Ecuaciones Cuadráticas UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 5

República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Tel.: 958-5804
Nombre del Alumno o la Alumna: _______________________________
Grupo: 10º ______
Sección: Bachiller Industrial : Segundo Ciclo Industrial
Especialidad: _____________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 5
Ecuaciones Cuadráticas
5.0 ÁREA: Álgebra
5.1 OBJETIVOS

Resuelven ecuaciones de segundo grado con una incógnita o ecuaciones cuadráticas, por
diferentes métodos de resolución.

Aplican las ecuaciones cuadráticas en la solución de problemas de la vida real.
5.2 INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones de segundo grado corresponden, gráficamente, a las elipses, parábolas e
hipérbolas, que son formas cónicas expresadas por ecuaciones cuadráticas, y las cuales tienen
grandes posibilidades de aplicaciones en situaciones de la vida real.
El estudio de la ecuación cuadrática se realiza en dos formas distintas, primero con una
incógnita: en donde se trabaja los métodos para resolver una ecuación de segundo grado y la
fórmula general y se usa el discriminante para determinar la naturaleza de las raíces.
La
segunda, es cuando se trabaja con dos incógnitas, que viene hacer el estudio de la parábola
como solución gráfica de la ecuación de segundo grado, lo cual se verá en undécimo grado.
La palabra “cuadrática” se deriva del vocablo latino “quadratus”, que significa “cuadrado”.
Por muchos años, los matemáticos se negaron en aceptar los números negativos y el cero, esto
tuvo como resultado el atraso de muchos años en la solución completa y general de las
ecuaciones.
La resolución de la ecuación de segundo grado se remonta a los comienzos de la Matemática, en
general; y a los del Álgebra, en particular.
Se sabe de valiosos aportes hechos desde la
antigüedad, por matemáticos procedentes de Babilonia, la India, Arabia, para su solución.
Los egipcios usaron la Aritmética para encontrar los conjuntos solución de las ecuaciones
cuadráticas. Los griegos, usaron la Geometría para resolverlas. Los hindúes, desarrollaron un
método algebraico para resolver las ecuaciones cuadráticas. Sin embargo, hasta principios del
siglo XVII, el inglés Thomas Harriet usó la factorización para resolver las ecuaciones cuadráticas,
descartando las soluciones negativas.
5.3 DEFINICIÓN
Hemos considerado, anteriormente, la ecuación lineal, de la forma ax  b  0 . Se vio que esas
ecuaciones tienen exactamente una solución, x  
b
a
Muchos problemas en Matemáticas nos
conducen a ecuaciones en las cuales la variable contiene un grado mayor que uno.
Sean a, b, c  R con a  0 , la expresión ax2  bx  c  0 se llama ecuación de segundo grado
con una incógnita o ecuación cuadrática.
En otros términos, una ecuación cuadrática es aquella en la que el exponente más grande de la
variable, una vez escrita en forma general, es dos.
5.3.1 CONCEPTO
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática con una incógnita x , una vez
simplificada, es de la forma: ax2  bx  c  0 con a  0 .
Ejemplos: 2x 2  3x  6  0
3x 2  2x  0
2x 2  6x  0
x2  9  0
7 x 2  24x  81  0
m2  6m  9  0
En la ecuación: x 2  5x  6  0
Coeficiente de x 2 es: a  1
Coeficiente de x es: b   5
Coeficiente “ c ” o término independiente es c  6 y la incógnita es: “ x ”
5.4 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS
La ecuación cuadrática puede ser clasificada como completa e incompleta, según la cantidad de
términos que tenga cuando haya sido reducida.
1) La ecuación cuadrática es completa cuando los coeficientes de los términos de la
primera y segunda potencia de la incógnita y el término independiente son diferentes de
cero. Es de la forma: ax2  bx  c  0 con a  0
Ejemplos: 5x 2  3x  6  0 ,
7  6y  9y2  0 ,
x 2  5  3x  0
2) La ecuación cuadrática incompleta es aquella en que los coeficientes b y c
pueden anularse (uno de los dos o los dos).
Las formas de la ecuación cuadrática incompleta son:
a) ax2  bx  0 , donde c  0
b) ax2  c  0 , donde b  0 Esta forma se le llama cuadrática pura
c) ax2  0 , donde b  0 y c  0 .
Ejemplos: 3x 2  4 x  0 ,
5x 2  6  0 ,
2x 2  0
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2
sí
PRÁCTICA Nº 1
I. Coloque las siguientes ecuaciones en la forma general, es decir, de la forma: ax2  bx  c  0
1) x 2  2 x  1  2
4) 2x 2  9x  2x  3
7) x 2  25  5x  15
2)  3x 2  5x  6
5) 3x  x 2  5  3x 2
8) 5 x 2  2  7x  3
3)  4x  x 2  3  8
6) x 2  4x  3   1  5x
9) x 2  x  3   2  3x


II. Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas, señala los valores de a, b, y c
correspondientes a ax2  bx  c  0
1) 2x 2  4 x  1  0
3) 3x  2  x 2  0
5) 5z 2  8z  2
2) 7 y 2  12y  3
4) 17w  8w2   1
6) 19x  4 x 2  3
III. Dadas las siguientes ecuaciones cuadráticas, encuentre los valores de a, b, y c en cada una
de ellas e indica si es completa e incompleta:
3)
x  22  4  0
5x  3  x4 x  1  0
x  5x  3  23  x  8
4)
3xx  6  x  4x  4  3x  5  x3  x
1)
2)
2
5)
3xx  5  x  3x  2  18 0
6)
xx  3x  4  xx  2  6  x  2x
2
2
IV.Complete la tabla siguiente como un repaso del tema.
Nº
1
Ecuación Cuadrática
3x  5 x  6  0
2
6x 2  3
3
7 y 2  5y  4y
4
x x  3  4x
5
3 m  12m  5  0
6
3z z  2  3z  2
7
2t t  3  2t  4
Valor de a
Valor de b
Valor de c
Completa o Incompleta
2
2
2
5.5 RAÍCES
Las raíces de la ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática son los valores de la
incógnita que satisfacen la ecuación, y la ecuación cuadrática tiene dos raíces.
Todas las ecuaciones cuadráticas tienen dos raíces o dos soluciones que pueden ser iguales o
diferentes.
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3
5.6 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Resolver una ecuación cuadrática ax2  bx  c  0 es determinar los valores de la incógnita que
satisfacen la ecuación. Estos valores que satisfacen la ecuación se llaman soluciones o raíces
la ecuación cuadrática.
5.7 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Son los procedimientos para resolver la ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática; y
resolver una ecuación de segundo grado consiste en determinar las raíces o ceros de dicha
ecuación.
Entre los métodos de resolución podemos mencionar, si son ecuaciones cuadráticas
incompletas se pueden resolver por factorización (factor común monomio o por diferencia de
cuadrados) y por extracción de raíces.
Pero si son ecuaciones cuadráticas completas,
podemos utilizar los siguientes métodos: por factorización, por completar cuadrados, por la
fórmula general o cuadrática, por ensayo y error, o por el método de aspa simple.
5.7.1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS
1. ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA DE LA FORMA ax2  bx  0
Estas ecuaciones donde c  0 se resuelven por factor común monomio.
Regla: Llévese la ecuación a la forma general de modo que el segundo miembro sea cero, luego
factorice por factor común monomio, el primer miembro y se obtiene dos factores cuyo producto
es cero, se iguala a cero y se encuentran las raíces.
Observación: Cuando un producto de dos factores es cero, uno de ellos, por lo menos, es
cero.
EJEMPLOS RESUELTOS POR FACTORIZACIÓN (FACTOR COMÚN MONOMIO)
1)
x 2  5x
Solución:
2)
x 2  5x  0
Se lleva la ecuación a su forma general
x x  5  0
Factor común monomio x
x  0 ; x 5  0
Se iguala cada factor a cero
x1  0 ; x2  5
Se despeja x y esas son las raíces
 S   0, 5 
El conjunto solución de la ecuación
x 2  3x  0
Se lleva la ecuación a forma general
x x  3  0
Factor común monomio x
x  0 ; x  3 0
Se iguala cada factor a cero
x 2   3x
Solución:
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4
3)
x1  0 ; x2   3
Se despeja x y esas son las raíces
 S    3, 0 
El conjunto solución de la ecuación
5x 2  2 x  0
Solución:
5x 2  2 x  0
Ecuación en su forma general
x 5x  2  0
Factor común monomio x
x  0 ; 5x  2  0
Se iguala cada factor a cero
x  0 ; 5x  2
Se despeja x
x1  0 ; x 2 
2
5
Son las raíces
 2
 S   0, 
 5
4)
El conjunto solución de la ecuación
6x 2   2x
Solución:
6x 2  2x  0
Ecuación en su forma general
2 x 3x  1  0
Factor común monomio x
2 x  0 ; 3x  1  0
Se iguala cada factor a cero
x 
0
; 3x   1
2
Se despeja x
1
x1  0 ; x 2  
3
Son las raíces
 1

