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Accionamientos Eléctricos
CAP. 2: Modelado de sistemas
electromecánicos
Profs.: F. Fernández y L. Sigrist
¿Dónde estamos?
1. Introducción a los accionamientos eléctricos
2. Modelado de sistemas electromecánicos
3. Control V/f del motor de inducción
4. Introducción a la electrónica de potencia y al PWM
5. Máquina síncrona de polos salientes. Ejes dq
6. Vectores espaciales en máquinas eléctricas
7. Modelo dinámico de máquina síncrona
8. Modelo dinámico de máquina asíncrona
9. Control vectorial
10. Diseño de reguladores vectoriales
11. Aerogeneradores y FACTS
12. Control de máquinas DC y Brushless DC
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
2
¿Dónde estamos?
1. Introducción a los accionamientos eléctricos
2. Modelado de sistemas electromecánicos
Introducción.
Ecuación
dinámica
de sistemas rodantes. Esquema
3. Control V/f
del motor
de inducción
general
de simulación.
Resolucióndepor
linealización. Resonancia
4. Introducción
a la electrónica
potencia
torsional.
Engranajes.
en los stmas
Ejercicios
5. Máquina
síncronaUnitarias
de polos salientes.
Ejesmecánicos.
dq
6. Vectores espaciales en máquinas eléctricas
7. Modelo dinámico de máquina síncrona
8. Modelo dinámico de máquina asíncrona
9. Control vectorial
10. Diseño de reguladores vectoriales
11. Aerogeneradores y FACTS
12. Control de máquinas DC y Brushless DC
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3
Introducción
¿Por qué estudiar los sistemas mecánicos? (I)
• Pretendemos hacer que una carga mecánica (un tren, un
barco, un ascensor, un brazo robot, …) haga lo que tiene que
hacer (arrancar suavemente, mantener su velocidad
subiendo o bajando pendientes, posicionarse rápidamente,
…)
• Y eso se consigue haciendo que el motor proporcione en
cada instante la velocidad y/o par necesario.
mMOT (pu)
Apertura de las cubiertas móviles del estadio
de los Dallas Cowboys (Abr. 2011).
mMOT = -1.68 Sen  con  = 24·t/900 (en grados!)
0.202
890 900
t (s)
10
-0.6833
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
-0.886
4
Introducción
¿Por qué estudiar los sistemas mecánicos? (II)
• Además hay que calcular:
• de qué potencia necesitamos el motor.
• si se va a admitir la sobrecarga del motor o no y por cuánto tiempo
• la corriente que se va a consumir de la red para dimensionar el
variador y la aparamenta de alimentación
• evaluar distintas posibilidades
• etc…
• Y sólo se puede hacer si se conocen las ecuaciones (el
modelo) de la carga, y de cómo integrarlo y estudiarlo en el
accionamiento completo.
J2´= J2 · (R1/ R2)2
M1 R
1
1
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M
m ot
M
car
 J
d
  B O  B 1    B 2   2  ... 
dt
2
5
Criterio de signos y ecuaciones fundamentalísimas
 MELE
Sistema
Eléctrico
Máquina
Eléctrica
Sistema
Mecánico
MCAR
PELE
PMEC
LINEAL
ROTATIVA
F = m · dv/dt
M = J · d/dt
P=F·v
P=M·
El tren acelera.
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
El motor «ve» la aceleración
(ruedas).
6
Cuadrantes de funcionamiento
• Lo ideal es poder funcionar
en 4 cuadrantes.
P=M·
4
MELE

MELE

PMEC < 0
• Normalmente todos los
1
accionamientos pueden:
MELE
– Motor en una sola dir.
PMEC > 0
(1).
– Motor en ambas dir. (1) y
(3).

