logica y conjuntos

UNIDAD 3
LÓGICA PROPOSICIONAL
3.1 INTRODUCCION
Uno de los capítulos más importantes de la lógica es la
lógica proposicional, ya que en ella se inicia el estudio
abstracto y formal de la proporción.
El entender el significado de la proposición lógica, es afín
en cuenta una de los aspectos de mayor interés en el
aprendizaje de la lógica ya que es a partir de ella como
construimos nuestras estructuras formales. Un estudiante
no puede entender el estudio de la lógica sino ha
entendido bien el significado de lo que es una proposición.
Por tal motivo, en este capitulo damos a conocer la
20
definición, clasificación y estructura simbólica y formal de
la proporción. Una vez dominados esos aspectos de la
proposición, en caminamos el estudio al conocimientos de
los conectivos lógicos, donde abordaremos su simbología
y tabla de verdad para cada uno de ellos. Posteriormente,
nos enfocaremos a entender los argumentos lógicos, los
cuales traduciremos del lenguaje natural al lenguaje
simbólico y además con el auxilio de las tablas de verdad
demostraremos su validez o invalidez. Una vez dominados
estos temas, daremos un gran salto al conocimiento de las
leyes lógicas; es aquí donde tendrás que emplearte a
fondo con tu inteligencia, ya que se inicia la etapa de
demostraciones lógicas. Harás uso de las leyes lógicas
para demostrar que los argumentos lógicos son validos.
3.2 LA PROPOSICIÓN LÓGICA
Como, se mencionó anteriormente, uno de los aspectos más
importantes en
el estudio de la lógica preposicional es la
proposición lógica. En esta sección hablaremos
definición de la lógica,
primero de la
analizaremos su significado y su forma
simbólica.
21
Definición. Diremos que una expresión es una proposición
lógica si tiene las siguientes características:
1. Es una oración gramatical, es decir, un conjunto de
palabras habladas o escritas de acuerdo con las
reglas de la sintaxis, y entre las cuales figuran al
menos dos elementos: sujeto y verbo. De acuerdo
con esto, una proposición logica, es un enunciado
declarativo.
2. Se requiere que dicha se pueda calificar como
verdadera ó como falsa, pero no de las dos formas.
Por ejemplo consideremos los siguientes casos:
a) Hoy es martes 42 de mayo es una proposición, ya que es un
enunciado declarativo donde Hoy es el sujeto y es el verbo; su
significado es falso, conforme a las reglas de nuestro calendario.
b)El libro está sobre la mesa es una proposición, es un enunciado
declarativo donde El libro es el sujeto y esta es el verbo; pero no
sabemos
si
su
significado
es verdadero o es falso, pues
ignoramos a qué libro y a qué mesa se refiere, pero si sabemos
que si es verdadera, entonces no puede ser falsa; o que si es falsa,
entonces no puede ser verdadera, ya
que
según nuestra
experiencia, un libro está o no está sobre una mesa; no pueden
darse las dos condiciones simultáneamente.
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c) Las quesadillas de picadillo de la tía Ana. No
es
una
proposición, ya que la expresión Las quesadillas de picadillo de
la tía Ana es solamente el sujeto, pero carece del verbo, por
consiguiente, no es un enunciado declarativo y
no tiene sentido
afirmar si su significado es verdadero o es falso.
d) La madre que ama a su hijo. No es una proposición, porque La
madre que ama a su hijo solo constituye el sujeto, pero le falta el
verbo principal, de la oración, ya que de ese sujeto no se dice o
firma algo, por consiguiente no es un enunciado declarativo y no
tiene sentido establecer si su significado es verdadero o falso.
e) La velocidad es igual a la distancia entre el tiempo recorrido. Si es
una proposición, ya que La velocidad es el sujeto y es el verbo, por
consiguiente es un enunciado declarativo y además es una
proposición verdadera, según los principios y leyes de la física.
f) Por último consideremos el indicativo de la tercera persona del
singular del verbo caminar: camina. Tendremos que aceptar que se
trata de una proposición, ya que aún estando implícito el sujeto es
un enunciado declarativo y su significado puede ser verdadero ó es
falso.
23
3.3 CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES
LOGICAS
En la lógica proposicional podemos encontrar dos clases de
proposiciones:
1. Atómicas o simples
2. Moleculares o compuestas
Cuando un enunciado expresa solo una idea en su forma más
simple se dice que es una proposición simple o atómica.
Ejemplos de proposiciones atómicas
a) El aluminio es un metal
b) El hidrógeno es explosivo
c) Hoy es viernes
d) El padre de Juan es feliz
e) Ernesto es un buen jugador de fut-bool
Ahora, consideremos el siguiente enunciado,
Juan no asistió a la clase de lógica por la mañana,
24
se trata de una proporción atómica negativa, debido a que el verbo
de el enunciado esta negado.
Por el último ejemplo podemos concluir, que las proposiciones
atómicas o simples pueden a su vez clasificarse como afirmativas o
negativas.
Las proposiciones
compuestas o moleculares son aquellas
proposiciones que se forman de la unión de dos o más
proposiciones simples; y están unidas por partículas gramaticales
llamados conectivos tales como: “y”, “o”, “entonces”, “si y solo si”.
Ejemplos de proposiciones compuestas:
a) El hidrógeno es un gas y no es explosivo; es una proposición
compuesta formada por dos proposiciones simples, una de ellas es
el hidrógeno es un gas y la otra el hidrógeno no es explosivo,
ambas proposiciones están unidas por el conectivo “y”.
b) La noche está obscura o está triste; es una proposición
compuesta formada por dos proposiciones simples, una de ellas es
la noche está obscura y la otra es la noche está triste, ambas
proposiciones están unidas por el conectivo “o”.
c) Si alguien escribe como Octavio Paz entonces puede
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disculpársele todo; es una proposición compuesta, cuyo conectivo
es el “entonces”, y esta formada por dos proposiciones simples,
una proposición simple es alguien escribe como Octavio Paz y la
otra es puede disculpársele todo.
d) Iré al cine contigo si y sólo si tú pagas la entrada; es una
proposición compuesta formada por dos proposiciones simples, una
proposición es iré al cine contigo y la otra es tu pagas la entrada,
están unidas por el conectivo “si y solo si”.
Es importante señalar que en varias ocasiones los conectivos
se presentan implícitamente, veamos el siguiente ejemplo,
Si trabajo, gano dinero
a simple vista parece ser una proposición simple, pero si la
observamos a detalle notamos que esta oración presenta dos
verbos: “trabajo” y “gano” lo que nos indica que hay más de dos
proposiciones simples, por tanto debe ser una proposición
compuesta sólo que nos falta indicar cuál es el conectivo que
implícitamente está presente. Si expresamos esta expresión de la
siguiente forma:
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Si trabajo, entonces gano dinero
observemos que el conectivo implícito es el “entonces”. Esto nos
indica que no siempre se descubre a simple vista los conectivos
presentes en una proposición molecular.
Veamos otro ejemplo:
Si recibe el mensaje, Luís vendrá, siempre que esté interesado.
Observemos que al igual que la proposición anterior no están a
simple vista los conectivos que conforman la proposición simple. Por
lo que haciendo un reacomodo lógico de las proposiciones simples
ahí presentes podemos expresarla de la siguiente manera:
Siempre que este interesado y recibe el mensaje entonces Luís
vendrá.
Por lo que los conectivos que estaban implícitos en esta proposición
compuesta son la “y” y el “entonces”.
27
EJERCICIOS No. 3
De las siguientes expresiones usa una P para indicar cuáles son
proposiciones simples, una N para indicar cuales no son
proposiciones y una C para indicar cuales son proposiciones
compuestas.
1) ¿Qué hace Alicia Arriba del balcón
(
)
2) Ponte a lavar los trastes
(
)
3) ¡Matemática!, ¡qué bueno que hay otras ciencias!
(
)
4) Los vestidos que ofrecen en la tienda de la esquina.
(
)
5) La suma de los primeros diez números naturales es 55
(
)
6) Son nuestras decisiones las que forjan nuestro destino
(
)
7) La escuela es bonita y mi hermano es inteligente
(
)
8) Si me porto bien entonces mejorare mis calificaciones
(
)
28
9) El triangulo tiene tres lados
(
)
10) El sol es una estrella muy brillante
(
)
11) Juan es Amable y cariñoso
(
)
12) La educación es una fuente de sabiduría
(
)
13) La negación de yo subo es yo bajo.
(
)
14) ¡Dios existe!
(
)
15) O el PRI gana la selecciones o las Gana el PAN
(
)
16) Las quesadillas de picadillo de doña Coti son deliciosas(
)
17) En el socialismo no hay pobreza
(
)
18) Iré al cine contigo si y solo si tu pagas la entrada
(
)
19) ¡Gracias a Dios que por fin llegaste!
(
)
20) Tienes que hacer tu tarea
(
)
29
21) Si madrugas entonces Dios te ayuda
(
)
22) ¿Qué se puede hacer? ¡Si ya lo hiciste!
(
)
23) ¿por qué me abandonaste?
(
)
24) El producto de los primeros cinco números naturales es 100(
25) El 18 de noviembre es el día de la revolución mexicana (
)
26) ¡Viva México!
