Equilibrio de Cuerpo Rígidos

Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
3- Equilibrio del Cuerpo Rígido
(Sistemas Coplanares)
Prof. JOSÉ BENJUMEA ROYERO
Ing. Civil, Magíster en Ing. Civil
Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
Contenido
3. Equilibrio de cuerpos rígidos
3.1 Diagrama de cuerpo libre.
3.2 Equilibrio en el plano. Reacciones en apoyos y conexiones de una estructura
bidimensional.
3.3 Reacciones estáticamente indeterminadas. Restricciones parciales en cuerpos rígidos.
3.4 Equilibrio de un cuerpo sometido a dos fuerzas. Equilibrio de un cuerpo sometido a
tres fuerzas.
.
.
.
Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
Equilibrio de Cuerpo Rígidos
T1
T2
P
W3
W4
Q
W2
W1
Reduciendo las fuerzas externas a un sistema
fuerza-par en O
O
http://www.modelmotor.es/tienda-a/13-801066/ficha/Grua-Torre-Wolff-7532-cross-187-Ros-Agritec.html
Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
T1
T2
P
W3
W4
Q
W2
W1
Separando el C.R. del suelo
ºO
http://www.modelmotor.es/tienda-a/13-801066/ficha/Grua-Torre-Wolff-7532-cross-187-Ros-Agritec.html
Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
T1
T2
P
W3
W4
Q
W2
W1
El sistema estará en equilibrio sí:
R*=0 y MR*=0
ΣFx=0, ΣFy=0, ΣFz=0
ΣMx=0, ΣMy=0, ΣMz=0
O
http://www.modelmotor.es/tienda-a/13-801066/ficha/Grua-Torre-Wolff-7532-cross-187-Ros-Agritec.html
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¿Qué aprenderemos en esta parte del curso?
- Diagrama del cuerpo libre
- Tipos de restricciones
- ¿La estructura está apoyada apropiadamente?
- ¿La estructura puede ser calculada mediante la estática?
- Establecer las condiciones para que un estructura esté en equilibrio
Equilibrio Coplanar
Equilibrio no
Coplanar
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3.1 Diagrama de Cuerpo Libre
(1) Identifique el C.R.  separarlo del suelo, de las uniones, apoyos y de otros cuerpos
(2) Identifique y dibuje todas las fuerzas externas
 Fuerzas aplicadas y reacciones
 Incluya el peso
 Si el C.R. está formado por varias partes no incluya las fuerzas que esas partes ejercen
entre sí. Lo anterior, siempre que estudie el equilibrio del cuerpo rígido completo
cable
(3) Determine la magnitud y dirección de las acciones conocidas (Fuerzas y Momentos)
(4) Identificar las fuerzas desconocidas (generalmente son las restricciones)
(5) Verificar que el D.C.L tenga las dimensiones necesarias !Dibuje el sistema de referencia!
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3.2 Equilibrio Coplanar
3.2.1 Tipologías de Reacciones (Restricciones)
Tomado de [Meriam & Kraige, 2002]  Engineering Mechanics STATICS, fifht Edition, Jhon Wiley & Sons.
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Tomado de [Meriam & Kraige, 2002]  Engineering Mechanics STATICS, fifht Edition, Jhon Wiley & Sons.
Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
+ torsion Spring
Tomado de [Meriam & Kraige, 2002]  Engineering Mechanics STATICS, fifht Edition, Jhon Wiley & Sons.
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Simplified seismic analysis procedures for elevated tanks considering fluid–structure–soil
Interaction (R. Livaoğlua, , , A. Doğangünb, ) http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0889974606000041#gr1
Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
Propuesta de Diseño Nuevo Estadio de Barrancabermeja
Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
Apoyo en puente San Francisco – Oakland Bay
Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
Apoyo en puente peatonal Metrolínea – Estación Hormigueros
Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
Roller Support
Fuente: http://ceephotos.karcor.com/2011/09/23/roller-support/
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Roller Support
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Roller Support
Fuente: http://minnesota.publicradio.org/display/web/2009/03/25/bridgecollapse_update/
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Elastomeric Support
Puente de vía ferroviaria AHK11
Fuente: http://www.zt-ron.at/es/proyectos/puente-ahk11.html
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Base Plates (Platinas Bases)
Fuente: http://www.amtecdesigns.com/Struct.html
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Otros ejemplos de soportes
[Hibbeler] [Beer}
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Ejercicio 1
Dibuje el D.C.L de las siguientes estructuras.
