Sitio: Lado → Fila → Asiento → Problema 1

Examen Teoría de Circuitos.8 junio 2004. Ingeniería Técnica Industrial. Universidad de La Laguna
Profesor: Fernando Gago Rodríguez. Nombre
Sitio: Lado
Fila
del alumno y DNI:
Asiento
Problema 1 (3.5 puntos) :
Sea el circuito de la figura:
donde la fuente de corriente tiene el valor indicado por la gráfica de abajo. Fijarse que
la corriente está expresada en mA.
Para t=0 la corriente en la inductancia vale 10 mA y la tensión en el condensador 0 V.
Se pide:
1.
Expresión de la tensión en la inductancia, VL(t), entre t = 0s y t = 1s (0.3p):
VL (t) = 0.01 V
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2.
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Expresión de la tensión en la inductancia, VL(t), entre t = 1s y t = 2s (0.3p):
VL (t) = -0.01 V
3.
Expresión de la tensión en la resistencia, VR(t), entre t = 0s y t = 1s (0.3p):
VR (t) = 0.2t + 0.02 V
4.
Expresión de la tensión en la resistencia, VR(t), entre t = 1s y t = 2s (0.3p):
VR (t) = -0.2t + 0.42 V
5.
Expresión de la tensión en el condensador, VC(t), entre t = 0s y t = 1s (0.3p):
VC (t) = 5t2 + t
6.
Expresión de la tensión en el condensador, VC(t), entre t = 1s y t = 2s (0.3p):
VC (t) = -5t2 + 21t –10
7.
Potencia consumida por la inductancia en t = 1.5 s (0.3p):
-0.6 mW
8.
Potencia consumida por el condensador en t = 1.5 s (0.4p):
9.
Energía producida por la fuente entre t = 0 y t = 2 s (1.0p): 737.73 mJ
0.615 W
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Calculamos la expresión de la corriente en función del tiempo:
I(t) = 0.1t + 0.01, para 0<t<1
I(t) = -0.1t + 0.21, para 1<t<2
Resolvemos para cada elemento:
RESISTENCIA. UR (t) = R*i(t)
•
•
t entre 0 y 1
t entre 1 y 2
UR (t) = 0.2t + 0.02 V
UR (t) = -0.2t + 0.42 V
INDUCTANCIA. UL (t) = L*di(t)/dt
• t entre 0 y 1 UL (t) = 0.01 V
• t entre 1 y 2 UL (t) = -0.01 V
CONDENSADOR. i(t) = C*dU(t)/dt. Para calcular la U hacemos la integral de la I y
aplicamos la constante adecuada que cumpla la condición inicial.
•
t entre 0 y 1
UC (t) = 1/C i (t )dt + K
2
UC (t) = 100(-0.05t + 0.21t) + K, donde K se calcula sabiendo que UC (0) = 0 V
K =0
UC (t) = 5t2 + t.
En t = 1 tenemos que UC (1) = 6 V
• t entre 1 y 2 UC (t) = 1/C i (t )dt + K
UC (t) = 100(0.05t2 + 0.01t) + K, donde K se calcula sabiendo que UC (1) = 6 V
K = -10
UC (t) = -5t2 + 21t –10
En t = 2 tenemos que UC (2) = 12 V
Potencia consumida por la inductancia en t = 1.5 s
P (t) = u(t)*i(t) = -0.01*0.06 = -0.6 mW
Potencia consumida por el condensador en ese instante:
P (t) = u(t)*i(t) = 10.25*0.06 = 0.615 W
Energía producida por la fuente entre t = 0s y t = 2s. Se trata, simplemente, de
integrar la potencia de la fuente entre 0 y 2. La potencia la sabemos en todo
instante porque conocemos la corriente y la tensión en la fuente, que es la suma
de las tensiones de resistencia, inductancia y condensador.
Otra forma de verlo es sabiendo que la energía producida por la fuente será la
suma de la consumida por los 3 elementos.
a) La inductancia no consume energía neta entre 0 y 2 pues la corriente en 0 y 2
es la misma y, por tanto, la energía acumulada en la inductancia es la misma
en 0 y 2.
