Análisis no lineal de secciones de CR en flexión y flexocompresión Ingeniería Civil, UAZ Diego Miramontes De León Introducción • Lecciones anteriores Charleston, SC, 1886 Tokio, Japón, 1923 Istambul, Turquía, 1999 ... revisar procedimientos, confirmar límites, mejorar predicciones Diego Miramontes De León Hipótesis básicas 1. La distribución de la deformación en el concreto, varía linealmente con la profundidad al eje neutro. 2. La deformación del acero es igual a la deformación en el concreto a nivel del refuerzo. 3. Los diagramas esfuerzo-deformación de los materiales son conocidos. 4. La falla ocurre cuando la deforma­ción en el concreto en la fibra a compresión máxima alcanza el valor de ε = 0.003 ? u 5. La deformación promedio en una ba­rra de acero no es notablemente diferente a la deformación máxima de esa barra. Diego Miramontes De León c = P/A (kg/cm 2 ) Comportamiento del concreto 400 P Área (A) 300 Acortamiento a 200 100 0 0.001 0.002 0.003 0.004 Deformación unitaria 0.005 P ε c = a/ Diego Miramontes De León Primeros modelos ’c 0.15 ’c Esfuerzo Lineal ( fc = f 'c 2 ⋅ ς − ς 2 Ec ) Donde ς = ε c /ε 'c ε 'c εc Deformación Ley de comportamiento monotónico del concreto de Hognestad (1951) Diego Miramontes De León Concreto confinado c Z= K c tg θ c c 0.5 c Concreto no confinado 0 ε 0.002 50v K 0.002 Concreto confinado ε 50h θ ε 50c εc Grafica representativa del concreto confinado (Kent y Park). Diego Miramontes De León Modelos cíclicos para concreto (εun, fun) .. . (εre, fre) . fc (εnew, fnew) . εplcr εc Curva cíclica (Sihna et al 1964) Envolvente numérica . (εcr, fcr) . εpl Modelo cíclico bajo envolvente monotónica Martínez Rueda (1997) (εf, ff) Diego Miramontes De León 2 s = (kg/cm ) Comportamiento del acero 10000 8000 6000 4000 2000 0 0.1 0.2 0.3 εs Curvas esfuerzo-deformación de aceros laminados en caliente para barras de refuerzo Diego Miramontes De León Modelos para acero fr esfuerzo esfuerzo fr fy εy εr deformación fy l3 l2 l4 l6 l5 l1 εy εu εr deformación Diego Miramontes De León Leyes de comportamiento εc ε c y e.n. f(y) dy fs f 't fs f 'c εs confinado f'c no confinado ε o ε co deformación εc u comportamiento del concreto fu esfuerzo esfuerzo b fy εy deformación εu comportamiento del acero Diego Miramontes De León Leyes adoptadas Concreto Acero Es fr esfuerzo esfuerzo f 'c ης f c = f c' η η − 1+ ς l3 l2 l4 l1 donde η = Ec / (Ec-Es) , ς = εc / ε'c Ec ε'c εc deformación Popovics (1973) k=1+ρ fy l6 l5 fyv f 'c (N-Nb) ξ =1 - 0.575 f´c Ag factor de confinamiento asv efecto de fuerza axial acc εy εu εr deformación multilineal Vasv ρ= Vacc s f 'cc = kξ f 'c Diego Miramontes De León Expresiones generales εc ε c y e.n. f(y) dy fs f 't fs f 'c εs b Vc = Volumen bajo la curva Hipótesis de Navier y= cε c ∫0 b f ( y ) dy εc Fuerzas internas : bc ε 2 Nc = f (ε ) dε ε c ε1 ∫ Mc = bc 2 ε 2 c ε2 ∫ε ε ⋅ f ( ε ) dε 1 Diego Miramontes De León Expresiones propuestas ' Reformulación ec. de Popovics : f ( y ) = f c yφ η ' εc yφ η η −1+ ' εc Fuerzas internas de compresión (b constante) N c = bφ ⋅ η E s c ∫0 y ⋅ dy φ ⋅ y η − 1 + ' εc η M c = bφ ⋅ η E s c ∫0 y 2 ⋅ dy φ ⋅ y η − 1 + ' εc η Fuerzas internas de tracción (b constante) cambiar ε'c por ε't, f 'c por f 't y Es = f 't / ε 't Diego Miramontes De León Integración numérica M c = bφ ⋅ E s ∫ Método de Gauss aux:=0;Mt:=0; M c = bφ ⋅ Es ∫ c c 0 η y 2 ⋅ dy φ ⋅ y η − 1 + ' εc η n Mc = ∫ f (x)dx= ∑wi f (χi ) b a i η y 2 ⋅ dy