UNIDAD Nº 1

UNIDAD N° 1
LÓGICA
SIMBÓLICA
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
LÓGICA SIMBÓLICA
DEFINICIÓN Nº 1:
La LÓGICA SIMBÓLICA o LÓGICA MATEMÁTICA es una disciplina que
estudia los sistemas formales, todo ello como parte de los fundamentos de las
matemáticas. Comprende aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas
matemáticamente.
¿POR QUÉ ESTUDIAR LÓGICA SIMBÓLICA?
Estudiaremos Lógica Simbólica por varias razones.
La primera de ellas es que en los distintos espacios curriculares que se
cursarán, deberá demostrarse a menudo que ciertos enunciados son verdaderos o
falsos y encontraremos respuesta en la Lógica Simbólica.
Generalizando un poco más, podemos decir que constituye una herramienta de
gran valor para comprender la manera en que se organizan los conocimientos
científicos en teorías, ya que éstas suponen un lenguaje y una forma de
razonamiento particulares.
En la vida cotidiana pocas veces nos detenemos a reflexionar sobre el lenguaje
que utilizamos y la forma en que establecemos argumentos acerca de hechos que
observamos o imaginamos. A veces se producen malos entendidos, sencillamente
por efecto de la ambigüedad en el uso de las palabras; menos aún se nos ocurre
“formalizar” lo que decimos, simplemente nos comunicamos.
En la ciencia en general y en Matemática en particular, se presenta la situación
contraria. Se utilizan códigos ya establecidos. Sería imposible pensar en el avance
de los conocimientos sin un lenguaje común, claro y sin ambigüedades. Y allí
encontramos otra razón para incluir la Lógica Simbólica en nuestro programa.
Es necesario entonces, que acordemos con respecto a la precisión del lenguaje
a utilizar, la simbología a emplear para simplificar enunciados y esquemas de
razonamiento.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
19
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
Y a eso apunta esta unidad. En ella nos introduciremos al estudios de la Lógica
Proposicional, considerando proposiciones, conectivos, operaciones entre las
proposiciones y lógica cuantificacional.
PROPOSICIONES
DEFINICIÓN Nº 2:
Formalmente, se define una PROPOSICIÓN como toda expresión del
lenguaje para la que tiene sentido afirmar que es verdadera o falsa, pero no
ambas a la vez.
Al afirmar que tal proposición es verdadera o falsa, estamos dando lo que
se conoce como el “VALOR DE VERDAD” de la misma.
Veremos si se comprendió el concepto de proposición a
través de los siguientes ejemplos.
1. ¿Arreglarán bien las veredas de Chilecito?
2. El cinco es un número impar.
3. Chilecito tiene 2000 habitantes.
4. Córdoba es una provincia argentina.
5. ¡No grites!
6. El -3 es un número natural.
7. ¡Ojalá que apruebe álgebra!
Respecto a algunas de estas expresiones lingüísticas, no podemos decir si
son verdaderas o falsas y con respecto a otras sí.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
20
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
Dentro de las primeras incluimos los números 1, 5 y 7 puesto que se trata de
oraciones interrogativa, imperativa y exclamativa respectivamente.
En cuanto a los números 2, 3, 4 y 6, son susceptibles de ser verdaderas o
falsas, es decir, son proposiciones. Las proposiciones 2 y 4 son verdaderas,
mientras que la 3 y la 6 son falsas.
Es tu turno…
Indica si las siguientes expresiones lingüísticas son o no
proposiciones. Para aquellas que lo sean, da su valor de
verdad.
a) ¡Qué manera de expresarte!
b) Las calles de Chilecito tienen pozos.
c) ¿Seré rico algún día?
d) El conjunto de números enteros está contenido en el de números naturales.
e) La potenciación de números reales es distributiva con respecto a la sustracción.
f) ¿Elegí una carrera que me gusta?
g) La suma de dos números es igual al doble del primero de ellos.
h) ¡Estudiá!
RTA: Son proposiciones: b) V
d) F
e) F
g) F
LENGUAJE PROPOSICIONAL
El primer paso en el estudio de un lenguaje es definir los símbolos básicos que
lo constituyen (alfabeto) y cómo se combinan para formar sentencias.
En el caso del lenguaje proposicional, éste está constituido por:
•
Símbolos de veracidad: V para verdadero y F para falso.
•
Símbolos de variables: p, q, r, s,... (se utilizan letras minúsculas del alfabeto).
•
Símbolos de conectivas: ∧,∨,∨, ∼ (o −), ⇒, ⇔ .
•
Símbolos de puntuación: ( , ), para evitar ambigüedades.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
21
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
CONECTIVOS LÓGICOS
DEFINICIÓN Nº 3:
Cuando se vinculan dos o más proposiciones simples, se obtiene una
PROPOSICIÓN COMPUESTA.
El vínculo se establece a través de los llamados CONECTIVOS LÓGICOS.
Los conectivos son partículas lógicas mediante las cuales se conectan dos
o más proposiciones simples, o se modifica una proposición dada.
Analizaremos algunos enunciados en los que se vinculan
dos o más proposiciones simples:
1) Los números racionales y los irracionales son reales.
2) El triángulo es acutángulo o es isósceles.
3) El número es mayor a cero o es menor a cero.