(
)
27) Juan es un extraterrestre que de noche se pone verde (
)
28) Nos quedaremos en casa, si llueve
(
)
29) No se que hacer contigo si sigues faltando a clases
(
)
30) Si es cuadrado entonces tiene cuatro lados
(
)
)
30
3.4 SIMBOLIZACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN SIMPLE O
ATOMICA
Una vez que se ha comprendido la clasificación de las proposiciones
y el como identificarlas, otro aspecto relevante es el de la
simbolización de una proposición. Este proceso de aprendizaje es
muy importante para la formación de las estructuras lógicas, ya que
con este conocimiento se pretende que al final de este capitulo el
estudiante sea capaz de traducir del lenguaje natural o cotidiano a
un lenguaje simbólico o matemático.
Para facilitar el concepto de simbolización, iniciaremos nuestra
explicación tomando como ejemplo la siguiente proposición atómica:
La ballena es un animal acuático.
Para simbolizarla basta con seleccionar una letra mayúscula de
nuestro abecedario, quien será el símbolo representativo de dicha
proposición atómica, como se indica a continuación:
B= La ballena es un animal acuático.
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En este caso estamos usando la letra mayúscula B, para representar
simbólicamente la proposición La ballena es un animal acuático. Si
negamos esta proposición, la simbolización seria la siguiente:
~B=La ballena no es un animal acuático.
El símbolo  (llamado tilde) representa la negación y siempre se
escribe al lado izquierdo de la letra que se quiere negar.
Si queremos simbolizar la proposición,
Jazmín es una niña inteligente,
su simbolización seria,
J= Jazmín es una niña inteligente.
Donde la letra mayúscula
J, en este caso representa a toda la
expresión Jazmín es una niña inteligente.
Nótese que las letras que se utilizaron para simbolizar las
proposiciones anteriores, son la letra inicial del sujeto del enunciado
declarativo. Se tiene que tomar en cuenta que la letra usada para
simbolizar una proposición simple, puede ser la letra inicial del sujeto
o en su
defecto usar una letra representativa del predicado.
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Además, se debe usar solo una letra para simbolizar una
proposición.
Los símbolos o letras que se utilizan para simbolizar las
proposiciones, se clasifican en variables o constantes. Los
símbolos o letras toman un valor variable, cuando dicho símbolo
puede tomar cualquier valor, por ejemplo una formula matemática, o
fórmulas lógicas. En la lógica cuando se quiere que una letra
represente un valor variable, se usan las letras P, Q, R, S, T U, V,
W, X, Y, Z, que constituyen el lenguaje conocido como P, y que
usaremos
mas adelante en las secciones de demostraciones
lógicas.
Los símbolos o letras que son consideraras como valor constantes,
es cuando dicha letra toma un valor y no puede ser cambiado, por
ejemplo la constante de la gravedad, el valor de  (pi); en la lógica
las constantes se utilizan sobre todo en la traducción del lenguaje
natural al simbólico.. Se selecciona alguna de las letras más
características de la proposición definida. Así por ejemplo la
proposición: Antonio es un médico se puede simbolizar con la
letra “A” letra inicial de Antonio o la letra “M” letra inicial de medico
(como se ilustro en los ejemplos anteriores), por consiguiente en
este caso se recomienda usar la literales A, B, C, D, etc.
.
33
3.5 SIMBOLIZACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN
COMPUESTA
Supongamos que lo que se quiere simbolizar es la siguiente
proposición:
“El agua es un líquido y el plomo es radiactivo"
nótese
que se trata de una proposición compuesta por dos
proposiciones simples y que están unidas por el conectivo “y”. Para
simbolizarla es necesario realizar los siguientes pasos:
1.- Simbolizar las
dos proposiciones simples involucradas en la
proposición compuesta:
A= El agua es un líquido
P= El plomo es radiactivo.
2. Simbolizar el conectivo “y” por el símbolo , por lo que la
simbolización de la proposición compuesta es:
A  P,
así, la expresión simbólica A  P, dice en el lenguaje natural que El
agua es un líquido y el plomo es radiactivo.
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Consideremos otros ejemplos:
A) "Si lo hubiera meditado bien, entonces no
me
hubiera
atrevido a escribir este libro".
1.- Hay dos proposiciones simples:
H= lo hubiera meditado bien
A= no me hubiera atrevido a escribir este libro
2. Simbolizar el conectivo “entonces” por el símbolo →, la
representación simbólica de la proposición compuesta es,
H  A
B) “Ana es rubia o es elegante”
1. Es una proposición compuesta por dos simples:
R = Ana es rubia
E = Ana es elegante
2. Simbolizar el conectivo “o” por el símbolo “v”, por lo que
finalmente la proporción queda simbolizada como:
RvE
35
C) “Pasaras el semestre de la preparatoria si y solo si estudias”
1. Dos Proposiciones simples forman la proposición compuesta:
P= pasaras el semestre de la preparatorio
E= estudias
2. El conectivo “si y solo si” es simbolizado por el símbolo ↔, por lo
que simbólicamente la proposición compuesta queda simbolizada
como sigue:
P ↔ E.
3.6 REGLAS DE AGRUPACIÓN Y PUNTUACION
En la lógica es de vital importancia las reglas gramaticales y
de sintaxis, ya que una expresión
puede cambiar su significado
dependiendo de la posición de las comas y puntos que la integren.
Por ejemplo,
las siguientes expresiones gramáticamente son
diferentes:
a) Juan: de la tienda tu novia te llama por teléfono.
b) Juan: de la tienda, a tu novia la llaman por teléfono.
c) Juan de la tienda, tu novia te llaman por teléfono.
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Aunque contienen términos iguales, los signos de puntuación
cambian el significado
de ellas. Estos signos de puntuación son
llamados también signos auxiliares de la escritura, los más comunes
son: punto, coma, punto y coma, dos puntos, puntos suspensivos;
y corresponde a la ortografía. La aplicación de éstos, indican
pausas cortas y largas.
En la lógica estos signos de puntuación deben ser considerados al
simbolizar una expresión del lenguaje natural al lenguaje simbólico.
Para ello se hace uso de los signos de agrupación. Por ejemplo, si
consideramos la proposición lógica:
Si el cielo está nublado y está lloviendo, entonces hace
frío,
el signo de la coma nos esta indicando que hace frío si sucede que
el cielo esta nublado y además está lloviendo. Al simbolizar las
proposiciones simples como:
C = el cielo está nublado
E = está lloviendo
H = hace frío
y
tomando en cuenta que los conectivos involucrados en la
37
proposición son la “y” y el entonces, la correcta simbolización de
esta expresión seria:
(C  E) →H.
Nótese que las dos primeras literales están encerradas por um
paréntesis, señalando con esto que son condición de la tercera
literal. Por el contrario, si esta misma expresión se halla simbolizado
así
C  (E →H)
la expresión diria:
"El cielo está nublado, y si está lloviendo entonces hace frío."
Por lo que estaríamos afirmando algo diferente de lo que se había
dicho. Esto nos indica que se debe considerar los signos de
puntuación
de
las
expresiones
gramáticas
para
que
sean
simbolizadas correctamente, de tal manera que el lenguaje simbólico
exprese correctamente lo traducido del lenguaje natural. Para esto,
en seguida
presentaremos
un esquema
de la relación que
guardan los signos de puntuación con los signos de agrupación.
1.- Si en el texto de lenguaje natural encontramos una coma,
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ésta puede traducirse al lenguaje simbólico como un paréntesis;
si es un punto y coma por un corchete, siempre y cuando existan
paréntesis previos; y si es un punto por una llave a condición de
existir corchetes.
2.-Al paréntesis se le conoce como signo de agrupación de primer
orden, al corchete como signo de agrupación de tercer orden y a las
llaves como signo de agrupación de tercer orden.
3.- El uso de estos signos de agrupación está condicionado a las
siguientes reglas:
A) EL USO DE PARÉNTESIS: No más de dos proposiciones ni
menos de dos unidos por un conectivo, por ejemplo:
(P  ~Q)
B) EL USO DEL CORCHETE: No más de dos paréntesis pero si
menos de dos unidos por un conectivo, por ejemplo:
[(P  Q) v (R v S)]
[(P  Q) v R]
C) EL USO DE LAS LLAVES: No más de dos corchetes pero sí
menos
de dos, unidos por un conectivo diádico, por ejemplo:
{[(P  Q)  (R v S)]  (T v S)}
{[(P  Q) v R] v S}
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EJERCICIOS No. 4
Usando las literales apropiadas y las reglas de agrupación y
puntuación simboliza las siguientes proposiciones.
1) Los jugadores de fútbol acostumbran bañarse después de
cada partido.
_______________________________________________________
2) Si los bosques son arrasados, entonces, se desarrollará una
erosión y habrá un déficit en la producción agrícola.
_______________________________________________________
3) La alarma de la tienda se activó pero la policía no llegó.
_______________________________________________________
4) Labastida contendió por la presidencia pero no ganó.
_______________________________________________________
5) Este sábado iremos al cine o al teatro, pero no nos
quedaremos en casa.
_______________________________________________________
6) Si el primer disyuntivo de la disyunción es verdadero, toda la
disyunción será verdadera.
_______________________________________________________
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7) Ni la reina de bastos ni el tres de corazones son la carta
máxima.
