es un espacio topológico difuso y - Sistema de Bibliotecas de la

UNIVERSIDAD DE PANAMA
VICERRECTORIA DE INVESTIGACION Y POST-GRADO
PROGRAMA DE MAESTRIA EN MATEMATICA
EXTENSION DEL TEOREMA DE TYCHONOFF Y
DE LA COMPACTIFICACION STONE-1ECH A LA
CATEGORIA DE LOS ESPACIOS TOPOLOGICOS DIFUSOS
Por
Jorge Eliezer Hernández Urieta
Tesis presentada como uno de los requisitos para
optar por el grado de Maestro en Ciencias con
Especialización en Matemática
Panamá
1981
UNIVERSIDAD DE PANAMA
"1.141.
Aprobado por:
Director de Tesis
,-)
• ////'
Miembro del Jurado
/ LTOrge
://
Rojo iPh. D.
PT
/Y74,,7-15
Miembro del Jurado
Arsenio Cornejo M.Sc.
_
Fecha
Ciudad Universitaria "Octovio Méndez Pereira"
ESTAFETA UNIVERSITARIA
PANAILA, R. DE P.
cfc:
DEDICATORIA
1V
A mis padree, Elena y Teodoro HernAndez, que
con amor cultivaron en mi el deeeo de superación
a mis hermanos que me apoyaron en todo momento e
mi esposa, Edith, que con paciencia y amor me mien
tó a lo largo de mi camino dedico Este mi trabajo
de graduación
AGRADECIMIENTO
"3.
Queremos extender nuestro mes sincero reconocimiento al Profesor, José Redtegui, por su dedicación,
apoyo y asesoría a mis amigos, que de una manera u
otra han contribuido a le culminación de este trabajo
de graduación
INDICE GENERAL
Página
INTRODUCCION
CAPITULO I
xl
NOCIONES PRELIMINARES
1
Conjuntos Difusos
2
2
Puntos Difusos
3
3
Operaciones y Relaciones
3
4
Topologias Difusas
4
5
Ejemplos de Espacios Topolágicos
Difusos
5
6
Bases y Sub-bases
6
7
Vecindades
6
8
Quasi-Coincidencia
6
9
Q-Vecindades
7
10
Interior
Adherencia
Punto de
Acumulacifin
CAPITULO II
8
11
Espacios Hausdorff
10
12
Sub-espacios
10
13
Funciones Generalizadas
11
14
0-Continuidad
13
15
p(-Compacidad
13
TOPOLOGIA INICIAL Y ULTRA-COMPACIDAD
1
Topología Inicial
16
2
Ultra-Compacidad
26
3 Ultra-Hausdorff
30
1X
Página
CAPITULO III EL TEOREMA DE TYCHONOFF
ULTRA-
COMPACTIFICACION STONE-CECH
CAPITULO IV
BIBLIOGRAFIA
1
El Teorema de Tychanaff Difuso
35
2
Densidad
39
3
Ultra-Campactificacián Stane-
Ultra-Densidad
lech
42
CONCLUSIONES
49
54
INTRODUCCION
X1
El trabajo que a continuación presentamos se fundamenta
en la teoría de lo difuso
Esta teoría, introducida por
L A Zadeh [12], generaliza la noción de conjunto ordinario
y tiene una visión más amplia de aplicación particularmente
en el campo de patrones de clasificación y procesos de información
Siguiendo los delineamientos de R Lowen [5-7] y H W
Martin [S] demostraremos el teorema de Tychonoff y el teorema
de ultra-compactificación Stone-Eech, y hacemos un estudio de
los funtares 1 y 1 que relacionan las categorías de los espacios topológico° y de los espacios topológico° difusos
Este trabajo se ha desarrollado a través de cuatro capítulos
En el primero se dan las nociones preliminares, en el
cual se define la que es un conjunto difuso topología difusa
bases y sub-bases vecindades, Q-vecindades interior, adherencia y punto de acumulación de un conjunto difuso, espacios
de Hausdorff subeapacios funciones generalizadas funciones
D-contínuas y 0C-compacidad además se dá una caracterización
de los conjuntos abiertos a través de Q-vecindades
En el
segundo capítulo nos dedicamos al estudio de la topología inicial i(r) de un espacio topológico difuso (XX), la ultracompacidad y los espacios topológicos difusos ultra-Hausdorff,
además dado el espacio topológico (X,11L) y el espacio topológico difuso (X 1 1:) se caracteriza la topología 1(r) y se estudian las relaciones entre
n
i(weki. ))
yr,
w(len)
En
X11
el tercero estudiemos la densidad y la ultra-densidad, y demostramos el teorema de Tychonoff y construimos la ultra-compactificación Stone-Eech de un espacio topológico difuso
(X,25) talque (X,i(t)) es Tychonoff, que son los temas princiaples de nuestro trabajo
En el cuarto capítulo presenta-
mos las conclusiones, en el cual hacemos ver que la categoría
de los espacios topológicos es una sub-categoría plena de le
categoría de los espacios topológicos difusos
Los métodos de investigación seguidos en esta tesis son
los mismos que se siguen en la matemática no difusa, puesto
que se demuestre en la lógica de lo difuso que ambos métodos
son iguales
CAPITULO I
NOCIONES PRELIMINARES
- 2 -
En este capitulo presentamos les definiciones y resultados mós importantes de la teoría de los conjuntos generalizados o de Zadeh y de la topología de lo difuso, los cuales uti
'izaremos en el desarrollo de nuestro tema Para tal propósito, X denota un conjunto (ordinario) no vacío, I el intervalo unitario [0,1] equipado con la topología usual
tI e
Ir
es I equipado con la topología
tr
1
.
{
c«, 1]
Dado un conjunto X, a toda función A de X en I se
le llama conjunto difuso en X o conjunto generalizado a conjunto de Zadeh
A la familia de los conjuntos difusos en X
se le denota por G(X)
Para todo xe X, A(x) es llamado el
grado de pertenencia de x en A
El conjunto ixeX A(x)>O 1
es denominado el soporte de A y ae denota sop(A) o A o
Si
A toma solamente los valores 0,1 (o sea A es una función característica), A ea llamado conjunto crispado
Particularmen
te el conjunto crispado que toma el velar 1 en X es denotado
por X y el conjunto crispado que toma el valor 0 en X ea deno
tado por 0
Con el fin de simplificar la escritura y de no causar
confusión, adoptaremos la siguiente convención, como es sabido
todo subconjunto de X determina una función característica y
viceversa, o sea que existe una correspondencia biunivoca entre los subconjuntos de X y las funciones características de
X (o conjuntos crispados en X), por consiguiente considerare-
- 3 -
mos todo subconjunto de X como un conjunto crispado y videversa.
2.
Un conjunto difuso en X es llamado punto difuso, si
y solo sí, toma el valor O para todo yeX excepto para un
solo punto x E X. Si el valor para x es
X (o<x‘i)
denota-
mos el punto difuso por x x. , donde el punto x es llamado el
soporte de este. Si
1 el punto difuso >c es llamado pun-
to crispado.
Un punto difuso x 7, se dice que está contenido en un conjunto difuso A, o que pertenece a A, y lo denotamos por X x E A,
si y solo si, X=.5.1A(x).
Operaciones y Relaciones.
3.
a.
Sea J un conjunto de índices, y sea
jEJ} una familia de conjuntos difusos en X. En-
n
tonces la unibn U A. y la lntersecci6n
A son definidas
jeJ j
il3 j
respectivamente, por las f6rmulas siguientes:
( u
jEJ
A . )(x) = sup
( (\ A )(X) = inf
jEJ
A (x) : j J , para todo
X C X,
j
A (x) : j J , para todo x E X
j
b.
El complemento de A, denotado por Ay, es defi-
nido por la f6rmula siguiente:
'(x) = 1 - A(x),
c.
para todo x E X
Dados los conjuntos difusos A y B, diremos que
A est5 incluido en B, y lo denotaremos AcB, si y solo si,
- 4 -
P1(x)B(x) para todo x E X.
d. Dos conjuntos difusos A y 8 en X se intersectan, si
y solo si, existe un punto x E X tal que (A n B)(x)
0.
De las definiciones anteriores se obtiene la siguiente
ley, de De Morgan's:
( U A j€3
4.
)
1=
n
A
•
jeJ
Una familia sede conjuntos difusos en X es llama-
da topología difusa sobre X, si y solo si, satisface los siguientes axiomas:
r
T.1 0,X e
Ana e t para todo A l B e
T.2
T.3 U A .
j
donde A j et'y J es un conjunto de
.3
indices.
El par (XX) es llamado espacio topolhico difuso. Todo miembro de
r
es llamado conjunto difuso abierto. El com-
plemento de un conjunto difuso abierto es llamado conjunto
difuso cerrado.
