart (1988), Hopkins (1999), Elliot (1990), y en España
G. Peréz (1994). Esta autora indica que la Investigación-Acción (I-A) es una
metodología muy apropiada cuando el objeto de estudio son los problemas prácticos tal
2
Se trata de varias encuestas a alumnos del Curso de Aptitud Pedagógica (CAP) que tienen que hacer los
alumnos en España para poder opositar al Cuerpo de Profesores de Educación Secundaria. Estos alumnos
se licencian en junio, septiembre o incluso en la convocatoria extraordinaria de enero y hacen el curso del
CAP en febrero. Incluso en este período los alumnos suelen estar estudiando los temas de la oposición.
2
y como ocurren en su propio contexto y, entre muchas otras cosas, asegura que, además
de analizar la realidad, ayuda a mejorar los fenómenos educativos.
Estos autores fundamentan su validez en triangulaciones y en saturaciones, pero el
problema de la validación está implícito en toda investigación educativa sobre aspectos
cognitivos del aprendizaje de los alumnos. Blázquez, Ibañes y Ortega (2005) afirman
que las informaciones que aportan las entrevistas a parejas de alumnos y los debates en
el aula complementan la indagación, formulan los principios que deben cumplir los
debates en el aula e indican que ellos desconocen que los debates en el aula con
alumnos se hayan utilizado en investigación educativa en trabajos con el planteamiento,
desarrollo y finalidad de los realizados por ellos en la investigación desarrollada sobre
la demostración matemática, y que poco tienen nada que ver con la Teoría de las
Situaciones, con el marco APOE de Dubinski y colaboradores, y con los debates que
describen Lezama y Farfán (2001).
Nosotros sostenemos que tanto las entrevistas como los debates tienen que ser
realizados por alguien que conozca las hipótesis de trabajo de la investigación, que sea
un especialista en los contenidos matemáticos que se utilizan, que conozca las
producciones de los alumnos sobre los que se ha hecho el análisis y las correspondientes
reflexiones, y también a los propios alumnos. Considerando estos principios la persona
ideal en ambos casos es el P-I.
Conviene que las entrevistas se hagan a parejas de alumnos para que haya
triangulaciones con el entrevistador, y los alumnos deben ser elegidos atendiendo a sus
respuestas a cuestionarios previos y a la facilidad de palabra (para que expresen sus
pensamientos de forma natural). En los debates el P-I hará de moderador y deben tener
dos fases: en la primera los alumnos elegidos (entre los que dieron soluciones diferentes
en sus tareas) defenderán sus producciones unos frente a otros y en la segunda
intervendrán todos los alumnos de la clase. Tanto los debates, primero, como las
entrevistas, después, se graban en su totalidad y así el Director de la investigación se
convierte en el tercer vértice de la triangulación ,y junto con el P-I analizarán todas las
intervenciones.
3. Fundamentos de las investigaciones
En ambos casos se hizo un análisis histórico y curricular, tras el cual se procedió a la
búsqueda de los trabajos de investigación más relevantes que tenían que ver con el
concepto de límite y con la demostración. En el primer caso se consideraron las
siguientes fuentes:
-
Investigaciones sobre concepciones de límite funcional.
-
Investigaciones sobre errores y dificultades del concepto de límite.
-
Investigaciones sobre el concepto de límite en los manuales.
3
-
Investigaciones sobre la enseñanza del concepto de límite.
Apoyados en estas investigaciones elegimos un marco teórico para ayudarnos en el
análisis de las tareas de los alumnos. En concreto, básicamente consideramos la teoría
de la Imagen Conceptual de Tall y Vinner (1981) y Vinner (1991) con la que se trata de
explicar cómo se forma la imagen conceptual de los alumnos a través de la definición
del concepto, y los Actos de Comprensión de Sierpinska (1985) como modos de
conocimiento en oposición a los obstáculos. Aplicamos la teoría de la Imagen
Conceptual en el análisis de las producciones de los alumnos en las tareas propuestas en
la experimentación, viendo el grado de aplicación de la definición conceptual
correspondiente, Blázquez y Ortega (2001). Análogamente, hemos considerado a los
Actos de Comprensión para analizar las tareas de los alumnos buscando en sus
respuestas identificaciones, discriminaciones, generalizaciones y síntesis, Blázquez y
Ortega (2001).
En el caso de la demostración también se hizo una clasificación de las fuentes en cuatro
bloques:
-
Trabajos generales sobre el aprendizaje de la demostración.
-
Trabajos sobre las funciones de la demostración.
-
Trabajos sobre niveles de demostración.
-
Trabajos sobre la demostración en el aula.
Las investigaciones de Harel y Sowder (1998) y de “de Villiers” (1993) fueron las más
relevantes para nosotros. En cierto modo Harel y Sowder sirvió como punto de partida y
ambas aportaron el marco teórico que utilizamos en esta investigación.
Harel y Sowder consideran la demostración matemática en sentido amplio y en sus
investigaciones utilizan el concepto de Esquema de Prueba. Para estos autores este
concepto es totalmente subjetivo, y consideran que el Esquema de Prueba de un alumno
es todo aquello que constituye convencimiento y persuasión para dicho alumno. Con
este criterio establecen la siguiente clasificación de los mismos: de convicción externa,
inductivos, transformacionales y axiomáticos.
Por su parte, de Villiers considera que la Demostración cumple cinco funciones
(verificación, explicación, sistematización, descubrimiento y comunicación) que han
sido consideradas en la investigación desarrollada.
En las descripciones que hago sobre las aportaciones de estas investigaciones, no aporto
datos empíricos (todos ellos reproducibles y contrastados) porque el objetivo del
presente capítulo es mostrar cómo desde Didáctica de la Matemática se pueden crear
matemáticas, como se crean y como están relacionadas con la práctica educativa y con
la investigación.
4
4. Aportaciones sobre el concepto de límite
Se realizó un trabajo de campo durante tres años trabajando los registros verbales,
numéricos, gráficos y simbólico-algebraicos, y se desarrolló una conceptualización de
límite funcional basada en la idea de aproximación óptima (tendencia), evitando el
subjetivismo y prescindiendo del formalismo de la terminología ε−δ. Es ésta:
Definición: Sea f una función y a un número real, el número L es el límite de la función
f en el punto a, y se escribe lím f ( x ) = L (se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a a es
x→a
L), si cuando x tiende a a, siendo x distinto de a, sus imágenes, f(x), tienden a L.
