Anillos locales HEll$EtlA]10$ y excelentc$

REr/rsTA CrtNcrAs
V, Ns 3'
MATEUdTTCASVoI.
198{
y excelentc$
HEll$EtlA]10$
locales
Anillos
IMACC, Academia de Ciencias
Mario Estrada'
de Hurnboldt,
Üniitersidad
Gerhard pf ister,
de Cuba
RDA
Berlin,
ABSTRACT
RESUMEN
rincrs
review of local
An actual
and excellents
which are henselians
The most relevants
i.s presented.
and some oPen
are stated
results
The rel'anentioned.
are
rroblens
tion with the rinqs t"hith the Prois establlsof ApProximation
o"iiv
case. The PaPer
irea in the local
with a theorem showlng
foncttraes
used Provinq
technigues
tnä-o"n.f
P
r
o
P
e
r
t
i
e
s'
apnroximation
actual
una revisidn
Se Presenta
hensellanos
locales
<le los anillos
}os reenuncidndose
y excelentes,
Y Presenmds relevantes
tultados
tdndose algunos Problemas aliertos. Se eslablece la relaciön-con
con Ia ProPiedad de
los anillos
Y
en el caso local
Aproxirnacidn
con un teorema que
sä concluye
usuales -de
läs tdcnlcas
ii"iiiu
de
de ProPiedades
ä..o=tracidn
aproxlrnaciön.
INTRODUCCION
Estearticulopresentaunarevisicinactualizadadealqunosdelospro.
r t^l^Ioa los anillos
solucicin concernientes
d
e
p
e
n
d
i
e
n
t
e
s
y
blemas resueltos
de esta revr'Ha morivado ra presentacicin
:;::'.::=";;;;"'"';;";;;"tes.
^
dr a e
P2f!i s t- Le^ -r
el tema Por el Dr. Gerhard
s
o
l
r
r
e
d
i
c
t
a
d
a
sldn la conferencia
en Ia Academia
durante su estancia
de Humboldt en Berlin '
Ia Universidad
c u v a refereny demostraciones
de Cuba' Para las ilefiniciönes
de Ciencias
t7I y t8].
a las obras fundarnentales
aI lector
remitimos
cia no se seöaIa,
Toclos}osanil].osconsi<leradosSonconmutativos,noetherianosvunitarios.
i . A H t t - u oH
seHseltaruos
Defdni.ei6n' EI
para
todo
par
denomina Henseliano cuando
J u n i d e a l d e A ' se
si:
nonico f (T) € A[T] '
(A'J),
polinornio
a)
!'(o)
Eo
(mod J)
95
I
t
i i
i
-
ror = unidad(modJ)
ur jfr
entonces 3 a e ,f, tal
que F(al
, :']:1
= Q
Existen muchas propiedades equivalentes a La definlcldn.
Cuando egta
(Tq r... ,Tnl , se obtLene el feoreoa
se generaliza al caso de n variables
(T.F.f.l
de 1as Funclones Impl{citas
(T.f .I. )
2.2. Teoz,etru
Sea (ArJ) henselianor F = (F,,..,rfrl,
r pollnomios souri A tales *",'
a) Fi (Ol
=
Fi € At;t,..,rTn!,
O (nod J) ,
i=l t
r S n,
tt
AF (O) + J = Ar donde AF = ideal
encrendrado Dor los rxr _menores
a"t
de la matrizl
f
b)
l-äq-j
Exlste
entonces
"
= (ar,...
ranl , aj
€ J,
j
= 1r...
rn;
que P(al=O.
täl
2.3. Lenz dc Neuton
- Sea {A,Jl henselianoi
Ft
r polLnomios sob
de ra matriz,""lirl""t?Ufi
( .rrj
.