4) Si el cuadrilátero es un rombo, entonces es un paralelogramo.
5) Un número es divisible por el número 3 si y sólo si la suma de sus dígitos es
divisible por 3.
6)
1
no es un número irracional.
2
Analizaremos estos enunciados determinando cuáles son sus proposiciones
simples y sus conectivos.
1) Los números racionales y los irracionales son reales.
El enunciado anterior vincula las siguientes proposiciones simples:
p: “Los números racionales son reales”
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
22
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
q: “Los números irracionales son reales”
El conectivo utilizado es “y”, al cual simbolizaremos mediante ∧ .
Así, la proposición puede ser escrita en lenguaje simbólico como: p ∧ q .
2) El triángulo es acutángulo o es isósceles.
El enunciado anterior vincula las siguientes proposiciones simples:
p: “El triángulo es acutángulo”
q: “El triángulo es isósceles”
El conectivo utilizado es “o”, al cual simbolizaremos mediante ∨ .
El conectivo indica que el triángulo puede ser acutángulo o isósceles o ambos a
la vez, es decir, podemos tener un triángulo acutángulo isósceles.
Así, la proposición puede ser escrita en lenguaje simbólico como: p ∨ q .
3) El número es mayor a cero o es menor a cero.
El enunciado anterior vincula las siguientes proposiciones simples:
p: “El número es mayor a cero”
q: “El número es menor a cero”
El conectivo utilizado es “o”, al cual simbolizaremos mediante ∨ .
Diferenciamos este caso del anterior puesto que la proposición compuesta
plantea situaciones excluyentes, es decir, si ocurre una, es imposible que ocurra la
otra.
Así, la proposición puede ser escrita en lenguaje simbólico como: p∨q .
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
23
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
4) Si el cuadrilátero es un rombo, entonces es un paralelogramo.
El enunciado anterior vincula las siguientes proposiciones simples:
p: “El cuadrilátero es un rombo”
q: “El cuadrilátero es un paralelogramo”
El conectivo utilizado es “Si…entonces”, al cual simbolizaremos mediante ⇒ .
Así, la proposición puede ser escrita en lenguaje simbólico como: p ⇒ q .
5) Un número es divisible por el número 3 si y sólo si la suma de sus
dígitos es divisible por 3.
El enunciado anterior vincula las siguientes proposiciones simples:
p: “Un número es divisible por 3”
q: “La suma de los dígitos de un número es divisible por 3”
El conectivo utilizado es “Si y sólo si”, al cual simbolizaremos mediante ⇔ .
Así, la proposición puede ser escrita en lenguaje simbólico como: p ⇔ q .
6) ½ no es un número irracional.
En el enunciado anterior sólo podemos observar la proposición:
p: “
1
es un número irracional”
2
Hemos dicho ya que un conectivo es un nexo que vincula dos proposiciones, o
que modifica una de ellas. Esta última situación se da con el conectivo “no”, que se
simboliza mediante − .
Este conectivo se denomina singular, puesto que afecta a una sola proposición,
mientras que todos los anteriores se denominan binarios.
Así, la proposición puede ser escrita en lenguaje simbólico como: −p .
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
24
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
Podemos resumir lo anterior en la siguiente tabla:
LEEMOS
SIMBOLIZAMOS
“y”
∧
“o”
∨
“o”…”o”
∨
“si….entonces…”
⇒
“si y sólo si”
⇔
“no”
−
A poner en práctica lo aprendido…
1) Indica a qué tipo de disyunción corresponde la planteada en los siguientes
ejemplos.
a) A las 20 horas iré a la facultad o me quedaré en mi casa.
b) Un alumno queda libre por inasistencia a los parciales o aplazo.
c) La provincia de La Rioja está localizada al oeste de la Argentina o al sur de la
misma.
d) Los apuntes son útiles o interesantes.
e) Mi papá es alto o flaco.
f) Los ángulos son obtusos o agudos.
RTA:
DISYUNCIÓN INCLUSIVA
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
b, d, e
a, c, f
2) Enunciar la negación de cada una de las siguientes proposiciones y analizar
el valor de verdad de la proposición y de su negación.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
25
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
a) 5 es divisor de 12.
b) 2 es un número primo.
c) Todo número real elevado a la potencia uno da por resultado el mismo número.
d) La radicación de números reales es distributiva con respecto a la adición.
e) Los ángulos alternos internos entre paralelas son suplementarios.
f) Los ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes.
RTA: a) FALSA. Negación VERDADERA: 5 no es divisor de 12.
b)
VERDADERA. Negación FALSA: 2 no es un número primo.
c) VERDADERA. Negación FALSA: Todo número real elevado a la potencia uno no da por
resultado el mismo número.
d) FALSA. Negación VERDADERA: La radicación de números reales no es distributiva con respecto a
la adición.
e) FALSA. Negación VERDADERA: Los ángulos alternos internos entre paralelas no son
suplementarios.
f)
congruentes.
VERDADERA. Negación FALSA: Los ángulos correspondientes entre paralelas no son
3) Para cada uno de los siguientes enunciados, determina las proposiciones
simples intervinientes, el conectivo a través del cual se vinculan y simbolízalas.
a) Los encuestados se manifiestan a favor o en contra del gobierno.
b) La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
c) Soy soltero o casado.
d) La demanda de un bien aumenta si y sólo si bajan los precios.
e) Si el triángulo es equilátero, entonces es isósceles.
f) Pasaré las vacaciones en Argentina o en Brasil.
g) El examen se aprueba si y sólo si se sacan más de 3 puntos.
h) Si un número es racional entonces es real.
i) La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.
j) No puedo estudiar el fin de semana.