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b) El condensador tenía 0 J en t = 0s (estaba descargado). En t = 2s su tensión
es 12 V y, por tanto, tiene una energía de 1/2CV2 = 0.005*122 = 0.72 J = 720
mJ
c) En la resistencia, la potencia es vi = i2R. Además, lo consumido entre 0 y 1
es idéntico, por simetría de la forma de onda de la corriente, a lo consumido
entre 1 y 2. Calculemos el consumo entre 0 y 1 que es más sencillo.
1
0
i 2 Rdt =
1
0
(0.1t + 0.01) 2 Rdt = 8.87 mJ
Entre 0 y 2 sale 17.73 mJ
Energía total producida por la fuente = 720 + 17.73 = 737.73 mJ
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Problema 2 (3.5 puntos):
En el momento de la conexión del circuito ambos condensadores están descargados. Se
pide, una vez alcanzado el régimen permanente:
1.
Valor de I1 (0.3p): -0.3571 A
2.
Valor de I2 (0.3p): 0.6429 A
3.
Valor de I3 (0.3p): 0 A
4.
Valor de VA (0.3p): 1.0714 V
5.
Valor de VB (0.3p): 11.0714 V
6.
Valor de VC (0.3p): 12.8571 V
7.
Valor de VD (0.3p): 10.2857 V
8.
Valor de VE (0.5p): 8.1429 V
9.
Valor de VF (0.3p): 3.8571 V
10. Potencia producida por V1 (0.3p): -3.571 W
11. Potencia producida por la fuente de corriente (0.3p): 12.8571 W
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SOLUCIÓN:
Por la malla donde están los condensadores no circulará corriente en régimen
permanente. Es decir, I3 = 0A en régimen permanente.
Para calcular el resto de valores resolvamos las otras 2 mallas. Hagámoslo por
mallas y nudos.
A) Mallas: En la fuente de corriente hay una tensión que desconocemos y que
coincide con Vc. Por tanto, tenemos:
Malla1: 10-Vc-8I1 = 0
Malla2: Vc-20I2 = 0
Y, debido a la fuente de corriente: I2-I1 = 1
Resolviendo el sistema:
I1 = -5/14 = -0.3571 A
I2 = 9/14 = 0.6429 A
VC = 12.8571 V
Calculamos el resto de valores:
VA = -3*I1 = 1.0714 V
VB = VA +10 = 11.0714 V
VC = VB - 5*I1 = 12.8571 V (como ya sabíamos de antes)
VD = VC - 4*I2 = 10.2857 V
VF = VD - 10*I2 = 3.8571 V
También debería ser VF = 6*I2 = 3.8571
Para calcular VE tengamos en cuenta que ambos condensadores están en serie y,
por tanto, durante el transitorio ha pasado la misma corriente por ellos y han
ganado, en consecuencia, la misma carga.
Ambos estaban descargados inicialmente y la tensión que habrán ganado será
inversamente proporcional a su capacidad pues C = Q / V. Sabemos que:
C1: Su tensión es VC1 = VE-VF
C2: Su tensión es VC2 = VD-VE
Así, VD-VF = VC1 + VC2 = 6.4286 V
Además: VC1 = 2VC2. Resolviendo:
VE = VF + 2/3(VD-VF) = 8.1429 V
VC1 = VE - VF = 4.2857 ; VC2 = VD – VE = 2.1429 V
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B) Nudos:
Hay un único nudo que es C. Planteamos:
Vc − 10 Vc
+
−1 = 0
8
20
I1 = −
I2 =
Resolviendo: Vc = 12.8571 V
Vc − 10
= -0.3571 A
8
Vc
= 0.6429 A
20
En cuanto a potencias producidas:
V1 produce P = 10*I1 = -3.571 W
La fuente de corriente produce: V*I = Vc*1 = 12.8571 W
En total ambas fuentes producen: 9.2857 W
Los consumos de las resistencias son: I 12 ( R1 + R 2) + I 22 ( R 3 + R 4 + R5) = 9.2857 W,
lógicamente igual a la potencia producida.
