FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES. AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL PERIODO ACADEMICO: II-2010

FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS
PROFESIONALES.
AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL
PERIODO ACADEMICO: II-2010
PRUEBA DE HIPOTESIS
NOMBRE:
SEMESTRE:
No:
FECHA:
PRUEBA DE HIPOTESIS:
Es una afirmación o una aseveración sobre un parámetro especifico
de una población.
Si se cumple la hipótesis el proceso está funcionando bien y no es
necesario aplicar correctivos al proceso.
Este estadístico se usa para inferir sobre toda la población.
HIPOTESIS NULA:
Si la hipótesis de que el parámetro poblacional es igual al especificado
por la empresa o el investigador.
𝐻0 = símbolo.
Ej1: si el promedio de las alturas de los estudiantes de la universidad
es de 172 cm.
𝐻0 : 𝜇 = 172 cm.
Ej2: Si se llenan cajas de cereales y en una muestra tomada se obtiene
que el promedio de llenado sea 254 gr.
𝐻0 : 𝜇 = 254 gr.
HIPOTESIS ALTERNATIVA:
Es opuesta a la hipótesis nula.
Si la hipótesis nula es falsa la hipótesis alternativa es cierta.
Si en el análisis se da una hipótesis nula, se debe dar una hipótesis
alternativa.
Ej1: 𝐻1 : 𝜇 ≠ 172 cm
Ej2. 𝐻1 : 𝜇 ≠ 254 cm
Cuando se analiza la muestra y existen evidencias de que la
información dada es falsa se rechaza la hipótesis nula.
VALOR CRÍTICO DEL ESTADISTICO DE PRUEBA.
La metodología de prueba radica es en determinar que tan probable
es que la Hipótesis Nula sea cierta, considerando la información de la
muestra.
Como se hace:
1. Se toma una muestra y se calcula la media muestral. Este
estadístico 𝑋̅ es una estimación del parámetro media
poblacional 𝜇 .
2. Si la Hipótesis nula es cierta, es posible que el estadístico de
media muestral 𝑋̅, sea diferente al parámetro media poblacional
𝜇.
3. Si la Hipótesis nula es cierta, se espera que el estadístico de la
muestra 𝑋̅, sea cercano al parámetro poblacional 𝜇 .
4. Si el estadístico de muestra 𝑋̅, es cercano al parámetro
poblacional 𝜇 , no se cuenta con evidencias suficientes para
rechazar la hipótesis nula.
Ej. Si ud toma una muestra de clientes y registra que en la atención a
cada uno de ellos, en hacer o realizar una compra es: 5.5, 5.8, 5.9, 5.0,
5.6, 5.4, 5.2, 4.9. Sabiendo que la media poblacional es 5.5
(𝜇=Parametro)
La media de la muestra (𝑋̅ = estadístico) es:
5.5+5.8+5.9+5.0+5.6+5.6+5.4+5.2+4.9
48.9
𝑋̅ =
= 9 = 5.43
9
Si la Hipótesis Nula es: 𝐻0 : 𝜇 = 5.5
La hipótesis alternativa es: 𝐻1 : 𝜇 ≠ 5.5.
La media poblacional no cambio porque el valor obtenido es muy
cercano al de la hipótesis nula.
PRUEBA DE HIPÓTESIS:
1. Se plantea la hipótesis Nula: 𝐻0
2. Se plantea la hipótesis alternativa: 𝐻1
3. El nivel de significancia que se va a utilizar. 𝛼. Es un estándar
estadístico que se especifica para rechazar o aceptar la hipótesis
nula.
Los más usados son: 10%, 5%, 1%.