RTA:
a
b
c
p
Los encuestados se manifiestan a favor
del gobierno
La suma de dos números naturales es
otro número natural
Soy soltero
q
Los encuestados se manifiestan en
contra del gobierno
El producto de dos números naturales
es otro número natural
Soy casado
SIMBOLIZACIÓN
p∨q
p∧q
p∨q
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
26
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
d
e
f
g
h
i
j
La demanda de un bien aumenta
El triángulo es equilátero
Pasaré las vacaciones en Argentina
El examen se aprueba
Un número es racional
La radicación es distributiva con respecto
a la multiplicación
Puedo estudiar el fin de semana
Bajan los precios
El triángulo es isósceles
Pasaré las vacaciones en Brasil
Se sacan más de 3 puntos
Un número es real
La radicación es distributiva
respecto a la división
-
con
p⇔q
p⇒q
p∨q
p⇔q
p⇒q
p∧q
−p
TABLAS DE VERDAD
DEFINICIÓN Nº 4:
La TABLA DE VERDAD de una proposición es un cuadro que determina si
ésta es verdadera o falsa, teniendo en cuenta todas las formas posibles que se
pueden presentar al vincular las proposiciones simples que intervienen.
Una proposición simple, simbolizada en general por una letra p, q, r, etc., o es
verdadera o es falsa. Por ello, su tabla de verdad consta de dos valores posibles.
p
V
F
El valor de verdad de una proposición compuesta se determina conociendo el
valor de verdad de las proposiciones simples que la componen. Así por ejemplo, si
hay dos proposiciones p y q, puede ocurrir que ambas sean verdaderas; o bien la
primera verdadera y la segunda falsa; o falsa la primera y verdadera la segunda o
ambas falsas.
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
27
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
Como podemos observar:
• Si hay una proposición, tenemos 21 = 2 posibilidades.
• Si hay dos proposiciones, tenemos 22 = 4 posibilidades.
En general, si hay n proposiciones vinculadas, habrá 2n
posibilidades.
Presenta las ocho posibilidades para la vinculación de
tres proposiciones.
RTA:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
OPERACIONES LÓGICAS
Consideremos ahora las proposiciones compuestas que se originan mediante el
uso de los distintos conectivos y veamos cómo se construyen sus tablas de verdad.
Las operaciones lógicas que se realizan al vincular proposiciones mediante los
distintos conectivos son: conjunción, disyunción, disyunción exclusiva, condicional,
bicondicional y negación.
Completamos entonces la tabla presentada anteriormente.
LEEMOS
SIMBOLIZAMOS
OPERACIÓN
“y”
∧
Conjunción
“o”
∨
Disyunción Inclusiva
“o”…”o”
∨
Disyunción Exclusiva
“si….entonces…”
⇒
Condicional
“si y sólo si”
⇔
Bicondicional
“no”
−
Negación
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
28
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
CONJUNCIÓN
DEFINICIÓN Nº 5:
La CONJUNCIÓN de las proposiciones simples p, q, es la proposición
compuesta que se obtiene uniéndolas a ambas, en el orden dado, mediante la
conjunción “y”.
En símbolos, se indica p ∧ q .
Analizaremos la conjunción a través de un ejemplo:
p: “Juan estudia Profesorado en Matemática”.
q: “Juan tiene 18 años cumplidos”.
La proposición compuesta Conjunción de p con q, que simbolizamos p ∧ q se
enuncia “Juan estudia Profesorado en Matemática y tiene 18 años cumplidos”.
Si ambas proposiciones son verdaderas, encontramos coherente afirmar que el
enunciado compuesto también lo sea.
En cambio, si alguna de las proposiciones o ambas son falsas, la proposición
compuesta, también lo será.
Por lo tanto, para dos proposiciones cualesquiera, el valor de verdad de la
proposición compuesta p ∧ q se muestra en la siguiente tabla:
p
q
p∧ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Observando la tabla podemos concluir en que la
conjunción sólo es verdadera cuando ambas proposiciones
son verdaderas.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
29
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
DISYUNCIÓN INCLUSIVA
Como ya vimos, asociado al conectivo “o” está la operación disyunción. La
palabra “o” tiene en la vida diaria un sentido ambiguo, ya que puede significar
inclusión o exclusión.
Llamaremos simplemente disyunción a la operación asociada con el primer
significado.
DEFINICIÓN Nº 6:
La DISYUNCIÓN de las proposiciones p, q, es la proposición compuesta
que se obtiene uniendo ambas proposiciones simples, mediante el conectivo “o”,
con sentido incluyente.
En símbolos se indica p ∨ q .
Si p y q son las proposiciones del ejemplo anterior, p ∨ q es “Juan es estudiante
de Profesorado en Matemática o Juan tiene 18 años cumplidos”.
Si las dos proposiciones son falsas, entonces la proposición compuesta
también lo será, mientras que en los restantes casos, resultará verdadera.