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Problema 3 (3 puntos):
La fuente V(t) vale:
V(t) = 10 + 3sin(100t) +4cos(100t – /4) + 6sin (1000t)
donde las fases (ángulos) están expresadas en radianes. Se pide, en régimen permanente:
1.
Expresión de la corriente I(t) (0.4p):
I(t) = 0.4581 2*sin(100t+115.83º) + 4.2853 2*sin(1000t+89.42º) =
0.6478*sin(100t+115.83º) + 6.0603*sin(1000t+89.42º) =
0.4581 2*sin(100t+2.0216) + 4.2853 2*sin(1000t+1.5607)
2.
Expresión de la tensión en la resistencia (0.4p):
VR(t) = 4.581 2*sin(100t+115.83º) + 42.853 2*sin(1000t+89.42º)
3.
mA
mV
Expresión de la tensión en la inductancia (0.4p):
VL(t) = 0.4581 2*sin(100t+205.83º) + 42.853 2*sin(1000t+179.42º) =
0.4581 2*sin(100t+3.5924) + 42.853 2*sin(1000t+3.1315) mV
4.
Expresión de la tensión en el condensador (0.4p):
VC(t) = 10 + 4.581 2*sin(100t+25.83º) + 4.2853 2*sin(1000t-0.58º) =
10 + 4.581 2*sin(100t+0.4508) + 4.2853 2*sin(1000t-0.0101) V
5.
Potencia media consumida por la resistencia (0.4p): 0.1857 mW
6.
Potencia media producida por la fuente (0.5p): 0.1857 mW
7.
Función de transferencia, en forma de transformada de Laplace, que relaciona la tensión en el
condensador con la tensión de entrada. Es decir (0.5p):
VC(s) / V(s) =
1
LCs 2 + RCs + 1
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SOLUCIÓN:
En el sistema tenemos 3 frecuencias distintas. Trabajaremos con cada una de ellas de
manera independiente aplicando superposición:
A) Continua. Tenemos una fuente de 10 V.
I = 0 A, ya que en permanente por el condensador no hay corriente en continua.
VR = 0 V
VL = 0V
VC = 10 V
B) Alterna de w = 100 rad/s.
Tenemos 2 fuentes a esta frecuencia. Las sumamos para obtener una única fuente.
Usamos fasores.
V1 = 3sin(100t)
3/ 2 a 0 rad
V2 = 4cos(100t- /4) = 4sin(100t+ /4)
4/ 2 a /4 rad
V = V1 + V2 = 4.1213 + 2j = 4.5810 a 0.4518 rad = 4.5810 a 25.89º
ZR = 10 ohm ; ZL = wLj ohm = j ohm; ZC = -1/(wC) j ohm = -10000j
I = V/Ztotal = 0.4581 mA a 2.0216 rad = 0.458 mA a 115.83º
VR = ZR * I = 4.581 mV a 115.83º
VR (t) = 4.581 2*sin(100t+115.83º) mV
VL = ZL * I = 0.4581 mV a 205.83º
VC = ZC * I = 4.581 V a 25.83º
VL (t) = 0.4581 2*sin(100t+205.83º) mV
VC (t) = 4.581 2*sin(100t+25.83º) V
C) Alterna de w = 1000 rad/s.
V = 6sin(1000t) = 6/ 2 a 0º
ZR = 10 ohm ; ZL = wLj ohm = 10j ohm; ZC = -1/(wC) j ohm = -1000j
I = V/Ztotal = 4.2853 mA a 1.5607 rad = 4.2853 mA a 89.42º
VR = ZR * I = 42.853 mV a 89.42º
VL = ZL * I = 42.853 mV a 179.42º
VC = ZC * I = 4.2853 V a -0.58º
VR (t) = 42.853 2*sin(1000t+89.42º) mV
VL (t) = 42.853 2*sin(1000t+179.42º) mV
VC (t) = 4.2853 2*sin(1000t-0.58º) V
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La potencia media consumida por la resistencia es igual a la producida por la fuente
porque, de media, el C y la L no consumen potencia.