_______________________________________________________
8) Leeré los primeros capítulos a menos que me venza el sueño.
_______________________________________________________
9) Si tengo el as de corazones y un comodín, entonces podré
formar un par.
_______________________________________________________
10) En el caso que Fernando Platas no pudiera competir, México
no tendría medallas en clavados.
_______________________________________________________
11) Solamente iré al estadio si consigo boletos para la zona A.
_______________________________________________________
12) O gana el Cruz Azul o gana el Boca, pero no ganaran ambos
la copa América.
_______________________________________________________
13) Reprobaras el semestre a menos que estudies lógica
arduamente.
_______________________________________________________
14) Las mujeres bajitas no tienen oportunidad de ganar en los
concursos de belleza.
_______________________________________________________
41
15) Si se quiere conservar el lago de Chapala, entonces el
gobierno tendrá que ser enérgico y exigir el trasvase.
_______________________________________________________
16) Los jóvenes engañan a sus padres respecto a sus
calificaciones o éstos no se interesan en sus estudios.
_______________________________________________________
17) Si estudias lógica tres veces por semana, entonces
entenderás los problemas y aprobarás el examen
_______________________________________________________
18) Restaurar el centro de la ciudad costará muchos millones
pero el ayuntamiento no tiene dinero.
_______________________________________________________
19) El león no es como lo pintan
_______________________________________________________
20) Si hoy es jueves mañana será viernes
_______________________________________________________
21) El lunes iré al cine amenos que llueva
_______________________________________________________
22) Tu belleza esta en el interior y no en tu físico
_______________________________________________________
42
23) O cumples con tus obligaciones de trabajo o no obtendrás tu
paga
_______________________________________________________
24) Si claudia acepta ser mi novia, ya no tendré más que
preocuparme por la fiesta del sábado
_______________________________________________________
EJERCICIOS No. 5
Mediante el uso de las reglas de agrupación y puntuación y
usando las letras A, B, C, D y e para abreviar los enunciados
simples "La economía mexicana crece", “Se disminuye el
presupuesto en la educación ",
crece",
"El precio de los alimentos
"México disminuye sus exportaciones "
y "Se
incrementa la taza de desempleo”, respectivamente. Simbolice lo
siguiente:
1. O La economía mexicana no crece o disminuye el presupuesto en
la educación.
_______________________________________________________
2. México disminuye sus exportaciones y se incrementa la taza de
desempleo
_______________________________________________________
43
3. México aumenta sus exportaciones y
no se disminuye el
presupuesto en la educación
_______________________________________________________
4. El precio de los alimentos se incrementa y o la economía
mexicana no crece o México disminuye sus exportaciones
_______________________________________________________
5. O bien se incrementa la taza de desempleo y México disminuye su
exportaciones o la economía mexicana crece.
_______________________________________________________
6. No es el caso que México aumente sus exportaciones y el precio
de los alimentos se incrementa.
_______________________________________________________
7. No es el caso que o aumente la taza de desempleo o México
disminuya sus exportaciones.
_______________________________________________________
8. No es el caso que México incremente sus exportaciones o la
economía mexicana no crece.
_______________________________________________________
9. No es el caso que a la vez se incrementa la taza de
desempleo y que México incremente sus exportaciones.
_______________________________________________________
44
10. Se disminuye el presupuesto en la educación, a menos que
México incremente sus exportaciones.
_______________________________________________________
11. A menos que la economía crezca, disminuirá la taza de
desempleo
_______________________________________________________
12. México no incrementa sus exportaciones a menos que su
economía crezca
_______________________________________________________
13. Se incrementa la taza de desempleo y México no incrementa sus
exportaciones.
_______________________________________________________
14. Hay un aumento en el presupuesto de la educación y México
disminuye su taza de desempleo, a menos que la economía
disminuya y México no incremente sus exportaciones.
_______________________________________________________
15. O bien México Incrementa sus exportaciones y disminuye su taza
de desempleo o no es el caso que a la vez México incrementará
sus exportaciones y se disminuya el presupuesto a la educación.
_______________________________________________________
45
16. O bien México incrementa su económica y aumenta sus
exportaciones o se incrementa la taza de desempleo o bien el precio
de los alimentos crece.
_______________________________________________________
17. Se incremento en la taza de desempleo y o bien México
incrementa sus exportaciones o tanto el precio de los alimentos no
crece y se incrementa el presupuesto a la educación.
_______________________________________________________
18. O México incrementa sus exportaciones o se incrementa el
presupuesto en la educación, pero
ni se incrementa
la taza de
desempleo ni la economía mexicana crece.
_______________________________________________________
19. México incrementará sus exportaciones;
sin
embargo, se
incrementa la taza de desempleo y el precio de los alimentos se
incrementa.
_______________________________________________________
20. México no incrementa su economía y se incrementa la taza de
desempleo; sin embargo, el presupuesto a la educación crece y el
precio de los alimentos no se incrementa.
_______________________________________________________
46
3.7 LOS CONECTIVOS LÓGICOS
Como hemos visto en las secciones anteriores, tenemos solo el
conocimiento de la existencia de partículas gramaticales tales como:
“y”, “o”, “entonces”, “si y solo sí”, llamadas conectivos lógicos. En
esta sección retomaremos esos conectivos lógicos, con el propósito
de profundizar en su significado y sus propiedades. Las propiedades
de mayor importancia de los conectivos lógicos son los siguientes:
1. La clasificación de los conectivos lógicos
2. La escritura de los conectivos
3. La lectura de los conectivos
4. La definición de los conectivos
5. La tabla de verdad de los conectivos
3.7.1 CLASIFICACION DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS
La clasificación general de los conectivos lógicos es la siguiente:
A) Conectivos Monadicos
B) Conectivos Diádicos
EL CONECTIVO LOGICO DIÁDICO: Es aquél que aparece entre
dos o más proposiciones; se llaman así a ciertas partículas del
47
lenguaje cuya función es unir dos o más proposiciones entre sí.
En la lógica son los siguientes: y, o, entonces, si y solo si, no. A
los cuales podemos clasificar en:
CONECTIVO LOGICO MONADICO: Es aquel conectivo lógico que
sólo afecta el valor de verdad de una proposición: el único es el
conectivo negación.
CONECTIVOS DIADICOS CONMUTATIVOS: Son conmutativos
porque el sentido de la oración no se altera si cambiamos el
orden de las proposiciones que la forman. Son los siguientes:
a) La conjunción ()
b) La disyunción inclusiva ()
c) La disyunción exclusiva (w)
d) La bicondicional ()
por ejemplo,
a) Juan estudia y trabaja, es lo mismo que, Juan trabaja y estudia
b) Juan estudia o trabaja, es lo mismo que, Juan trabaja o estudia
c) El numero 5 es impar si y solo si el numero 4 es par, es lo mismo
que, El numero 4 es par si y solo si el numero 5 es impar
48
CONECTIVOS DIÁDICOS NO CONMUTATIVOS:
El
conectivo "condicional" () no es conmutativo ya que cambia el
sentido del enunciado.
Ejemplo:
a) Si sopla el viento, entonces los árboles se mueven; lo cual
es diferente a:
b) Si los árboles se mueven, entonces sopla el viento.
3.7.2 PROPIEDADES DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS
EL CONECTIVO NEGACIÓN
ESCRITURA. Dada una proposición P cualquiera, el símbolo de la
negación se puede escribir de las siguientes maneras: ~ P, -P, ¬P
LECTURA. En el texto natural podemos identificar a la negación
mediante los siguientes sinónimos:
No, ni, nunca, jamás, no es
cierto, no ocurre, es falso, de ninguna manera, por nada de, en
absoluto.
DEFINICIÓN. El conectivo lógico
de la negación es
el
único
conectivo monádico, el cual solamente será falso cuando se niegue
una proposición verdadera y sólo será verdadera cuando se niegue
una proposición falsa.
49
TABLA DE VERDAD. Sea P una proposición cualquiera y sea P
su negación, por consiguiente la tabla de valores de verdad del
conectivo negación es la siguiente:
P
V
F
~P
F
V
Donde V= verdadero y F=falso.
Por ejemplo, si indicamos que P es la proposición La ballena es un
animal acuático, la cual es verdadera, su negación seria P, La
ballena no es un animal acuático, la cual se convierte en una
proposición falsa. Pero si indicamos que P es la proposición El
aluminio es un elemento gaseoso, la cual es una proposición
falsa, en este caso la negación de la proposición es P, El aluminio
no es un elemento gaseoso, la cual se convierte en verdadera.
EL CONECTIVO CONJUNCION
ESCRITURA. Sean
P y Q dos proporciones cualesquiera, el
símbolo de la conjunción se puede escribir de las siguientes formas:
(P  Q), (P.Q), (P,Q).
50
LECTURA. En el texto natural se le puede identificar mediante los
siguientes sinónimos:
y, además de, también, así como, pero, e,
ambos.
DEFINICIÓN. El conectivo conjunción, pertenece a los conectivos
diádicos conmutativos y sólo será verdadero cuando ambas
proposiciones sean verdaderas.
Para ver la tabla de verdad de la conjunción, es importante tomar en
cuenta que requerimos por lo menos dos proposiciones. De esta
forma si consideramos a
cualesquiera,
los
posibles
P y Q
casos
como dos proposiciones
de
verdad
para
ambas
proposiciones se pueden ver en la siguiente tabla 3.1.