Fr e A[?r,...,Tn],
r f n
por Ios
"l=i::::,ensendrado
I
rxr
nenores
j=1 ,...rn
cuando para ä = (är,...,än)
€ An, se tiene F (ä)
c 2 1, existe entonces un
a = (ar,...rän)
€ An con:
= o mod (A(Fl (äl I'Jc
(1) F(a) = o
( 2 1a i = ä , m o d ( A ( r t
(ä!..rc
!,4. Teorern(Efkik)
,i
(ver [31]
Sea (A,Jl henseliano;
p = {F
polinomios
sobre
^: ;"; n',. ;::;.;l.l""llr:.^:1,;;;;:r:I"l;],
A[Tr,..-,Tn)
/ (pl,...,Frl
escogerse especiarmente).
Entonces
existe
d a ce s: cu a n cl o," l l
s o b r e: A (este ideal
rrn- €,,-^r:
" l " rt:I;:,.:'
debe, por
''an),
con las slsuienr es p r opl e!
8l e A, se
tlene:
"rP(r,st
atät ! sr
''
%--*--
;;,',
razones tdcnictt
--
* x 0{ - ' Nr
i) rr {ä) = o
nod
ii)
.
36
entonces
exlate
a = (e, r...
1änf r
"r€
rr{al = o y
tl
A, tal
= äf
gue
(nod ilsl
(ver lel )
3, AlllLLos EXCELENTES
Nos referlmos
Prlmeranente
solamente
al caso local.
necesarlag
dos deflnlciones
A se denomLna eatettarto cuando dados los ldeales
3.I. Defi.niciön: Un anillo
primos p g Cl de A, todas las cadenas de ldeales prlnosr gue comlenzan
.con p y termlnan con g, tienen la mlsma Longltud.
A es uniuensalnpnte catenayio cuando toda A - älgebra
de tlPo
flnlto
es
catenaria.
A se denomlna un G. anöl,Lo cuando gus flbras
3.2. Deföniai6n: Un anlllo
males son geomdtrlcamente regulares.
for-
reEs decLr para todo p e Spec A, Ia flbra Ä OOrn OtAt eE un anlflo
gularyPermaneceregularParatodaextensl6nfinitadeo(A}.Egulvalengeomdtrlcanen= FnA,
Ä. t p i-es
eI anlllo
temente sip
e Spec Äyp
te
FF
regular.
3.3. Definieidn:
Un anil-lo
1) Es universal'urente
2l es un G - anlllo.
A se denomLna escel'ente cuando:
Iocal
catenario
en el marco de Ia temdtlca gue esta[os
lmpottante,
Otra definlcldn
con la proPledad de apr*l
a ros anlllos
es Ia correspondiente
anallzando
macidn.
anlllO
3.A. Definieio.n: un aniLlo local A con ldeal maxlmal n se dcnonina
(se escrlbe A e AE) cuando se cumple
con la Propiedad de Aproximacldnr
1o slguiente:
Fr (fl
todo
Las
3.5.
=t,._--:f.
. = o , f € Ä n , lcr3
€ A;
nümero
natural
propledades
en el
r
€ A_tTrr...tTnl
Sean Frr...rFr
sigulente
Y.
fundamentales
polinonlos,
gue
{A ef completado tle A) . Entonces Para
tales gue F, (f"l = o e Y" = f {nod mc) '
de Ios
anllIos
con AE se pueden resuntr
-
teorenra.
I
Teorenu: Sea A e AE' entonces:
1) A es henseliano
2l A es universalmente
forrnales
3l Las fibras
catenarlo
de A son geomdtricarnente
37
&
tales
normales, e8 d e c l r : F e s p e c i v p = F n Ä
que A_ /FA_ es geonCtrlcamnte
lnpllcan
PP
{l
Sl Bll
e s u n a extensldn
finlta,
nornal
entoncea
tubl.ataa: entre los problenas que estCn en estudlo
B € AE
cltamos
los
slgulrafrar
Sl A e AE'/es A excelente?
Esta-conJetura vlene sugertda por aer excelentes todos los anlllos
conoii;''
l .
',,:ii
cidos con la propledad AE, y puede reducirse a demostrar gue3
.Dado A € AE y F e Spec Ä con [ fl i = O entonce= i- ." regular.
