Problemas Tema 3 - Universidad de Alcalá

DISEÑO DE FILTROS
PROBLEMAS TEMA 3
Diseño de Filtros. Problemas Tema 3
PROBLEMA 1
Obtener la función de transferencia de los siguientes circuitos:
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PROBLEMA 2
En el siguiente circuito obtener
V0
Vi
; Sωx 0
; SQx
PROBLEMA 3
La figura representa un circuito activo RC que en sus salidas Va y Vb sintetiza
funciones de transferencia de segundo orden. Para dicho circuito responder a las
siguientes cuestiones:
Vb
.
a) Calcular la función de transferencia
Va
Va
Vb
b) Obtener, en el circuito completo, las funciones de transferencia
y
.
Vi
Vi
¿De que tipo son dichas funciones de transferencia?.
Va
c) Para la función de transferencia
calcular K, Q y ω o .
Vi
d) Si R1 aumenta un 5%, ¿en cuanto varían Q y ω o ?.
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PROBLEMA 4
En el circuito de la figura obtener las funciones de transferencia en cada una de
las salidas Vo, VA y VB diciendo el tipo de función de segundo orden que sintetizan.
Indicar además el papel realizado por cada uno de los operacionales así como el valor
de ω o , Q y la ganancia en cada una de las salidas.
PROBLEMA 5
En el circuito de la figura, sabemos que los operacionales 2 y 3 son reales y el 1
es ideal. Sabiendo que la ganancia de los operacionales reales se puede aproximar por la
expresión:
Aω
A≈ 0 c
s
Se pide:
a) Obtener las funciones de transferencia en cada una de las salidas Vo, Va y Vb
diciendo el tipo de función de segundo orden que sintetizan
b) Valor de ω o , Q y la ganancia en cada una de las salidas.
c) Sensibilidad de Q respecto a las resistencias R1 y R2.
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PROBLEMA 6
El circuito de la figura corresponde a un filtro de Sallen-Key modificado, de
manera que presenta un cero en el eje real.
Se pide:
a) Obtener su función de transferencia Vo/Vi.
b) En el circuito anterior se hacen R1=R2=R y C1=C2=C, quedando entonces
una función de transferencia:
s
1
+
RC (RC )2
Vo
=K
1
Vi
3− K 
s2 + 
s +
2
 RC  (RC )
Dibujar aproximadamente el módulo de la función de transferencia en función
de la pulsación, señalando los valores, tanto del módulo como de la pulsación,
más importantes.
c) Obtener la sensibilidad de Q respecto a la ganancia K de la función anterior.
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PROBLEMA 7
Para la realización de un determinado filtro tenemos una sección como la de la
figura. Se pide:
a)
b)
c)
d)
Mediante el análisis del circuito obtener la función de trasferencia Vo/Vi.
¿Que tipo de filtro realiza en función de la respuesta en amplitud?.
Obtención de las expresiones de ω0 y de Q.
Determinar la sensibilidad de Q respecto a variaciones en la ganancia K1.
PROBLEMA 8
La función de transferencia de un filtro activo de 2º orden, con amplificador de
ganancia finita nominal K, viene dado por:
Vo
=
Vi
Ks 2
1− K
1
1 
1
s +
s 2 + 
+
+
 R 1 C1 R 2 C 2 R 2 C1  R 1 R 2 C1 C 2
; con K = 1 +
R4
R3
R 2 = C 2 = C 1 = 1 , R 3 = 1 y R 4 = 0 .7
a) Determinar la expresión de Q en función de R1. A la vista de esta expresión
justifique si existe algún límite práctico para la elección de R1 y por qué.
b) Determine R1 para que ωc (pulsación a la que el módulo de la función de
transferencia ha disminuido 3 dB respecto a su valor en la banda de paso)
valga la unidad. En caso de existir varias soluciones elija la de mayor Q.
c) Calcule la sensibilidad de ωo y Q respecto de K, para los valores obtenidos
anteriormente. A partir de este resultado determine la máxima tolerancia que
puede tener la resistencia R3 para que la parte real de los polos no varíe más
de un 10 %.
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PROBLEMA 9
El circuito de la figura se corresponde con un filtro de segundo orden. Se pide:
a) Mediante el análisis del mismo, obtener la función de transferencia V0/Vi.
b) De qué tipo de función se trata según la respuesta en amplitud?. Calcular sus
parámetros característicos ωo, Q y ganancia en la banda de paso K.
c) Calcular la sensibilidad de la ganancia K respecto a R1, R2, C1, C2.
En dicho circuito se sabe que si hacemos R1 = R2 = R la función de transferencia queda:
1
s
RC1
Vo
=−
2
1
Vi
s2 +
s+ 2
RC2
R C1C2
d) Además, queremos utilizar el circuito anterior para realizar un filtro, del cual
sabemos que proviene de aplicar a un filtro paso bajo (Pulsación de corte a 3
dB ωc = 3 rad/seg) la transformación siguiente:
s=
λ 2 + 32
2λ
En esas condiciones, obtener los valores de C1 y C2 necesarios, en función de R.