Sean t7:1 y e2 dos topologias difusas sobre X. Si
e 1 C1 152' entonces diremos que '11-:2 es más fina que
't i es más gruesa que ' 22.
o
En este trabajo (X,e) puede representar un espacio topo16gicu ordinario o un espacio topolágico difuso, por consiguiente utilizaremos las frases espacio topol6gico y espacio
topolágico difuso, respectivamente, para diferenciar los con-
- 5 -
ceptos
5
Ejemplos de espacios topológicos difusos
a Dado un conjunto X, la familiar:40,X} es
una topología difusa sobre X llamada topología difusa caótica
El par (X,r) es un espacio topológico difuso, llamado espacio topológico difuso caótico
b
Consideremos el conjunto X y la familia
/:el +66(X) A es crispado } de conjuntos difusos en X,
entonces td ea una topología difusa sobre X, que la llamaremos topología difusa discreta
El par (X,2114 ) recibe el nom-
bre de espacio topológico difuso discreto
c
Para todo conjunto X, la familia rud = G(X) es
una topología difusa sobre X, que la llamaremos topología
difusa ultra-discreta
El par (X e rud) recibe el nombre de
espacio topológico difuso ultra-discreto
d
re. tA «un
Dado un conjunto X y la familia
A es constante} de conjuntos difusos en X,
entonces el par (X,r) es un espacio topológico difuso
e
Sea (X 1 r) un espacio topológico
Consideremos
la familia
w(t) =(AEG(X) A es 1.-1; semicontinua inferiarmentelde
conjuntos difusos en X, entonces w(t) es una topología difusa
sobre X
El par (X,w(r)) esullamado espacio topológico difuso
inducido por (X,15)
-6-
6
familia 15
Sea (XX) un espacio topológico difuso Une subde r es llamada base de t, si y solo si, pare
ceda Aerexistep Pt1 C:75 tel que A = U 8 Une subfamille
Be PA
i/cItes une sub-bese de
r,
si y solo el, le familia de to-
das les intersecciones finitas de elementos de Les une bese
de re
7
Sea (X,r) un espacio topológico difuso
Un conjun-
to difuso A en X ea llamado vecindad del punto difuso x a 9 si
y solo si, existe Bertal que x a €13c A
Le familia de todas
lee vecindades de x a es llamado el sistema de vecindades de
x a 1 y se denote 1313/71a
De la definición anterior Be deduce fAcilmente la alguien
te proposición
Proposición 1 7 1
Un conjunto difuso A es ablerto r si y solo
si, es vecindad de ceda uno de Bus puntos
8
Se dice que un punto difuso x a es quesi-coincidente
con A, y se denota x a q A, si y solo 21,2L+A(x):›1
Un conjun-
to difuso A es queei-coincidente con 8, y se denote por A ga y
si y solo si, existex EX tel. que A(x) + B(x)>1
De estas
definiciones se deduce un resultado muy importante que lo expresaremos en le siguiente proposición
Proposición 1 8 1
[9] Ac:B, al y Bolo si, A y
no son
quesi-coincidentes, particularmente, x a c A,
Ea y solo el, x a no es qua:id-coincidente con A'
-7-
9
Sea (X,r) un espacio topológico difusa
Un conjun-
to difuso A en X es llamado Q-vecindad del punto difuso x a , si
y solo si, existe Bettal que x a q Bc:A
es abierta, si A es abierta
Una Q-vecindad A
La familia de todas las Q-vecin-
dades de x a es llamado el sistema de Q-vecindades de x a , y se
denota por Q x a
Se puede observar que, en general, una Q-vecindad de un
punto no contiene a dicho punto, como lo muestra el siguiente
ejemplo
Ejemplo 1 9 1
Consideremos el espacio topológico difuso
(X,15) de 5-d, donde X = I
Tomemos el
conjunto difuso A en X definido par
A
X
A(x) = 1/2, para todo x e X
es claro que A es Q-vecindad de x 3/4 (x = 1/2) puesto que
3/4 + A(1/2)>1 y Per sin embargo x 3/4 # A, puesto que
A(x)<3/4
A continuación presentaremos una proposición que caracteriza los conjuntos difusos abiertos en termino de Q-vecindades
Proposición 1 9 1
Un conjunto difuso A es abierto, si
y solo si, es Q-vecindad de todos loa
puntos con los cuales él es quasi-coincidente
Demostración
La condición necesaria es obvia
dición suficiente Sea x aCA y sea
ir,
Mostraremos la conentonces x 1-y q A,
- 8 -
por consiguiente existe un abierto U tal que x
q Up cA l de
donde se tiene que &slip
Sea U x
U U entonces U
x,
- Itc l
es un abierto y x A CU xx c:A por consiguiente A = xl
UxA
y A es abierto
yA
10
Interior
a
Adherencia
Punto de Acumulación
Un punto difuso x x ea un punto interior de un
conjunto difuso A, si y solo si, A es una vecindad de x A
A
la unión de todos loa puntos interiores de A se le llama interior del conjunto difuso A, y se denota A °
Al igual que en la topología general resulta que A ° es
el mayor abierto contenido en A, por lo tanto (A ° ) ° . A o
b
Un punta difuso x A es un punto adherente de un
conjunto difuso A, si y solo si, toda Q-vecindad de x A es quasi-coincidente con A
A la unión de todos los puntos adheren-
tes de A se le llame adherencia de A, y se denota
A
Como en la topología general, obtenemos aquí tambifin,
que
A
es la intersección de todos loe conjuntos difusos cerra-
dos que contiene A, por lo tanto
c
A . A
Un punto difuso x A es un punto borde de un con-
junto difuso A, si y solo si o xli C Ang,
La unión de todos
los puntos bordes de A es llamado el borde A, y se denota
e(A)
Así pues
g cA = A
n
En la topología general Be cumple la igualdad
A . ALPS(A),
mientras que aquí solo se cumple AUS(A)c:g como se muestra en
la proposición y en el siguiente ejemplo
- 9 -
Proposición 1 10 1
AUS(A)CA
Demostración
AL) S(A)
= Avotrun)
= (AlJA)n( A llA1 )
. Ar1(AVP)
por lo tanto Alhg(A)cA
Ejemplo 1 10 1
En este ejemplo probaremos que
A4Al4(A)
En efecto, consideremos el
espacio topológico difuso (X,r) de 5-d, donde X = I
Tomemos
el conjunto difuso A en X definido por
A X —b-I
1/2 si x 1 1
A(x) .
