CLASE No. 7 IDENTIFICA EL MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA

CLASE No. 7 IDENTIFICA EL MOVIMIENTO DE UNA
PARTICULA
MOVIMIENTO RECTILINEO
El estudio del movimiento se denomina cinemática que viene del griego kinema y significa
movimiento.
La cinemática es el estudio del movimiento en función del tiempo independientemente de las causas
que lo producen.
Si la trayectoria del movimiento de un cuerpo es recta, entonces el movimiento se denomina
rectilíneo.
MOVIMIENTO
La posición de una partícula sobre una recta es conocida gracias a su distancia respecto al origen. Si
ésta distancia no cambia con el tiempo, entonces la partícula está en reposo, de otro modo está en
movimiento.
El desplazamiento de una partícula de un punto a otro se define como el vector trazado desde el
primer punto hasta el segundo. En la figura 1 se muestra el vector que corresponde al desplazamiento
de una partícula desde el origen hasta un punto A.
0
A

x
Figura 1
El vector x de la figura 1 tiene una magnitud 0A y una dirección de 0° (cero grados).
1
VELOCIDAD MEDIA
La velocidad media de una partícula es el cociente de la división del desplazamiento entre el tiempo
transcurrido:
v



x  x0
t  t0
(1)
La velocidad media es un vector porque el cociente de un vector entre un escalar es también un
vector.
La dirección de la velocidad media es la misma que la del vector desplazamiento.
Ejemplo
Un animal de pluma vuela 100 kilómetros en 2 horas. ¿Cuál es su velocidad media?
Su velocidad media es:
v
100
 50 Km/h
2
VELOCIDAD INSTANTÁNEA
La velocidad de una partícula en un cierto instante de su trayectoria se denomina velocidad
instantánea.
Para el cálculo adecuado de la velocidad instantánea se necesitan matemáticas avanzadas. Mientras
tanto puede calcularse la velocidad instantánea dividiendo el desplazamiento entre un tiempo muy
pero muy pequeño:
 
 x  x0
(t y t0 infinitamente cercanos)
v
t  t0
(2)
La velocidad media no representa el movimiento en un preciso instante o sea no es una
representación precisa del movimiento. Por ejemplo, si un cuadrúpedo recorre sin parar una distancia
de 50 kilómetros en 5 horas, entonces su velocidad media será de 10 Km/h. Por otra parte, si el mismo
cuadrúpedo recorre la misma distancia y en el mismo tiempo pero parando y acelerando, entonces su
velocidad media también será de 10 Km/h. Indiscutiblemente los dos movimientos no son iguales.
2
Ejemplo
A
B
C
D
E
Figura 2
Un mamífero carnicero parte de un punto A y recorre 10 m hasta llegar a un punto E en un tiempo de
10 s. Durante éste recorrido pasa de un punto B a un punto C en un tiempo de 0.001 s. La distancia
entre B y C es de 0.01 m. Véase la figura 2. ¿Cuál es la velocidad media del mamífero entre A y E?.
¿Cuál es la velocidad instantánea en un punto entre B y C?. ¿Cuál es la velocidad instantánea en D?
La velocidad media entre A y E es:
v
10
1 s
10
La velocidad instantánea en un punto entre B y C es:
 0.01
v
 10 m/s
0.001
La velocidad en el punto D no puede ser calculada porque se necesita información de un punto
inmediato anterior y de otro punto inmediato posterior.
En éste ejemplo se puede apreciar que la velocidad media y la velocidad instantánea no son iguales.
También se puede apreciar que la velocidad media representa el movimiento durante todo el
recorrido, mientras que la velocidad instantánea representa el movimiento en un punto preciso.
ACELERACIÓN MEDIA
La aceleración media de una partícula se define como el cociente de la división del cambio de la
velocidad entre el tiempo transcurrido:
a


 
v  v0
t  t0
(3)
La aceleración media es un vector porque el cociente de un vector entre un escalar también es un
vector.
En el movimiento rectilíneo la dirección del vector de la aceleración media es la misma que la
dirección del desplazamiento.
Ejemplo
3
Un medio de locomoción cambia de una velocidad de 3 m/s a una velocidad de 5 m/s en 2 segundos.
¿Cuál es su aceleración media?
La aceleración media es:
a
5  3 m/s
 1 m/s2
2
s
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
La aceleración de una partícula en un cierto instante de su trayectoria se denomina aceleración
instantánea.
Para el cálculo de la aceleración instantánea se necesitan matemáticas avanzadas. Mientras tanto
puede calcularse dividiendo el cambio de la velocidad entre un tiempo transcurrido muy pero muy
pequeño:
 
