0,0,0

EXAMEN FÍSICA NOVIEMBRE 2012
1. Un sólido está sometido a las rotaciones 𝜔1 y 𝜔2, siendo A y 0 puntos de sus respectivas
rectas soporte, y además se traslada con una velocidad de rotación:
⃗ =2j-k=(0,2,-1)
𝑇
𝜔
⃗ 1=-i+3k=(-1,0,3)
A=(2,1,0)
𝜔
⃗ 2=i-2k=(1,0,-2)
𝜔
⃗ =𝜔
⃗ 1+𝜔
⃗ 2=(0,0,1)
0(0,0,0)
Calcular:
a) Velocidad de los puntos 0(0,0,0) y A(2,1,0)
-
Una forma práctica de calcular la velocidad en cualquier punto es calcularla primero en el
punto 0. En este caso nos piden la velocidad en este punto, por lo que primero lo calculamos
en 0 y luego en A.
Aplicamos la fórmula:𝑣 0 =∑ 𝑇𝑖 + ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑜𝑤
⃗⃗
𝑖
𝑣 0=(0,2,-1)+ | 2
−1
𝑗
1
0
𝑘
0| =(0,2,-1)+(3,-6,1)=(3,-4,0)
3
𝑣 a=𝑣 0 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑂 ^𝑤
⃗⃗
𝑖
𝑣 a =(3,-4,0)+ |−2
0
𝑗
−1
0
𝑘
0| = (3,-4,0)+ (-1,2,0)=(2,-2,0)
1
b) Velocidad en un punto genérico M(x,y,z)
Aplicamos una fórmula similar a la del apartado anterior: 𝑣 m=𝑣 0 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑂^𝑤
⃗⃗
𝑖
𝑣 m=(3,-4,0)+ |−𝑥
0
𝑗
−𝑦
0
𝑘
−𝑧|=(3,-4,0)+(-yi+xj)=(3-y,-4+x,0)
1
Para comprobar si el resultado es correcto, sustituyo en las coordenadas(x,y,z) el punto
A(2,1,0),y si da (2,-2,0),el resultado es correcto.
c) Invariantes
Invariantes del sistema y vector 𝑣 min
Invariante 1: |𝑤|=√1=1
Invariante 2: 𝑤
⃗⃗ ∙ 𝑣 0=(0,0,1)(3,-4,0)=0
Invariante 3:
⃗⃗ ∙𝑣
⃗0
𝑤
|𝑤|
=0
d) Vector 𝑣 min
𝑣 min=
⃗⃗ ∙𝑣
⃗0
𝑤
|𝑤|
⃗⃗
𝑤
∙ |𝑤|=0 ∙
(0,0,1)
=(0,0,0)
1
e) Ecuación del Eje Instantáneo de Rotación y Deslizamiento (EIRD)
Fórmula EIRD:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦−𝑂𝐻
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦
𝑥−𝑂𝐻𝑥
=
𝑤𝑥
𝑤𝑦
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧
𝑧−𝑂𝐻
𝑤𝑧
𝑤
⃗⃗ =(0,0,1)
𝑣 0=(3,-4,0)
Fórmula para calcular ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐻 :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐻 =
EIRD:
𝑖
|0
3
𝑥−4
0
⃗⃗ ^𝑣
⃗0
𝑤
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐻 = |𝑤|2
𝑗 𝑘
0 1|
−4 0
=(4,3,0)
1
=
𝑦−3
0
=
𝑧
1
𝑦=3
𝑥=4
{
2. Dado el vector deslizante 𝑣=3i+j+2k cuya recta soporte pasa por el punto A (1,1,-2)
calcular el momento axial respecto al eje de ecuación:
𝑥−1 𝑦 𝑧+2
−2
= =
0
2
Solución con explicación: tenemos los siguientes datos:
-Vector deslizante:(3,1,2): lo llamaré 𝑣
-Punto del vector deslizante:(1,1,-2): lo llamaré A
-Vector recta:(-2,0,2) lo llamaré 𝑒
-Punto de la recta: (1,0,-2) lo llamaré P
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
La fórmula del momento axial es la siguiente: 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒
𝑀𝑝∙
|𝑒|
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (momento del punto P respecto de la recta que tiene como vector 𝑣 y como
Para calcular 𝑀𝑝
punto A): aplicamos: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐴^𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐴=A-P=(1,1,-2)-(1,0,-2)=(0,1,0)
𝑖
|0
3
𝑗
1
1
𝑘
0|=2i-3k=(2,0,-3)
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒
𝑀𝑝∙
Aplicando la fórmula: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 = |𝑒|
(2,0,−3)∙(−2,0,2) −10 −5
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 =
= =
√8
2√2 √2
Como podemos comprobar, el momento axial es una magnitud escalar
3. Un punto material realiza un movimiento circular cuyo vector posición en posición del
tiempo es: 𝑟 = 2cos2ti + 2sen2tj
a) El desplazamiento angular 𝜑(𝑡 ), la velocidad angular 𝜔 y la aceleración angular 𝛼.