Caso
1
2
3
4
P
V
F
V
F
Q
V
V
F
F
Tabla 3.1. Caso de verdad para dos proposiciones
En la tabla 3.1, podemos identificar
que, cuando se tienen dos
proposiciones puede suceder que: Caso 1,
que
ambas
proposiciones sean verdaderas; caso 2, que la proposición P es
falsa y la proposición Q sea verdadera; caso 3, que la proposición
51
P es verdadera y la proposición Q es falsa; finalmente, caso 4 en el
que ambas proposiciones son falsas.
TABLA DE VERDAD. Sea P y Q dos proposiciones cualesquiera, la
tabla 3.2 representa la tabla de verdad para la conjunción.
Caso
1
2
3
4
P
V
F
V
F
Q P  Q
V
V
V
F
F
F
F
F
Tabla 3.2. Valores de verdad de la conjunción
Por ejemplo,
Caso 1
si
P es la proposición La ballena es un mamífero y Q es la
proporción La ballena es un animal acuático, el resultado de la
conjunción La ballena es un mamífero y La ballena es un animal
acuático
es verdadero, porque ambas proposiciones son
verdaderas.
Caso 2
Si P es la proposición La ballena es un vegetal y Q es la
proporción La ballena es un animal acuático, el resultado de la
52
conjunción La ballena es un vegetal y La ballena es un animal
acuático es falso, ya que la proposición P es falsa.
Caso 3
Si P representa a la proposición La ballena es un mamífero y Q
representa a la proposición La ballena es un animal terrestre, el
valor de verdad para la conjunción, La ballena es un mamífero y La
ballena es un animal terrestre, es falso, debido a que
la
proporción Q es falsa.
Caso 4
Si P es la proposición La ballena es un vegetal y Q es La ballena
es un animal terrestre, en consecuencia la conjunción es falsa, ya
que ambas proposiciones son falsas.
EL CONECTIVO DISYUNCION INCLUSIVA
ESCRITURA.
Sean
P y Q dos proporciones cualesquiera, el
símbolo de la disyunción inclusiva se escribir como a continuación
se muestra: (P v Q).
LECTURA. En el lenguaje natural se le puede identificar mediante
los siguientes sinónimos: o, o bien, u,.
53
DEFINICIÓN. El conectivo disyunción, pertenece al grupo de los
conectivos diádicos conmutativos, el cual sólo será falso cuando
ambas proposiciones sean falsas.
TABLA DE VERDAD. Considerando dos proposiciones cualesquiera
P y Q, los valores de verdad para el conectivo disyunción se muestra
en la tabla 3.3.
Caso
1
2
3
4
P
V
F
V
F
Q P
V
V
F
F
 Q
V
V
V
F
Tabla 3.3. Valores de verdad de la disyunción inclusiva
Por ejemplo, si consideramos la proposición P= Juan estudia y la
proposición Q = Juan trabaja,
Caso 1
la disyunción inclusiva Juan estudia o Juan trabaja es verdadera,
ya que ambas proposiciones son también verdaderas.
Caso 2
si la proposición P es falsa y la proposición Q es verdadera el
resultado de la disyunción también es verdadera, puesto que se da
que al menos se cumple la proporción de que Juan trabaja.
54
Caso 3
si la proposición P es verdadera y Q es una proposición falsa, el
resultado de la disyunción seguirá siendo verdadero, que al menos
se cumple el hecho de que Juan estudia.
Caso 4
si sucede que las proposiciones P y Q son falsas el valor de la
disyunción será falso, debido que no se cumplió ninguna de las dos
proporciones..
EL CONECTIVO DISYUNCION EXCLUSIVA
ESCRITURA.
Sean
P y Q dos proporciones cualesquiera, el
símbolo de la disyunción exclusiva es: (P w Q)., (P v Q).
LECTURA. En el lenguaje natural se le puede identificar mediante
los siguientes sinónimos: o, o bien, u,.
DEFINICIÓN. El conectivo disyunción exclusiva, pertenece al grupo
de los
conectivos diádicos
verdadero
cuando
ambas
conmutativos, el cual
proposiciones
sólo
será
sean verdaderas o
cuando ambas sean falsas.
55
TABLA DE VERDAD. Considerando dos proposiciones cualesquiera
P y Q, los valores de verdad para el conectivo disyunción exclusiva
se muestra en la tabla 3.4.
Caso
1
2
3
4
P
V
F
V
F
Q P
V
V
F
F
w Q
F
V
V
F
Tabla 3.4. Valores de verdad de la disyunción exclusiva
Por ejemplo, si establecemos la siguiente proposición compuesta:
O Lidia aprueba el semestre de la preparatoria o Lidia reprueba
el semestre de la preparatoria,
donde
P=Lidia aprueba el semestre de la preparatoria
Q=Lidia reprueba el semestre de la preparatoria,
Caso 1
Si P y Q son proposiciones verdaderas el resultado de la disyunción
exclusiva
es falso, porque no se puede dar el caso de que un
estudiante pase o repruebe el semestre a la vez.
56
Caso 2
Si P es una proposición falsa y Q es una proporción verdadera, la
disyunción exclusiva será verdadera, ya que forzosamente tiene que
suceder al menos una cosa que Lidia apruebe el semestre o que
Lidia repruebe el semestre.
Caso 3
Si P es una proposición verdadera y Q es una proporción falsa, la
disyunción exclusiva también será verdadera, ya que como el caso
anterior se tiene que cumplir al menos una cosa, que Lidia apruebe
el semestre o que Lidia repruebe el semestre.
Caso 4
Si P y Q son proposiciones falsas el resultado de la disyunción
exclusiva es falso, porque no se puede dar el caso de que un
estudiante no pase el semestre o no lo repruebe a la vez.
EL CONECTIVO CONDICIONAL
ESCRITURA. Sean P y Q dos proporciones cualesquiera, el
símbolo de la condicional se puede presentar de las siguientes
formas: (P Q), (P Q), (PQ), (PQ), (P Q).
57
LECTURA. En el lenguaje natural se le puede identificar mediante
los siguientes sinónimos: Entonces, se sigue, por lo tanto, se infiere,
de ahí que, se deduce, implica, etc.
DEFINICIÓN. La condicional es un conectivo lógico que pertenece
al
conjunto
de
conectivos
diádicos
no
conmutativo, pues
establece una relación de necesidad entre sus dos términos. Si
ocurre el primer término llamado antecedente, necesariamente
ocurrirá el segundo, denominado consecuente. Por ello, la
condicional sólo será falsa cuando el antecedente sea verdadero y
el consecuente sea falso; en todos los demás casos será verdadero.
TABLA DE VERDAD. Considerando dos proposiciones cualesquiera
p y q, los valores de verdad para el conectivo condicional se muestra
en la tabla 3.5.
Caso
1
2
3
4
P
V
F
V
F
Q P
V
V
F
F
 Q
V
V
F
V
Tabla 3.5. Valores de verdad de la condicional
Por ejemplo, la proposición compuesta:
58
Si Alicia estudia entonces Alicia aprueba el semestre de la
preparatoria
donde
P= Alicia estudia
Q=Alicia aprueba el semestre de la preparatoria,
Caso 1
Si
P y Q son proposiciones verdaderas el resultado de la
condicional es verdadero, ya que es lógico suponer
que si un
alumno estudia se tenga como consecuencia que pase el semestre.
Caso 2
Si P es una proposición falsa y Q es una proporción verdadera, la
condicional es verdadera, pues lógicamente
se sabe que en la
práctica, no solo aprueban el semestre los alumnos que estudian.
Caso 3
Si P es una proposición verdadera y Q es una proporción falsa, la
condicional es falsa, ya que si Alicia estudia como consecuencia lo
que debe de pasar es que Alicia apruebe el semestre.
59
Caso 4
Si P y Q son proposiciones falsas el resultado de la condicional es
falso, ya que es lógico que si un alumno no estudia por
consecuencia no apruebe el semestre.
Un aspecto importante de este conectivo es que tiene múltiples
significados, por ello es el conectivo de mayor dificultad. El
estudiante debe enfrentar estos múltiples significados a través de
este curso de lógica. Algunos de esos significados que se presentan
son del tipo de: Pensamiento causal, pensamiento hipotético y
pensamiento predictivo. Es decir la
proposición P → Q, la
podemos encontrar en alguna de las formas como:

Si P, entonces Q

Si P, Q

P entonces Q

Q si P

P es condición suficiente para Q

Q es condición necesaria para P

P implica a Q
En
todos estos casos la proposición
antecedente y la proposición
Q
P se le conoce como el
se le identifica como el
consecuente.
60
EL CONECTIVO BICONDICIONAL
ESCRITURA.
Sean
P y Q dos proporciones cualesquiera, el
símbolo de la condicional se puede presentar de las siguientes
formas: (P  Q), (P  Q).
LECTURA. La bicondicional se le puede identificar en el lenguaje
natural, mediante los siguientes sinónimos: Si y solamente si,
entonces y sólo entonces, es idéntico, es equivalente.
DEFINICIÓN. La bicondicional es un conectivo lógico que pertenece
al conjunto de conectivos diádicos conmutativos, lo cual es
verdadero cuando ambos enunciados sean verdaderos o cuando
ambos sean falsos.