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Ejercicio 2
Dibuje el D.C.L de la viga ABC. Asuma pasadores sin fricción.
D
P
A
B
C
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Ejercicio 3
Dibuje el D.C.L de la viga ABC. Asuma pasadores sin fricción.
P
A
B
C
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¿En qué dirección se asumen las reacciones?
P
P
P
w
B
10 m
A
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¿Puedo resolver la estructura con lo aprendido en el curso de estática?
¿La estructura es estable para cualquier valor de P, Q, R, S y W ?
P
W
Q
R
S
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3.2.2 Ecuaciones de equilibrio
C
D
B
A
C
Significado Físico de las ecuaciones de
Equilibrio
vs
Sistemas Linealmente
Independendientes
A
B
Tratar de buscar ecuaciones que tengan
una sola incógnita:
-Momento respecto a ejes
- Momento respecto a puntos que están dentro de
la línea de acción de la incógnita
-Momento respecto a puntos de convergencia
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Conjunto de ecuaciones INDEPENDIENTES (disponibles)…
1. ΣFx=0, ΣFy=0, ΣMo=0
2. ΣFx’=0, ΣFy’=0, ΣMa=0
(x’ y y’ no son paralelos entre sí)
R
R
MR
A
x
y
y
x
x
ΣMa=0
R└ a y’
└
MR=0
R└ a x’
└
y
R
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3.
ΣMa=0, ΣMb=0, ΣFy’=0
R
B
ΣMa=0
ΣMb=0
R
y
¿condición del eje
AB y del eje y’?
y
A
x ΣFy’=0
x
4.
ΣMa=0, ΣMb=0, ΣMc=0
C
B
C
y
y
A
x
a, b y c NO COLINEALES
R
A
B
¿R puede ser
diferente de cero
(0)?
x
Si a, b y c son COLINEALES
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Para el caso de Fuerzas Concurrentes en O
5. ΣFx’=0, ΣFy’=0
6. ΣMa=0, ΣMb=0
R
B
O
O
y
y
R
x
x
7. ΣFx’=0, ΣMa=0
O
y
A
x
A
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Para el caso de Fuerzas Paralelas (aplicadas en dirección del Eje y)
8. ΣMa=0, ΣFy’=0,
y’ no paralela al eje x
MR
y
ΣMa=0
A
MR=0
x
9. ΣMa=0, ΣMb=0
B
y
A
x
Línea AB no paralela al eje x
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3.2.3 Reacciones Estáticamente Indeterminadas y Restricciones
Inadecuadas
Analizar cada una de las siguientes estructuras
P
P
P
Q
Q
Q
W
Estructura Estáticamente Determinada
Estructura Completamente Restringida
P
Q
Q
W
Q
Estructura Estáticamente Indeterminada
(estructura hiperestática)
Estructura Completamente Restringida
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P
Q
Q
Q
W
Estructura Estáticamente Inestable
Estructura Restringida Parcialmente
W
Q
Q
W
Q
Estructura Estáticamente Indeterminada
Estructura Impropiamente Restringida*
Estructura Estáticamente Indeterminada
Estructura Impropiamente Restringida*
* También llamada Inestabilidad
Geométrica
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Q
Q
W
W
Q
“Un C.R. está impropiamente restringido siempre que los
apoyos, aunque proporcionen un numero suficiente
de reacciones, estén ubicados de tal forma que las
reacciones son concurrentes o paralelas”
Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
¿Un C.R. está impropiamente restringido no sirve para nada?
Q
Q
W
W
Q
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Ejercicio 4-a
Conexiones: rodillos, pasadores sin fricción, bielas lisas
¿impropia, completa o parcialmente restringida? ¿estáticamente determinada o indeterminada?
¿se mantiene el equilibrio de la estructura?
AB= 3m, BC= 2m, CD=2 m
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Ejercicio 4-b
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Ejercicio 5
Todas la estructuras presentadas son hiperestáticas. Describir al menos una modificación de los
apoyos para cada caso que convierta en isostática la estructura correspondiente.
