Validación de modelos mecanísticos - Campus Montecillo

COLEGIO DE POSTGRADUADOS
INSTITUCIÓN DE ENSEÑANZA E INVESTIGACIÓN
EN CIENCIAS AGRÍCOLAS
CAMPUS MONTECILLO
SOCIOECONOMÍA, ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA
ESTADÍSTICA
VALIDACIÓN DE MODELOS MECANÍSTICOS
BASADA EN LA PRUEBA JI-CUADRADA DE FREESE,
SU MODIFICACIÓN Y EXTENSIÓN
SALVADOR MEDINA PERALTA
TESIS
PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL
PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS
MONTECILLO, TEXCOCO, EDO. DE MÉXICO
2006
AGRADECIMIENTOS
Le dedico esta tesis a mi esposa Teo y a mis hijos Ricardo y Daniela.
Al Colegio de Postgraduados, en especial al personal docente y administrativo
del Programa en Estadística.
A la Universidad Autónoma de Yucatán (UADY) por permitirme continuar con mi
formación académica.
Al Programa de Mejoramiento del Profesorado (PROMEP) por el apoyo
económico otorgado durante la estancia de mis estudios de Maestría.
A mi consejo particular:
Dr. Enrique Arjona Suárez, Dr. Jorge Navarro Alberto, Dr. Luís Vargas Villamil y Dr.
Germán Mendoza Martínez, por su disposición y aportaciones realizadas en el
desarrollo de este trabajo.
A Luís y Jorge por su amistad, entusiasmo, apoyo, disciplina, capacidad,
ejemplo... Gracias por su apoyo académico y personal en todos los proyectos
realizados.
I
ÍNDICE
Página
ÍNDICE……………………………...……………………………………….……………….
II
LISTA DE CUADROS……………………………………………………………………...
V
LISTA DE FIGURAS……………………….……………………………………………….
VII
RESUMEN…………………………………………………………………………………...
IX
SUMMARY…………………………………………………..…………….………………...
X
1. INTRODUCCIÓN……………...…………………………………………………………
1
2. OBJETIVOS………………………………………………………………………………
3
2.1. Objetivo general………………………………………………………………..
3
2.2. Objetivos específicos………………………………………………………….
3
3. REVISIÓN DE LITERATURA…………………………………………………………..
5
3.1. Sistema y variable de estado…………………………………………………
5
3.2. Modelo matemático……………………………………………………………
5
3.3. Modelación empírica y mecanística…………………………………………
7
3.4. Validación de modelos: conceptos y métodos……………………………..
8
3.4.1. Conceptos……………………………………………………………
8
3.4.2. Métodos para la validación de modelos…………………………..
12
3.5. Pruebas para el supuesto de normalidad…………………………………...
17
3.6. Transformaciones de datos…………………………………………………..
18
4. MATERIALES Y MÉTODOS……………………………………………………………
20
4.1. Descripción del modelo mecanístico Wakax POS…………………………
20
4.2. Descripción de los datos experimentales empleados en la
validación…………………………..…………………………………………..
21
4.3. Procedimientos estadísticos para la validación de modelos basados en
el planteamiento de Freese………………………………………………….
22
4.3.1. Conceptos básicos…………………………………………………..
23
4.3.2. Validación de modelos basada en el valor absoluto del error en
ausencia de sesgo………………………………………………….
25
4.3.2.1. Pruebas estadísticas para la exactitud requerida……
27
4.3.2.2. Prueba UMP(α’) para H'0 ……………………………….
29
II
4.3.3. Validación de modelos basada en el porcentaje del error en
ausencia de sesgo………………………………………………….
32
4.3.4. Validación por intervalo de confianza empleando el error crítico
en ausencia de sesgo………………………………………………
34
4.3.5. Planteamiento para validar un modelo en predicción de varias
variables………………………………………………….................
46
4.3.6. Planteamiento para la comparación de dos o más modelos en
predicción……………………………………………………...........
48
4.3.7. Validación de modelos basada en el valor absoluto del error en
presencia de sesgo constante…………………………………….
50
4.3.7.1. Pruebas estadísticas para la exactitud requerida……
52
4.3.8. Validación por intervalo de confianza empleando el error crítico
en presencia de sesgo constante…………………………………
56
4.3.9. Validación de modelos basada en el valor absoluto del error en
presencia de sesgo proporcional….……………..………............
61
4.3.9.1. Pruebas estadísticas para la exactitud requerida……
63
4.3.10. Validación por intervalo de confianza empleando el error
crítico en presencia de sesgo proporcional….…………………
65
4.3.11. Análisis exploratorio e identificación del sesgo…………………
68
5. RESULTADOS Y DISCUSIÓN…………………………………………………………
70
5.1. Procedimientos estadísticos para la validación de modelos basados en
el planteamiento de Freese.………...……………………………………….
70
5.2. Validación de modelos basada en el valor absoluto del error en
ausencia de sesgo…………………………………………………………....
71
5.2.1. Pruebas estadísticas para la exactitud requerida………………..
71
5.3. Validación de modelos basada en el porcentaje del error en ausencia
de sesgo…..…………………………………………………………………...
72
5.4. Validación por intervalo de confianza empleando el error crítico en
ausencia de sesgo……………………………………………………………
73
5.5. Planteamiento para validar un modelo en predicción de varias
variables………………………………………………………………………..
III
75
5.6. Planteamiento para la comparación de dos o más modelos en
predicción………………………………………………………………………
76
5.7. Validación de modelos basada en el valor absoluto del error en
presencia de sesgo constante……………………………………………….
77
5.7.1. Pruebas estadísticas para la exactitud requerida………………..
78
5.8. Validación por intervalo de confianza empleando el error crítico en
presencia de sesgo constante…….…………………………………………
79
5.9. Validación de modelos basada en el valor absoluto del error en
presencia de sesgo proporcional.………..………………………………….
81
5.9.1. Pruebas estadísticas para la exactitud requerida………………..
81
5.10. Validación por intervalo de confianza empleando el error crítico en
presencia de sesgo proporcional……………………………………………
82
5.11. Planteamiento para validar un modelo en predicción de varias
variables y para la comparación de dos o mas modelos en predicción
cuando el modelo presenta sesgo…………………………………………..
83
5.12. Sesgo y supuestos………………………………………………………......
84
5.13. Validación del modelo dinámico mecanístico Wakax POS en
predicción de la ganancia de peso……………………...…………………..
86
5.14. Validación del modelo dinámico mecanístico Wakax POS en
predicción de la materia seca, ácidos grasos volátiles, acetato,
propionato y butirato en el Rumen y Ciego……..………………………….
95
6. CONCLUSIONES……………………………………………………………………….. 106
7. BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………….. 108
ANEXO I…………………………………………………………………………………….. 116
ANEXO II…………………………………………………………...……………………….. 136
IV
LISTA DE CUADROS
Página
Cuadro 1. Promedios observados de ganancia de peso (kg) de 34 experimentos
y sus correspondientes simulados con el modelo Wakax POS……..….
86
Cuadro 2. Diferencia entre los valores observados y predichos, y la corrección
por sesgo constante……….………………………………………………...
90
Cuadro 3. Valores de DM, AGVs, Ac, Pr y Bu observados y predichos con el
modelo Wakax POS en el Rumen y Ciego……………...………………..
96
Cuadro 4. Medidas descriptivas de las diferencias entre los valores observados
y predichos para las DM, Ac, Pr, Bu y AGVs en el Rumen y Ciego……
99
Cuadro 5. Valores de las estadísticas MEF y CD para las variables DM, AGVs,
Ac, Pr y Bu en el Rumen y Ciego………………………………………….. 105
Anexo I
Cuadro I.1. Símbolos usados en el diagrama del modelo Turix….………………... 116
Cuadro I.2. Notación y abreviaciones empleadas en el modelo Wakax POS con
excepción del submodelo de Crecimiento animal…………………..…. 117
Cuadro I.3. Notación y abreviaciones empleadas en el submodelo de
Crecimiento animal……………………………………………….……….. 119
Cuadro I.4. Submodelo Concentrado (Co).…………...…………………………..…. 126
Cuadro I.5. Submodelo Pasto (Pa).…..……….………………….………………..…. 128
Cuadro I.6. Submodelo Caña de azúcar (CZ).……………………………..……..…. 130
Cuadro I.7. Submodelo Melaza.………………………………………….……………. 132
Cuadro I.8. Ecuaciones descriptivas.………………………………….…………..….. 133
Cuadro I.9. Submodelo Crecimiento animal.…………………………………………. 133
Anexo II
Cuadro II.1. Fuentes de los datos experimentales utilizados en la validación del
modelo Wakax POS en predicción de la GPP por día………………... 136
Cuadro II.2. Datos de los animales, cantidades de los alimentos suministrados y
la GPP por día observada y modelada con el modelo Wakax POS… 137
V
Cuadro II.3. Fuentes e información de los datos experimentales utilizados en la
validación del modelo Wakax POS en predicción en el Rumen y
Ciego de DM(%), AGVs(mM), Ac(%), Pr(%) y Bu(%)…………………. 139
VI
LISTA DE FIGURAS
Página
Figura 1. Esquematización de la exactitud contra la precisión……………………..
9
Figura 2. Comparación de las medidas de exactitud y precisión. La línea
punteada representa a la recta y=x………………………………………..
10
Figura 3. Valores hipotéticos del error crítico e*j (j=1,2,3) para cada variable…....
47
Figura 4. Valores hipotéticos de V(Dj) o εj (j=1,2,3) para cada variable…………...
48
Figura 5. Valores hipotéticos del error crítico e *j* (j=1,2) para la variable Y por
medio de los modelos 1 y 2 (M1 y M2)……………………………………
49
Figura 6. Relación entre el sesgo (di) y los valores simulados (zi) para la GPP.
d = 0.233 kg es la media de las diferencias (di)………………………….
88
Figura 7. Dispersión de los puntos (zi, yi) para la GPP. y=z es la recta que
representa la exactitud ideal.…………………………...…………………..
89
Figura 8. Relación entre los valores predichos (zi) y los observados (yi) para la
GPP. y=0.2798+0.6475z es la recta de regresión ajustada. y=z es la
recta de exactitud ideal…….....…………………………………………….
93
Figura 9. Dispersión de los puntos (zi, yi) para DM, Ac, Pr y Bu en el Rumen.
y=z es la recta que representa la exactitud ideal……………….……...
97
Figura 10. Dispersión de los puntos (zi, yi) para AGVs(mM) en el Rumen. y=z es
la recta que representa la exactitud ideal…………………………………
98
Figura 11. Relación entre el sesgo (di=yi-zi) y los valores simulados o predichos
(zi) para DM, Ac, Pr y Bu en el Rumen……………………………………
98
Figura 12. Relación entre el sesgo (di=yi-zi) y los valores simulados o predichos
(zi) para AGVs(mM) en el Rumen………………………………………….
99
Figura 13. Dispersión de los puntos (zi, yi) para DM, Ac, Pr y Bu en el Ciego. y=z
es la recta que representa la exactitud ideal……………………………... 100
Figura 14. Dispersión de los puntos (zi, yi) para AGVs(mM) en el Ciego. y=z es
la recta que representa la exactitud ideal………………………………… 101
Figura 15. Relación entre el sesgo (di=yi-zi) y los valores simulados o predichos
(zi) para DM, Ac, Pr y Bu en el Ciego……………………………………... 101
VII
Figura 16. Relación entre el sesgo (di=yi-zi) y los valores simulados o predichos
(zi) para AGVs(mM) en el Ciego…………………………………………… 102
Anexo I
Figura I.1. Representación esquemática del modelo Turix….……………………… 116
VIII
RESUMEN
Una etapa fundamental en la construcción de un modelo es su validación, la cual
presenta dificultades tanto conceptuales como prácticas. En este trabajo se presentó,
modificó y extendió el procedimiento de validación de modelos desarrollado por Freese
(1960). El método es una alternativa inferencial para determinar si las salidas del
modelo están suficientemente próximas a los valores observados del sistema real.
Permite analizar datos provenientes de modelos que presenten o no sesgo en sus
pronósticos sin modificar la estructura del modelo. Se establecieron los supuestos, la
estadística de prueba y el error crítico para el planteamiento original y alternativo del
procedimiento de Freese cuando el modelo presenta o no sesgo. Para el caso de sesgo
proporcional se presenta una modificación al método. Se expone un procedimiento
alternativo al de Reynolds (1984) para determinar el intervalo de confianza bilateral
(ICB) para el cuantil 1-α de la distribución de |D|. Se determinaron en términos del error
crítico los ICB para el cuantil 1-α de la distribución de D − D y εR , cuando el modelo
presenta sesgo constante y proporcional respectivamente. Con base al error crítico se
propone un método para validar un modelo en predicción de varias variables y otro para
comparar dos o más modelos en predicción del mismo sistema. Para ilustrar la
metodología basada en el planteamiento de Freese, se validó el modelo dinámico
mecanístico Wakax POS en predicción de la ganancia de peso promedio por día de
bovinos alimentados con caña de azúcar, maíz quebrado y/o melaza en una zona
tropical de México. Adicionalmente se utilizaron métodos gráficos y medidas
estadísticas para la validación en predicción de la materia seca (DM), ácidos grasos
volátiles (AGVs), acetato (Ac), propionato (Pr) y butirato (Bu) en el Rumen y Ciego. El
modelo Wakax POS puede usarse para predecir la ganancia de peso promedio por día,
aunque requerirá un ajuste con base a la presencia de sesgo constante para
incrementar su exactitud. El sesgo de las predicciones en el Rumen presenta mayor
amplitud para los AGVs, seguido por Ac, Pr, Bu y DM. En el Ciego el sesgo tiene mayor
amplitud para los AGVs, seguido por DM, Ac, Bu y Pr. A diferencia del coeficiente de
determinación del modelo, la eficiencia de modelado proporciona resultados
consistentes con los obtenidos de las técnicas visuales de validación.
Palabras clave: Validación, modelo mecanístico, prueba ji-cuadrada de Freese, error
crítico, corrección por sesgo.
IX
SUMMARY
A fundamental stage in the construction of a model is its validation, which
presents difficulties both conceptual and practical. In this work a procedure of model
validation developed by Freese (1960) is presented, and subsequently the procedure is
modified and extended. The method is an inferential alternative used to determine
whether the outputs of the model are sufficiently close to the observed values of the real
system. It allows to analyze data coming from models with or without bias, and without
modifying the structure of the model. The assumptions, the test statistic and the critical
error were established for the original and the alternative settings of Freese's procedure
for models possessing or not possessing bias. For the case of proportional bias a
modification to the method is presented. An alternative procedure to that given in
Reynolds (1984) is exposed in order to construct a two-sided confidence interval (TCI)
for the 1-α quantile of the distribution of |D|. TCI's were established in terms of the
critical error for the 1-α quantile of the distribution of D − D and εR , when the model
has constant and proportional bias, respectively. On the basis of the critical error, one
method of model-validation that predicts several variables and another one for the
comparison of two or more predictive models of the same system are proposed. To
illustrate the methodology based on Freese's approach, the mechanistic dynamic model
Wakax POS was validated for the prediction of the average weight gain per day of
bovines fed with sugar cane, broken corn and/or molasses in a tropical area of Mexico.
Additionally, graphical methods and statistical measures were used for the validation in
prediction of dry matter (DM), volatile fatty acids (VFAs), acetate (Ac), propionate (Pr)
and butirate (Bu) in Rumen and Cecum. The model Wakax POS can be used to predict
the average weight gain per day, but it will require an adjustment taking into account the
presence of constant bias in order to increase its accuracy. The bias of the predictions in
the Rumen presents larger amplitude for the VFAs, followed by Ac, Pr, Bu and DM. In
the Cecum the largest bias was attained for the VFAs, followed by DM, Ac, Bu and Pr.
Contrary to the coefficient of model determination, the modeling efficiency provides
consistent results with those obtained by the visual techniques of validation.
Keywords: Validation, mechanistic model, Freese chi-squared test, critical error, bias
correction.
X
1. INTRODUCCIÓN
En la construcción de un modelo se necesita tener conocimiento tanto de las
partes que conforman el sistema como de las interacciones existentes entre ellas,
aproximándose más el modelo a la realidad cuanto más detallado sea dicho
conocimiento. En el procedimiento de ajuste de modelos mecanísticos, se asumen
relaciones particulares entre las variables, llevando al modelador a aceptar alguna
desviación entre los datos y el modelo para obtener un modelo que explique
satisfactoriamente la situación bajo investigación (Giordano et al., 1997a).