TABLA DE VERDAD. Considerando dos proposiciones cualesquiera
P y Q, los valores de verdad para el conectivo bicondicional se
muestra en la tabla 3.6.
Caso
1
2
3
4
P
V
F
V
F
Q P
V
V
F
F
 Q
V
F
F
V
Tabla 3.6. Valores de verdad de la bicondicional
Por ejemplo, consideremos la siguiente proposición compuesta:
61
José pasara matemáticas si y sólo si José estudia
donde
P= José pasara matemáticas
Q= José estudia
Caso 1
Si
P y Q son proposiciones verdaderas el resultado de la
bicondicional es verdadero, ya que significa que José pasó
matemáticas y José estudia, es decir
ambas
proposiciones se
cumplieron.
Caso 2
Si P es una proposición falsa y Q es una proporción verdadera, la
bicondicional es falsa, ya que no se puede dar el caso que José no
pase matemáticas si él cumplió en estudiar.
Caso 3
Si P es una proposición verdadera y Q es una proporción falsa, la
bicondicional es falsa, ya que
no puede ser
que José
pase
matemáticas sin cumplir la condición de estudiar.
62
Caso 4
Si P y Q son proposiciones falsas el resultado de la condicional es
verdadero, ya que si José no pasa matemáticas es debido a que
José no estudio.
EJERCICIOS No. 6
Escribe el conectivo que
aparece
en
las siguientes
proposiciones.
1) (x +2x + 8 = 0) y (x + 2y = 6)
____________________
2) Juan estudia la preparatoria como también lo hace Pedro.
____________________
3) Júpiter es un planeta aunque Marte no lo es
____________________
4) El hombre es un ser inteligente a la vez que humano
____________________
5) El álgebra, la trigonometría, y la
lógica
son
parte
de
las
matemáticas.
____________________
63
6) Cárdenas o Diego será el presidente de México
____________________
7) x=8 o x=16
____________________
c) (x-y=8)  (x+y=8)
____________________
10) La física estudia los fenómenos naturales o bien no lo hace
____________________
11) Las matemáticas son muy difíciles de aprender o bien el maestro
no enseña bien.
____________________
12) O yo soy el equivocado o los demás lo están, pero viéndolo bien
quién sabe.
____________________
13) O estudias y sacas buenas calificaciones o bien no apruebas el
curso.
____________________
14) Si el Triángulo ABC es un triángulo rectángulo entonces
a2+b2=c2
____________________
64
15) Si x + y = 0 entonces x= 0 y y=0
____________________
16) Si P es un número primo, entonces es un número natural que
tiene exactamente dos divisores.
____________________
17) Si la suma de dos números es un número positivo se deduce
que los dos números son positivos
____________________
18) Si "x" es un número entero entonces "x" es natural
____________________
19) Si el doble de un número es 10 entonces ese número es 5
____________________
20) Si un triángulo es equilátero, implica que es equiángulo
____________________
21) x + y = 0 si y solo si x=0 y y=0
____________________
22) Hace más calor si y solo si la nieve no se derrite
____________________
23) Los políticos serían honestos entonces y sólo entonces fueran
bien pagados.
____________________
65
24) Pasaré la materia de lógica si y solo si estudio
____________________
25) 2 + y = 10 entonces y solo entonces y=8
____________________
3.8 METODO DE ASIGNACION DE VALORES DE
VERDAD
Cuando se tiene una proposición compuesta podemos determinar
su valor de verdad mediante el método de asignación de valores,
que se basa en suponer ciertos
valores de verdad para las
proposiciones simples y combinar esos valores con los resultados de
las tablas de verdad de los conectivos lógicos.
Por ejemplo, consideremos la siguiente proposición compuesta, ya
simbolizada
(R  Q)  (~P  ~S)
supongamos que R
y S son proposiciones verdaderas y que las
proposiciones P y Q son falsas, para determinar el valor de verdad
de la proposición compuesta se siguen los siguientes pasos:
1.- Asignar el valor de verdad de cada proposición simple,
considerando las negaciones presentes.
66
(R  Q)  (~P  ~S)
V
F
V
F
2.- Resolver el primer paréntesis de la proposición compuesta,
usando la tabla de verdad de la condicional.
(R  Q)  (~P  ~S)
V
F
V
F
____
F
el resultado del primer paréntesis es falso, ya que la condicional es
falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.
3.- Resolver el segundo paréntesis de la proposición compuesta,
usando en este caso la tabla de verdad de la conjunción.
(R  Q)  (~P  ~S)
V
F
V
F
____
____
F
F
el resultado del segundo paréntesis es falso, ya que la conjunción
solo es verdadera cuando ambas proposiciones lo son.
67
4.- Por último, considerando los valores de verdad de ambos
paréntesis y usando la tabla de verdad de la disyunción inclusiva,
tenemos que
(R  Q)  (~P  ~S)
V
F
V
F
____
____
F
F
_____________
F
la proposición compuesta es falsa, ya que la disyunción inclusiva
solo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.
EJERCICIOS No. 7
Supongamos que R y S son proposiciones falsas y P y Q son
proposiciones verdaderas, ¿cuáles proposiciones compuestos
son verdaderos? y ¿Cuáles falsas ?.
1. (R  Q)  (~P  S)
68
2. (~R  ~S)  (R  ~P)
3. [R  (R  S)] (P  Q)
4. (R  S)  (P  Q)
5. (P Q)  (R  S)
69
6. (R  R) (S  P)
7. (P  R)  (S  Q)
8. (P S)  (R  Q)
9. (P Q)  (R  S)
10. (P  Q)  (R  S)
70
11. (P  R)  (S  Q)
12. [(R  P)  ~S]  ~(Q  P)
13. [(R  P)  (S  P)]  [(Q  ~P)  ~R]
71
3.9 EL ARGUMENTO Y SU ESTRUCTURA FORMAL
Cuando el razonamiento se expresa con palabras, recibe el nombre
de argumento. Un argumento
es una serie de afirmaciones que
infieren una proposición definida llamada conclusión. De esta forma
un argumento lógico se compone de 3 elementos:
1. Premisas
2. Inferencia
3. Conclusión
Premisas
Es un conjunto de proporciones lógicas bien formuladas las cuales
de alguna manera deducen una proposición llamada conclusión.
Dichas premisas pueden ser entendidas como los motivos o hechos
por los que se se usan inferencialmente para establecer una
conclusión.
Inferencia
La inferencia es un proceso mental intermedio entre las premisas y
la conclusión de un argumento.
72
Conclusión
Es una proposición que se deriva de las premisas.
Ejemplo, consideremos el siguiente argumento:
Si
cumplo con mis tareas entonces el profesor de lógica
me
premiara con la asignación de puntos extras y podré pasar el
examen final. El profesor de lógica no me premia con la asignación
de puntos y no pase el examen final. Por consiguiente, no cumplo
con mis tareas.
Analicemos el argumento:
1. La proposición " Si cumplo con mis tareas, entonces el profesor
de lógica me premiara con la asignación de puntos extras y podré
pasar el examen final ", en este caso representa la primera premisa.
2. Mientras que la proposición “El profesor de lógica no me premia
con la asignación de puntos y no pase el examen final”, es la
segunda premisa.
3. De las dos premisas anteriores se desprende (o se infiere) una
tercera proposición:
“no cumplo con mis tareas”, que es la
conclusión.
73
Ahora,
simbolizaremos
el
argumento,
siguiendo
los
siguientes pasos:
1. Simbolizar cada proposición simple presente en el
argumento:
C= cumplo con mis tareas
P= el profesor de lógica me premiara con la asignación de
puntos extras.
E= pasare el examen final
P= el profesor de lógica no me premiara con la asignación de
puntos extras.
E= no pasare el examen final
C= no cumplo con mis tareas
2. Simbolizar la primera premisa
[C  ( P  E)],
3. Simbolizar la segunda premisa
(P  E),
74
4. Finamente simbolizamos la conclusión
C
Con esto, la simbolización del argumento queda como:
1. [C  ( P  E)]
2. (P  E)/ C
donde  es el por lo tanto, y siempre se escribe a partir de la ultima
premisa, indicando que las proposiciones siguientes ya son parte de
la conclusión.
Veamos otro argumento,
Si Andrés estudia
filosofía
y literatura entonces será un gran
escritor de novelas dramáticas. Andrés no estudia literatura. Por
consiguiente, Andrés no estudia filosofía y no será un gran escritor
de novelas dramáticas.
1. Simbolizando las proporciones simples:
75
F= Andrés estudia filosofía
A= Andrés estudia literatura
G= será un gran escritor de novelas dramáticas
F= Andrés no estudia filosofía
A= Andrés no estudia literatura
G= no será un gran escritor de novelas dramáticas
La simbolización del argumento es,
1. [(F  A) G]
2. ~F/ ~A  ~G
Como podemos notar, en estos dos
ejemplos
fue
fácil
identificar a las premisas y a la conclusión, pero cabe señalar que no
siempre resulta sencillo poder identificar
las premisas y
la
conclusión de un argumento, para esto nos pueden ser útiles
algunos adverbios llamados indicadores de premisa e indicadores de
conclusión, que se pueden ver en la tabla 3.7.