La ret-,.,'
puesta a P.l
aflrmat-iva
para
dim s 2 y estd
para dloens;.o-r
,es
"rrP"raodlo
nes nayorea.
Un problena näs ddbil
P2. lEs Reg o =
€
{\ n
P-)
es el siguiente
spec A:
A
o regutar}
, aUferto
,..
en spec A?
La solu3tdn de n.t rmprica p-2r'pues cuando
A exceLente es sienpre RegA
spec A. La respuesta es afrrmativa
al nenos para drm A s 3.
lot"ttl,-en
.,,.i
Un probLema adn nds importante Io
constituye:
P3. lQud anillos poseen la proptedad
AE?
En este sentido meheiÖnanos
a continuacidn
10s resultados
obtentdos nd.s
lnportantes.
l l G r e e m b e r g ,1 9 6 6 , { v e r
t5l}, si R es un ani1lo
hensellano- y excelente, entonces
R € AE.
r'
. i'
de valoracidn
discretar
2) Artinr
1964 (ver [li):
sea k un cuerPo valorado
Or
de caracter{stica
\
entohcesA=k{;.t
.. .,Xn
( s e r i e s ' de potencias
l^r,
convergentes)
posee Ia
|
propiedad AE.
3) Artin, t9e9 :(ver
t2li; seb R un anlllo
de valoraclcin discreta exfels.i
te y hänsellano,
(
xr
.;;."";=:;
{serles de potenclas alge-..
braicas) posee la " ;propiedad
" ",Xnt
,\8.
4) Sea lK la categor{a
de ,los W_
objetos
*n ",,rrros
10ca1,e"
;il::::;,':iI':]"rrillil;"::""il;r!lx;,
. A es excelente
. A satisface
el ,teoramä de preparaci,dn
Weierträss (t{VSl
se demues.,"que
A
;;.";":
":
cuando.k es u, .,,o.-.^-:::,
-
e :n
lK I
A
€ ae
de . i,: i
'{i
-
cornpreto
de caracter(strcas p > o, enronp.
:a:l_{i';:
d e r n u e . s t r ag u e x c e r e n c l a ( v e r t 6 t l r
e
s d e c i r t a m;,l"i":ilrfäado
bii; en este
ca$o k 1se
E r p r o b r e m a ,c u a
t*t " " '*nl e AE.
un euerpo valoraao
re sotucicin ,r.rlllrlr""
no complero tiene 1a elguter-
(y por
es excelente
* {x, ,. . . ,*^}
[conpleto.
de interds
5) Otro problena
Informalmenter'
por
dada
residual
el
"meno.r"
es
Ia
5) D.
Popescu
separable
problena
datla pareialmente
viene
recientemente'
anunciado
ha
cuerpo
del
y cuyo ctrerpc
Contlene
=
A/n de A'
k
residual
gue Io
henSeliano
lOcal
el
en t4l '
muy interegante
siguiente
arin no Publicado:
resultado,
enLonces A e AE'
y excele'nte,
Si A es henseliano
En eI
K es casl
es:
aniIIO
clausura
a este
Respuesta
y s<;Io sl
?'
d;roeee
osh e AE. Es declr,
A € AE
p
r
o
p
i
e
dad?'
con AE, tambidn esta
de anillos
estricta
(A'nl viene
lOcal
de un anlllo
estricta
1a henselizacidn
henselizacidn
la
con AE) st
tanto
es separable'
i/X
extensfdn
la
cuando
completo
casi
K se denomina
slguientes:
son conocidos los resultados
en gue A es local,
y excelente {ver [6J y [11])'
, A € AE<=>A es henseliano
(ver t12!)