En el proceso de modelación, los modeladores generalmente admiten que una
etapa fundamental es la validación de los modelos, sobre todo de aquellos que serán
utilizados para propósitos de predicción. La validación se define como la comparación
de las predicciones del modelo con los valores observados del sistema real para
determinar si el modelo es adecuado para el propósito establecido (Mayer y Buttler,
1993; Mitchell, 1997; Oberkampf y Trucano, 2002; Montgomery et al., 2002a; Halachmi
et al., 2004). Por su parte Reynolds (1984), señala que un método para determinar cuán
bien se comporta un modelo es comparar las predicciones del modelo con un modelo
existente o con valores observados del sistema real. Para Mayer y Buttler (1993), las
técnicas de validación se pueden agrupar en cuatro principales categorías: la
evaluación subjetiva, las técnicas visuales, las medidas de desviación y las pruebas
estadísticas.
En un buen modelo la realidad se simplifica lo suficiente para permitir los cálculos
matemáticos, pero incluso así debe ser bastante exacto para permitir conclusiones
valiosas respecto a la comprensión del fenómeno estudiado y a la predicción de su
comportamiento en el futuro. En consecuencia, si el modelo ajusta a los datos
observados, entonces dos de sus finalidades, quizás las más importantes, son
comprender el fenómeno y la predicción de su comportamiento. Por lo que en el
proceso de modelación matemática, la etapa de validación con datos observados
diferentes a los empleados en la obtención de los parámetros del modelo, juega un
papel fundamental para modelos que serán aplicados; donde las predicciones serán
1
empleadas en lugar de las mediciones del sistema real, las cuales pueden ser
demasiado costosas o difíciles de obtener.
Nuevos modelos son desarrollados y reportados en diferentes áreas del
conocimiento para usarse en predicción y estimación. Frecuentemente, el usuario del
modelo es una persona distinta de quien lo desarrolló y antes de que el modelo pase al
usuario debe hacerse una evaluación de su validez. En muchos casos los nuevos
modelos de simulación han sido presentados sin una adecuada validación (Reynolds,
1984; Barrales et al., 2004), o evaluación de las magnitudes de los errores que pueden
resultar de su uso (Reynolds, 1984). Las posibles razones son que: (a) en la literatura
científica ha habido relativamente poca discusión sobre la filosofía y procedimientos
para este tipo de investigación (Reynolds, 1984), (b) para efectuar una validación los
modeladores recurran a procedimientos simples, a su alcance, aparentemente
adecuados, incluyendo gráficos de dispersión de predicciones y observaciones, algunas
veces utilizando regresión, la cual es pensada como un método objetivo y cuantitativo
para medir cuán bueno es un modelo (Mitchell, 1997), (c) se utilizan diferentes términos
para referirse a la comparación de los valores predichos con los observados, y d) se
tienen una gran variedad de técnicas para validar modelos en las diferentes áreas del
conocimiento, en consecuencia no se cuenta con un sólo método o con un conjunto
único de técnicas aceptadas por la comunidad científica.
En el desarrollo de un modelo intervienen experimentadores, analistas de los
datos y modeladores; y un modelo es útil cuando captura los elementos adecuados de
la realidad con un grado aceptable de exactitud. En consecuencia, es importante hacer
cierta evaluación de su validez que permita contar con una medida de protección, tanto
para el modelador como para el usuario del modelo, cuando el modelo sea utilizado en
predicción del comportamiento del sistema. En este trabajo se presentó, modificó y
extendió el procedimiento estadístico inferencial de validación de modelos con o sin
sesgo desarrollado por Freese (1960), y se validó el modelo dinámico mecanístico de
“animal completo” Wakax POS en predicción de la ganancia de peso promedio por día,
materia seca, ácidos grasos volátiles, acetato, propionato y butirato de bovinos en
pastoreo suplementado con caña de azúcar, maíz quebrado y/o melaza en una zona
tropical de México.
2
2. OBJETIVOS
2.1. Objetivo general
Establecer la validación de modelos mecanísticos con base en la prueba jicuadrada de Freese (1960), y validar el modelo Wakax POS en predicción de la
ganancia de peso promedio por día, materia seca, ácidos grasos volátiles, acetato,
propionato y butirato de bovinos en pastoreo suplementado con caña de azúcar, maíz
quebrado y/o melaza en una zona tropical de México.
2.2. Objetivos específicos
1. Desarrollar el método de validación para modelos mecanísticos de simulación de
sistemas basado en el procedimiento de Fresse (1960).
a) Establecer los supuestos, la estadística de prueba y el error crítico para la
versión original y alternativa del procedimiento de Freese cuando el
modelo presente o no sesgo en sus predicciones.
b) Proponer un procedimiento alternativo al de Reynolds (1984), para
obtener el intervalo de confianza bilateral para el cuantil 1-α de la
distribución de |D|.
c) Obtener en términos del error crítico, los intervalos de confianza bilateral
para el cuantil 1-α de la distribución correspondiente, cuando el modelo
presente sesgo constante o proporcional.
d) Plantear un método para validar un modelo en predicción de varias
variables.
e) Plantear un procedimiento para comparar dos o más modelos de
predicción del mismo sistema.
2. Aplicar el método de validación al modelo dinámico mecanístico Wakax POS en
predicción de la ganancia de peso promedio por día.
3
3. Validar el modelo Wakax POS en predicción de la materia seca, ácidos grasos
volátiles, acetato, propionato y butirato en el Rumen y Ciego.
4
3. REVISIÓN DE LITERATURA
3.1. Sistema y variable de estado
Un sistema es un conjunto de objetos o componentes relacionados entre si de
una manera regulada para formar un todo organizado (Harrington y Tumay, 2000). Se
tiene un sistema dinámico cuando se consideran los flujos como variables en función
del tiempo. Según Zill (2002), un sistema dinámico lo forma un conjunto de variables
dependientes del tiempo, que se llaman variables de estado, más una regla que permite
determinar el estado del sistema en términos de un estado especificado en cierto
momento t0. El estado del sistema en un tiempo t es el valor de las variables de estado
en ese instante; el estado especificado del sistema en el instante t0 es sólo el conjunto
de condiciones iniciales que acompañan al modelo matemático.
El valor de una variable de estado determina el estado del sistema en un punto
dado en el tiempo (France y Thornley, 1984a).
El modelador generalmente está interesado en entender como funciona un
sistema dinámico particular, que causa los cambios en sus variables de estado y en
predecir su comportamiento.
3.2. Modelo matemático
Un modelo matemático es una ecuación o un conjunto de ecuaciones que
representan el comportamiento de un sistema (France y Thornley, 1984b), o una
construcción matemática diseñada para estudiar un sistema del mundo real o fenómeno
(Giordano et al., 1997b). Los elementos estructurales básicos de un modelo son las
variables, los parámetros, las constantes y las funciones o relaciones funcionales de las
variables entre sí y de éstas con los parámetros.
En la construcción de un modelo se necesita tener conocimiento tanto de las
partes que forman el sistema como de las interacciones existentes entre ellas,
aproximándose más el modelo a la realidad cuanto más detallado sea dicho
conocimiento. Según Richter y Söndgerath (1990), la estimación de parámetros de un
5
modelo es un sinónimo de los procedimientos estadísticos y numéricos utilizados para
obtener valores numéricos razonables de los parámetros en los modelos (valores
basados en los datos observados). También según estos autores, la estimación de
parámetros proporciona la conexión entre los datos y el modelo, entre estadística y
simulación.
Csáki (1985) señala que en la construcción de modelos matemáticos se tienen
tres pasos: construcción del modelo, determinación de los parámetros (especificación
del modelo) y validación del modelo.
Fub et al. (2005) describen tres etapas en el proceso de modelación:
Etapa de diseño del modelo. Se define y formula el modelo matemático a partir de un
proceso biológico, sistema o problema bajo investigación. Esta etapa involucra
decisiones en las que se debe entender el sistema, sus requerimientos y componentes,
para determinar que tipo de interacciones se deberán incluir en la formulación del
modelo.
Etapa de análisis y aplicación del modelo. La implementación computacional del modelo
es utilizada para simular y estudiar el desarrollo dinámico del modelo bajo diferentes
condiciones en relación al estudio biológico del sistema o proceso.
Etapa de validación del modelo. El comportamiento y los datos generados por la
simulación computacional del modelo son comparados contra datos obtenidos de
experimentos similares en un sistema biológico real, o valorados epistemológicamente
sobre la base del conocimiento existente.
Si el modelo ajusta a los datos observados entonces dos de sus finalidades,
quizás las más importantes, son comprender el fenómeno y la predicción de su
comportamiento. Así, en un buen modelo la realidad se simplifica lo suficiente para
permitir los cálculos matemáticos, pero incluso así es bastante exacto para permitir
conclusiones valiosas respecto a la comprensión del fenómeno estudiado y a la
predicción de su comportamiento en el futuro.
6
3.3. Modelación empírica y mecanística
A los modelos que estudian las relaciones biológicas o los mecanismos
relacionados con el comportamiento del sistema, como por ejemplo el comportamiento
animal, se les denominan modelos mecanísticos, estos modelos son diferentes de los
modelos empíricos que describen las relaciones matemáticas entre los datos, es decir,
se basan por completo en los datos experimentales que se reúnen (France y Thornley,
1984b; Box et al., 1999a; Box et al., 1999b). En los modelos mecanísticos se describe
el sistema integrando las variables determinantes o causales de la dinámica del mismo
y contrastan con los modelos empíricos donde lo que se realiza es una descripción
matemática (con base biológica o no) de datos observados (Chilibroste, 2002).
En el procedimiento de ajuste de modelos mecanísticos, se asumen relaciones
particulares entre las variables, llevando al modelador a aceptar alguna desviación
entre los datos y el modelo para obtener un modelo que explique satisfactoriamente la
situación bajo investigación (Giordano et al., 1997a).
Box et al. (1999a) señalan que un modelo empírico puede ser útil,
particularmente si sólo se desea una respuesta aproximada en una región de interés en
que las variables tienen rangos de valores limitados.
Al enfoque general para ajustar modelos empíricos se le llama análisis de
regresión. En general, suponga que se tiene una sola variable dependiente o de
respuesta (y) que depende de k variables independientes, por ejemplo x1, x2,…,xk. La
relación que existe entre estas variables se caracteriza por un modelo matemático
llamado modelo de regresión (modelo empírico) y dicho modelo se ajusta a un conjunto
de datos muestreados. Montgomery (2004a) indica que en ocasiones el experimentador
conoce la forma exacta de la verdadera relación funcional entre y y x1, x2,…,xk, por
ejemplo y=φ(x1, x2,…,xk), sin embargo, en la mayoría de los casos no se conoce la
verdadera relación funcional, y el experimentador elige una función apropiada para
aproximar φ.
Para Box et al. (1999b), un modelo mecanístico resulta justificado siempre que
para progresar sea esencial el conocimiento básico del sistema o cuando los
conocimientos previos son suficientes para construir fácilmente un modelo mecanístico
7
útil. Estos autores también opinan que los modelos mecanísticos pueden proporcionar
más comprensión científica del sistema, una mejor base para la extrapolación, y
frecuentemente, una representación con menos parámetros.
Una ecuación polinómica, aunque puede representar adecuadamente lo que
pasa en la región de estudio, no proporciona una base sólida para extrapolar. En un
modelo mecanístico lo que se extrapola es el mecanismo y no una mera curva empírica,
así, incluso un modelo mecanístico debe ser preferentemente utilizado para sugerir
regiones donde puede ser beneficioso desarrollar nuevas investigaciones (Box et al.,
1999b).
Si no contamos con la teoría física o mecanística que nos ayude a expresar un
modelo, construimos un modelo empírico, el cual se basa por completo en los datos
que se reúnen, generalmente usando metodología estadística, y lo que se busca es una
curva que se ajuste a los datos, en el sentido que capture la tendencia básica de las
observaciones muestreadas, es decir, mediante una ecuación derivada de los datos
que exprese la relación entre la respuesta y los factores importantes del diseño.
3.4. Validación de modelos: conceptos y métodos
3.4.1. Conceptos
Barrales et al. (2004) señalan que en la modelación de sistemas, una etapa
esencial y que presenta dificultades tanto conceptuales como prácticas, es la validación
de los modelos.
Según Freese (1960), si la diferencia (observados-predichos) es una constante o
alguna función matemática de los valores observados, el modelo es sesgado, la falta de
precisión ocurre cuando el modelo es no sesgado y proporciona valores que fluctúan
ampliamente alrededor de los valores reales u observados; y la inexactitud puede
deberse al sesgo, a la falta de precisión o a una combinación de éstos.
La exactitud se refiere a que tan cerca están los valores predichos por el modelo
de los valores reales (Loague y Green, 1991; Ramakrishnan y Mountain, 2004;
Tedeschi, 2006). La precisión se refiere a que tan cerca están entre ellos los valores
8
predichos por el modelo (Ramakrishnan y Mountain, 2004; Tedeschi, 2006). La
precisión es el grado en que los valores predichos por el modelo se aproximan a una
función lineal de los valores observados (Loague y Green, 1991). En otras palabras, la
exactitud es la capacidad del modelo para predecir correctamente los valores y
precisión es la capacidad del modelo para predecir valores similares consistentemente
(Tedeschi, 2006). En la Figura 1 se ilustra la diferencia entre la exactitud y precisión de
un modelo de simulación. El caso 1 es inexacto e impreciso, el caso 2 es inexacto y
preciso, el caso 3 es exacto e impreciso y el caso 4 es exacto y preciso. En un modelo
de predicción lo ideal es que cumpla que sea exacto y preciso (caso 4).
Fuente: Tedeschi (2006)
Figura 1. Esquematización de la exactitud contra la precisión.
Tedeschi (2006), indica que en el análisis de regresión lineal simple de los
valores observados (eje Y) sobre los valores predichos (eje X), el coeficiente de
determinación (r2) es buen indicador de precisión (un valor alto de r2 precisión alta), y
que los parámetros estimados del intercepto y la pendiente son buenos indicadores de
exactitud, así, cuando son simultáneamente cercanos a cero y a uno respectivamente,
9
la exactitud es más alta. En la Figura 2 se comparan las medidas de precisión y
exactitud de un modelo a través del coeficiente de determinación y de los parámetros
estimados del modelo de regresión. El caso 1 es inexacto e impreciso, el caso 2 es
inexacto y preciso, el caso 3 es exacto e impreciso, y el caso 4 es exacto y preciso. En
un modelo de predicción lo ideal es que cumpla el caso 4.
Fuente: Tedeschi (2006)
Figura 2. Comparación de las medidas de exactitud y precisión. La línea punteada
representa a la recta y=x.
Oberkampf y Trucano (2002) diferencian verificación y validación: (i) la
verificación es la valoración de la exactitud de la solución de un modelo computacional
por comparación con soluciones conocidas, su estrategia fundamental es la
identificación y cuantificación del error en el modelo computacional y su solución; es
principalmente una cuestión matemática, y (ii) la validación es la valoración de la
exactitud de la simulación computacional por comparación con datos experimentales,
su estrategia fundamental es calcular la exactitud de los resultados computacionales al
10
ser comparados con datos experimentales y estimar el error generado por ambos; es
principalmente una cuestión física.
Oreskes et al. (1994) discuten la confusión de los conceptos de verificación,
validación, confirmación y calibración de modelos. Indican que los conceptos de
validación o verificación son criticados porque es filosóficamente imposible probar que
todos los componentes del modelo del sistema real son verídicos o correctos.
Determinar si el comportamiento de un modelo iguala suficientemente bien el
comportamiento del sistema, siempre ha sido un asunto de gran interés y señalado en
muchos documentos durante muchos años (Beck, 2002). La frase contemporánea
empleada para resolver esta cuestión es “evaluación” (Oreskes, 1998). Según Beck
(2002), las preguntas fundamentales a contestar en la evaluación de un modelo son: (1)
¿El modelo ha sido construido de materiales aprobados, es decir, las hipótesis que lo
constituyen son aprobados (en términos científicos)?, (2) ¿Su comportamiento se
aproxima bien a lo observado en el sistema real?, y (3) ¿Funciona, es decir, cumple con
su tarea indicada, o sirve a su propósito establecido?. Por su parte Tedeschi (2006),
señala que la evaluación del modelo consiste en determinar si el modelo es una
representación adecuada del proceso para el que fue diseñado antes que el
establecimiento en cualquier sentido de la verdad del modelo, y que un modelo
matemático no puede ser probado si es válido, solamente si éste es apropiado para su
propósito establecido con las condiciones dadas.
Para Mayer y Buttler (1993) la validación es un paso necesario para la
aceptación de un modelo, y se define como la comparación de las predicciones del
modelo con los valores observados del mundo real para determinar si el modelo es
adecuado para el propósito establecido.
Según Mitchell (1997), la validación de modelos consiste en comprobar la
estructura del modelo o si sus salidas están suficientemente próximas a los valores
observados del sistema real; el énfasis sobre la estructura del modelo o de las salidas
depende si el modelo es principalmente para explorar el mecanismo o funcionamiento
del sistema e incrementar su comprensión, o si las predicciones obtenidas remplazarán
las observaciones del sistema real, las cuales pueden ser demasiado costosas o
difíciles de obtener. Para este autor, la comparación de las predicciones del modelo con
11
observaciones del mundo real, junto con una evaluación del comportamiento del
modelo, es la validación empírica.
