(1981) page, 162 - 170 -20 3/ 2 6,67 x 10 km kg.seg .

Boletin ds Matematioas
Vol. XV ,No.3,
(1981) page, 162 - 170
DE COMO SE CALCULA EL RADIO
DE UN HUECO NEGRO
Ra.m6n FANDINO
ARBELAEZ
Can eate artioulo pretendemos moatrar una ap1icaci6n elemental de las ecuaciones diferenoiales.
por 1a ley de la gravitaci6n universal de Newton,
lOB ouerpos
se atraen can una fuerza directamente
Sabem08,
que
propor-
oional a1 produoto de las maeas e in ersamente proporoional a1 ouadrado de la distanoia centro a centro que separa dichos ouerpos
•
La expreai6n matem~tioa de dicha fuerza as :
G
es 1a constanta de Cavendish,
su valor ss
6,67 x 10-20km3/kg.seg2 .
Las masas
tancia
r
m
en metros
y
M
ae dan en ki1ogramos y 1& dis
•
De tal manera que una m&s&
•
en 1& veoindad d.
otra mAs grande
oional
M
(gravedad)
del cuerpo de masa
estA sometida a una aceleraci6n gravit~
V
la velocidad inicial
M
R
es &qui el radio
M.
En primer lugar
m
a.M/R2•
g - F/m -
estamoB interesados en averiguar
que hay que imprimirle a una mass
o
para que ~sta escape a la acci6n gravitacional de ls masa
0
sea nos intaresa la velocidad de esoape.
que ~eta depende de
M
y de
R
mae no de
m,
Veremoe
ssto quie-
re decir que cada cuerpo celeste tiene su propia velocidad
de escape •
Luego,
como corolario de nueetra primera inquie-
tud averiguaremos el radio de un
RUECO NEGRO •
QUE ES UN HUECO NEGRO ?
Teoricamente
se establecio la posi-
bilidad de unos cuerpos celestes cuya ooncentraoi6n de maea
6S tan formidable que ni siquiera la luz puede esoapar de
1& aooi6n gravitaoional de &St08,
C08
negroe.
te de rotones,
de
&hi el nombre de hue
(Ueando 81 modelo donde la luz,
oo~o paque-
tiene masa) •
·La genesis de estos ouerpos no e.t~ oomprobada pero
pareo. eer que debido a
aft
oolap8o gravitaoional
(algo as1
163
aomo un edificio que por su propio peso se desploma),
un eapacio relativamente pequeno
en
(400 metros de radio) ,
se conoentra una rnasaequivalente a la de nuestro
Por su misma aonfiguracion y definici6n,
801
•
en el
campo de aoci6n de un hueco negro neceaariamemte existe el
vac10 absoluto igual al vac10 que existe dentro de un Atomo,
entre las particulas oonstitutivas de ~ate.
En
e-
cualquier ouerpo que se &cerque al campo de ao-
feoto
aion del hueco negro es irremisiblemente aapirado por eate
tal como el agua que se escurre por un sumidero • ( a los
hueoos negroe tambi~n los llaman sumideros) •
........
-c..l;"'.~~,
CorrII'"
Oe oc
<.., 6n
1
o
~
5,...",~ ..
\"'.
~\ _.
figura
1
a.L~
"'*3~O
VELOCIDAD DE ESCAPE
Ahora oonseguiremos una expresion para
la velooidad de escape •
Consideremos la figura r
figura
La masa
V
o
Sea
6
m
2
se lanza con una velocidad inicial
la aoeleraci6n del movimiento ascenaional •
Claramente
o • oCr) ..
Antes del movirnlento,
repose yr·
la masa se encuentra en
R (h. 0)
.-. - ~.
Luego
6(R) • - g
Luego
dv
6(r) • dt
.L
,
de donde
d2r
d~2
,
la "oeleraoi6n
M
G -.
R2
R2
r2
negatiTa pues 1a va 1001'd-~
au
R2
V
•• decreoi.nt ••
l{ •
-
g R2
6
Eete
e.