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PROBLEMA 10
El circuito de la figura es conocido como “Bainter biquad” y sirve para realizar
secciones de segundo orden. Se pide:
a) Sabiendo que R1=R2 , R3=R4 , R5=R6 y C1=C2 , obtener la función de
V
transferencia H (s) = o del circuito. Sugerencia: Obtener primero las
Vi
subfunciones V1 = f ( Vi ) , V2 = f ( V1 , Vo ) , V3 = f ( V2 , Vi ) y posteriormente
obtener la función de transferencia total.
b) ¿Que tipo de función de transferencia es?.
c) Obtener las expresiones de Q, ωo.
PROBLEMA 11
Basándose en estructuras de tipo Sallen-Key, diseñar un filtro paso bajo con las
siguientes características:
- Frecuencia de corte de la banda de paso fp = 100 Hz.
- Atenuación de 70 dB para f = 350 Hz.
- Rizado constante en la banda de paso de 0,5 dB.
Para el diseño se dispone de resistencias de 50 kΩ y condensadores de cualquier
valor.
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PROBLEMA 12
Diseñar un filtro paso bajo de Butterworth con las siguientes características:
- Atenuación de 3 dB para una frecuencia de 200 Hz.
- Atenuación de 30 dB mínima para f = 800 Hz.
- Ganancia de 6 dB con inversión.
Utilizar como valor de desnormalización de impedancia R0=104.
PROBLEMA 13
Diseñar un filtro paso bajo de Chebyshev de 4º orden de 0,1 dB de rizado,
ganancia en continua de valor 4 y una frecuencia de corte de la banda de paso de 100
Hz. Realizar el diseño utilizando secciones de 2º orden Sallen-Key y condensadores de
0,01 µF únicamente.
PROBLEMA 14
En un sistema M.D.F., se necesita un filtro para extraer la señal correspondiente
al canal número 3. La distribución de canales se ilustra en la siguiente figura:
Las condiciones impuestas al filtro son:
−1 dB .
1.- Los canales adyacentes (2 y 4) deberán estar atenuados en al menos 25 dB.
2.- En la banda de paso la ganancia del filtro ha de estar comprendida entre cero y
Obtener la función de transferencia H(s) del filtro y un posible diseño del mismo
con secciones Sallen-Key.
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PROBLEMA 15
El circuito de la figura permite sintetizar funciones de transferencia de segundo
orden con un único valor de capacidad del condensador C. Mediante el ajuste de las
resistencias R1 a R4 es posible variar las características del filtro.
Se pide:
1.- Obtener la función de transferencia H (s) = V2 V1 del circuito.
2.- ¿ A qué tipo de filtro corresponde el circuito?.
3.- Valores de ω0, Q y K en función de los componentes.
4.- ¿De que forma se podrían ajustar por separado dichas características?.
PROBLEMA 16
Utilizando dos células como las analizadas en el problema anterior, diseñar
completamente un circuito con destino a un amplificador de audio, con las siguientes
características:
1.- La ganancia en la banda de 0 a 20 kHz estará comprendida entre cero y
−0,1 dB .
2.- La pendiente de la atenuación en la banda suprimida será la mayor posible
(elegir entre Butterworth o Chebychev directo).
3.- Los condensadores a utilizar serán todos de 10 nF.
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PROBLEMA 17
La figura representa un circuito activo RC que en sus salidas Va y Vb sintetiza
funciones de transferencia de segundo orden. Para dicho circuito responder a las
siguientes cuestiones:
a) Calcular la función de transferencia
Vb
.
Va
b) Obtener, en el circuito completo, las funciones de transferencia
¿De que tipo son dichas funciones de transferencia?.
Va
c) Para la función de transferencia
calcular K, Q y ω o .
Vi
d) Si R1 aumenta un 5%, ¿en cuanto varían Q y ω o ?.
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Va
Vb
y
.
Vi
Vi
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PROBLEMA 18
Mediante la sección de segundo orden de la figura, hemos sintetizado un filtro
de Butterworth cuya atenuación es nula en el origen y es de 10 dB para una pulsación de
3rad / seg . Se pide:
a) Determine los polos de la función de transferencia del filtro.
b) Sabiendo que C2=1 y K=1 y que G1 = G2, determine los valores de G1
y C1.
c) Mediante cálculo de sensibilidades, determine la variación porcentual
de la parte real de los polos sabiendo que G1 tiene una tolerancia del
2%.
PROBLEMA 19
La figura representa un circuito activo RC que nos permite sintetizar funciones
de transferencia de segundo orden paso-banda.
Se pide:
a) Mediante el análisis del circuito obtener la función de transferencia.
b) Utilizando estructuras de ese tipo sintetizar la siguiente función de
transferencia:
25s 2
H(s) = 2
(s + 4.0457s + 200)(s 2 + 3.0253s + 112.16)
Para la síntesis usar condensadores de valor C = 1µF .
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