En el contexto de los modelos empíricos, Montgomery et al. (2002a) señalan que
la comprobación de la adecuación del modelo incluye análisis internos que investigan el
ajuste de un modelo de regresión a los datos disponibles y que la validación del modelo
se concentra en la determinación de si el modelo funcionará bien en su ambiente
pretendido de operación, por ejemplo, si el modelo se empleará para pronosticar
nuevas observaciones, la validación se debe concentrar en la determinación de la
exactitud del modelo. Mitchell (1997), coincide en que la validación debe demostrarle al
usuario del modelo, que el modelo es adecuado para el propósito de su desarrollo.
Para Halachmi et al. (2004), la validación determina si el modelo matemático es
una representación exacta del sistema real, y una forma de validación es comparando
los datos reales con los predichos del sistema.
Hamilton (1991) recopiló una extensa lista de publicaciones (316) con respecto a
la validación de modelos con énfasis en artículos de potencial interés para estadísticos,
e incluye para cada una un breve comentario acerca de que tratan y sus palabras clave.
Menciona que la validación es la valoración del alcance para la cual un modelo es
fundamentado o racional y de que cumple el propósito para el cual fue construido. Esta
comprende tres tareas: 1) la verificación, la cual incluye el diseño, programación y la
revisión de los procesos en el programa de cómputo, 2) el análisis de sensibilidad, que
es la determinación del comportamiento del modelo por cambios en sus parámetros
(comportamiento de cada componente del modelo), y 3) la evaluación, que consiste en
la comparación de las salidas del modelo con datos reales.
3.4.2. Métodos para la validación de modelos
Para Mayer y Buttler (1993), las técnicas de validación se pueden agrupar en
cuatro principales categorías: la evaluación subjetiva (involucra a un número de
expertos en el campo de interés), las técnicas visuales (gráficas comparativas), las
medidas de desviación (basadas en las diferencias entre valores observados y
12
simulados) y las pruebas estadísticas. Proponen la eficiencia de modelado (EF) como la
mejor medida de concordancia entre los valores observados y los simulados.
Freese (1960) presenta un método de tres pasos para comparar los valores
pronosticados y observados: i) establecer la exactitud requerida por el modelador o
usuario del modelo, ii) cuantificar la exactitud alcanzada por el modelo, y iii) aplicar una
prueba estadística para decidir si el modelo cumple con la exactitud requerida. Dicho
método se explicará en detalle en el capítulo de materiales y métodos.
Reynolds (1984) señala que un método para determinar cuán bien se comporta
un modelo es comparar las predicciones del modelo con un modelo existente o con
valores observados del sistema real. También, señala que la información acerca de la
capacidad predictiva del modelo puede obtenerse por comparación de los valores
observados y predichos en diferentes ensayos del modelo.
Para cuantificar la concordancia entre las observaciones y las predicciones,
Reckhow et al. (1990) utiliza y discute la prueba t, la prueba de Wilcoxon, el análisis de
regresión y la prueba de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras.
Mitchell (1997) señala que muchos libros sobre modelación dan una pequeña
guía sobre la validación empírica, y que no es sorprendente que para efectuar la
validación, los modeladores recurran a procedimientos simples a su alcance,
aparentemente adecuados, incluyendo gráficos de dispersión de predicciones y
observaciones, algunas veces utilizando regresión, la cual es pensada como un método
objetivo y cuantitativo para medir cuán bueno es un modelo. Propuso un método que no
requiere de los supuestos necesarios de los métodos estadísticos, en donde se grafica
en el eje de las abscisas los valores predichos y en el eje de las ordenadas las
desviaciones (predicho menos observado) y el porcentaje de puntos que caen dentro de
un rango o precisión aceptable con centro en cero, es usado como un criterio de
adecuación del modelo. El rango de aceptación lo establece el modelador de acuerdo a
su criterio y propósitos.
Analla (1998) propone el cuadrado medio del error (CME) de la regresión de los
valores observados (Y) sobre los predichos (Z) para efectuar una validación, así como
para comparar dos o más modelos en predicción del sistema. Por su parte Kobayashi y
13
Salam (2000) proponen la media de las desviaciones al cuadrado (MSD) y sus
componentes para validar modelos y para comparar dos o más modelos.
Chilibroste (2002) utiliza la raíz del cuadrado medio del error (MSPE) para
evaluar modelos (comparación entre valores observados y predichos). Considera que
un valor aceptable de la MSPE es que se encuentre en torno al 10% de la media
observada.
Según Hayirli et al. (2003) la validación de modelos se efectúa en tres fases: la
primera es la significancia de los coeficientes de regresión de los modelos ajustados, la
segunda es la regresión entre los valores predichos y los actuales, y la tercera son
pruebas t para determinar si el sesgo (B; predichos-actuales) es diferente de cero, si el
intercepto es diferente de cero y si la pendiente es diferente de uno. También usan el
coeficiente de correlación entre los valores predichos y actuales para determinar la
exactitud de la predicción e indicar la cercanía de dichos valores; y para medir exactitud
y precisión emplean el error de predicción relativa (RPE) y la media del cuadrado de los
errores de predicción (MSPE).
Halachmi et al. (2004) indican que el modelo será valido si y solo si los valores
reales y predichos tienen: (i) medias iguales, (ii) varianzas iguales, y (iii) correlación
positiva entre los valores reales y las respuestas del modelo.
Collao-Saenz et al. (2005) utilizan la media del cuadrado de los errores de
predicción (MSPE) para evaluar los resultados predichos (comparación entre valores
observados y predichos).
Tedeschi (2006) discute y compara varias técnicas para evaluar modelos
matemáticos diseñados para propósitos predictivos. En su revisión expone las
siguientes técnicas: análisis de regresión lineal, análisis de los errores ajustados,
coeficiente de correlación de concordancia, diversas medidas para evaluación, el error
cuadrado medio de predicción, análisis no paramétricos y la comparación de la
distribución de los datos.
En la práctica es común que para validar modelos en predicción del sistema se
utilice la regresión lineal (RL) entre la variable dependiente Y (observados) y la variable
independiente Z (predichos) (Reckhow et al., 1990; Flavelle, 1992; Mayer y Butler,
1993; Mayer et al., 1994; Analla, 1998; Yang et al., 2000; Hayirli et al., 2003; Tedeschi,
14
2006), así como diferentes medidas estadísticas para comparar a Y y Z (Loague y
Green, 1991; Mayer y Butler, 1993; Analla, 1998; Kobayashi y Salam, 2000; Yang et al.,
2000; Chilibroste, 2002; Collao-Saenz et al., 2005; Tedeschi, 2006). Los resultados de
la RL que en general se incluyen son: (i) el gráfico de dispersión de los valores
predichos (zi) vs. los observados (yi), junto con la recta de regresión estimada y la recta
y=z, la cual permite visualizar que tan alejados están los puntos de la recta y=z que
representa la exactitud ideal, (ii) el coeficiente de determinación como indicador de
precisión, y (iii) los parámetros estimados del intercepto y la pendiente como
indicadores de exactitud y las pruebas estadísticas acerca de si son simultáneamente
cercanos a cero y a uno respectivamente.
Frecuentemente la validación de modelos en predicción del sistema es realizado
mediante la prueba F simultánea de intercepto cero y pendiente uno. En cuanto a la
discusión acerca de si es apropiada para efectuar validación, Harrison (1990) señala
que sesgo en los parámetros estimados puede conducir al rechazo de modelos
“válidos” y concluye que no es apropiada. Posteriormente Mayer et al. (1994), concluye
que es apropiada excepto cuando los errores están autocorrelacionados. Por su parte
Analla (1998), concluye que no es apropiada ya que la significancia de esta prueba es
inversamente proporcional a la bondad del ajuste del modelo evaluado. En su lugar
propone el cuadrado medio del error (CME) de la regresión del modelo o modelos a
validar.
Otra prueba estadística que ha sido cuestionada para efectuar validación es la
prueba de t para muestras dependientes u observaciones pareadas entre los valores
observados y los predichos (Freese, 1960; Reynolds et al., 1981; Harrison, 1990;
Mitchell, 1997). Por su parte Mayer et al. (1994), señalan que la prueba de t y la prueba
de Wilcoxon no pueden ser recomendadas para propósitos de validación.
Respecto a las técnicas o medidas estadísticas basadas en la RL para efectuar
validación, Mitchell (1997) señala que es pensada como un método objetivo y
cuantitativo para medir cuán bueno es un modelo. Lo anterior puede atribuirse a que la
RL es relativamente sencilla de aplicar y prácticamente todos los paquetes estadísticos
comerciales lo incluyen entre sus opciones. Algunas desventajas en la aplicación de la
RL y que se presentan frecuentemente en la práctica son: (i) que sea aplicable, es
15
decir, que los puntos (zi, yi) tengan cierta tendencia lineal, (ii) garantizar el cumplimiento
de que los errores son independientes y provengan de una distribución normal con
media cero y varianza constante, y (iii) su aplicación cuando el tamaño de muestra es
muy pequeño o cuando los datos se encuentran concentrados en una pequeña región,
la cual no permitiría visualizar si tienen una tendencia lineal. En consecuencia es
pertinente tener un rango amplio y creciente de los valores observados yi para poder
visualizar si los puntos (zi, yi) efectivamente siguen una tendencia lineal. Reckhow et al.
(1990) discute el cumplimiento de los supuestos de la regresión. Para Harrison (1990),
la regresión no debe usarse para validación por las dificultades para satisfacer los
supuestos y la ambigüedad cuando no se rechaza la hipótesis nula. Flavelle (1992)
discute las ventajas y limitaciones del uso de la regresión para validación. Por su parte
Mitchell (1997), da cinco argumentos en contra de la regresión y la considera
inapropiada para efectuar validación. Kobayashi y Salam (2000) indican que no es
garantía el supuesto de que Y se relacione linealmente con Z y que es innecesario para
comparar a Y y Z. Montgomery et al. (2002c) señalan varios abusos comunes en la
aplicación de la regresión.
Para Mayer y Butler (1993) la complejidad de los modelos y del tipo de datos,
origina que no haya un conjunto combinado de técnicas de validación aplicable en
todas las situaciones de modelación, y señalan que en la mayoría de los casos, un
número de medidas de validación son necesarias para apreciar “la foto completa”. Por
su parte Tedeschi (2006), indica que la valoración de la adecuación de un modelo
solamente es posible por medio de una combinación de varios análisis estadísticos y
propios al propósito para la cual el modelo matemático fue inicialmente conceptualizado
y desarrollado. Para Barrales et al. (2004), los índices o medidas para efectuar
validación no presentan el carácter objetivo que se demanda de las pruebas o métodos
estadísticos en el sentido que para un mismo conjunto de datos, todos los modeladores,
usando el mismo procedimiento, lleguen a las mismas conclusiones.
16
3.5. Pruebas para el supuesto de normalidad
Una gran variedad de métodos estadísticos suponen normalidad para poder
utilizarlos, por lo que existen variados métodos gráficos e inferenciales para verificarlo.
Estos métodos (pruebas de bondad de ajuste), comprueban si los datos que se
observan concuerdan en efecto con el modelo probabilístico de la distribución normal
que se ha supuesto para esos datos.
El problema de bondad de ajuste es como sigue: dada una muestra aleatoria
d1,d2,…,dn de la variable aleatoria D se quiere probar H0: D tiene función de distribución
FD (d) , o bien, la muestra proviene de una población con función de distribución FD (d) .
La H1 es que FD (d) no es la función de distribución verdadera de D. La prueba clásica
es la prueba ji-cuadrada de bondad de ajuste.
En las pruebas de bondad de ajuste para el supuesto D~ N(µD , σD2 ) , se presentan
las siguientes situaciones para la función de distribución normal FD (d) : (i) µD y σD2 son
completamente especificados y (ii) µD y/o σD2 deben ser estimados.
Stephens (1974), analizó cinco de las principales estadísticas de pruebas de
bondad de ajuste basadas en la función de distribución empírica [KS (KolmogorovSmirnov), W2 (Cramér-von Mises), V (Kuiper), U2 (Watson) y A2 (Anderson-Darling)] y
tres situaciones importantes: la distribución hipotetizada FD (d) es completamente
especificada y la FD (d) representa la distribución normal o exponencial con uno o más
parámetros que son estimados de los datos. Indica que las pruebas de Cramér-von
Mises y de Anderson-Darling son: (a) más potentes que la prueba de KolmogorovSmirnov cuando FD (d) es la distribución normal con µD y σD2 estimados por d y sn2−1
respectivamente, y (b) en general son consideradas como dos de las mejores pruebas
de bondad de ajuste, esto también es señalado por Reynolds (1984). En Stephens
(1974) se dan los valores críticos para las cinco pruebas bajo las tres situaciones
mencionadas anteriormente.
Conover (1980) señala que la prueba para normalidad de Shapiro-Wilk ( µD y σD2
estimados) es más potente que muchas pruebas para la hipótesis compuesta de
17
normalidad, incluyendo la prueba de Lilliefors ( µD y σD2 estimados) y la prueba jicuadrada.
Una prueba de bondad de ajuste para normalidad basada en el gráfico de
probabilidad normal (gráfico Q-Q) se presenta en Johnson y Wichern (2002), y es
llamada la prueba de normalidad del coeficiente de correlación del gráfico Q-Q. Indican
al igual que Filliben (1975) que tiene buena propiedad de potencia. Dicha prueba es
para el caso en donde la media y la varianza de la distribución normal hipotetizada son
estimados.
3.6. Transformaciones de datos
Cuando la variable de estudio no se distribuye normal, generalmente se emplea
algún tipo de transformación para aproximar los datos a la distribución normal y el
método estadístico se aplica a la variable transformada.
Montgomery (2004c) señala que las transformaciones se usan para tres
propósitos: estabilizar la varianza de la respuesta, hacer que la distribución de la
variable de respuesta esté más cerca de la distribución normal y mejorar el ajuste del
modelo a los datos.
Las transformaciones más comunes para lograr la normalidad y/o la
homogeneidad de varianzas son la raíz cuadrada, la logarítmica y la angular o
transformación arco seno (Steel y Torrie, 1988; Zar, 1999; Sokal y Rohlf, 2000;
Montgomery, 2004b). En las tres primeras referencias citadas, se discute en detalle bajo
que condiciones se recomienda utilizar cada una de las transformaciones mencionadas.
Una clase útil de transformaciones es la de la transformación de potencia yλ
(método de Box-Cox) para corregir la no normalidad y/o la varianza no constante en
modelos de regresión y análisis de varianza (Montgomery, et al., 2002b; Montgomery,
2004c). Johnson y Wichern (2002), indican que cuando la elección de la transformación
que aproxime a la distribución normal no es obvia, es conveniente que los datos
sugieran una transformación, y esto puede lograrse con la familia de transformaciones
de potencia (yλ). También, presentan un método analítico relativamente práctico para
elegir la transformación de potencia.
18
Una transformación es simplemente una reexpresión de los datos en diferente
unidad de medida. Cuando no hay una transformación obvia, generalmente se realiza
una búsqueda empírica de una transformación que aproxime a la distribución normal a
través de observar el efecto de cada una de las transformaciones, por ejemplo, en el
gráfico de probabilidad normal.
19
4. MATERIALES Y MÉTODOS
4.1. Descripción del modelo mecanístico Wakax POS
El modelo dinámico mecanístico de “animal completo” Wakax POS (inédito), fue
desarrollado por el Dr. Luís Vargas Villamil del Colegio de Postgraduados campus
Tabasco en una estancia posdoctoral en el Departamento de Ciencia Animal de la
Universidad de California, Davis (UCD).
En la construcción del modelo Wakax POS la representación del sistema es en
términos de variables de estado y de tasas de cambio las cuales se especifican por
medio de ecuaciones diferenciales de primer orden. Las ventajas en su desarrollo son:
el sistema completo se separa en sus partes fundamentales, se representan los flujos
de entradas y salidas entre sus partes, y sobre todo se establecen las relaciones dentro
y entre sus partes por los mecanismos o teoría física que las gobiernan.
El modelo Wakax POS fue desarrollado para describir las relaciones biológicas
(digestión, crecimiento bacteriano, fermentación y absorción) durante la nutrición de
bovinos alimentados con caña de azúcar (CZ) y para predecir la ganancia de peso
promedio (GPP) por día de bovinos en pastoreo suplementado con CZ, maíz quebrado
y/o melaza en una zona tropical de México. El modelo esta compuesto por 119
variables de estado que describen el sistema compuesto por cinco submodelos:
Concentrado, Pasto, Caña de azúcar, Melaza y Crecimiento animal (Anexos I.B y I.C).