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3.2.4 Cuerpos de 2 y 3 Fuerzas
- Cuerpos de 2 Fuerzas
P
Mo
Q
“Un C.R. sometido a fuerzas que actúan únicamente en
dos puntos, es un cuerpo de dos fuerzas”
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- Cuerpos de 3 Fuerzas
“Un C.R. sometido a
fuerzas que actúan
únicamente en tres
puntos, estará en
equilibrio si las fuerzas
convergen en un solo
punto ó si son
paralelas”
Q
B
F
A
O
C
P
Excepción: cuando las fuerzas no se intersecan y son paralelas
ΣMo=0
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B
P
d
F
A
O
d
C
P
ΣMo=0
¿ΣFx=0?
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Ejercicio 6
Tomado de MIT OpenCourseWare , Civil and Environmental Engineering 1.050 Solid Mechanics, Fall 2004
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Ejercicio 7
Idealización de un puente levadizo …
Prop. Puente Laureano Gómez (Barranquilla, COL)
http://www.skyscraperlife.com/infraestructura-de-transporte/7954-nuevo-puente-pumarejo-sobre-el-rio-magdalena-barranquilla-colombia.html
Puente Levadizo en Galicia, ESP
http://www.galiciaenfotos.com/leca-y-matosinhos-i/
Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
O de etapas constructivas (Construcción Estación Terminal Trenes, Berlín)
Fuente http://es.wikiarquitectura.com/index.php/Estaci%C3%B3n_Central_de_trenes_de_Berl%C3%ADn
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Determine las reacciones en los apoyos de la armadura (que representa un estado constructivo).
El apoyo en C, es de segundo orden (pasador sin fricción).
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Ejercicio 8
Determine las reacciones en los apoyos de la barra rígida ABC. El elemento CD es un eslabón
corto.
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Ejercicio 8a
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Ejercicio 8b
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Ejercicio 9
La barra AB se somete a una fuerza P en el punto B. En el extremo A se encuentra
un apoyo de segundo orden. En B se une a un resorte de constante K que pasa a
través de una polea sin rozamiento. Cuando θ=0 (AB horizontal), el resorte no se
encuentra esforzado. Hallar una expresión para θ, sabiendo que la barra AB se
encuentra en equilibrio.
L
Ө
B
K
P
A
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Ejercicio 9a
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Ejercicio 10
La barra rígida ACB esta apoyada en C mediante 1 apoyo de segundo orden. En los extremos
A y B, se suspende de un cable que pasa por una polea sin rozamiento en D.
Calcular la reacción en C y la tensión en el cable debido a la fuerza P=150 N.
m
m
P
m
m
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Ejercicio 11
Una barra uniforme AB, de longitud igual a 2R, y peso W, se apoya en el interior de un recipiente
semi-esférico de radio R. Determine el ángulo teta correspondiente a la posición de equilibrio de
la barra. Asuma que la superficie no tiene fricción.
𝐵
𝐴
𝜃
Hint: Teorema de Tales de Mileto
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Segundo Teorema de Tales de Mileto
Sea B un punto de la circunferencia de
diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el
triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.
Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
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Ejercicio 11a
En la figura, del punto O cuelgan una esfera de
radio r y peso G, por medio de un hilo de longitud
b, y una barra uniforme de longitud 2a y peso W
que se apoya contra la esfera.
Determine el ángulo α de equilibrio que el hilo
forma con la vertical.
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Ejercicio 12
La barra AB soporta una fuerza de 200 N, se encuentra suspendida de un cable en el vértice B y
apoyada en A. Calcular la tensión del cable y la reacción en A
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Ejercicio 13
La viga horizontal está soportada por resortes en sus extremos. Si la rigidez del resorte situado en
A es KA= 5kN/m, determine la rigidez requerida en el resorte ubicado en B de manera que si la
viga es cargada con la fuerza de 800 N, permanezca en posición horizontal antes y después de la
carga.
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Ejercicio 14
Determine the angle α and the magnitudes of the reactions at A and B.
Assume that 0 ≤ 𝛼 ≤ 90°
DO NOT USE EQUATIONS OF STATIC EQUILIBRIUM!
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Ejercicio 14a
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Ejercicio 15
Los centros de gravedad del carro elevador (masa 50 kg) y de la caja (masa 120 kg) están en G1 y
G2, respectivamente. El camión debe poder subir el escalón de 5 mm cuando la fuerza P de
empuje es de 600 N. Encuentre el mínimo radio permisible para la rueda en A. ¿Se volteará el
carro para las cargas asumidas? (Medidas en mm)
375
P
1200
G2
C
B
A
700
500
5
G1
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Ejercicio 15a
Un ingeniero de seguridad desea realizar pruebas para conocer la carga máxima (WL) que puede
levantarse mediante la máquina elevadora sin que ocurra vuelco. Con el fin de evitar accidentes
que puedan afectar la integridad del ingeniero, la empresa lo contrató a usted para determinar
dicha carga sin necesidad de que alguien se monte en la máquina.