1 si x = 1
entonces A . X y AUS(A) . A, pero X 1 A, por consiguiente
A
st AVS(A)
d
Un punto difuso x x es un punto de acumulación
de un conjunto difuso A, si y solo si, >c i es un punta adheren
te de A, y toda Q-vecindad de x x y A son quasi-coincidentes en
un punto diferente de x si x xeA A la unión de todos los puntos de acumulación de A se le llama el conjunto derivado de A,
y se denota A d
Evidentemente d De las definiciones de punta adherente y punto de acumula
ción, se deduce que A «. Al)A d por consiguiente, podemos afirmar que los puntos difusos de A que no pertenecen a Al)S(A)
son loe puntos de acumulación de A que no están en A
Así podemos enunciar la siguiente proposición que nos
caracteriza los conjuntos cerrados a través de sus puntos de
acumulación
Propoeición 1 10 2
[9] Un conjunto difuso A es cerrado, si y solo
81,
contiene todos
sus puntos de acumulación
11
Un espacio topológico difuso (XX) es T 2 (Hausdorff),
si y solo si, para cada par de puntos difusos xa , yr con
x 1 y, existen Q-vecindades U y V de x a e yil , respectivamente,
tales que unv . 0
De esta definición y de la definición de punto de acumulación se deduce que si (X,r) ea un espacio topológico difuso
T 2 , entonces todo punto de acumulación de un punto difuso
en cx,r) ea de la forma x a (»kg
12
Sea (X,/5) un espacio topológico difuso y Y un con-
junto crispado de X, entonces la familia
ty = ( A/y
Rey
15v
definido por
}
que es obviamente una topología difusa sobre Y, es denominada
la topología difusa relativa, o la relativización de te Y
Tal espacio topológico difuso ( 11,15 y ) es llamado subespacio
de (X,15)
Con el fin de no causar confusión y de simplificar la exposición, adoptaremos las siguientes convenciones
a
Para referirnos al subespacio (Y ery ) omitiremos la
topología relativa
b
ty y simplemente diremos el subespacio Y
Un conjunto difuso A en Y es considerado como un
conjunto difuso en X en el sentido que A tome el valor O en
X-Y
Inversamente, un conjunto difuso en X que toma el valor
O en X-Y es considerado como un conjunto difuso en Y
c
Para cada conjunto difuso A en el subespacia ( 11,15y ),
le adherencia de A con respecto a ty y tson denotadas por
AY y , respectivamente
De la definición de topología relativa y de los conceptos
de complementeción y Q-vecindad obtenemos la siguiente proposición
Proposición 1 12 1
[9] Sean (Y e t:0 un subeapacio del
espacio topológico difuso (X,r) Y
A un conjunto difuso en Y entonces
a
A est Y-- cerrado, si y solo si, existe un conjunto
difuso r--cerrado B tal que A = B/ y
b
Un punto difuso yll en Y ea un punto de acumulación
de A con respecto a
ry ,
si y solo si, yx es un punto de acu-
mulación de A con respecto a
c
r
Av . v(lA x
d
A est --abierto,
si y solo si, existe un conjunto
Y
difuso r--abierto B tal que A = B/ y
13
Funciones Generalizadas
Sea f
X---10.-Y una función
Para cada conjunto
difuso A en X definimos el conjunto difuso f(A) en Y mediante
- 12 -
la fórmula
xEf -1 ((y))} si f -1 (1y)) ‘ 0
sup{A(x)
f(A)(Y) =
si fes 1 ((y)) . 0
O
De igual manera, para un conjunto difuso B en Y definimos
el conjunto difuso f -1 (6) en X mediante la fórmula
-1
f (6)(x) = B(f(x)), para todo x E X
De las definiciones anteriores se obtienen las siguientes
propiedades
Propiedades [iO] Sea f
X---4-Y una función y sean A y
E conjuntos difusos en X e V respectivamente
entonces
Ac:f -1 (f(A))
f -1 (f(A)) . A, si y solo 81 1 para
todo y e Y se tiene f -1 ((y)) 1 0 y A es una función constante
a
en
b
f(f - 1 (B))CB
f(f -1 (6)) = El l si y solo al,
sop(6) C f ( X)
c
Para cada punto difuso x % en X, f(x x) es un punto
difuso en Y y “W = (f(x))7 4
d
f(A)C6, si y solo si, AC:f -1 (8)
e
Sea (Mil jej una familia de conjuntos difusos en X,
entonces f( k) A ) = L) f(A )
je.) J
jEJ
J
f
Si A y B son conjuntos crispados, entonces f(A) y
f -1 (5) son conjuntos crispados en V y X, respectivamente
Además f(A) coincide con el conjunto crispado
- 13 -
3x E p, f(x) = y}
{ y€ y
de Y, y f -1 (B) coincide con el con-
junto crispado.
xe X : f(x)E B} de X.
14.
Sean (X,e) y (Y,11) dos espacios topol6gicos difu-
sos y f :
una funci6n; la funci6n f es llamada contí-
nua difusa o D-continua, si y solo si, pare todo Bell
-1
f (8)er. La funci6n f es llamada homeomorfismo difuso o
D-nomeomorfismo, si y solo si, f es biyectiva y tanto f como
-1
f
son D-contínuas.
Proposición 1.14.1:
[10] Sean (X,e) y (Y,11) dos espacios topol6gicos difusos y
una funci6n; las siguientes propiedades
f :
son equivalentes:
a.
f es D-contínua
b.
Para cada A 1k—cerrado f -1 (A) es r--cerrado
c.
Para cada miembro V de una sub-base 11 de 'U
-1
f (V) es r--abierto.
d.
Para cada punto difuso x 7, en X y para cada Q-vecindad V de f(x) 1 , existe una Q-vecindad U de x x tal
que f(U)C=V.
e.
Para cada conjunto difuso A en X, f(5) C: f(A).
f.
Para cada conjunto difuso 6 en Y,
=7---
-
f (B) Cr f (B)
-
15.
0(-Compacidad.
Una familia 3' de conjuntos difusos en X es llamada
- 14 -
o(-cubrimiento de X, si y solo si, para todo )(EX existe
AE
y
tal que A(x)>0( Un c(-cubrimiento 11 de un espacio to-
pológico difuso (X,r) se dice que es abierto si
Sean M(0(<1 y (X,r) un espacio topológico difuso
(X,r) es o(-compacto, si y solo si, todo o(-cubrimiento abierto 31 de X posee una subfamilia finita que es un o(-cubrimiento
de X
CAPITULO II
TOPOLOGIA INICIAL Y ULTRA-COMPACIDAD
- 16 -
1
Topología Inicial
Definición 2 1 1
Sea (X,15) un espacio topológico difuso, entonces 1(15) denota la topo-
logia más pequeña (menos fina) sobre X que hace todos los
miembros de
r
,
semi-continuas inferiormente
Consideremos el espacio topológico (I r ,151,), luego para
todo AE
r,
A X —4- (I r , rr )
De la topología general sabemos que existe una topología
sobre X, que la denotaremose(15), que es la topología más pequeña sobre X que hace los miembros de le, S(t)—er continuos
S(r) recibe el nombre de topología inicial sobre X,
inducida por la familia {X , I r'
Proposición 2 1 1
15Piar}
Sean (X,r) un espacio topológico y
A
X---1,-I una función
Entonces
Aew (I:), si y solo si, A es r-r x. continua
Demostración
Recordemos que
a(15) = { AEG(X) A es 1::- r I eemicontinua inferiormente}
Supongamos que Ae w(r)
Sea Uerr (U W 1), entonces
existe c(eI tal que U = (o( , 1] ,luego como Aeiw(15) se tiene
que A -1 ((o(, 1] )Er. Si U = 1, es obvio que
ri(u)er
Por
consiguiente A es 1: -1171. continua
t._ t r
Recíprocamente Supongamos que A es
Sea C<EI, entonces (o( , 1)err , luego A -1 ((a(
consiguiente A E w(r)
continua
, li)er
Por
- 17 -
Proposición 2 1 2
Sea (X,T5) un especia topológico
difuso
Entonces 8(t5) = i(T5)
Demostración
Solo tenemos que probar que 1(5) ea la topología
inicial sobre X inducida por la familia {X,I r ,Vro r } En
efecto
Sea ACt, entonces RE w(i(V)), luego por la crocoalción 2 1 1, A es
i(e) -Pe r
continua
Sea fri una topología sobre X que hace todos loe
miembros de se
r continuos Sea Per, entonces A ea
- Cr continuo, luego por la proposición 2 1 1, AEw(el)
Pero i(t) es la topología Me pequeña sobre X que cumple esta
condición Por lo tanto i(e)cri
Así, por (1) y (ti) se tiene que i(r) es le topología
inicial sobre X inducida por la familia (X,I re tr ,25} o sea,
1(e) = (r)
Observación
Como
={A -1 c(, 1]) AEr,c(EI)
es une sub-base de la topología 8(V) y 8(15) = i(t), resulte entonces quer es une eub-base de l(e)
Proposición 2 1 3
Sea (X,r) un espacio topológico difuso
Entonces, pera cada «E[0,1)
la familia i sc(r) ={A -1 ((oC,1] )
sobre X
AEr} es une topología
Demostración
1 Como 13,XC et Y 0-1 ((«, 1] ) = 0 1
se tiene que 0, X e i ce (in
o B n Eli ce ( lin o entonces existen
-1
A l „A n et tales que B l = A l ((2( 9 1]) para todo 141:14:n
n
n
n
Luego
A1) -1 ((c(,1])
1=1
1=1
1=1
n
n
B e is (t)
A, Etto se tiene que
Como
1=1 ^
-%
1=1 1
ii Sean B lo
n e, = n Ar ((c(,1]) . ( n
n
n
iii Sean (B i l je una familia de elementos de
lig an o entonces para cada je.) existe A erial que
a])
B = A 1
J
t.)
Luego
1
Aí ((cc ,l]) =
=
.S3
(3
A ) -1 ((o( o 1])
je.] .1
Como U A Cr, se tiene que (,j B ea at (15)
jeJ
Jet] I/
Así pues, de (i), (ii) y (iii) se tiene que 1,4(15) es
una topología sobre X
Proposición 2 1 4
Sean (X o t) un espacio topológico
difuso Entonces i(r) = suP l at en
«40 1 1)
Demostración
Recordemos que la familia
=i11 -1 ((c4,11)
Act o o(CI1
es una sub-base para la topología i(t) sobre X
i Como loc (t)C151 se tiene que 144 (15)Ci(r) para
todoc<C(D o l) por consiguiente
- 19 -
sup
i ct (t)ci(r)
o(s[0,1)
ii ComorC
y
idee),
se tiene que
de o,i)
len c
BUP
lotee)
c(e[0 1 1)
Así de (a) y (ii) obtenemos que
s(r) =
sup
ice(t)
o(C10,1)
Proposición 2 1 5
Sean (X,C) un espacio topológico y
o(C10,1), entonces 2. 0( (w(r))
=r,
y
par consiguiente i(w(r)) =t.