Los tres primeros están divididos en tres secciones: Rumen, Intestino y Digestión en
Ciego. Cada sección fue derivada de un modelo de crecimiento bacteriano, previamente
publicado, llamado Turix (Vargas-Villamil et al., 2004) y cuya descripción puede
consultarse en el Anexo I.A. El submodelo de Melaza describe la ración o entrada de
melaza. Finalmente el submodelo de Crecimiento animal proporciona la ganancia de
peso. Las variables de entrada del modelo Wakax POS son: a) peso vivo; b) consumo
de materia seca de maíz, melaza y pasto; c) fracción soluble de pasto y CZ; d) fracción
degradable de pasto y CZ; y e) razón de degradación de pasto y CZ.
El submodelo Concentrado describe el sistema de nutrimento de materia seca de
maíz y es descrito por 34 variables de estado. El submodelo Pasto describe el sistema
20
de nutrimento de materia seca de pasto y es descrito por 40 variables de estado. El
submodelo Caña de azúcar describe el sistema de nutrimento de materia seca de CZ y
melaza, y es descrito por 40 variables de estado. El submodelo Melaza describe la
entrada de melaza y el flujo dentro del submodelo de Caña de azúcar y es descrito por
una variable de estado. El submodelo Crecimiento animal proporciona la salida de GPP
por día y es descrito por cuatro variables de estado. Las constantes y parámetros
involucrados en los submodelos (Anexo I.C) son valores tomados, calculados, ajustados
o aproximados de la literatura científica. Las secciones de los submodelos describen los
procesos de digestión, crecimiento bacteriano, fermentación, absorción, y los flujos en
el Rumen-Reticulo (Sección Rumen, R) y en el Ciego (Sección Ciego, C); así como la
digestión, absorción y flujo en el omaso, abomaso e intestino delgado (Sección
Intestino, D).
4.2. Descripción de los datos experimentales empleados en la validación
El método de validación basado en el planteamiento de Freese se aplicó a la
diferencia entre los datos experimentales de la GPP por día y los simulados con el
modelo Wakax POS. Los valores de la GPP corresponden a las medias de los
experimentos obtenidos de la literatura (Anexo II, Cuadros: II.1 y II.2) con bovinos en
pastoreo suplementado con caña de azúcar, maíz quebrado y/o melaza en una zona
tropical de México.
En el Cuadro II.3 del Anexo II se indican las fuentes e información de los datos
experimentales utilizados en la validación del modelo Wakax POS en predicción en el
Rumen y Ciego de la materia seca (DM), ácidos grasos volátiles (AGVs), acetato (Ac),
propionato (Pr) y butirato (Bu). En el Cuadro 3 se muestran los valores observados y
predichos para cada una de dichas variables en el Rumen y Ciego. En este caso la
validación se efectúo por medio de métodos gráficos y medidas estadísticas para
comparar a los valores observados y predichos.
Los datos experimentales utilizados en la validación del modelo Wakax POS en
predicción de la GPP, DM, AGVs, Ac, Pr y Bu fueron distintos a los empleados en el
ajuste de sus parámetros.
21
4.3. Procedimientos estadísticos para la validación de modelos basados en el
planteamiento de Freese
En este trabajo se considera:
(i)
La validación de un modelo en predicción del sistema, como la comparación
por medio de algún método de las predicciones del modelo con
observaciones del sistema real para determinar su capacidad predictiva, es
decir, la validación se concentra en la determinación de la exactitud del
modelo.
(ii)
La evaluación de un modelo, como un procedimiento más general y que
incluye la validación del modelo en predicción del sistema. La evaluación de
un modelo comprende: el estudio de su estructura, el proceso de ajuste de
sus parámetros, el análisis de sensibilidad de sus componentes, la
comparación de las salidas del modelo con observaciones del sistema real y
si funciona para su propósito en diferentes escenarios.
En esta sección se presentan procedimientos estadísticos basados en el
planteamiento de Freese (1960) para determinar si la exactitud de un modelo o técnica
de estimación es adecuada para cumplir los requerimientos del modelador o usuario del
modelo. Básicamente el planteamiento de Freese para comparar los valores
pronosticados y observados consiste de tres pasos: establecer la exactitud requerida
por el modelador o usuario del modelo, cuantificar la exactitud alcanzada por el modelo,
y finalmente aplicar una prueba estadística para decidir si el modelo cumple con la
exactitud requerida.
En los procedimientos presentados se detallan desarrollos omitidos por Freese
(1960), Rennie y Wiant (1978), Reynolds (1984) y Barrales et al. (2004), y se incorporan
modificaciones y extensiones a sus planteamientos. En el capítulo de resultados y
discusión, donde se resumirán los métodos de validación se indicarán cuales son las
modificaciones y extensiones incorporadas.
22
4.3.1. Conceptos básicos
Dos de los objetivos, quizás los más importantes en la construcción de un
modelo, son la comprensión y predicción del sistema usando la información contenida
en los valores de las variables de entrada al modelo. Frecuentemente en modelos
dinámicos mecanísticos conformados por muchas variables de estado, el interés se
centra en alguna de ellas sin descuidar el comportamiento de las restantes ya que
juntas proporcionan información del sistema.
Sea el caso de predecir el valor de alguna variable de estado. Siguiendo la
notación de Reynolds (1984), sea Y el valor actual u observado de la variable a
predecir, sea el vector X = ( X1, X2 ,..., Xp ) correspondiente a las p variables de entrada al
−
modelo y sea Z=Z( X ) el valor predicho por el modelo basado en X . Suponga que se
−
−
tienen n pares para comparar (Yi, Zi) i=1,2,…,n donde para el i-ésimo par, Yi es el valor
observado, Zi el valor predicho y X i = ( Xi1, Xi2 ,..., Xip ) los valores de las variables de
−
entrada.
A menos que el modelo matemático sea considerado estocástico (o
probabilístico) los valores predichos o simulados Zi son fijos (determinísticos). Así, los
valores observados de alguna variable de estado fueron considerados aleatorios ya que
contienen una variabilidad natural, y los valores predichos fueron considerados
determinísticos.
Freese (1960), plantea para la comparación de Yi y Zi que el valor observado Yi o
µi en su notación, es una constante y que Zi o Xi en su notación se distribuye normal
con media µi.
Las inferencias para determinar cuán bien el modelo predice el sistema real
fueron basadas en las n diferencias Di=Yi–Zi para i=1, 2,…,n.
Si Y1, Y2,…,Yn es una muestra aleatoria de N(Zi, σ2), es decir, si las n variables
aleatorias Yi son independientes normalmente distribuidas con media Zi y varianza σ2
[Yi~NI(Zi, σ2) i=1,2,…,n] entonces Di=(Yi–Zi)~NI(0,σ2), ya que
FDi (di ) = P(Di ≤ di ) = P( Yi − Zi ≤ di ) = P( Yi ≤ di + Zi ) = FYi (di + Zi )
23
fDi (di ) =
[
]
[
]
d
d
d
FDi (di ) = FYi (di + Zi ) = fYi (di + Zi ) (di + Zi ) = fYi (di + Zi )
di
di
di
1
1
− 2 ( di + Z i − Z i )
− 2 ( di )
1
1
fDi (di ) =
e 2σ
e 2σ
I( −∞, ∞ ) (di )
=
σ 2π
σ 2π
2
2
por lo que
Di=(Yi–Zi)~NI(0,σ2)
(1)
Si Di~NI(0,σ2) entonces la estandarización de Di es
Di − 0 Di
~NI(0,1)
=
σ
σ
(2)
[Ver sección 3.2 pp. 103-104 de Casella y Berger (1990)].
Si
Di
~NI(0,1) entonces:
σ
2
⎛D ⎞
a) ⎜ i ⎟ ~ χ12
⎝σ⎠
(3)
[Ver ejemplo 6 capítulo V de Mood et al. (1974a)].
2
⎛D ⎞
b) ∑ ⎜ i ⎟ ~ χn2
i =1 ⎝ σ ⎠
n
(3a)
[Ver Teorema 7 capítulo VI de Mood et al. (1974b)].
n
Freese (1960), señala que
∑ (X − µ )
i =1
i
2
i
σ2
2
⎛ X − µi ⎞
2
2
= ∑⎜ i
⎟ ~ χn con Xi~N(µi,σ ). Ahora,
σ
⎠
i =1 ⎝
n
si se pide que µi~N(Xi, σ2) entonces
Di=(µi–Xi)~N(0,σ2)
y
µ i − Xi
~N(0, 1) por lo que
σ
(4)
2
2
2
n
n
⎛ µ i − Xi ⎞
⎛ Xi − µ i ⎞
⎛ Di ⎞
2
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟ ~ χn .
∑
∑
∑
σ ⎠
σ ⎠
i =1 ⎝
i =1 ⎝
i =1 ⎝ σ ⎠
n
De (1) y (4) el supuesto de normalidad se cumple para las diferencias, es decir,
las n diferencias D1, D2,…, Dn constituyen una muestra aleatoria de la distribución
normal con media cero [E(D)=0] y varianza σD2 =Var(D) donde D=Y-Z.
Cabe señalar que en los desarrollos anteriores el supuesto de normalidad se
pide para los valores observados a diferencia de lo que exponen Freese (1960), Rennie
y Wiant (1978) y Barrales et al. (2004); aunque al trasladarse dicho supuesto a la
24
población de las diferencias entre los valores observados y predichos, los resultados
son básicamente los mismos.
4.3.2. Validación de modelos basada en el valor absoluto del error en
ausencia de sesgo
En el planteamiento de Freese (1960), para la determinación de la exactitud
requerida se necesita que los valores e y α especificados por el modelador o usuario del
modelo satisfagan
P (D ≤ e ) ≥ 1 − α
(5)
⇔ P (D > e ) ≤ α
para que la exactitud del modelo sea aceptable. Así, un modelo es considerado
suficientemente confiable para predicción si la probabilidad (exactitud) establecida en
(5) se cumple, donde D es la diferencia (error) entre las observaciones y predicciones
de la variable de respuesta del modelo a validar, e es el máximo error admitido y 1-α
represente el nivel de exactitud requerida. Si α es pequeño entonces la diferencia entre
el valor observado y el predicho sería menor que e con alta probabilidad. Barrales et al.
(2004), señalan que el valor e (E en su notación) es la discrepancia aceptada entre la
predicción zi y el valor real yi, es decir, el valor máximo admisible de las desviaciones
|yi–zi|=|di|.
Los siguientes resultados ayudaran al planteamiento de pruebas de hipótesis e
intervalos de confianza, con la finalidad de decidir si el modelo cumple con la exactitud
requerida por el modelador o usuario del modelo.
2
⎛D⎞
D
D
D2
⎜⎜ ⎟⎟ = 2 ~ χ12 . Por lo que el
Si D~N(0, σ ) por (2)
=
~N(0,1)
y
por
(3)
σD
σD
σD2
⎝ σD ⎠
2
D
cuantil 1-α de la distribución ji-cuadrada con 1 grado de libertad (g.l.), χ12,1−α , es tal que
⎞
⎛ D2
P⎜⎜ 2 ≤ χ12,1− α ⎟⎟ = 1 − α
⎠
⎝ σD
(6)
De (5) se tiene que
P (D ≤ e ) ≥ 1 − α
25
(
)
2
P D ≤ e2 ≥ 1 − α
(
)
P D2 ≤ e 2 ≥ 1 − α
⎛ D2 e 2 ⎞
P⎜⎜ 2 ≤ 2 ⎟⎟ ≥ 1 − α
⎝ σD σD ⎠
(7)
Por lo tanto de (6) y (7) se tiene que
e2
≥ χ12,1− α
2
σD
(8)
La igualdad en (8) se tiene cuando la probabilidad asociada en (7) es igual a 1-α.
Ahora se probará que χ12,1− α = z2
α
1−
2
donde z
α
1−
2
es el cuantil 1 −
α
2
de la
⎞
⎛
α
distribución normal estándar, es decir, la P⎜⎜ Z ≤ z α ⎟⎟ = 1 − . Para ello note que
1−
2
2 ⎠
⎝
(
) (
P(χ
)
P χ12 ≤ χ12,1− α = P Z 2 ≤ χ12,1− α = 1 − α , así
2
1
) (
≤ χ12,1− α = P Z 2 ≤ χ12,1− α
(
= P(Z ≤
= P(− χ
2
)
= P Z ≤ χ12,1− α
χ12,1− α
2
1,1− α
(
)
entonces P Z ≤ χ12,1− α = 1 −
)
)
)
≤ Z ≤ χ12,1− α = 1 − α
⎛
⎞
α
α
y por P⎜⎜ Z ≤ z α ⎟⎟ = 1 −
se sigue que
−
1
2
2
2 ⎠
⎝
decir,
χ12,1− α = z2
1−
(9)
α
2
Así, el resultado (8) puede escribirse también como
1
σD2
≤ 2
2
e
z α
1−
2
26
e2
≥ z 2 α , o bien,
2
1−
σD
2
χ12,1− α = z
1−
α
2
, es
σD2 ≤
e2
e2
=
z 2 α χ12,1− α
1−
(10)
2
la cual corresponde a la forma dada por Freese en su notación Var(D)=σ2 y z 2
α
1−
2
= τ2 .
Por lo tanto, si D~N(0, σD2 ) donde µD = 0 significa predicción insesgada y σD2 denota la
varianza de los errores de predicción (precisión), entonces la técnica o modelo será
aceptable o suficientemente confiable para predicción cuando se cumpla (10). Así, los
valores e y α especificados por el modelador o usuario del modelo son tales que
satisfacen la exactitud requerida P(D ≤ e ) ≥ 1 − α que se traduce en σD2 ≤
la varianza de las diferencias tendrá como cota superior a
e2
χ12,1− α
e2
, o sea,
χ12,1− α
cuando la exactitud
requerida se satisfaga.
4.3.2.1. Pruebas estadísticas para la exactitud requerida
Hasta ahora se ha determinado que si D~N(0, σD2 ) y P(D ≤ e ) ≥ 1 − α entonces la
e2
para que el modelo sea considerado aceptable o
Var(D)= σ debe satisfacer σ ≤ 2
χ1,1− α
2
D
2
D
suficientemente confiable para predicción. El siguiente paso es probar la hipótesis:
e2
H0: σ ≤ 2
χ1,1− α
2
D
e2
H1: σ > 2
χ1,1− α
2
D
vs.
(11)
Reynolds (1984), señala que bajo los supuestos D~N(0, σ ) con σ
2
D
⎛ D
la estadística de prueba es ∑ ⎜ i
⎜
i =1 ⎝ σD 0
n
2
D0
e2
= 2
entonces
χ1,1− α
2
2
n
⎞
⎟ = ∑ Di ~ χn2 y que la H0 será rechazada con un
2
⎟
i =1 σD 0
⎠
nivel de significación α’ si la estadística de prueba (12) excede a χn2,1− α ' . La distribución
de
Di2
se determinó en páginas anteriores y puede consultarse en el resultado (3a).
∑
2
i =1 σ D
n
27
Bajo los supuestos anteriormente señalados la estadística de prueba puede escribirse
como
n
V=∑
i =1
n
χ12,1− α n 2
Di2
Di2
=
=
D ~ χn2
∑
2
2 ∑ i
i
1
=
e
σD2 0
e
i =1
χ12,1− α
(12)
y la H0 se rechazará con un nivel de significación α’ si Vc > χn2,1− α ' donde Vc es el valor
de la estadística de prueba V que se obtendría al usar la información contenida en la
muestra d1,d2,…,dn y los valores e y α especificados por el modelador o usuario del
modelo. En la sección 4.2 pp. 431-432 del capítulo IX de Mood et al. (1974c) se puede
consultar la obtención de la prueba uniformemente más potente de tamaño α [UMP(α)]
de H0: σ2 ≤ σ02 vs. H1: σ2 > σ02 cuando se tiene una muestra aleatoria de tamaño n de
una distribución normal con media µ conocida y varianza σ2. Cuando µ es desconocida
se trata de una prueba de razón de verosimilitudes generalizada de tamaño α. La
prueba ( Vc > χn2,1− α ' ) especificada para las hipótesis en (11) corresponde a la prueba
UMP(α’) ya que D~N(0, σD2 ), es decir, E(D)=µD=0 es conocida (supuesta).
Freese (1960), señala que el valor de σD2 (exactitud requerida) lo establece
previamente el usuario y que la hipótesis H0, que no expuso explícitamente, puede
rechazarse cuando el valor esperado de Xi no es µi, es decir, E(D)≠0 (sesgo) o cuando
la varianza no es σD2 como se hipotetizó o por una combinación de ambas razones.