 S   , 0
 3

El conjunto solución de la ecuación es
5) 9 x 2  3x  0
Solución:
9 x 2  3x  0
Ecuación en su forma general
3x 3x  1  0
Factor común monomio x
3x  0 ; 3 x  1  0
Se iguala cada factor a cero
x  0 ; 3x   1
Se despeja x
x1  0 ; x 2  
1
3
 1

 S   , 0
 3

Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación es
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5
2. ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA DE LA FORMA ax2  c  0
Estas ecuaciones las podemos resolver por factorización o por extracción de raíces.
EJEMPLOS RESUELTOS POR FACTORIZACIÓN (DIFERENCIA DE CUADRADOS) Y POR
EXTRACCIÓN DE RAÍCES
1) 2 x 2  8  0
Solución: Por factorización, tenemos:
2x 2  8  0
Ecuación en su forma general
2 2
8
0
x 

2
2
2
Dividiendo por el coeficiente de x 2
x2  4  0
Simplificando la expresión
 x  2  x  2 
0
Factorizando la diferencia de cuadrados
x 2  0 ; x  2  0
Se iguala cada factor a cero y se despeja x
x 1   2 ; x2  2
 S    2, 2 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
Solución: Por extracción de raíces, tenemos:
2x 2  8  0
Ecuación en su forma general
2x 2  8
Transponiendo el término independiente al miembro derecho
x2 
8
2
Despejando la variable x
x2  4
Simplificando
x2 
Se extraen las raíces de ambos miembros
4
x  2
Toda raíz cuadrada tiene dos signos: positivo y negativo
x 1   2 ; x2  2
 S    2, 2 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
2) 5x 2  15  0
Solución: Por extracción de raíces, tenemos:
5x 2  15  0
Ecuación en su forma general
5x 2  15
Transponiendo el término independiente al miembro derecho
x2 
15
5
Despejando la variable x
x2  3
x2 
Simplificando
3
x   3
Se extraen las raíces de ambos miembros
Toda raíz cuadrada tiene dos signos: positivo y negativo
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6
x 1   3 ; x2 

3
 S   3,
3

Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
3) 2x 2  18  0
Solución: Por factorización, tenemos:
2x 2  18  0
Ecuación en su forma general
2 2 18
0
x 

2
2
2
Dividiendo por el coeficiente de x 2
x2  9  0
Simplificando la expresión
x  3 x  3 
0
Factorizando la diferencia de cuadrados
x3  0 ; x  3  0
Se iguala cada factor a cero y se despeja x
x 1   3 ; x2  3
 S    3, 3 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
PRÁCTICA Nº 2
Resuelva las ecuaciones cuadráticas siguientes, identificando qué forma tiene y aplicando el
método de factorización o extracción de raíces.
1) 7 x 2  14x  0
2) 2 x 2  14x  0
3) 3x 2  15x  0
4) 5x 2  4x  3x  x 2
5) 9 z 2  3z  0
6)
7) 4x  12x  3  x  3x  1
8)  y  6  36
9) 98x 2  18  0
11) 3  x 2  2 x 2  1
2
12) 4 x 
10)
3t 2  2t
13)
x2 
16)
4x  14x  1
4
10
2

x  2  x 
3
3
3
 24
2
1
y  0
5
14)
y2 
17)
2m  32m  3
15)
 16
x  42 
8x  24
9x  0
2 2
x  x  0
3
18) 3 y 2  27y  0
5.7.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS
Las ecuaciones completas de segundo grado se pueden resolver por varios métodos: Por el
método de factorización, por el método de completando cuadrados, por el método de la fórmula
general, por el método de ensayo y error y por el método de aspa simple (estos dos últimos
métodos son importantes, aunque no se contempla en el programa de Matemáticas).
Las ecuaciones cuadráticas completas presentan dos casos: cuando a  1 y cuando a  1
5.7.2.1 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR FACTORIZACIÓN
1. ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA DE LA FORMA x 2  bx  c  0 , CUANDO a  1
Reglas: Para resolver la ecuación cuadrática por factorización, se procede así:
1) Escriba la ecuación en forma general. Así: ax2  bx  c  0
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2) Factorice el miembro izquierdo (o el primer miembro), en factores binomios de primer
grado.
3) Igualar a cero cada factor. Aplique el principio de que si un producto es cero, uno o más
de sus factores es igual a cero.
4) Resuelva cada ecuación de primer grado resultante.
EJEMPLOS POR FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE LA FORMA: x 2  bx  c  0
1) x 2  7 x  12  0
Solución:
x 2  7 x  12  0 Ecuación en su forma general
x  4 x  3
 0 Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
x  4  0 ; x  3  0 Se iguala cada factor a cero y se despeja x
x 1  4 ; x2  3
 S  3, 4 
2)
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
x 2  9x  20  0
Solución:
x 2  9x  20  0 Ecuación en su forma general
x  4 x  5
 0 Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
x  4  0 ; x  5  0 Se iguala cada factor a cero y se despeja x
x 1  4 ; x2  5
 S   4, 5 
3)
x 2  2 x  24
Solución:
x 2  2x  24  0 Ecuación en su forma general
 x  6   x  4
4)
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
 0 Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
x6  0 ; x  4  0
Se iguala cada factor a cero y se despeja x
x 1  6 ; x2   4
 S    4, 6 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
x 2  25x   156
Solución: x 2  25x  156  0 Ecuación en su forma general
x  13 x  12
 0 Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
x  13  0 ; x  12  0 Se iguala cada factor a cero y se despeja x
x 1  13 ; x2  12
 S  12, 13
5)
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
x 2  2ax  6ab  3bx
Solución: x 2  2ax  6ab  3bx  0
Ecuación en su forma general
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8
x
2

 2ax  3bx  6ab  0
xx  2a   3bx  2a   0
Factor común monomio
x 
Factor común binomio
2a x  3b  0
x  2a  0 ; x  3b  0
x 1  2a ; x2   3b
 S   2a,  3b 
6)
Agrupando términos
Igualando cada factor a cero y se despeja x
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
x 2  2xy  y 2  0
Solución: x 2  2xy  y 2  0
x  y  x  y 
 0
Ecuación en su forma general
Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
x y  0 ; x y  0
Igualando cada factor a cero y se despeja x
x 1   y ; x2   y
 S    y,  y 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
2. ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA DE LA FORMA ax2  bx  c  0 , CUANDO a  1
Las ecuaciones cuadráticas completas, de la forma ax2  bx  c  0 tienen varias formas de
resolverse: por el método de factorización, por el método de ensayo y error, aplicando la
fórmula general, completando cuadrados, o por el método de aspa simple.
EJEMPLOS APLICANDO FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE LA FORMA ax2  bx  c  0
1) 2 x 2  7 x  15
Solución: 2x 2  7 x  15  0


2 2 x 2  7 x  15
 0
2
2 x 2  72 x 
 30
2
2 x  10  2 x  3
2
Ecuación en su forma general
Se multiplica y divide por el coeficiente de x 2 , por 2
 0
El primer término queda elevado al cuadrado, en el segundo
se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.
 0
Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
2 x  5 2 x  3
 0
2
Factorizando y simplificando uno de los factores
x  5 2x  3
Se iguala cada factor a cero
 0
x  5  0 ; 2x  3  0
Se despeja la x
2x   3
x1  5 ;
x2  
 3

: S   , 5 
 2

3
2
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
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9
2) 12x 2  11x  5
Solución: 12x 2  11x  5  0


12 12x 2  11x  5
 0
12
Ecuación en su forma general
Se multiplica y divide por el coeficiente de x 2 , por 2
12x 2
 1112x   60
 0 El primer término queda elevado al cuadrado, en el segundo
12
se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.
12 x  15  12 x  4  0
Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
12
3 4 x  5 4 3x  1
 0
12
Factorizando y simplificando uno de los factores
4x  5 3x  1
Se iguala cada factor a cero
 0
4 x  5  0 ; 3x  1  0
4x  5
x1 
Se despeja la x
3 x  1
5
;
4
x2  
 1 5
 S   , 
 3 4
1
Son las raíces
3
El conjunto solución de la ecuación
3) 2x 2  5x   3
Solución: 2x 2  5x  3  0