El peso del operador y de la máquina (WF) es de 600 kN.
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Ejercicio 15b
Una empresa fabricará ventiladores de piso. Los
diseñadores industriales han propuesto dos
opciones: un ventilador de 3 patas y otro de 4
patas. Ya que el futuro de la empresa depende
del éxito de los ventiladores, el gerente lo ha
contratado a usted para verificar la seguridad
ante el volcamiento de ambas propuestas.
h=82 cm.
Para su análisis tenga en cuenta los siguientes
datos:
 El peso combinado (motor, aspas, patas y
paral) es: W3patas=87 N ; W4patas=90 N.
 Longitud de las patas, b=30 cm.
 Todas las patas tienen pequeños cauchos en
sus extremos que evitan el deslizamiento
(traslación) sobre la superficie.
 Cuando el ventilador está funcionando, las
aspas ejercen una fuerza de empuje (T), la
cual incrementa con la velocidad de las
aspas.
Desde el punto de vista de la seguridad al
volcamiento, ¿cuál de los dos ventiladores
tendrá un mayor éxito en el mercado?

Para cada caso, las patas están espaciadas
igualmente
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Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido
AD ES UN CABLE.
DETERMINE LAS REACCIONES EN C Y LA TENSIÓN EN EL CABLE.
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Ejercicio 16
La barra ABCD está doblada en forma de un arco circular de 4 pulgadas de rado y descansa sobre
superficies sin fricción en A y D. Si el collarín colocado en B se puede mover libremente por la
barra, determine a) el valor de 𝜃 para el cual la tensión en la cuerda OB es mínima, b) el valor
correspondiente de la tensión, c) las reacciones en A y D
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Ejercicio 17
El bloque C de peso 50 kN, descansa sobre la barra uniforme AB de peso 20 kN. El cable que \
conecta C con B pasa sobre una polea en D. Determine la magnitud de la fuerza que actúa entre
el bloque y la barra.
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Ejercicio 18
Una barra de longitud L y peso W, se une por uno de sus extremos a un collar en A y por el otro a
una pequeña rueda en B, la cual gira libremente a lo largo de la superficie cilíndrica de radio R.
Despreciando la fricción de la superficie, determine una expresión para el ángulo teta (Ɵ) que se
cumpla cuando la barra esté en equilibrio
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Ejercicio 19
Una barra uniforme AB de longitud l y peso W, se sostiene por dos cuerdas AC y BC de igual
longitud. Demuestre que, para la posición de equilibrio, se cumple la siguiente expresión
1
senθ = 2Mo cot β
𝑊𝑙
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Ejercicio 20
La barra AB, de masa m y longitud L, se une a dos bloques en sus extremos, los cuales giran
libremente por ranuras circulares. Si 𝛼 = 45°, determine:
a) El valor máximo de L para que el que la barra se encuentra en equilibrio.
b) Las reacciones en A y B.
B
𝜶
A
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Ejercicio 21
Una barra delgada uniforme de longitud L y peso W, está balanceada sobre un vaso de diámetro
interno D, de superficie lisa. Determine el ángulo 𝜃 correspondiente a la posición de equilibrio.
Planta
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Ejercicio 22
Dos esferas pesadas, unidas entre sí por una
cuerda de peso y espesor despreciable, son
colgadas de una polea sin fricción y de diámetro
despreciable. La polea está sostenida por un eje
en el extremo volado de una barra.
polea
Para la posición mostrada en la figura (con la
esfera más grande por encima de la pequeña), el
sistema se encuentra en equilibrio estático.
Determine la tensión en la cuerda y la fuerza de
contacto entre las esferas.
Asuma que todas las superficies son lisas.
𝑟1 = 8 𝑐𝑚, 𝑟2 = 6 𝑐𝑚
𝑤1 = 161 𝑘𝑔𝑓, 𝑤2 = 91 𝑘𝑔𝑓
1
𝐿𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 (𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠) = 34 𝑐𝑚
2
Nota: las esferas fueron perforadas
diametralmente para que su centro de masa
coincida con el centro geométrico.