Por lo tanto, para dos proposiciones cualesquiera, el valor de verdad de la
proposición compuesta p ∨ q se muestra en la siguiente tabla:
p
q
p∨ q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Observando la tabla podemos concluir en que la
disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son
falsas.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
30
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Sean:
p: “Juan estudiará Matemática el martes a las 22 horas”.
q: “Juan irá a jugar al pool con sus amigos el martes a
las 22 horas”.
La proposición compuesta “El martes a las 22 horas Juan estudiará Matemática
o irá a jugar al pool con sus amigos” es una disyunción exclusiva ya que es
imposible hacer ambas cosas al mismo tiempo: “o” estudia Matemática, “o” va a
jugar al pool con sus amigos.
El significado del enunciado nos permitirá distinguir entre la disyunción inclusiva
y la exclusiva.
Como sólo es posible que Juan realice una de las dos actividades el martes a
las 22 horas, la proposición compuesta será verdadera cuando ambas proposiciones
tengan distinto valor de verdad (una verdadera y la otra falsa) y falsa en los demás
casos.
Por lo tanto, para dos proposiciones cualesquiera, el valor de verdad de la
proposición compuesta p∨q se muestra en la siguiente tabla:
p
q
p∨ q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Observando la tabla podemos concluir en que la
disyunción
exclusiva
es
verdadera
cuando
ambas
proposiciones tienen distinto valor de verdad.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
31
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
CONDICIONAL O IMPLICACIÓN MATERIAL
Como ya vimos, “Si… entonces” es uno de los conectivos lógicos que usamos
cada vez que enunciamos algo en forma condicional.
Por ejemplo:
“Si el número es mayor que 7, entonces es mayor que 2”.
“Si se aumentan los sueldos, entonces el personal estará conforme.”
“Si el número es divisible por 6, también lo es por 3”.
En este último ejemplo, se ha omitido la palabra entonces. No por ello deja de
ser un condicional. Tampoco deja de serlo si el enunciado es: “Se podrá rendir
Álgebra si se tiene el curso de nivelación aprobado”.
DEFINICIÓN Nº 7:
La IMPLICACIÓN MATERIAL de p con q, es la proposición compuesta
p ⇒ q que se obtiene anteponiendo a la primera el condicional “si” y uniendo
ambas, mediante la palabra “entonces”.
p y q reciben el nombre de ANTECEDENTE y CONSECUENTE
respectivamente.
En símbolos, se indica p ⇒ q .
Para dos proposiciones cualesquiera, el valor de verdad de la proposición
compuesta p ⇒ q se muestra en la siguiente tabla:
p
q
p⇒ q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
32
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
Observando la tabla podemos concluir en que el
condicional es falso sólo cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso.
BICONDICIONAL
DEFINICIÓN Nº 8:
El bicondicional de las proposiciones p y q, es la proposición compuesta
que simbolizamos con p ⇔ q , y que formamos uniéndolas mediante las palabras
“si y sólo si”.
El bicondicional está estrechamente relacionado con el condicional. El prefijo
“bi” tiene acá el sentido que habitualmente le damos, esto es, doble.
En el caso del bicondicional, actúa dos veces el condicional: p ⇒ q y q ⇒ p .
Para dos proposiciones cualesquiera, el valor de verdad de la proposición
compuesta p ⇔ q se muestra en la siguiente tabla:
p
q
p⇔ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Observando la tabla podemos concluir en que el
bicondicional
es
verdadero
sólo
cuando
ambas
proposiciones tiene el mismo valor de verdad.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
33
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
NEGACIÓN
DEFINICIÓN Nº 9:
La negación de una proposición p es la proposición que se obtiene
anteponiendo a la dada: “Es falso que…”, o bien precediéndola de la palabra
“no”.
En símbolos se expresa: −p .
Si p es una proposición verdadera, su negación resulta falsa y si es falsa, su
negación resulta verdadera, como podemos observar en la siguiente tabla:
p
−p
V
F
F
V
EMPLEO DE MÁS DE UN CONECTIVO
En las proposiciones compuestas consideradas hasta aquí hemos vinculado, a
lo sumo, dos proposiciones a través de conectivos lógicos. Pero podemos encontrar
otros enunciados o proposiciones más complicados que requieran el uso de varios
conectivos lógicos.
DEFINICIÓN Nº 10:
Cuando
ocurre
que una proposición compuesta
resulta siempre
verdadera, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones
intervinientes, se dice que es una TAUTOLOGÍA. Por su parte, cuando resulta
siempre falsa, se dice que es una CONTRADICCIÓN.
Cuando una proposición compuesta presenta una tabla de verdad en la
que aparecen valores verdaderos y falsos (como en el ejemplo) se denomina
CONTINGENCIA.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
34
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
Realizaremos una serie de ejemplos para comprender
los conceptos anteriormente expuestos.
1) Analizaremos la siguiente proposición compuesta:
“Si hoy sale el sol y no hace frío iré a pasear o me juntaré con mis
amigas”.
Esta proposición compuesta involucra 4 proposiciones simples:
p: Hoy sale el sol.
q: Hoy hace frío.
r: Hoy iré a pasear.
s: Hoy me juntaré con mis amigas.