Demostración
Como i(w(T5)) es la topología WEB pequeña sobre X
que hace los miembros de w(t) semicontínuos inferiormente,
y
r
hace loa miembros de idee) semi-continuos inferiormente,
entonces i(w(r))Cr Luego como i(w(r))Ci(w(r)), Be
tiene que 2. 4 (w(r))Cr para todoo(E[0 1 1)
Recíprocamente Sea Aer, entonces A ea un conjunto
crispado en X y RE w(r), por consiguiente
-1
A
-1
para todo 0(e(0,1)
((o( ,11) .. A, AC i
reciat(wee))
Pero como
para todo4C(0,1)
Luego
para todo o(C10,1)
Así pués, 1 4 (w(t)) =
r
para todo «C10,1)
Como i(w(r)) = aup
1„e (t) y lac (w(t)) rt , se tiene
«C[0,1)
que
1(w(r)) =
fe
- 20 -
Proposicidn 2 1 6
Sea (X 15) un espacio topol6gico
difuso Entonces rew(i(r))
Demostraci6n
Seis Reit:, entonces A es i(T:)-t 1 Bemicontinua inferiormente, por lo tanto Actd(i(t))
Ejemplo 2 1 1
Así
e= wci(r),
Consideremos el espacio topológico difuso
(XX) de 5-d, donde X = I Entonces ea
claro que 1« (ti) = {0 1 X} para todoceE[0,1), por consiguiente
l(c) =
1,( 1C) = (09X}
SUP
0(C(:hl)
Luego
wci(t)) =t;
Ejemplo 2 1 2
Sea X = X 1 U X 2' donde X1 . (0,1) y
Pare cada XII, I definimos
X 2 = (2 ' 3)
el conjunto difuso C x ,r, en X por
cAfp
X —411-1
si xEIX 1
C Mips (x)
fl si x (IX 2
Es claro que la familia
={ X,0, C 2/3,0' CO,2/3 4 2/3,2/3 I
es una topología difusa sobre X Ademó° Be tiene que
i d (t) .10,x,x 1 ,x 2 }
Si
o(<2/3, e i
(t) (0,x }
- 21 -
si 0(.1'32/3 par consiguiente i(r) .(0,X,X 11 X 2
Luego w(1(2:)) =
C ilj
1,3 E 1}
Así pues,
c w(ien)
í
Sean (X,r) un espacio topológico
Proposición 2 1 7
difuso y F un conjunto crispado en
X Entonces
1(7: F ) = 1(15) F
Demostración
Una sub-base para la topologia i(r) F sobre F es
70 1
n
B -1 ((t< ,
)
Bese , ate I}
y una sub-base para la topologia i(t- F ) sobre F es
/1 2 ={ 11-1 ((« r 1 ])
VErF , del}
Mostraremos que 15 1 = ); 2
Sea ACT1 ' entonces existen BEe y OCEI tales que
A = F
n B-1 ((«
= xe F
)(Cr ((a( 1 1])
.{x€F
13(x)>01}
1
= (B/F ) - (05(,1])
Luego como 0/F ET14, se tiene que Acer 2 Así 11 1 C:11 2
Sea AET2' entonces existen VEr ; y 0(EI tal que
- 1 ((e‹, 1])
A = V
Como Ver" existe Be se tal que V = B/ F
Luego
- 22 -
A = V -1 ((c( ,l])
. (13/ ) -1 (( 0(41)
F
.. (xeF
13(x)>0( }
= {xeF
x e 8 -1 ((o( ,1]) }
n 0 -1 ««,1])
=F
Por consiguiente, Ae lp 1
Así'
Hemos probado así, que ri
=? 2
2 c'
1
Por lo tanto
1(tr ) = i(r) F.
Proposición 2 1 8
Sean (X,r) un espacio topológico
difuso y ø(€(O,1)
es 11-compacto, si y solo si, (X ,i
(c))
Entonces (X,r)
ea compacto
Demostración
Supongamos que (X,r) es un espacio topológico difuso o(-compacto
Sea % un cubrimiento abierto de (X l i ci (t)),
luego %Ciec (r) y X= UH Comoteicc(t), Para cada H e ID
He%
existe A C
H
r
tal que H = A -1 ((a( ,1]) por consiguiente
H
X = U A -1 ((o( ,1])
Sea x E X I entonces existe He% tal
He% H
-1
que x e A (( o( ,1] ), por lo tanto A (x)>0( o sea, la familia
H
H
{A
H
Het} es un col-cubrimiento abierto de (X,t)
(X,t) es o(-compacto, existen H 1 ,
lie { A
H1'
'
A
} es
u
Hn
Como
,H n E I tal que la fem.-
n «-cubrimiento abierto de
(x,r)
Sea x E X, entonces existe un 3, 14 aggn, tal que, A H (x)>C<
.3
- 23 por lo tanto x e A -1
Hj
((o(,1]) = H j
o sea, le aubfamilia {H l ,
Así pues x = U H
j=1
w hi n } de RjÇJes un cubrimiento de
X, lo que demuestra que (X,14(1:)) es compacto
Supongamos ahora que (X,1,4 (1:)) es un espacio topológico
compacto
Sea
ti
un c(-cubrimiento abierto de (X 1 15), enton-
ces para todo x E X existe A ell tal que A(x)>o(, o sea,
xt A -1 ( (o( 9 1]) por consiguiente X 74 U A -1 ((c( el) y
Adj
A-1((o(,1]) E 14(1t)
Por lo tanto la familia
W ={. 11 -1 ((c( 9 1])
es un cubrimiento abierto de
Como (X, 14(15)) es compacto, existen
,A n ell tales que X = U A,-1 ((o(,1])
Sea x E X, enj=1 d
(X, 141(1n)
Al ,
tonces existe un j, 141.341n tal que x(EAí 1 ((o(,1]), o sea
Así pues la subfamilia {A ll
,A n 1 de
11
es un
d(-cubrimiento de X Lo que demuestra que (XX) es o(-compacto
Corolario 2 1 1
Sea (X,15) un espacio topológico difuso
Si (X, i(15)) es compacto, enton-
ces (X,15) ea o(-compacto para todoo(e(0 1 1)
Demostración
Supongamos que (X, 1(1:)) ea compacto
Entonces
como 14(15)C: i(15), resulta que (X, 14(15)) es compacto para
todoo(Et0,1)
Luego por la proposición 2 1 S, (X,15) es
oil-compacto para todoo(e[0,1)
- 24 -
Podemos observar que la inversa del corolario anterior
no es cierta, como lo muestra el siguiente ejemplo
Ejemplo 2 1 3
Sean X = I y
Z5
la topología difusa sobre
X generada por la familia
{ X{01} u {A E S(X) A es conatante}u{ A e G(X) D<A(x)<x
Yx e (0,1 y A(D) = o}
Entonces es obvio que para todo o( , 0<o(<1, l ac (e) está
generado por la familia
{ {o},
xM
ecx Bc(cit e
l}
e
l o an =(0,x, Oh (0,1}
Por lo tanto, pare todo o( , 0414 <1, (X,
4-compacto Sin embargo, como
lcre, =
i d (r)) es
la ec, es
aup
o( El O y 1 )
topología discreta sobre X, (X,i(15)) no es compacto
Proposición 2 1 9
Sean (X,15), (Y II) das espacios
topológicos difusos y f
una función
f
Si f es D-continua, entonces
(X, i(15))---4B-(Y, i(tt)) es continua
Demostración
Una sub-base para la topología lea) es
13 = { A -1 ( (a( ,1])
A Cli, 46 I }
Sean A E ta y 4E', entonces
X ---.-Y
la
- 25 f -1 (A -1 (o( ,1])
x E X
f(x)e A -1 ((a(
A(f(x))> CC }
1
X f - (A)(x)>41
=
[f
-1 (A)]-1 ((at
ol )
Como AEll y f es D-continua, f -1 (A)Ers, por consiguiente
[f -1 (A)] -1 ((cl,1])
Así f es continua
i(t)
Podemos observar que, en general, la inversa de le proposición anterior no es cierta, como Be ilustra en el siguiente
ejemplo
Ejemplo 214
11= (A eG(X)
Sean X=Y=Iy
A es constante)
r=tA n G(X) A n (x) =n
y:-
x e X, linEIN}U{ 0,X)
Es claro que ()C o re) y (Y,11) son espacios topológicas
difusos
Consideremos la función identidad f
X---›-Y
Sea AEll donde A(y) = 1/ 3 pare todo y E Y, entonces
1 = A(f(x)) = A(x), para todo x E X, o sea
f -1 (A) = A, par lo tanto f -1 (A)Itry f no es D-continua
Sin embargo, como len
1
0,X1 y 1(11) ={
0,Y} son les
topologies caóticas de X e Y respectivamente, Be tiene que
f es
i(e)-.(11)
continua
- 26 -
Proposición 2 1 10
Sean (XX), (Y,Ii) das espacios
topológicos y f
ción
Entonces f es
/5-11,
X
Y una fun-
continua, si y solo si, f es
w(t)—w(21) 0-continua
Demostración
Supongamos que f es I:-11 continua
entonces A
es
luego como f
A o f
IL-rt, I
X t Y ea
r-u.
