Notas sobre el Demonio de Maxwell

NOTAS SOBRE EL DEMONIO DE MAXWELL
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Notas sobre el Demonio de Maxwell
Jaime Romero, 10 de Diciembre de 2004
Universidad de Chile, Facultad de Ciencias, Departamento de Fı́sica, Termodinámica
Resumen—El proposito de este trabajo es entregar una visión general sobre el Demonio de
Maxwell. Primero se verán algunas consideraciones
históricas, sus caracterı́sticas, como trabaja, etc.
Luego las implicancias de las leyes de la termodinámica en su funcionamiento. También se explicará el modelo propuesto por Szilard y como salva
a la segunda ley, luego el exorcismo practicado por
Brillouin quien asume que se usan señales de luz
como vehı́culo para que el demonio reuna información y que esto produce un aumento en la entropı́a,
por lo que no se viola la segunda ley. Despues se
revisará la solución propuesta por Bennett, basada
en el principio de Landauer, donde el hecho clave
que salva a la segunda ley es borrar la memoria
del demonio. Finalmente se mencionará una situación, en el campo de la mecánica cuántica, donde
el Principio de Landauer y la segunda ley son violadas. Para un tratamiento más completo de este
tema se recomienda Maxwell’s Demon 2 [1].
I. Introducción
L
A Segunda Ley de la Termodinámica establece que para disminuir la entropı́a de un sistema, un reservorio debe “pagar” por esa disminución y aumentar su propia entropı́a. Esto,
por ejemplo, imposibilita la producción infinita de
energı́a o trabajo. Sin embargo, uno de los fundadores de la termodinámica, Maxwell, ideó un simple e ingenioso “gedankenexperiment”: El llamado
Demonio de Maxwell. ¿ Su objetivo ? Ilustrar limitaciones de la segunda ley. Desde su creación varias teorias han tratado de explicar donde está la
falla en el funcionamiento del demonio, saliéndose
del ámbito de la fı́sica y abarcando temas como
teorı́a de información, computación, cibernética y
economı́a. Se ha dado solución al problema del demonio en 3 ocasiones, las primeras 2 fueron relativamente parecidas, mientras que la última (y más
aceptada) introdujo conceptos totalmente distintos.
II. Sobre el Demonio de Maxwell
El demonio apareció por primera vez en 1871, en
el libro “Theory of Heat”, de J.C.Maxwell, bajo
la sección “Limitación de la Segunda Ley de la
Termodinámica” , como un experimento pensado
para ilustrar las limitaciones de la segunda ley,
enfatizando que es un principio estadı́stico, que se
cumple casi siempre en un sistema compuesto de
muchas particulas. El experimento concebido por
Maxwell se puede resumir asi:
Supongamos que tenemos un recipiente con muchas moléculas, a distintas velocidades, moviendose en todas direcciones. Ahora supongamos que dividimos el recipiente mediante una pared delgada
que tiene un pequeño agujero en su interior y que
hay un ser, diminuto, que abre y cierra el agujero,
dejando pasar las moleculas más rápidas hacia un
lado y las más lentas hacia el otro. Haciendo sólo
esto, él logrará elevar la temperatura de un lado
y bajar la del otro, sin efectuar trabajo, violando
ası́ la segunda ley de la termodinámica.
El nombre de “Demonio de Maxwell” fue puesto
por William Thomson en 1874 [2] en su artı́culo
Kinetic Theory of the Dissipation of Energy.
Cuando Maxwell le dio vida a su demonio no
fue muy especı́fico sobre como éste debı́a operar
ni cuales debian ser sus objeticos especı́ficos, de
aquı́ que salieran 2 tipos de demonios y varios
métodos mediante los cuales podı́a detectar a las
moléculas que debı́a dejar o no pasar.
El demonio original es un demonio de temperatura, que actúa en un sistema aislado termicamente y que crea una diferencia de temperaturas
sin efectuar trabajo. Otro tipo de demonio es el de
presión, que es más simple y que solo deja pasar
hacia un lado u otro a las partı́culas que van en
una u otra dirección, respectivamente; es decir, no
es nada más que una válvula.
Sobre los métodos de detección que tendrı́a un
demonio, se han ideado varios, desde el uso de
señales de luz, momentos magnéticos, efecto Doppler y métodos mecanicos. Algo a tener en cuenta
es que el uso de seales de luz es restrictivo, por
razones que se explicarán más adelante.