En forma simbólica esta proposición se expresa: ( p ∧ −q) ⇒ ( r ∨ s )
Para construir la tabla de verdad de cualquier
proposición compuesta, se sigue un procedimiento en el que
es importante respetar el orden de las operaciones lógicas.
Éste es:
• Negación
• Conjunción. Disyunción.
• Condicional.
• Bicondicional.
Cabe aclarar que la presencia de paréntesis, corchetes
y llaves puede alterar el orden dado.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
35
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
Supongamos que queremos construir la tabla de verdad de la proposición
compuesta del ejemplo.
El primer paso consiste en determinar las distintas posibilidades de valor de
verdad de las proposiciones intervinientes. Recordemos que son 2n donde n es el
número de proposiciones. Como consta de cuatro proposiciones simples tenemos
24 = 16 posibilidades.
(p
∧
−
q)
⇒
(r
∨
s)
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
1
1
1
1
El paso 2 es construir la tabla de verdad de - q.
∧
⇒
∨
−
q)
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
(p
(r
s)
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
36
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
1
2
1
1
1
El paso 3 es efectuar la conjunción p ∧ −q y la disyunción r ∨ s .
(p
∧
−
q)
V
F
F
V
F
V
⇒
(r
∨
s)
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
1
3
2
1
1
3
1
El último paso consiste en realizar el condicional entre lo obtenido en el tercer
paso.
La columna señalada muestra el resultado final.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
37
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
(p
∧
−
q)
⇒
(r
∨
s)
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
1
3
2
1
4
1
3
1
2) Verificaremos la validez del siguiente razonamiento:
Si no viene la profesora, salgo temprano.
Si salgo temprano, entonces me juntaré con mis amigos.
No vino la profesora.
Por lo tanto me juntaré con mis amigos.
Este razonamiento involucra 3 proposiciones simples:
p: Viene la profesora.
q: Salgo temprano.
r: Me juntaré con mis amigos.
La primera proposición compuesta que compone el razonamiento se simboliza:
−p ⇒ q .
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
38
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
La segunda proposición compuesta que compone el razonamiento se
simboliza: q ⇒ r .
La tercera proposición que compone el razonamiento es −p .
La conclusión del razonamiento es : r .
Si ocurre lo que indica la primera proposición compuesta “y” ocurre lo que
indica la segunda proposición compuesta “y” ocurre lo que indica la tercera
proposición, “entonces” ocurrirá la conclusión.
Lo que queremos decir con esto es que unimos la simbolización de las tres
primeras proposiciones mediante el conectivo ∧ de la siguiente manera:
( −p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ r ) ∧ −p
Por último, como todo lo anterior implica r , entonces la forma simbólica
definitiva del razonamiento anterior es:
( −p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ r ) ∧ −p  ⇒ r
Realizaremos la tabla de verdad de tal manera de verificar la validez o no del
razonamiento.
Como se tienen 3 proposiciones simples tenemos 23 = 8 posibilidades.
[( −
p
⇒
q)
∧
(q
⇒
r)
∧
−
p]
⇒
r
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
1
1
1
1
1
1
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
39
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
El paso 2 es resolver las negaciones.
[( −
p
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
⇒
∧
⇒
∧
⇒
−
p]
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
2
1
1
1
1
2
1
1
q)
(q
r)
r
El paso 3 es efectuar la conjunción −p ⇒ q y el condicional q ⇒ r (a esto último
también lo podríamos haber resuelto en el paso anterior).
[( −
p
⇒
q)
F
V
V
F
V
F
(q
⇒
r)
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
∧
∧
⇒
−
p]
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
2
1
3
1
1
3
1
2
1
1
r
En cuarto lugar resolveremos la conjunción ( −p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ r ) .
[( −
p
⇒
q)
∧
(q
⇒
r)
F
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
∧
⇒
−
p]
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F
F
2
1
3
1
4
1
3
1
2
1
1
r
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
40
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
En quinto lugar resolveremos la conjunción restante.
[( −
p
⇒
q)
∧
(q
⇒
r)
∧
−
p]
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
2
1
3
1
4
1
3
1
5
2
1
1
⇒
r
El último paso consiste en realizar el condicional entre lo obtenido en el quinto
paso y r. La columna señalada muestra el resultado final.
[( −
p
⇒
q)
∧
(q
⇒
r)
∧
−
p]
⇒
r
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
2
1
3
1
4
1
3
1
5
2
1
6
1
El resultado obtenido es una tautología, lo cual indica que el razonamiento
presentado es verdadero siempre.
EQUIVALENCIA LÓGICA
DEFINICIÓN Nº 11:
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
41
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
Dos PROPOSICIONES que tienen idénticas tablas de verdad, se dicen
LÓGICAMENTE EQUIVALENTES.
Esto significa que al vincularlas con el conectivo bicondicional, el mismo
resulta lógicamente verdadero.
Por
ejemplo,
( p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ p )
las
proposiciones
p⇔q
y
son lógicamente equivalentes.
En efecto, veamos las tablas de verdad de una y de otra:
p
⇔
q
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
(p
⇒
q)
∧
(q
⇒
p)
V
V
F
F
1
V
F
V
V
2
V
F
V
F
1
V
F
F
V
3
V
F
V
F
1
V
V
F
V
2
V
V
F
F
1
Cada tabla de verdad ha sido construida teniendo en cuenta las tablas de
verdad de los conectivos vinculantes.