REGION DE
ACEPTACION
N
REGION DE
RECHAZO
Los valores críticos Z de aceptación: 𝑍1 < 𝑍 < 𝑍2
Los valores críticos Z de aceptación: 𝑋̅1 < 𝑍 < 𝑋̅2
EJEMPLO: Un auditor desea probar el supuesto de que el valor
promedio de todas las cuentas por cobrar en una empresa
determinada es de $260.000, tomando una muestra de 36 cuentas y
calculando la media muestral. Desea rechazar el valor supuesto de
$260.000 solo si la media muestral lo contradice en forma clara, por
lo que se debe dar el beneficio de la duda. Determinar los valores
críticos de la media muestral para probar la hipótesis, con un nivel de
significancia del 5%, si la desviación estándar es 𝜎 = $43.000.
1. La hipótesis nula. 𝐻0 : 𝜇 = $260.000
La hipótesis alternativa. 𝐻1 : 𝜇 ≠ $260.000.
2. Nivel de significancia: 5% = 0.05. Colas: 2.5 = 0.025
3. Estadísticos de prueba para 𝑋̅: n = 36 𝜎 = $43.000.
La desviación estándar de la media muestral es:
𝜎
43.000
𝜎𝑥̅ =
=
= 7166.67
√𝑛
√36
Para A = 0.025. El valor de unidades estandarizadas según tabla
es Z = -1.96 y Z = 1.96.
𝑋1 = 245.953.33
𝜇
𝑋1 = 274.046.67
Los valores críticos para Z: -1.96 < Z < 1.96.
4. Calculamos los valores limites del intervalo.
Para 𝑍1 = −1.96, 𝑋̅𝐶𝑅 = 𝜇 ± 𝑍𝜎𝑋̅
𝑥̅1𝐶𝑅 = 260.000 − (1.96)(7166.67)
𝑥̅1𝐶𝑅 = 260.000 − 14.046.67
𝑥̅1𝐶𝑅 = 245.953.33
Para 𝑍1 = 1.96, 𝑋̅𝐶𝑅 = 𝜇 ± 𝑍𝜎𝑋̅
𝑥̅1𝐶𝑅 = 260.000 + (1.96)(7166.67)
𝑥̅1𝐶𝑅 = 260.000 + 14.046.67
𝑥̅1𝐶𝑅 = 274.046.67
Los valores críticos de la media: 245.953.33 < 𝜇 < 274.046.67
5. Para rechazar la hipótesis nula, la media muestral debe tener un
valor inferior a $245.953.33 o mayor a $274.046.67.
H0 : μ = $260.000, se rechaza si la media no pertenece al
intervalo determinado por [245.953.33; 274.046.67].
6. Cuando se determina el valor de la media muestral, se
transforma en unidades estandarizadas Z, para comparar con los
valores críticos Z.
𝑋̅ − 𝜇
𝑍=
𝜎𝑥̅
7. Si la media muestral es 𝑋̅ = 240.000 se debe determinar si se
acepta o se rechaza la hipótesis nula.
𝑋̅ − 𝜇 240.000 − 260.000
𝑍=
=
= −2.7906
𝜎𝑥̅
7166.67
Como este valor se encuentra en la región de rechazo;
Z = -2.7906 No pertenece a -1.96 < Z < 1.96
Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa:
𝐻1 : 𝜇 ≠ $260.000.
Recuerde que el valor de 𝑋̅ = 240.000 no se encuentra en el
intervalos 245.953.33 < 𝜇 < 274.046.67.
EJEMPLO No2:
La media de llenado de las cajas de un cereal determinado en una
empresa de empacados es de 368 gr. El proceso es tan rápido que en
algunas cajas hay excesos y en otras hay faltante. Supóngase que en
una muestra de 25 cajas la desviación estándar de la población es de
15 gr. Y la media muestral es de 372.5 gr. Se rechaza o se acepta la
prueba de hipótesis nula, teniendo en cuenta un nivel de significancia
del 5%.. Es equivalente al Intervalo de confianza del 95%.
1.
2.
3.
La hipótesis nula. 𝐻0 : 𝜇 =
La hipótesis alternativa. 𝐻1 : 𝜇 ≠ .
Nivel de significancia:
=
. Colas:
=
.
Estadísticos de prueba para 𝑋̅: n = 36 𝜎 = $43.000.
La desviación estándar de la media muestral es:
𝜎
𝜎𝑥̅ =
=
√𝑛
4.
