UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS AGRICOLA, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE ECAPMA ESPECIALIZACIÓN EN NUTRICIÓN ANIMAL SOSTENIBLE Nombre del Curso: Diseño Experimental Avanzado Código: 300001 NIDIA ELIZABETH CARREÑO GONZÁLEZ (Director Nacional) Abril de 2014 1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL El contenido didáctico a estudiar en este documento, corresponde al diseño de cuadrado latino. El material fue elaborado por los profesores Hernán Collazos, Zootecnista Msc y el profesor Jairo Granados Msc, en BIOESTADISTICA Y DISEÑO EXPERIMENTAL PARA CIENCIAS AGRARIAS en el año 2008. El material fue adaptado y ajustado por los profesores Nidia Carreño Msc y Jairo Granados Msc en 2014. La versión del contenido didáctico que actualmente se presenta tiene como características el ajuste a los lineamientos dados por la universidad para el material de soporte para los cursos de la modalidad virtual. 2 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado 2.3. Diseño en Cuadro latino 2.31. Características. Este diseño se utiliza para conducir experimentos en condiciones heterogéneas donde las propiedades cambian en dos direcciones como ocurre en la toma de muestras para análisis de laboratorio o como cuando las condiciones cambian entre planta y planta (una dirección) y de hoja a hoja por tamaño o posición en la misma planta (otra dirección). En otras palabras, una de las fuentes de variación se elimina conformando bloques horizontales y la otra fuente de variación formando bloques verticales. También puede decirse que es un diseño con doble restricción. Este diseño es muy eficaz cuando el número de tratamientos esta entre 4 y 10 y se conoce la variabilidad en dos sentidos perpendiculares, por lo cual es muy deseable reducir o controlar el efecto de dicha variabilidad para disminuir el valor del error experimental. Otros autores mencionan que este diseño generalmente se utiliza cuando el número de tratamientos es de 4 a 8. Cuando el número es mayor de 8, el diseño puede resultar antieconómico por el elevado número de unidades experimentales requeridas para el ensayo. Por otra parte, los cuadrados latinos pequeños proporcionan pocos grados de libertad para estimar el error experimental y por lo tanto para que el diseño sea justificable se debe lograr una disminución sustancial del error que compense los escasos grados de libertad. Así, si se usa un cuadrado latino con dos tratamientos, no existen grados de libertad para el error, con tres tratamientos se obtienen 2 grados de libertad, con 4 tratamientos se obtendrán 6 grados de libertad, para el error. En el caso de 3 o 4 tratamientos es posible replicar el cuadrado latino dos o más veces con el fin de aumentar los grados de libertad del error. En este diseño la restricción para controlar la variabilidad esta en dos direcciones: hileras y columnas. Como es un diseño de agrupamiento doble, se disponen los tratamientos e dos maneras diferentes, por filas o hileras y por columnas. Para cuatro tratamientos la disposición puede ser: 3 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria A D C B C A Curso: Diseño experimental avanzado B D D A B C C B D A Cada tratamiento se presenta una y solo una vez en cada fila y columna; cada fila así como cada columna, es un bloque completo. Mediante un análisis apropiado, es posible eliminar del error la variabilidad debida a diferencias tanto en filas como en columnas. El número de unidades experimentales es un cuadrado perfecto del número de tratamientos. Ventajas del diseño: a. Controla las fuentes de variación en las dos direcciones: hileras y columnas, es decir extrae del error experimental la variación debida a tratamientos, hileras y columnas. b. Si se emplea adecuadamente se logra mayor precisión que los diseños completamente al azar y bloques al azar, puesto que se controlan dos fuentes de variación en las unidades experimentales, lo cual disminuye el error. c. Si se pierde completamente una hilera o una columna, el diseño puede analizarse como bloque completo randomizado. En caso de que se pierda una o varias unidades experimentales del mismo tratamiento o de distintos tratamientos, sus valores pueden ser estimados en función de las unidades restantes sin que el análisis de varianza sufra complicaciones. Desventajas