Nivel II - Guia de estudio nro 10

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA - FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO
DNC
Cátedra:
ESTRUCTURAS – NIVEL 2
Taller: VERTICAL III – DELALOYE - NICO – CLIVIO
GE 10
Guía de estudio 10: ELEMENTOS DE MADERA SOMETIDAS A FLEXION
Curso 2009 Elaboró: Ing. Graciela Renzi/Ing. Alejandro
Nico
Revisión: 0
Fecha: Octubre de
2009
.
1.- INTRODUCCION
La madera, es un material orgánico de origen natural y por
consiguiente heterogéneo y complejo, cuyas características, aun para una misma especie vegetal,
difieren según sea el clima, el suelo, la orientación, etc. Si a esto se le suma la posible destrucción de la
madera con el tiempo, se observa la necesidad de trabajar con grandes coeficientes de seguridad
aplicados a la tensión máxima de rotura que cada especie posea. A modo de comparación, el acero,
cuyo proceso de fabricación esta rígidamente controlado, es un material que se lo afecta con
pequeños coeficientes de seguridad.
Además de lo recién mencionado, se suma otro factor destacable o
diferente frente a otros materiales cual es el comportamiento anisotrópico de la misma, es decir que
presenta características diferentes en dos direcciones distintas. Efectivamente, la madera esta
constituida por fibras alargadas en dirección longitudinal del tronco, lo que provoca una mayor
resistencia en esta dirección respecto a un esfuerzo perpendicular a las fibras, lo que produce una
rotura del material por desgarramiento de una fibra respecto a la contigua.
A pesar de lo comentado en los párrafos anteriores y simplificando, se
considerara a la madera como un material homogéneo y elástico con lo cual su dimensionado se
realizara de forma similar al acero (salvando las distancias de sus diferentes resistencias).
2.- CLASIFICACION DE LAS MADERAS
Existen en el mundo una cantidad importante de diferentes especies
arbóreas que nos proveen distintos tipos de maderas. Y para cada una de ellas deberían conocerse sus
propiedades resistentes para poder realizar el dimensionado. Para evitar esa gran cantidad de
información, se prefiere agrupar a las maderas en tres grandes grupos y en cada caso se buscara
asociar la madera disponible a una de estas topología. Esta clasificación esta hecha en base a la
dureza de la madera ya que esta esta íntimamente ligada a su resistencia: “maderas mas duras serán
mas resistentes”. A su vez estas dos propiedades también se relacionan con la densidad.
Entonces de acuerdo a lo anterior, se establece la siguiente
clasificación:
•
1.- MADERAS DURAS: Pertenecen a este grupo las maderas pesadas, son de estructura
compacta y homogénea de color oscuro, difíciles de trabaja. Su peso especifico va para
Maderas duras de 750 - 950 kg/m3 y Maderas muy duras, superior a 950 kg/m3. Merecen
destacarse en este grupo: quebracho colorado, lapacho, curunday, algarrobo, incienso, etc.
•
2.- MADERAS SEMIDURAS: Pertenecen a este grupo: nogal, roble, cedro, palo blanco, etc.
Densidad 550 - 750 Kg/m3
•
3.- MADERAS BLANDAS Y RESINOSAS: Representadas por pino blanco, pino tea, pino
sauce, pino Paraná; sauce etc. Densidad hasta 550 Kg/m3
A partir de la clasificación anterior es posible unificar los parámetros
resistentes y elásticos en los 3 tipos diferentes.
3.- TENSIONES ADMISIBLES Y MODULO DE ELASTICIDAD
Como ya se comento, existen múltiples causas que influyen en la
resistencia de las maderas que hace muy difícil fijar las tensiones admisibles y obligan a aceptar
coeficientes de reducción y de seguridad muy elevados
Los ensayos han demostrado que es bastante mayor la resistencia a la
tracción que a la compresión. Lo mismo sucede respecto a la resistencia a la flexión. Sin embargo, en la
práctica, se consideran valores de tensiones admisibles poco diferentes, debido a la influencia
desfavorable de los nudos y dirección no longitudinal de las fibras a los esfuerzos de tracción
En la tabla I se vuelcan los valores de las tensiones admisibles de
calculo y el modulo de elasticidad para las 3 diferentes clasificaciones mencionadas en el punto 2
TABLA l
TENSIONES ADMISIBLES DE MADERAS (Kg/cm2)
Tipos de maderas
CORTE TRACCION COMPR. FLEXION MODULO
//
L
ELASTICO
Maderas duras
20
90
150
150
150
150000
Maderas semiduras
Maderas blandas
Y
resinosas
15
80
100
80
100
100000
10
60
80
60
80
75000
De la tabla anterior merecen hacerse los siguientes comentarios:
• Los valores de tensiones que figuran son valores admisibles, no de
rotura, que estos afectados de unos coeficientes de seguridad o disminución. En general, y para la
madera, la tensión admisible es de 1/6 a 1/10 de la tensión de rotura, valores mucho mayores que, por
ejemplo, los del acero, debido a la “inseguridad” que significa el origen “natural” de las maderas y sus
condicionantes (humedad, nudos, podredumbres, etc.)