Sacando factor común: 𝑟 = 2(cos2ti + sen2tj)
Como 𝑟 = R ∙ (cos 𝜑𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝜑𝑗). Deducimos que 𝜑 = 2𝑡 (rad)
𝜔 es la derivada de 𝜑 respecto al tiempo : 𝜔 =
𝑑𝜑
𝛼 es la derivada de 𝜔 respecto al tiempo :𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
𝑑𝑡
.Deducimos que 𝜔 = 2 (rad/s)
. Deducimos que 𝛼 = 0 (rad/s2)
b) Vector velocidad instantánea⃗⃗⃗𝑣 (t) y módulo IvI
⃗⃗⃗𝑣 (t)=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. ⃗⃗⃗𝑣 (t)=4(-sen2ti+cos2tj)
Como 𝑣 (t)=IvI∙ 𝑢
⃗t ,y𝑢
⃗ t= -sen𝜑+cos𝜑. Deducimos que IvI=4 (m/s)
c) Componentes intrínsecas de la aceleración:
𝑎n=
𝑑⃗⃗⃗𝑣
𝑑𝑡
.Por tanto, 𝑎n=8(−𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑖 − 𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑗)
Como 𝑎n(t)=IanI ∙ 𝑢
⃗n ,y𝑢
⃗ n= -cos𝜑-sen𝜑. Deducimos que IanI=8
(m/s2)
𝑎t=R∙ 𝛼 ∙ 𝑢
⃗ t . Como α=0, no existe aceleración tangencial. Por tanto: IatI=0
d) Vector aceleración instantánea⃗⃗⃗𝑎t y su módulo
En este caso, como 𝑎t=0, la aceleración va a ser igual que la aceleración normal y su módulo. Por
tanto: 𝑎=8(−𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑖 − 𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑗)
IaI=8
(m/s2)
5. Una partícula de masa=2kg está sometida a la acción de una fuerza:
𝐹 = (-3x2 +4x)i-2yj-3zk (N)
a) Indicar si la fuerza es conservativa:
Una fuerza es conservativa si ⍢^𝐹 =0 . Para ello, hacemos el siguiente determinante:
𝑖
𝑗
𝑘
𝑖
𝑗
𝑘
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
𝑑𝑧
−2𝑦
−3𝑧
| 𝑑𝑥
𝑑𝑦
|=|
𝑑𝑧
𝐹𝑥
𝐹𝑦
𝐹𝑧
−3𝑥 + 4𝑥
Esto es así porque por Sarrus, por ejemplo,
| = 0.
𝑑(−3𝑧)
𝑑(−2𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑦
=0,
𝑑(−3𝑥 2 +4𝑥)
= 0,
𝑑𝑥
=0
Una regla memorística es saber si en la fuerza, el componente de las i tiene solo x (y/o número sin
variable), el componente de las j tiene solo y (y/o número sin variable), el componente de las k
tiene solo z (y/o número sin variable).
En este caso, el componente i solo tiene x, el componente j solo tiene y, el componente k solo
tiene z
Por tanto, la fuerza es conservativa
b) Obtener la energía potencial de la partícula considerando U(0,0,0)=0
En este apartado, tenemos que aplicar:
Fx=
−𝑑𝑈
Fy=
𝑑𝑥
−𝑑𝑈
Fz=
𝑑𝑦
−𝑑𝑈
𝑑𝑧
𝑑𝑈 = −𝐹𝑥𝑑𝑥 − 𝐹𝑦𝑑𝑦 − 𝐹𝑧𝑑𝑧
U=∫ −𝐹𝑥𝑑𝑥 − 𝐹𝑦𝑑𝑦 − 𝐹𝑧𝑑𝑧
U=∫(3𝑥 2 − 4𝑥)𝑑𝑥 + (2𝑦)𝑑𝑦 + (3𝑧)𝑑𝑧
U=x3-2x2+y2+
3𝑧^2
2
+C
Como U(0,0,0)=0
C=0
U= x3-2x2+y2+3z2/2
c) Calcular el trabajo realizado por la fuerza 𝐹 cuando la partícula se desplaza desde 0(0,0,0) hasta
A (1,1,1)
Existen dos caminos distintos que al final llegan al mismo resultado:
Ua=
3
2
U0=0
3
Método 1: W=-Δ𝑈=U0-Ua=0- = -1,5 J.
2
Método 2: por definición de trabajo. W=∫ 𝐹 ⋅ 𝑑𝑟
W=∫ 𝐹𝑑𝑥 + 𝐹𝑑𝑦 + 𝐹𝑑𝑧
𝐹 = (-3x2 +4x)i-2yj-3zk (N)
1
W= -x3+2x2-y2-3z2/2 { =(-1+2-1-3/2)-0= -1,5 J
0
En este caso he sustituido directamente después de la integral por 1 y 0,debido a que A(1,1,1) y
0(0,0,0). Están formados cada punto por los mismos números. En el caso de que fueran distintos
estos números(p.e A(1,2,3) y 0(0,0,0) tendría que hacer tres pasos: sustituir los valores de x
después de haber hecho la integral entre 1 y 0, sustituir los valores de después de haber hecho la
integral entre 2 y 0, sustituir los valores de z después de haber hecho la integral entre 3 y 0
d) Si la velocidad de la partícula en la posición 0 (0,0,0) es v0=1 m/s, calcular la velocidad en el
punto A(1,1,1)
Como es un campo conservativo, no varía la energía mecánica. Por tanto:Ema=Em0
Como la energía mecánica es la suma de la Ec y U, tenemos:EcA+UA=Ec0+UB
Ec= (mv2/2)
Tenemos la masa (2kg), la velocidad en el punto 0 (1m/s) y la energía potencial en A (1,5J) y 0 (0J),
por lo que solo nos queda por despejar la energía cinética en A.
Eca=Ec0+U0-UA Despejamos: Eca=1-1,5= -0,5(J)
No existen energías cinéticas negativas, por lo que no se puede calcular la velocidad en el punto A