maqueta MAPA Herramienta Didáctica – 06

DOCUMENTO DE TRABAJO Nº. 6
Estadistica
ASIGNATURA
CÓDIGO
REQUISITO(S)
OBLIGATORIA/LECTIVA
ANUAL/SEMESTRAL
DIURNA/VESPERTINA
TEÓRICO-PRÁCTICA/PRÁCTICA
CARÁCTER
PLAN DE ESTUDIO
HORAS SEMANALES
II. Aprendizajes Esperados:
Calcular Percentiles, cuartiles, deciles
Interpretar Percentiles, cuartiles, deciles
Definir Medidas de dispersión: varianza, desviación estándar, coeficiente de variación
Calcular Medidas de dispersión: varianza, desviación estándar, coeficiente de variación
Interpretar Medidas de dispersión: varianza, desviación estándar, coeficiente de variación
III. Síntesis esquemática de Contenidos
calcula
aprende la
noción de
percentil, decil,
cuartil y
varianza,
reconoce e
desciación
interpreta
estandar y
coeficiente de
percentil
dichos
elementos
variación
IV. Actividades ( individuales o grupales)
Ejercicios:
1. Determine el tercer cuartil, la amplitud intercuartilica el Decil 6 para los datos:
25 15 28 29 25 26 21 26
2. Se registran la cantidad de cigarros mensuales que consumen un grupo de alumnos de l liceo
Supremo:
15 16 19 15 14 16 20 15 17
a) Será cierto que el percentil 60 corresponde a 20
b) La diferencia entre el Decil 8 y el Decil 3 es de 10
c) Cuál es el segundo cuartil
3. En un estudio que se realizó en un asilo de ancianos, se tomó las edades de los ancianos que
pueden caminar sin dificultades
69 73 65 70 71 74 65 69 60 62.
Sé pierde:
a) Calcular la mediana a través de los Cuartiles
b) Las diferencia entre P50 la Q 3 es
4. Se escogió un salón de clases de cuarto grado, con un total de 25 estudiantes, y se les pidió que
calificaran del 1 al 5 un programa televisivo.
(5 = Excelente 4 = Bueno 3 = Regular 4 = No muy bueno 1 = Fatal)
Estos fueron los resultados:
x
f
1
4
2
8
3
3
4
5
5
3
Se pide
a) Calcule los Deciles 3, 6, 9
b) El percentil 55.
c) La semisuma entre el segundo cuartil y el percentil 80
5. Se registran las notas de un grupo de estudiante en la asignatura de matemáticas obteniéndose
los resultados:
notas (x)
nº de alumnos
1-3
3-5
5-7
3
10
8
Se pide
a) El Q3 y el P30
b) P85 – Q2
6. Dada la siguiente distribución de frecuencias:
x
0
10
20
30
40
f
2
4
7
5
2
Se pide:
a. Recorrido y recorrido intercuartílico.
b.
Coeficiente de variación.
7. Las recaudaciones obtenidas en los últimos proyectos publicitarios vienen reflejadas en la
siguiente tabla:
Ingresos
0–100
100–250
250–500
500-1000
nº de proyectos
12
15
20
15
Se pide:
a) Calcula el ingreso medio y la desviación típica.
b) Qué puede decir de la variación en la muestra de los ingresos.
c) Si para el año siguiente el ingreso aumenta un 5% sobre el valor inicial, manteniéndose el
criterio del reparto, ¿cuál será ahora el ingreso medio y la desviación típica?
d) Cual es valor de la Varianza.
acciones
accio
nistas
0-50
23
50-100
72
100-150
62
150-200
48
200-250
19
250-300
8
300-350
14
350-400
7
400-500
7
8. La distribución de acciones de una sociedad es:
a) Calcular Desviación típica y el rango intercuartilico.
b) El coeficiente de variación de la muestra será del orden de:
c) La Varianza tiene un valor de
I Problemas relacionados con cuartiles, deciles y percentiles
Resuelva los siguientes problemas relacionados con fractiles
La siguiente información corresponde al consumo mensual en combustible destinado a calefacción,
expresado en miles de $, en una muestra aleatoria de hogares de un barrio de Santiago, durante los
meses de invierno:
Consumo
($miles)
Nº de
casos
4–6
17
6–8
26
8– 10
14
10 – 12
9
12 –14
11
1.
¿Qué consumo deja bajo sí al 25% de los consumos más bajos?
2.
¿Qué consumo deja sobre sí al 15% de los consumos más altos?
La siguiente distribución corresponde a la recaudación de impuestos de 40 contribuyentes.
(Recaudación de impuestos en miles de pesos).
x
'
i 1
 x 'i
50- 70
70- 90
90 - 110
110 - 130
130 150
a)
b)
c)
d)
e)