• Se observa que para el corte figuran dos valores admisibles
posibles: paralelos y perpendiculares “a la fibra”. De acuerdo a la forma de actuar del esfuerzo de
corte estará en una u otra forma, pero como se vera mas adelante siempre deberá tomarse el menor
de los dos en el dimensionado ya que las tensiones de corte actuante también lo hacen en los dos
sentidos.
• En los otros tipos de esfuerzos no aparece distinguido este
comportamiento anisotrópico de la madera. Esto es, porque en “condiciones normales” (el eje
longitudinal de la viga es paralelo a la dirección de las fibras (dirección de crecimiento del árbol)) los
esfuerzos de tracción y compresión puras o por flexión actúan en la dirección paralela a las fibras y no
perpendicular.
• A mayor dureza de la madera mayor resistencia y mayor modulo
de elasticidad (menos elástica es)
• Comparar los valores admisibles con los del acero dulce (tensión
admisible a tracción y compresión 1400 Kg./cm2 y Modulo de elasticidad 2.100.000 Kg./cm2)
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4.- ESCUADRIAS COMERCIALES
Si bien es cierto que es posible obtener cualquier forma y tamaño
(limitado, claro esta, a un máximo) comercialmente se conocen una serie de tamaños tipos de los
cuales no conviene apartarse por el encarecimiento que significan los cortes a medida. Habitualmente
las medidas vienen expresada en pulgadas y su conversión a centímetros resulta inmediata recordando
que:
1 pulgada = 2.54 cm
En la tabla II figuran las dimensiones de las escuadrias comerciales
expresadas en pulgadas y centímetros. Simultáneamente se acompañan los valores del momento de
inercia y él modula de inercia según el eje de simetría x y el y.
TABLA II
PIEZAS RECTANGULARES DE MADERA
3
Jx=b.h /12
3
Jy= h.b /12
Designación
Alfajías
Listones
Tablas
"
Tablones
Tirantes
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
Vigas
"
"
"
"
"
"
3
Wx= b.h/6
3
Wy= h. b/6
Dimensiones
Pulgadas cm.
b
D
B
d
1
3
2,5 7,6
1
6
2,5 15,2
1
12 2,5 30,5
11/2 12 3,8 30,5
2
12 5,1 30,5
2
3
5,1 7,6
2
4
5,1 10,2
2
6
5,1 15,2
3
3
7,6 7,6
3
4
7,6 10,2
3
5
7,6 12,7
3
6
7,6 15,2
3
9
7,6 22,9
3
12 7,6 30,5
4
4 10,2 10,2
4
6 10,2 15,2
4
9 10,2 22,9
4
12 10,2 30,5
6
6 15,2 15,2
6
8 15,2 20,3
6
9 15,2 22,9
6
12 15,2 30,5
8
8 20,3 20,3
10
10 25,4 25,4
12
12 30,5 30,5
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h
b
Sección
cm2
19,3
38,6
77,2
115,9
156
38,7
52
77,5
57,7
77,5
96,5
115,5
174
231,8
104
155
233,6
311,1
231
308,6
348,1
463,6
412,1
645,2
930,2
Momentos de
inercia
Jx
Jy
cm4
cm4
93
10
732
20
5911
39
8985
139
12058
337
186
84
451
112
1493
168
278
278
672
373
1297
464
2224
556
7606
837
17969
1115
902
902
2985
1344
10208
2025
24117
2697
4448
4448
10600
5940
15211
6701
35939
8925
14152
14152
34686
34686
72113
72113
Módulos resistentes
Wx
Wy
cm3
cm3
24
8
96
15
387
31
589
73
790
132
49
32
84
44
196
65
73
73
131
98
204
122
292
146
664
220
1178
293
176
176
392
263
891
397
1581
528
585
585
1045
782
1328
881
2356
1174
1394
1394
2731
2731
4728
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Si el tamaño requerido supera los existentes en "la naturaleza" es posible
"fabricar" formas y tamaños diversos a través de la técnica del clavado o encolado, creando las
conocidas como vigas laminadas, que consisten en vigas conformadas por laminas de pequeño
espesor pegadas una con otras obteniéndose tamaños tan altos y largos como se quiera. También se
pueden lograr uniones a través del abulanamiento o utilizando planchuelas de unión.