 v  v0
(t y t0 infinitamente cercanos)
a
t  t0
(4)
Al igual que la velocidad instantánea, la aceleración instantánea representa de manera precisa el
movimiento.
A
B
C
D
E
Figura 3
Ejemplo
Un parásito parte de un punto A a una velocidad inicial de 10 m/s y llega a un punto E en un tiempo de
10 s y a una velocidad final de 30 m/s. Durante éste recorrido pasa de un punto B a un punto C en un
tiempo de 0.001 s. La velocidad en el punto B es de 12 m/s y la velocidad en el punto C es de 13 m/s.
Véase la figura 3. ¿Cuál es la aceleración media del parásito entre A y E?. ¿Cuál es la aceleración
instantánea entre B y C?. ¿Cuál es la aceleración instantánea en D?
La aceleración entre A y E es:
a
30  10
 2 m/s2
10
La aceleración instantánea entre B y C es:
4
a
13  12
 1000 m/s2
0.001
La aceleración instantánea en el punto D no puede ser calculada porque falta información de un punto
inmediato anterior y de otro punto inmediato posterior.
En éste ejemplo se puede apreciar que la aceleración media y la aceleración instantánea no son
iguales. También se puede apreciar que la aceleración media representa al movimiento durante todo
el recorrido, mientras que la aceleración instantánea representa el movimiento en un punto en
particular.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Si una partícula recorre una trayectoria recta con una aceleración constante, entonces la partícula
tiene un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. En éste tipo de movimiento la gráfica
velocidad frente a tiempo es una línea recta como se ve en la figura 4.
v
at
v
v0
t
Figura 4
En el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la aceleración media y la aceleración
instantánea son constantes e iguales. Esta aceleración puede expresarse por:
a
v  v0
t  t0
(5)
Suponiendo un tiempo inicial de 0 (cero):
a
v  v0 v  v0

t 0
t
(6)
Despejando v:
v  at  v0
(7)
La ecuación (7) es la ecuación de la velocidad instantánea del movimiento rectilíneo uniformemente
5
acelerado. Véase la figura 4.
La velocidad media también puede calcularse promediando la velocidad inicial y la velocidad final:
v
v  v0
2
(8)
Substituyendo la ecuación (7) en la ecuación (8):
v
v0  at  v0 2v0  at
at

 v0 
2
2
2
(9)
Al principio se estableció la definición de la velocidad media como:
x  x0
t  t0
v
(10)
Suponiendo que x0 es cero cuando t0 es cero, se tiene:
x
t
v
(11)
Igualando las ecuaciones (9) y (11), se tiene:
x
 v0  12 at
t
(12)
x  12 at2  v0t
(13)
Despejando x:
Despejando t de la ecuación (7):
t
v  v0
a
(14)
Substituyendo la ecuación (14) en la (13):
 v  v0 
 v  v0 
x  a
  v0 