Ecuación en su forma general

2 2 x 2  5x  3
 0
2
2 x 2  5 2 x 
 6
2
Se multiplica y divide por el coeficiente de x 2 , por 2
 0
El primer término queda elevado al cuadrado, en el segundo
se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.
2 x  2 2 x  3
 0
2
Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
2 x  1 2 x  3
 0
2
Factorizando y simplificando uno de los factores
x  1 2 x  3
Se iguala cada factor a cero
 0
x  1  0 ; 2x  3  0
Se despeja la x
2x   3
x 1  1 ;
 3

 S   ,  1 
 2

x2  
3
2
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
4) 6 x 2   7 x  2
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10
Solución: 6x 2  7 x  2  0

Ecuación en su forma general

6 6x 2  7x  2
 0
6
6 x 2  76 x 
 12
6
Se multiplica y divide por el coeficiente de x 2 , por 12
 0
El primer término queda elevado al cuadrado, en el segundo
se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.
6 x  4 6 x  3
 0
6
Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
2 3x  2 3 2 x  1
 0
6
Factorizando y simplificando uno de los factores
3x  2 2 x  1
Se iguala cada factor a cero
 0
3x  2  0 ; 2 x  1  0
Se despeja la x
3x   2 ; 2 x   1
x1  
2
;
3
x2  
1
2
1
 2
 S   ,  
2
 3
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
5) 6 x 2  24x  18
Solución: 6x 2  24x  18  0


6 6 x 2  24x  18
 0
6
Ecuación en su forma general
Se multiplica y divide por el coeficiente de x 2 , por 6
6 x 2 
246 x   108
 0 El primer término queda elevado al cuadrado, en el segundo
6
se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.
6 x  18  6 x  6  0
Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
6
6  x  3 6 x  6
 0
6
Factorizando y simplificando uno de los factores
x  3 6 x  6
Se iguala cada factor a cero
 0
x  3  0 ; 6x  6  0
Se despeja la x
x  3 ; 6x  6
x 1  3 ; x2  1
 S  1, 3 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
Verificación:
Para x1  3
Para x2  1
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11
6 x 2  24x  18  0
6 3  243  18 
6 9  72  18 
54  72  18 
0
2
6 x 2  24x  18  0
6 1  241  18 
6 1  24  18 
6  24  18 
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
6) 21  x  x  4  3x  2x  8 18
2
2
Solución:
21  x   x  4   3 x  2x  8  18
2

2
 



2 1  2 x  x 2  x 2  8 x  16   3 x 2  8 x  2 x  16  18
2  4 x  2 x 2  x 2  8 x  16   3x 2  24x  6 x  48  18
3x 2  12x  18   3x 2  18x  30
3x 2  12x  18  3x 2  18x  30  0
6 x 2  6 x  12  0
6x 2  6x  12  0

Ecuación en su forma general

6 6 x 2  6 x  12
 0
6
6 x 2  6 6 x 
 72
6
6 x  12  6 x  6
6
Se multiplica y divide por el coeficiente de x 2 , por 6
 0
El primer término queda elevado al cuadrado, en el segundo
se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.
 0
Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios
6 x  2 6 x  6
 0
6
Factorizando y simplificando uno de los factores
x  26x  6
Se iguala cada factor a cero
 0
x  2  0 ; 6x  6  0
Se despeja la x
x  2 ; 6x   6
x 1  2 ; x2   1
 S    1, 2 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
PRÁCTICA Nº 3
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de factorización:
1)
x2  x  6  0
2)
x 2  18x  81  0
3)
2x 2  5x  15  6x
4)
5x 2  45x  27   3x
5)
x 2  10x  21  0
6)
10x 2  15x  14x  21
7)
x 2  16x  15  0
8)
x 2  11x  12  0
9)
x 2  16x  39  0
10)
6x 2  x  15  5x 2  13x
11)
8x 2  32x  12  3x
12)
x 2  8x  33  0
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12
13)
12x 2  32x  8   3x
16)
3xx  5  x  3x  2  18  0
14)
17)
6x 2  18  0
x  4  x  2
3x  5


10
20
5
2
15)
x2  x  2  0
18)
7x  5x  3  5x  3x  3  0
5.7.2.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETANDO CUADRADOS
De forma general, los procedimientos para completar cuadrado consisten en construir mediantes
operaciones algebraicas, un trinomio cuadrado perfecto (ya sea de la forma x 2  bx  c  0 o
ax2  bx  c  0 ) a partir de un trinomio que no lo es, y luego reducir el resultado a un binomio al
cuadrado más o menos una constante.
Reglas:
1) Escribe la ecuación cuadrática en su forma general, es decir, en su forma: x 2  bx  c  0
2) Se transpone el término c al segundo miembro, es decir, el término independiente pasa a la
derecha y con signo contrario
3) Si la ecuación es de la forma: ax2  bx  c  0 se divide cada término por el coeficiente de x 2 ,
es decir, por a
4) Se divide entre 2 el coeficiente que acompaña a x , es decir, por
b
esa expresión, es decir  
2
b
, buscamos el cuadrado de
2
2
5) Sumamos en cada miembro el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término, es
2
b
decir, la expresión   y obtenemos en el miembro izquierdo un trinomio cuadrado perfecto.
2
6) Se factoriza el primer miembro del trinomio cuadrado perfecto (en un binomio) y se reduce el
segundo miembro de la ecuación.
7) Se extraen las raíces a ambos miembros y se resuelven las ecuaciones resultantes,
despejando la variable, que por lo general es x .
EJEMPLOS RESUELTOS POR EL MÉTODO DE COMPLETANDO CUADRADOS
1) 6x 2  14x  12  0
Solución: 6x 2  14x  12  0
Ecuación en su forma general
6x 2  14x  12
Transponemos el término independiente c
6 2 14
12
x 
x 
6
6
6
Se divide por a , el coeficiente de x 2 , es decir, por 6
x2 
7
12
x 
3
6
Se simplifica
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13
2
7
12  7 
7
x  
 
3
6
6
6
x2 
2
Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del
coeficiente del segundo término
7
49 12
49
x


3
36
6
36
x2 
Se resuelve las potencias
7
72  49

x  6  
36


2
Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto de la
izquierda y se desarrolla el miembro derecho
7

 x  6 
x
2

121
36
Se extraen las raíces a ambos miembros
7
11
 
6
6 |
x  
Se despeja la variable x
11 7

6
6
x1 
11 7
11 7

x2   
;
6
6
6
6
x1 
11  7 4
11  7
18

x2  

;
6
6
6
6
x1 
2
3
x2   3
;
2

 : S    3, 
3

Verificación:
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
Para x1   3
6 x 2  14x  12  0
6  3  14  3  12  0
6 9  14  3  12  0
2
54  42  12  0
2
Para x2  3
6 x 2  14x  12  0
6  23   14  23   12  0
2
6  94   14  23   12  0
24
9
54  54  0
0 0

28
3
 12  0
24  84  108
9
 0
0
9
 0
0 0
2) x 2  2x  63  0
Solución: x 2  2x  63  0
x 2  2 x  63
Transponer el término independiente c
x 2  2x  1  63  1
2
Ecuación en su forma general
2
Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del
coeficiente del segundo término
x 2  2x  1  63  1
Se resuelve las potencias
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14
x  12
 64
x  12

Se factoriza el primer miembro y se reduce el segundo
Se extraen las raíces a ambos miembros
64
x  1  8
Se despeja la variable x
x   8 1
x1  8  1 ; x2   8  1
x1  7
; x2   9
 S   9, 7 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
Verificación:
Para x1   9
x 2  2 x  63  0
Para x2  7
x 2  2 x  63  0
7 2  2 7 
 92  2  9
 63  0
81  18  63  0
81  81  0
0 0
 63  0
49  14  63  0
63  63  0
0 0
3) 5x 2  17x  6  0
Solución:
5x 2  17x  6  0 Ecuación en su forma general
5x 2  17x   6
Transponer el término independiente c
5 2 17
6
x 
x  
5
5
5
Se divide cada término por a , el coeficiente de x 2 , es decir, por 5
x2 
17
6
x  
5
5
x2 
17
x
5
Se simplifica
2
6  17 
 17 
     
5  10 
 10 
2
Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del
coeficiente del segundo término
x2 
7
289
6
289
x
  