Podemos observar que las columnas remarcadas en ambos casos son
idénticas. Ello indica que las proposiciones p ⇔ q
y
( p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ p )
son
lógicamente equivalentes.
Te invito a resolver los siguientes ejercicios…
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
42
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
1) Construye las tablas de verdad de las siguientes proposiciones compuestas
e indica si se trata de tautologías, contradicciones o contingencias.
a) ( p ⇒ q ) ∧ −q ⇒ −p
b) p ∧ ( q ⇒ r )
c) ( p ∧ q) ⇔ −p ∨ −q
d)  − ( p ⇒ q ) ⇔ ( q ∧ −r )  ∨ p
RTA: a) Tautología
b) Contingencia
( p
⇒
q)
∧
−
q]
⇒
−
p
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
c) Negación
p
∧
(q
⇒
r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
d) Contingencia
(p
∧
q)
⇔
−
p
∨
−
q
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
[ − (p
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
⇒
q)
⇔
(q
∧
−
r ) 
∨
p
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
2) Para cada uno de los siguientes enunciados, señala las proposiciones
simples intervinientes, simboliza las mismas y los conectivos que las vinculan y
construye las tablas de verdad.
a) Si intentas resolver los ejercicios, comprobarás cuánto has comprendido el tema
enseñado y aprenderás más del mismo.
b) Estudio y no apruebo, sólo si la profesora es injusta o tengo mucha mala suerte.
c) Si hago una lectura comprensiva y una aplicación práctica, conseguiré entender
este tema.
d) Es falso que para aprobar Álgebra se exija el 100% de las respuestas correctas y
dedicación de tiempo completo.
e) El viernes iré a clase, responderé al profesor y haré los trabajos prácticos.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
43
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
RTA:
p
⇒
(q
∧
r)
a) p: Intentas resolver los ejercicios.
q: Comprobarás cuánto has comprendido el tema enseñado.
r: Aprenderás más el tema enseñado.
p ⇒ (q ∧ r )
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
b) p: Estudio.
q: No apruebo.
r: La profesora es injusta.
s: Tengo mucha mala suerte.
( p ∧ −q ) ⇔ ( r ∨ s )
(p
∧
−
q)
⇔
(r
∨
s)
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
(p
∧
q)
⇒
r
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
−
F
V
V
V
(p
∧
q)
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
c) p: Hago una lectura comprensiva.
q: Hago una aplicación práctica.
r: Conseguiré entender este tema.
(p ∧ q) ⇒ r
d) p: Para aprobar Álgebra se exige el 100% de las respuestas correctas.
q: Para aprobar Álgebra se exige dedicación de tiempo completo.
− ( p ∧ q)
e) p: El viernes iré a clase.
q: El viernes responderé al profesor.
r: El viernes haré los trabajos prácticos.
p∧q∧r
p
V
V
V
V
F
F
F
F
∧
V
V
F
F
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
∧
V
F
F
F
F
F
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
44
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
3) Verifica la validez de los siguientes razonamientos.
a) Si estudio no desaprobaré Álgebra.
Si no miro televisión, entonces estudio.
Pero desaprobé Álgebra.
Por lo tanto miré televisión.
b) Si llueve, las calles se mojan.
Las calles están mojadas.
Por lo tanto ha llovido.
RTA:
a) p: Estudio.
q: Desaprobaré Álgebra.
r: Miro televisión.
( p ⇒ −q) ∧ ( −r ⇒ p) ∧ q ⇒ r
El razonamiento
TAUTOLOGÍA.
b)
es
válido:
( p
V
V
V
V
F
F
F
F
⇒
−
q)
∧
(−
r
⇒
p)
∧
q]
⇒
r
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
( p
V
V
F
F
⇒
q)
∧
q]
⇒
p
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
p: Llueve.
q: Las calles se mojan.
( p ⇒ q) ∧ q ⇒ p
Contingencia.
4) Demuestra que las siguientes proposiciones son tautologías construyendo
sus tablas de verdad. Ellas constituyen algunas de las leyes del Álgebra
Proposicional.
p ⇒ p
a) Identidad: 
p ⇔ p
b) Involución: − ( −p ) ⇔ p
( p ∧ p ) ⇔ p
c) Idempotencia: 
( p ∨ p ) ⇔ p
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
45
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
p ∧ ( p ∨ q) ⇔ p
d) Absorción: 
p ∨ ( p ∧ q) ⇔ p
e) Amplificación: p ⇒ p ∨ q
p ∧ q ⇔ q ∧ p
f) Conmutatividad: 
p ∨ q ⇔ q ∨ p
p ∧ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∧ q) ∧ r
g) Asociatividad: 
p ∨ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∨ q) ∨ r
p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )
h) Distributividad: 
p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )
− ( p ∧ q) ⇔ −p ∨ −q
i) Leyes de De Morgan: 
− ( p ∨ q) ⇔ −p ∧ −q
j) No contradicción: − ( p ∧ −p )
FUNCIONES PROPOSICIONALES
Cuando decimos:
• “x es un número primo”
• “y es un múltiplo de 4”
las letras x, y aluden a un elemento que está indeterminado
y son llamadas variables. Por ello estas afirmaciones no
son proposiciones ya que no podríamos decir que son
verdaderas o falsas.