Otra escritura equivalente a la anterior es ésta:
lím f ( x ) = L si para cualquier
x→a
aproximación de L, distinta del propio L, existe un entorno reducido de a tal que las
imágenes de todos los puntos del entorno reducido mejoran dicha aproximación (Todas
esas imágenes están más cercanas a L que dicha aproximación3).
De las conclusiones relacionadas con esta conceptualización, que son muchas, por citar
algunas destacan las siguientes:
-
El tratamiento de límite funcional como aproximación óptima, por una parte, aporta
unas herramientas de trabajo más ventajosas que las concepciones ingenuas basadas
en simples aproximaciones y, por otra, es comprendida por los alumnos mejor que la
definición métrica, Blázquez, S. y Ortega, T. (2001).
-
Si se quiere utilizar la concepción formalista ε−δ, es conveniente que ésta se
introduzca después de que los alumnos comprendan la conceptualización como
aproximación óptima, pero ésta última aporta el rigor necesario para establecer las
propiedades asociadas al concepto sin ningún tipo de ambigüedad, Blázquez y
Ortega (2001).
-
Es más interesante la comprensión del concepto que los cálculos algorítmicos y en
esa comprensión es importantísimo el uso de los cuatro registros y de las
traducciones de uno a otro, Blázquez y Ortega (2001).
-
De todos los registros que se utilizan en la docencia (verbal, numérico, gráfico y
simbólico), el gráfico es el que prefieren los alumnos y, además, como señalan
Blázquez y Ortega (2001), la visión global del proceso de identificación del límite
es más comprensible en el registro gráfico y numérico que en la algebraico. Este
resultado, en cierto modo, contradice las aseveraciones de varios autores de
renombre internacional, quizás porque en estos casos se haya descuidado la
instrucción basada en el registro gráfico y los alumnos se han quedado con
interpretaciones gráficas más próximas al dibujo que al concepto y, tratando de
3
Una explicación detallada puede verse en Blázquez y Ortega (2002), donde previamente se describen
las interpretaciones básicas de aproximación y tendencia. Como ejemplo citemos que 1, 1’9, 1’99, … es
una sucesión que se aproxima a 1050, pero no tiende a 1050.
5
paliar este error didáctico, Robinet (1983) propone una didáctica del concepto de
límite basada en un estudio gráfico de funciones elementales.
4.1. Aplicaciones
En la evolución de la investigación el equipo investigador crea unas interpretaciones
gráficas del concepto de límite que, hasta ahora, no se habían utilizado. Son las que
aparecen en las figuras adjuntas 1, 2 y 3.
Proceso
Aproximación
L
L
B
C
A
D
L
y=f(x)
(
a
Figura 1. Dinamismo
a
)
Figura 2. Proceso
a
Figura 3. Entrada-salida
Ninguna de las tres figuras presentadas tiene representada función alguna, lo que ya es
un signo de distinción de las figuras que suelen presentar los textos de análisis
matemático. La primera expresa el dinamismo que está ligado a la idea de aproximación
como tendencia; la segunda, hace referencia al concepto como proceso (identificado con
un garabato), en el que intervienen la función, el punto, el límite y los entornos; la
tercera tiene más que ver con la representación gráfica del concepto, e indica la entrada
y la salida de la gráfica de la función en el rectángulo ADCB. Este rectángulo se
construye con la intersección de la banda del intervalo de aproximación al límite y de la
banda del intervalo de aproximación al punto.
En este caso, L es el límite si fijada una aproximación arbitraria de L, que se proyecta
por la banda horizontal en AB y DC, existe una aproximación de a, que se fija en el eje
de abscisas con el intervalo, y se proyecta por la banda vertical en AD y BC, tal que la
gráfica de la función forzosamente tiene que entrar en el rectángulo ADCB por AB y
salir de él exclusivamente por DC, independientemente de cómo sea la función en su
interior. Aparte de considerar otras representaciones gráficas, con esta última se evita
que la relación entre intervalos esté ligada a una función particular, que es lo que
ocurriría si se representa una curva concreta. En el gráfico de la figura 3 las flechas
expresan los segmentos por donde deben entrar y salir las curvas, pero no una curva en
particular. Precisamente lo que se quiere evitar es la asociación directa de los puntos
del dominio con los del conjunto imagen mediante una función particular, aunque esté
dada por una gráfica arbitraria (es fácil indicar cómo es el comportamiento cuando se
trate de límites laterales).
6
Con el fin único de ilustrar como se puede aplicar esta conceptualización, a
continuación se presentan tres teoremas y sus correspondientes demostraciones. Han
sido realizadas por Blázquez y Ortega, como otras más que, sin duda, podrían ser
hechas por cualquier persona que hubiese aprendido realmente esta conceptualización, y
son una muestra de lo “fácil” que llega a ser su aplicación.
Prueba del teorema de unicidad. Suponiendo que l1 y l2 sean dos límites distintos de f
en x=a, entonces l1<l2 o bien l2<l1 y poniendo m=(l1+l2)/2, en el primer caso, l1<m<l2
y, en el segundo, l2<m<l1. Suponiendo que se cumple el primer caso, como m es una
aproximación de l1, existirá un entorno reducido de a, tal que todas sus imágenes
mejoran la aproximación fijada por m y, por tanto, todas sus imágenes serán menores
que m. Análogamente, como m también es una aproximación de l2, existirá otro entorno
reducido de a, tal que todas sus imágenes mejoran la aproximación dada por m y, por
tanto, todas sus imágenes serán mayores que m. En consecuencia, todas las imágenes
del entorno intersección son a la vez menores y mayores que m, lo que es imposible y,
por tanto, es falso que l1<l2. Análogamente se establece la imposibilidad de que l2<l1 y,
en consecuencia, l1=l2.
l2
m
l1
B’
B-A’
C’
D’-C
De una manera más simple y considerando la
situación de la figura 4, las imágenes tienen que ser
mayores que m, por se m una aproximación a l2 y
menores que m por ser m una aproximación a l1,…
Considerando el punto medio, m, como aproximación
a los dos límites, los rectángulos de las bandas
horizontales AB y A´B´ son disjuntos, cualesquiera que
sean sus bases, y, por tanto, no es posible que la
a
gráfica de la función entre en el rectángulo por AB y
Figura 4. Unicidad
por A´B´, y salga por CD y por C’D’
simultáneamente... En la gráfica se ha considerado que l1<l2, pero análogamente se
podría haber considerado l2<l1.