A es henseliano v excelente
, A € AE y factorial(=)
caso
dimA=1
dlmA=2
dimA=3
,LaafirmacidndePopescusehademostradoparaalgunosejem(ver tllll
henselianos y excelentes
plos de anillos
=) A es hensellano
de dernostrar A"e AE
Estd pendiente
y
excelente
DEApRoxtMAclÖN
FuERTE
4 . A n t ur-o sco N L A P R o p tE D AD
a.l.Defint)ciön:Unani}lolocal(e,m)PoseelaPropledadl.uertedeAProxle A[Tr""'Tnl
se tiene: Sean Fl""'Fr
macicjn (se escribe A € SAE) cuando
<0 : IN *|}.| , tal gue
una funci6n
sobrg A. Entonces existe
r poli.nomios
An, con
n r , t € Ä n i = r , . . . , r , e x r s t et 6
c u a n d oF i ( r ) = i ' T , r l ; ; ; ; ö i T l' ; . =olt=Et(1n6,d*")
ri(t)
Lacondici<jnSAEessö}oaParentementemjsfuerte,loguedemuestra
eI
siguiente'
teorema
4.2 Teonena (Pfister
y Popescu
tBl )
AeAEäAesAE
Es necesario
observar
se conoce en .trasos sinPles
aPlicaciones'
Ias posibles
Con el
piedades
4.3.
resque
=
(ver
t2l ).
Su determinacldn
b,..
KJ
funcidn
t9' sdlo
es de interds
por
de Prou s u a l d e demostracldn
una töcnlca
de nostrar
teorema
y demostramos el Pr6xlnro
enunciamos
de aproximacidn
(f
... ,frr) ;
r,
f(t)=o,te
rxrr' Yrr " ""*}= n {*,"}
{xr ""
todo C €
( [ltxrl)N - gntonces existen Para
f r , -..,f*
e
C
39
i.
la
objetivo
Teorern
Sean f
se desconoce
q u e e n general
u{
."'
v
6
,)
2
6([{x}lN,
t"1""
gue f{Ysl
= o, coir Y
y (nod (x)c)), x = (x
Deroetmclln:
t
Prlcra$ente,
(f1,...,fr) ä l=
de la generalldad,
sln restriccldn
rei (ctx,vl
_-u*C t t x l t ) ,
podemos tonar
Ü definida
por Yi*
if,.l
por el caräbter noetheriano de [{x':f}.
Sea htf
sin
: r ,{altura de }}.'Entonces,
restriccidn
de la generalltlail
äe
"
"'e*o
l'
f":::,l',""i;,.:,,
ä:il::lll'llill;r:::':"::":":'::"
lt:.
.t
ji
I ar. I
tj
|:
I'
Ir
t,
?
t71l.l
tal qued E?, o seatal eued(f) I o y d =
r,j11 1;-.2t,
Aftrnauoe ahora que d,ad.osy"r con y" = y(mod (X)c), si tomannosc>>1.
= O.
de fr(yrl ! ..... = fr(y") = O resulta
f(V")
Efecttvanente, consLderando /6-;F
= ?ro....n?"
nodemostomar
y
f
1
{
Y
}
l
p
a
r
a
o
i
>
1
.
E
s
c
o
g
i
e
n
d
o
)
?r't
c
ord ?i(vt, t)l, como
(rnod
=
y
por
mcl
tanto
ord
resulta
frlr"l
ft(i)
fr(yq) - ira pi(t),
1 . A h o r a/ T i , . . . , f r
(yc) =o impiicaf (vsl ,Trllcl
fr(v"l loparat>
... f"(y"l = O, de donde nuestra af irmacicjn.
El resto de Ia demostracidn consiste en la aplicacioh
del Lema de
Ueqton, y para ello, dadq f tal que f(f;=6,
por tanto f (t) = O {rnod
d'l (tlfilc), encont.rar, paträ todo
(xlc)
"
C e 01, un y^
- w G 0 { x } , c o n y " I f (nod
t a l q u e f ( y . l = O ( m o dä , ( y " ) ( X l c ) .
Se aplica
i
!.
f'
t:
l
para ello
induccicin
en el nümero n d e v a r i a b l e s
Para n=O la afirmacicin es trivial.