3
100
5
100
17
 120 289

 x  10 
100


Se resuelve las potencias
2
Se factoriza el primer miembro que es un T. C. P.
2
17
169

 x  10  100


17 

 x  10 
2

169
100
Se desarrolla o reduce el segundo miembro
Se extraen las raíces a ambos miembros
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15
x
17
13
 
10
10
x  
Se despeja la variable x
13 17

10 10
x1 
13 17
13 17

x2  

;
10 10
10 10
x1 
13  17
4
13  17
30

x2  

;
10
10
10
10
x1  
2
5
; x2   3
Son las raíces
2

: S    3,  
5

El conjunto solución de la ecuación
Verificación:
2
Para x2   5
5 x 2  17x  6  0
Para x1   3
5 x 2  17x  6  0
5  52   17  23   6  0
2
5  3  17  3  6  0
5 9  17  3  6  0
5  254   17  52   6  0
2
20
25
45  51  6  0

51  51  0
0 0
34
5
 6 0
20  170  150
25
 0
0
25
 0
0 0
4) x  10x  16  0
2
Solución:
x 2  10x  16  0
Ecuación en su forma general
x 2  10x   16
Transponer el término independiente c
x 2  10x  5   16  5 Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del
2
2
coeficiente del segundo término
x 2  10x  25   16  25
Se resuelve las potencias
x  52
Se factoriza el primer miembro y se reduce el segundo
 9
 x  5 2

9
x 5  3
Se extraen las raíces a ambos miembros
Se despeja la variable x
x   3 5
x1  3  5 ; x2   3  5
x1  8
; x2  2
 S   2, 8 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
16
Verificación:
Para x1  2
x 2  10x  16  0
Para x2  8
x 2  10x  16  0
22  10 2
82  108
 16  0
4  20  16  0
20  20  0
0 0
 16  0
64  80  16  0
80  80  0
0 0
5) 5xx  2  7x  1  13  0
Solución:
5xx  2  7x  1  13  0
Se realizan las operaciones para reducir la ecuación
5 x 2  10 x  7 x  7  13  0
5 x 2  17 x  6  0
5 x 2 17x 6

 0
5
5
5
Como el coeficiente de x 2 , es a  1 , se necesita dividirlo
x2 
17
6
x 
 0
5
5
Ecuación en su forma general
x2 
17
6
x 
5
5
Se transpone el término independiente c
2
17
6  17 
 17 
x 
x     
5
5  10 
 10 
2
2
Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del
coeficiente del segundo término
17
289
6 289
x 
x
  
5
100
5 100
2
Se resuelve las potencias
2
17 
169

x 
 
10 
100

2
17 

x 
 
10 

x
169
100
17
13
 
10
10
x  
x1 
Se factoriza el TCP y se reduce el segundo miembro
Se extraen las raíces a ambos miembros
Se despeja la variable x
13 17

10 10
13  17
4
 13  17
30

x2 

;
10
10
10
10
x1  
2
5
; x2   3
2

 : S    3,  
5

Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
17
6) x 2  12x  35  0
Solución: x 2  12x  35  0
Ecuación en su forma general
x 2  12x   35
Transponer el término independiente c
x 2  12x  6   35  6
2
2
Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del
coeficiente del segundo término
x 2  12x  36   35  36
Se resuelve las potencias
x  62
Se factoriza el primer miembro y se reduce el segundo
1
x  62

Se extraen las raíces a ambos miembros
1
x 6  1
Se despeja la variable x
x   1 6
x1  1  6 ; x2   1  6
x1  7 ; x2  5
Son las raíces
 S   2, 5 
El conjunto solución de la ecuación
Verificación:
Para x1  7
x 2  12x  35  0
7 2  127 
 35 
49  84  35 
84  84 
0
Para x2  5
x 2  12x  35  0
52  125
 35  0
25  60  35  0
0
0
0
0
60  60  0
0 0
PRÁCTICA Nº 4
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de completar cuadrados y verificar
las raíces:
1) 3x 2  14x  4  0
2) x 2 x  5x   3 4  x 
4) x 2  8x  65
5)
2
7) x  12x  35  0
2
8) 30x  3x  9
2
9) 16x  38x  30
11) x  52x  3  2x  3
12) ´3x x  8  2 x  7  2
2x  5
2x  5
14) 3x  8  4 x  3
2
15) 2x  3  4x  1x  3  x
2
10) 6 x  24x   18
2
13) 16x  38x  30
2x  1 20x  1 
25
3) x x  1  30  8x
6) 2x 2  13x  14  x  14
2
2
5.7.2.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR LA FÓRMULA GENERAL
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
18
Cualquier método que se utilice para resolver una ecuación cuadrática dará siempre los mismos
resultados, pero hay ocasiones en que la ecuación no se puede factorizar, por lo que se aplica la
fórmula general.
Se deduce algebraicamente de la ecuación cuadrática ax2  bx  c  0 , precisamente por el
método de completar trinomio cuadrado perfecto, en donde a es el coeficiente que acompaña a la
x 2 , b es el coeficiente de x y c es el término independiente, veamos:
ax2  bx  c  0
Ecuación en su forma general
ax2  bx   c
Se transpone el término independiente c
a 2
b
c
x  x 
a
a
a
Se divide cada término por a el coeficiente de x 2
2
b
c  b 
 b 
x  x     
a
a  2a 
 2a 
2
x2 
b
b2
b2
c
x 2 

2
a
a
4a
4a
b 2  4ac
b

 x  2a   4a 2


2
Se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x
Se resuelve las potencias
2
b 2  4ac
b

x



2a 
4a 2
Se factoriza el primer miembro y se reduce el segundo
2
x
b 2  4ac
b
 
2a
4a 2
b
x 

2a
b 2  4ac
b
x 

2a
b 2  4ac
b 
b 2  4ac
x 
Se extraen las raíces a ambos miembros
Se despeja la variable x
4a 2
2a
2a
Se resuelven las fracciones
Fórmula general de la ecuación cuadrática
Observación: La fórmula general de la ecuación cuadrática nos permite resolver cualquier
ecuación de segundo grado, aún aquellas de difícil factorización.
5.7.2.3.1 NATURALEZA DE LAS RAÍCES
En la fórmula general de la ecuación cuadrática, a la expresión que aparece bajo el signo radical
b 2  4ac se le denomina discriminante, el cual lo denotaremos con la letra mayúscula D o con
el símbolo matemático  y lo utilizamos para determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación
cuadrática, las cuales son:
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19

Si b 2  4ac  0 (discriminante positivo) es un cuadrado perfecto distinto de cero, las raíces
son reales, racionales y desiguales.
Pero si D  b 2  4ac  0 no es un cuadrado
perfecto distinto de cero, las raíces son reales, irracionales y desiguales.

Si b 2  4ac  0 (discriminante nulo) las raíces son reales, racionales e iguales y su valor
es 

b
2a
Si b 2  4ac  0 (discriminante negativo) las raíces no son reales, son complejas
(imaginarias conjugadas) y desiguales.
EJEMPLOS PARA DETERMINAR EL DISCRIMINANTE
1) Determine la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática: 4x 2  4x  1  0
Solución: Aquí se tiene que: a  4, b   4, c  1 por lo tanto el valor del discriminante será:
D  b 2  4ac
D   4  441
2
D  16  16  0
Conclusión: Como el discriminante es nulo, D  0 , se deduce que las dos raíces de la
ecuación cuadrática son idénticas, y que el único valor es un número real. En este caso se
dice que las raíces son reales e iguales.
2) Determine la naturaleza de la ecuación cuadrática: 6 x 2  x  2  0
Solución: Aquí se tiene que: a  6, b   1, c   2 por lo tanto el valor del discriminante será:
D  b 2  4ac
D   1  46 2
2
D  1  48  49
Conclusión: Como el discriminante es D  49 y D  0 , entonces las dos raíces son reales
y desiguales.
3) Determine la naturaleza de la ecuación cuadrática: 2 x 2  5x  4  0
Solución: Aquí se tiene que: a  2, b   5, c  4
por lo tanto el valor del discriminante será:
D  b 2  4ac
D   5  42 4
2
D  25  32  7
Conclusión: Como el discriminante es D   7 y D  0 , entonces las dos raíces son
imaginarias.
EJEMPLOS RESUELTOS APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL
1) 2x 2  3x  27  0
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20
Solución: 2x 2  3x  27  0
b 
x 
Se identifica los valores de a  2, b  3, c  27
b 2  4ac
2a
 3 
x 
32  4 2 27
2 2
3 
x 
Remplazando los valores en la fórmula general
9  216
4
3 
x 
225
4
raíces serán reales, desiguales y racionales
 3  15
x 
4
x1 
 3  15
 3  15
x