VIGAS LAMINADAS DE MADERA
Asimismo
es posible obtener secciones con formas
no "rectangulares" buscando alejar la
sección del eje de simetría para mejorar
el comportamiento de la sección frente
a solicitaciones de flexión. Por ejemplo:
5.- CALCULO DE UN ELEMENTO DE MADERA SOMETIDO A FLEXION
Dimensionar un elemento de madera sometido a flexión, consiste en
encontrar él modulo resistente (W) necesario para soportar el Momento Flector solicitante.
Siendo así, si se tiene una sección sometida a un Momento flector, el
diagrama de tensiones correspondientes tendrá una variación lineal. En este gráfico se representa el
eje neutro, donde no se producen tensiones, y desde allí se ve crecer las tensiones hacia los extremos,
constituidos por las fibras más alejadas, donde se hacen máximas.
Cuando se estudio la flexión simple para un material homogéneo,
elástico y hookiano (como puede considerarse a la madera, dejando de lado su condición
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anisotrópica) se vio que la ecuación fundamental establece que el Momento Flector máximo es igual al
producto de σ (capacidad resistente del material) por W (Modulo resistente, valor que depende de la
sección en relación con el trabajo de flexión)
Entonces:
Mf = σ x W
(1)
σ máx. = Mf / W
Donde σ
máx.
o
(2)
Es el valor de las tensiones máximas ubicadas en las fibras
más alejadas del eje neutro
En la práctica cuando se realiza el cálculo de una estructura pueden
darse dos situaciones igualmente frecuentes: El dimensionado y la verificación
5.1. DIMENSIONADO
En este caso, conociendo las solicitaciones a que esta sometida la
pieza, y habiendo decidido el material a utilizar (σ adm), se deberá averiguar la cantidad necesaria de
y como disponerla, para lograr la mayor eficiencia. Para ello deberemos hacer σ máx =σ adm.
Entonces de (2)
Wxnec = Mf / σ adm
Obtenido el valor de Wx, se deberá buscar en la tabla II la escuadría o
sección que mejor satisfaga las necesidades o bien, dada una base "b" determinada, despejar el "h" de
la formula de Modulo Resistente para una sección rectangular recordando que:
Wx = b x h2 / 6
O sea que
hnec = √ Wx x 6 / b
Puede darse el caso que el momento flector tan grande que el
resultado anterior sobrepase las escuadrias comerciales. De ser así, puede recurrirse a las llamadas
secciones compuestas, consistentes en la unión de dos o más secciones comerciales.
Optando por esto, se deberá asegurar la efectividad de la unión, ya
que no es lo mismo el funcionamiento de una sección vinculada monolíticamente, con el de una en
que las partes puedan deslizarse entre sí ante la acción de una fuerza.
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Estas uniones se realizan con pernos, pasantes o mediante el encolado
(vigas laminadas). De acuerdo a la figura anterior, el modulo resistente de la sección vinculada será:
Wx total = b x (h total) 2 / 6
Y en el caso de estar separadas ambas secciones será:
Wx = 2 x (b x ha2 / 6)
El valor de Wx en este último caso será menor al anterior, lo que nos
indica un mal aprovechamiento del material
5.2.- VERIFICACIÓN:
Es el otro caso que se puede presentar. Aquí de antemano, se propone
la sección, por ejemplo ya comprada, Por los cálculos también se conoce el momento flector
solicitante. El proceso es inverso y deberemos verificar aquí que la tensión σ máx. de trabajo sea menor
a la σ adm para le material utilizado, es decir:
σ tr = Mf / Wx < σ adm.
5.3.- VERIFICACION DE LA FLECHA Y EL CORTE
Una vez definida la escuadría de la pieza, es necesario verificar
condicionantes que de no ser satisfechos pueden obligar al redimensionamiento.