Reynolds (1984), coincide con Freese al indicar que esta prueba tenderá a rechazar H0
si σD2 es grande o si |E(D)| es grande, o si ambas son grandes de modo que es sensible
a éstas dos cantidades que afectan la exactitud. Así, si H0 no se rechaza entonces se
asume que el modelo es adecuado bajo los valores e, α y α’ especificados por el
modelador o usuario del modelo, es decir, el modelo proporciona la exactitud requerida
y se estaría tentado a concluir con un nivel de significación α’ que H0: σD2 ≤
e2
se
χ12,1− α
cumple, o bien, que P(D ≤ e ) ≥ 1 − α . Aunque cabe la posibilidad de que H0 sea falsa
(error tipo II) y se tendría que calcular la potencia de la prueba [η(.)] para un valor de H1
de importancia particular que sea considerado de significado práctico, digamos σD2 1 tal
28
que σD2 1 >
e2
χ12,1− α
y determinar η( σD2 1 )=1-P(Error tipo II)=1-β para decidir si H0 es
verdadera cuando realmente es σD2 1 . Es decir, la probabilidad β de un error de tipo II
tendría que calcularse para este valor alternativo. Si β es suficientemente “pequeño”
[η( σD2 1 ) grande] se aceptaría H0 y se haría conociendo exactamente el riesgo de una
decisión errónea. Así, si H0 no se rechaza lo que se puede concluir es que los datos no
proporcionan suficiente evidencia para rechazarla, que los datos no apoyan
suficientemente a H1 y no que se acepte la declaración establecida en H0.
La H0 en (11) indica que el beneficio de la duda es dado al modelo en el sentido
de que el modelo es juzgado en ser adecuado a menos que haya suficiente evidencia
de lo contrario. Desde el punto de vista práctico y de que la hipótesis de investigación
se plantea en la H1, las hipótesis en (11) fueron intercambiadas quedando
H'0 : σD2 >
e2
χ12,1− α
vs.
H1' : σD2 ≤
e2
χ12,1− α
(13)
de modo que si H'0 es rechazada, se sabe de antemano con que probabilidad (α’) se le
estaría rechazando cuando es verdadera. Las hipótesis en (13) coinciden prácticamente
con el planteamiento alternativo de Reynolds (1984), ya que para él la hipótesis nula es
H'0 : σD2 ≥
e2
. Por lo tanto, si la H'0 en (13) es rechazada con un nivel de significación
χ12,1− α
α’ entonces se asume que el modelo es adecuado bajo los valores e y α especificados
por el modelador o usuario del modelo.
4.3.2.2. Prueba UMP(α’) para H'0
Para la determinación de la prueba UMP(α’) para las hipótesis en (13), se
utilizaron los siguientes resultados:
(R1) Sea la familia exponencial f ( x; θ) = h(θ) r( x ) eλ( θ ) T ( x ) donde λ(θ) es monótona y θ ∈
(a, b) con -∞≤a<b≤∞, (i) si λ(θ) es creciente en θ entonces la familia tiene razón de
verosimilitudes monótona en T(x) y (ii) si λ(θ) es decreciente en θ entonces la familia
tiene razón de verosimilitudes monótona en -T(x).
29
( )
(R2) Sea X con densidad fX x; θ , θ ∈ Ω ⊂ ℜ la cual conforma una familia con razón
−
−
−
()
de verosimilitudes monótona en T x . Para probar H0: θ>θ0 vs. H1: θ≤θ0 con θ0
−
conocida, existe la prueba UMP(α) la cual es dada por:
()
φ(x ) = c
φ(x ) = 0
()
si T (x ) = k
si T (x ) > k
con k tal que satisface α = E (φ(X )) .
φ x = 1 si T x < k
−
−
−
−
−
−
θ0
(se rechaza H0)
(c una constante)
−
[Los resultados (R1), (R2) y variantes (con otra notación), pueden consultarse en las pp.
422-425 capítulo IX de Mood et al. (1974c)].
El supuesto para las hipótesis en (13) es que D1, D2,…, Dn son una muestra
aleatoria de la distribución N(0, σD2 ). Se tiene que la función de densidad conjunta de D
−
es:
( ) = Π f (d ; σ ) = Π
n
fD d ; σ
−
2
D
−
=
donde h(σD2 ) =
que la familia
i
i =1
(2π σ )
n
2 2
D
(2π σ )
n
2 2
D
−
−
⎡n
⎤ ⎜
I( −∞,∞ ) (di )⎥ e⎝
⎢⎣Π
i =1
⎦
()
−
2
D
2
D
para D y como λ(σD2 ) = −
−
e
2πσD2
−
n
, r d = Π I( −∞,∞ ) (di ) ,
{f (d; σ ), σ
D
i =1
1
1
2 σ D2
⎛
⎜− 1
2 σ D2
1
1
n
2
D
i =1
( di ) 2
I( −∞,∞ ) (di )
⎞ n
⎟ ( di ) 2
⎟
⎠ i=1
∑
λ(σD2 ) = −
1
2σD2
y
()
n
T d = ∑ (di )2 . Por lo
−
i =1
}
∈ ℜ + pertenece a la clase exponencial indicada en (R1)
1
es monótona creciente en σD2 entonces por (i) de (R1) la
2
2σD
()
n
n
i =1
i =1
familia tiene razón de verosimilitudes monótona en T d = ∑ (di )2 = ∑ (di − µ D )2 . Por lo
−
tanto, por (R2) la prueba UMP(α’) es dada por:
()
φ(d) = 0
n
φ d = 1 si ∑ (di )2 ≤ k
−
−
i =1
n
si ∑ (di )2 > k
i =1
30
Note que c=0 y que la igualdad en k puede establecerse en cualquiera de las dos
condiciones ya que D es una variable aleatoria continua. La constante k es tal que
−
( ( ))
satisface α = Eσ 2 φ D donde σ
'
D0
2
D0
−
=
e2
χ12,1− α
, por lo que
⎛ n
⎞
α ' = P⎜⎜ ∑ Di2 ≤ k | σD2 = σD2 0 ⎟⎟
⎝ i =1
⎠
⎞
⎛ n Di2
k
= P⎜⎜ ∑ 2 ≤ 2 | σD2 = σD2 0 ⎟⎟
⎠
⎝ i =1 σD σD
⎛ n D2
k
= P⎜ ∑ 2i ≤ 2
⎜ i =1 σD
σD 0
0
⎝
⎛
k
= P⎜ χn2 ≤ 2
⎜
σD 0
⎝
la cual implica que
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
Di2
[por el resultado (3a): ∑ 2 ~ χn2 ]
i =1 σ D
n
k
= χn2, α ' donde χn2, α ' es el cuantil α’ de la distribución ji-cuadrada
2
σD 0
(
con n g.l., es decir, α = P χ ≤ χ
'
2
n
2
n, α '
), así,
k=σ χ
2
D0
2
n, α '
=
e2 χn2, α '
χ12,1− α
. Por lo tanto, la prueba
UMP(α’) es:
n
()
n
φ d = 1 si ∑ (di )2 ≤
−
i =1
e2 χn2, α '
χ
2
1,1− α
⇔
2 2
∑ (di ) χ1,1− α
i =1
e
2
≤ χn2, α '
(14)
n
()
φ d = 0 si
2 2
∑ (di ) χ1,1− α
i =1
e2
−
> χn2, α '
Con D~N(0, σD2 ) y por (14), la estadística de prueba bajo H'0 verdadera puede escribirse
como
n
V' =
2 2
∑ Di χ1,1− α
i =1
e2
=
χ12,1− α n 2
D ~ χn2
2 ∑ i
i
=
1
e
(15)
y H'0 se rechazará con un nivel de significación α’, si Vc' ≤ χn2, α ' donde Vc' es el valor de
la estadística de prueba V ' que se obtendría al usar la información contenida en la
muestra d1,d2,…,dn y los valores e y α especificados por el modelador o usuario del
31
modelo. Así, si H'0 se rechaza con un nivel de significación α’ entonces el modelo será
considerado aceptable.
Las estadísticas de prueba V y V ' correspondientes a las hipótesis en (11) y
(13), son iguales.
4.3.3. Validación de modelos basada en el porcentaje del error en ausencia
de sesgo
En esta sección se trata el caso cuando el modelador o usuario del modelo está
más interesado en el porcentaje del error que en el valor absoluto del error.
Según Reynolds (1984), el porcentaje de error puede ser manejado de la
siguiente manera: si el usuario especifica p y α tal que el porcentaje de error
D
100 no
Y
sea más que p100 con probabilidad 1-α entonces, como en (5), el requisito es que
⎞
⎛D
P⎜⎜ ≤ p ⎟⎟ ≥ 1 − α
⎠
⎝Y
y señala que si Q =
(16)
D
~N(0, σQ2 ) entonces por los mismos argumentos utilizados para la
Y
variable aleatoria D, el resultado (10), las hipótesis en (13) y la estadística de prueba en
(15) corresponden respectivamente a:
σQ2 ≤
p2
χ12,1− α
H'0' : σQ2 >
(17)
p2
χ12,1− α
H1'' : σQ2 ≤
vs.
p2
χ12,1− α
n
V =
''
2 2
∑ Qi χ1,1− α
i =1
p2
=
χ12,1− α
p2
n
∑Q =
i =1
2
i
χ12,1− α
p2
(18)
2
⎛D ⎞
2
∑ ⎜⎜ i ⎟⎟ ~ χn
i =1 ⎝ Yi ⎠
n
(19)
y H'0' se rechazará con un nivel de significación α’ si Vc'' ≤ χn2, α ' donde Vc'' es el valor de
la estadística de prueba V '' que se obtendría al usar la información contenida en la
⎛d d
d ⎞
muestra q1, q2,…,qn ⎜⎜ 1 , 2 ,..., n ⎟⎟ y los valores p y α especificados por el modelador o
yn ⎠
⎝ y1 y 2
32
usuario del modelo. Por lo tanto, el modelo será considerado aceptable si se rechaza
H'0' .
Al usar el error absoluto o el porcentaje de error, es necesario probar normalidad
D
respectivamente. Si Y~N(Z, σ2Y ) entonces
Y
para la apropiada variable aleatoria D o
D~N(0, σD2 ) donde σ2Y = σD2 . Para la determinación de la distribución de Q =
D
es
Y
necesario pedir que µ Y = Z ≠ 0 , de lo contrario Q=1. La función de distribución de
Q=
D Y−Z
⎛ 1⎞
=
= 1 − Z⎜ ⎟ es
Y
Y
⎝Y⎠
⎞
⎛ ⎛ 1⎞
⎞
⎛ ⎛ 1⎞
⎞
⎛
⎛ 1⎞
FQ (q) = P(Q ≤ q) = P⎜⎜1 − Z⎜ ⎟ ≤ q ⎟⎟ = P⎜⎜ − Z⎜ ⎟ ≤ q − 1⎟⎟ = P⎜⎜ Z⎜ ⎟ ≥ 1 − q ⎟⎟
⎝Y⎠
⎠
⎝ ⎝Y⎠
⎠
⎝ ⎝Y⎠
⎠
⎝
⎛ Z ⎞
⎛
Z ⎞
⎛ 1 1− q ⎞
= P⎜ ≥
⎟⎟
⎟⎟ = FY ⎜⎜
⎟ = P⎜⎜ Y ≤
1− q ⎠
Z ⎠
⎝Y
⎝ 1− q ⎠
⎝
así, la función de densidad de Q =
(
D
está dada por
Y
[
)
]
⎛ Z ⎞
⎛ Z ⎞
⎛ Z ⎞ d
Z
f ⎜
Z(1 − q)−1 = fY ⎜⎜
fQ (q) = fY ⎜⎜
⎟
⎟⎟ − Z(1 − q)− 2 ( −1) =
⎟⎟
2 Y⎜
(1 − q) ⎝ 1 − q ⎟⎠
⎝ 1− q ⎠
⎝ 1 − q ⎠ dq
Z
=
(1 − q)2
⎡ 1
1
exp ⎢− 2
2π σ Y
⎢⎣ 2σ Y
⎛ Z
⎞
− Z ⎟⎟
⎜⎜
⎝ 1− q
⎠
Z
=
(1 − q)2
⎡ 1
1
exp ⎢− 2
2 π σD
⎢⎣ 2σD
⎛ Zq ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎝ 1− q ⎠
=
⎡ Z2
1
exp ⎢− 2
2
2πσD2 (1 − q)
⎢⎣ 2σD
Z
2
2
⎤
⎥
⎥⎦
⎤
⎥
⎥⎦
2
⎛ q ⎞ ⎤
⎟⎟ ⎥ Iℜ −{1}(q)
⎜⎜
⎝ 1 − q ⎠ ⎦⎥
La forma de la función de densidad de probabilidad (fdp) fQ (q) depende de los
parámetros Z y σ2Y = σD2 de la distribución de Y~N(Z, σ2Y ). Cuando Z= σD la fdp de Q es
fQ (q) =
⎡ 1 ⎛ q ⎞2 ⎤
1
1
exp ⎢− ⎜⎜
⎟⎟ ⎥ Iℜ −{1}(q)
2π (1 − q)2
⎢⎣ 2 ⎝ 1 − q ⎠ ⎥⎦
y por lo tanto no depende de dichos parámetros.
33
Bajo los supuestos establecidos la distribución de
es estrictamente un porcentaje y
D
d
tiene soporte ℜ − {1}, i no
Y
yi
D
no tiene distribución normal. Así, el porcentaje de
Y
error bajo los supuestos Y~N(Z, σ2Y ) entonces D~N(0, σD2 ), es un enfoque confuso para
medir exactitud en predicción comparado con el error absoluto.
n
Freese (1960), señala que si Xi~N(µi,σ2) entonces
∑ (X − µ )
i =1
i
σ2
i
2
2
n
⎛ X − µi ⎞
2
= ∑⎜ i
⎟ ~ χn
σ ⎠
i =1 ⎝
donde Xi es el valor estimado por la nueva técnica para la i-ésima unidad experimental,
µi es el valor “verdadero o correcto” medido con la técnica estándar para la i-ésima
unidad experimental, n es el número de unidades experimentales y σ2 es la exactitud
e2
p2
2
o σ ≤ 2
para el caso del error absoluto o del
requerida, es decir, σ ≤ 2
χ1,1− α
χ1,1− α
2
porcentaje del valor verdadero o correcto respectivamente. Por lo tanto, la expresión del
⎛ ⎡ σ ⎤2 ⎞
Di Xi − µi
=
~ N⎜ 0, ⎢ ⎥ ⎟ , tiene
error como un porcentaje del valor verdadero o correcto
⎜ ⎣ µi ⎦ ⎟
µi
µi
⎝
⎠
una interpretación práctica como la exactitud requerida expresada en términos relativos
del valor real en vez de unidades absolutas del valor real, y los resultados (16), (17),
(18), (19) se cumplen con Di=Xi-µi y Yi=µi.
De aquí en adelante los resultados obtenidos sólo se relacionan a cuando la
exactitud requerida es expresada en unidades absolutas del valor real u observado (Yi),
es decir, con el valor absoluto del error [P(D ≤ e ) ≥ 1 − α ] .
4.3.4. Validación por intervalo de confianza empleando el error crítico en
ausencia de sesgo
En esta sección se estudia el enfoque de intervalos de confianza, esto es
motivado debido a que en el planteamiento de Freese, diferentes usuarios del modelo
34
pueden tener distintas necesidades de exactitud, la cual conduce a diferentes valores
de e. Autores como Rennie y Wiant (1978) y Ek y Monserud (1979), han tratado este
problema calculando un error máximo anticipado o error crítico (e*) la cual es el valor
más pequeño de e que conducirá al no rechazo de H0 en (11). Reynolds (1984), señala
que si el usuario del modelo especifica un valor de e tal que e>e* entonces el modelo es
adecuado y si e<e* entonces el modelo no es adecuado. El error crítico e* puede
determinarse de la región de rechazo de H0 en (11):
Vc > χn2,1− α '
n
χ12,1− α ∑ di2
i =1
e2
e2
n
χ12,1− α ∑ di2
> χn2,1− α '
<
1
χ
2
n,1− α '
i =1
n
e2 <
χ12,1− α ∑ di2
χ
i =1
2
n,1− α '
1
n
⎞2
⎛ 2
⎜ χ1,1− α ∑ di2 ⎟
i =1
⎟
e<⎜
⎜ χn2,1− α ' ⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
(20)
En páginas anteriores se indicó, con base en el planteamiento de Freese, que si
la H0 en (11) no se rechaza entonces el modelo es considerado aceptable o adecuado
bajo los valores e, α y α’ especificados por el modelador o usuario del modelo, así, de
(20)
1
n
⎞2
⎛ 2
⎜ χ1,1− α ∑ di2 ⎟
i =1
⎟
e* = ⎜
⎜ χn2,1− α ' ⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
Por lo tanto, H0 se rechazará si e<e* y no se rechazará si e≥e*, es decir, si el modelador
o usuario del modelo especifica un valor de e tal que e≥e* entonces el modelo es
considerado aceptable y si e<e* el modelo no es aceptable. Cabe señalar que Rennie y
35
Wiant (1978) y Reynolds (1984), no indicaron cual es la decisión cuando e=e*, aunque
al señalar que H0 se rechaza cuando Vc > χn2,1− α ' entonces la región de no rechazo es
Vc ≤ χn2,1− α ' por lo que si e=e* la decisión será que el modelo es aceptable.