En el primer ejemplo si reemplazamos x por un número determinado sí
obtendríamos una proposición:
“8 es un número primo”
“3 es un número primo”
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
46
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
Estos enunciados pueden ser verdaderos o falsos. En el primer caso es falso,
en el segundo es verdadero.
De la misma forma, si en el segundo ejemplo reemplazamos y por 12, la
expresión “y es un múltiplo de 4” se convierte en la proposición verdadera “12 es un
múltiplo de 4”.
DEFINICIÓN Nº 12:
Una expresión que contenga una variable y que se convierte en una
proposición cuando se sustituye a dicha variable por una constante
determinada, se denomina FUNCIÓN PROPOSICIONAL DE UNA VARIABLE.
Genéricamente se simboliza p(x).
Si p(x) es una función proposicional que está definida sobre un cierto
conjunto, los elementos de dicho conjunto que hacen que p(x) sea verdadera,
definen el CONJUNTO DE VERDAD de p(x).
Existen muchas situaciones en matemática en las que el
valor de verdad depende del valor de algunas variables.
Por ejemplo, cuando escribimos una ecuación como
2x + 1 = −1 , sólo podemos indicar su valor de verdad cuando x
toma un valor definido. Por ejemplo si x = 1, la propiedad es
falsa, y si x = −1 , ésta es verdadera.
Decimos entonces que
2x + 1 = −1 es también una función proposicional (en
este caso de un argumento, que es x); que p (1) es F pues 2 ⋅ 1 + 1 = 3 ≠ −1 , p ( −1) es
V pues 2 ⋅ ( −1) + 1 = −1 y que su conjunto de verdad es {−1} .
Existen funciones proposicionales con más parámetros, por ejemplo:
p ( x;y ) :
( x + 2y = 5
∧ x = 3 − y)
En este caso, por ejemplo, p (1;2 ) es verdadera y es falsa en todos los
restantes casos. El conjunto de verdad es entonces
{(1;2)}
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
47
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
En general, a una función proposicional de n parámetros la denotamos
p ( x1,…,xn ) .
Indica el conjunto de verdad de las siguientes funciones
proposicionales.
a) x es un día de la semana.
b) x es un número natural impar menor que 6.
c) 5x + 3 = 13
d) 4x + 2y = 1 ∧
-1 + 3y = 2x
RTA: a) {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
b) {1;3;5}
1
3

d) ( x; y ) / x =
, y= 
16
8

c) {2}
CUANTIFICADORES
Los CUANTIFICADORES aparecen como una manera de transformar de
manera global funciones proposicionales en proposiciones. Éstos son:
1. CUANTIFICADOR UNIVERSAL: se escribe ∀ y se lee “para todo”.
DEFINICIÓN Nº 13:
Dada una función proposicional p(x) definimos la proposición cuantificada
universalmente asociada a p(x) por ∀ x : p(x) .
La proposición p es V si para cualquier elemento, la proposición que resulta al
evaluar p(x) en ese elemento es V.
Resulta entonces que es falsa si encontramos un elemento que, al evaluarlo en
p(x), la proposición se hace F. Un elemento x 0 como ese, es decir para el cuál
p ( x 0 ) es falsa, se suele llamar un contraejemplo de ( ∀ x ) : p ( x ) .
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
48
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
Veamos los siguientes ejemplos.
En ellos nos iniciaremos en la tarea de efectuar
pequeñas demostraciones.
a) ∀ x ∈ ℕ : 3x + 2 ≥ 0
es verdadera pues si x ∈ ℕ ⇒ x ≥ 1
⇒
multiplicando por 3 a ambos
miembros de la desigualdad
3x ≥ 3
⇒
3x + 2 ≥ 5 y 5 ≥ 0 ⇒ 3x + 2 ≥ 0 ∀ x ∈ ℕ .
sumando 2 a ambos miembros de la desigualdad
¿Por qué efectuamos la demostración de esa manera?
En primer lugar deberemos haber decidido si la proposición cuantificada
universalmente es verdadera o falsa. En este caso, es verdadero que todo número
natural verifica que su triple aumentado en dos unidades es mayor o igual a cero.
Como lo que debemos demostrar debe verificarse para todo número natural
tomamos uno cualesquiera, un x ∈ ℕ . Pero, ¿qué es lo que sabemos respecto de los
naturales? Una de las características que conocemos es que todos ellos son
mayores o iguales a uno. Es por eso que de ahí partimos.
¿A dónde queremos llegar? De alguna manera precisamos que en nuestra
demostración “aparezca” la expresión 3x + 2 . Es por esto que multiplicamos a x por
3, pero debemos hacerlo a ambos miembros de la desigualdad, haciendo uso de la
propiedad uniforme. Por último sumamos 2, también a ambos miembros lo que nos
permite llegar a que 3x + 2 ≥ 5 . Siendo 5 ≥ 0 puede concluirse finalmente en lo que
se quería demostrar, que ∀ x ∈ ℕ : 3x + 2 ≥ 0 .
b) ∀ x ∈ ℕ : 3x + 2 ≤ 10 es falsa pues si tomamos, por ejemplo, x = 20 ∈ ℕ , la
expresión 3 ⋅ 20 + 2 ≤ 10 es falsa ( x = 20 es un contraejemplo en este caso, no es el
único).