xi
ni
60
80
100
120
140
2
15
8
12
3
¿Cuál es la recaudación correspondiente a cuartil 1? Interprétela.
¿Cuál es la recaudación correspondiente al Percentil 65? Interprétela.
¿Bajo qué recaudación están el 20% de las recaudaciones menores?
¿Sobre qué recaudación está el 20% de las recaudaciones mayores?
¿Qué orden de percentil representa la recaudación $ 108.000?
Grafican e interpretan cuartiles mediante gráfico de caja
II Problemas relacionados con gráfico de caja e interpretación de
cuartiles
Resuelva los siguientes problemas relacionados con gráfico de caja.
8.
Considere el siguiente gráfico de caja:
Deuda morosa de 5.400 clientes de la empresa Aguas Andina residentes en la comuna de Conchalí (Miles de $)
Se pide: construir 5 afirmaciones respecto del caso.
9.
La tabla de distribución de frecuencias adjunta indica el número de años de experiencia de una
muestra de expertos en el área de Administración y Finanzas
Experiencia
(años)
Nº de casos
0- 3
años
12
3-6
años
37
6- 9
años
22
9 – 12 años
8
12 – 15 años
5
Con la información anterior construya un gráfico de cajas
10.
De acuerdo con los datos de un censo, las proporciones de adultos en USA, clasificados en cinco
categorías de edad, son las siguientes:
Edad (años)
18 – 24
25 – 34
35 – 44
45 – 64
65 - 100
Proporción
0,18
0,23
0,16
0,27
0,16
Con estos datos trace un gráfico de caja
III Problemas relacionados con Estadígrafos de Dispersión
Calcule Estadígrafos de Dispersión
11. Se dispone de la siguiente información sobre el consumo de un producto envasado en
latas. Se encuestó a un grupo de 20 familias y se interrogó: ¿cuántas unidades de
este producto, mensualmente consume su grupo familiar?
0
1
2
1
2
3
2
5
2
2
0
3
4
5
1
3
4
1
0
5
Calcule los siguientes estadígrafos: Media Aritmética, Varianza y Desviación Típica
12.
La siguiente tabla muestra las horas de trabajo transcurridas hasta que un trabajador sufre un
accidente de trabajo, investigación realizada a una muestra de 27 accidentes de trabajo.
Tiempo
(horas)
Nº de
casos
0–2
2–4
4–6
6–8
8 – 10
6
11
5
2
3
Total
27
Calcule
a. La variabilidad del número de horas
b. La dispersión del número de horas
c. El coeficiente de dispersión del número de horas
Resuelven problemas aplicando las diferentes medidas de dispersión
iv problemas relacionados con estadígrafos de dispersión
resuelva los siguientes problemas relacionados con estadígrafos de
dispersión
13. En una empresa del rubro textil, donde laboran 350 empleados, se ha estudiado el ingreso mensual
(miles de pesos) obteniéndose los siguientes datos separados por sexo:
Ingreso ( miles de pesos)
120 – 140
140 – 160
160 – 180
180 - 200
Hombres
40
85
85
40
Mujeres
40
10
10
40
¿En
cuál grupo de empleados, el ingreso presenta una confiabilidad más completa en torno al Ingreso
Medio?
14. Un experto en administración ha presentado sus antecedentes con el objeto de obtener un empleo en
varias empresas. Pasado los procesos de selección de éstas queda aceptado en tres empresas y
dispone de una semana para decidir en cuál de ellas se quedará.
El factor en base al cual tomará la decisión es el nivel de rentas que obtienen profesionales equivalentes al
suyo y además que presenten un comportamiento más estable. Para esto consulta los sueldos a un
grupo de profesionales cada empresa obteniendo la siguiente información
EMPRESA
A 90
100
B 94
97
C 98
93
110
112
115
SUELDOS DE LOS PROFESIONALES (miles de pesos)
98
97
98
103 94
102 101 106 98
106 113 92
95
96
106 95
97
99
82
103 101 100 96
105 04
101 102
105
96
102
99
110
105
¿En
cuál de estas empresas decide quedarse? Justifique su decisión y respáldelo con las
medidas adecuadas.
15. A continuación se presenta la información tabulada sobre las ventas de pasajes
(en dólares) en dos agencias.
Estrato 1
x
 x