A
D
Teorema del signo. Si el límite, L, de la función f en x=a es positivo, existe un entorno
reducido de a en el que la función es positiva.
Demostración. Suponiendo que el límite, L, de la función f en x=a es positivo, como 0
es una aproximación a L, existirá un entorno reducido de a tal que todas sus imágenes
mejoran dicha aproximación y, por tanto, serán positivas4.
Teorema de integrabilidad. Una función f, acotada en [a, b], es integrable Darboux si
4
Aunque se trata de aproximaciones muy groseras, es evidente que se puede considerar que cualquier
número es una aproximación de cualquier otro
7
para cualquier aproximación positiva de 0 existe una partición, P, de [a, b] tal que la
diferencia entre las sumas superiores y las sumas inferiores de Darboux relativas a esa
partición mejoran dicha aproximación.
Siguiendo la notación de E. Fischer (1983), es claro que se verifica la siguiente relación:
b
S( f ,P ) ≤
_b
∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤ S ( f , P )
−a
a
y como la diferencia entre las sumas superiores y las sumas inferiores de Darboux
mejora dicha aproximación, entonces, la diferencia entre la integral superior y la
integral inferior de Darboux debe ser cero
_b
∫
a
b
∫ f ( x )dx = 0
f ( x )dx −
−a
y, por tanto, la función es integrable Darboux.
5. Aportaciones sobre la demostración matemática
El punto de partida fue el concepto de Esquema de Prueba (lo que constituye
convencimiento y persuasión para los alumnos) que establecen Harel y Sowder (1998) y
la clasificación que estos mismos autores hacen de los esquemas de prueba desde el
punto de vista da la cognición de los alumnos.
En el curso de nuestra investigación nos damos cuenta de que esta clasificación es
insuficiente y, como explicita en Ibañes y Ortega (2001), se completa considerando
esquemas inductivos de un caso, de varios casos y sistemáticos, por una parte, y los
siguientes, por otra, que nos han facilitado el análisis de la evolución de los alumnos:
- Esquema aceptado (EsA) de una prueba es el que el alumno admite como
demostración.
- El esquema aceptado se considera adherido (EsAd) si el alumno rechaza
explícitamente las pruebas anteriormente expuestas.
-
Esquema declarado (EsD) es el que el alumno considera haber seguido. Este
esquema no tiene por qué coincidir ni con el esquema utilizado ni con el aceptado.
-
Esquema inicial (EsI) al primero de los esquemas aceptados
-
Esquema final (EsF) al último de los adheridos, para cada alumno.
Ya con este marco enriquecido en la propia investigación se obtienen una serie de
conclusiones, de las que por destacar algunas, enuncio las siguientes:
-
Los alumnos se encuentran en un estado de transición entre los esquemas de prueba
inductivos de un caso y los intuitivo-axiomáticos, pasando por los inductivos de
8
varios casos, por los inductivos sistemáticos y por los transformacionales y utilizan
uno u otro dependiendo de las condiciones de los enunciados, Ibañes y Ortega
(2001).
-
Los esquemas inductivos de un caso se manifiestan muy enraizados en los alumnos
de este nivel. Son mayoría los estudiantes que utilizan o aceptan esta clase de
esquemas, muchos evolucionan hacia los esquemas intuitivo axiomáticos sin
renunciar a los inductivos, y algunos vuelven a retomarlos de una u otra forma,
Ibañes y Ortega (2001).
-
Buena parte de los alumnos tiene dificultades en reconocer demostraciones, en
distinguirlas de otros procesos y no son conscientes de lo que supone haber
demostrado un enunciado, Ibañes y Ortega (2002b).
-
El reconocimiento de la demostración está en relación con la evolución del esquema
de prueba de los estudiantes y, en gran parte, viene determinado por el fuerte
enraizamiento de los esquemas inductivos, Ibañes y Ortega (2002b).
-
Las dificultades que tienen los alumnos a la hora de interpretar los enunciados de los
teoremas son tan importantes que les impide saber lo que se tendría que hacer para
establecer el enunciado, Ibañes y Ortega (2002a).
-
Son particularmente difíciles para ellos los enunciados que contienen la expresión
“condición necesaria” y les siguen en dificultad los que contienen los vocablos
“condición suficiente”, pero cuando estas expresiones se sustituyen por otras más
coloquiales los enunciados se tornan más comprensibles, Ibañes y Ortega (2002a).
En el proceso de la investigación, Ibañes (2001), también se corrobora que hay que
demostrar aquello que puede ser ambiguo, que no es obvio, que resulta controvertido,
que la casuística no aporta soluciones generales. Posición defendida por varios autores,
entre ellos Hanna (1989a).
5.1. Aplicaciones
En la investigación llevada a cabo sobre la
A’
demostración los propios alumnos del grupo
experimental generaron esquemas de prueba
transformacionales,
desconocidos
por
A
C
B
nosotros, como por ejemplo el que consiste
Figura 5. E.P. transformacional
en levantar un punto de la recta para
establecer que la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman dos rectos. En
figura 5, BAC es un ángulo llano y, al levantar A según la flecha, este ángulo se
transforma en los tres ángulos interiores que suman BAC, ya que lo que va perdiendo
éste es justo lo que van ganando CBA’ y BCA’ (Para ver que esto es verdad sólo hay que
trazar por B una paralela a CA’ y comparar los tres ángulos de vértice B con los tres
9
ángulos interiores del triángulo BCA’).
6. Otras creaciones Matemáticas
Los problemas tratados en nuestra investigación, que tienen su origen en la práctica
profesional, ponen de manifiesto que las demostraciones matemáticas, como tales, no
son tan importantes para los alumnos como, sin duda, lo son para el matemático y que el
formalismo es poco valorado por ellos. Por otra parte, aunque los procedimientos
formalistas pueden encorsetar (encasillar y en cierto modo dificultar) en exceso la
creación matemática y sean menos motivadores que los procesos creativos, hay
situaciones en las que no se puede prescindir de los mismos y, en todo caso, se tendrán
que combinar ambos para crear discursos explicativos. Con la base que aportan estas
reflexiones voy a presentar cuatro creaciones matemáticas que tienen que ver con
planteamientos derivados de la práctica educativa y con aspectos socioepistemológicos.