PMEC > 0
3

MELE

PMEC < 0 • Pero el func. en 4 cuadrantes
implica la posibilidad de
poder devolver energía al
MELE
2
sistema eléctrico (p. ej. red
eléctrica o baterías)
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7
Cuadrantes de funcionamiento (ii)
• Analogía con el coche:
El par es positivo si se aplica
en la dirección hacia delante
Energía de frenado se
convierte en calor.
Fuente: M. Barnes, Practical Variable Speed Drives and Power Electronics, ElSevier, 2003.
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8
Cuadrantes de funcionamiento
Limitaciones operativas
Normalmente los accionamientos están
limitados en velocidad y en
potencia/par (por la carga mecánica,
por el motor y/o por el variador
electrónico).
P=M·
m (pu)
mN
e(pu)
MAX
Por tanto, sólo suelen ser operativas
ciertas zonas de los cuadrantes parvelocidad (véase cap. 3)
Zona de
funcionamiento posible
(zona rayada)
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Cuadrantes de funcionamiento
Limitaciones por la dirección del flujo de potencia (I)
• El motor no siempre acciona sobre una carga, sino la carga
puede accionar sobre el motor y el conjunto carga-motor se
convierte en generador (2º y 4º cuadrante).
Normalmente el inversor está
formado por transistores que
admiten el flujo inverso de potencia.
Rectificador
Inversor
Motor
Pelec
Pmec
Carga
• Entonces sólo hay dos alternativas:
• se devuelve a la red a través del rectificador o
• se almacena en el condensador y se disipa en una resistencia de
frenado
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10
Cuadrantes de funcionamiento
Limitaciones por la dirección del flujo de potencia (II)
• Devolver energía a la red es la mejor solución pero exige:
1) Que la red esté preparada para admitir flujo de potencia inverso
en el punto de conexión.
2) Que el rectificador sea conmutado por la red dual, o bien sea un
rectificador autoconmutado.
Pelec
Pred
Rectificador
Inversor
Rectificador
Pmecc
Inversor
Motor
Rectificador conmutado por
la red dual (e.g., tiristor)
Rectificador autoconmutado
(e.g., GTO o IGBT)
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Motor
Carga
1.7kV/1.2kA y
3.3kV/1.2kA IGBT
Carga
4.5kV/0.8kA y
4.5kV/1.5kA GTO
11
Cuadrantes de funcionamiento
Limitaciones por la dirección del flujo de potencia (III)
• En el caso de que el rectificador sea un rectificador estándar
(de 6 diodos), el flujo de potencia hacia la red no es posible.
En ese caso:
1) En un primer momento se va almacenando la energía en el
condensador, lo que implica que la tensión vaya subiendo…
1
2
 COND   C  V 2
2) ... pero una vez se alcanza la tensión operativa máxima admisible
en el mismo o bien se desconecta el inversor (peligroso) o bien se
disipa sobre una resistencia de frenado
El chopper de frenado modula la tensión (el
tiempo) aplicada en la resistencia para que la
potencia disipada coincida con la extraída de la
carga.
Pelec
Pmecc
hay que mantener la
tensión en el
condensador constante
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Cuadrantes de funcionamiento
Limitaciones por la dirección del flujo de potencia (IV)
• En el caso de que el rectificador sea un rectificador estándar
(de 6 diodos), se usa un chopper de frenado que modula la
tensión del bus de CC para mantenerla cte. ¿Pero cómo…?
… por ejemplo, mediante un control de histéresis:
Chopper
cierra
Al menos el 110% de la
tensión de CC nominal
Chopper abre
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Cuadrantes de funcionamiento
¿Crees que lo tienes claro?
Un tren baja una pendiente a velocidad constante. Indicar el cuadrante en el que
trabaja el accionamiento eléctrico y si hay alguna particularidad específica al
mismo.
(Test Abril 2010)
Para poder realizar un frenado rápido de una carga mecánica con un variador de
velocidad,
a) es siempre necesario incorporar en el bus de continua del variador de
velocidad un sistema con resistencia de frenado
b) es siempre necesario devolver energía a la red
c) sólo puede hacerse con un rectificador de entrada estándar trifásico de
diodos
d) lo mejor es contar con un rectificador de entrada controlado que permita
flujo de potencia a la red.
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Ecuación dinámica mecánica (I)
Motor
Motor + Carga
Carga
Mmot
Mmot
Jcar
Mcar
Mcar
Jmot
VALI, wELE, Temp, ...
M m o t  f1   M E C ,  M E C ,  E L E 
M
M ca r  f 2   M E C ,  M E C ,  C A R , t 
Ecuación diferencial no
lineal de coeficientes no
constantes
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m ot
M
car
d
 J
  B O  B 1    B 2   2  ... 
dt
(Típicamente)
M
m ot
 M
car
 BO

d
 J
 B1  
dt
15
Ecuación dinámica mecánica (II)
• Si la ecuación es sencilla se puede resolver fácilmente.
• Por ejemplo: con B = 0, y con par motor y par resistente constantes