La potencia media en la resistencia se puede hallar superponiendo las potencias medias
a cada frecuencia. Será:
2
+ I ef2 1 + I ef2 2 ) = 0.1857 mW
P = R*( I DC
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Problema 1 (5 puntos) :
Sea el circuito de la figura:
donde la fuente de tensión V1 vale 10 V, la V2 = 10I2 (voltios) y la fuente de corriente
vale 1 A . Los valores de las resistencias están expresados en ohmios.
Se pide, en régimen permanente:
1.
Valor de la tensión en A (0.5 p):
VA = 17.5 V
2.
Valor de la tensión en C (0.5p):
VC = 12.5 V
3.
Valor de la corriente I1 (0.5p):
I1 = -0.5 A
4.
Valor de la corriente I2 (0.5p):
I2 = 1 A
5.
Potencia producida por la fuente de corriente (0.5p):
P = 17.5 W
6.
Potencia producida por V2 (0.5p):
P = -5 W
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7.
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Equivalente Thévenin del circuito entre A y B:
Vth (0.5p) = 17.5 V
Rth (0.5p) = 12.5 ohm
8.
Equivalente Norton del circuito entre A y B:
Inorton (0.5p) = 1.4 A
Rnorton (0.5p) = 12.5 ohm
SOLUCIÓN:
Resolvemos el circuito. Lo podemos hacer por varios métodos:
A) MALLAS:
10-V2-10I1-5I2 = 0
VAB-V2-5I1-10I2 = 0
10-10I2-10I1-5I2 = 0
10-10I1-15I2 = 0
VAB -10I2-5I1-10I2 = 0
VAB-5I1-20I2 = 0
I2 = 1A
Operando
I1 = -0.5 A y VAB = 17.5 V = VA pues VB = 0
Vth = 17.5 V
Vc= 10 –5I1 = 12.5 V
B) NUDOS:
Vc − 10 Vc − 10 I 2
+
−1 = 0
5
5
y I2 = 1A
con lo que: Vc = 12.5 V
La potencia producida por la fuente de corriente será VAB * I = 17.5 W
La potencia producida por V2 será -V2*(I1+I2) = -5 W
La potencia producida por V1 será V1*I1 = -5 W
En total se producen: 17.5 –5 –5 = 7.5 W
La potencia consumida por las 3 resistencias es:
2
PR1 = 5* I 1 = 1.25 W
PR2 = 5*(I1+I2)2= 1.25 W
2
PR1 = 5* I 3 = 5 W
En total: 7.5 W, que coincide con la potencia producida.
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Para calcula los equivalentes Thévenin y Norton, lo más cómodo es calcula la corriente de cortocircuito y
la tensión de circuito abierto (que ya tenemos).
Para la corriente de cortocircuito cortocircuitamos A y B (es decir, VAB = 0). Planteando mallas queda:
10-V2-10I1-5I2 = 0
VAB-V2-5I1-10I2 = 0
10-10I2-10I1-5I2 = 0
0-10I2-5I1-10I2 = 0
Resolviendo: I2 = -0.4 A
10-10I1-15I2 = 0
-5I1-20I2 = 0
I1 = 1.6 A
La corriente de cortocircuito (Icc) que va de A a B es IAB = 1-I2 = 1.4 A, que es la corriente de Norton.
Fijarse en que, aunque en bornes de la fuente de corriente hay 0 V, la fuente de corriente sigue dando 1 A.
Rth = Rnorton = Vth / Icc = 12.5 ohm
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Problema 2 (2.5 puntos):
Sea el circuito de la figura:
donde
V1 (t) = 10 + 10sin(5t)
La fase está expresada en radianes y la tensión en voltios.
En t = 0s se cierra el interruptor. Se pide, a partir de ese instante:
1.
Valor de la corriente (0.5p):
I(t) = itotal = -e-5t + 2 + 2 sin(5t-45º)
2.
Valor de la tensión en la resistencia (0.5p):
VR(t) = -5e-5t + 10 + 5 2 sin(5t-45º)
3.
Valor de la tensión en la inductancia (0.5p):
VL(t) = 5e-5t + 5 2 sin(5t+45º)
4.