00-
nocido problema de eouaoiones diferenoiales tiene la Bo1uoi6n siguiente
I
v2. ~ r
+
Para que,
masa
m
v20 -
2gR
despu~6 del 1anzamiento vertical,
la
no regrese y por oonsiguiente oontinue eu movimie~
I
to asoenciona1
0
sea escape a 1& aoci6n gravitaoional de
se requiere que su velocidad
V
M,
no se anu1e y para ~sto ,
2
basta que
~
- 2gR ~ 0
vo
Sa puede pues tomar
como para que
tante
y2 o
~
ya que
2gR > 0 ,
-
propiaa del ouerpo
r
> 0
para t odo
r.
10 aufioientemente grande
ya que
g
Y
Bon oone-
R
M.
vo
Por oonsiguiente 1& ve100idad inioial
oidad de escape debe Ber del orden
Como ae puede obaervar,
vo
> 12gR
-
6 vela-
•
~Bt8 no depende de
m.
En e1 oaso de 1a Tierra y ain tener en ouenta 1a
resi t noia que 81 aire opons al movimiento de 108 ouerpos,
tenem08
I
V
o
> f2 x 9,81 m/8eg2 x 6.367.600. ; 11,2 kmja.g
Quiere deair ~eto,
que ai lanzamos verticalmente
un cuerpo oon una velooid&d inioial de por 10 menoa
166
11,2
tal... ,
(A titulo de oom~ raoi6n
'.te nunoa regr••ar'.
reoord.mo. que 1a ve100idad de una b&l~ de fueil e
den de
km/..g.)
0,8
EL RADIO
del or
0
DE UN HUECO NEGRO
Teniendo en ouenta 1a definici6n
d•• atoe ouerpoe y eabiendo que
lus (0
aproximadamente
8S
0
300.000 km/seg) ,
de acuerdo al desarrollo anterior
< 2gR
I
R
(velocidad de escape).
-+R>
0
-
2g
,
y oomo
tenemoe
tenemos,
2
.... c2
o < 'f2gR.
es 1a ve100idad de 1a
>
De donde
I
R
<
2 GM.
2
0
Exp1ioamos en seguida este resultado
3i una masa
M
I
logra concentrarBe en un cuerpo
2GoM/c2,
esferico de radio manor qua
Be configura un
hue co negro •
A titulo de ejemplo
la Tierra
(globo terraqueo)
I
3i se pudiera comprimir
al tamano de una esfera
9 m. de radio,
de
~sta serla un hueoo negro •
En efeoto s
R
<
3/
2 x 6,61 x 10-20 kmkg
seg 2 x 6,01
•
(300.000 km/sag)2
8,9970888 x 10-6 kID
R
<
Radio Tierra
•
6.367,6 km
Masa Tierra
•
6,07 x 1024 kg •
9 mm
Un hueco negro con una masa equivalente a 1a de
nuestro Sol
(4°.000
radio de· 360
695.5°0
km)
metros.
•
veC8S la de 1a Tierra)
tendr!a un
(El sol tiene un radio de
GENESIS
DE UN HUECO NEGRO
I
MA.:3A = 40.000
MASA TIERRA
SOL
•
695-500
SE COfiJ.PRI ME
(MILES
RADIO
J.
ENANA
MASA SOL
BLANCA
RADIO
SE COMPRIME
J.
ESTRELLA
DE ANOS)
TIERRA
(MILES
DE ANOS)
MASA SOL
NEUTRONICA
l
• RADIO
k:m
RADIO
= 15
km
SB COMPRIME
HUECO
fvf.ASA SOL
NEGRO
RADIO
•
360 m
BIBLIOGRAFIA
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Editorial Mir.
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Leoturae eue1ta8
Soienoe
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I
MOBou •
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Diver.as
Soientifio
revietas
Amerioan
, Cimpeo ~•
169
am6n F ANDINO ARBELAEZ
Depart mento de Matemltioa.
Univer idad Naoional
Bogot' - Colombia
•