Como el demonio no debe aumentar la entropı́a
del sistema, lo que realmente importa es preguntarse si es que las mediciones deben ser necesaria-
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NOTAS SOBRE EL DEMONIO DE MAXWELL
mente irreversibles.
Un demonio de temperatura debe ser capaz
de detectar velocidades individuales dentro de un
gas, y hasta el momento no se conoce ningún dispositivo que sea capaz de lograr esto con un gasto
mı́nimo de trabajo y con un mı́nimo de disipación.
Como ya se dijo, para que un demonio opere
exitosamente, no debe aumentar la entropı́a del
sistema (no se debe producir un proceso irreversible). Debido a esto el demonio debe estar en equilibrio térmico con el gas en el que está inserto.
Si un demonio usa señales de luz como método para recibir la información de las moléculas,
empieza a recibir energı́a y eleva su temperatura,
teniendo que transferir el calor a alguna otra parte
(un reservorio, el exterior, etc.). De todas formas
asumir que el demonio elimina el exceso de energı́a
a un reservorio va en contra de la hipotesis de un
sistema aislado y en todo caso, esto no vioları́a la
segunda ley.
Smoluchowski fue el primero en hacer notar este
hecho, pero dejo la puerta abierta a la posibilidad
de que tal vez ser inteligente fuera capaz de operar
una maquina de movimiento perpetuo evitando
estas fluctuaciones.
III. El demonio y la primera y segunda
ley
bote su exceso de entropı́a y necesitamos también
una fuente de trabajo, que le entregue energı́a al
demonio a entropı́a constante. Resumiendo, las 2
primeras leyes de la termodinámica aseguran que:
1. La entropı́a del demonio se incrementa
cuando disminuye la entropı́a del gas.
2. No puede ser reseteado sin intercambiar
energı́a con fuentes externas.
3. El reseteo lleva a un intercambio de energı́a
entre una fuente de energı́a a un reservorio
(fuente de energia → demonio → reservorio)
Veamos ahora a un demomio de presión, que
opera en un proceso cı́clico, con un gas ideal en un
recipiente a temperatura constante (usando un reservorio térmico), dividido en 2 partes en el centro
por una pared movible. Definimos el proceso:
1. Inicialmente el gas esta en equilibrio, luego
el demonio disminuye la entropı́a del gas a
temperatura y energı́a fija, produciendo un
gradiente de presión y densidad.
2. El gas vuelve al equilibrio, haciendo trabajo
(isotérmico y reversible) sobre una carga mediante la pared movil. La pared se saca y se
vuelve a dejar en el centro.
3. Se resetea al demonio.
Durante el proceso la carga gana energı́a, la primera ley dice que esa energı́a tiene que venir de alguna parte. Del reservorio no podrı́a venir porque
si asi fuera, la entropı́a del universo disminuirı́a
cada vez que se hace el proceso, violando la segunda ley. En (3) se requiere una fuente de trabajo,
que es la que le proporciona energı́a a la carga.
En (1), la entropı́a del demonio se incrementa debido a la disminución en la entropı́a del gas. En
(2) el gas hace trabajo sobre la carga, induciendo un flujo de calor Q = W desde el reservorio al
gas; el trabajo hecho sobre la carga es compensado por la disminución en la energı́a y entropı́a
del reservorio. Aquı́ el incremento en la entropı́a
del demonio compensa la disminución en la entropı́a del reservorio, manteniendo la segunda ley.
Cuando el demonio se resetea en (3), intercambia
energı́a con la fuente de trabajo (que hace trabajo
E sobre el demonio) y con el reservorio (donde el
demonio bota calor).
Veamos que pasa con las primeras 2 leyes de
la Termodinámica cuando opera un demonio de
temperatura.
La segunda ley exige que la entropı́a del demonio se incremente en una cantidad mayor o
igual a la disminución en la entropı́a del gas.