x
n
400- 500
500 -600
Estrato 2
x i 1  x i 
1.000 – 1.300
1.300 – 1.600
1.600 – 1.900
6
15
xi
ni
25
12
8
¿En qué estrato la dispersión de las ventas es menor?
16. Se conoce la información respecto de los ingresos de los trabajadores de dos secciones
de una empresa, A y B. El ingreso promedio de los trabajadores de la sección A es de
$950.000 con una desviación típica de $98.000. Los trabajadores de la sección B tienen un ingreso
promedio de $1.2000.000 con una desviación típica de $180.000 ¿En cual de las dos secciones
existe una dispersión relativa mayor? Justifique su respuesta.
V. Evaluación de la actividades
Los alumnos deberán desarrollara cada uno de lso ejercicios
97
96
90
102
96
105
VI. Síntesis de los contenidos :
OBJETIVOS:
Calcular Percentiles, cuartiles, deciles
Interpretar Percentiles, cuartiles, deciles
Definir Medidas de dispersión: varianza, desviación estándar, coeficiente de variación
Calcular Medidas de dispersión: varianza, desviación estándar, coeficiente de variación
Interpretar Medidas de dispersión: varianza, desviación estándar, coeficiente de variación
Percentiles: Medida de posición localización que divide la muestra en 100 partes iguales,
Se utiliza para variables continuas y discretas. Pk = Percentil k-ésimo es aquel valor de la variable
que deja a su izquierda el k % de la distribución.
Para datos no tabulados:
1. Se ordenan los datos de menor a mayor
2. Calcular la posición del percentil k-ésimo a través de:
n  100%
kn
 
 k
100
3. Luego Pk = x 
Para datos tabulados
Caso tabla simple:
1. Calcular la posición del percentil k-ésimo a través de:
Fi 1 
nk
 Fi
100
2. Luego Pk = xi
Caso tabla con intervalo:
Criterio: FI 1 
xi-xi+1
x’i
fi
Fi
x1-x2
x’1
f1
F1
x3-x4
x’2
f2
F2
:
:
:
:
xi-xi+1
x’i
fi
Fi
:
:
:
:
xp-xp+1
x’p
fp
Fp
nk
 FI para determinar el intervalo donde se encuentra el percentil k100
ésimo, Luego el percentil buscado será:
nk
 Fi 1
Pk  xi  100
 ( xi 1  xi )
fi
Donde
xi : limite inferior del intervalo donde esta Pk
n : tamaño de muestra
Fi-1: frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al intervalo de Pk
fi : frecuencia absoluta del intervalo donde está Pk
Cuartiles: Medida de posición que divide la población o muestra en cuatro partes iguales donde
Q1= Valor de la variable que deja a la izquierda el 25% de la distribución.
Q2= Valor de la variable que deja a la izquierda el 50% de la distribución = mediana.
Q3= Valor de la variable que deja a la izquierda el 75% de la distribución.
Para calcular los Cuartiles usamos
Q1= P25
Q2= P50
Q3= P75
Q4= P100
Luego se sigue de igual manera que en los percentiles tanto para los datos no tabulados
como datos tabulados
Deciles: Medida de localización que divide la población o muestra en 10 partes iguales
Dk = Decil k-simo es aquel valor de la variable que deja a su izquierda el k·10 % de la distribución.
Para calcular los Deciles hacemos:
D1= P10
D2= P20
D3= P30
:
D9= P90
D10= P100
Relaciones importantes:
Existen relaciones que pueden tenerse a la hora del calculo
Recorrido intercuartílico: Q3  Q1
Semirecorrido intercuartílico:
Q3  Q1
2
Recorrido interdecílico: P9  P1
Recorrido intercentilico: C99  C1
EJEMPLO:
1) Para la siguiente muestra {25, 24, 10, 15, 15, 20, 18, 21, 22} calcule: P20, D8
Para P26 como son datos no tabulados se debe hacer:
Para datos no tabulados:
1. Se ordenan los datos de menor a mayor
10, 15, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25
donde n = 9
2. Calcular la posición del percentil k-ésimo a través de:
9  100%
9  20
 
 1,8
  20
100
3. Luego Pk = x 1,8 = x 2 = 15
Para el Decil 8 se hace D8 = P80, luego
9  100%
9  80
 