 a 
 a 
2
1
2
(15)
Operando algebraicamente y ordenando:
v2  v0  2ax
2
(16)
La ecuación (16) es otra ecuación de velocidad instantánea del movimiento rectilíneo uniformemente
6
acelerado.
Ejemplo
Un bombardero que parte del reposo con una aceleración constante de 5 m/s2 recorre una pista de
160 m. ¿Cuáles son las ecuaciones del movimiento del bombardero?
La ecuación de la aceleración es simple:
a5
Como parte del reposo, la velocidad inicial es 0 (cero). Luego, la ecuación de la velocidad del
bombardero puede hallarse por medio de la ecuación (7):
v  5t
La ecuación del desplazamiento se construye a partir de la ecuación (13):
x  12 (5)t 2  2.5t 2
Estas ecuaciones de movimiento del bombardero permiten realizar algunos cálculos. Por ejemplo,
mediante la ecuación del desplazamiento podría calcularse el tiempo que tarda en recorrer los 160 m:
160  2.5t 2
Despejando t:
t
160
8 s
2.5
Ejemplo
La ecuación del desplazamiento de un trinitrotolueno está dada por x  4t 2  3t  5 . La longitud está
en m y el tiempo en s. ¿Cuál es la posición inicial?. ¿Cuál es la velocidad?. ¿Cuál es la aceleración?.
¿Cuál es la ecuación de la velocidad?
La posición inicial siempre está dada por el término independiente de la ecuación del desplazamiento.
Por lo tanto la posición inicial es de 5 m.
Comparando la ecuación del trinitrotolueno con la ecuación (13) se obtiene la velocidad inicial. Por lo
tanto la velocidad inicial es 3 m/s.
De igual manera, comparando la ecuación del trinitrotolueno con la ecuación (13) se obtiene la
aceleración:
7
1
2
at2  4t 2
Despejando a:
a  4(2)  8 m/s2
Con la velocidad inicial y la aceleración ya es posible ensamblar la ecuación de la velocidad del
trinitrotolueno. Para tal efecto deberá usarse la ecuación modelo (7):
v  8t  3
CAÍDA LIBRE
Una aplicación importante del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es la caída libre.
Todos los cuerpos caen (o suben) con una aceleración constante denominada aceleración de la
gravedad que es aproximadamente igual a 9.81 m/s2 y está dirigida hacia el centro de la Tierra. El
conjunto de ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es suficiente para los
problemas de caída libre:
(7)
v  at  v0
x  12 at2  v0t
(13)
v2  v0  2ax
(16)
2
La aceleración de la gravedad se expresa mediante la constante g:
g  9.81 m/s2
(17)
Ejemplo
Se arroja un adoquín hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. ¿Qué altura se eleva el adoquín?.
¿Cuánto tiempo tarda en elevarse antes de caer?. ¿Cuál es la posición y velocidad del adoquín al
cabo de 2 s?. ¿Cuál es la posición y velocidad al cabo de 6 s?. ¿Cuál es la posición al cabo de 10 s?
Siempre, lo primero que debe hacerse es definir el sistema de coordenadas. Como se trata de un
movimiento rectilíneo será suficiente definir el eje x. Véase la figura 5.
De acuerdo al eje x elegido se tiene una v0 de +40 m/s y una aceleración constante de -g o sea de -9.81
m/s2. Finalmente, se supone una posición inicial de 0.
La altura a la que se eleva el adoquín:
El instante en que el adoquín ha terminado
de subir se tiene una velocidad final v de
0 m/s.
8
x (m)
v0
Usando la ecuación (16):
0  402  2(9.81) x => x  81.55 m
81.55
v  20 .38 m/s
v  18 .86 m/s
63.42
El tiempo que se eleva el adoquín:
60.38
Usando la ecuación (7):
0  (9.81)t  40 => t  4.08 s
0
La posición y velocidad al cabo de 2 s:
Usando la ecuación (13):
(9.81)(2)2
x
 40(2)  60.38 m
2
-90.50
Figura 5
Usando la ecuación (7):
v  (9.81)(2)  40  20.38 m/s
La posición y la velocidad del adoquín al cabo de 6 s:
Usando la ecuación (13):
x  12 (9.81)(6)2  40(6)  63.42 m
Usando la ecuación (7):
v  (9.81)(6)  40  18.86 m/s
Una velocidad negativa indica que el adoquín se está moviendo en dirección opuesta al eje x. Por lo
tanto significa que el adoquín está cayendo.
La posición de la piedra al cabo de 10 s:
Usando la ecuación (13):
x
(9.81)(10) 2
 40(10)  90.50 m
2
9
Lo cual indica que el adoquín está a 90.5 m por debajo del origen del eje x. Por ejemplo, si el origen
del eje x estuviese sobre la terraza de un edificio de 50 pisos, entonces el adoquín estaría pasando más
o menos por piso 14.
VELOCIDAD RELATIVA
La velocidad al igual que la posición sólo puede definirse respecto a un sistema de coordenadas en
reposo o movimiento. Generalmente, la velocidad se define respecto a un sistema de coordenadas en
reposo. La velocidad de un cuerpo respecto a otro cuando el segundo está en movimiento es el vector
diferencia de las velocidades de los cuerpos. Si se tienen dos cuerpos A y B y sus velocidades vA y vB
respectivamente, entonces la velocidad de A respecto a B está dada por:

 
vAB  vA  vB
(18)

 
vBA  vB  vA
(19)

 
vA  vB  vAB
(20)
Y la velocidad de B respecto a A está dada por:
La ecuación (18) puede escribirse así también:
Ejemplo
Un taxi viaja por una avenida recta y plana a una velocidad de 30 Km/h. En la misma dirección pero
más atrás viaja un camión a 20 Km/h. ¿Cuál es la velocidad del taxi respecto al camión?. ¿Cuál es la
velocidad del camión respecto al taxi?
La velocidad del taxi respecto al camión es:
vAB  30  20  10 Km/h
O sea el conductor del camión ve al taxi avanzando hacia delante a una velocidad de 10 Km/h.
La velocidad del camión respecto al taxi es:
vBA  20  30  10 Km/h
Si el taxista mirara hacia atrás, entonces vería al camión alejarse a una velocidad de 10 Km/h.
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