seleccion de funciones de distribucion para el análisis

SELECCION DE FUNCIONES DE DISTRIBUCION PARA EL ANÁLISIS
DE FRECUENCIA DE CAUDALES MÁXIMOS
Dr Edilberto Guevara Pérez Universidad de Carabobo, Facultad de Ingeniería
RESUMEN
En el trabajo se presenta un procedimiento estadístico que permite, de acuerdo con criterios de adaptabilidad,
seleccionar la función más adecuada para el análisis de frecuencia de los caudales máximos. Luego se da una
descripción sucinta de las distribuciones más usadas.
1. INTRODUCCION
Uno de los problemas más frecuentes que confronta el hidrólogo viene a ser la estimación de los caudales de
diseño de la obra de alivio de las estructuras hidráulicas. La gráfica de los datos registrados generalmente
proporciona un cierto patrón de comportamiento, pero se presenta el problema de cómo usarlo para estimar los
eventos de diseño.
Si el período de registros fuera tan largo como el intervalo de recurrencia del caudal de diseño, éste se derivaría
directamente. En la mayoría de los casos, sin embargo, se hace necesario adaptar una función de frecuencia
teórica. a la muestra con el fin de efectuar extrapolaciones al nivel deseado.
Pese a que para dicho análisis se suelen usar distribuciones estándar, se ha creído conveniente presentar en este
trabajo los criterios básicos que rigen la selección del tipo de función a utilizar y la bondad de ajuste de dicha
función teórica a los datos empíricos.
2. FUNDAMENTO MATEMÁTICO
Para la descripción de funciones de distribución complejas no bastan los parámetro; estadísticos comunes
(media y desviación estándar), sino que se requiere además de los otro; momentos. La expresión general es
como sigue para un momento de orden r con respecto a a:
Cuando el valor de a es el promedio, µ1', se obtiene el momento central de orden r:
donde se cumplen las siguientes relaciones:
En la práctica, los momentos µ2, µ3, µ, se estiman reemplazando las integrales (1) y (2) por sumaciones. Con la
finalidad de obtener una estimación efectiva y uniforme, se recomienda seguir el siguiente procedimiento:
1)
2)
3)
4)
5)
Calcular el promedio y la desviación estándar
Seleccionar el intervalo de clase (0.6 de la desviación estándar)
Determinar el valor medio de clase (punto central de clase)
Fijar la frecuencia empírica por clase
Cada clase recibe el valor normalizado del punto medio de clase, es decir,
Haciendo en la ecuación (1) a = 0, se obtiene:
donde n es el número de clases de la muestra y fi(x) es la frecuencia empírica en i. Si además se introduce:
se obtienen las siguientes equivalencias:
a las mismas que debe aplicarse las siguientes correcciones de Sheppard:
Para obtener cierta normalidad en los cuatro primeros momentos se introducen los siguientes cocientes:
3. FUNCIONES DEL TIPO PEARSON
La funciones de distribución de frecuencia del tipo Pearson son aquellas cuya curva de, densidad y = f(x) se
ajusta a la ecuación diferencial siguiente:
Los parámetros (constantes) a, b0, b1, b2 se determinan en función de β1 y β2.
Para seleccionar del tipo de distribución que debe usarse en un caso determinado se utiliza un criterio basado en
el parámetro Kappa, K:
De acuerdo con Pearson, se establecen, las siguientes relaciones entre el parámetro K y el tipo de distribución:
Cuando k<0, teóricamente se usa la función tipo I con la siguiente estructura matemática:
Esta distribución se adapta al análisis de los valores extremos. Sin embargo, presenta dificultad en su cálculo.
La integral F(x) de la ecuación (16) se conoce también con el nombre distribución Beta.
La función de densidad de la distribución Pearson III adquiere la siguiente forma:
A pesar de que, teóricamente, esta última función rige para K = ∞ , se han encontrado resultados favorables
para magnitudes pequeñas de K, siempre que la variable que se analice esté conformada por valores extremos.
