Newton en diferencias finitas

ULPGC
Tutorial de Análisis Numérico
Interpolación : Fórmulas de Newton en
diferencias finitas
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Jesús Garcı́a Quesada
Departamento de Informática y Sistemas
Contenido
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
35017 Campus de Tafira, España
JJ
II
J
I
Email : [email protected]
2 de Octubre de 2000, v0.3
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Índice General
1 NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS
1.1 NEWTON EN DIFERENCIAS PROGRESIVAS . . . . . . . . . . . . . .
1.2 NEWTON EN DIFERENCIAS REGRESIVAS . . . . . . . . . . . . . . .
3
8
12
Informática
2 PROBLEMAS
17
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Soluciones a los Problemas
20
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Contenido
JJ
II
J
I
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1. NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS
En el caso particular de que las abcisas de los nodos de interpolación sean equidistantes
la expresión del polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas adopta
otras formas que se han usado mucho, la fórmula en diferencias progresivas y la fórmula
en diferencias regresivas. Antes de desarrollarlas necesitamos de algunas definiciones
previas.
Dado un conjunto de puntos (xi , yi ), 0 6 i 6 n donde yi = f (xi ) se define diferencia
progresiva de orden 1 en yk y se denota por ∆yk a
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∆yk = f (xk + h) − f (xk ) = f (xk+1 − f (xk ) = yk+1 − yk = ∆1 yk
Contenido
y diferencia regresiva de orden 1 en yk y se denota por ∇yk a
∇yk = yk − yk−1 = ∇1 yk
Análogamente, se define diferencia progresiva de orden 2 en yk a
∆2 yk = ∆(∆yk ) = ∆(yk+1 − yk ) = ∆yk+1 − ∆yk =
= yk+2 − yk+1 − (yk+1 − yk ) = yk+2 − 2yk+1 + yk = ∇2 yk+2
JJ
II
J
I
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En general se definen
∆m yk
(def )
=
∆(∆m−1 yk )
∇m yk
(def )
∇(∇m−1 yk )
=
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y convenimos en que ∆0 yk = yk , ∇0 yk = yk y ocurre además que ∆m yk = ∇m yk+m y
también
n
X
n
∆ yk =
(−1)
yk+n−j
j
j=0
n
j
En la tabla 1 aparece como se forman las diferencias de diferentes ordenes. Observe
la regularidad de la diagonal superior.
De la misma forma, en la tabla 2 aparecen las mismas diferencias que se calcularon
en la tabla de dif. progresivas, pero ahora con la notación propia de las diferencias
regresivas. Observe la regularidad de la diagonal inferior.
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Necesitamos ahora establecer una relación entre diferencias divididas y diferencias
finitas para poder reescribir la fórmula de Newton en términos de diferencias progresivas
o regresivas. Dicha relación nos viene dada por el siguiente lema.
Lema 1.1.
∆i yk
∀i > 0 :
f [xk , xk+1 , . . . , xk+i ] =
i! hi
JJ
II
J
I
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Demostración. Por inducción tenemos :
• Lo demostramos para i = 0 : f [xk ] = f (xk ) = yk = ∆0 yk
• Lo suponemos cierto para i = n > 0. Y entonces
• Lo demostramos para i = n + 1. Tenemos
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x y
x0 y0
∆y
∆2 y
∆3 y
∆4 y
∆5 y
∆6 y
∆7 y
∆8 y
∆y0
x1
Informática
2
y1
∆ y0
∆3 y0
∆y1
x2
2
y2
∆ y1
y3
∆3 y2
∆3 y3
x6
y6
∆7 y1
∆6 y2
II
∆ y4
J
I
3
∆ y5
∆2 y6
y7
JJ
∆ y3
4
∆ y5
Contenido
5
∆ y4
∆y6
x7
∆4 y3
2
∆8 y0
∆ y1
∆5 y2
3
∆y5
∆7 y0
6
∆ y2
∆2 y4
y5
∆5 y1
4
∆ y3
Página de Inicio
∆6 y0
∆ y1
2
∆y4
x5
4
∆ y2
y4
∆5 y0
∆ y1
2
∆y3
x4
∆ y0
3
∆y2
x3
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4
Página 5 de 25
∆y7
x8
y8
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Tabla 1: Tabla de diferencias progresivas
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x y
x0 y0
∇y
∇2 y
∇3 y
∇4 y
∇5 y
∇6 y
∇7 y
∇8 y
∇y1
x1
Informática
2
∇ y2
y1
∇3 y3
∇y2
x2
2
∇ y3
y2
∇3 y5
∇3 y6
x6
∇6 y8
II
∇ y8
J
I
3
∇ y8
∇2 y 8
y7
JJ
∇ y8
4
∇ y7
y6
∇7 y8
Contenido
5
∇ y7
∇y7
x7
∇4 y7
2
∇8 y8
∇ y7
∇5 y7