Energía consumida por la inductancia entre t = 0s y el momento en que se alcanza del régimen
permanente (0.5p):
0.28J
5.
Potencia media consumida por la resistencia en régimen permanente (0.5p): 25 W
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SOLUCIÓN:
Resolvemos la homogénea:
(R+LD)i = 0
D = -R/L
Homogénea: i(t) ke-(R/L)t = ke-5t
La particular será el régimen permanente. Para calcular el régimen permanente lo hacemos por
superposición, pues tenemos una fuente de continua y una de alterna.
Debido a la continua, en régimen permanente i(t) = 10 / 5 = 2A
Debido a la alterna, usamos el método de los fasores:
V = 10/ 2 a 0º
La Z total es Z = 5 +5j = 5 2 a 45º
Por tanto el favor I es I = V/Z = 1 a –45º. Por tanto, debido a la alterna, en permanente:
i(t) = 2 sin(5t-45º)
En total ipermanente = 2 + 2 sin(5t-45º)
La itotal = ihomogénea + ipermanente = ke-5t + 2+ 2 sin(5t-45º), donde la condición inicial es i(0) = 0A
k = -1
itotal = -e-5t + 2 + 2 sin(5t-45º)
VR(t) = Ri(t) = -5e-5t + 10 + 5 2 sin(5t-45º)
VL(t) = Ldi(t)/dt = 5e-5t + 5 2 sin(5t+45º)
La energía en la inductancia en t = 0 s eran 0 J (no circula corriente por ella). La constante de tiempo es
= 0.2 s. Por tanto, el permanente se alcanza en t = 1s (si consideramos 5 ) ó 1.2 s (si consideramos 6 ).
Calculando la corriente en esos instantes:
I(1) = 0.7507 A E = ½ LI2 = 0.2818 J
I(1.2) = 0.7579 A E = ½ LI2 = 0.2872 J
La línea azul (continua) es la corriente en función del tiempo y la verde (discontinua) la energía. Se ve
como, cuando se alcanza el permanente, entre 1 y 1.2 s, la energía está entorno a 0.28-0.29 J
En permanente, la potencia media la podemos calcular como la potencia media de continua más la
potencia media de alterna, es decir:
Pmedia =
2
I DC
R + I ef2 R = R(22 + 12) = 25 W
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Problema 3 (2.5 puntos):
Sea la señal periódica V1(t) que se muestra en la siguiente figura:
Sabiendo que la transformada de Fourier es de la forma:
f(t) = fo +
a1cos(wt) + a2cos(2wt) + a3cos(3wt)+ a4cos(4wt) + ......................................+
b1sen(wt) + b2sen(2wt) + b3sen(3wt)+ b4sen(4wt) + ......................................
ó:
f(t)=
fo +
c1sen(wt+ϕ1) + c2sen(2wt+ϕ2) + c3sen(3wt+ϕ3)+ c4sen(4wt+ϕ4) + ...................
donde
ak = (2/T) *
bk = (2/T) *
0
T
0
T
f(t)*cos(kwt)dt
f(t)*sen(kwt)dt
Se pide, para la transformada de la señal V1(t):
1. Valor de fo (0.5p): 0.25 V
2. Valor de a1 (0.5p): 0.3183 V
3. Valor de b1 (0.5p): 0.3183 V
4. Valor de c1 (0.5p): 0.4502 V
5.
Valor de
1 (0.5p):
45º
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Fila
SOLUCIÓN:
El período es 1s. La frecuencia fundamental es 1 Hz que corresponde a w = 2 f = 2 rad/s. El valor
medio sale:
f0 =
1
0.25
0
0
(1 / T ) f (t )dt =
1dt =0.25
Para el resto de los índices:
a1 =
b1 =
c1 =
1
1
0.25
0
0
1
0.25
0
0
( 2 / T ) f (t ) cos( wt )dt = 2 cos(2πt ) = 1/ = 0.3183
( 2 / T ) f (t ) sin( wt )dt = 2 sin(2πt ) = 1/ = 0.3183
a12 + b12 = 0.4502
= atan (a1/b1) = 45º