η 0 for j:=1 φ ⋅ y to 8 do η − 1 + ' begin εc aux:=ww[j]*exp(2*ln(aa+(bb-aa)*0.5*(xx[j]+1))); aux:=aux/(bta-1+exp(bta*ln((aa+(bb-aa)* 0.5*(xx[j]+1))*ro[i]/ept))); Mt:=Mt+aux end; Mt:=b*ro[i]*Es*(Mt*bta*(bb-aa)/2+(aa*aa*aa/3)) Diego Miramontes De León Agregando el acero Fuerzas internas de compresión (b constante) nρ bEs N= f c' d c ∫ 0 nρ bEs M= f c' d 2 ydy ρy n − 1+ ' ε c ∫ 0 n + ∑ y 2 dy ρy n − 1+ ' ε n + pi ε u (c − d i ) Ea f c' c ∑ pi ( ε u (c − d i ) ) (c − d i ) Ea f c' dc φ = ρ = εc c pi = Asi bd Diego Miramontes De León Centro de presión Dado que la posición del eje neutro cambia para cada nivel de carga, es preferible calcular la respuesta a partir de un punto fijo, éste será el Centro plástico ( ) 1 bh 2 f c' + ∑ Asi f y d i Yp = 2 bhf c' + ∑ Asi f y nρ bEs M= f c' d 2 c ∫ 0 (Y p − (c − y ) ) ydy ρy n − 1+ ' ε n + ∑ pi ( ε u (c − d i ) ) ( Y p − d i ) E a f c' dc φ = ρ = εc c pi = Asi bd Diego Miramontes De León Resultante de compresión Para simplificar la integral de M, puede calcularse la posición de la resultante de compresión y con ello determinar el momento : yc = Mc Nc _ y = c − yc nρ bE M = ' 2s fc d c ∫ 0 _ ydy (Y p − y ) + n ρy n − 1+ ' ε ∑ pi ( ε u (c − d i ) ) (Yp − d i ) Eai f ' c dc La integral es la misma que se tiene para la fuerza normal, por lo tanto ya no se necesita calcular en este paso. Diego Miramontes De León Algoritmo Propiedades geométricas materiales y fuerza axial N puntos a calc. k>4 1. εsp=εcu ; i=1 ε(d)=εsy c[i]=εsp(d) / (εsp+ εsy) *N b y t, y b k=1 + ρ (fyv/f'c) (N-Nb) ζ =1 - 0.575 f´c Ag c1 = 0; c2 = h; iteración i i=i+1 c[i]=(c1+c2)/2 2. εin=εcr εsp = c[i](εcr) / (h + c[i]) 3. ε(d)=εsy εsp = c[i] (εd) / (d + c[i]) 4. εsp=εcu 5. εsp=εcu + 0.0001 * C = ∫ Ncc + Nasc T = ∫ Nct + Nast εd(i) = (εsp) (d(i) + c[i]) / c[i] C+T>N c2 = c[i] C+T<N c1 = c[i] C+T=N Mk, φk i=1, k=k+1 Diego Miramontes De León Validación 1. Efecto de la fuerza axial en la relación M-φ 2. Comparación entre diferentes resultados numéricos 3. Comparación de resultados numéricos / experimentales Envolvente para una columna con concreto de alta resistencia Envolventes para elementos sujetos a fuerza axial elevada Diego Miramontes De León Efecto de fuerza axial 8 6 350 4 300 2 0 -2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Momento kN-m x 102 5 Momento kN-m Fuerza normal kNx103 10 250 200 150 400 Eφ 10mm @ 80mm 100 N<Nb N>Nb N>>Nb aumento de resistencia reducción importante de la ductilidad reducción drástica de resistencia y ductilidad N (kN) 12 φ 20mm 50 00 f'c = 40 Mpa fy = 400 Mpa 400 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 0 500 1000 2000 3000 4000 8.0 9.0 Curvatura m-1 X10-3 Diego Miramontes De León Resultados numéricos 3 3φ16 30 f'c = 30 Mpa, fy = 513 Mpa, fu = 640 Mpa 3φ16 30 250 140 200 Momento kN-m Momento kN-m 120 100 80 60 N / Nu = 0.1 análisis propuesto 40 Manfredi & Pecce 20 150 100 N / Nu = 0.4 análisis propuesto 50 Manfredi & Pecce 0 0 0.05 0.1 1.5 2.0 2.5 -1 Curvatura (m X 10-2 ) 3.0 3.5 0 0 0.05 0.1 1.5 2.0 -1 -2 Curvatura (m X 10 ) 2.5 Diego Miramontes De León Concreto de alta resistencia Comparación envolvente numérica / experimental 150 A N N Eφ8@50 A 150 500 50 250 50 Sección AA 150 7 CEB Análisis propuesto 6 100 5 Momento kN-m Fuerza Normal kN x 103 f'c = 80 Mpa fy = 531 Mpa fu = 641 Mpa N=1000kN 250 Eφ10 @150 1030 Alta resistencia 4 3 2 50 0 -50 Experimental Galeota et al. Análisis propuesto 1 -100 0 -1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Momento kN-m -150 -2 -1.5 -1 -0.05 0 0.05 1 Curvatura (m-1 ) x 10-2 1.5 2 2.5 Diego Miramontes De León Fuerza axial elevada 5 Fuerza normal kN x 103 4 3 0.74Nu 0.61Nu 2 1 0 Especímen A-3 -1 -2 -2.5 Especímen E-13 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Momento kN-m x 10 2 250 180 160 140 Momento (kN-m) Momento kN-m 200 150 N=0.61 f 'c.Ag 100 A-3 Experimento Kent-Park Mander Sheikh-Uzumeri propuesto 50 120 100 N=0.74 f 'c.Ag 80 E-13 Experimento Mander Kent-Park Sheikh-Uzumeri propuesto 60 40 20 0 0 0 0.05 1.0 1.5 Curvatura m-1 x10-1 2.0 2.5 3.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Curvatura m x 10 -1 1.2 1.4 1.6 -1 Diego Miramontes De León Ejemplos en tiempo real 3 3φ16 30 Dasba : Datos para el análisis de secciones en concreto armado 3φ16 30 Asba : Análisis de secciones en concreto armado India : Interaction Diagram Diego Miramontes De León Diagramas de interacción 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 -200 -400 -4000 800 normal force (kN) normal force (kN) Respuestas de secciones simétricas y asimétricas -2000 0 2000 moment (kN-cm) 4000 600 400 200 0 -200 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 moment (kN-cm) Diego Miramontes De León Modelos en variables globales Así como se han utilizado las relaciones deformación-esfuerzo del concreto y del acero, es posible utilizar respuestas integradas, por ejemplo momento curvatura. Además es posible incluir el comportamiento sísmico o cíclico en el análisis Diego Miramontes De León Modelos cíclicos F Y+ f y+ c a b Ky f y+ Ky F Um + Y + f cr D α k' D D f cr Ky Y f y- - Clough (1966) M 4+ + 4 3- 2- 5- Y - x3 - boucle R3 f yR2 Um ' 1+ + 5 3+ + 5 3+ + (c + p ,mp) φ M -y RoufaielMeyer (1987) + (c + m,mm ) e i2+ e i1+ 1 e i+ 5 e i+ 4 44- m+ y,o m+ y m+ c e i3- e i4- e i5e i1- e i2- de faible amplitude Takeda et al (1970) m 2+ M+ y 3- k' F d e i3+ e i3+ c e io m-y m-y,o - m(s) m-c Mork (1994) Diego Miramontes De León Modelo propuesto phenomena - cracking -yield of steel -crushing strain -constant normal force -implicit shear force -degradation process -energy dissipation φ x- φ uFUL _ αk o- M+ u M+ y + M cr p + 1+ 6+ 73- k oy - + 4+ fx 1 3+ 2+ φ -y p - αk- k oy R+c 7+ FUL + 5+ 6- φ+ y M -cr M -y M -u D+p αk+o (1998) φ+ x1 αk+ + φ+ u φ x2 + β φ x1 D c= cyclic strength deterioration D = post-peak p strength reduction p = pinching (Mp , φp) FUL = first unloading limit Diego Miramontes De León Respuesta global cíclica 2.5E+04 2.0E+04 Diagrama momento curvatura 1.5E+04 1.0E+04 5.0E+03 0.0E+00 0.E+00 5.E-04 1.E-03 2.E-03 2.E-03 3.E-03 3.E-03 4.E-03 Respuesta cíclica integrada programas : ancis o cyclique (fortran) 2.5E+04 2.0E+04 1.5E+04 1.0E+04 5.0E+03 0.0E+00 -5.0E+03 -1.0E+04 -1.5E+04 -2.0E+04 -2.5E+04 -1.E-03 -5.E-04 0.E+00 5.E-04 1.E-03 Diego Miramontes De León Conclusiones y perspectivas Conclusiones 1. grandes deformaciones 2. predicción aceptable 3. análisis realizable análisis no lineal incluir comportamiento de materiales herramientas actuales Z Perspectivas : Expresiones para b, facilitan el análisis en biflexión b' a c β y+ Y e.n. a yb' b' 1 2 3 b Diego Miramontes De León Sección b variable b' y c α r y c y Circular a) b'= w c h h a) Trapecial b' w b b' b) b ( r − c) + y b'= 2r sencos −1 r (b − w) [h − c + y ]+ w h b) b'= (b − w) c − y ]+ w [ h Diego Miramontes De León Diego Miramontes De León Diego Miramontes De León