3
∇y6
∇7 y7
6
∇ y6
∇2 y6
y5
∇5 y6
4
∇ y5
y4
Página de Inicio
∇6 y0
∇ y1
2
∇y5
x5
4
∇ y2
y3
∇5 y5
∇ y4
2
∇y4
x4
∇ y4
3
∇y3
x3
Página Web
4
Página 6 de 25
∇y8
x8
y8
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Tabla 2: Tabla de diferencias regresivas
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f [xk , · · · , xk+n ] − f [xk+1 , · · · , xk+n+1 ]
=
xk − xk+n+1
∆n yk+1 − ∆n yk
∆n yk /n!hn − ∆n yk+1 /n!hn
=
=
=
−(n + 1)h
(n + 1)! hn+1
∆n (yk+1 − yk )
∆n (∆yk )
∆n+1 yk
=
=
=
(n + 1)! hn+1
(n + 1)! hn+1
(n + 1)! hn+1
f [xk , · · · , xk+n+1 ] =
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JJ
II
J
I
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1.1. NEWTON EN DIFERENCIAS PROGRESIVAS
Utilizando éste lema podemos entonces obtener la fórmula de Newton en diferencias
progresivas, que es la misma que en diferencias divididas pero expresada en diferencias
finitas, que es posible si en los puntos de interpolación las abcisas son equidistantes,
o sea, si
xi+1 − xi = h,
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∀i = 0, 1, . . . , n − 1
siendo h la diferencia constante entre dos abcisas consecutivas.
Tenemos entonces los puntos de interpolación (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), donde yi =
f (xi ) y además xi+1 = xi + h, ∀i = 0, 1, . . . , n − 1 y podemos escribir x1 = x0 + h =⇒
x2 = x1 + h = x0 + 2h =⇒ x3 = x0 + 3h =⇒ . . . xi = x0 + i h, i = 0, 1, 2, . . . , n
La expresión del polinomio de interpolación en diferencias divididas es
pn (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 ) + · · ·
+ f [x0 , x1 , · · · , xn ](x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 )
(1)
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Contenido
JJ
II
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I
Página 8 de 25
Aplicando el lema anterior a ésta fórmula obtenemos :
∆2 y0
∆1 y0
pn (x) = y0 +
(x
−
x
)
+
(x − x0 )(x − x1 ) + · · ·
0
1! h1
2! h2
∆n y0
+
(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 )
n! hn
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(2)
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por otra parte, hacemos el cambio :
x − x0
x − xi
x − (x0 + i h)
x − x0 − i h
x − x0 i h
= s =⇒
=
=
=
−
=s−i
h
h
h
h
h
h
y sustituyendo en (2) :
(3)
Informática
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∆ 0 y0
z}|{
(x − x0 )
(x − x0 )(x − x1 )
pn (x) = y0 +∆1 y0
+ ∆2 y0
+ ···
h
2! h2
(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 )
+ ∆n y0
=
n! hn
(2s)
s
z }| {
(1)
z}|{
s(s − 1)
1
2
= y0 + ∆ y0 s +∆ y0
+···
2!
(ns )
z
}|
{
s(s
−
1)
.
.
.
(s
−
n
+
1)
+ ∆n y0
=
n!
n
n
X
s(s − 1) . . . (s − k + 1) X k
s
k
=
∆ y0
=
∆ y0
k!
k
k=0
k=0
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Contenido
(4)
JJ
II
J
I
Página 9 de 25
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con lo cual tenemos :
pn (x) =
n X
s
k=0
k
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∆k y0
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que se conoce con el nombre de fórmula de Newton en diferencias finitas progresivas.
Ejemplo. Obtener una fórmula para la suma de los primeros números naturales.
Solución:
n
P
Sabemos que
k = n(n+1)
y como queremos obtenerla por interpolación con abcisas
2
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k=1
equidistantes construimos un conjunto de valores según los diferentes valores de n:
P
n
y ∆1 ∆2 ∆3 ∆4
1 −→ 1
1
2
2 −→ 1 + 2
3
1
3
0
3 −→ 1 + 2 + 3
6
1
0
4
0
4 −→ 1 + 2 + 3 + 4 =
10
1
5
1 −→ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
P
Tenemos pn (x) = nk=0 ks ∆k y0
con s = (x − x0 )/h = x − 1 con lo que
1
x2 − 3x + 2 + 4x − 2
(x − 1)(x − 2) =
=
2!
2
x2 + x
x(x + 1)
=
=
2
2
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Contenido
JJ
II
J
I
Página 10 de 25
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p(x) =1 + 2(x − 1) +
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(5)
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que es lo que debı́amos obtener.