La integral de la ecuación anterior viene a ser una distribución tipo Gamma.
Como se puede observar, las distribuciones tipo Pearson son acotadas hacia la izquierda, lo cual las hace
adaptables a caudales mínimos (no se presentan valores negativos). Sin embargo, este aspecto físico de la
función no es el criterio decisivo para la selección de la misma debido a que esa característica también se
presenta en otro tipo de distribuciones; además, en el análisis estadístico, sólo se investigan las relaciones
teóricas probabilísticas.
4. DISTRIBUCIONES DEL TIPO A DE CHARLIER
Charlier parte del criterio de que las funciones de densidad pueden desarrollarse, bajo ciertas condiciones, a
partir de la suma de las derivadas de la siguiente expresión:
La expresión general de la función Charlier tipo A es como se indica a continuación:
Hj(x) es el polinomio de Chebyshev-Hermite, es decir:
Los valores de Cj se estiman en función de los momentos centrales, como se indica a continuación:
En las relaciones que se presentan a continuación se supone como válida la normalización µ = 1. Se ha
encontrado que la función de densidad tipo III de Charlier arroja resultados similares a la Pearson tipo III; pero
para valores de asimetría elevados, (β1)0.5 > 3, no sucede lo mismo. Dicha función posee la siguiente expresión:
Debido a que para esta función, β2 = 3, su cálculo es muy fácil de realizar.
El tipo IV de Charlier es aplicable a valores extremos altos con asimetría pequeña (β1)0.5 < 2. Se adapta
especialmente a la transformada logarítmica de la variable. Su estructura matemática es como sigue:
La ecuación (22) se puede considerar como la expresión general de la ecuación (21). Así, por ejemplo, haciendo
β2 = 3 en la ecuación (22) se obtiene la expresión (21). Por otro lado, haciendo en la ecuación (21) β1 = 0, ésta
se transforma en la distribución normal de Gauss. La ecuación (22) sólo es utilizable para valores extremos
elevados con magnitudes absolutas de β1, menores que la unidad; por eso se adapta muy bien a los logaritmos
de la serie, cuya asimetría
es casi siempre menor que la unidad.
5. DISTRIBUCIONES DEL TIPO EDGEWORTH
Las funciones del tipo III y IV de Edgeworth son muy similares a sus homólogas de Charlier. Para valores de
asimetría igual a cero son prácticamente idénticas. Por eso los resultados que se obtienen con ellas también son
similares a las del tipo Charlier.
La función de densidad posee la siguiente estructura matemática:
a) Tipo III:
b) Tipo IV:
6. DISTRIBUCION DE VALORES EXTREMOS TIPO I
Esta distribución fue desarrollada por Fisher y Tippet en 1928. La función de densidad posee una asimetría
constante de
La expresión matemática es como sigue:
Las variables Sn e Yn dependen del tamaño de la muestra. Para valores de
la distribución tipo I arroja buenos resultados. No es aplicable por lo tanto a la transformada logarítmica de la
variable.
7. LA PRUEBA CHI-CUADRADO
La función Chi-Cuadrado es la que más comúnmente se utiliza para probar la bondad de ajuste de cualquier
función teórica a los datos observados (función empírica). El uso se resume a la siguiente relación:
donde:
La ecuación (26) se puede transformar en:
El intervalo de clase para todas las pruebas se estandariza en 0.6 Sx. El nivel de significación se escoge de
acuerdo con el criterio del hidrólogo.
8. REFERENCIAS
ABRAMOWITZ, M. and STEGUN, I.A., 1965, Handbook of Mathematical Functions, Dover
Publications, N.Y.
DVWW E.V.; 1972, 4. Fortbildungslehrgang fuer Hydrologie. Plannungsmethoden in der
Wasserwirtschaft. Karlsruhe. RFA.
GUEVARA Edilberto, 1972, Hochwasseranalyse im Binneneiderraum. Diss. Kiel. RFA.
KENDALL, M.G., and A. STUART, 1963, The Advanced Theory of Statistics, Vol. I, Griffing.
London.