La primera verificación es la flecha, es decir la máxima distancia
normal, desde la traza original del eje longitudinal de la pieza, al eje de la elástica – traza deformada
por la aplicación de las fuerzas.
Se debe tener en cuenta que por razones estéticas y constructivas, la
flecha de trabajo – es decir la obtenida en la verificación- no debe ser mayor que una flecha admisible
establecida por los reglamentos.La flecha se calcula con la formula vista en el TP N1 que relaciona a los
cinco factores actuantes en la flexión. Ellos son:
•
•
•
•
•
Las condiciones de apoyo representada por la constante K,
la carga puntual P o uniforme q,
la luz L de la pieza,
la elasticidad del material (E)
el momento de inercia (J).
Así se tiene que para cargas distribuidas
F = k x q x l4 / E x J
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Y para cargas puntuales
F = k x P x l3 / E x J
En general y para construcciones de madera, los reglamentos
establecen los siguientes valores de flecha admisible:
F adm = l/300 para construcciones definitivas
F adm = l/250 para construcciones provisorias
La otra verificación que es necesario realizar es el CORTE, en la que se
deberá constatar que la tensión tangencial de trabajo sea menor que la admisible para el material que
sé esta utilizando
El esfuerzo de corte (Q) es la otra acción externa interviniente en la
flexión. Este produce deslizamientos horizontales y verticales (normales y tangenciales a la sección de la
pieza respectivamente), de igual valor, los que también deben ser contrarrestados por esfuerzos
internos de corte τ (kg/cm2)
Los esfuerzos de corte se generan cuando las fuerzas actuantes,
iguales y de sentido contrario, se sitúan en dos planos muy próximos entre sí. A esta acción se opone el
material, generando reacciones de corte cuyo valor responde a la expresión que relaciona el esfuerzo
de corte Q en forma directamente proporcional al esfuerzo rasante máximo, y en forma inversamente
proporcional al producto de b, ancho de la sección por z, brazo de la cupla que se genera entre las
dos fuerzas rasantes
τ = Q/b x z
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Ahora, si tomamos una sección rectangular de madera y la
consideramos homogénea, con tensiones σ + y σ -, con el brazo de la cupla interna, reemplazando los
valores correspondientes en la expresión anterior tendremos que para esa sección:
τmax = 3/2. (Q / b x h)
Expresión que dice que la tensión máxima de una viga de madera de
sección rectangular es una vez y media mayor que la tensión media, cuyo valor es τmedio = Q / (b x h).
Este valor, el máximo, deber ser menor que el valor considerado admisible, que para la madera según
sea su tipo, puede ser tomado de la Tabla I. Como la tensión de corte actua simultaneamete en los dos
sentidos (vertical y horizontal) para esta verificación debe tomarse la tensión tangencial mas
desfavorable es decir con las fibras paralelas al eje longitudinal de la pieza, la tensión tangencial a
verificar será la / / a las fibras.
En general, el esfuerzo rasante en vigas de secciones rectangulares es
menor que el admisible cuando esas secciones son dimensionadas a flexión, pero es fundamental
conocer el valor cuando se acoplan mas de una sección (secciones compuestas) ya que es aquí
donde es absorbido por los bulones o el sistema de unión.
6.- CALCULO A FLEXION COMPUESTA.
Muchas veces es posible que una sección no se halle sometida
solamente al efecto de un momento flector sino también y simultáneamente a una fuerza axil, ya sea
de tracción o compresión. Se dice que la sección esta sometida a flexión compuesta (flexo compresión
o flexo tracción, según el caso)
El diagrama de tensiones resultantes será la suma de los diagramas de
cada uno de los esfuerzos por separado:
En este caso, momento positivo y esfuerzo axil de tracción, la tensión
máxima esta dada en el borde inferior y vale:
σ max = M / W + o - N / A
El dimensionado a flexión compuesta es bastante complejo (hay que
satisfacer simultáneamente un modulo resistente y un Área) y se prefiere la verificación, es decir
proponer una dada escuadría y “verificar” que la tensión máxima de trabajo sea menor que la
admisible. En la mayoría de los casos, el esfuerzo axil es muy pequeño y se puede “empezar”
dimensionando la escuadría necesaria para soportar el esfuerzo de flexión simple y luego verificar a
flexión compuesta.
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