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Contenido
JJ
II
J
I
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1.2. NEWTON EN DIFERENCIAS REGRESIVAS
También en éste caso las abcisas son equidistantes, o sea
xi+1 − xi = h,
∀i = 0, 1, . . . , n − 1
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siendo h la diferencia constante entre dos abcisas consecutivas.
Tenemos entonces los puntos de interpolación (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), donde yi =
f (xi ) y además xi+1 = xi + h, ∀i = 0, 1, . . . , n − 1 y podemos escribir x1 = x0 + h =⇒
x2 = x1 + h = x0 + 2h =⇒ x3 = x0 + 3h =⇒ . . . xi = x0 + i h, i = 0, 1, 2, . . . , n
Consideramos ahora los puntos de interpolación en el orden (xn , yn ), (xn−1 , yn−1 ), . . . , (x0 , yo )
y para éste orden la expresión del polinomio de interpolación en diferencias divididas es
pn (x) = f [xn ] + f [xn , xn−1 ](x − xn ) + f [xn , xn−1 , xn−2 ](x − xn )(x − xn−1 ) + · · ·
+ f [xn , xn−1 , · · · , x0 ](x − xn )(x − xn−1 ) . . . (x − x1 )
(6)
Aplicando el lema anterior 1.1 a ésta última fórmula y considerando la relación entre
diferencias progresivas y regresivas obtenemos :
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Contenido
JJ
II
J
I
Página 12 de 25
∆k yi
∇k yi+k
=
f [xi , xi+1 , · · · , xi+k ] =
k! hk
k! hk
Considerando además que la diferencia dividida es una función simétrica de sus argumentos, o sea, que
f [x0 , x1 , · · · , xk ] = f [xi0 , xi1 , · · · , xik ]
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para cualquier permutación posible (i0 , i1 , . . . , ik ) de (0, 1, . . . , k) tendrı́amos por ejemplo que
f [xn , xn−1 ] = f [xn−1 , xn ], f [xn , xn−1 , xn−2 ] = f [xn−2 , xn−1 , xn ], etc.
Sustituyendo entonces en la ecuación anterior (6):
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∇1 yn
∇2 yn
(x
−
x
)
+
(x − xn )(x − xn−1 ) + · · ·
n
1! h1
2! h2
∇n yn
+
(x − xn )(x − xn−1 ) . . . (x − x1 )
n! hn
pn (x) = yn +
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(7)
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por otra parte, hacemos el cambio :
x − xn
= u =⇒
h
x−xn−1
n
= x−(xhn −h) = x−xhn + h = x−x
+ hh = u + 1
h
h
x−xn−2
n
= x−(xhn −2h) = x−xnh+2 h = x−x
+ 2hh = u + 2
h
h
h)
x−xi
h
h
n
= x−(xn −(n−i)
= x−xn +n−i
= x−x
+ n−i
=u
h
h
h
h
h
Contenido
+n−i
JJ
II
J
I
Página 13 de 25
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y sustituyendo en (7) :
∇ 0 yn
z}|{
(x − xn )(x − xn−1 )
(x − xn )
pn (x) = yn +∇1 yn
+ ∇2 yn
+ ···
h
2! h2
(x − xn )(x − xn−1 ) . . . (x − x1 )
+ ∇n yn
=
n! hn
(u+1
2 )
u
z
}| {
(1)
z}|{
u(u + 1)
= yn + ∇1 yn u +∇2 yn
+···
2!
(u+n−1
)
n
z
}|
{
u(u
+
1)
.
.
.
(u
+
n
−
1)
+ ∇n yn
=
n!
n
n
X
u(u + 1) . . . (u + k − 1) X k
u+k−1
k
=
∇ yn
=
∇ yn
k!
k
k=0
k=0
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(8)
con lo cual tenemos :
Contenido
JJ
II
J
I
Página 14 de 25
pn (x) =
n X
u+k−1
k=0
k
∇k y n
que se conoce con el nombre de fórmula de Newton en diferencias regresivas.
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Ejemplo. Obtener una fórmula para la suma de los primeros números naturales.
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Solución:
La tabla es exactamente la misma que se construyó para diferencias progresivas, pero
se toma ahora la diagonal inferior, que aparece en negrita
P
n
y ∇1 ∇2 ∇3 ∇4
1 −→ 1 =
1
2
2 −→ 1 + 2 =
3
1
3
0
3 −→ 1 + 2 + 3 =
6
1
0
4
0
4 −→ 1 + 2 + 3 + 4 =
10
1
5
5 −→ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
k
P
Ahora la ecuación es: pn (x) = nk=0 u+k−1
∇ yn
k
siendo
x − xn
u=
= x − 5, h = 1
h
u(u + 1) 2
∇ yn =
2!
1
x2 − 9x + 20 + 10x − 20
=
= 15 + 5(x − 5) + (x − 5)(x − 4) =
2!