a. Se pierden grados de libertad en el error experimental, sacrificando la precisión del diseño experimental. b. Debido a que el número de hileras y columnas debe ser igual al de tratamientos, el número de tratamientos es limitado. c. En experimentos sobre el terreno, el esquema suele ser el cuadrado, permitiendo así la eliminación de la variación proveniente de diferencias en el suelo en dos direcciones. En el invernadero o en el terreno, si hay un gradiente en una sola dirección, el experimento se puede disponer así: 4 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria I II A D C B B C A D d. 1 2 3 4 1234 Curso: Diseño experimental avanzado III IV D A B C 1234 C B D A 1234 Aquí las filas son bloques y las columnas, posiciones en los bloques. Los experimentos de mercadeo se ajustan a este esquema, con días como filas y almacenes como columnas. Existen diferentes áreas de la investigación en donde es posible utilizar el doble agrupamiento con el fin de controlar mejor la variabilidad de las unidades experimentales, así: a. En experimentos de campo el cuadrado latino permite controlar la variabilidad del suelo en dos direcciones: hileras y columnas., como la disposición presentada en el cuadro anterior. b. Cuando en el invernadero, en el terreno, con animales, etc., existe una gradiente que varía en una sola dirección para todas las unidades experimentales. c. Con animales se puede controlar las diferencias de edad, peso, producción de leche, número de partos, etc., asignando una fuente de variación a las hileras y otra a las columnas. d. En estudios de mercadeo de algunos productos, los días de la semana pueden constituir las hileras y los almacenes las columnas. Para que el análisis estadístico tenga validez, se requiere que no exista interacción entre tratamientos, hileras y columnas. Para aprovechar las ventajas de esta distribución, es indispensable lo siguiente: a) Dividir el lote o lugar de la experiencia en un número de unidades experimentales que sea igual al cuadrado del número de tratamientos. b) El número de repeticiones debe ser igual al número de tratamientos c) Formar hileras y columnas de unidades experimentales iguales en número a las repeticiones y los tratamientos. d) Distribuir los tratamientos de tal forma que ninguno se repita en fila ni en columna. 5 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado Restricciones Un tratamiento cualquiera debe estar solamente una vez en una columna Aleatorización La aleatorización o randomización en el DCL consiste en elegir un cuadrado al azar entre todos los cuadrados latinos posibles. Un cuadrado latino patrón es aquel que en su primera hilera y primera columna; tiene los tratamientos distribuidos en orden alfabético. Para cada tamaño existen una serie de Cuadrados Latinos Patrones que pueden tomarse como base para iniciar la aleatorización o randomizacion. Una vez elegido el cuadrado latino patrón se distribuyen al azar las hileras y las columnas, de tal modo que no se pierda la estructura del diseño. Cochran y Cox, (1991) presentan cuadrados latinos de muestra desde 3x3 hasta 12x12. Una manera de obtener un cuadrado latino patrón es la siguiente: se asignan los tratamientos de la primera fila en orden alfabético, la segunda hilera se inicia con la segunda letra y se continúa en orden alfabético y así sucesivamente. Como ilustración se presenta un cuadrado latino patrón con 5 tratamientos en la siguiente tabla: Tabla 1. Ejemplo de un cuadrado latino patrón con 5 tratamientos. A B C D E B C D E A C D E A B D E A B B E A B C D 6 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado A continuación se sortean las columnas (o hileras). En la tabla 2 se presenta el sorteo de columnas en orden 3, 5, 2, 1, 4. Tabla 2. Sorteo de columnas C E B A D D A C B E E B D C A A C E D B B D A E C Finalmente se sortean las hileras, por ejemplo en el orden 5, 1, 2, 4, 3, tal como se presenta en la tabla 3 Tabla 3. Sorteo de Hileras. B D A E C C E B A D D A C B E A C E D B E B D C A Bajo la distribución anterior se asignan los tratamientos a las unidades experimentales en el ensayo. También, para cumplir con la aleatorización de este diseño se arreglan tratamientos haciendo permutaciones de horizontales a verticales. 