Es difícil pensar que sin las características, usos sociales y culturales actuales se hubiese
pensado en el modelo físico de la catenaria o en solucionar el problema de enlace de las
curvas de las autopistas para que éstas sean seguras a altas velocidades. Estos
planteamientos han implicado un rediseño de matemático más fuerte que los que se
hacen en los procesos didácticos asociados a la enseñanza de los conceptos
matemáticos, Cantoral (*), Cantoral (2004), Farfán y Ferrari (2002), ya que se han
tenido que crear atendiendo a las necesidades sociales y culturales de la docencia y a la
necesidad social del diseño.
Las dos primeras surgen de mi insatisfacción cómo profesor de Didáctica de la
Matemática, cuando desarrollo el tema de escalas, al formular la siguiente pregunta: ¿La
proporcionalidad de distancias implica la misma proporcionalidad en longitudes de
curva? Así surge el concepto de Semejanza analítica y el teorema de conservación de
longitudes. Este concepto a lugar al de Semejanza pitagórica y al teorema de
conservación de áreas. La segunda está relacionada con descubrimientos matemáticos
de relación y se describe un método de construcción de la hipérbola. La tercera tiene
que ver con la motivación para el estudio de las tangencias de la circunferencia, con la
significación de los conceptos y con su aplicación real, y se describe un procedimiento
para construir las “curvas de transición” de las calzadas de circulación rápida. En los
tres casos se consideraron esquemas de prueba inductivos y analíticos, y en los tres
destacan los procedimientos constructivos.
6.1. Semejanza analítica
Definición. Dos curvas, C1 y C2, son semejantes cuando sus ecuaciones paramétricas se
pueden expresar de la forma:
10
 x = f (t ), t ∈ [a, b]
C1 ≡ 
 y = g (t ), t ∈ [a, b]
 x = k · f (t ), t ∈ [a, b]
C2 ≡ 
 y = k · g (t ), t ∈ [a, b]
y ambas estén referidas en sistemas de referencia tales que uno de ellos se obtienen del
otro mediante una traslación y un giro. A la constante k se la llama razón de semejanza
o constante de proporcionalidad.
Teorema de conservación de longitudes. Sí A1, A2, ..., An son n arcos de curvas
semejantes a una curva plana dada A, que se han obtenido de ésta con las razones de
semejanza C1, C2, ..., Cn, tales que C1+C2+ ...+ Cn=1, entonces la longitud del arco de
la curva A es la suma de las longitudes de los arcos de las n curvas A1, A2, ..., An.
El proceso de creación tiene su origen al considerar la circunferencia, después me fijo
en la elipse y más tarde en la catenaria. En el caso de la circunferencia la verificación
del teorema es obvia, ya que se dispone de fórmulas que permiten calcular las
longitudes respectivas de cualquier arco, pero esto no siempre es así. Sin ir más lejos, en
el caso de la elipse la verificación no es tan sencilla, ya que el cálculo de las longitudes
de los arcos respectivos pasa por resolver integrales elípticas.
Las ecuaciones paramétricas de la elipse de semiejes
a y b son: x=asen(α), y= bcos(α), α ∈ [0, 2π ] , figura
6.
y
b
θ
La longitud del arco de elipse entre 0 y θ radianes se
calcula por la relación
a
θ
L = ∫ a 2 cos 2 (α ) + b 2 sen 2 (α ) dα ,
0
x
Figura 6.
que resulta ser una integral elíptica de segunda especie y la obtención de la longitud no
puede hacerse de forma cerrada.
Sin embargo, no es necesario calcular la longitud del arco para establecer el resultado
enunciado para elipses de forma relativamente sencilla.
En efecto, suponiendo que C1 y C2 son dos factores de proporcionalidad tales que
C1+C2=1 y que los semiejes de la elipse de partida son a y b, entonces los semiejes de
las dos nuevas elipses son aC1 y bC1, y aC2 y bC2, y las ecuaciones de las tres elipses
son: x=asen(α), y=bcos(α); x=C1asen(α), y=C1bcos(α); x=C2asen(α), y=C2bcos(α).
Se trata, por tanto, de tres curvas semejantes, y denotando por L, L1 y L2 a las
respectivas a las longitudes de los arcos, se tiene:
11
θ
L1 + L2 = ∫ (C1a) 2 cos 2 (α ) + (C1b) 2 sen 2 (α ) dα
0
θ
+ ∫ (C 2 a ) 2 cos 2 (α ) + (C 2 b) 2 sen 2 (θα ) dα =
0
θ
= (C1 + C 2 ) ∫ a 2 cos 2 (α ) + b 2 sen 2 (α ) dα = (C1 + C 2 ) L = L.
0
Este resultado es extensible para n arcos de elipse semejantes al arco de partida y
construidos con factores de escala C1, C2, ..., Cn tales que C1+ C2+ ...+ Cn=1.
En el caso de la catenaria, esta curva, como se aprecia en las figuras 7 y 8, aporta un
modelo físico muy ilustrativo, ya que sólo hay que colocar un nuevo pilar entre los
dados. Que la longitud de la curva de la figura 7 es la suma de las longitudes de las
curvas de la figura 8 es trivial, y lo más complicado es establecer que tales curvas
conservan la semejanza analítica, pero también se establece sin mayores problemas.
(0,0)
(0,0)
Figura 7. Módulo de catenaria
Figura 8. Módulo de catenaria
Sin embargo, de momento, nada indica que este resultado sea válido para cualquier
curva, pero el convencimiento de que esto es así me decide a construir una
demostración matemática general que establezca esta realidad. Como indica de Villiers,
el convencimiento está en el matemático antes de hacer la demostración y es
precisamente éste sentimiento el que le mueve a crear la prueba, y ésta debe hacerse
cuando, como en este caso, no se sabe el comportamiento de otras curvas.
Suponiendo que la curva plana C está definida por la función y=f(x) en [a, b], es claro
que esa curva se puede parametrizar así: x=t, y=f(t), y, por tanto, la longitud L del arco
de esta curva se calcula por la siguiente relación:
b
L = ∫ 1 + ( f ' (t )) 2 dt
a
Como a partir de este arco se han construido otros n arcos con factores de semejanza C1,
C2, ..., Cn, tales que C1+C2+ ...+ Cn=1, entonces las curvas respectivas tienen las
siguientes parametrizaciones: x=C1t e y=C1f(t) para el arco A1; x=C2t e y=C2f(t) para el
arco A2; ...; x=Cn t e y= Cn f(t) ( t ∈ [a,b]) para el arco An. Denotando por L1, L2, ..., Ln a
las longitudes de estos arcos, la suma de sus longitudes es:
12
b
b
L1 + L2 + ... + Ln = ∫ C1 + C1 ( f ' (t )) dt + ∫ C 2 + C 2 ( f ' (t )) 2 dt + ...