El error crítico
1
n
⎞2
⎛ 2
⎜ χ1,1−α ∑ Di2 ⎟
i=1
⎟
E* = ⎜
⎜ χ n2,1−α ' ⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
es una estadística que Ek y Monserud (1979) usaron como un índice para comparar
dos modelos, de modo que el modelo con el menor error crítico es el mejor modelo.
El error crítico también puede determinarse de la región de rechazo de H'0 en
(13), es decir,
Vc' ≤ χn2, α '
n
χ12,1− α ∑ di2
e
i =1
2
≤ χn2, α '
e2
≥
n
χ12,1− α ∑ di2
1
χ
2
n, α '
i =1
n
e2 ≥
χ12,1− α ∑ di2
χ
i =1
2
n, α '
1
n
⎛ 2
⎞2
⎜ χ1,1− α ∑ di2 ⎟
i =1
⎟
e≥⎜
⎜ χn2, α '
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
(21)
Por lo tanto, de (21) sea
1
n
⎛ 2
⎞2
⎜ χ1,1− α ∑ di2 ⎟
i =1
⎟
e** = ⎜
⎜ χn2, α '
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
36
Así, H'0 se rechazará si el modelador o usuario del modelo especifica un valor de e tal
que e≥e**, es decir, el modelo será aceptable y si e<e** el modelo no será aceptable.
Análogamente al uso como un índice que Ek y Monserud (1979) le dieron a E*, el error
crítico
1
n
⎛ 2
⎞2
⎜ χ1,1− α ∑ Di2 ⎟
i =1
⎟
E** = ⎜
2
⎜
⎟
χn, α '
⎜
⎟
⎝
⎠
también es una estadística para comparar dos modelos, de tal manera que el modelo
con el menor error crítico es el mejor modelo.
Los errores críticos e* y e** son similares, su diferencia se debe sólo a sus
denominadores χn2,1−α ' y χn2, α ' respectivamente. Si α ' =
Si α ' <
1
entonces χn2,1− α ' = χn2, α ' y e*=e**.
2
1
entonces
2
χn2,1− α ' > χn2, α '
1
χ
2
n,1− α '
<
1
χ
2
n, α '
n
χ12,1− α ∑ di2
χ
i =1
2
n,1− α '
n
<
χ12,1− α ∑ di2
χ
i =1
2
n, α '
(e*)2 < (e**)2
e* < e**
Si para un valor α ' <
(22)
1
, e y α especificados por el modelador o usuario del modelo se
2
tiene que e*< e <e** entonces el modelo es aceptable empleando la estadística E* y no
lo es con la estadística E**. Esto indica que las hipótesis en (13)
e2
H :σ > 2
χ1,1− α
'
0
2
D
vs.
e2
H :σ ≤ 2
χ1,1− α
'
1
2
D
representan un planteamiento alternativo para decidir si un modelo cumple con la
exactitud requerida que el planteamiento original de Freese (1960), además de la
37
implicación práctica para la mayoría de los usuarios al tener la hipótesis de
investigación en la hipótesis alternativa.
A continuación se determina y expone la interpretación del error crítico que hizo
Reynolds (1984), a través de un intervalo de confianza (IC) bilateral.
Con el supuesto D~N(0, σD2 ), considere el parámetro ε definido como
(
ε = σD2 χ12,1− α
)
1
2
el cual corresponde al cuantil 1-α de la distribución de |D| o equivalentemente ε 2 es el
cuantil 1-α de la distribución de D2, ya que por el resultado (6) se tiene que
⎛ D2
⎞
1 − α = P⎜⎜ 2 ≤ χ12,1− α ⎟⎟
⎝ σD
⎠
(
= P(D
= P D2 ≤ σD2 χ12,1− α
(
2
≤ ε2
2
)
)
= P D ≤ ε2
)
= P(D ≤ ε )
La variable aleatoria pivote para el parámetro ε es
Di2
~ χn2 , la estadística de
∑
2
σ
i =1
D
n
prueba empleada en las pruebas de hipótesis establecidas en (11) y (13). Por lo tanto,
⎛ n 2
⎞
⎜ ∑ Di
⎟
2
'
i =1
⎜
1− α = P
≤ χn,1− α ' ⎟
⎜ σD2
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
despejando σ de ε se tiene que σ =
2
D
2
D
ε2
χ12,1− α
y por consiguiente
⎛ n 2
⎞
⎜ ∑ Di
⎟
⎜ i =1
⎟
'
2
1 − α = P⎜ 2 ≤ χn,1− α ' ⎟
ε
⎜ 2
⎟
⎜χ
⎟
⎝ 1,1− α
⎠
38
n
⎛ 2
⎞
⎜ χ1,1− α ∑ Di2
⎟
2
i =1
⎟
= P⎜
≤
χ
n,1− α '
2
⎜
⎟
ε
⎜
⎟
⎝
⎠
n
⎛ 2
⎞
⎜ χ1,1− α ∑ Di2
⎟
2⎟
i =1
⎜
=P
≤ε
⎜ χn2,1− α '
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
(
= P (E*)2 ≤ ε 2
)
= P(E* ≤ ε )
(
Por lo que (E*, ∞) es un IC unilateral del (1-α’)100% para ε = σD2 χ12,1− α
)
1
2
. En el IC
estimado (e*, ∞), e* es el límite inferior de confianza del cuantil 1-α de la distribución de
|D|.
El error crítico E** también puede interpretarse en términos de un IC para el
parámetro ε, ya que
⎛ n 2
⎞
⎜ ∑ Di
⎟
'
2
i =1
⎜
α =P
≤ χn, α ' ⎟
⎜ σD2
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ n 2
⎞
⎜ ∑ Di
⎟
'
2
i =1
⎜
α = 1− P
≥ χn, α ' ⎟
⎜ σD2
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ n 2
⎞
⎜ ∑ Di
⎟
2
'
i =1
⎜
≥ χn, α ' ⎟
1− α = P
⎜ σD2
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎞
⎛ n 2
⎟
⎜ ∑ Di
⎟
⎜ i =1
2
= P⎜ 2 ≥ χn, α ' ⎟
ε
⎟
⎜ 2
⎟
⎜χ
1
,
1
−
α
⎠
⎝
39
n
⎛ 2
⎞
⎜ χ1,1− α ∑ Di2
⎟
2
i =1
⎟
= P⎜
≥
χ
n, α '
2
⎜
⎟
ε
⎜
⎟
⎝
⎠
n
⎛ 2
⎞
⎜ χ1,1− α ∑ Di2
⎟
2⎟
i =1
⎜
=P
≥ε
⎜
⎟
χn2, α '
⎜
⎟
⎝
⎠
(
= P (E * *)2 ≥ ε 2
)
= P(E * * ≥ ε )
(
Por lo que (0, E**) es un IC unilateral del (1-α’)100% para ε = σD2 χ12,1− α
)
1
2
. En el IC
estimado (0, e**), e** es el límite superior de confianza del cuantil 1-α de la distribución
de |D|.
Reynolds (1984) combinó los dos IC unilaterales para formar ( EI∗ , EI∗∗ ), un
intervalo de confianza bilateral (ICB) del (1-2α’)100% para ε. Si se reemplaza α’ por
α'
2
en las expresiones para E* y E** se obtiene un ICB del (1-α’)100% para ε. Así, en el ICB
estimado ( eI∗ , eI∗∗ )
1
1
n
⎛ 2
⎞2
⎜ χ1,1− α ∑ di2 ⎟
i =1
⎟
eI∗ = ⎜
⎜ χ2 α' ⎟
n,1−
⎜
⎟
2
⎝
⎠
y
n
⎛ 2
⎞2
⎜ χ1,1− α ∑ di2 ⎟
i =1
⎟
eI∗∗ = ⎜
⎜ χ2 α'
⎟
n,
⎜
⎟
2
⎝
⎠
(23)
son los límites de confianza inferior y superior respectivamente del (1-α’)100% para el
cuantil 1-α de la distribución de |D| bajo el supuesto de que D~N(0, σD2 ). El intervalo de
confianza estimado significa que se tiene confianza en un (1-α’)100% que el punto de la
distribución |D| que tiene debajo el (1-α)100% de los errores absolutos está localizado
(
)
en alguna parte en el intervalo eI* , eI* * . Del resultado (22) se tiene que si α ' <
entonces e*<e**.
La función de distribución de T=|D| con D~N(0, σD2 ) es
40
1
2
FT ( t ) = P(T ≤ t ) = P(D ≤ t ) = P(− t ≤ D ≤ t ) = P(D ≤ t ) − P(D ≤ −t )
= FD ( t ) − FD ( − t ) = FD ( t ) − (1 − FD ( t )) = 2FD ( t ) − 1
por lo que la función de densidad de T=|D| está dada por
fT ( t ) =
d
d
FT ( t ) = [2FD ( t ) − 1] = 2fD ( t )
dt
dt
1
f T( t ) =
2
− 2t
2
e 2σD I( 0, ∞ ) ( t )
2π σD
El soporte de T=|D| es (0, ∞) ya que -∞<d<∞ y |d|≥0. Su gráfica corresponde a la mitad
derecha de D~N(0, σD2 ) en donde cada imagen de la función densidad de D es
multiplicada por 2.
A continuación se deduce por otro camino el ICB ( EI∗ , EI∗∗ ) del (1-α’)100% para ε
que determinó Reynolds (1984). Básicamente el procedimiento consistirá en obtener un
ICB del (1-α’)100% para σD2 y a partir de éste se determinará el ICB del (1-α’)100% para
ε.
Con el supuesto D~N(0, σD2 ), una variable aleatoria pivote para σD2 es
n
H(σD2 ) =
∑D
i =1
σD2
2
i
~ χn2
Para 1-α’ dado se pueden determinar h1 y h2 de la distribución χn2 tales que
(
1 − α ' = P h1 < H(σD2 ) < h2
)
n
⎞
⎛
Di2
⎟
⎜
∑
'
i =1
⎜
1 − α = P h1 <
< h2 ⎟
2
⎟
⎜
σD
⎟
⎜
⎠
⎝
n
n
⎞
⎛
2
D
Di2
⎟
⎜
∑
∑
i
'
i =1
i =1
⎜
1 − α = P h1 <
,
< h2 ⎟
⎟
⎜
σD2
σD2
⎟
⎜
⎠
⎝
41
⎛
⎜
1 − α ' = P⎜ σD2 <
⎜
⎜
⎝
n
n
⎞
⎟
< σD2 ⎟
⎟
⎟
⎠
∑D ∑D
2
i
i =1
,
h1
⎛ n 2
⎜ ∑ Di
'
1 − α = P⎜ i =1
< σD2 <
⎜ h2
⎜
⎝
2
i
i =1
h2
n
∑D
i =1
h1
2
i
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Por lo tanto
⎛ n 2
⎜ ∑ Di
⎜ i =1
,
⎜ h2
⎜
⎝
n
∑D
i =1
h1
2
i
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
es un ICB del (1-α’)100% para σD2 . Una manera de obtener h1 y h2 es tal que se tenga
igual probabilidad en las colas de la distribución χn2 , es decir,
⎞
⎞
⎛ n 2
⎛ n 2
⎟
⎟
⎜ ∑ Di
⎜ ∑ Di
'
i =1
i =1
⎟=α
⎟
⎜
⎜
P
h
P
h
=
>
<
1
2
⎟ 2
⎟
⎜ σD2
⎜ σD2
⎟
⎟
⎜
⎜
⎠
⎠
⎝
⎝
por lo que h1 = χ 2 α ' y h2 = χ 2
n,
2
n,1−
α'
2
. Así, el ICB del (1-α’)100% para σD2 es
⎛ n 2 n 2⎞
⎜ ∑ Di ∑ Di ⎟
⎟
⎜ i =1
, i =1
⎜ χ2 α' χ2 α' ⎟
n,
⎜ n,1− 2
2 ⎟
⎠
⎝
(24)
y es referido a veces como el IC de colas iguales para la varianza.
Otra manera de determinar h1 y h2 es tal que minimicen la amplitud esperada del
(
)
intervalo, E(A), sujeta a la restricción 1 − α ' = P h1 < H(σD2 ) < h2 . Se tiene que
1 − α ' = FH (h2 ) − FH (h1 )
(25)
y
42
n
⎞
⎛ n 2
⎜ ∑ Di ∑ Di2 ⎟
n
⎟ = ⎛⎜ 1 − 1 ⎞⎟ E⎛⎜ D2 ⎞⎟
E( A ) = E⎜ i =1
− i =1
∑ i
⎜ h1
h2 ⎟ ⎜⎝ h1 h2 ⎟⎠ ⎜⎝ i =1 ⎟⎠
⎟
⎜
⎠
⎝
⎛1 1⎞ n
= ⎜⎜ − ⎟⎟ ∑ E(Di2 )
⎝ h1 h2 ⎠ i =1
(26)
Derivando (25) y (26) respecto a h1 se tiene que
d
d
[FH (h2 ) − FH (h1 )]
(1 − α ' ) =
dh1
dh1
0 = fH (h2 )
dh2
− fH (h1 )
dh1
fH (h1 ) = fH (h2 )
dh2
dh1
dh2 fH (h1 )
=
dh1 fH (h2 )
(27)
n
dE( A )
d ⎛1 1⎞
⎜ − ⎟=0
= ∑ E(Di2 )
dh1
dh1 ⎜⎝ h1 h2 ⎟⎠
i =1
−
1
1 dh2
+ 2
=0
2
h1 h2 dh1
1 dh2
1
= 2
2
h2 dh1 h1
dh2 h22
=
dh1 h12
(28)
Igualando (27) y (28) se obtiene
fH (h1 ) h22
=
fH (h2 ) h12
h12 fH (h1 ) = h22 fH (h2 )
(29)
Por lo tanto, h1 y h2 se seleccionan de modo que cumplan (29) y sujetos a la restricción
(
)
P h1 < H(σD2 ) < h2 = 1 − α ' .
43
(
Ahora se determinará un ICB del (1-α’)100% para ε = σD2 χ12,1− α
)
1
2
, el cuantil 1-α de
la distribución de |D|, a partir del ICB del (1-α’)100% para σD2 obtenido en (24). Para
esto se utilizó el siguiente resultado que puede ser consultado en el capítulo VIII página
378 de Mood et al. (1974d): Si τ(.) es una función monótona creciente y (T1=t1(X1,
X2,…,Xn), T2=t2(X1, X2,…,Xn)) es un IC del γ100% para θ entonces (τ(T1 ), τ(T2 )) es un IC
del γ100% para τ(θ) ya que
Pθ (τ(T1 ) < τ(θ) < τ(T2 )) = Pθ (T1 < θ < T2 ) = γ
Del
IC
del
( ) (
(1-α’)100%
τ σD2 = σD2 χ12,1− α
)
1
2
=ε
para
σD2
obtenido
en
(24)
y
de
que
la
función
es monótona creciente, entonces por el resultado antes
mencionado
⎛ n 2
⎜ ∑ Di
τ ⎜ i =21
⎜ χ α'
⎜ n,1− 2
⎝
⎛ n 2⎞
⎞
⎜ ∑ Di ⎟
⎟
⎟
⎟ < τ σ 2 < τ ⎜ i =1
D
⎜ χ2 α' ⎟
⎟
⎜ n, 2 ⎟
⎟
⎠
⎝
⎠
( )
1
2
⎞
⎛
⎞
⎛
⎜ ∑ Di2 χ12,1− α ⎟
⎜ ∑ Di2 χ12,1− α ⎟
⎟
⎟ < ε < ⎜ i =1
⎜ i =1
2
⎟
⎜
⎜ χ2 α' ⎟
χ α'
n,
n,1−
⎟
⎜
⎟
⎜
2
2
⎠
⎝
⎠
⎝
n
n
1
2
EI∗ < ε < EI∗∗
Así, ( EI∗ , EI∗∗ ) es un ICB del (1-α’)100% para ε, el cual coincide con el obtenido por
Reynolds (1984), empleando un procedimiento diferente. Cabe señalar que del análisis
efectuado para la obtención del resultado e*<e**, es necesario especificar un valor
α' <
1
.
2
Probablemente para la mayoría de los usuarios de un modelo, sea relativamente
más práctico y sencillo trabajar con el IC para σD2 que para el IC del cuantil 1-α de la
distribución de |D|. Por lo que se expone, respecto a la adecuación del modelo, un
posible uso del ICB del (1-α’)100% para σD2 .