2
x2 + x
x(x + 1)
=
=
2
2
p(x) = yn + u∇yn +
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Página de Inicio
Contenido
JJ
II
J
I
Página 15 de 25
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que es de nuevo lo que debı́amos obtener.
Ejemplo. Encontrar el polinomio de interpolación p(x) de segundo grado tal que p(0) = −1,
p(1) = 2, p(2) = 7.
Solución:
Tomando las xi e yi en el orden dado: x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2; y0 = −1, y1 = 2, y2 = 7
Construimos la tabla de diferencias finitas:
x y ∆1 /∇1
0 −1
3
1 2
5
2 7
∆2 /∇2
Contenido
x−x0
h
=
x−0
1
= x y por tanto:
2
p(x) = −1 + 3x + x(x − 1) = x2 − x + 3x − 1 = x2 + 2x − 1
2!
n
Análogamente, para aplicar la fórmula en diferencias regresivas es u = x−x
=
h
x − 2 y entonces:
p(x) = 7 + 5(x − 2) +
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2
Para aplicar la fórmula en diferencias progresivas es s =
Informática
JJ
II
J
I
Página 16 de 25
x−2
1
=
Volver
2
(x − 2)(x − 1) = 7 + 5x − 10 + x2 − 3x + 2 = x2 + 2x − 1
2!
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2. PROBLEMAS
Problema 1. Construir la tabla de diferencias finitas para el conjunto de nodos siguiente:
x
f (x)
0.125
0.250
0.375
0.500
0.625
0.750
0.79168 0.77334 0.74371 0.70413 0.65632 0.60228
Usar la fórmula progresiva de Newton con polinomios de grado tres para estimar
f (0.158) y f (0.636). Para el primer polinomio, elegir x0 = 0.125 y para el segundo
x0 = 0.375.
Problema 2. Con los mismos datos del problema 1, usar la fórmula regresiva de Newton,
eligiendo xn = 0.500 en el primer caso y xn = 0.750 en el segundo polinomio ¿se obtienen
los mismos resultados?
Informática
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Contenido
Problema 3. Con los mismos datos del problema 1, obtener los polinomios que interpolan en las abcisas 0.500, 0.625 y 0.750, usando las fórmulas progresiva y regresiva de
Newton. Demostrar que se trata del mismo polinomio.
JJ
II
Problema 4. Probar que:
J
I
(a)
Página 17 de 25
∆[f (x).g(x)] = f (x).∆g(x) + g(x + h).∆f (x)
(b) ∆n xn = ∇n xn = n! cuando h = 1.
Volver
(c)
f (x)
g(x).∆f (x) − f (x).∆g(x)
∆
=
g(x)
g(x + h).g(x)
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ULPGC
Referencias
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2nd. edition, 1989.
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International, New York, second edition, 1989.
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Germund Dahlquist and Åke Björck. Numerical Methods. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1974.
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Publishing Co., Reading, Massachusets, fourth edition, 1989.
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[Hen72] P. Henrici. Elementos de Análisis Numérico. Ed. Trillas, México, 1972.
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F. B. Hildebrand. Introduction to Numerical Analysis. McGraw–Hill, New
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[Mar87] M. J. Maron. Numerical Analysis: A Practical Approach. Macmillan Publishing
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Wadsworth, Belmont, California, third edition, 1991.
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Contenido
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McGraw-Hill, New York, 2nd. edition, 1978.
JJ
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J
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Volver
[YG73b] David M. Young and R.T. Gregory. A Survey of Numerical Mathematics, volume II. Dover Publications, New York, 1973.
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Soluciones a los Problemas
Problema 1. Los valores son f (0.158) = 0.78801042 y f (0.636) = 0.65178537.
J
Informática
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Contenido
JJ
II
J
I
Página 20 de 25
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Problema 2. Se obtienen los mismos resultados:
f (0.158) = 0.78801042 y f (0.636) = 0.65178537. El polinomio resultante es:
0.114346666667x3 − 0.44704x2 + 0.00841333333334x + 0.79739
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en el primer caso y
Página Web
0.170666666667x3 − 0.51936x2 + 0.0391333333333x + 0.79307
en el segundo caso.
Página de Inicio
J
Contenido
JJ
II
J
I
Página 21 de 25
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Problema 3.
El polinomio en ambos casos es:
−0.19936x2 − 0.1582x + 0.83307
J
Informática
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Contenido
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Problema 4(a)
∆[f (x).g(x)] = f (x + h).g(x + h) − f (x).g(x) =
= f (x + h).g(x + h) − f (x).g(x) + f (x).g(x + h) − f (x).g(x + h) =
= f (x).g(x + h) − f (x).g(x) + g(x + h).f (x + h) − g(x + h).f (x) =
= f (x).∆g(x) + g(x + h).∆f (x)
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Problema 4(b) Por inducción.
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Problema 4(c) Es sencillo. Se deja como ejercicio.