76
INDICADORES DE
PREMISAS
Puesto que
dado que
Si
considerando
ya que
aunque
toda vez que
Porque
Como
Pues
INDICADORES DE
CONCLUSION
por lo tanto
se concluye que
Luego
por consiguiente
en consecuencia
se deduce
se infiere
resulta que
se sigue
implica que
Tabla 3.7.Indicadores de premisa y de conclusión.
Los indicadores de la tabla 3.7 son muy útiles para identificar tanto
las premisas como la conclusión de cualquier argumento.
EJERCICIOS No. 8
Traduce del lenguaje ordinario al lenguaje simbólico los
siguientes argumentos.
1) Si llueve entonces el lago de Chapala se recuperara, pero si
desperdiciamos el agua
entonces Chapala no se recuperara.
Chapala no se recupera. Por lo tanto o no llueve o desperdiciamos el
agua.
77
1._____________________
2.______________________/______________
2) O eres una persona que ahorra o te gastas todo lo que ganas.
Pero si eres una persona que ahorras entonces triunfaras en la vida.
No triunfas en la vida y te gastas todo lo que ganas. Por lo tanto eres
una persona que no ahorra.
1.________________________
2.________________________
3._________________________/______________
3) Si Alicia es mi amiga entonces me comprenderá y si yo soy su
amigo entonces le regalare una rosa el día de la amistad. Pero si
ella me regala una rosa el día de la amistad
entonces me
comprende. Alicia no es mi amiga. Por lo tanto no me regala una
rosa el día de la amistad ni me comprende
1.______________________
2.______________________
3._______________________/______________
78
4) México es un país libre e independiente. Si México es un país
independiente entonces se rige por sus propias leyes. México es un
país con democracia. Si México es un país con democracia entonces
el pueblo elige a sus gobernantes.
El pueblo no elige a sus
gobernantes. Por lo tanto México es un país sin democracia y no es
independiente.
1._______________________
2._______________________
3._______________________
4._______________________
5.________________________/______________
5) Si terminas la preparatoria entonces podrás estudiar ingeniería
civil o químico farmacobiólogo. Si no te gustan las matemáticas y
terminas la preparatoria entonces
estudiaras medicina. No
estudiaste medicina y terminaste la preparatoria. Por lo tanto
estudiaste ingeniería civil o químico farmacobiólogo.
1.________________________
2.________________________
3.________________________/______________
79
6) Si me preparo bien entonces podré aprobar el examen de aptitud
de la licenciatura. Si apruebo el examen de aptitud de la licenciatura
entonces podré estudiar la licenciatura en ingeniería de la
computación. No me prepare bien. Por lo tanto, no aprobé el examen
de aptitud de la licenciatura y no podré estudiar la licenciatura en
ingeniería de la computación.
1._______________________
2._______________________
3.________________________/______________
7) Si mejoro mi conducta entonces tendré más amigos, y si tengo
más amigos me sentiré más feliz. No me siento más feliz o no
tengo más amigos. Por lo tanto no mejoro mi conducta.
1.______________________
2._______________________/______________
8) O mi novia hoy cumple 15 años o cumple 16 años. Pero si hoy
cumple 16 años entonces yo cumpliré 17 años el mes que entra. Mi
novia no cumple 15 años. Por lo tanto, mi novia cumple 16 años y yo
17 años el mes que entra.
80
1.______________________
2.______________________
3._______________________/______________
9)
Si Agustín estudia el doctorado en ciencias entonces Lizbeth
estudiará la maestría en ciencias. Si Humberto no estudia el
doctorado en ciencias entonces Osvaldo no estudiara la maestría en
ciencias. Pero si Osvaldo estudia la maestría en ciencias entonces
Agustín no estudiara el doctorado en ciencias. Lizbeth no estudia la
maestría en ciencias. Por lo tanto, Humberto no estudia el doctorado
en ciencias ni Osvaldo la maestría.
1.______________________
2.______________________
3.______________________
4.______________________/_________________
10)
Si el fin de semana descanso de mi trabajo entonces iré a
pasear a un parque, pero si el fin de semana no descanso de mi
trabajo me sentiré cansado.
Si voy a pasear al parque podré
respirar aire puro y poner orden en mis pensamientos. Me siento
cansado. Por lo tanto ni paseo al parque y ni pongo orden en mis
81
pensamientos.
1.______________________
2.______________________
3.______________________/______________
11) Si cumplo con mis obligaciones en casa y apruebo mis materias
en la preparatoria entonces mi papa me regalara un automóvil
nuevo. Pero si no cumplo con mis obligaciones y apruebo las
materias en la preparatoria entonces solo recibiré un reconocimiento
por parte de mis padres. Pero si ni cumplo con mis obligaciones en
casa y ni apruebo mis materias, entonces estaré castigado dos fines
de semana. Cumplí con mis obligaciones en casa y no aprobé mis
materias en la preparatoria. Por lo tanto, ni recibí un automóvil
nuevo y ni recibí reconocimiento.
1._______________________
2._______________________
3._______________________
4._______________________/___________________
12) Mi maestro es un fanático en el estudio de las matemáticas,
mientras que a mí me aburren. Pero si quiero pasar la materia de
matemáticas entonces tendré que seguir el ejemplo de mi maestro.
Pero si sigo el ejemplo de mi maestro hay muchas posibilidades en
que me vuelva loco. Pero si me vuelvo loco entonces Claudia mi
82
novia no querrá salir más conmigo.
O paso la materia de
matemáticas o Claudia no querrá salir más conmigo. Si mi maestro
es un fanático del estudio de las matemáticas entonces tendré que
seguir su ejemplo y pasar la materia. Por lo tanto Claudia no querrá
salir más conmigo.
1.__________________________
2.__________________________
3.__________________________
4.__________________________
5.__________________________
6.__________________________/______________
3.10 VALIDEZ O INVALIDEZ DE LOS ARGUMENTOS
LOGICOS.
Hasta ahora, solo
se a
hablado de cómo identificar un
argumento y además del como simbolizarlo, pero no sabemos algo
de la validez o invalidez argumento. Los argumentos lógicos por su
valor se clasifican en dos tipos:
1. argumentos válidos
2. argumentos validos.
83
Un argumento válido es aquel en el cual la conclusión se obtiene
directamente de las premisas. Un argumento inválido es aquel en
el cual la conclusión no se puede obtener directamente de las
premisas.
Es importante señalar que cuando
se dice que un argumento es
valido no significa necesariamente que sea verdadero, ya que
generalmente las verdades lógicas no son verdades reales.
El
hecho de que un argumento sea válido significa que su estructura
tiene una verdad lógica (cumple los principios lógicos), mas no real
(no necesariamente cumple los principios cotidianos). De aquí que
es importante enfatizar que a lo largo del curso de la lógica nosotros
analizaremos la validez de los argumentos en cuanto a su estructura
y no en cuanto a su contenido. Para verificar la validez o invalidez de
un argumento se hace uso del método de las tablas de verdad.
3.11 METODO DE LAS TABLAS DE VERDAD
Para hacer uso de las tablas de verdad debemos tomar en
cuenta dos principios:
Principio uno: toda
proposición simple
o es verdadera o es
84
falsa. Este principio significa que a toda proposición solo se le
puede asignar uno de los dos siguientes predicados: "es verdadero"
o "es falso". Los simbolizamos respectivamente mediante las letras
"V" y "F", llamados valores de verdad.
Principio dos: Los valores de verdad de cualquier argumento
lógico están determinados por los valores de verdad de todas las
proposiciones que lo componen.
Es mediante las tablas de verdad como se puede determinar
de un
modo mecánico la
asignando
validez
o invalidez
del argumento,
los valores de verdad de cada proposición presente en
el argumento.
3.11.1 CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA DE VERDAD
Para construir las tablas de verdad, se hacen los siguientes pasos:
1.- Se identifican el número de proposiciones simples que aparecen
en el argumento.
2.- Se hace uso de la formula
2
n
para determinar el número de
combinaciones de los valores de verdad en la tabla. Donde n es el
número de proposiciones presentes en el argumento. La tabla 3.8
muestra los posibles valores de verdad de hasta 6 proposiciones.
85
numero de
numero de
proposiciones
combinaciones
1
21=2*1=2
2
22=2*2=4
3
23=2*2*2=8
4
4
2 =2*2*2*2=16
5
25=2*2*2*2*2=32
6
26=2*2*2*2*2*2=64
Tabla 3.8 Posibles valores de verdad
En la tabla 3.8, podemos ver el caso en que se tiene una
proposición, los posibles valores de verdad son dos:
P
V
F
Figura 1.
La figura 1 nos indica que cuando se tiene una sola proposición
simple P, solo hay dos posibilidades una, que sea verdadera; otra,
que sea falsa.
Para el caso de dos proporciones P y Q, hay cuatro combinaciones
de verdad (ver figura 2):
86
P
V
F
V
F
Q
V
V
F
F
Figura 2.
La figura 2 señala que cuando se tienen dos proporciones simples,
hay para ellas cuatro posibilidades:
1. Ambas son verdaderas.
2. La primera verdadera y la segunda falsa.
3. La primera falsa y la segunda verdadera.
4. Ambas son falsas
Y así, sucesivamente podemos ir encontrando todos los posibles
valores de verdad para el caso de 3, 4, 5 o más proposiciones
simples.