La primera ley implica que las energı́as del
demonio y del gas no deben cambiar (sistema
aislado)
Por lo tanto, el demonio debe aumentar su entropı́a manteniendo la energı́a fija. Pero si el demonio continua aumentando su entropı́a infinitamente, va a llegar un momento en que va a ser incapaz
de llevar a cabo sus tareas (sa va a volver muy desordenado). Una solución a esto es “resetearlo”,
volverlo a su estado inicial. Esto por 2 razones:
la mencionada anteriormente, y para hacer más
facil el analisis, concentrandose en el gas y no en
IV. El clasico de Szilard
el demonio (obviamente, este reseteo del demonio
En 1929 Leo Szilard [3] publicó un artı́culo lladebe hacerse sin afectar al gas). Necesitamos entonces un reservorio de calor para que el demonio mado On the decrease of entropy in a thermo-
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dinamic system by the intervention of intelligent
beings donde desarrolla la tesis de un “perpetuum
mobile” (maquina de movimiento perpetuo) del
segundo tipo (que usa calor a la más baja temperatura). El modelo propuesto por Szilard consiste
en un volumen V donde hay sólo una partı́cula.
Luego, se divide el volumen V en 2 subvolumenes iguales V1 y V2 . En este momento interviene el ser inteligente, ya que él determina donde
está la partı́cula, si a la derecha (V1 ) o a la izquierda (V2 ) y graba ese resultado. Supongamos
que la partı́cula está en la partición de la derecha. Como se sabe donde está la partı́cula, se usa
esta información para cambiar la división por un
pistón y dejar que el gas haga un trabajo W sobre
la carga del pistón, restaurando el volumen inical V . El trabajo necesario para mover el pistón
es entregado por un reservorio en forma de calor a la molécula de gas, Q = W . Si nos damos
cuenta, despues de que termina el proceso, aparentemente se ha violado la segunda ley, ya que
el reservorio entregó calor, disminuyendo su entropı́a. Luego Szilard asume que a una medición
está asociada una cierta producción promedio de
entropı́a, que restaura la entropı́a disminuida por
el demonio, salvando la segunda ley. Luego identifica y demuestra que esta cantidad fundamental
es k ln 2. La principal crı́tica a la hipótesis de Szilard, es la que dice que la entropı́a es una cantidad
medible que no depende del conocimiento o desconocimiento que tenga el observador del sistema.
De todas formas, el trabajo de Szilard fue pionero
en temas como teoria de información, cibernética
y computación.
V. Solución por Brillouin
En 1940 se sabı́a que se necesitaba una lampara de alta temperatura para que el demonio pudiera distinguir las señales de luz de las señales
producidas por la radiación de cuerpo negro. En
1951 Leon Brillouin [4], asumiendo lo último, y
usando la naturaleza cuántica de la radiación, demostró explicitamente que la entropı́a que gana
el demonio era suficiente para salvar a la segunda ley. En 1949 Shannon introdujo una función
llamada Entropı́a de Información; Brillouin relacionó este concepto con la entropı́a termodinámica. Veamos en que consiste esto: Digamos que P0
es el número total de estados posibles de un siste-
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ma y que no sabemos en que estado se encuentra
el sistema actualmente. Entonces la información
que tenemos es I0 = 0. Si ahora efectuamos mediciones y reducimos el número de estados posibles
a P1 , la información que tenemos ahora se define como I1 ≡ K0 ln(P0 /P1 ), con K0 una constante positiva. Si P1 > P0 , I1 < 0, estamos diciendo
que se pierde información. Después, en su libro
de 1956, Science and Information Theory [5], va
más allá en su teorı́a, y distingue 2 tipos de información: información libre (free information) If
que es la que no tiene importancia termodinámica, como por ejemplo, el conocimiento que puede
tener una persona. Por otro lado, está la “bound
information”, Ib definida en función de los estados
posibles de un sistema. El conocimiento de la persona se puede convertir en “bound information”
cuando se transmite a través de alguna señal fisica. Luego, relacionó cambios en la información Ib
con cambios en la entropı́a de la siguiente manera:
Ib1 − Ib0 ≡ k(ln P0 − ln P1 ) = S0 − S1 > 0
Como podemos ver, esto dice que si ganamos información sobre un sistema termodinámico, hacemos disminuir la entropı́a. Luego Brillouin definiı́o
la “negentropı́a” ≡ N ≡ -(entropı́a), por lo que
4N = −4S. Luego relacionó estos resultados con
un sistema aislado, con una entropı́a S1 = S0 −Ib1 ,
como arriba, por lo que tenemos
4S1 = 4S0 − 4Ib1 = −4N0 − 4Ib1 ≥ 0
o más claramente
(4N0 + 4Ib1 ) ≤ 0
es decir, la cantidad negentropı́a más información no se incrementa y en un proceso reversible
es fija. Esto último es una nueva interpretación
de la segunda ley de la termodinámica. Con estos
reultados Brillouin exorcisó al demonio. Al igual
que con el trabajo de Szilard, hubo variadas reacciones: esta reinterpretación de la segunda ley fue
aceptada por algunos y rechazada por otros, la
principal crı́tica fue que la entropı́a no es subjetiva, no depende del observador.