(ω es una recta):
d
0 .8  0 .6  J 
dt

t  J 
0 .8  0 .6

t
t
• Si la ecuación no es tan sencilla, por ejemplo con par motor
constante pero con par resistente tipo bomba (m = k·2),
0 .8  0 .7   2  J 
d
dt
la solución analítica se complica. En este ejemplo concreto:
Después de un rato:
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 (  f  1 .0 7 )(  0  1 .0 7 ) 
J
t
Ln 

 1 .5  (  f  1 .0 7 )(  0  1 .0 7 ) 
16
Ecuación dinámica mecánica (III)
• Pero si la ecuación tiene en cuenta el motor y la carga,
normalmente no se pueden resolver analíticamente:
r2
2


r2 
2
(1   )   r1 
  x CC 
1 
 

 0.7   2  J 
d
dt
y por tanto se resuelve de dos formas:
Simulación
M
m ot
M
car
d
 J
  B O  B 1    B 2   2  ... 
dt
Linealización
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Esquema general de análisis y simulación (I)
Valim
2
Pele
Teta
w
Máquina
Eléctrica
Macc
1
w
J.s
1
s
Inercia
Integrador
Mele
1
Ang.
Caract. mecánicas
externas
f(u)
Fricción - pérdidas
B1+B2·w
+ ...
1
o
Teta
Carga
Mcar
w
M mot  M car  J 
3
Pmec
d
  BO  B1    B2   2  ...
dt
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Esquema general de análisis y simulación (II)
(Sólo Bo+B1·w)
Valim
2
Pele
Teta
w
Máquina
Eléctrica
Macc
*

1
Mele
1
s
J.s+B1 2
Inercia
Roz. Viscoso
Caract. mecánicas
externas
1
Ang.
Integrador
Teta
Carga
w
M
*
acc
3
Mcar
Pmec
+Bo
d
 B1    J 
dt
t

1
  (t )    M
J 0
1
 ( k )   ( k  1)    M
J
*
acc
*
acc

(t )  B1   (t )  d t
?
( k )  B 1   ( k  1)    t
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t

 (t )    (t )  dt
0
 ( k )   ( k  1)   ( k )  t
t
t
Paso de integración
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Solución mediante linealización (I)
• Sólo válido ante pequeñas perturbaciones.
• Convierte la ecuación general en una ecuación diferencial
lineal de primer orden:
Sea o, Mo el punto de trabajo antes de la perturbación ((t) = o + (t))
M mot ( o   )  M mot (o ) 
M car ( o   )  M car (o ) 
M mot

M car

 
 o
Desarrollo en serie de Taylor
 
 o
d  d ( o   ) d 


dt
dt
dt
¿Te atreves a decir cuál es la aproximación de
primer orden?

d

  B O  B 1    B 2   2  ...  
Sustituyendo en la ec. Principal,  M m o t  M ca r  J 
dt


y teniendo en cuenta: M
m ot ( o )  M
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2
(

)

B

B



B


 O 1 o 2 o  ...
car
o
20
Solución mediante linealización (II)
 M mot M carga



 

d 




J

  B1     2  B2   o     ...

dt

 M mot M carga



 

d 




J

 B  

dt

 M m o t  M ca rg a
Si definimos: K T 



 m ec 
d 
   0
dt
Cuya solución
en el tiempo:
(par sincronizante)

  ( t )    f  1  e  t /  mec

 ( t )   f  ( O   f )  e  t /  mec
Debe salir negativa. Si sale positiva,
el sistema se hace inestable
f = f - o ; siendo  o = (0) la  justo antes de la
perturbación (punto de trabajo de partida), y f la velocidad
final (nuevo punto de trabajo)
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Solución mediante linealización (III)
• Por tanto, sea cual sea el tipo de máquina eléctrica o de
carga, ante pequeña perturbación, el transitorio de velocidad
es una exponencial

  ( t )    f  1  e  t / m ec

Ej: Máquina de inducción y bomba. La tensión de la máquina sufre una
pequeña caída súbita.
m
KT 
 M m ot