2
2
2
a
b
2
2
a
b
+ ∫ C n + C n ( f ' (t )) 2 dt = (C1 + C 2 + ... + C n ) ∫ 1 + ( f ' (t )) 2 dt = L
2
2
a
a
En la terminología de van Asch (1993), lo anterior es una demostración pre-formal,
porque aunque se trata de un caso particular de parametrización en él está implícito el
mismo razonamiento que habría que utilizarse en el caso más general, con la
parametrización x=f(t), y=g(t). Por tanto, se puede enunciar el teorema precedente.
6.2. Curvas semejantes pitagóricas
Considerando ahora que la curva C1 está definida por la función explícita y=f(x) en [0,
a], es claro que se puede parametrizar así:
 x = t , t ∈ [0, a ]
C1 ≡ 
 y = f (t ), t ∈ [0, a ]
y que las curvas las curvas C2, C3 definidas por las siguientes expresiones son
analíticamente semejantes a la anterior:
b

 x = a t , t ∈ [0, a ]
C2 ≡ 
b
 y = f (t ), t ∈ [0, a ]
a

c

 x = a t , t ∈ [0, a ]
C3 ≡ 
c
 y = f (t ), t ∈ [0, a ]
a

En este caso, las gráficas cartesianas de las tres curvas semejantes se construyen sobre
los intervalos [0, a], [0, b] y [0, c], figura 9, y cuando estas amplitudes verifican el
teorema de Pitágoras, a2=b2+c2, las tres curvas anteriores se denominan curvas
semejantes pitagóricas.
x=t
y=f(t)
0
x=bt/a
y=bf(t)/a
a
x=ct/a
y=cf(t)/a
b
0
0
c
Figura 9. Terna de curvas semejantes pitagóricas
Es claro que esta definición puede extenderse a curvas más generales (x=f(t), y=g(t)),
pero hay que exigir ciertas condiciones a la función g para que cumpla las condiciones
13
gráficas de regularidad necesarias.
Teorema de conservación de áreas. Si Aa, Ab y Ac son las respectivas áreas bajo la
curva sobre los intervalos [0, a], [0, b] y [0, c]de una terna de curvas semejantes
pitagóricas C1, C2, C3, entonces se verifica que Aa=Ab+Ac. Recíprocamente, si sobre el
intervalo [0, a] las curvas semejantes, C1, C2, C3, se parametrizan respectivamente
como
x=t, y=f(t); x =
bt
bf (t )
, y=
;
a
a
x=
ct
cf (t )
, y=
,
a
a
y se cumple que Aa=Ab+Ac entonces se verica que a2=b2+c2.
Demostración. Es claro que el área Aa de la curva C1 sobre [0, a] está definida por la
relación:
a
Aa = ∫ f (t ) dt
0
y que la suma de las áreas definidas por las curvas C1 y C2 sobre [0,b] y [0, c], Ab+Ac
está dada por la siguiente igualdad:
b
c
0
0
b ax
c ax
Ab + Ac = ∫ f ( )dx + ∫ f ( )dx
a
b
a
c
y, por consiguiente, considerando los cambios de variable t=ax/b, en el primer caso, y
t=ax/c, en el segundo,
a
a
0
0
b
b
c
c
Ab + Ac = ∫ f (t ) dt + ∫ f (t ) dt
a
a
a
a
y utilizando que a2=b2+c2, finalmente, se obtiene:
b2
c2
a
a
Ab + Ac = ( + ) ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt = Aa
a2 a2 0
0
Recíprocamente, si se cumple que Aa=Ab+Ac, entonces
consecuencia, a2=b2+c2.
6.3. Descubrimiento de resultados
14
b2
a2
+
c2
a2
= 1 y, en
Como ya se ha indicado antes, una de las aportaciones de la investigación es que los
alumnos no son conscientes de lo que supone haber demostrado un teorema y menos
aún conexionar unos resultados con otros conceptos para hacer otros descubrimientos.
Este proceso resulta inaccesible para muchos alumnos, y tampoco es habitual en otros
usuarios de la matemática. Sin duda, se trata de un proceso complejo en el que deben
intervenir múltiples factores interrelacionados, pero que es muy difícil que interactúen
entre sí para dar fruto. El siguiente pasaje es una muestra de este proceso.
El teorema de Pitágoras permite
construir la hipérbola con regla y
Hn
compás sin utilizar el foco.
Conocida la longitud de uno de los
H3
catetos, a, las longitudes de la
rn
r3
hipotenusa, x, y del otro cateto, y,
H2
deben verificar la ecuación x2-y2=a2.
Cn
C3
Se trata de la ecuación de una
r
Pn
2
H1 C
P2
hipérbola equilátera centrada en el
2
P3
P1 r1
origen, con vértices (-a, 0) y (a, 0), C
Q2
Qn
Q3
H Q1
O
focos (-a√ 2, 0) y (a√ 2, 0), y
O1 O2 O3 On
r
C1
excentricidad e=2. El hecho de que a,
x e y sean los lados de un triángulo
Figura 10. Trazado de la hipérbola sin utilizar
rectángulo proporciona el siguiente
el foco, basado en el teorema de Pitágoras.
método gráfico para dibujar esta
cónica sin necesidad de utilizar la posición del foco. Haciendo centro en el punto O de
un eje r (figura 10), se traza una circunferencia C de radio a=OH. A continuación se
trazan las circunferencias Ci, con centros sobre el eje r en puntos arbitrarios Oi, pasando
por O. Estas circunferencias cortan a C en los puntos Pi, y a r en Qi. Los segmentos OPi
(que miden OH) y los correspondientes PiQi determinan los catetos de los triángulos
rectángulos de hipotenusas respectivas OQi. Por tanto, OH2=OQi2-PiQi2, y sólo hay que
trazar rectas ri perpendiculares al eje por Qi y llevar sobre ellas las longitudes de los
catetos PiQi, ya que para cada punto P de la hipérbola la diferencia entre el cuadrado de
la abscisa y el cuadrado de la ordenada debe ser igual al cuadrado de la constante a.