2
;
4
4
x1 
12
 18
x2 
;
4
4
x1  3
Como 225 0 , tiene raíz cuadrada exacta, entonces las
9
x


2
;
2
 9 
 : S   , 3
 2 
Buscando las raíces
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
Verificación:
Para x1  3
2 x 2  3 x  27  0
2 3  3 3  27  0
2 9   9  27  0
2
18  9  27  0
27  27  0
0 0
9
Para x2   2
2 x 2  3 x  27  0
2  92   3  92   27  0
2
2  814  
27
2
 27  0

27
2
 27  0
162
4
162  54  108
4
 0
0
4
 0
0 0
2) 20x 2  3x  2
Solución: 20x 2  3x  2  0
x 
x 
x 
b 
Se identifica los valores de a  20, b  3, c  2
b 2  4ac
2a
 3 
3 
32  4 20 2
2 20
Remplazando los valores en la fórmula general
9  160
40
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
21
x 
3 
169
Como 169 0 , tiene raíz cuadrada exacta, entonces
40
las raíces serán reales, desiguales y racionales
 3  13
x 
40
x1 
 3  13
 3  13
x2 
;
40
40
Buscando las raíces
x1 
 16
10 1
2
 ; x2 

40 4
40
5
Son las raíces
 2 1
: S    , 
 5 4
El conjunto solución de la ecuación
3) 3x 2  4x  23  0
Solución: 3x 2  4x  23  0
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
b 
Se identifica los valores de a  3, b   4, c  23
b 2  4ac
2a
  4 
4 
 42  4 323
2 3
Remplazando los valores en la fórmula general
16  276
6
4 
 260
Como  260 0 , entonces las raíces serán complejas y
6
desiguales
4i 65
4 
2
Buscando las raíces
6
4  2i

65
6
2 2  i 65
2  3

x 

2 i
65
3
x1 
2  i 65
2  i 65
x

2
;
3
3
Son las raíces

 2  i 65 2  i 65 
S 
,

3
3


El conjunto solución de la ecuación
4) x 2  16  0
Solución: x 2  16  0
x 
b 
Se identifica los valores de a  1, b  0, c  16
b 2  4ac
2a
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22
x 
x 
x 
x 
x 
 0 
0 
02  4 116
2 1
Remplazando los valores en la fórmula general
0  64
2

 64
Como  64  0 , entonces las raíces serán complejas o
2
imaginarias y desiguales
i 64

2
Buscando las raíces
2
 i
64
x 

2
 8i
2
 x   4i
x1  4i ; x2   4i

S    4i , 4i
Son las raíces

El conjunto solución de la ecuación
5) 4x 2  8x  7
Solución: 4x 2  8x  7  0
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
b 
Se identifica los valores de a  4, b   8, c  7
b 2  4ac
2a
  8 
8 
 82  4 47 
2 4
Remplazando los valores en la fórmula general
64  112
8
8 
 48
Como  48  0 , entonces las raíces serán complejas
8
48  1
8 
8
y desiguales

8 
4  4i 3

8
4 1  i 3
2  4
1 i
 
163 i 2
8
Buscando las raíces

3
2
x1 
1 i 3
1 i 3
x

2
;
2
2
Son las raíces

1 i 3 1 i 3 
S 
,

2
 2

El conjunto solución de la ecuación
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
23
6)
2x  35x 1  4x  7x  7
Solución:
2 x  35x  1  4 x  7 x  7 
10x  2 x  15x  3  4 x 2  28x  7 x  49
2
10x 2  13x  3  4 x 2  21x  49
10x 2  13x  3  4 x 2  21x  49  0
6 x 2  8 x  46  0
6 x 2  8x  46  0
x 
x 
x 
x 
x 
b 
Se identifica los valores de a  6, b   8, c  46
b 2  4ac
2a
  8 
8 
8 
8 
 82  4 646
2 6
64  1104
12
 1040
12
Como  1040 0 , entonces las raíces serán complejas
1040  1
8 

12
x 
8  4i 65
12
x 
4 2  i 65
3  4

Remplazando los valores en la fórmula general
y desiguales
 
1665 i 2
12
Buscando las raíces


x 
2  i 65
3
x1 
2  i 65
2  i 65
x2 
;
3
3
Son las raíces

 2  i 65 2  i 65 
S 
,

3
3


El conjunto solución de la ecuación
5.7.2.3.2 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Teoremas de Viéte: si x1 
b 
b 2  4ac
2a
y
x2 
b 
b 2  4ac
2a
son las raíces de la
ecuación cuadrática ax2  bx  c  0 , con a  0 entonces, cumplen o se verifican las siguientes
propiedades:
1) Teorema 1. La suma de raíces: equivale a la razón entre el opuesto del coeficiente del
segundo término y el coeficiente del primero, así:
x1  x2 
b 
b 2  4ac  b  b 2  4ac

2a
2a
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
24
x1  x2 
b 
b 2  4ac  b 
2a
b 2  4ac
 2b
2a
b
x1  x2 
a
x1  x2 
2) Teorema 2. El producto de raíces: equivale a la razón entre el tercer término de la
ecuación y el coeficiente del primero, así:
x1  x2 
x1  x2 
x1  x2 
x1  x2 
x1  x2 
x1  x2 
b 
b 2  4ac  b  b 2  4ac

2a
2a
 b 2

b
2
 4ac

2
4a 2
b 2  b 2  4ac
4a 2
b 2  b 2  4ac
4a 2
4ac
4a 2
c
a


3) Teorema 3. La diferencia de raíces: equivale a la razón entre la raíz cuadrada del
discriminante sobre del coeficiente del primer término, así:
x1  x2 
b 
x1  x2 
x1  x2 
x1  x2 
x1  x2 
b 
b 2  4ac  b  b 2  4ac

2a
2a
b 2  4ac  b  b 2  4ac

2a
2a
b 
b 2  4ac  b 
2a
b 2  4ac
2 b 2  4ac
2a
b 2  4ac


a
a
Estas anteriores propiedades se verifican en una ecuación cuadrática con coeficientes de
naturaleza arbitrarias (reales o complejas)
EJEMPLOS RESUELTOS APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
 Determina si los valores 3 y 7 son las raíces de la ecuación x 2  10x  21  0
Solución:
La suma de las raíces debe ser igual al opuesto del coeficiente del segundo término,
así: x1  x2  3  7  10
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
25
El producto es el término independiente de la ecuación: x1  x2  3  7  21
 3 y 7 si son las raíces de la ecuación x 2  10x  21  0
 Determina si los valores
4
y  8 son las raíces de la ecuación 3x 2  20x  32  0
3
Solución:
La ecuación se debe dividir por 3 así:
x2 
3x 2 20x 32


 0 por lo que resulta:
3
3
3
20 x 32

 0
3
3
La suma de las raíces debe ser igual al opuesto del coeficiente del segundo término,
así: x1  x2 

4
4
4  24
20
  8   8 

3
3
3
3
4
y  8 no son las raíces de la ecuación 3x 2  20x  32  0
3
 Si los valores de las raíces son  5 y 7 determina la ecuación cuadrática
Solución:
Teniendo las dos propiedades, tendremos lo siguiente:
x1  x2   5  7  2
x1  x2    57    35
Como el coeficiente de x debe ser el opuesto de la suma de las raíces y el término
independiente su producto, podemos concluir lo siguiente;
 La ecuación cuadrática es: x 2  2x  35  0
 Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática 2 x 2  6 x  3  0 verifica que se cumplan
los tres Teoremas de Viéte:
Solución:
Teniendo las tres propiedades, tendremos lo siguiente:
x1  x2  
b
6
 3
a
2
x1  x 2 
  b 2  4ac
  6  423  36  24  12
x1  x2 
2
 Si los valores de las raíces son
c 3

a 2

12 2 3


 3
a
2
2

3
3
y
determina la ecuación cuadrática
8
4
Solución:
Teniendo las dos propiedades, tendremos lo siguiente:
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
26
3 3 3  23 3  6 9
 


8 4
8
8
8
 3  3  9
x1  x2     
 8  4  32
x1  x2 
Como el coeficiente de x debe ser el opuesto de la suma de las raíces y el término
independiente su producto, podemos concluir lo siguiente;
9
9
x
 0
8
32
 La ecuación cuadrática es: x 2 
Para convertir esa ecuación resultante en una ecuación cuadrática entera debemos
multiplicar cada miembro por 32 así:
 