3.- Escribir el argumento en forma horizontal. Para ello se requiere
que las premisas estén unidas mediante
el conectivo
de la
conjunción. Por ejemplo, si el argumento es:
1. (P  Q)
2. Q/P
87
su expresión horizontal del argumento es,
(P  Q)  Q/Q
Nótese, como las premisas
(P  Q) y Q fueron unidas por el
conectivo  conjunción.
4.- Asignar los posibles valores de verdad a las proposiciones
simples del argumento, no olvidando las negaciones presentes.
P
V
F
V
F
Q
V
V
F
F
[(P → Q)  ~Q] /
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
~P
F
V
F
V
5.- La tabla de verdad de cualquier argumento se debe resolverse de
interior a exterior. Iniciando primero con los paréntesis.
P
V
F
V
F
Q
V
V
F
F
[(P
V
F
V
F
→
V
V
F
V
Q)  ~Q] /
V
F
V
F
F
V
F
V
~P
F
V
F
V
88
6.- Enseguida se resuelven los corchetes.
P
V
F
V
F
Q
V
V
F
F
[(P
V
F
V
F
→
V
V
F
V
Q)
V
V
F
F
 ~Q] / ~P
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
7.- Identificar el vector de verdad. El vector de verdad es la columna
principal de la tabla de verdad en el cual cuyos valores de verdad
determinarán el resultado final de la tabla.
Vector de verdad

P
V
F
V
F
Q
V
V
F
F
[(P
V
F
V
F
→
V
V
F
V
Q)
V
V
F
F
 ~Q] /
F
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
~P
F
V
F
V
89
3.11.2 DEMOSTRACION DE LA VALIDEZ O INVALIDEZ
DE LOS ARGUMENTOS CON EL METODO DE TABLAS
DE VERDAD.
Consideremos el siguiente argumento lógico,
Si
cumplo con mis tareas entonces el profesor de lógica
me
premiara con la asignación de puntos extras y podré pasar el
examen final. El profesor de lógica no me premia con la asignación
de puntos y no pase el examen final. Por consiguiente, no cumplo
con mis tareas.
Como se vio previamente en la sección 3.8, la simbolización del
argumento es,
1. [C  ( P  E)]
2. (P  E)/ C
Para obtener la tabla de verdad, se efectúan los siguientes pasos:
1.- Organizar el argumento en forma horizontal, procurando unir las
premisas con el conectivo conjunción:
90
{[C  ( P  E)] (P  E)}/  C
2.- Encontrar el número de combinaciones de valores de verdad
para el argumento:
3
2
C
V
F
V
F
V
F
V
F
P
V
V
F
F
V
V
F
F
=8
combinaciones
E {[C → (P  E)]
V
V
V
V
F
F
F
F
 (P  E)} / ~C
3.- A cada proposición simple se le asigna los valores de verdad
correspondientes, no olvidando las negaciones, como se muestra a
continuación:
91
C
V
F
V
F
V
F
V
F
P
V
V
F
F
V
V
F
F
E {[C → (P  E)]
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
 (P  E)}
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
/
~C
F
V
F
V
F
V
F
V
Nótese que cuando una proposición o literal está negada los valores
de verdad se cambian.
4.- Haciendo uso de las tablas de verdad de los conectivos (ver
sección 3.7.2) se procede a resolver las operaciones lógicas
iniciando primero con las premisas y Finalizando con la conclusión
(del interior al exterior) según corresponda al argumento:
5- Se evalúa el paréntesis (P  E) usando la tabla del conectivo
conjunción, con lo que se obtiene lo siguiente:
C P E {[C → (P  E)]
V V V
V
V V V
F V V
F
V V V
V F V
V
F F V
F F V
F
F F V
V V F
V
V F F
F V F
F
V F F
V F F
V
F F F
F F F
F
F F F
 (P  E)}
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
/
~C
F
V
F
V
F
V
F
V
92
6.- Se procede a evaluar el corchete {[C  ( P  E)], tomando en
cuenta los valores de verdad obtenidos del paréntesis ( P  E), con
los valores de la proposición c, en este caso se usara la tabla del
conectivo condicional:
C
V
F
V
F
V
F
V
F
P
V
V
F
F
V
V
F
F
E {[C → (P  E)]
V
V V V V V
V
F V V V V
V
V F F F V
V
F V F F V
F
V V V F F
F
F V V F F
F
V F F F F
F
F V F F F
 (P  E)}
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
/
~C
F
V
F
V
F
V
F
V
7.- Ahora se evalúa el resultado del paréntesis (P  E) de la
segunda premisa, usando la tabla de verdad de la conjunción:
C
V
F
V
F
V
F
V
F
P
V
V
F
F
V
V
F
F
E {[C → (P  E)]
V
V V V V V
V
F V V V V
V
V F F F V
V
F V F F V
F
V V V F F
F
F V V F F
F
V F F F F
F
F V F F F
 (P
F
F
V
V
F
F
V
V

F
F
F
F
F
F
V
V
E)}
F
F
F
F
V
V
V
V
/
~C
F
V
F
V
F
V
F
V
8.- Ahora continuaremos con la obtención de los valores de verdad
de la llaves, tomando en cuenta los valores del corchete [C(PE)]
93
y del paréntesis (P  E)}, mediante el uso de la tabla de verdad
de la conjunción. Este resultado es a fin en cuentas el resultado de
las premisas.
C
V
F
V
F
V
F
V
F
P
V
V
F
F
V
V
F
F
E {[C → (P  E)]  (P  E)}
V
V V V V V F F F F
V
F V V V V F F F F
V
V F F F V F V F F
V
F V F F V F V F F
F
V V V F F F F F V
F
F V V F F F F F V
F
V F F F F F V V V
F
F V F F F V V V V
/
~C
F
V
F
V
F
V
F
V
9.- Finalizaremos la tabla al obtener los valores del vector de verdad
(conectivo principal), para ello se toma en cuenta el resultado de las
premisas {[C(PE)](P  E)} y los valores de la conclusión C,
usando los valores de verdad de la tabla condicional que es la
misma que el por lo tanto.
C
V
F
V
F
V
F
V
F
P
V
V
F
F
V
V
F
F
E {[C → (P  E)]  (P  E)}
V
V V V V V F F F F
V
F V V V V F F F F
V
V F F F V F V F F
V
F V F F V F V F F
F
V V V F F F F F V
F
F V V F F F F F V
F
V F F F F F V V V
F
F V F F F V V V V
/
V
V
V
V
V
V
V
V
~C
F
V
F
V
F
V
F
V
94
Puesto que en el resultado Final de la tabla todos los valores son
verdaderos, se dice que el argumento es valido.
3.11.3 CLASIFICACIÓN FORMAL DE LOS
ARGUMENTOS
TAUTOLOGIAS
Se dice que un argumento es tautológico cuando en el resultado
final de la tabla de verdad todos los valores son verdaderos. En este
caso, y único caso, el argumento es válido.
CONTINGENCIAS
Se dice que un argumento es una contingencia cuando en el
resultado final de la tabla de verdad se encuentran valores
verdaderos y valores falsos. En este caso el argumento es invalido.
CONTRADICCIONES
Se dice que un argumento es contradictorio cuando en el
resultado final de la tabla de verdad todos los valores son falsos. En
este caso el argumento es inválido.
95
EJERCICIOS No. 9
Realiza en tu cuaderno las tablas de verdad de los siguientes
argumentos, previa traducción del lenguaje natural al lenguaje
simbólico, y especifica cuales son tautológicos, contingencia y
contradictorios.
1. Si me compra un oso de peluche entonces significa que me
quiere, pero si me regala una rosa entonces significa que me ama.
Si me compra un oso de peluche entonces no me ama. Luego, si
no me quiere entonces me regala una rosa.
2. Si Juan se compra un automóvil entonces, llegará temprano a su
trabajo y recibirá un ascenso. Si Juan recibe un ascenso entonces
no se comprará un coche. Si Juan se compra un coche entonces
llegará temprano a su trabajo. Por tanto, si recibe un ascenso
entonces no llegará temprano a su trabajo.
3. Si Jalisco es el segundo estado en importancia en la República
Mexicana, entonces no debe sufrir de recortes económicos y debe
tener mayor inversión. Jalisco no tiene mayor inversión o no es el
segundo estado en importancia en la República Mexicana. Por lo
tanto, sufre de recorte económicos.
96
4. Si Lizbeth no cometió el crimen entonces Antonio es el homicida,
pero si Antonio es el homicida entonces tuvo que haber un
cómplice. Si no hubo un cómplice entonces Lizbeth cometió el
crimen. Antonio es el homicida. Luego, Lizbeth no cometió el
crimen y hubo un cómplice.
5. Juan tiene muchos amigos, si los quiere y los respeta como
individuos. Juan tiene muchos amigos y los quiere. Si no los
respeta como individuos entonces Juan no quiere a sus amigos.
Luego, Juan tiene muchos amigos si los respeta como individuos.
6. Si un hombre comprende a los demás entonces es cristiano. Si es
cristiano entonces confía en su salvación. Si es cristiano entonces
si confía en su salvación entonces no sufrirá daño alguno. Confía
en su salvación y no sufrirá daño alguno. Luego, es cristiano y
comprende a los demás.