6.4. Las curvas de los viales rápidos
Hoy en día, tanto las carreteras como las autovías y autopistas se diseñan para que sean
seguras a una determinada velocidad, la velocidad de la calzada, y las curvas de las
mismas tienen que ser diseñadas de manera que al tomarlas a esa velocidad (o velocidad
menor) la conducción sea segura. En líneas generales, se puede considerar que una
curva siempre enlaza dos rectas, ya que en el caso de “curva y contracurva” ambas
15
tienen que tener un punto de tangencia, que
se puede considerar recto. Cuando se trata de
vías urbanas, donde las velocidades son
prudentes, estos enlaces se hacen con arcos
de circunferencias tangentes entre sí y a los
tramos rectos, como se muestra en las figuras
11 y 12, sin exigir ninguna otra condición.
Sin embargo, cuando se trata de vías en las
que se consiguen velocidades relativamente
altas estas “soluciones” son muy malas, ya
que además de considerar tangencias hay que
tener en cuenta las curvatura de las curvas
Figura 11. Cruce ortogonal con un
que enlazan. Así, por ejemplo, en los puntos
arco de circunferencia.
T1 y T2 de la figura 11 el arco de
circunferencia es tangente a
los tramos rectos, pero en un
instante (t=0) se pasa de
curvatura 0 a curvatura
1/OT1, lo que se traduce en
una inestabilidad de los
vehículos, que se hace mayor
cuando se enlazan curva y
contracurva, como ocurre en
la calzada representada en la
figura
12,
donde
las
trayectorias del puente se
han diseñado con dos arcos
Figura 12. Planta del puente Condesa de Eylo.
de circunferencia tangentes
entre sí y tangentes a las calles en las que emboca el puente5, que son paralelas.
Otra posible solución consistiría en utilizar esplines cúbicos, exigiendo que en los
puntos de enlace las dos curvas que conectan tengan la misma tangente y la misma
convexidad. Sin embargo, estas curvas tampoco solucionan el problema, y en los
puntos de enlace persiste el problema del cambio brusco de curvatura, ya que aunque
estas condiciones fijan la curvatura del esplín, lo que ocurre es que ésta es proporcional
a la abscisa y no a la longitud de arco recorrido, que es la característica de la clotoide.
Si se considera que se deben enlazar dos tramos rectos no paralelos con una curva de
transición, se puede pensar que tal curva debe ser simétrica respecto de la bisectriz
5 Esta figura está escaneada del proyecto arquitectónico del Excelentísimo Ayuntamiento de
Valladolid (España). Se trata de un puente con una curva en el medio para embocar en dos
calles paralelas no coincidentes.
16
formada por los dos tramos rectos, y se podría considerar que tal curva es la resultante
de enlazar dos curvas simétricas: la curva de entrada y la curva de salida.
Pensando exclusivamente en
la curva de entrada, parece
lógico pensar que para
solucionar este problema
debiera ser tal que su
curvatura aumente uniformemente según la longitud del
arco recorrido. Esta curva es la
clotoide (radioide, o espiral de
Cornu), cuya representación
gráfica es la de la figura 13.
Se trata de la curva de una
función trascendente, que en
paramétricas
tiene
estas
ecuaciones:
Figura 13. Espiral de Cornu, radioide o clotoide.
t
x = a ∫ cos u 2 du = aC (t ) , con t=s/a,
0
t
y = a ∫ senu 2 du = aS (t ) , con t=s/a.
0
siendo a el parámetro de la curva y s el arco.
La norma ministerial. La norma 3.1-1C sobre trazado de carreteras, de la Orden
Ministerial de 13/09/2001 del Ministerio de Fomento Comunicación y Transporte, al
referirse a las curvas de carretera obliga a adoptar en todos los casos como curva de
transición la clotoide y da una lista de parámetros que se tienen que tener en cuenta en
su trazado (radio de curvatura en un punto cualquiera, longitud de la curva entre su
punto de inflexión -R=infinito- y el punto de radio, parámetro de la clotoide,
característico de la misma, radio de la curva circular contigua, longitud total de la curva
de transición, retranqueo, ...)
En el mejor de los casos, en ingeniería, esta curva se dibuja punteando y enlazando los
puntos dibujados con una planilla, como se desprende del manual de Krenz y Osterloh
(1975), que tras una breve explicación funcional es un cúmulo de tablas numéricas.
Lógicamente, se trata de un dibujo aproximado y la mayor o menor fiabilidad depende
de la habilidad del dibujante. Una vez que la curva se ha dibujado, el encargado de obra
mide sobre los planos, recupera el tamaño normal aplicando el factor de escala y vuelve
a medir sobre el terreno para hacer el replanteo constructivo.
17
La
figura
14
reproduce
la
representación de la curva clotoide tal
y como aparece dibujada en la Norma
13 del Ministerio, y conviene tener
presente que es una orden reciente, ya
que data de septiembre de 2001. Está
tan mal dibujada que a simple vista
parece que es una curva no derivable,
y si se toman medidas de dibujos
como éste y se llevan a la obra, no es
de extrañar que haya curvas tan mal
construidas
que,
incluso
con
conducciones prudentes, sea muy
difícil tomarlas sin peligro.
Cuando el paso instantáneo entre dos
valores de curvatura difiere más de lo
que debieran, o cuando la curva se
Figura 14. Dibujo de la Norma 13 y
cierra demasiado deprisa, se produce
parámetros de la clotoide.
un cambio de dirección demasiado
“brusco” 6, lo que se traduce en una inestabilidad de los vehículos y el consiguiente
peligro de derrapamiento, salida de la carretera o vuelco.
Aquí se describe un procedimiento que permite dibujar una aproximación a la clotoide
con tantos arcos de circunferencia como se consideren necesarios, con un método que
permita reproducir la misma traza, formada por arcos de circunferencia, de forma
exacta, a cualquier usuario que conozca el método. Esta posibilidad se recoge en el
teorema de aproximación y, aunque se haga una demostración del teorema, el propio
método, que es un esquema de prueba inductivo, justifica el teorema. Se enuncia una
matematización del problema descrito considerando que los tramos rectos son
semirrectas.
Teorema de aproximación. Para enlazar dos semirrectas (tramos rectos de carretera) se
puede sustituir la clotoide por n arcos de circunferencias tangentes entre sí, y tales que
las diferencias entre las curvaturas de arcos consecutivos, y las curvaturas mismas, estén
más próximas a cero que cualquier número positivo prefijado.