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VI. Bennett, Landauer, y el Demonio
VIII. Conclusión
En 1961 Landauer dio a conocer un artı́culo [6]
donde desarrolla lo que hoy se conoce como el
Principio de Landauer, que dice basicamente que
cuando se borra un bit de información, se aumenta la entropı́a del ambiente en por lo menos k ln 2.
Si recordamos el modelo de Szilard, lo que salvaba a la segunda ley era que la disminución de
la entropı́a del reservorio era compensada por el
aumento de la entropı́a debido a las mediciones
hechas por el demonio; en un artı́culo publicado
en 1973 Charles Bennett argumentó que las mediciones no aumentan la entropı́a ya que pueden ser
hechas de tal forma que la dispacion de calor sea
arbitrariamente pequeña. ¿ Quiere decir esto que
la segunda ley se rompe en el modelo de Szilard ?
No, porque recordemos que era deseable borrar la
memoria del demonio y este acto es el que salva
la segunda ley, ya que según el Principio de Landauer, cuando se borra la memoria del demonio
se aumenta la entropı́a del reservorio. Bennett en
1982 demostró que las 2 cantidades se compensaban, por lo que la segunda ley permanece incólume. Para terminar, el Principio de Landauer ha
sido demostrado por otros autores (Shizume [7] y
Piechocinska [8]), clásica y cuánticamente y esas
demostraciones sugieren que su validez es universal, cosa que no es cierta bajo ciertas condiciones
extremas en el dominio cuántico.
En este trabajo se ha pretendido mostrar la evolución del demonio de Maxwell, desde que fuera
creado para ilustrar las limitaciones de la segunda ley, hasta ahora. Aunque la solución propuesta
por Bennett es ampliamente aceptada, todavı́a no
se ha dicho la última palabra, especialmente en
el campo cuántico. Por otro lado están naciendo
nuevas aplicaciones para el puzzle del demonio de
Maxwell, como en la termodinámica de agujeros
negros y tambien en economı́a, estudiando la eficiencia de mercados. En resumen, el exorcismo del
demonio todavı́a no es definitivo, por lo que continuará siendo buscada una solución satisfactoria.
VII. Cuando la Segunda Ley se rompe
Como mencionamos arriba, el principio de Landauer y la segunda ley pueden romperse en dominios cuánticos debido a un “quantum entanglement” entre el sistema y el reservorio. Explicar detalladamente en que consiste este fenómeno escapa totalmente a los propósitos de este ensayo, pero se puede dar una idea general de lo
que significa. “ Quantum Entanglement” se puede traducir como “enredo cuántico” y es lo que
ocurre cuando no se puede analizar por separado al sistema y al reservorio, es decir, pasan a
formar un solo sistema. Acá ocurren cosas como:
energı́a(sistema + reservorio) 6= energı́a(sistema)
+ energı́a(reservorio). Allahverdyan y Nieuwenhuizen muestran que a temperaturas suficientemente bajas, el sistema tiene dQ > 0 y dS < 0,
violando asi la segunda ley y también el Principio
de Landauer.
Referencias
[1] Leff, H., & Rex, A., Maxwell’s Demon 2: Entropy, Classical and Quantum Information, Computation, Institute of
Physics Publishing, Bristol, Inglaterra, 2003.
[2] Thomson, W., Kinetic Theory of the Dissipation of Energy,
Nature 9, (441-444), 1874.
[3] Szilard, L., On the decrease of entropy in a thermodinamic
system by intellgent beings, Zeitschrift fur physik, (53, 840856), 1929.
[4] Brillouin, L., Maxwell’s Demon cannot operate: Information
and Entropy. I, J. Appl. Phys, (22, 334-337), 1951a.
[5] Brillouin, L., Science and Information Theory, Second Edition., New York: Academic Press, 1962.
[6] Landauer, R., Irreversibility and heat generation in the computing process., IBM J. Res. Dev, (5, 183-191), 1961.
[7] Shizume, K., Heat generation required by erasure., Phys.
Rev. E, (52, 3495-3499), 1995.
[8] Piechocinska, B., Information Erasure., Phys. Rev. A, 61
(Article 62314), 1- 9, 2000.