 M ca rg a


0
o
f
f
o

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t
22
Linealización
¿Crees que lo tienes claro? I
(Test Abril 2010)
Un motor de inducción acciona una bomba. Se puede producir uno de estos
dos tipos de pequeña perturbación: (1) una reducción brusca de tensión de un
5% en la alimentación del motor; (2) un aumento brusco en un 10% del par de
la bomba. En cualquiera de los dos casos, se puede decir que se produce un
transitorio de velocidad y que:
a)
b)
c)
d)
el transitorio (1) será aprox. el doble de rápido que el (2)
el transitorio (2) será aprox. el doble de rápido que el (1)
el transitorio (1) será mucho más rápido que el (2)
el transitorio (1) será aprox. igual de rápido que el (2) .
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Linealización
¿Crees que lo tienes claro? II
( Test Junio 2011)
Se produce un pequeño cambio súbito en el valor de la resistencia del rotor de
una máquina de inducción de jaula alimentada a frecuencia y tensión nominal,
que se encuentra accionando una bomba de agua (pista: representa las curvas
m- del motor de inducción y la bomba).
a) El par motor y la velocidad evolucionarán con el mismo tipo de curva:
misma constante de tiempo siguiendo un transitorio de primer orden
hasta alcanzar el nuevo régimen permanente
b) El par motor cambiará bruscamente y luego evolucionará al ritmo de la
la velocidad, ésta última como un transitorio de primer orden, hasta
alcanzar el nuevo régimen permanente
c) El par motor no cambiará pero la velocidad evolucionará más
lentamente como un transitorio de primer orden hasta alcanzar el nuevo
régimen permanente
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Linealización
¿Crees que lo tienes claro? III
Trayectoria de la respuesta en el plano M-ω
m
Par con una
resistencia diferente
Par inicial
f
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
o

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Ecuación dinámica mecánica
La ecuación diferencial cuenta muchas cosas
• Aunque la ecuación no se pueda (o no se quiera) resolver
analíticamente, ni se desee utilizar la simulación…
… NORMALMENTE SE PUEDEN SACAR CONCLUSIONES INTERESANTES
SIN TENER QUE RESOLVER LA ECUACIÓN COMO ACOTAR TIEMPOS O
SABER SI LA VELOCIDAD ES CÓNCAVA O CONVEXA
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
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Ecuación dinámica mecánica
¿Crees que lo tienes claro?
Son segundos. Sí, la inercia en pu se mide en segundos. Pero de
momento no te preocupes por esto, ignora las unidades y supón que
son coherentes.
( Test Sept. 2010)
Se desea incrementar la velocidad de un sistema rotativo desde 0.2 pu a 0.7 pu.
Se sabe que J = 5 s y mRES = 0.7· pu. Si el par motor es igual a 1 pu
constante, SIN RESOLVER la ecuación diferencial, se puede asegurar que:
a) el tiempo será superior a 4.9 s
b) el tiempo será inferior a 2.9 s
c) no se puede acotar el tiempo pero sí se puede asegurar que la
velocidad sigue una curva cóncava
d) el tiempo está acotado entre 2.9 s y 4.9 s
En este caso, hay sol. analítica:
1  0.7  5
 1  0.70
d
5
 t
Ln 
dt
0.7  1  0.7 f