Sea /le w(1a),
semicontinua inferiormente,
continua, se tiene que
X---..-I es r-151 semi continua interiormente, o sea,
A o few(e)
Como A o f = f -1 (A), f -1 (A) ew(t)
Así f es
w (25)-w(11) continua
Supongamos ahora que f es wre)-w(1l) D-continua
Entonces por la proposición 2 1 9, f es i(w(r))-1(w('a))
continua, pero como i(w(e)) =te i(wet1)) =11 f es
- tl.
2
es continua
ULTRA-COMPACIDAD
Definición 2 2 1
Sea (X 1 r) un espacio topológico difuso
Diremos que (X,25) es ultra-
compacto, si y solo si, (X, L(C)) es compacto
Proposición 2 2 1
Sea (X I I:) un espacio topológico difuso
Si (X,25) es ultra-compacto,
entonces (X 1 15) es 4-compacto para todo clUS[0,1)
Demostración
Sea (X,IZ) un espacio topológico difuso ultra-com-
- 27 -
pacto, entonces (X,i(/5)) ea compacto, luego como
i « ene: l(e) para todocie(0,1), se tiene que (X v i at Ce))
es compacto, entonces por la proposición 2 1 8, (X I /5) es
o(-compacto para todo c(6(0 1 1)
Podemos observar que le inverso de la proposición anterior no es cierta, como la muestra el siguiente ejemplo
Ejemplo 2 2 1
Sea (X,15) el espacio topológico difuso
del ejemplo 2 1 3
Entonces (X v i cii(1:))
es compacto pera todoc0E[0,1), luego por la proposición 2 1 8,
(X,2) es e(-compacto para todooK0,1)
Sin embargo (XX)
no es ultra-compacto, puesta que i(r) es la topologia discreta sobre X = I, a seo (X, 1(15)) no es compacto
Proposición 2 2 2
Sea (X,/5) un espacio topológico
Entonces (X,r) es compacto, si y
solo sil (X, W(15)) es Cili eompSeto para algón4E[0,1)
■
Demostración
Supongamos que (X /5) es un espacio topológico comCome ¡(wet)) =r, se tiene que (X, w((5)) es ultra-
pacte
compacto
Luego por la proposición 2 2
ly (Xy
W(15)) es
0C-compacto para todoc(e[0,1)
Supongamos ahora que (X, w(r)) es o(-compacto para algún
°Cep o % entonces par la proposición 2 1 8, (X,id(w(/5))) es
compacto pero como por la proposición 2 1 5
se tiene que (X,T5) es compacto
-.511(hien)
=re
- 28 -
Corolario 2 2 1
Sea (XX) un espacio topológico
Si
(X, wan) es 1-compacto para algún
a(E[0,1), entonces (X, w(25)) es 1-compacto para todoc<E(0,1)
Demostración
Supongamos que (x, wan) es et-compacto para algún
16[0,1), luego por la proposición 2 2 2, (X,r) es compacto,
entonces como 1::= i(w(r)) se tiene que (X, w(r)) es ultracompacto, por consiguiente por la proposición 2 2 1, (X,w(r))
es 0C-compacto para todoc(e(0,1)
Corolario 2 2 2 Sea (XX) un espacio topológico
En-
tonces (X,r) ea compacto, si y solo
si, (X, wan) es ultra-compacto
Demostración
Esta demostración se deduce de la igualdad
2. w(t)) =
(
Corolario 2 2 3
Sea (X,17.) un espacio topológico
En-
tonces (X, w(r)) es ultra-compacto,
si y solo si (X, w(i5)) es c(-compacto para algan1C(0,1)
Demostración
La condición necesaria se obtiene de la proposición
2 2 1
Demostraremos la condición suficiente
Supongamos
que (X, w(r)) es 1-compacto para algún/£(0,1), entonces
por la proposición 2 2 2 (XX) es compacto, luego por el corolario 2 2 2, (X, wen) es ultra-compacta
- 29 -
Definición 2 2 2
Sea (X,15) un espacio topológico difusa y F un conjunto crispado en X
Decimos que F es ultra-compacto en X, si y solo si, el subespacio (F l lir ) es ultra-compacto
Proposición 2 2 3
Sean (X,r) un espacio topológico
ultra-compacto y F un conjunto cris-
pedo en X
Si F ea cerrado, entonces F es ultra-compacto en
X
Demostración
Supongamos que F es cerrado en X
Como (X,r) ea
ultra-compacto, (X, 1(7:)) es compacto, ademfis por ser F un
conjunta crispado y cerrado en X, se tiene que F es cerrado
en (X, i(r)) Por lo tanto (F, 1(15) F ) es compacto Luego
como por la proposición 2 1 7, i(r r ) = i(t) r , se tiene que
(F, IM F )) es compacto, o sea (F,/5 F ) es ultra-compacto
Proposición 2 2 4
Sean (X,r), (V,11) dos espacios topológicos difusos, f (x o t:)--,-(Y,11)
una función D-continua y F un conjunto crispado en X
Si F es
ultra-compacto en X, entonces f(F) es ultra-compacto en Y
Demostración
Como f
(X,15) --no-CV:U) es D -continua, entonces
por la proposición 2 1 9, f
(X, 1(t5))---+-(Y, ira)) es
continua además como F es un conjunta crispado y ultra-compacto en X y Leer ) = l(e) F , resulta que F es un conjunto
compacto en (X, i(r))
Luego f(F) es un conjunto compacto
- 30 -
en (V,
1(11)),
a sea (f(F), i(lp f(r) ) es compacto
int) f(r) = 1(11 f(r) )
Pero
Por consiguiente (f(F)Itt f(F) ) es
ultra-compacto, o sea, f(F) es ultra-compacto en Y
3
ULTRA-HAUSDORFF
Sea (XX) un espacia topológico
Definición 2 3 1
difuso Diremos que (XX) es ultraHausdorff, si y solo si, (X, i(15)) ea Heusdorff
Proposición 2 3 1
Sea (XX) un espacio topológico difuso Si (XX) ea Hausdorff, enton-
ces es ultra-Hauedorff
Demostración
Supongamos que (XX) es Hausdorff Sean x, y e X
con x 1 y, entonces x 112 , y 1/2 san puntos difusos en X
Lue-
go como (XX) es Heuadorff, existen Q-vecindades abiertas
u€ I]
VE Q„
x1/2 '
tales que UnV = 0
Y 1/2
U C Qx1/2 ==t>1/2+U(x)>1 1=1>U(x)> 1/2=1» E 11 -1 ((1/2,1 )
V e Q„
Y
1
1=001/2+V(v)> 1=1)111(v)> 1/2 =1>yE Ir ((1/2,1 )
Como U -1 (0/2,1]) E Jan V V -1 ((1/2,1]) E 1(1:), se
-1
tiene que U ((1/2,1]) es una vecindad de xpy V -1((1/2,1])
es una vecindad de y
Ademó:3 U -1 ((1/2,1])()V-1((1/2,1]) = 0,
puesto que UnV = 0 Por consiguiente (X, 1(1:)) es Hausdorff,
o sea, (XX) es ultra-Hausdorff
- 31 -
Podemos observar, que en general, la inversa de la proposición anterior no es cierta, como lo muestra el siguiente
ejemplo
Ejemplo 2 3 1
Sea (X,%) el espacio topológico difuso
del ejemplo 2 1 3
Entonces 1(15) es la
topologia discreta sobre X, por consiguiente (X, 1(15)) es
Hausdorff, o sea (X,15) es ultra-Hausdorff
Sin embargo
(X,15) no es Hausdorff, puesto que para todo par de conjuntos
difusos abiertos U, Ver tales que U é O, V é 0, se tiene que
u (1 y é O
Corolario 2 3 1
Sea (X,15) un espacio topológico