9 
9
32 x 2  32  x   32   320
8 
 32 
32x 2  36x  9  0
PRÁCTICA Nº 5
I. Determinar la naturaleza de las raíces o soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1) 3x 2  2 x  8  0
2) y 2  9 y  0
3) 6x 2  x  2  0
4) 3z 2  5z  2  0
5) 2x 2  x  1  0
6) t 2  2t  1  0
7) x 2  4x  5  0
8) 2x 2  3x  4  0
9) 5m 2  10m  1  0
II. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general y determina la
naturaleza de las raíces:
10) 2x 2  11x  15  0
11) 12x 2  16x  3  0
12) 81x 2  162x  28  0
13) x 2  10x  32  0
14) 55x 2  16x  1  0
15) 5x  3  24x 2  21x  11
2
16) 6 x  x  2  0
2x
1
2
19) x  7  49  0
2
17) 2 x  x  1  0
3x  1
3
20) 4  x  1
2
18) x  3x  2  0
4x
1
2
21) 6 x  5  30  0
2
22) 6 x  5x  56
2
23) 4x  11x  20  0
24) x  3  2x  1  2x
2
2
2
III. Determina si los valores dados son las raíces de las ecuaciones respectivas:
25)  4 y 7 son las raíces de x 2  3x  2  0
27)
IV.
2
4
2
y
son las raíces de 27x  30x  8  0
9
3
26)
1
2
y
son las raíces de 10x 2  9 x  2  0
2
5
28) 
5
1
2
y
son las raíces de 72x  54x  5  0
6 12
Determina la ecuación cuadráticas para las raíces dadas:
29) 5 y  2
30) 
1
1
y 
3
2
31) 
3
5
y
2 10
32)
3
1
y
4
8
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
27
5.7.2.4 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR ENSAYO Y ERROR
Es un método no muy común, que requiere de muchos procedimientos algebraicos, y el dominio
de los diferentes casos de factorización.
EJEMPLOS RESUELTOS APLICANDO EL MÉTODO DE ENSAYO Y ERROR
1) 2 x 2  7 x  15
Solución: 2x 2  7 x  15  0
2x 2  10x  3x  15  0
Ecuación en su forma general
Se multiplica a por c , es decir 2  15  30 , y este número se
descompone en dos factores tales que la suma algebraica
de ellos coincida con el término b x , o sea  10x  3x  7 x
2x
2

 10x  3x  15  0 Agrupando términos
2 x x  5  3 x  5  0
Factorizando cada factor
x  5 2x  3
Factorizando por agrupación de término
 0
x  5  0 ; 2x  3  0
Se despeja la x
2x   3
x1  5 ;

3
2
x2  
 3 
S   , 5 
 2 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
2) 2x 2  5x  3  0
Solución: 2x 2  5x  3  0 Ecuación en su forma general
2 x 2  2x  3x  3  0
Se multiplica a por c , es decir 2  3  6 , y este número se
descompone en dos factores tales que la suma algebraica
de ellos coincida con el término b x , o sea 2 x  3x  5 x
2x
2

 2x  3x  3  0
Agrupando términos
2 x x  1  3 x  1  0
Factorizando cada factor
x  1 2 x  3
Factorizando por agrupación de término
 0
x  1  0 ; 2x  3  0
Se despeja la x
2x   3
x 1  1 ;
x2  
 3

 S   ,  1 
 2

3
2
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
3) 12x 2  11x  5
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
28
Solución: 12x 2  11x  5  0 Ecuación en su forma general
12x 2  15x  4x  5  0
Se multiplica a por c , es decir 12  5  60 , y este número se
descompone en dos factores tales que la suma algebraica
de ellos coincida con el término b x , o sea  15x  4 x  11x
12x
2

 4x  15x  5  0 Agrupando términos
4 x 3x  1  5 3x  1  0
Factorizando cada factor por agrupación
4x  5 3x  1
Se iguala cada factor a cero
 0
4 x  5  0 ; 3x  1  0
Se despeja la x
4 x  5 ; 3x   1
x1 
5
;
4
x2  
1
3
 1 5
 S   , 
 3 4
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
4) 6 x 2  24x  18
Solución: Por el método de ensayo y error, tenemos:
6x 2  24x  18  0
Ecuación en su forma general
6 x 2  18x  6x  18  0
Se multiplica a por c , es decir 6  18  108 , y este número se
descompone en dos factores tales que la suma algebraica
de ellos coincida con el término b x , o sea  18x  6 x  24 x
6x
2

 18x  6x  18  0 Agrupando términos
6 x x  3  6 x  3  0
Factorizando cada factor por agrupación
x  3 6x  6
Se iguala cada factor a cero
 0
x  3  0 ; 6x  6  0
Se despeja la x
x  3 ; 6x  6

x 1  3 ; x2  1
S  1, 3 
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
5.7.2.5 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR EL MÉTODO DE ASPA SIMPLE
Este método es muy sencillo y muy fácil de aprender, el único inconveniente es que se debe
recordar cómo se descomponen los números. Se puede trabajar vertical u horizontalmente, y
presenta una ventaja, es más rápido que los otros métodos.
EJEMPLOS RESUELTOS APLICANDO EL MÉTODO DE ASPA SIMPLE
1) 2 x 2  5x  3  0
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29
Solución: Aplicando el método de aspa simple: observamos el primer y tercer término del
trinomio y lo descomponemos en sus factores, así: a 2x 2 lo descomponemos como 2 x  x y, a  3
lo descomponemos como 3  1
2 x 2  5x  3  


2x
3

6x
x
1

x
2x 2
3
2x
x
 2x 2
3
1
 3
ó
6x  x



5x
5x
Los factores se obtienen en cruz, así: x  32x  1
x  3 2 x  1
 0
Se iguala cada factor a cero
x  3  0 ; 2x  1  0
Se despeja la x
x   3 ; 2x  1
x 1  3 ;

1
2
x2 
Son las raíces
1

S   3, 
2

El conjunto solución de la ecuación
2) 6 x 2  7 x  2  0
Solución: Aplicando el método de aspa simple: observamos el primer y tercer término del
trinomio y lo descomponemos en sus factores, así: a 6x 2 lo descomponemos como 2 x  3x y, a 2
lo descomponemos como 2  1
6x 2  7 x  2  


2x
2

4x
3x
1

3x
6x 2
2
ó
2x
3x
 6x 2
2
1

2
4 x  3x


7x
7x
Los factores se obtienen en cruz, así: 3x  22 x  1
3x  2 2x  1
 0
Se iguala cada factor a cero
3x  2  0 ; 2 x  1  0
Se despeja la x
3x   2 ; 2 x  1
x1 
2
;
3
x2  
1
2
Son las raíces
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
30
 2 1
 S   ,  
 3 2
El conjunto solución de la ecuación
3) 2x 2  3x  27  0
Solución: Aplicando el método de aspa simple: observamos el primer y tercer término del
trinomio y lo descomponemos en sus factores, así: a 2x 2 lo descomponemos como 2 x  x y, a
 27 lo descomponemos como  3  9
2x 2  3x  27  


2x
3

 6x
x
9

9x
2x 2
 27
ó
2x
x
 2x 2
3
9
  27
 6x  9x

3x
3x
Los factores se obtienen en cruz, así: x  32 x  9
x  3 2x  9
 0
Se iguala cada factor a cero
x  3  0 ; 2x  9  0
Se despeja la x
x  3 ; 2x   9
x1  3 ;
x2  
9
2
Son las raíces
 9 
 S   , 3 
 2 
El conjunto solución de la ecuación
4) 3x 2  8x  16  0
Solución: Aplicando el método de aspa simple: observamos el primer y tercer término del
trinomio y lo descomponemos en sus factores, así: a 3x 2 lo descomponemos como 3 x  x y, a
 16 lo descomponemos como  4  4
3x 2  8x  16  


3x
4

 12x
x
4

4x
3x 2
 16
 8x
ó
3x
x
 3x 2
4
4
  16
 12x  4 x

8 x
Los factores se obtienen en cruz, así: x  43x  4
x  4 3x  4
 0
x  4  0 ; 3x  4  0
Se iguala cada factor a cero
Se despeja la x
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
31
x  4 ; 3x   4
x1  4 ;
x2  
4
3
Son las raíces
 4 
 S   , 4 
 3 
El conjunto solución de la ecuación
5) 6x 2  5x  56  0
Solución: Aplicando el método de aspa simple: el primer término 6x 2 lo descomponemos como
2 x  3x y el tercer término, así: a y, a  56 lo descomponemos como  7  8
6x 2  5x  56  