  3.73s

Además, de la propia ecuación diferencial, se puede asegurar que la velocidad es
cóncava
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Resonancia Torsional
El eje, realmente, se torsiona
• El par motor se aplica en un extremo del eje, y para que este
llegue al otro extremo, el eje tiene que torsionarse un cierto
ángulo
Carga
Motor
Mmot
Jcar
Mcar
Jmot
M
e je
Meje
 K  ( m o t   ca r )
Si el par torsor (el par aplicado
por el motor) deja de
aplicarse, el eje vuelve a su
posición original
Actúa igual que un muelle
La carga no tiene por qué girar exactamente a la misma velocidad que el motor,
sino que su velocidad puede oscilar sobre el valor de velocidad del motor
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28
Resonancia Torsional
Símil mecánico lineal
V
Caso A
F
F
Una máquina de tren tira
de un vagón a través de un
muelle.
Régimen permanente
estable: el muelle se
estira un X para
transmitir la F de la
máquina al vagón
F = k · X
La velocidad de la
máquina y el vagón
son la misma
Caso B
Pero puede pasar que el
régimen sea oscilante (lo más
probable)
F1
F
V
v1 = V + v
x = X + x
El muelle se estira y encoge
sobre el valor medio X, con
lo que la fuerza oscila
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
F1
La velocidad de la
máquina es constante,
V, pero no la del vagón,
que va oscilando sobre
el valor V
F
29
Resonancia Torsional
Problema y Solución
¿Cómo solucionarlo?
Con un acoplamiento elástico entre los ejes. La goma amortigua la oscilación
absorbiendo la energía y convirtiéndola en calor.
Usando la analogía eléctrica es totalmente equivalente a colocar una R de
amortiguamiento
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
30
Resonancia Torsional
Miscelánea: Analogía eléctrica para cálculos (I)
Carga
Motor
Mmot
Jcar
Mcar
Jmot
Meje
d  mot
d
 M eje  M mot  M eje  J m  mot
dt
dt
d
d
 J car  car  M car  M eje  M car  J car  car
dt
dt
 K  ( mot   car )
M mot  J m 
M eje
M eje
Analogía eléctrica
ic  C 
dv
dt
Para que el eje transmita par, es
necesario que se retuerza (se torsione)
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
31
Resonancia Torsional
Miscelánea: Analogía eléctrica para cálculos (II)
• Analogía eléctrica
d
M mot  M eje  J m  mot
dt
d
M eje  M car  J car  car
dt
M eje  K  ( mot   car )
dM
dt
e je
 K (
Meje
dv
ic  C 
dt
Mmot
Meje
 car
Meje
Jmot
 m ot
d  m ot d  car

)  K  ( m o t   c a r )
dt
dt
di
v  L
dt
Mmot - Meje
1/K
 m ot
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
Jcar
Mcar
Meje
 car
32
Resonancia Torsional
Miscelánea: Analogía eléctrica para cálculos (III)
• Analogía eléctrica
M i
v
J C
1
L
K
Meje
Mmot
Jmot
 m ot
1
K
Meje
 car
Jcar
Mcar
Se trata de un sistema de 2º orden con toda la problemática a que puede dar lugar:
oscilaciones indeseadas entre las dos masas (oscilaciones de velocidad) e incluso
inestabilidad
En el caso de rígidez infinita el eje:
K 
Mmot
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Jmot + Jcar

m ot

car
Mcar
33
Resonancia Torsional
Miscelánea: Analogía eléctrica para cálculos (IV)
• Analogía eléctrica
M i
v
J C
1
L
K
Mmot
1
K
Meje
Jmot
 m ot
R
Meje
 car
Jcar
Mcar
Se trata de un sistema de 2º orden con toda la problemática a que puede dar lugar:
oscilaciones indeseadas entre las dos masas (oscilaciones de velocidad) e incluso
inestabilidad (lo último más bien por la respuesta de los pares de motor y carga).
¿Cómo solucionarlo?
Con un acoplamiento elástico entre los ejes. La goma amortigua la oscilación absorbiendo
la energía y convirtiéndola en calor.
Usando la analogía eléctrica es totalmente equivalente a colocar una R de
amortiguamiento. En régimen permanente no ofrece resistencia (la goma está
comprimida), pero sí durante un transitorio.
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
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Ruedas y poleas (I)
Do it yourself
• Fórmulas básicas:
v
R

v=·R  a=·R
P=M·
periferia)
(P entra en la rueda por el eje y sale por la
M
• Inercia rodante equivalente de una masa lineal:
a
Nótese que el
‘traspaso’ se hace a
través de la potencia
mKg
R
P = F · v = mKg· a · v
P = M ·  = Jequiv ·  · 
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
t
v
a