7 los UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado Supongamos el caso de los cinco tratamientos: A, B, C, D, E i) Permutaciones horizontales: A B C D E E A B C D D E A B C C D E A B B C D E A Permutaciones verticales: E D C B ii) A B A E D C C B A E D D C B A E E D C B A Se sortean las hileras, y en el cuadro así obtenido sortear las columnas. Esto tiene como finalidad hacer una distribución de los tratamientos más dispersa en el campo y evitar que AB, CD, DE, etc., estén juntos sistemáticamente. Ejemplo Usando el cuadro base de las permutaciones horizontales 1 A B C D E 2 E A B C D 3 D E A B C 4 C D E A B 5 B C D E A 8 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado Mediante cualquier método de sorteo, supongamos que el numeradas del 1 al 5, quedara de la manera siguiente: sorteo de hileras, 1 2 3 4 5 5 B C D E A 2 E A B C D 4 C D E A B 1 A B C D E 3 D E A B C Habiendo numerado las columnas del 1 al 5 en este cuadro, se sortean, pudiendo quedar como en el siguiente cuadro. D A 21 C 22 B 23 20 E 24 19 25 18 17 16 B D A E C E B D C A 11 12 13 10 C A 1 14 9 15 8 7 6 E B A D C E D B 2 3 4 5 Como se puede apreciar las letras corresponden al tratamiento y los números a la unidad experimental. En el cuadro final para la distribución del cuadro latino 5x 5; las unidades experimentales numeradas siguen un sistema que facilita su manejo. El registro de los tratamientos, repeticiones, numero de las unidades 9 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado experimentales, etc., se realiza de forma similar a como se hace para las distribuciones descritas. La distribución en cuadro latino es útil para realizar experimentos de campo en los que se trabaje con fertilizantes, herbicidas, insecticidas, o se conozca la variación en dos sentidos perpendiculares. Cuando se tengan tres o cuatro tratamientos y sea conveniente usar cuadro latino, deberán hacerse varios de ellos simultáneamente. El estudio se hace en cada cuadro en particular y luego en conjunto. Análisis de Varianza El diseño permite partir la variación total en 4 componentes: Hileras Error experimental Columnas Tratamientos Las fórmulas de trabajo son como sigue: ANDEVA- ANOVA Fuentes de Variación SC GL CM F Hileras SYi²/n-FC n-1 SCH/GL CMH/CME Columnas SYj²/n-FC n-1 SCC/GL CMC/CME Tratamientos SYk²/n-FC n-1 SCT/GL CMT/CME Error exp. por diferencia (n-1)*(n-2) SCE/GLE Total Sy²ij-FC n²-1 10 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado INTERPRETACION DE RESULTADOS EXPERIMENTALES Ejemplo numérico En un experimento para investigar el efecto de un insecticida clorado sobre un cultivo de algodón, se estudiaron, en cuadro latino 5 x 5, los siguientes tratamientos. A= testigo (cero insecticida), B = 5%, C = 10%, D = 15%, y E = insecticida fosforado. La variable determinada es producción de algodón en parcelas de 20 m2 dada en Kg/ por parcela. La distribución en el campo fueron las siguientes: Tabla 4. Producción de algodón por tratamiento y por repetición, en parcelas de 20 m2 Repeticiones Tratamientos Total Promedio 1 2 3 4 5 Tratamiento 0 2 3 4 4 3 16 3.2 5 3 4 5 5 4 21 4.2 10 3 4 5 6 4 22 4.4 15 4 5 6 5 5 25 5.0 Fosforado 4 4 5 5 5 23 4.6 107 4.28 X.. Tratamiento Pregunta : se debe la diferencia en producción promedio al efecto de los tratamientos, a la casualidad, o al azar?. Para contestar esta pregunta, y algunas más, es necesario: 11 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado 1. Hacer el ANOVA o ANVA 2. Calcular el CV como una indicación del manejo y confiabilidad del os datos en cada unidad experimental. 3. Hacer la comparación de promedios por el método que mejor responda a al as necesidades del conocimiento Si se usa la siguiente nomenclatura: a= 5; i = 1…… a; tratamientos n =5; j = 1 ….. n; repeticiones n =5 ; h = 1….. n; hileras c =5; c = 1….. n; columnas. El estudio de la variación necesita considerar una clasificación múltiple. Como no se repiten los tratamientos ni en hilera ni en columna, la variación total se divide en: 1. Entre hileras 2. Entre Columnas. 3. Entre tratamientos 1. en la unidad experimental o error Proceso para calcular SC 1. Factor de Corrección o FC = X../a.n = (107)2/25 = 457.96 2. SC total = X2 – FC = ( 22 + . . . 