Para A =
. El valor de unidades estandarizadas según tabla es
Z=
yZ=
.
Intervalo de los valores críticos para Z:
.
Calculamos los valores limites del intervalo.
Para 𝑍1 =
, 𝑋̅𝐶𝑅 = 𝜇 ± 𝑍𝜎𝑋̅
Para 𝑍2 =
,
𝑋̅𝐶𝑅 = 𝜇 ± 𝑍𝜎𝑋̅
con un nivel de significancia de 0.05, el tiempo de espera medio para
despachar una orden se ha modificado durante el último mes con
respecto a su valor de la media poblacional de 4.5 min.
P1: La hipótesis nula dice que la media poblacional de atención a los
clientes en un pedido no ha cambiado con relación a su valor previo.
𝐻0 : 𝜇 = 4.5
La hipótesis alternativa es contraria a la hipótesis nula:
𝐻1 : 𝜇 ≠ 4.5
P2: Se selecciona una muestra n = 25
Nivel de significancia 𝛼 = 0.05
P3: Se conoce la 𝜎 = 1.2. y el estadístico de prueba Z.
P4: Como 𝛼 = 0.05. Los valores críticos son:
A = 0.025 y según tabla 𝑍1 = −1.96 y 𝑍2 = 1.96
Intervalo de valores críticos de la media:
5.
Si la media muestral es 𝑋̅ = 372.5 se debe determinar si se
acepta o se rechaza la hipótesis nula.
𝑍=
𝑋̅ −𝜇
𝜎𝑥̅
=
EJEMPLO 2.2. Cambie para el ejercicio No 2, el nivel de significancia.
EJEMPLO No 3. Para justificar su petición de aumento de salario, los
empleados del Depto. de despachos de una firma de ventas por
correo, sostienen que en promedio el Depto. completa una orden en
13 min. Si Ud. es el gerente general de firma, Que conclusión obtiene
si en una muestra de 400 ordenes, da un tiempo medio de
terminación del pedido de 14 min, con una desviación estándar de 10
min y un nivel de significancia del 0.05.
1. Plante la prueba de hipótesis.
2.
Calcule la desviación estándar de la media muestral.
3.
Haga una grafica representando la situación.
4.
Halle los valores estandarizados Z para 𝑋̅ = 14.
5.
Concluya.
EJEMPLO No 4. Pruebe el mismo ejercicio anterior con un nivel de
significancia del 0.10.
EJEMPLO No 5. El gerente de un restaurante de comidas rápidas
quiere determinar el tiempo de espera, al pedir una orden y ser
atendido, que se ha modificado durante el último mes con respecto a
su valor de la media poblacional previo de 4.5 min. A partir de la
experiencia anterior, supone que la desviación estándar de la
población es de 1.2 min. Se selecciona una muestra de 25 órdenes
durante un periodo de una hora. Si la media muestral es de 5.1 min.
Utilice el método y analicé para determinar si existe evidencia de que,
Región de aceptación es:
-1.96 < Z < 1.96
𝜎
1.2
𝜎𝑥̅ =
=
= 0.24
√𝑛 √25
P5: Para el valor de la media muestral 𝑋̅ = 5.1 Hallamos Z.
𝑋̅ − 𝜇
5.1 − 4.5
𝑍=
=
= 2.5
𝜎𝑥̅
0.24
P6: Como Z = 2.5 y se encuentra fuera del intervalo de los valores
críticos, existe una evidencia de que el tiempo de espera al pedir una
orden se ha modificado con respecto a su valor de la media
poblacional de 4.5 min. El tiempo de espera es mayor.
CONCLUSIÓN: Se deben realizar ajustes dentro de la empresa para
poder mantener o bajar el promedio de atención en sus clientes en
las órdenes de pedido.
EJEMPLO No 5. Qué pasaría si el nivel de significancia se cambiara al
0.10, o al 0.01.
Lic. Simeón Cedano Rojas
PRUEBA DE HIPOTESIS