 7,2
  80
100
Entonces P80 = x 7,2 = x 7 = 22
2) Complete la tabla y determine P40 y Q3
Xi
fi
1
Fi
Xi
fi
Fi
16
1
17
17
2
20
2
19
36
3
9
3
9
45
4
5
4
5
50
Total
50
Total
Calcular la posición del percentil 40 hacemos:
Fi 1 
50  40
 Fi  F1  20  F2  x20  2
100
Luego P20 = 2
Para el Q3 hacemos Q3= P75 entonces
Fi 1 
50  75
 Fi  F1  37,5  F2  x37 ,5  3
100
Luego P75 = 3 por lo tanto el Q3 = 3
3) Se encuesta a un grupo de personas (con ingresos en miles de pesos9, para saber cuánto dinero
destinan para diversión según su sueldo, el cual se expresa en la tabla
Se pide:
xi-xi+1
fi
Fi
Calcular Q1,Q3, D3, y P45
45-55 6
6
55-65
10
16
65-75
19
35
75-85
11
46
85-95
4
50
Total
50
Cálculo de Q1: Buscamos en la columna de las frecuencias Acumuladas el valor que supere al 25%
de N=50, corresponde al 2º intervalo. (50/4=12.5)
50  25
6
100
Q1  P25  55 
10  615
10
Análogamente calculemos Q3, Buscamos ahora en la misma columna el correspondiente al 75
%de N que en este caso es el 4º intervalo (3.50/4=37.5)
50  75
 35
100
Q3  P75  75 
10  77.27
11
Para el Decil 3. (corresponde al 30 % 3 · 50 / 10 = 15) sería el 2º intervalo.
50  30
6
100
D3  P30  55 
10  64
10
Por último el percentil 45 (45·50/100 = 22.5) Corresponde al intervalo 3º.
50  45
 16
P45  65  100
10  68,421
11
1.6. Medidas de dispersión: Las medidas de tendencia central permiten determinar el centro de la
distribución, sin embargo, no son capaces de describir el comportamiento de algunas muestras en
donde la variabilidad de los esta muy presente para esto se hace uso de la medida de variabilidad.
1.6.1 Recorrido: Se ha definido como la diferencia entre el mayor valor y el menor valor
Rango o Recorrido = Rango mayor – Rango menor
1.6.2 Recorrido intercuartilica: Se ha definido como la diferencia entre el tercer y primer cuartil
Recorrido intercuartilico = Q1 - Q3
1.6.3 Varianza: Es la media de los cuadrados de las desviaciones, y la denotaremos por V ( x)  s x2
cuando es una muestra pero como  2 para la población:
Para datos no tabulados:
( x1  x) 2  ( x2  x) 2  ..  ( xn  x) 2
V ( x)  s 
n
2
x
Para datos tabulados
Caso tabla simple
p
V ( x)  s  
2
x
i 1
f i  ( xi  x) 2
n
Caso tabla con intervalos
n
V ( x)  s  
2
x
i 1
f i  ( xi,  x) 2
n
1.6.4 Desviación estándar o Desviación típica: Es la raíz cuadrada de la Varianza, se denota por Sx
si es muestral, pero como σ en el caso de la población
Para datos no tabulados:
( xi  x)2  ( xi  x)2  ..  ( xi  x)2
sx 
n
Para datos tabulados
Caso tabla simple
sx 
p

i 1
f i  ( xi  x) 2
n
Caso tabla con intervalos
sx 
p

i 1
f i  ( xi,  x) 2
n
1.6.5 Coeficiente de variación: Es un estadístico de dispersión que entrega el porcentaje de
variación en la muestra además es adimensional, es decir, no lleva asociada ninguna unidad, por
lo que nos permitirá comparar entre dos muestras y determinar cual es la que presenta mayor
dispersión. Se denota por CV(x)
CV ( x) 
sx
.100
x
Ejemplo:
1) Un estudio sobre la influencia que el peso de los atletas en un equipo de football afecta su
habilidad de correr, produce los siguientes datos: 180, 195, 203, 175, 195, 250, 212, 165, 215, 220.
Determina el recorrido del conjunto de datos.
Calculamos
Rango mayor = 250
Rango menor = 180
Luego la Recorrido será 250 - 165 = 85
2) En la distribución 2.1 3.4 4.2 5.6 7.8 9.0 determine el recorrido de la muestra
Calculamos
Q1 = 3,4
Q3 = 7,8 Luego la amplitud intercuartila es (7,8 – 3,4) = 4,4
3) La ultima campaña de marketing aumento la venta del producto como se indica en la
tabla. Se afirma por parte de la Empresa que la variación de la cantidad de productos
vendidos debido a la nueva campaña de marketing, esta sobre el 15%
xi  xi1
fi
x i,
f i  xi,
xi,  x
( xi,  x) 2
f i  ( xi,  x) 2
45 – 55
6
50
300
-19,4
376,36
2258,16
55 – 65
10
60
600
-9,4
88,36
883,6
65 – 75
19
70
1330
0,6
0,36
6,84
75 – 85
11
80
880
10,6
112,36
1235,96
85 – 95
4
90
360
20,6
424,36
1697,44
n = 50
3470
6082
3470
 694
50
6082
V ( x) 
 121,64
50
 s x  121,64  11,029
x
 CV ( x) 
11,029
100  15,892%
69,4
Por lo tanto la afirmación de la Empresa es correcta
4) Hallar el coeficiente de variación de una serie de datos cuya desviación típica es 2 y media igual
a 16.
CV(x) = 2 / 16 * (100)= 12.5%
VII. Glosario
Links de interés