En-
tonces (X,15) es Hausdorff, si y solo
si, (X, w(15)) es ultra-Hausdorff
Demostración
Esta demostración se deduce de la igualdad
i(w(t)) ,--t
Corolario 2 3 2
Sea (X 15) un espacio topológico
En-
tonces (X,/5) es Hausdorff, si y solo
si, (X, w(/5)) es Hausdorff
Demostración
La condición suficiente se deduce de la proposición
2 3 1 y del corolario 2 3 1
saria
Demostraremos la condición nece-
Supongamos que (X,15) es Hausdorff
puntos difusos de X, tal que x í y
Sean x l , y a dos
- - u
Como (X,/5) es Hauadorff,
- 32 -
existen dos abiertos U y V disjuntos tales que xE U, y E V
Se tiene entonces que U y V son conjuntos crispados en X can
U(x) = 1 y V(y) = 1
más U(111 = 0
Por consiguiente Ueri xa y VEQ
Y14
y
ade-
Así pues (X, met)) es Heusdorff
Corolario 2 3 3 Sea (XX) un espacio topológico Entomes (X, met:» es Hausdorff, si y
sola si, (X, w(t)) es ultra-Hausdorff
Demostración
Este demostración se deduce de los corolarios 2 3 1
y 2 3 2
A continuación presentaremos un ejemplo de un espacio
topológico difuso ultra-Hausdorff (XX') donde existe un conjunto crispado y ultra-compecto F que no es cerrado en (XX)
Ejemplo 2 3 2
Sean (XX) el espacio topológico difuso
del ejemplo 2 1 3, y F el conjunto cris-
pedo en X definido por
F
X----=-I
1
si x . O
O
si x I O
F(x) =
En el ejemplo 2 3 1 se probó que (X 1 r) es ultra-Hausdorff
Como F es un conjunto unitario en X, entonces
(F, i(15 F )) es compacto, o seis, (F lrer ) es ultra-compacto
Sin embargo F no es cerrado en (X,r), puesto que
r
4 F I ya
- 33 -
que x 114 e r Cx = 1/4) y x ine et F
Presentaremos ahora un ejemplo para ilustrar que las topologias difusas ultra-compactas no son minimales entre les
topologias difusas ultra-Hausdorff
Ejemplo 233
Sean X = I y
ti = w(15 I )
or, 2 = (0,X}U{ A E 6(X) A(X)C(0,1/2} y AE weep }
Es clero que (X,T: 1 ) y (X 1r2 ) son especias topológico:3
difusos ultra-Hausdorff, puesto que
l(T51 ) = lee2 ) ='ti, yr:4t ól Además (X,t5 1 ) es ultracompacto, puesto que (X, i(ri )) es compacto
Así pues
(X,1:1 ) es un espacio topológico difuso ultra-Hausdorff y
ultra-compacto
Sin embargo ie l no es mlnimel entre las topo-
logias difusas ultra-Heuedorff de X
%
CAPITULO III
EL TEOREMA DE TYCHONOFF
ULTRA-COMPACTIFICACION STONE-CECH
- 35 -
1
EL TEOREMA DE TYCHONOFF DIFUSO
Definición 3 1 1
Sea {(X
a' J )
}Je] una familia de es-
pacios topológicos difusos
Sea
IX 3
x = TI
X 4 el producto cartesiano de la familia
J631
jEJ u
y sea P la proyección natural de X en la j-ésima coordenada
J
Denotemos con P(i)
la familia de todos los subconjuntos
X
ct
J
Sea 'g .
P -1 (U
finitos de J
U Et FE Pac (J4
J)
J
J1
jEF J
La topologia difusa sobre X que tiene Eil como base es
{
n
llamada la topologia producto difuso, y se denota
jEJ
'I
El par (X, Telt) ea llamado el espacio producto difuso de
jEJ a
la familia
Y J li 6i
Observación
La topologia producto difuso es la topologis difusa mds gruesa sobre X que hace to-
das las proyecciones P
J
(X, Tirt j )---4.-(X X) D-contiJ
J
jeJ
nuas
Proposición 3 1 1
Sean 1(X 3 ,1;)}3ej una familia de
espacios topológicos difusos y
T—V
Ti x a„ jEJ
jeJ
{(X J ,Itpl jej
el espacio producto difuso de la familia
4
Entonces i c1 (77/: ) = 7-T 10((15.3 ) para todo
jEJ
jEJ
4E(0,1), y en consecuencia 1(
rst ) = TI ict )
i 63
j
JE.]
UNIVRESID
DE PANM
BIBLIOTECA
- 36 -
Demostración
Recordemos que
lo
e ( T-Ir,)
={A -1 ((0( 1
1])
Ae
J
jeJ
•—T
jeJ
1
te
J
V
75
-1 -1
= (P i 03 .1 ((c(,1]))
El j el; j e J 1
n ice (t )
es una sub-base para la topologia
J
.1E3
Probaremos que id (
7-1r ) = n iocce)
j
J
TIC)
HE i sc (
H=A
-1
entonces existe Aene tal que
i '
jeJ
Sea
jeJ
.1E3
((9( v i])
3
Luego existe 1103 tal que para todo
Xell,Jx e PlIc (J), y para cada j x e JA existe El e es
4,
JA
con
n
A = U (
P " (B ))
i
JA
Nal( 3c3 N
A
Entonces
n
-1
H 1 U (
P - 1 (B »]
«c‹ ,1])
XeK .1a e .3a J a J a
-1
.{ x e
xi
P., 03 , »00> at }
jeJ
a
lek jacJ a uN
&IX
n
={ XE
Ti
(u( n
X
je.]
t
en
JeJ
i
374k, (
n
p-1(3 ix ))(x)>o(}
i
1/2e;a
x 3 Xek, VJAe3a , P -1
03
)(x)>42(}
ix
JA
J
= { x e n X jAek, V e Jx , B
(P
(x))>e( 1
JA
J x Jk
jai
i
nx
=Ixe
l
jeJ
«... he
3Ack, V
3
eJa ,P
(x)E6 -1 ((of ,1])}
JA
J›,
J1
Ti x 4 3Ask, v i 0 lx€13- 1 (13 -1 ((o(
h
.1 X J A
jeJ -1
A
,1]))}
- 37 -
{ x €n
[p.
j eJ
L
(B « ((o( ,13))]
J>,
Lp -. 1(B -.1((0(,1]). ] )
J›.
n
=
fl
xc
jeJ
k
C omo P7i 1 (E17, 1 ((c< ,1])) €T) , se tiene que
Jx
jeJ
n
nt.,)
Por consiguiente i
,n i c( (e.) •
jeJ
jeJ
Supongamos ahora que Hef, entonces existe j€3 y El i et.i
tal que
H=P
-1
-1
(B
J
J
( 0(
,1])
€.17 X .
jeJ
= (x e
P. (x) E 13 -. 1 ((0( ,1])
n X. : B.(p.(x))>0(}
J J
JeJ j
:
= Ixen X.
jeJ
-1
P . (8 .)(x)>c<
-1
-1
=Ixen X. : x e[P. (E3.)]
J
J
jeJ
= (P
-1
-1
(f3 ))
J
( (oZ ,1] ).
nt.,
Corno P7 1 (B .) E
J
J
jej J
se tiene que H C j.«( nr4 ). Por
jeJ
consiguiente 72) C i c,( ( ne.) y
J
..1€3
H emos probado as que
n io( (zi )cio,( -ne-.).
J€3
io(ct.)
J
n
.1E3
P robemos ahora que
i(nt-.) =
.ieJ
i(FIZ'.) = sup
jeJ J
o( E [0,1)
j
10((nei)
jEJ -
3
jei
FijEJ
=
ic ( ne-.).
i€J
i(t. .) .
J
j
En efecto:
- 38 -
= aup
n 14 (
ge[D,1) je3
ti )
14 ti )
= T-T de(0,1)
suP
jeJ
n 3.(r)
jeJ
Así pues
n
unto=
jeJ
jeJ
Teorema 3 1 1
(Tychonoff)
jeJ
(x
{
J'
PC )}
xj ,
El espacio producto difuso
TICS)
de la familia
jeJ
no vacía de espacios topoleigicos difusos es
ultra-compacto, si y solo si, para todo je 3,(X
J
,rJ )
es ultra-
compacto
Demostración
La condición necesaria se deduce de la proposición
2 2 4, y de que para todo je J la proyección P
T1X
ea D-continua
Probaremos la condición suficiente
todo j C J, (X
Supongamos que para
J' In es ultra-compacto, entonces (X ,i(15))
ea compacto, luego por el teorema de Tychonoff para la topolo-
T-T 1(15)) es compacto
jej
gia general se tiene que (17 X
jeJ
Como por la proposición 3 3 1,
T-T
JeJ
tiene que
( $3
T-I
= i(
#112'). se
.