44
Para e y α especificados por el modelador o usuario del modelo considere las
hipótesis
H0 : σD2 =
e2
χ12,1− α
vs.
H1 : σD2 ≠
e2
χ12,1− α
las cuales constituyen el planteamiento de una prueba de hipótesis de dos colas con
nivel de significación, digamos α’. También, considere el ICB del (1-α’)100% para σD2
n
n
∑ Di2
i =1
χ2
n,1−
< σD2 <
α'
2
∑D
i =1
2
χ
n,
2
i
α'
2
Con un nivel de significación α’, no se rechazará H0 : σD2 =
H1 : σD2 ≠
si
e2
χ12,1− α
e2
χ12,1− α
a favor de
e2
e2
si
el
valor
está en el IC del (1-α’)100% para σD2 . Se rechazará H0
χ12,1− α
χ12,1− α
está fuera del intervalo. El ICB del (1-α’)100% se puede interpretar como el
conjunto de valores de
e2
e2
2
para
los
cuales
σ
=
es “aceptable” en el nivel
H
:
0
D
χ12,1− α
χ12,1− α
de significación α’. No hay un valor aceptable para el parámetro σD2 sino un número
infinito de valores dentro del intervalo, es por esto que, por lo general, “no se acepta” la
H0 de que σD2 tome un valor particular
e2
e2
,
aun
si
el
valor
está dentro del IC.
χ12,1− α
χ12,1− α
Como diversos valores de σD2 son aceptables, se evita aceptar un solo valor de σD2
como el valor real.
Una posible utilidad del ICB del (1-α’)100% para σD2 es que proporciona una idea
de los valores de e y α para los cuales el modelo será considerado aceptable
⎡
e2 ⎤
e2
2
se encuentre
⎢caso la igualdad en σD ≤ 2 ⎥ , y éstos serán los que hagan que 2
χ1,1− α ⎦⎥
χ1,1− α
⎣⎢
en dicho IC. Esto es debido a que un modelo es aceptable si se cumple que σD2 ≤
45
e2
.
χ12,1− α
Otra utilidad más práctica es que proporciona información acerca de la amplitud de los
valores de σD2 .
4.3.5. Planteamiento para validar un modelo en predicción de varias
variables
Con base a los resultados obtenidos, se plantea un procedimiento gráfico para
visualizar cuando un modelo satisface la exactitud requerida para varias variables que
sean salidas de un modelo o submodelo.
Sea el caso de validar un modelo en predicción para tres variables de estado
observadas Y1, Y2, Y3 con Z1, Z2, Z3 sus correspondientes valores predichos por el
modelo, así, se tienen tres pares de conjuntos (Yjk, Zjk) con j=1,2,3; k=1,2,…,nj, los
mismos valores de exactitud e y α especificados por el modelador o usuario del modelo
y la misma α’ empleada en las inferencias para la determinación de e*j o e*j * con j=1,2,3.
e2
para la variable Yj
Se tendrá que el modelo satisface la exactitud requerida σ ≤ 2
χ1,1− α
2
D
con un nivel de significación α’ si e ≥ e*j o e ≥ e*j * . Un gráfico de líneas o barras con los
letreros Y1, Y2 y Y3 en el eje de las abscisas y los valores e*j o e*j * en el eje de las
ordenadas, permitiría visualizar para cuales variables el modelo es adecuado o
aceptable en predicción. Por ejemplo, si e*2 ≤ e < e1* < e3* entonces el modelo sólo es
aceptable en predicción de la variable Y2. Aunque también se tendría que el modelo es
más adecuado en predicción para Y2, luego para Y1 y finalmente para Y3 (Figura 3).
46
10
9
8
7
6
e* 5
4
3
2
1
0
Y1
Y2
Y3
Figura 3. Valores hipotéticos del error crítico e*j (j=1, 2, 3) para cada variable.
Otros gráficos que contribuirían a completar la percepción de la adecuación de
un modelo analizando varias variables, sería un gráfico de los ICB del (1-α’)100% para
(
)
1
la V(D j ) = σD2 j j=1,2,3 y un gráfico de los ICB del (1-α’)100% para ε j = σD2 j χ12,1− α 2 , el
cuantil 1-α de la distribución de |Dj| j=1,2,3. El primero indicaría la amplitud de los
valores para cada σD2 j , un intervalo angosto implicaría que la distribución de Dj es
(
)
menos variable. El segundo, con los IC eIj* , eIj* * graficados, significaría que se tiene
confianza en un (1-α’)100% que el punto de la distribución |Dj| que tiene debajo el (1-
(
)
α)100% de los errores absolutos está localizado en alguna parte en el intervalo eIj* , eIj* * .
(
Un intervalo con menor límite superior de confianza para ε j = σD2 j χ12,1− α
)
1
2
implicaría que
para la variable Yj el modelo es más adecuado ya que contiene el cuantil 1-α de los
valores |djk| antes que las otras variables, y si el IC es angosto mucho mejor. Ambos
gráficos serían como la Figura 4, con la diferencia de los valores en el eje de las
(
ordenadas, es decir, V(D j ) = σD2 j para el ICB de la varianza y ε j = σD2 j χ12,1− α
valores del cuantil 1-α de la distribución de |Dj|.
47
)
1
2
para los
11
10
V(Dj)
9
8
7
6
Y1
Y2
Y3
Figura 4. Valores hipotéticos de V(Dj) o εj (j=1, 2, 3) para cada variable.
Se requiere que las variables sean medidas en las mismas unidades para que
las comparaciones sean justas. En caso contrario se tendría que establecer diferentes
valores de e, una para cada variable Yj y mantener los mismos valores de α y α’ en las
inferencias. También para evitar trabajar con parejas de datos que tienen unidades de
medida diferentes, se puede estandarizar cada columna de datos, de modo que cada
columna transformada tendrá media cero y desviación estándar uno, además de que no
tendrán unidades de medida.
4.3.6. Planteamiento para la comparación de dos o más modelos en
predicción
Un problema frecuentemente dado en la construcción de un nuevo modelo M2,
para un sistema particular cuando ya se tiene un modelo M1 de dicho sistema, es
decidir cuál modelo es mejor en cuanto a la exactitud en predicción de los valores del
sistema real (Y). En páginas anteriores se trató este problema cuando se determinaron
los errores críticos E* y E**. Ahora, se plantea analíticamente la situación y una solución
por medio del error crítico E**. Análogamente la comparación puede hacerse utilizando
E*.
Sea (Yi, Zij) i=1,2,…,n y j=1,2 donde para el i-ésimo par y modelo j (Mj), Yi es el
valor observado de la variable de interés y Zij el correspondiente valor predicho
mediante el modelo j. Usando los conjuntos (Yi, Zi1) y (Yi, Zi2) para i=1,2,…,n se pueden
48
obtener e1* * y e*2* que son respectivamente los errores críticos basados en el
planteamiento alternativo para los modelos M1 y M2. Si el modelador o usuario del
modelo especifica un valor de e tal que e ≥ e*j * para alguna (j=1,2) donde e*j * es un
valor de la estadística
1
n
⎞2
⎛ 2
⎜ χ1,1− α ∑ Dij2 ⎟
i =1
⎟
E*j * = ⎜
2
⎟
⎜
χn, α '
⎟
⎜
⎠
⎝
para el modelo j entonces dicho modelo es aceptable. Así, en la comparación de dos
modelos, el modelo con el menor error crítico será el mejor modelo. Por ejemplo, si
e1* * ≤ e < e*2* entonces el mejor modelo es M1 (Figura 5). Por supuesto que en la
determinación de e*j * se emplean los mismos valores de α y α’. Este procedimiento
permite comparar m modelos (j=1,2,…,m) bajo las mismas consideraciones planteadas
para el caso de dos modelos.
10
9
8
7
6
e** 5
4
3
2
1
0
M1
M2
Figura 5. Valores hipotéticos del error crítico e *j* (j=1, 2) para la variable Y por medio de
los modelos 1 y 2 (M1 y M2).
49
4.3.7. Validación de modelos basada en el valor absoluto del error en
presencia de sesgo constante
En la obtención de todos los resultados del procedimiento para determinar si un
modelo satisface los requerimientos de exactitud, el supuesto fue D~N(0, σD2 ), es decir,
que no hay sesgo en el modelo. El objetivo en esta sección es obtener un
procedimiento cuando el modelo presente sesgo en sus pronósticos Zi para el
correspondiente valor observado Yi.
Del supuesto D~N(0, σD2 ) se tiene que µD=E(D)=E(Y-Z)=E(Y)-Z=0, es decir,
E(Y)=Z la cual indica que la esperanza de la variable aleatoria de los datos observados
(Y) es igual al correspondiente valor predicho por el modelo (Z), y es en este sentido de
que se dice que el modelo no presenta sesgo.
Aunque en sus planteamientos Freese (1960), no indica explícitamente la
traducción de la exactitud requerida P(D ≤ e ) ≥ 1 − α en σD2 ≤
e2
, asume como indica
χ12,1− α
también Reynolds (1984) que D~N(0, σD2 ), es decir, que el modelo no presenta sesgo
[E(D)=0]. Reynolds (1984) no presentó un planteamiento basado en el procedimiento de
Freese cuando el modelo presenta sesgo.
Si el modelo presenta sesgo constante (SC) B, Freese (1960) aunque señala que
si el sesgo B es el mismo para todos los valores Yi (µi en su notación), y que su
magnitud puede estimarse por la media de las diferencias entre los valores observados
y los predichos
n
∧
B=D=
∑ Di
i =1
n
n
=
∑ (Y − Z )
i =1
i
n
i
= Y−Z
∧
no indica explícitamente las razones de utilizar B = D y de la traducción de la exactitud
requerida en σD2 .
∧
El uso de B = D se debe a las siguientes razones: Si D1, D2,…,Dn es una
muestra aleatoria de D~ N(µD , σD2 ) , es decir, Di~ NI(µD , σD2 ) i=1,2,…,n entonces
50
E(Di ) = E( Yi − Zi ) = E( Yi ) − Zi = Zi + S( Yi ) − Zi = S( Yi )
E(Di ) = µD = S( Yi ) = B
donde S( Yi ) denota el sesgo de Yi. Por lo tanto, un estimador insesgado de µD = B es
∧
∧
µD = B = D , y
∧
E(Di − B) = E(Di − D) = E(Di ) − E(D)
= µD − µ D = µ D − µD = 0
(30)
⎛
σ2 ⎞
ya que si D~ N(µD , σD2 ) entonces D ~ N⎜⎜ µD , D ⎟⎟ [ver teorema 6 página 241 del capítulo VI
n ⎠
⎝
∧
de Mood et al. (1974b)]. Por (30) Di − B = Di − D es la corrección por SC o fijo B, el
mismo para todos los valores Yi.
Sea Wi = Di − D entonces
Di − D = Di −
1
(D1 + ... + Di−1 + Di + Di+1 + ... + Dn )
n
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
= ⎜ − ⎟D1 + ... + ⎜ − ⎟Di −1 + ⎜1 − ⎟Di + ⎜ − ⎟Di +1 + ... + ⎜ − ⎟Dn
⎝ n⎠
⎝ n⎠
⎝ n⎠
⎝ n⎠
⎝ n⎠
es una combinación lineal de variables aleatorias independientes con distribución
N(µD , σD2 ) y por el teorema 6.3 pp. 305-306 capítulo 6 de Wackerly (2002) [Sean Y1,
Y2,…,Yn variables aleatorias independientes que tienen distribución normal con E(Yi)=µi
y
var(Yi)= σ
2
i
i=1,2,…,n
y
a1,a2,…,an
constantes.
Si
n
U = ∑ ai Yi
entonces
i=1
n
⎛ n
⎞
U~ N⎜⎜ ∑ aiµi , ∑ ai2σi2 ⎟⎟ ], Wi se distribuye normal con media E( Wi ) = E(Di − D) = 0 [ver
i =1
⎝ i =1
⎠
resultado (30)] y varianza
Var ( Wi ) = Var (Di − D)
⎡⎛ 1 ⎞
⎛ 1⎞ ⎤
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
= Var ⎢⎜ − ⎟D1 + ... + ⎜ − ⎟Di −1 + ⎜1 − ⎟Di + ⎜ − ⎟Di +1 + ... + ⎜ − ⎟Dn ⎥
⎝ n⎠ ⎦
⎝ n⎠
⎝ n⎠
⎝ n⎠
⎣⎝ n ⎠
2
1
1
1
1
⎛ 1⎞
= 2 σD2 + ... + 2 σD2 + ⎜1 − ⎟ σD2 + 2 σD2 + ... + 2 σD2
n
n
n
n
⎝ n⎠
51
2
⎛ n − 1⎞ 2 ⎛ n − 1⎞ 2
⎛ n − 1⎞
= ⎜ 2 ⎟σD2 + ⎜
⎟ σD = ⎜ 2 ⎟σD (1 + n − 1)
⎝ n ⎠
⎝ n ⎠
⎝ n ⎠
⎛ n − 1⎞ 2
=⎜
⎟σD
⎝ n ⎠
n≥2
⎛ ⎛ n − 1⎞ 2 ⎞
2
Por lo que, Wi = (Di − D) ~ N⎜⎜ 0 , ⎜
⎟σD ⎟⎟ . Así, para D~ N(µD , σD ) se sigue que
⎝ ⎝ n ⎠ ⎠
⎛ ⎛ n − 1⎞ 2 ⎞
W = (D − D) ~ N⎜⎜ 0 , ⎜
⎟σD ⎟⎟ .
⎝ ⎝ n ⎠ ⎠
4.3.7.1. Pruebas estadísticas para la exactitud requerida
⎛
⎛ n − 1⎞ 2 ⎞
Sea W1,W2,…,Wn una muestra aleatoria de la distribución N⎜⎜ 0 , σ2W = ⎜
⎟σD ⎟⎟
⎝ n ⎠ ⎠
⎝
entonces por los mismos argumentos utilizados para la variable aleatoria D cuando
D~ N(0, σD2 ) , la exactitud requerida traducida en la varianza indicada en (10), las
hipótesis con el planteamiento original en (11), alternativo en (13) y la estadística de
prueba en (15) corresponden respectivamente a (31), (32), (32a) y (33):
σ2W ≤
e2
χ12,1− α
(31)
donde los valores e y α especificados por el usuario del modelo satisfacen la exactitud
requerida P(D ≤ e ) ≥ 1 − α que se traduce en σD2 ≤
e2
una vez que es removido el SC
χ12,1− α
mediante la corrección Di − D .
HSCW
: σ2W ≤
0
e2
χ12,1− α
vs.
H1SCW : σ2W >
e2
χ12,1− α
(32)
'
HSCW
: σ2W >
0
e2
χ12,1− α
vs.
H1SCW ' : σ2W ≤
e2
χ12,1− α
(32a)
n
V SCW = ∑
i =1
n
χ12,1− α n 2
Wi2
Wi2
=
=
∑ Wi
∑
e2
σ2W0
e 2 i =1
i =1
χ12,1− α
52
=
χ12,1− α
e2
2
χ12,1− α ⎡ n 2
⎤ 2
∑ (Di − D) = 2 ⎢∑ Di − n(D) ⎥ ~ χn−1
i =1
e ⎣ i =1
⎦
2
n
(33)
'
o HSCW
, se rechazará con un nivel de
La hipótesis nula para SC HSCW
0
0
significación α’ si VcSCW > χn2−1,1− α ' o VcSCW ≤ χn2−1, α ' las cuales son pruebas de razón de
verosimilitudes generalizada de tamaño α’ [ver pp. 431-432 capítulo IX de Mood et al.
(1974c)]. VcSCW es el valor de la estadística de prueba V SCW que se obtendría al usar la
información contenida en la muestra w1,w2,…,wn ( w i = di − d ) y los valores e y α
especificados por el modelador o usuario del modelo como se indicó arriba. Por lo tanto,
'
si HSCW
no se rechaza o HSCW
se rechaza con un nivel de significación α’ entonces el
0
0
modelo será considerado aceptable bajo los valores e, α.