3x
7

 21x
2x
8

16x
6x 2
 56
ó
3x
2x
 6x 2
7
8
  56
 21x  16x



 5x
5 x
Los factores se obtienen en cruz, así: 2 x  73x  8
2x  7 3x  8
 0
Se iguala cada factor a cero
2 x  7  0 ; 3x  8  0
Se despeja la x
2 x  7 ; 3x   8
x1 
7
;
2
x2  
 8 7
 S   , 
 3 2
8
3
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación
PRÁCTICA Nº 6
I. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de ensayo y error:
30) 2x 2  3x  4
31) x 2  6 x   7
32) m 2  8m  48  0
33) z2z  3  14
34) 3 y 2  8 y  9  2 y
35) t 2  10t  21  0
II. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de aspa simple:
36) 20x 2  3x  2
37) 3x 2  20x   32
38) 72m 2  54m  5  0
39) 10x 2  9 x   2
40) 27y 2  30y  8  0
41) 50t 2  25t  3  0
5.8 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS
La ecuación cuadrática es de vital importancia en Matemáticas Aplicadas, Física e Ingeniería, y
en otras áreas, puesto que se aplica en la solución de gran cantidad de problemas técnicos y
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32
cotidianos.
Para resolver problemas de aplicación de ecuaciones cuadráticas, debemos
entender la lógica del problema, identificando con una x (generalmente) a una de las variables
que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, es decir, se
debe transformar las frases en ecuaciones de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve
la ecuación.
No existe un procedimiento o regla general para operar la parte lógica de este tipo de problemas,
sólo la práctica va dando la habilidad y destreza necesarias para esbozarlos y resolverlos. Por
eso sólo la experiencia mejora los resultados.
5.8.1 PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden expresarse como
una ecuación de segundo grado.
Problema 1: La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos
números.
Solución: primero se asigna la variable x una de las incógnitas del problema; pero como hay dos
incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro,
puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:
Sea x  el primer número. Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el
otro será: 10  x  el segundo número.
La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números
resulta 58, entonces: x 2  10  x  58 Esta es la ecuación a resolver y debemos aplicar
2
algunas técnicas de Álgebra Elemental y luego reordenamos para llegar a la fórmula
conocida.
x 2  10  x  58
2


x 2  10  210x  x  58
2
2
Desarrollando el cuadrado de la diferencia de un binomio
x 2  100 20x  x 2  58
Desarrollando el binomio
2x 2  20x  42  0
Ordenando y agrupando
x 2 10x  21  0
Dividiendo entre 2 toda la ecuación
x  3x  7  0
Factorizando el trinomio
x 3  0 ; x 7  0
x  3;
x7
Se iguala cada factor a cero
Se despeja la x
Respuesta: los números buscados son 3 y 7.
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33
Problema 2: Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía
hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.
Solución: Sea x  la edad actual de Pedro
x  13  la edad hace 13 años de Pedro
x  11  la edad dentro de 11 años de Pedro
Como por condición, dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado
de la edad que tenía hace 13 años, eso significa que:
2

x  13
x  11 
2
2 x  11  x  13
Desarrollando para eliminar el denominador
2x  22  x 2  26x  169
Efectuando las multiplicaciones
2x  22  x 2  26x 169  0
Pasando todo al primer miembro
 x 2  28x  147  0
Reduciendo y simplificando la ecuación
x 2  28x  147  0
Multiplicando por -1 toda la ecuación
x  21x  7  0
Factorizando el trinomio
x  21 0 ; x  7  0
Se iguala cada factor a cero
2
x  21;
x7
Se despeja la x
Respuesta: la solución x  7 se desecha, ya que x  13 no puede ser negativo, por lo
que se toma como única respuesta, la solución: x  21. Es decir, la edad actual de Pedro
es 21 años.
Problema 3: El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la
sala.
Solución: como el problema se trata de las dimensiones de una sala en forma de un rectángulo,
entonces sus dimensiones: Largo y ancho son diferentes. Luego, el problema permite que
la variable x se asigne a cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.
Supongamos que: x  ancho de la sala; como el largo es 3 metros mayor que el ancho, así
es que: x  3  largo de la sala.
El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos, así: x  x  3  Área de la sala
Como las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros, o sea x  3
y el largo aumenta en 2 metros, es decir, x  3  2 así que, luego del aumento quedan:
x  3  nuevo ancho de la sala
y
x  5  nuevo largo de la sala
x  3  x  5  Nueva área de la sala
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34
Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación:
x  3  x  5  2  x  x  3

x 2  5x  3x  15  2 x 2  3x

Desarrollando el producto de binomio
x 2  5x  3x  15  2x 2  6x
Efectuando las multiplicaciones
x 2  5x  3x  15  2x 2  6x  0
Pasando todo al primer miembro
 x 2  2x  15  0
Reduciendo y simplificando la ecuación
x 2  2x  15  0
Multiplicando por -1 toda la ecuación
x  5x  3  0
Factorizando el trinomio
x 5  0 ; x 3  0
Se iguala cada factor a cero
x  5;
x  3
Se despeja la x
Respuesta: la solución x   3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede
ser negativo, por lo que se toma como única respuesta que el ancho original es de 5
metros, o sea x  5 . Ahora como el largo original era x  3 entonces 5  3  8 metros, por
lo tanto el área original de la sala era de: 8m  5m  40m2
Problema 4: Encuentra la ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 3 y  2 .
Solución: Sea S la suma de las raíces y sea P el producto de las raíces, luego teniendo
las dos propiedades de las soluciones, se tiene que:
S  x1  x2  3   2  3  2  1
P  x1  x2   3 2   6
Respuesta: como
x 2  S x  P  0 entonces la ecuación de segundo grado es:
x2  x  6  0
Problema 5: Halle el área y perímetro del triángulo
rectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros.
Solución: el problema es sobre un triángulo, y como es un
triángulo rectángulo se cumple el Teorema de
Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos" ( c 2  a 2  b 2 ).
La hipotenusa es el lado mayor 2 x  5 y los otros dos son los catetos, se plantea entonces
la ecuación:
x 2  6x  9  x 2  8x  16  2x  2 2x5  5
Desarrollando el cuadrado de los binomios
x 2  6x  9  x 2  8x  16  4x 2  20x  25
Efectuando las multiplicaciones
2
2
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
35
2x 2  2x  25  4x 2  20x  25
Reduciendo términos semejantes
2x 2  2x  25  4x 2  20x  25  0
Pasando todo al primer miembro
 2x 2  18x  0
Reduciendo términos semejantes
2x 2 18x  0
Multiplicando por -1 toda la ecuación
2x x  9  0
Factorizando el binomio
2x  0 ; x  9  0
Se iguala cada factor a cero
x  0;
x9
Se despeja la x
Respuesta: la solución x  0 se desecha, ya que entonces un cateto sería – 4 metros, lo cual no
es posible. La solución es entonces: x  9 , y de esta manera, el triángulo tendrá los
siguientes catetos: x  3  9  3  12 metros, x  4  9  4  5 metros y su hipotenusa
será: 2x  5  29  5  18  5  13 metros. El área de un triángulo es base por altura
dividido por 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90°, por lo tanto el
base  altura 5  12 60


 30 m 2 El perímetro de un triángulo es la
2
2
2
área es: A 
suma de los lados, es decir, P  5m  12m  13m  30 m .
Problema 6: Hallar dos números cuya suma es 39 y cuyo producto sea 380.
x
Solución: Sea
 el primer número.
Como la suma de ambos es 39, entonces
necesariamente el otro será: 39  x  el segundo número.
El producto de los dos números es 380, es decir: x  39  x   380
Luego, 39x  x 2  380
 x 2  39x  380  0
x 2  39x  380  0
Multiplicando por -1 toda la ecuación
x 2  39x  380  0
Se identifica los valores de a  1, b  39, c  380
x 
x 
x 
b 
  39 
39 
b 2  4ac
2a
 392  4 1380
2 1
Remplazando los valores en la fórmula general
1521 1520
2
39  1
2
39  1
x 
2
x 
Ordenando
Como 1  0 , entonces las raíces serán reales y desiguales
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36
x1 
39  1
39  1
x