mKg· a · v = mKg· ( · R) · ( · R) = J ·  · 
Jequiv = R2 · mKg
35
Ruedas y poleas (II)
Do it yourself
• Fórmulas básicas de engranajes (o poleas):
¿Ventajas y desventajas de
las poleas?
M1
1
M1
(M1 y 1
misma dir.)
M2
1
M1´
2
v
R1
P1
M2
2
(M2 y 2
dir. opuesta)
P2
R2
v1 = v2: 2 = 1 · (R1/ R2)
P1 = P2: M1´ = M1 · (R2/ R1)
• Ejemplo
Si R1 = 5 R2, por cada vuelta de 1 la 2 da 5 vueltas en el mismo tiempo: 2 = 5 1.
Como la potencia se conserva (P = M · ), M2 = (1/5) M1
Lo que aumenta la velocidad se reduce el par (más radio, más par).
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
36
Ruedas y poleas (II)
Do it yourself
• Inercia reducida (cómo se ve desde el eje 1 una inercia J2
colocada en el eje 2):
P1 = M1 · 1 = J1 · 1 · 1
P2 = M2 · 2 = J2 · 2 · 2
P1 = P2: J2´(J vista desde el lado 1) = J2 · (R1/ R2)2
2
• Ejemplo
• Si R1 = 5 R2, la rueda 1 que gira 5 veces más lento y da 5 veces más
par, ve una inercia 25 veces mayor.
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
37
Ruedas y poleas (III)
Do it yourself
• Resumen de ruletas:
P2
P1
1
P1
M1
M1
M2
P2
2
M1´
1
2
(^2)
M1´
J2 ´
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
J2
38
Ruedas y poleas (IV)
Do it yourself
• Analogía con transformadores:
P2
P1
1
N1
i2  i1 ·
N2
i2
i1
P1 = e1 · i1
e2  e1 ·
e1
M1
N2
N1
ZC
más radio, más
par
más espiras, más
tensión
R1
N 
ZC '  ZC · 1 
 N2 
J2’
N1
N2
R2
2
J2
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
¿Qué pasaba con el transformador en pu?
¿Qué crees que va a pasar con las ruletas si
las magnitudes mecánicas se ponen en pu?
39
Unitarias en sistemas electromecánicos (I)
• Es la máquina eléctrica la que fundamentalmente fija
las bases.
M m ot 
M
m ot
M
Pm ec
 M
 m ec
car
B

SB
 B m ec
d  m ec
 J
 B   m ec
dt
MB
SB
MB
SB
JB 

;
B


B
 B m ec  B m ec 2
 B m ec  B m ec 2
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
MAGNITUD
VALOR BASE
TENSIÓN (UB)
UN
INTENSIDAD (IB)
IN
POTENCIA (SB)
3· UN · IN
IMPEDANCIA (ZB ESTRELLA)
UB 2 / SB = (UN /3)/ IN
FRECUENCIA ELÉCTRICA (fB)
fN
PULSACIÓN ELÉCTRICA (B ELE)
2·· fN
PULSACIÓN MECÁNICA (B MEC)
B ELE /P
PAR (MB)
SB/B MEC
INDUCTANCIA (LB)
ZB/B ELE
INERCIA (JB),
ROZAMIENTO VISCOSO (BB)
SB/(B MEC)2
¿En pu, coinciden las pulsaciones
eléctricas y mecánicas?
40
Unitarias en sistemas electromecánicos (II)
• Nótese que jpu no es adimensional sino que tiene unidades
de segundo.
m a cc  j 
d  pu
dt
pu
pu
 b   pu
segundos
• Si macc = m* cte y despreciando b
m acc  j 
d  pu
dt
   pu
1

j

t
0
m acc ( t )  dt

m  cte  m *
  pu
m*

 t
j
Entonces, j es el tiempo que tarda en llegar a velocidad
nominal (1 pu) desde velocidad cero si macc = 1 pu
(ojo: ¡ mN<1 pu en MI !)
Pista: N· cosφN
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
41
Unitarias en sistemas electromecánicos (III)
• Valores típicos de j en MS+Turbina:
1 par polos:
5 – 12 s
2 pares de polos: 4 – 20 s
Hidráulicas:
4–8s
• Valores típicos de j en MI: décimas de segundo
La inercia la suele marcar la propia carga, que puede ser grande o
pequeña
JB 
SB
B mec 2

3  400  22
 2    (50 / 2) 
2

15242
0.067
2

0.6177
kg

m
/
s

j

 0.11 s
2
157
0.6177
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
42
Unitarias en sistemas electromecánicos (IV)
Miscelánea
• En los sistemas eléctricos es habitual trabajar con una inercia
en unitarias distinta de j. Suele denominarse H
j = 2H
• H se basa en la energía cinética almacenada a
velocidad nominal
 cinetica veloc . nom
H 
SB
1
 J   mec nom 2
J
J
j
2