7. Si el limón es dulce y la naranja es agria, entonces mejor nos
comeremos una manzana y un helado de sandia. No es el caso
que si el limón es dulce entonces la naranja es agria entonces
nos comeremos una manzana. Por lo tanto, la naranja no es agria.
97
8. Si se requiere estudiar filosofía o historia, entonces todos los
programas de preparatoria deben de actualizarse. Se requiere
estudiar filosofía y se requiere estudiar historia. Por lo tanto,
todos los programas de preparatoria deben de actualizarse.
9. Si se desarrolla una escasez de empleos hay alza de precios. Si
hay un cambio en la política fiscal no surgirán nuevas empresas.
Si no hay desempleo no hay alza de precios. O hay un cambio en
la política fiscal o surgirán nuevas empresas. Por lo tanto, o no se
desarrolla una escasez de empleos o hay alza de precios.
10. Si o Jorge se inscribe o Raúl se inscribe entonces Ana no se
inscribe. O Ana se inscribe o Raúl se inscribe. Si o Raúl se
inscribe o Jorge no se inscribe entonces Jaime se inscribe. Jorge
se inscribe. Por lo tanto, o Jaime se inscribe o Raúl no se
inscribe.
11. Si estudio obtengo buenas calificaciones. Si no estudio no
apruebo el semestre. Por lo tanto,
u
obtengo
buenas
calificaciones, o no apruebo el semestre.
98
12. Si la economía permanece constante y el
empleo aumenta
entonces los salarios de los trabajadores se eleva. Si un aumento
en el empleo implica que se eleva el salario de los trabajadores
entonces
no habrá familias pobres.
La economía permanece
constante. Por lo tanto, no habrá familias pobres.
13. Si Sergio es elegido gobernador o ambos Luis y Juan son
elegidos diputados. Si o Sergio es elegido gobernador o Luis es
elegido diputado, entonces David presentará una protesta al
consejo electoral. Por lo tanto, o Juan es elegido diputado o
David presentará una protesta al consejo electoral.
14. Si se hace una buena campaña política entonces si el pueblo
asiste a votar entonces el diputado Pérez ganara las elecciones
para gobernador. Se hace una buena campaña, pero el diputado
Pérez no ganara las elecciones para gobernador. Por lo tanto, el
pueblo no asistió a votar.
15. Si dices la verdad, los hombres te odiarán, y si mientes, Dios te
odiará. Pero dirás la verdad o mentirás. Luego, los hombres te
odiarán o Dios te odiará.
16. Si Pedro recibió la invitación a la cena de Navidad, o bien se
vino en avión, o bien prefirió abordar un autobús. Pedro no se
99
vino en avión. Luego, si Pedro recibió la invitación a la cena
navideña, entonces decidió abordar el autobús.
17. Si Pedro recibió la invitación a la cena de Navidad, entonces tomó
el
avión
y estará aquí a mediodía. Pedro no tomó el avión.
Luego, Pedro no recibió la invitación a la cena de Navidad.
18. Si Ana recibió las flores, entonces o se las envío Luis o Daniel.
Ana recibió las flores. Luego, si Ana recibió las flores, entonces
no se las envío Daniel.
19. Si Juan consiguió el préstamo, entonces estuvo en la reunión con
el gerente, y si estuvo en la reunión con el gerente, entonces no
asistió a la cena con su esposa. Juan consiguió el préstamo o no
asistió a la cena con su esposa. Luego, Juan estuvo en la reunión
con el gerente.
20. Si Antonio asistió a la junta de su jefe, entonces, si quiere
conservar su trabajo hará los reportes financieros.
Antonio
quiere conservar su trabajo. Luego, Si Antonio asistió a la junta
de su jefe, entonces hará los reportes financieros.
21. Si Antonio asistió a la junta de su jefe, entonces, si quiere
conservar su trabajo hará los reportes financieros. Antonio hará
100
los reportes financieros. Luego, si Antonio asistió a la junta de su
jefe, entonces quiere conservar su trabajo.
22. Si Claudia estudió las ciencias biológicas, entonces, asistirá al
congreso nacional de microbiología y ofrecerá una ponencia
científica. Claudia no ofrecerá una ponencia científica. Luego, si
Claudia no estudió ciencias biológicas, entonces no asistirá al
congreso nacional de microbiología.
23. Si Claudia estudió las ciencias biológicas, entonces, o al
congreso nacional de microbiología o se quedará a impartir sus
cursos de biología. Claudia no se quedara a impartir sus cursos
de biología. Luego, si Claudia no asiste al congreso nacional de
microbiología, entonces no estudió ciencias biológicas.
24. O Roberto no tiene amigos en el sindicato o, si paga su cuota,
recibirá un ascenso. Roberto no recibirá un ascenso. Luego,
Roberto no tiene amigos en el sindicato o no paga su cuota.
25. O bien el gerente no observó
mi trabajo,
o
bien
esta de
acuerdo. Observó mi trabajo. De modo que esta de acuerdo.
101
26. El oxígeno del tubo, o bien se combinó con el filamento para un
compuesto, o bien se evaporó completamente. El oxígeno del
tubo no puede haberse evaporado completamente. Luego,
oxígeno
el
del tubo se combinó con el filamento para formar
compuesto.
EJERCICIOS No. 10
Utiliza tablas de verdad para determinar la validez o la
invalidez de cada uno de los siguientes argumentos.
1) {[A  ( ~B  C)]  (~A  C)}/(BA)
2) {[ M  ( N  S)]  [(S ~M)  (N M)]}/ [S  (~ N  M)]
3) {[(C D)  ( K D)] (C ~K)} /[( ~ C  ~D) K]
4) {[(A F) v (~T A)]  (~T  ~F)}/ [~A  (~H  A)]
5) {[X  (Z M)]  (Z ~X)}/ (~M ~ Z)
6) {[(G  N)  D]  ( ~D G)}/ [~N  ~(N  D)]
102
7) {[M  (F  E)]  [M v (F  ~ E)]}/ [( F  E) ~M]
8) {[(B R) (R C)]  ~B}/ [R  (B C)]
9) {[(W N)  (X N)]  ~(W  X)}/ (C N)
10) {{[A  ( B H)]  [(H ~A)  B]}  (H B)}/ (A ~B)
EJERCICIOS No. 11
Utiliza tablas de verdad para determinar la validez o la
invalidez de cada uno de los siguientes argumentos.
1) 1. [(V X)  (A  Z)]
2. (Z V)/ [(V X) v (Z X)]
2) 1. [(A  O)  ~ S]
2. (SM) / [~(O  ~S)(A  M)]
3) 1.[(K P)  T]
2. (T  M)/ (P  K)
103
4) 1. (A  X)
2. [(M  Z)  A]
3. X/ [(A  M) ~X]
5) 1. [H  (G  T)]
2. (T  M)/  [~(G  T) ~M]
6) 1. [A  (B  C)]
2. [(B  C) X] /  (A ~X)
7) 1. [~A  (~B  ~ C)]
2. (B  C) /  (A v T)
8) 1. (P  Q)
2. (Q  R)
3. P /  (R  ~W)
9) 1. [(X  M)  (X  T)]
2. (X  X) / [(M  T) v X]
10)1. [(X  M)  ~ S]
2. [S  (X  K)]
3. (X  S) /  (M  K)
104
11) 1. [(A  B)  (C  D)]
2. (B  D) / (A  C)
12) 1.( N B)
2. [N  (B  ~F)]
3. ~B /(~F  ~B)
13) 1. [(E  N)  (F  K)]
2. (N E)
3. E / (E  F)
14)1. (A C)
2. (C  B)
3. (B  F) / (A  F)
15) 1. [K  (D  ~A)]
2. [(D  A)  G]
3. K / G
105
16) 1. [(E  A)  A]
2. (E  G) / A
17) 1. (C  B)
2. (B  H)
3. [(C  H)  (B  M)]
4. [(C  M) K] / K
18) 1. (B  F)
2. (C  B)
3. [(H  B)  (M  F)]
4. [(~B  ~F)  (~C  ~H)] / [(~H  ~M)  (~C  ~B)]
19) 1. [(A  X)  (M  T)]
2. [(H i)  (i  A)] / [(A  T)  H]
20) 1. [W  (M  S)]
2. [(S  T)  (T  A)] / [A ( B  M)]
106
21) 1. [(M  D)  (K  R)]
2. (D  A) / [A  (S  W)]
22) 1. [(K  T)  (~M  ~T)]
2. [(H v i)  (i  T)] / [(K  T)  ( H  ~M)]
23) 1. {(~T  ~R)  [E  (M  ~K)]}
2. {(~T  ~D)  [(M  ~K)  Ñ]}
3. [(~T  ~D)  (~Ñ  E)] / (E Ñ)
24) 1. [K  (D A)]
2. [(D A)  G]
3. [(A  I)  ~B]
4.[~B  (D ~O)]
5. [~G  ~(D  ~O)] / [~K  ~(A  I)]
25) 1. [G  (X  N)]
2. [B  (X N)]
3. [(~G  ~B)  (~F ~C)]
4. [(~F  ~B)  (~C  ~H)]
5. [(M B)  (K  H)]
6. ~(X  N) / (~M ~K)
107