;Fodqos ahora suponer,
sln restricci<jn
de la generalidad
Xo - regular (irc. d. (t) (O,..
.,O, Xn) * o)
Apttcando el !{.V.S. a
d, (r} resutta:
Xt.
gue d'l(f)'es
d' (tl = Untd.ad,.f
*rr*tr_r*"ll.." l, aonaeä, € C t [ x , , - . . , x , r - 1 ! l
.1,
0)
YF(xtl = xn*är,-r*i]1...r
Dlvldtendo los
i,
por FtXrr) resulta:
ir =Frxni
f, *';!l ,, O , vt
fntroducimos
e e Itxr,...,
Xn-1)1,
i=1r...,N
v
=-i;
n*,rr*,,
;:::;lT
1it=";i:'
ahor
zr =
s_l
,rlq zi, x l , i = 1 , . - . , N y
i k = 1r...,r
40
def ininoJ
= o ( m o d F ( x , . , ): o ( m o dd ' z ( y )
= t*(rr)
Ahora, gx(riu)
=rXr, * A"-.t x=-1* '. '*
F'
Polinomio
Consideremos eI
Y dividamos
son nuevas variabl€sr
...,s-1
9X(Ziu
los.A*, i=O,
donde
Aj
) =F'
.'looi*l'
.q+
(
((
(
(
. t o n < lqe € C { i x ,-, . . . , x n f I , i z i Il , l A i l lt \
€ C
\'\),
\ r ) t " . x ." j
)
t\
j=Or.-.
i=l,,..rNi
t*" " . r X n - 1 )1{""}
t^,i
s-1
f
sustituYendo
Ahora bien,
-l
{
= fl.
rv
-v
A.
(
l
, resulta
= ä.
l
Ftxrr).h = F(xn) .h' r
t
L
(
--'l
xr,... ,Xn-1, ti, ' t j.l
I
qL.
l
Por
ü
- .,
Ia
= o A -p r i c a n d o
ä .' )l
r-
"i6n
9 r^ ,- l
mo3 eI
cidn
ar
con
:
a.
inverso
camino
requerida
C e
Para t o d o
.r,"ontramos
= O,
tanto
por
Y" = f
(nod
$,
(X)c) ; Yi
de las
= ir..
del
sistema
la
en A cle
soluciön
sustiiücionäX
(mod (xc)
de induccicin
hipcitesis
la
9X. (*r ' " "Xn-1
l
o esta ecua-
WVS, resulta
segrin eI
tdrminos,
de los
unicidad
una ecuacidn del tiPo
ecuaciön
ahora recorre-
(mo<l (x)c) ' si
obtenemos Ia solu: o mod A'(Y") (xc) ' qed'
'"utizadas
f,
Rt n l r o c n R IrR
t1l
1 1.
Artin'
On the s o l u t i o n
277-281
tzl
'
Art in, M.
of sLructure
approxina!191"
Algebraic
' 23-58'
r
e
l
ß
6
9
1
Pubr- tn.trt-iäns
t3l
R.
Elkik,
S o } u t i o n s d , e q u a t i o n s a c o e f f i c i o n s t s . d taOn s (u1n9a7n3n)e' a u
5H
3 3e -n6s0e4l l a n ,
Ann Sc. Ec. Norn' Sup 4"-!"t1"'
t4l
I{.
Estrada'
mit-ApProxinationseiqenschaft
Bemerkungtl o9"T Ringe
Einiqe
iprdxima aparici6n)
pratn waJi;;ää;-
[5]
Greenberg' M.J.
points
Rational
rHES 31 (1966),
t61 Kieh1,
R'
of
analvtic
]1 l:n""1ian
5e-b4'
equations'
discrete
Inv'
over
math'
5 (1969) '
complete
valuation
der nicharchlnedischen
local
rinqs'
rings'
II'
Publ math
analytischen
I:a-(1e6er'Ie-eI'
ä::fl:;:i:1"5:'''1"x1i''n'llä'''n"inl.
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iäe"i
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s
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