(FI
X, 1 i(T115,)) es compacto, por lo tanto
jeJ
jcs3
) es ultra-compacto
j
- 39 -
2
ULTRA-DENSIDAD
DENSIDAD
Definición 3 2 1
Sea (X,V) un espacio topológico difuso
Un conjunto difuso A en X es den-
so en (X,1:), si y solo si, A= x
Si (Y o ry ) Be un sub-eapa-
cio difuso de CX,1:), entonces (Yory) es denso en CX,1:), si
y solo si, Y es denso en X
Definición 3 2 2
Sea (X,25) un espacio topológico difuso
Un conjunto difuso A en X es
ultra-denso en (X,15), si y solo si, para todo
«C(0,1) A -1 ((oC,1]) es denso en el espacio topológico
(X, 1(15))
Un subespecio difuso (V o r y ) de CX,15) es ultra-
denso en (X,C), si y solo si, Y es ultra-denso en (X 1 15)
Proposición 3 2 1
Sean CX,r) un espacio topológico
difuso y A un conjunto difuso en X
Entonces A es ultra-denso en (X,15), si y solo si l A es denso
en (X, w(i(C)))
Demostración
Supongamos primero que A no es denso en
(X, w(1(15))), entonces existe un conjunto difuso R cerrado
en (X, w(i(e))) tal queACElyEléX, por lo tanto existen
un nómeroc(e[0,1) y un punta xE.X tal que A(x)41 8(x).4K4C1
Como O es cerrado en (X, w(1(15))), la función B X---4-I
ea semicontinue superiormente relativa a 1(15)
8 -1 ( [O o()) E 1(15) y B -1 ( [1],c( )) 10
Luego
AdemAs como ACR, se
- 40 -
tiene que A-1(01,1],n 0-1(04 .0 ) . 0
Por consiguiente
A -1 ((o(,1)) no es denso en (X, i(t5)), y A no es ultra-denso
en (X,15)
Recíprocamente, supongamos que A no es ultra-denso en
(X,15), entonces existe un nómeroge(0,1) tal que A -1 (01 1 1])
no es denso en (X,
1(15)),
abierto no vacío G en (X,
-1
r.... __An
luego GC.714 (1)-1,
01.1 )
por lo tanto existe un conjunto
1(15))
tal que A -1 ««,1])n
Tomemos un nómerop
,c(9
o = 0,
<1 y defina-
mos la función
13
X---41-I
P
si x e G
1
si x
B(x) =
f
eG
Entonces es claro que 8 es un conjunto difuso cerrado en
(X, w(1(15)))
AdemásACB yEl‘X Por consiguiente, A no
es denso en (X,
w(i(15)))
Corolario 3 2 1
Sean
(X,15)
un espacio topológico di-
fuso y A un conjunto difuso en X
A es ultra-denso en
(X,15),
entonces A es denso en
Si
(X,15)
Demostración
por la proposición 3 2 1, A es denso en (X,
(XX) entonces
w(1(15))) Luego
6,Z5Cw(i(r)),
se tiene que A es
Supongamos que A es ultra-denso en
como por la proposición 2 1
denso en
(X,C)
Podemos observar que la inversa del corolario anterior,
- 41 -
en general, no ea cierta, como lo muestra el siguiente ejemplo
Ejemplo 3 2 1
Sea X = (0,1) y
la topología difusa
definida por
= (0 1 X1U1A E S(X)
A(X)=10,1/21,y ACILIJ(15X)}
donde rex es la topología usual de X
Definamos el conjunto
difuso A en X por
A
1 si 0 (Cx.C1/2
A(x) =
L0
si 1/241x <1
S
Es inmediato que A = X, luego A es denso en (X,r)
Sin embargo, como
1(T5) = (BtX BEllex} =re X
y A -1 ((0 1 1]) = (0,1/2) no ea denso en (X, i(r)), se tiene
que A no es ultra-denso en (X,15)
Corolario 3 2 2
Sea (XX) un espacio topológico y A
un conjunto difuso en (X, w(t;)) En-
tomes A es ultra-denso en (X, w(r)), si y solo si, A es den
so en (X, w(t5))
Demostración
Este demostración se deduce de la proposición 3 2 1
y de le igualdad
w(i(w(r))) = w(t)
- 42 -
3
ULTRA-COMPACTIFICACION STONE-1ECH
Sean (X,r) un espacio topológico di-
Definición 3 3 1
fuso y (BX,IL) un espacio topológico
que contiene a (X, 1(e)) como subespacio
lección
VIL por It:ILL. (A E.
Definamos la co-
ite w(11) y A/ x Cr}
G(BX)
(BX, ru) es un espacio topológico
Proposición 3 3 1
difuso
Demostración
Es inmediato que O, BXerit, puesto que
1
Oix
)
0, BX
fi
7--
0 9 BX/ x = X
,A n E °Cuy sea A = ñ A 1 Como
1=1
Sean A 1 ,
Por
para cada 1, 1 4: 1 4:n V A i E w('U), entonces ACui(11)
n
A / se tiene que
otro lado, como A 1 /X Ele y A/ X =
1=.1., 1 X'
n
Así pues Atta
A/ x
iii Sea (A 3 }
y sea A = U A,
A weil)
una familia de elementos de Cu
Como para cada .1E3, A
w('a.), entonces
Par otro lado, como A .1 / X ECyA/ X =
3E3
A /X
se tiene que A/ x er Así pues ASCII
De
(I),
(11) y (in) se obtiene que (BX,1510 es un espa-
cio topológico difuso
Proposición 3 3 2
Si (BX,11) es un espacio topológico
compacto, entonces (BX 1 1510 es un
espacio topológico difuso ultra-compacto
Demostración
Por la definición de ria tenemos que rualw(11),
por consiguiente i(rolk)C:11
Luego como (BX,11) es compacto,
(BX, 1(15.0) también es compacto
Por lo tanto (BX 1 1511) es
ultra-compacto
Proposición 3 3 3
Si (6X,11) contiene a (X, 1(15)) como
subeepacio denso, entonces (X,15) es
un subespacio ultra-denso de (BX,15a)
Demostración
Mostraremos primero que (X 9/5) es un subespecio de
(BX,1:510
En efecto
1 Si Acta, entonces por definición de "Cu se
tiene que Ai x
er
11 Sea Att y para cada nmero o( definamos los
conjuntos Mg = 11 -1 ((0( ,1]) y V
BX-(X-V )11IX' luego es inmediato que Vogel:1(15), 41111 y Vg = 4
Notemos que
X
rl
4 = BX para todo 0( 4:0 y que 1: . O para todoc<>1
Para
cada x e BX definamos el nGmero B(x) por
B(x) = sup{0( x e 4)
luego es inmediato que O
B(x)
Así podemos definir el
conjunto difuso B en BX por
13 13X—»I
x----9-8(x) = sup 10(
Sea x e X entonces
x€ 4}
- 44 -
B(x) = sup {0( x e VI:
.