Mostrar un contraejemplo cualesquiera es la manera de demostrar la falsedad
de la proposición cuantificada universalmente.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
49
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
2. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: se escribe ∃ y se lee “existe”.
Dada una función proposicional p(x) definimos la proposición cuantificada
existencialmente asociada a p(x) por ∃ x : p(x) .
La proposición p es verdadera si podemos encontrar por lo menos un elemento
que hace p(x) verdadero y es falsa si p(x) no es verdadera para ningún elemento x,
es decir, si ∀ x : −p(x) es verdadera.
Hemos hallado entonces la negación del cuantificador existencial:
− ( ∃ x : p(x) ) ⇔ ∀ x : −p(x)
La negación de un cuantificador existencial es equivalente a un
cuantificador universal respecto de la función proposicional negada.
Por su parte, la negación de un cuantificador universal es equivalente a un
cuantificador existencial respecto de la función proposicional negada.
− ( ∀ x : p(x) ) ⇔ ∃ x : −p(x)
Veremos ahora los siguientes ejemplos referidos a
proposiciones cuantificadas existencialmente.
a) ∃ x ∈ ℕ : x < −2 es falsa pues ningún número natural es menor a −2 .
Su negación sería ∀ x ∈ ℕ : x ≥ −2 y es verdadera en todos los casos.
b) ∃ x : x + 3 < 5 es verdadera pues, por ejemplo, ∃ 1: 1 + 3 < 5 .
Como podemos observar, para demostrar la veracidad de una proposición
cuantificada existencialmente es suficiente con mostrar un elemento que la verifique.
La negación de la proposición es ∀ x : x + 3 ≥ 5 y es falsa pues existe, por
ejemplo, −2 , tal que −2 + 3 = 1 y 1 no es mayor o igual a 5.
c) ∀ x : x − 2 = 4 es falsa pues existe por ejemplo 5: 5 – 2 ≠ 4.
Su negación sería: ∃ x : x − 2 ≠ 4 y es, naturalmente, verdadera (5 la verifica).
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
50
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
3. EXISTENCIA Y UNICIDAD: Se utiliza con frecuencia un cuantificador más:
∃! , que se lee “existe un único”. Dada una función proposicional p(x), ∃! x : p(x) es
verdadero cuando hay exactamente un elemento que hace verdadero p(x).
Aquí hay dos ideas simultáneas: Existe al menos un x que satisface p(x)
(EXISTENCIA), y es exactamente uno (UNICIDAD). Es así que esta proposición
puede ser construida usando los dos cuantificadores anteriores:
Analizamos algunas proposiciones en las que se trabaja con
las ideas de existencia y unicidad en forma simultánea.
a) ∃! x ∈ ℤ : x 2 = 4 es falsa pues si bien en este caso se verifica la existencia,
no se verifica la unicidad: tanto el 2 como el -2 son números enteros que al ser
elevados al cuadrado dan por resultado 4.
b) ∃! x ∈ ℕ : x 2 = 4 es verdadera pues el único número natural que al ser
elevado al cuadrado da por resultado 4 es el dos. Por lo tanto se verifica la
existencia y la unicidad.
Ponemos en práctica los últimos conceptos
aprendidos…
1) Expresar mediante cuantificadores las siguientes proposiciones y su
negación. Analizar el valor de verdad de ambas:
a) “Existe un x perteneciente al conjunto de los números naturales, tal que x es
menor que cero”.
b) “Existe un x perteneciente al conjunto de los números naturales, tal que 2x es un
número impar”.
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
51
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
_____________________________________________________________________________________________________
c) Todo x perteneciente al conjunto de números racionales puede expresarse como
cociente entre dos números enteros, siendo el divisor distinto de cero.
RTA: a) FALSO: ∃ x ∈ ℕ / x < 0 . Negación VERDADERA: ∀ x ∈ ℕ / x ≥ 0 .
b) FALSO: ∃ x ∈ ℕ / 2x es un número impar . Negación VERDADERA: ∀ x ∈ ℕ / 2x es un número
par.
c) VERDADERA: ∀ x ∈ ℚ : x = a / b con a,b ∈ ℤ,b ≠ 0 . Negación FALSA: ∃ x ∈ ℚ :
x ≠ a / b con
a,b ∈ ℤ,b ≠ 0
2) Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justificar
a) ∀ x ∈ ℕ : 2x − 1∈ ℕ
b) ∀ x ∈ ℕ : 2x − 3 ∈ ℕ
c) ∀ x ∈ ℕ : 3x es un número impar .
d) ∀ x ∈ ℤ : x < 0
e) ∃ x ∈ ℕ : 2x − 18 ∈ ℕ
f) ∃! x ∈ ℕ : 2x − 18 ∈ ℕ
g) ∃ x ∈ ℕ : 2x es un número impar
h) ∃! x ∈ ℕ : 2x es un número impar
i) ∃ x ∈ ℕ : 5x − 8 ≤ 2
j) ∃! x ∈ ℕ : 5x − 8 ≤ 2
k) ∃! x ∈ ℤ :
1
∈ℤ
x
RTA: a) V
g) F
b) F
h) F
c) F
i) V
d) F
j) F
e) V
k) F
f) F
_________________________________________________________________________________
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ”
52