Proceso constructivo. La figura 15 representa la curva de aproximación de las dos
ramas de clotoide, que anlazan de forma simétrica dos tramos rectos de sendas calzadas
que tienen direcciones perpendiculares. La curva en cuestión está formada por 10 arcos
6
Cambios bruscos en un intervalo, no en un instante, ya que los cambios bruscos en un instante
implicarían que la función no fuera derivable en los puntos de enlace, justo como aparece en el
dibujo de la norma 13.
18
de circunferencia (T0T1, T1T2, T2T3, T3T4, T4T5 y sus respectivos simétricos respecto del
eje O0T, T0T’1, T’1T’2, T’2T’3, T’3T’4, T’4T’5). La figura se ha hecho con CABRI y su
trazado es el siguiente:
0. Si se quieren utilizar 10 arcos se divide al ángulo que formarían los tramos rectos
entre 10 (para n se dividiría entre n). En el caso que reproduce la figura 15
90º/10=9º. Se fija el factor de transformación de los radios de las siguientes
circunferencias. En este caso se ha fijado k=1,5 y, en consecuencia, R1=R0k,
R2=R1k=R0k2, …, R5=R4k=R0k5. Esta última relación permite fijar el último radio y
calcular el factor de transformación.
Figura 15. Aproximación de la clotoide por 10 arcos de circunferencia.
19
1. Se considera el círculo base de centro O0 y radio R=4 unidades (se puede considerar
cualquier otro y/o utilizar la escala edecuada al tamaño de la lámina).
2. Se hace una rotación de la recta O0T0 con centro en O0 y 9º de amplitud. Así se
obtienen el punto T1 y, por tanto, el arco T0T1. Sobre la recta O0T1 tiene que estar el
centro de la segunda rotación, O1, a una distancia R1 de T1, punto que en la figura se
ha determinado con la circunferencia de centro T1 y radio R1.
3. Con centro O1 y radio R1 se traza la circunferencia del segundo arco y su amplitud
se determina mediante la rotación de la recta O1T1 alrededor de O1 una amplitud de
9º. Así se obtiene el punto T2 y la recta O1T2, sobre la que tiene que estar el centro
de la siguiente rotación.
4. Se repite el proceso otras tres veces y al final se obtiene al arco T4T5 que es tangente
al primer tramo recto en T5.
5. Se procede a ajustar el dibujo a los tramos de rectas, que se cortarán por las
respectivas perpendiculares trazadas desde O5.
Una vez que se ha construido la curva de entrada, la curva de salida se dibuja
considerando que ésta es simétrica de la curva de entrada en la simetría axial de eje la
bisectriz O0T0.
La curvatura del primer tramo de la figura 15, el más abierto es 1/20,25= 0,04938272 y
la del más cerrado es 1/4=0,25 lo que evidencia la progresión geométrica decreciente de
las curvaturas y lo que es más importante, el proceso permite controlar los incrementos
de las curvaturas de los arcos.
Demostración del teorema. El radio R0 determina la primera curvatura. Por otra parte,
la diferencia entre dos curvaturas consecutivas de radios R0kp-1 y R0kp es (k-1)/R0kp
(k>1) y el paso del tramo recto al tramo al primer tramo de circunferencia, que se tiene
que construir con radio R0kn es 1/R0kn. Tanto la sucesión de las curvaturas como la
sucesión formada por las diferencias de dos curvaturas consecutivas tienden a cero y,
por tanto, fijada cualquier aproximación positiva de cero, existe un k>1 tal que la
diferencia entre las curvaturas de los dos primeros tramos desde el eje de simetría, (k1)/R0, es mejor aproximación de cero que la aproximación fijada (lo que también
implica que lo sean (k-1)/R0kp, p=1, 2, ...). Por otra parte, es claro que, por sr (Si) k>1
existe un n tal que 1/R0kn también mejora dicha aproximación.
La seguridad de la carretera en las curvas viene determinada por el equilibrio entre la
fuerza centrífuga (Fc=mv2/r) y la fuerza de rozamiento (Fr=ρmg). Siempre que la fuerza
centrífuga sea menor que la fuerza que puede ejercer el rozamiento (lo que implica que
v 2 / r ≤ ρ g ) los vehículos permanecen estables. Pero está claro que la situación más
desfavorable se produce en los tramos de menor radio de curvatura y, por esta razón, se
20
tiene que calcular R0 en función
de la “velocidad de seguridad de
la carretera”. Por otra parte, es
importante comprender que la
tangencia entre arcos de
circunferencia no es suficiente
garantía de seguridad, ya que
para que no haya brusquedades
en intervalos pequeños, hay que
construirlos de manera que la
diferencia de curvaturas sea
Figura 14. Clotoides en los nudos de autopistas
pequeña. Ahora bien, tanto de la
construcción de la curva aproximada como de la convergencia de la sucesión de los
radios se infiere que el tramo de curva en el que se tiene que reducir la velocidad es el
central, pero la curva de entrada que aproxima a la clotoide proporciona una zona de
seguridad de frenado en el que se puede ir reduciendo la velocidad hasta llegar al tramo
circular central, en el que se tiene que entrar con la menor velocidad de la curva, ya que
en este tramo no se debiera frenar. Análogamente, la curva de salida proporciona una
zona de seguridad de aceleración en cuanto que se haya rebasado el primer arco
circular. Curiosamente, el Código de circulación de España, quizás por razones de
seguridad, o porque reconoce que las curvas están mal trazadas, indica que no se puede
frenar en las curvas, que hay que entrar en ellas con el coche frenado. Sin embargo, el
mayor radio de curvatura en la entrada y en la salida proporciona una mayor seguridad a
la calzada.
7. La aceptación de los teoremas. Conclusiones
Como afirma Hanna (1989a), en la aceptación del teorema enunciado es más importante
su significado global que una demostración rigurosa y, en este sentido, la significación
del teorema de aproximación la da el procedimiento constructivo y no las líneas que
preceden a este párrafo, que son las que establecen el teorema. Sin embargo, la clave del
mismo también está en el método constructivo descrito, ya que es allí donde se
construye la sucesión de radios que aporta la solución.
Coincidiendo totalmente con la apreciación de Hanna, sin embargo, lo que da verdadero
significado a los teoremas es la interpretación que se hace de los mismos al
conexionarlos con la realidad, y la significación de ellos es mayor en tanto que las
conexiones son más fuertes. Ahora bien, las conexiones hay que establecerlas en sentido
amplio y, además del significado matemático, hay que considerar tanto los
procedimientos constructivos como los modelos reales. Así, en el teorema de
conservación de longitudes el modelo físico de la catenaria aporta una significación
práctica inmejorable, y en el teorema de aproximación, donde el proceso constructivo es
21
muchísimo más interesante que la demostración del teorema, la conexión con la
seguridad de las carreteras, que en la actualidad es una preocupación social de primera
magnitud en todos los países, proporciona una significación reforzada por el uso, ya que
todos los estudiantes de este nivel son conductores o van a serlo en breve.