SB
SB
2 JB 2
2
 B mec 2
• También es habitual encontrar el parámetro PD2, que
usa la masa (Kg) y el diámetro en vez de Kg y el
radio para calcular la inercia (MR2)
PD 2
J
4
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
43
Unitarias en sistemas electromecánicos (V)
Miscelánea
• Al igual que con los transformadores, en el caso de los
engranajes, habría que tomar valores base distintos a cada
lado de las ruletas, en relación R1/R2.
Entonces, los engranajes desaparecen del
esquema (como lo hacían los transformadores).
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
44
Inercia en unitarias
¿Crees que lo tienes claro?
(Test Abril 2010)
Una máquina de inducción trifásica de 14 kW, 380V, 25 A, 1485 rpm, mueve a
través de una reductora 5:1 (menor velocidad en la carga) una inercia J = 20 s.
El valor de la inercia vista desde el eje motor será:
a)
b)
c)
d)
4s
500 s
20 s
0.8 s
Se desea incrementar la velocidad de un sistema rotativo sin par resistente
desde 0.5 pu a 1.5 pu en 10 s. Si a par nominal ahora se tardan 20 s, la potencia
nominal del motor hay que:
a) incrementarla cuatro veces
b) reducirla a una cuarta parte
c) reducirla a la mitad
d) incrementarla al doble
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
45
Inercia, ruedas y poleas
¿Crees que lo tienes claro?
Un ejemplo interesante de bases y unitarias en sistemas mecánicos con
engranajes y ruedas es la parte de hacer una tabla con el valor de todas las
bases mecánicas en el apartado (c) del P1 de Abril de 2011 (cubierta móvil de
estadio de fútbol).
¡Intenta hacerlo y luego échale un ojo!
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
46
Inercia, ruedas y poleas
¿Crees que lo tienes claro?
¿Te has planteado cómo afecta el rendimiento del engranaje (que en general no será
del 100%), a las fórmulas anteriores?
Por ejemplo, a la inercia. Dado el rendimiento del engranaje, deduce cómo se
vería afectada la fórmula:
2
J2´= J2 · (R1/ R2)
Luego, intenta hacer el apartado (b) del P1 de Sep. de 2008 (coche eléctrico).
Se trata de sacar la JEQUIV que ve el motor en su eje teniendo en cuenta
también el rendimiento.
Pero no solo eso. Obtener la fórmula del par en el eje en pu en función de la
velocidad del vehículo tiene su gracia.
También se puede completar el apartado (c) del P1 de Abril de 2011 (cubierta
móvil de estadio de fútbol) que ya se comentó antes para las bases de las
unitarias. Al igual que arriba, se trata de sacar la JEQUIV que ve el motor en su
eje teniendo en cuenta también el rendimiento.
Pista:
P1    P2 
 M M O T   1  

 M

RES
 J CAR 
d2

 B  2   2
dt

Sustituye 2 por 1/k (k = R2/R1) y quedará MMOT = valores reflejados de M, J y B
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
47
Ejercicio 2.1
Sistema compuesto por una carga con j = 8s y una máquina síncrona de 2
pares de polos con j = 2s y SB = 10 kVA alimentada a 50 Hz.
Inicialmente el sistema gira a la velocidad de sincronismo en vacío.
Se pide:
1. Tiempo que tarda en detenerse el sistema si se aplica un par
de –20Nm.
2. Tiempo que tarda en detenerse el sistema si se aplica un par
igual al par nominal.
3. Ídem (1) si se considera rozamiento viscoso b = 0.1 pu.
4. Ídem (2) si se considera rozamiento viscoso b = 0.1 pu.
5. Ídem (3) con una carga pmec = K · 3. ¿Valor de K razonable?
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
48
Ejercicio 2.2
Se desea arrancar un accionamiento desde velocidad cero a
velocidad nominal en 5s linealmente. Después de 10s (t = 15s) se
desea reducir la velocidad a la mitad en 2s linealmente. La
velocidad se mantiene en dicho valor hasta el infinito.
j = 3s; mres = 0.2 pu; b = 0
Se pide:
1. Representar mMOT y  relacionados en el tiempo acotando los
valores importantes
2. Tiempo mínimo de arranque desde velocidad cero a velocidad
nominal si no se desea que el par motor supere 1.4 pu
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
49
La potencia nominal de un motor
Como veremos en el prob. 2.3, la potencia nominal de un motor no tiene por
qué coincidir con la potencia máxima de un proceso.
Lo importante es que el motor dé el par que tiene que dar.
La definición de potencia nominal (la potencia de placa de una máquina
eléctrica) es:
PN  M N   N
y la forma de calcular la potencia nominal mínima que debería tener el motor:
Si el motor va a trabajar a
velocidad igual o menor a la de
sincronismo
PN  M
M AX
Valor máximo del par de
régimen permanente del
proceso
Este es el par que como mínimo
debe ser capaz de dar el motor en
el proceso en reg. permanente
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández

N
Velocidad de sincronismo
normalizada dependiendo
de los pares de polos
3000 rpm (2· ·50 rd/s)
1500 rpm (2· ·25 rd/s)
1000 rpm (2· ·16.7 rd/s)
…
Aquí NO se puede poner la velocidad real a la que va a dar
dicho par, o la velocidad máxima a la que va a trabajar el
sistema, porque el fabricante no te va a hacer un motor
especial para ti.
Debes elegir entre las velocidades de catálogo.
50
Ejercicio 2.3
(P1 Sep. 06)
Colocación
Extracción
Rociador
250 Kg
250 Kg
R = 0.25 m
250 Kg
Perfil de velocidad de la cinta
vel
(km/h)
4
FROZ = 125 N (en mov.)
0 N (parado)
N:1
MI III: 380 V, 1.8 A, 50 Hz, 2 Pares polos
2
8
10
12
t (s)
14
Reductores posibles: 20:1, 30:1, 40:1
Motores posibles: 650 W, 1042 W
Este problema te lo tienes que bajar de la web y hacerlo en casa
Algunas preguntas adicionales que puedes plantearte:
¿Qué pasa si el motor tiene una inercia no despreciable con dato en kg.m2? ¿y en pu?
¿Cómo afectaría el hecho de que la reductora tuviera un cierto rendimiento?
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
51
La potencia nominal de un motor (I)
En la definición de la potencia nominal mínima interviene el valor máximo del
par de régimen permanente del proceso…
Un sistema se encuentra en régimen
permanente cuando todos sus variables de
estado son constantes (sistema en equilibrio).
… ¿pero qué es el régimen permanente?
Proceso cíclico
par
velocidad
t (s)
Variable del proceso
Variable del proceso
Proceso no cíclico
par
Par de régimen permanente
t (s)
Dado que la duración del arranque y de la parada
es comparable a la duración del resto del
proceso, se coge el mayor par en términos
absolutos.
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
Variable del proceso
Par de régimen permanente
par
Proceso cíclico
t (s)
52
La potencia nominal de un motor (II)
Como hemos visto en el prob. 2.3, la potencia nominal de un motor no tiene
por qué coincidir con la potencia máxima de un proceso.
El lugar geométrico que
recorre el proceso en
Para n = 30:
un diagrama par- (y
M (Nm)
Mm (Nm)
P (W)
Pm = 600.5
Mm = 4.51
4.51
t (s)
Ωm = 133.2
Ωr (rad/s)
M (Nm)
133.2
t (s)
P– ) es muy útil, como
se verá en el Cap 3.
Ωr (rad/s)
P (W)
MN = 6.63
Mm
MN = 4.13
Ωm = 133.2
Ωr (rad/s)
PN  M
N

N
PN = 1042
PN = 650
Pm
Ωm ΩN
(133) (157)
Ωr (rad/s)
Ωm
ΩN
Ωr (rad/s)
Para el motor de 650 W el par y la corriente serían mayores que los nominales
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
53
Sistemas mecánicos
Problema recomendado
El problema P1 Abr. 2010, apart. a, b y c. (control de velocidad de una
bobinadora de papel), es especialmente interesante puesto que la inercia varía
con el tiempo.
Además, el dimensionamiento del motor tampoco se hace por potencia máxima
sino por par máximo.
¡INTÉNTALO!
También es muy recomendable hacer las preguntas tipo test de los exámenes
que están colgados en la web.
Es fácil saber qué preguntas test se pueden contestar con lo que
hemos visto hasta ahora.
¡No pongas excusas!
Accionamientos eléctricos – Cap. 2, Rev. Noviembre 2015, L. Sigrist y F. Fernández
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