2
;
2
2
x1 
40
38
x2 
;
2
2
Buscando las raíces
x1  20 ; x2  19
Son las raíces
Respuesta: los números buscados son 19 y 20.
Problema 7: Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.
Solución: Cualquier número par puede expresarse de la forma 2 x . Como se trata del producto
de dos números pares consecutivos, entonces el otro número será: 2 x  2
El producto de los dos números es 168, es decir: 2 x  2 x  2  168
Luego, 4x 2  4x  168
x 2  x  42  0
Dividiendo entre 4 toda la ecuación
x  7x  6  0
Factorizando el trinomio
x7  0 ; x 6  0
x  7;
Se iguala cada factor a cero
x6
Se despeja la x
Respuesta: si la solución es x   7 entonces los números son 2 x  2 7  14 y el otro
sería: 2 x  2  2 7  2  14  2  12 , es decir los números son -12 y -14. Pero si la
solución es
x6
entonces los números son
2 x  26  12 y el otro sería:
2 x  2  26  2  12  2  14 , es decir los números son 12 y 14. Eso significa que el
problema tiene dos soluciones.
Problema 8: Una ecuación de segundo grado con una incógnita tiene una solución igual a 3 y el
término independiente vale 15. Calcular la ecuación.
Solución: Por ser 3 solución de la ecuación, ésta se puede descomponer de la forma siguiente:
x  3x  x2   0
donde
x2 es la segunda solución de la ecuación.
Luego,
desarrollando x 2  x x2  3x  3x2  0
Reorganizando la ecuación, se tiene que:
x 2  x2  3 x  3x2  0 , el término
independiente 3x 2 y vale 15 , entonces: 3x2  15
15
3
x2  5
x2 
Luego, el producto es: x  3x  5  0
x 2  5x  3x  15  0
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014
37
Respuesta: la ecuación es: x 2  8x  15  0 .
Problema 9: Determinar el valor de m para la ecuación 2 x 2  4 x  m  0 tenga una raíz doble.
Solución: Una ecuación de segundo grado tiene raíz doble si su discriminante es cero,
  b 2  4ac  0
  4  42m
2
16  8m  0
 8m   16
 16
8
m2
m
Respuesta: la ecuación 2 x 2  4 x  m  0 tiene una raíz doble si m  2 .
Problema 10: Si se aumenta en 4 cm el lado de un cuadrado, su área
aumenta en 104cm2 . Calcular el área y el perímetro del cuadrado
inicial.
Solución: Sea l el lado del cuadrado, entonces el área será: A  l 2
Si se aumenta en 4 cm el lado del cuadrado, es: l  4 , y su
área será: l  4
2
Al realizar la transformación, el área aumenta en 104cm2 , es
decir: l 2  104  l  4
2
l 2  104  l  4
2
l 2  104  l 2  8l  16
l 2  104  l 2  8l  16  0
 8l  88  0
 8l  88
l
 88
 11
8
Respuesta: El área del cuadrado es: A  l 2  11cm  121cm2 y el perímetro del
2
cuadrado es: P  4  l  4 11cm  44 cm
Problema 11: Calcula la hipotenusa de rectángulo, sabiendo que las
medidas de sus lados son tres números consecutivos.
Solución: Sea x el menor de los catetos, sea x  1 el cateto mediano y
la hipotenusa es el lado mayor del triángulo, es decir: x  2
Aplicando el Teorema de Pitágoras, c 2  a 2  b 2 se tiene que:
x  22  x  12  x2
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x 2  4x  4  x 2  2x  1  x 2
Desarrollando las potencias
x 2  4x  4  x 2  2x  1  x 2  0
Pasando todo al primer miembro
 x 2  2x  3  0
Reduciendo términos semejantes
x 2  2x  3  0
Multiplicando por -1 toda la ecuación
x  3x  1  0
Factorizando el trinomio
x3  0 ; x 1  0
Se iguala cada factor a cero
x  3;
Se despeja la x
x  1
Respuesta: la solución es x   1 se desecha, ya que entonces un cateto sería
negativo, lo cual no es posible. Luego la solución entonces es: x  3 , y de esta manera, el
triángulo tendrá los siguientes catetos: el menor x  3 , el mediano x  1  3  1  4 y la
hipotenusa será: x  2  3  2  5 .
Problema 12: En un rectángulo la base mide el triple que la
altura. Si disminuimos en 1 cm cada lado, el área
inicial disminuye en 15 cm2 . Calcula las dimensiones
y el área del rectángulo inicial.
Solución: Sea x la altura del rectángulo, entonces según la
condición: 3 x será la base, por lo que su área será: 3x  x  A
Si disminuimos en 1 cm cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm2 es decir,
3x  1  x  1  A  15 trabajando la ecuación, se tiene que:
3x 1  x 1  3x  x 15
Reemplazando el valor de área
3x 2  3x  x  1  3x 2  15
Efectuando las multiplicaciones
3x 2  3x  x  1  3x 2  15  0
Pasando todo al primer miembro
 4 x  16  0
Reduciendo términos semejantes
 4 x   16
 4 x   16
 16
4
x4
Despejando la variable
x
Respuesta: la altura es x  4 , es decir, 4 cm y la base será: 3x  34cm  12cm y el ´área del


rectángulo es: A  3x  x  3 x 2  34 cm  3 16 cm2  48 cm2
2
Problema 13: Determinar el valor de k , de modo que las dos raíces de la ecuación
x 2  kx  36  0 sean iguales.
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Solución: Una ecuación de segundo grado tiene las raíces iguales si su discriminante es cero,
  b 2  4ac  0
k 2  4136  0
k 2  144  0
k 2  144
k 2  144
k   12
Respuesta: en la ecuación x 2  kx  36  0 para que las dos raíces sean iguales el valor
de k es: k  12 y k  12 .
Problema 14: La suma de dos números 5 y su producto es -84. Hallar dichos números.
Solución: Usando la expresión x 2  S x  P  0 por las propiedades de las raíces, se
tiene que, la ecuación será: x 2  5x  84  0
x 2  5x  84  0
x 
x 
x 
  5 
5 
x 
b 
Se identifica los valores de a  1, b   5, c   84
b 2  4ac
2a
 52  4 1 84
2 1
Remplazando los valores en la fórmula general
25  336
2
5 
361
2
5  19
x 
2
x1 
5  19
5  19
x

2
2 ;
2
x1 
24
 14
x2 
;
2
2
x1  12 ; x2   7
Como
361 0 , las raíces son reales y desiguales
Buscando las raíces
Son las raíces
Respuesta: los números buscados son -7 y 12.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. La suma de dos números es 12 y la suma de sus cuadrados es 109.
números.
Halle ambos
Resp.: Los números son 5 y 7
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2. Dentro de 20 años la edad de Miguel será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace
4 años. Calcula la edad de Miguel.
Resp.: Miguel tiene 12 años
3. La altura de un triángulo rectángulo es 2 cm menor que la base, su área es de 684 cm 2.
¿Cuáles son las medidas de las dimensiones: la base y de la altura del triángulo?
Resp.: La base es de 38 cm y la altura de 36 cm
4. Hallar las dimensiones de un salón de reuniones en forma rectangular, si la altura es igual
a lo que mide su base meno 55 m y su área es de 750 m 2. ¿Cuáles son las medidas de las
dimensiones: la base y de la altura del salón?
Resp: La base es de 30 m y la altura de 25 m
5. Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo
mostrado. Las dimensiones están en metros
Resp.: El área es de 24 m2 y el perímetro es de 24 m
6. Hallar
dos
números
producto sea 224
pares
consecutivos
cuyo
Resp.: Tiene dos soluciones: los pares de números -16 y -14 pero
también se cumple para 14 y 16.
7. Determinar el valor de k , de modo que las dos raíces de la ecuación x 2  kx  25  0 sean
iguales.
Resp.: El valor de k es: k  10 y k  10
5.9 ALGUNAS REFERENCIAS O FUENTES DE INTERNET
http://www.pupr.edu/cpu/pdf/Matematicas/Math110/EcuacionesCuadraticasAplicaciones.pdf
http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/3.4.html
http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA26/ecuacionesCuadraticas.html
http://www.slideshare.net/margaritapatino/ecuacion-de-segundo-grado-3906382
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/ec2grado.htm
http://www.docstoc.com/docs/26429073/LA-ECUACI%C3%93N-DE-SEGUNDO-GRADO
http://ingridpacay.blogspot.com/2008/09/ecuaciones-cuadraticas.html
http://members.fortunecity.com/ceugev/cuadratic.html
VÍDEOS EN YOU TUBE SOBRE EL TEMA
http://www.youtube.com/watch?v=n2ebqjrckjw
http://www.youtube.com/watch?v=bjwAeSTiqs0
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