Referencias bibliográficas
Ash, A. G. van (1993): To prove, why and how? International Journal Mathematics Education
Science and Tecnology, 2, 301-313.
Asiala, M., Brown, A., Devries, D.J. Dubinski, E., Mathews, D. & Thomas, K. (1996): A
Framework for Research and Curriculum Development in Undergraduate Mathematics
Education. Mathematics Education. (American Mathematical Society). Vol. 6, pp. 1-32.
Blázquez., S. (2000): Noción de límite en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales. Tesis
doctoral dirigida por T. Ortega. Universidad de Valladolid. Valladolid.
Blázquez, S., Ibañes, M. y Ortega, T. (2005): Debates y Entrevistas. Actas del XVI Simposio
Iberoamericano de Enseñanza Matemática. Castellón de la Plana. En prensa.
Blázquez., S. y Ortega, T. (2001): Rupturas en la comprensión del concepto de límite en
alumnos de bachillerato. AULA, Vol. 10, pp. 117-133. ISSN: 0214-3401. Salamanca.
Blázquez, S. y Ortega, T. (2001): Los sistemas de representación en la enseñanza del límite. Vol
4. Nº3, 219-236. RELIME. ISSN: 1665-2436. México DF.
Blázquez, S. y Ortega, T. (2002): Nueva definición de límite funcional. UNO. Vol. 30, pp. 6782. Graó. ISSN: 1133-9853. Barcelona.
Brousseau, G. (1998): Théorie des situations didactiques. La Pensée Sauvage. Grenoble.
Cantoral, R. (2004): Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional, una mirada
socioepistemológica. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. Vol. 17, pp. 1-9.
México.
Cantoral, R. (*): Pensamiento matemático avanzado:
investigación sobre Didáctica del Análisis. Pre-print.
Una revisión a los enfoques a la
Cornu, B. (1983): Apprentissage de la notion de limite: conceptions et obstacles. Thèse de 3ème
cycle, Mathématiques. Grenoble: Université I de Grenoble.
Elliot, J. (1990): La investigación-acción en educación. Morata. Madrid.
Farfán, R.M. y Ferrari, M (2002): Una visión socioepistemológica. Estudio de la función
logaritmo. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. Vol. 15, pp. 61-66. México.
Fischer, E. (1983). Intermediate Análisis. Springer Verlag. New York.
Hanna, G. (1989a): More than formal Proof. For the Learning of Mathematics, 9 (1), 20-23.
Hanna, G. (1989b). “Proofs that prove and proofs that explain”. Proceedings of the 13th
International Conference on the Psychology of Mathematics Education, 45-51. París.
Hanna, G. (1993): Challenges to the importance of Proof. For the Learning of Mathematics,
15(3), 42-49.
Harel, G. y Sowder, L. (1998): “Students’ Proof Schemes: Results from exploratory studies”.
En: Dubinski, E.; Schoenfeld, A. y Kaput, J. (Eds), Research on Collegiate Mathematics
22
Education, vol. III., 234-283 . American Mathematical Society, Providence, USA.
Hopkins, D. (1989) Investigación en el aula. Barcelona: PPU.
Kemmis, S. y McTaggart, R. (1988): Cómo planificar la investigación-acción. Barcelona:
Laertes.
Krenz, A y Osterloh, H. (1975): Curvas de transición en carretera: manual de clotoides para
proyecto y replanteo. Técnos. Madrid.
Ibañes, M. (2001): Aspectos cognitivos del aprendizaje de la demostración matemática en
alumnos de primer curso de bachillerato. Tesis doctoral dirigida por T. Ortega. Universidad de
Valladolid. Valladolid.
Ibañes, M. y Ortega, T. (2001): Un estudio sobre los esquemas de prueba en alumnos de primer
curso de bachillerato. UNO. Vol. 28, pp 39-60. Graó. ISSN: 1133-9853. Barcelona.
Ibañes, M. y Ortega, T. (2002a) “Interpretación de algunas expresiones usuales en los
enunciados de los teoremas”, Quadrante, Vol 10, Nº 2, pp. 97-123. ISNN 00872-3915. Lisboa.
Ibañes, M. y Ortega, T. (2002b): “Reconocimiento de procesos matemáticos en alumnos de
primer curso de bachillerato”.Enseñanza de las Ciencias. ISNN0212-4521, Nº 21 (1), pp. 49-63.
Barcelona.
Ibañes, M. y Ortega, T. (2004): Textos argumentativos. UNO. Vol. 35, pp. 39-52. Graó. ISSN:
1133-9853. Barcelona.
Lezama, J.; Farfán, R.M. (2002): Reproducibilidad de situaciones didácticas. Acta
latinoamericana de matemática educativa. Vol. 15, Tomo 2, pp. 1157-1162. México D.F. ISBN:
970-625-343-2
Pérez, G. (1994): Investigación cualitativa. Retos e interrogantes. Madrid: La Muralla.
Ministerio de fomento (2001): Norma 3.1-1C sobre trazado de carreteras. Orden Ministerial de
13/09/2001.
Puig, P. (1980): Curso de Geometría Métrica. Gómez Puig Ediciones. Madrid.
Robinet, J. (1983): Un experience d´ingenierie didactique sur la notion de limite de fonction.
Recherches en Didactique des Mathématiques, vol 4.3, 223-292.
Sierpinska, A. (1985): Obstacles epistemologiques relatifs a la notion de limite. Recherches en
Didactique des Mathématiques, vol 6.1, 5-67.
Tall, D. y Vinner, S. (1981): Concept image and concept definition in Mathematics with
particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Math, vol 12, 151-169.
Van Ash, A.G. (1993). “To prove, why and how?”. International Journal Mathematics
Education Science and Technology, 2, 301-313.
Villiers, M. de (1993): “El papel y la función de la demostración en matemáticas”. Épsilon, 26,
15-30.
Vinner, S. (1991): The Role of Definitions in the Theaching and Learning of Mathematics. En
Tall, D. (ed.), Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer, 65-81.
23
ANEXO
La imagen que se presenta está escaneada de Puig (1980).
24