sup {o(
x e v: n
= aup { o(
x E Iloc )
= aup ( cf<
x€ A
-1
x}
((o( 1
1] ) 1
= aup (0( x€ A -1 ((o( y 1 ] ) }
= sup { o( A(x)>cc }
= A(x)
por consiguiente B/ x = A Mostraremos ahora que BE w(a)
Sea h E I, 131 b = 1, entonces 13 -1 ((b,1]) = RIEU supongamos
Sea x€ B -1 ((b,11), entonces b < B(x),
entonces que b <1
tomemos XEI tal que b<X<B(x), y consideremos el conjunto
31
#11
Va e u
nGmero
Como B(x) = Oup (o( 461/: I y 1<B(x), existe un
de
I tal que X ,Co( y x e 11: Luego como
y por consiguiente x E II:
i<,<, vle
=VI
Si ye 1/11 , entoncesX(B(V), Por
lo tanto b<B(y) a sea ve 0 -1 ((b 1]) por consiguiente
11: CB -1 ((b,1])
Así pues, existe 46 U tal que
x E 1111 O 111 -1 ((b,1])
Lo que prueba que B E w('a), y °Eta
Hemos probado sal, que pera todo Act existe BE
B/
X
vi,
tal que
=A
De (i) y (ii) se tiene que (X,/5) es un eubespacin de
(BX, tu)
Mostraremos ahora que X es ultra-denso en (BX, ten)
En efecto, coma X ea denso en (BX, ra) y i(tu )C ia , se tiene
- 45 -
que X es denso en (BX i(11":10) además como para todo
06E641), X -1 ((d,1]) = X, se tiene que X -1 ((o( 9 11) es denso
en (BX, 1( 11:10) para todoc0[0,1)
Así pues X es ultra-
denso en (BX,ta)
Teorema 3 3 1
(Stone-Cech)
Sean (X,r) un espacio
topológico difuso tal que (X, i(r)) es
Tychonoff [3] y (BX 1 11) la compactificación Stone-bech de
i(r)), entonces (BX 1 re ti) es ultra-compacto y (X,r) es
un subespacio ultra-denso en (BX,1: 1:1u)
f
Además si
(x,r)-3-(Yel51) es una función D-continua de (X,r)
en el espacio topológico difuso ultra-compacto y ultre-Hausdorff (V e lt?), entonces existe una funciflh D=continua
Y\
f (BX,tu)---3.-(V/C1 ) tal que ?Y x = f
Demostración
De las proposiciones 3 3 1, 3 3 2 1 3 3 3 se obtiene
que (BX, tu) es ultra-compacto y que (X,15) es un subespacio
ultra-denso de (BX, tu)
Como f
es D -continua se obtiene
par la proposición 2 1 9, que f (X, i(r))---t(V, ierf))
es continua
Además (V, i(1: 1 )) es compacto y Hausdorff
Luego como (BX,11) es la compactificación Stone-Iech de
1(t5)), [3] existe una función continua
1(1: 1 )) tal que 1/ x = f
que P
mostraremos
es D -continua Sea AS C.,
entonces como f es D -continua se tiene que f -1 (A) = Aofet
e w(11),
adeffligir / OWOlolbI -Acif y Aoll
se tiene
X
X^-1
que f (A) Etat Lo que muestra que f es D-continua
-
En el teorema anterior demostramos que si
Observación
(XX)
es un espacio topológico difuso y
i(t5)) es un espacio topológico Tychonoff, entonces si
(BX 1 11) es la compactificación Stone-lech de (X, i(e)), se
(X,
tiene que (BX,ri) es un espacio topológico difuso ultracompacto que contiene a (X,r) como subespacio ultra-denso,
o sea, (BX,Itt) es una ultra-compactificación de
Ademds si f
de (X 1
r)
cx,r)—•—(y,r1) es una función O-continua
es un espacio topológico difuso ultra-compacto y
ultra-Hausdarff (V e
tinua
(XX)
r!),
entonces existe una función D-con-
(13X,r10--*-(X,V) que hace el siguiente diagra-
ma conmutativo
(X,r)--S-101
(BX, tu)
(vitt')
donde h es la función de embebimiento de X en su compactificado [3] Esta propiedad de extensión en la topologia general caracteriza la compactificación Stone-Iech, por lo cual
decimos que (OX I
de (X,1;)
T:1
) es le ultra-compactificación Stone-lech
- 47 -
Ejemplo 3 3 1
Sea (X,r) un espacio topológico Tychanoff y (BX,11) su compactificación
Stone-lech
Consideremos el espacio topológico difuso
(X, w(t)), entonces como i(w(r))
=r y
se tiene que (BX,11)
es le compactificación Stone-lech de (x, i(w(T;))
Luego
como (XX) es un subespacio de (BX,11), se tiene que
e G(BX)
A e w(11. ) y Ai x e w(r)} = wat)
y por consiguiente (BX, w(11)) ea la ultra-compactificación
Stane-lech de (X, w(1:))
En general se tiene que tu?w( 111), como lo muestra el
siguiente ejemplo
Ejemplo 3 3 2 Sea X = (0,1) yr x la topología usual
de X Sea re la topología difusa sobre
X definida por
como
r.IA E GO() A(X) e t0,1} y A E w(tx )1
1(/;) =t- se tiene que (X, i(t.)) ea un espacio
gico Tychonoff
topoló-
Sea (BX,11) la compactificación Stone-tech
de (X,Vx ), entonces
ta . (
A e G(3x) Ai x er y AE wat) }
y (BX,Zit) es la ultra-compactif icación Stone-Eech de (XX.)
Por lo tentortuchi(11)
CAPITULO IV
CONCLUSIONES
-
49 -
En esta sección trataremos de precisar algunos resultados para establecer las relaciones y diferencias entre la
teoría de los espacios topológicos y la teoría de loa espacios
Recordemos que Top indica la cate-
topológico:3 de lo difuso
goría de loe espacios topológico:3 y las funciones continuas
Lo primero que estableceremos es que la familia formada
por loe espacios topológico:3 difusos (objetos) y las funciones
D-continuas (morfismos) ea una categoría, la cual se denota
En efecto
por Fuz
i
Es claro que el (X,15), (51 ,15') y (Z 1 1:") son espa-
cios topolegicos difusos y f
(X 1 15)
9 el lee0--3.-(Z y t") son funciones D -continuas, entonces
la función compuesta gof
u
Si
cx,r),
(X 9 /5) ----0-(Z,TJA) es D -continua
(y,r1), (z/eN),
adreno
son espacios
topológico:3 difusos y f
9
h
(Vot e )
(z 1 /5H)----4.-(Warl) son funcio-
nes D-continuas, entonces es inmediato que
ho(gof) = (hog)of
iii
Para cada espacio topológico difuso (X,/:), la fun-
ción identidad IX (X ' 1:)---,..-(X,r) es un D-homeamorfismo
por lo tanto para todo espacio topológico difuso (Y,T5 1 ) y
para toda función f (X,r)----0-(V 1 /5') y g ( 11 8 /5 1 )---->-(X,Z5)
se tiene que
foI X = f
I x og = g
- 50 -
Así pues de (1) (11) y (111) Be obtiene que Fuz es una
categoría
Definamos ahora los funtores
Top --4-Fuz
(x,r)-a--(x,w(r))
17,(f)
í
. f
Fuz ---4.-Top
(x,v)—§.-(x,ice))
1(f) = f
Co m o
1 (fog) = fog
y
1 (fag) = fog
se tiene que los ?untares 1 y 1 son covariantes
De la proposición 2 1 5, Be deduce que
= (X,15) por lo tanto la categoría W(Top) es
isomorfa a Top
Además de la proposición 2 1 10, se tiene
que ;(Top) es una subcategorie plena de Fuz
Por consiguien-
te podemos considerar a Top como une subcategorle plena de
Fuz
Sin embargo la categoría Fuz es mucho más grande que
Top
Para ilustrar esta afirmación, a continuación daremos
un ejemplo de un espacio topológico difuso que no se obtiene
como espacio topológico difuso inducido por un espacio topológico
- 51 -
Ejemplo 1
Consideremos el espacio topológico difuso
Enton-
(X,r) definido en el ejemplo 2 1 2
ces se tiene que w(i(r)) é 1.1.:
Supongamos que existe una topología sli / tal que
(x,11) e Top y w(9.)
...e
Luego
i(w(1.0 ) = i(Z7)
entonces par la proposición 2 1 5 1
II = t(t)
Par lo tanto
w('li) = w(i(15))
13 Sea
r= wucc»
lo que es una contradicción
De les conclusiones hechas anteriormente podemos comprender ahora el por qué de que ciertas propiedades que
en Top no
BE
BE
cumplen
cumplen en Fuz como por ejemplo, Bebemos que en
Top las topologies compactas son minimales entre las topologia:3 Hausdorff de un conjunto X sin embargo esto no es cierto
en Fuz,
0 SEB
que las topologiae difusas ultra-compactes no
son minimeles entre lee topologia:3 difusas Hausdorff de un
conjunto X, como lo muestra el siguiente ejemplo
Ejemplo 2
Consideremos loe espacios topológico:3 difusos
(X,151 ) Y (X1r2) definidos en el ejemplo
2 3 3 Es clero que (XX I ) V (X352 ) son Heuedorff, (XX I )
es
ultra-compacto y
252 Cr
/
1
O
sea
el espacio topológico
- 52 -
difuso (X,/ni ) es ultra-compacto y Hausdorff, sin embargo
C1
X
no es minimal entre las topologias difusas Hausdorff sobre
f
Si bien es cierto que hay ciertas propiedades de Top que
no se cumplen en Fuz, también es cierto que hay muchas propiedades y teoremas de Top que se generalizan de una forma natural a Fuz, como por ejemplo, la proposición 2 2 3 la proposición 2 2 4 y el teorema de Tychonoff para el producto de espacios topológicos difusas (Teorema 3 1 1)
Uno de loa resultados más importante obtenido en el desarrollo de este trabajo es la construcción de la ultra-compactificación Stone-Iech de un espacio topológico difuso (XX)
tal que (X, i(r)) es Tychonoff, como lo muestra el teorema
3 3 1
Más aGn si (X,r) es un espacio topológico Tychonoff
y (BX,1L) es su compactificación Stone-tech, entonces la ultracompactificación Stone-Iech de (X, w(e)) es exactamente
(BX, w(11)) como lo muestra el ejemplo 3 3 1
Par último podemos ver que todos los conceptos definidos
en Fuz, cuando se restringen a G(Top) = Top coinciden con los
conceptos correspondientes en Top, como por ejemplo la c(-compacidad (proposición 2 2 2), la ultra-compacidad (Corolario
2 2 2), Hausdorff (Corolario 2 3 2), ultra-Hausdorff (Corolario 2 3 1)
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