52 ) – FC = 23.04 12 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado 3. SChileras = X2h./a - FC = 212 + . . . + 162 -- FC = 11.44 5 4. SCcolumnas = X2. C/ a – FC = 202 + . . . + 222 - FC = 1.04 5 2. SCtratamientos = Xi2 / n --FC = 162+ . . . +232 - FC = 9.04 6. SCerror = SCtotal – (SChilera + SCcolumna `SCtratamiento); = 23.04 – (11.44 + 1.04 + 9.04) = 1.52 Para calcular SC de hileras y columnas, es necesario disponer de datos sobre la distribución de los tratamientos tal y como se situaron en el campo o laboratorio. Sin dichos datos no se puede evaluar la variación parcial de las hileras y de las columnas, ni separarla de la variación total. Tabla 5. ANAVA para una distribución en cuadro latino 5 x 5 GL Fuente Formula De Var. General GL SC CM F F0.05 F0.01 Hileras (n-1) 4 11.44 2.86 22.5** 3.26 5.41 Columnas (n-1) 4 1.04 0.26 2.1ns 3.26 5.41 Tratamientos (n-1) 4 9.04 2.26 17.8** 3.26 5.41 Error 1 (a-1) (n-2) 12 1.52 0.127 Total (an-1) 24 23.04 1 Generalmente se calcula por diferencia. 13 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado CV = 0.127/ 4.28 x 100 = 8.33%. Interpretación Ho : 1 = 2 = 3 = 4 = 5 ; se acepta. Ha : 1 2 3 4 5 ; se rechaza. FC = 17.83 Calculada con datos FT 0.01 ( 4,12 ) valor teórico de tablas; P 1% Experimentales Al rechazar Ho se concluye que los valores promedio son diferentes o que los tratamientos producen efectos diferentes; las medias estiman a de poblaciones distintas. El riesgo de error de rechazar una cosa cierta tiene bajas probabilidades de ocurrir; la probabilidad de que tal error ocurra es menor de 1% (p 1%), por lo que la diferencia es altamente significativa, o al menos dos tratamientos son estadísticamente diferentes. La probabilidades de que la diferencia sea por casualidad o por azar son muy bajas. Los datos merecen confianza si consideramos que CV= 8.33% de la producción promedio (4.28 Kg) de dicha unidad experimental. Este valor del CV sugiere un manejo adecuado de las unidades experimentales en particular y del experimento en general. 14 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado Eficiencia relativa de un diseño en cuadro latino (CL) con un diseño en CAA La eficiencia relativa entre un diseño en CL y uno diseño CAA se calcula mediante la fórmula: Eficiencia relativa Cl – CAA = H + C (t—1) E (t—1) E De donde H = Cuadrado medio de hileras C = Cuadrado medio de Columnas E = Cuadrado medio del error T = Numero de tratamientos De acuerdo al resultado, Si eficiencia relativa es mayor (>) 1 es mejor el diseño utilizado Si eficiencia relativa es menor (<) 1 es mejor el diseño que se compara. Ejemplo 2. Moreno (2008) propone el siguiente ejemplo para un cuadrado latino: Ejemplo. Los siguientes datos corresponden a la producción de papa bajo 4 tipos de fertilizantes, aplicados en 4 formas diferentes y en 4 fincas. Formas de aplicación 1 2 3 4 Fincas I II III IV A B C D 31 29 30 28 C A D E 20 25 25 18 15 D C B A 25 18 22 21 B D A C 26 28 30 25 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Curso: Diseño experimental avanzado Arreglo de campo. Formas de aplicación 1 2 3 4 Fincas I II III IV A 31 B 29 C 30 D 28 118 yk. C 20 A 25 D 25 E 18 88 D 25 C 18 B 22 A 21 86 B 26 D 28 A 30 C 25 109 yj. 102 100 107 92 Yi.. 401 Tratamientos A B C D yi. 107 95 93 106 t SCfilas y k 1 2 . j. t y...2 N 2 1022 ... 922 401 SCfilas 4 16 SCfilas 40317 10050,06 4 SCfilas 29,19 t SCcolumnas y k 1 t 2 ..k y...2 N 16 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria SCcolumnas SCcolumnas Curso: Diseño experimental avanzado 2 1182 ... 1092 401 4 16 40945 10050,06 4 SCcolumnas 186,19 SCtratamientos 107 2 ... 1062 401.2 4 16 SCtratamientos 40359 10050,06 4 SCtratamientos 39,6 SCtotal 268,94 SCtotal 312 ...252 10050,06 SCErrorExperimental SCT SCfilas SCcolumnas SCtratamientos SCErrorExperimental 268,94 29,19 186,19 39,69 SCErrorExperimental 13.87 17 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente Contenido Unidad 2. Materia de lectura obligatoria Fuente de Variación Curso: Diseño experimental avanzado Grados de Suma de Cuadrados Libertad Cuadrados Medios Filas 3 29,19 9,73 F (Razón de Varianza) 4,21 Columnas 3 186,19 62,06 26,86 Tratamientos 3 39,69 13,23 5,72 Error Experimental 6 13,87 2,31 Total 15 268,94 BIBLIOGRAFIA Cochran, W.G. y , 1989. 661 p. y G.M. Cox. Diseños Experimentales, Ed. Trillas, México, COLLAZOS, H; GRANADOS,J.(2008). BIOESTADISTICA Y EXPERIMENTAL PARA CIENCIAS AGRARIAS. Sin publicar. UNAD DISEÑO MORENO, J. (2008). Biometría y diseño de experimentos, UNAD. Páginas 171176 18