Los resultados (31), (32), (32a) y (33) pueden formularse en (34), (35), (35a) y
(36) respectivamente cuando se considera D~ N(µD , σD2 ) y el modelo presenta SC. Esto
se debe a que:
σ
2
W
≤
e2
χ12,1− α
e2
⎛ n − 1⎞ 2
⎜
⎟σD ≤ 2
χ1,1− α
⎝ n ⎠
2
⎛ n ⎞ e
σ ≤⎜
⎟ 2
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
2
D
(
(34)
)
donde e y α satisfacen P D − D ≤ e ≥ 1 − α . El resultado (34), también puede obtenerse
con el mismo procedimiento empleado en la determinación del resultado (10). Así, si
D~ N(µD , σD2 ) entonces
⎛ ⎛ n − 1⎞ 2 ⎞
W = (D − D) ~ N⎜⎜ 0 , ⎜
⎟σD ⎟⎟
⎝ ⎝ n ⎠ ⎠
D −D
⎛ n − 1⎞ 2
⎟σD
⎜
⎝ n ⎠
(a)
~N(0,1)
(b)
53
⎛
⎜
⎜ D−D
⎜
⎜ ⎛⎜ n − 1⎞⎟σD2
⎜ ⎝ n ⎠
⎝
2
⎞
⎟
2
⎟
(
W2
D − D)
~ χ12
=
=
⎟
⎛ n − 1⎞ 2 ⎛ n − 1⎞ 2
⎟
⎟ σD
⎟ σD ⎜
⎜
⎟
n
n
⎠
⎠
⎝
⎝
⎠
(c)
⎞
⎛
⎟
⎜
2
W
2
⎜
P
≤ χ1,1− α ⎟ = P χ12 ≤ χ12,1− α = 1 − α
⎟
⎜ ⎛ n − 1⎞ 2
⎟σ D
⎟
⎜⎜
⎠
⎝⎝ n ⎠
(d)
(
)
De P( W ≤ e ) ≥ 1 − α se tiene que
(
2
)
P W ≤ e2 ≥ 1 − α
(
)
P W 2 ≤ e2 ≥ 1 − α
⎞
⎛
⎟
⎜
2
2
e
W
⎟ ≥ 1− α
⎜
≤
P
⎜ ⎛ n − 1⎞ 2 ⎛ n − 1⎞ 2 ⎟
⎟σD ⎜
⎟σD ⎟
⎜⎜
⎝ n ⎠ ⎠
⎝⎝ n ⎠
⎞
⎛
⎟
⎜
2
e
2
⎟ ≥ 1− α
⎜
P χ1 ≤
⎜
⎛ n − 1⎞ 2 ⎟
⎜
⎟ σD ⎟
⎜
⎝ n ⎠ ⎠
⎝
(e)
Por lo tanto, de (d) y (e) se obtiene el resultado (34)
e2
≥ χ12,1− α
⎛ n − 1⎞ 2
⎜
⎟σD
⎝ n ⎠
⎛ n − 1⎞ 2
⎜
⎟σD
⎝ n ⎠ ≤ 1
e2
χ12,1− α
2
⎛ n ⎞ e
σ ≤⎜
⎟ 2
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
2
D
El siguiente paso es probar la hipótesis con el planteamiento original o alternativo:
2
⎛ n ⎞ e
2
HSCD
:
σ
≤
⎜
⎟
0
D
2
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
2
⎛ n ⎞ e
H1SCD : σD2 > ⎜
⎟ 2
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
vs.
54
(35)
2
⎛ n ⎞ e
'
2
HSCD
:
σ
>
⎜
⎟ 2
0
D
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
2
⎛ n ⎞ e
H1SCD' : σD2 ≤ ⎜
⎟ 2
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
vs.
(35a)
Con D~ N(µD , σD2 ) , el modelo presenta SC, e y α tales que satisfacen la exactitud
(
)
2
⎛ n ⎞ e
requerida P( W ≤ e ) = P D − D ≤ e ≥ 1 − α que se traduce en σ ≤ ⎜
⎟ 2 , implican
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
2
D
'
( HSCD
) verdadera es:
que la estadística de prueba bajo HSCD
0
0
n
V SCD = ∑
(Di − D)2 ~ χ2
(Di − D)2
n
=∑
i =1
n−1
σD2 0
i =1
2
⎛ n ⎞ e
donde σD2 0 = ⎜
⎟ 2 .
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
2
⎛ n − 1⎞ χ1,1− α n
=⎜
⎟ 2 ∑ (Di − D)
⎝ n ⎠ e i =1
2
2
⎛ n ⎞ e
⎟ 2
⎜
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
2
⎤
⎛ n − 1⎞ χ1,1− α ⎡ n 2
2
(
)
=⎜
−
D
n
D
~ χn−
⎟ 2 ⎢∑ i
1
⎥
⎝ n ⎠ e ⎣ i =1
⎦
2
HSCD
0
'
HSCD
0
o
⎛ n − 1⎞ χ1,1− α
=⎜
⎟ 2
⎝ n ⎠ e
2
SCD
c
V
se
rechazará
con
un
(36)
nivel
de
significación
α’
si
2
⎡n 2
⎤
2
SCD
2
(
)
−
d
n
d
∑
⎢i = 1 i
⎥ > χn −1,1− α ' o Vc ≤ χ n −1, α ' las cuales son pruebas de
⎣
⎦
razón de verosimilitudes generalizada de tamaño α’ [ver pp. 431-432 capítulo IX de
'
Mood et al. (1974c)]. Por lo tanto, si HSCD
no se rechaza o HSCD
se rechaza con un nivel
0
0
de significación α’ entonces el modelo será considerado aceptable bajo los valores e y
α.
La distribución de V SCD puede obtenerse del teorema 8 pp. 243-245 capítulo VI
de Mood et al. (1974b) [Si X1, X2,…,Xn es una muestra aleatoria de la distribución
normal con media µ y varianza σ
2
entonces
n
∑
i =1
entonces
n
∑
i =1
(Di − D)2 ~ χ2
σ
2
D
(Xi − X)2 ~ χ2
σ
2
n−1
]. Como Di~ NI(µD , σD2 )
n
n−1 . También Montgomery (2004d), señala que SS = ∑ (Di − D )
2
i =1
es la suma de cuadrados corregida de las observaciones Di y si Di~ NI(µ, σ2 ) entonces
n
(Di − D) ~ χ2 .
SS
=
∑
n−1
2
σ
σ2
i =1
2
55
Cuando el modelo presenta SC y D~ N(µD , σD2 ) , coincidiendo con Freese (1960),
los valores e y α son tales que satisfacen la exactitud requerida P(D ≤ e ) ≥ 1 − α que se
traduce en σD2 ≤
e2
una vez que es removido el sesgo, y bajo HSCW
verdadera la
0
2
χ1,1− α
estadística de prueba V SCW se distribuye ji-cuadrada con n-1 g.l. Ahora, si el modelo
presenta SC, D~ N(µD , σD2 ) , e y α son tales que satisfacen la exactitud requerida
(
)
2
⎛ n ⎞ e
P( W ≤ e ) = P D − D ≤ e ≥ 1 − α que se traduce en σD2 ≤ ⎜
⎟ 2 , implica que bajo
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
verdadera la estadística de prueba a utilizar sería V SCD , la cual también se
HSCD
0
distribuye ji-cuadrada con n-1 g.l.
4.3.8. Validación por intervalo de confianza empleando el error crítico en
presencia de sesgo constante
Freese (1960), Rennie y Wiant (1978), Reynolds (1984) y Barrales et al. (2004)
no presentaron el error crítico cuando el modelo tiene SC o proporcional.
Con
D~ N(µD , σD2 )
y
el
modelo
presenta
SC,
se
tiene
que
⎛ ⎛ n − 1⎞ 2 ⎞
W = (D − D) ~ N⎜⎜ 0 , ⎜
⎟σD ⎟⎟ . Por los mismos argumentos empleados en la obtención
⎝ ⎝ n ⎠ ⎠
de los errores críticos E* y E** cuando el modelo no presenta sesgo [D~ N(0, σD2 ) ], los
errores críticos para el planteamiento original y alternativo después de remover el SC
corresponden respectivamente a:
E∗SCW
1
2
⎛ 2
⎞
⎛ 2
2 ⎞
⎜ χ1,1− α ∑ (Di − D) ⎟
⎜ χ1,1− α ∑ Wi2 ⎟
i =1
i =1
⎟
⎟ =⎜
=⎜
⎟
⎜
⎜ χn2−1,1− α ' ⎟
χn2−1,1− α '
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎠
⎝
n
n
56
1
2
1
2
⎛ 2 ⎡n 2
⎤ ⎞2
⎜ χ1,1− α ⎢∑ Di − n(D) ⎥ ⎟
⎜
⎣ i =1
⎦⎟
=⎜
2
⎟
χn −1,1− α '
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎝
1
2
⎛ 2
⎞
⎛ 2
2 ⎞
⎜ χ1,1− α ∑ Wi2 ⎟
⎜ χ1,1− α ∑ (Di − D) ⎟
i =1
i =1
⎟ =⎜
⎟
=⎜
⎜ χn2−1, α '
⎟
⎜
⎟
χn2−1, α '
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
n
E∗∗
SCW
n
1
2
1
2
⎛ 2 ⎡n 2
⎤ ⎞2
⎜ χ1,1− α ⎢∑ Di − n(D) ⎥ ⎟
⎜
⎣i =1
⎦⎟
=⎜
2
⎟
χn −1, α '
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎝
Si el usuario del modelo especifica un valor de e tal que e ≥ e∗SCW o e ≥ e∗∗
SCW entonces
el modelo es considerado aceptable. Los valores e y α son tales que satisfacen la
e2
exactitud requerida P(D ≤ e ) ≥ 1 − α que se traduce en σ ≤ 2
una vez que es
χ1,1− α
2
D
removido el SC.
Si D~ N(µD , σD2 ) , el modelo presenta SC, e y α tales que satisfacen la exactitud
(
)
2
⎛ n ⎞ e
requerida P( W ≤ e ) = P D − D ≤ e ≥ 1 − α que se traduce en σD2 ≤ ⎜
⎟ 2 , entonces
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
el error crítico para el planteamiento alternativo puede obtenerse de la región de
'
, es decir,
rechazo de HSCD
0
VcSCD ≤ χn2−1, α '
2
⎛ n − 1⎞ χ1,1− α n
2
⎟ 2 ∑ (di − d) ≤ χn −1, α '
⎜
⎝ n ⎠ e i =1
2
e2
χ12,1− α
1
1
⎛ n ⎞
≥ 2
⎟ n
⎜
⎝ n − 1⎠ ∑ (di − d)2 χn −1, α '
i =1
(di − d)
χ2
⎛ n − 1⎞ 1,1− α i∑
2
=1
e ≥⎜
⎟
χn2−1, α '
⎝ n ⎠
n
2
1
n
2 2
⎡
χ12,1− α ∑ (di − d) ⎤
−
n
1
⎢⎛
⎥
⎞
i =1
e ≥ ⎢⎜
⎟
2
⎥
n ⎠
χn −1, α '
⎢⎝
⎥
⎣
⎦
(37)
Por lo tanto, de (37) el error crítico corresponde a
1
E∗∗
SCD
n
2 ⎤2
2
⎡
(
)
χ
D
−
D
∑
1
,
1
i
−
α
⎢⎛ n − 1⎞
⎥
i =1
= ⎢⎜
⎟
2
⎥
n ⎠
χn −1, α '
⎢⎝
⎥
⎣
⎦
57
Análogamente de VcSCD > χn2−1,1− α ' puede determinarse
1
n
2 ⎤2
2
⎡
(
)
χ
D
−
D
∑
1
,
1
i
−
α
⎢⎛ n − 1⎞
⎥
i =1
= ⎢⎜
⎟
2
⎥
n ⎠
χn −1,1− α '
⎢⎝
⎥
⎣
⎦
E∗SCD
Si el modelador o usuario del modelo especifica un valor de e tal que e ≥ e∗SCD o
e ≥ e∗∗
SCD entonces el modelo es considerado aceptable.
El ICB del (1-α’)100% para σD2 con D~ N(µD , σD2 ) y variable aleatoria pivote
n
H(σD2 ) =
∑ (D − D)
i =1
2
i
σD2
2
~ χn−
1 es
⎛ n
2
⎜ ∑ (Di − D)
⎜ i =1
,
⎜ χ2 α'
n −1,1−
⎜
2
⎝
n
∑ (D − D)
i =1
2
i
χ2
n −1,
α'
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎛
⎜ (n − 1)SD2 (n − 1)SD2 ⎟
, 2
⎟
⎜ 2
χ α' ⎟
⎜ χn −1,1− α '
n −1,
2
2
⎠
⎝
(38)
y puede obtenerse de la misma manera como se determinó en páginas anteriores el
ICB del (1-α’)100% para σD2 con D~ N(0, σD2 ) . De (38) se tiene que
⎛ n
2
⎜ ∑ (Di − D)
< σD2 <
P⎜ i =1 2
⎜ χ
α'
n −1, 1−
⎜
2
⎝
n
∑ (D − D)
2
i
i =1
χ2
n −1,
α'
2
⎞
⎟
⎟ = 1 − α'
⎟
⎟
⎠
n
n
⎛
2
2 ⎞
(
)
(
−
D
D
Di − D) ⎟
⎜
∑
∑
i
⎛ n − 1 ⎞ i =1
⎛ n − 1 ⎞ 2 ⎛ n − 1 ⎞ i =1
⎟ = 1 − α'
<⎜
P⎜ ⎜
⎟
⎟
⎟ σD < ⎜
2
2
⎜⎝ n ⎠ χ
⎟
χ
n
n
⎠
⎝
⎠
⎝
α'
α'
n −1,1−
n −1,
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
n
n
⎛
2 ⎞
2
(
(
Di − D)
Di − D) ⎟
⎜
∑
∑
⎛ n − 1 ⎞ i =1
⎛ n − 1 ⎞ i =1
⎟ = 1 − α'
< σ2W < ⎜
P⎜ ⎜
⎟
⎟
⎜ ⎝ n ⎠ χ2 α'
n ⎠ χ2 α' ⎟
⎝
n −1,
n −1,1−
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
58
Por lo que el ICB del (1-α’)100% para σ2W es:
n
n
⎛
2
2 ⎞
(
(
Di − D)
Di − D) ⎟
⎜
∑
∑
⎛ n − 1 ⎞ i =1
⎜ ⎛⎜ n − 1⎞⎟ i =1
⎟
,⎜
⎟
2
2
⎜⎝ n ⎠ χ
⎟
χ
n
⎠
⎝
α'
α'
n −1,1−
n −1,
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
⎞
⎛
⎜ ⎛ n − 1⎞ (n − 1)SD2 ⎛ n − 1⎞ (n − 1)SD2 ⎟
,⎜
⎟ 2
⎟ 2
⎟
⎜⎜
⎜ ⎝ n ⎠ χn −1,1− α ' ⎝ n ⎠ χn −1, α ' ⎟
2
2
⎠
⎝
(39)
Considere el parámetro εSC definido por
(
)
1
2
2
1,1− α
εSC = σ χ
2
W
1
⎛ ⎛ n − 1⎞ 2 2 ⎞ 2
= ⎜⎜ ⎜
⎟σD χ1,1− α ⎟⎟
⎠
⎝⎝ n ⎠
el cual es el cuantil 1-α de la distribución de W = D − D o equivalentemente (εSC ) es el
2
cuantil 1-α de la distribución de W 2 = (D − D ) ya que
2
⎞
⎛ W2
1 − α = P⎜⎜ 2 ≤ χ12,1− α ⎟⎟
⎠
⎝ σW
⎛ ⎛ n − 1⎞ 2 ⎞
(D − D) ~ χ2 ]
W2
⎜
⎟
=
[Si W = (D − D) ~ N⎜ 0 , ⎜
⎟σD ⎟ entonces
1
⎛ n − 1⎞ 2 ⎛ n − 1⎞ 2
⎝ ⎝ n ⎠ ⎠
⎜
⎟σD ⎜
⎟ σD
⎝ n ⎠
⎝ n ⎠
2
⎛
⎞
⎜
⎟
2
W
2
⎜
≤ χ1,1− α ⎟
1− α = P
⎜ ⎛ n − 1⎞ 2
⎟
⎟σD
⎜⎜
⎟
⎝⎝ n ⎠
⎠
⎛
⎛ n − 1⎞ 2 2 ⎞
= P⎜⎜ W 2 ≤ ⎜
⎟σD χ1,1− α ⎟⎟
⎝ n ⎠
⎝
⎠
(
= P W 2 ≤ (εSC )2
(
2
)
= P W ≤ (εSC )2
)
(
= P( W ≤ εSC ) = P D − D ≤ εSC
59
)
( )
Note que εSC = τ σD2
1
1
⎛ ⎛ n − 1⎞ 2 2 ⎞ 2 ⎛ n − 1⎞ 2 2 2
= ⎜⎜ ⎜
⎟ σD χ1,1− α
⎟σD χ1,1− α ⎟⎟ = ⎜
⎝ n ⎠
⎠
⎝⎝ n ⎠
(
)
1
2
1
⎛ n − 1⎞ 2
=⎜
⎟ ε . Un ICB del (1⎝ n ⎠
α’)100% para ε SC a partir del ICB del (1-α’)100% para σD2 [resultado (38)] y con
( )
τ σD2 = εSC función monótona creciente, está dado por
⎛ n
⎛ n
2 ⎞
2 ⎞
⎜ ∑ (Di − D) ⎟
⎜ ∑ (Di − D) ⎟
⎟ < τ σ 2 < τ ⎜ i =1
⎟
τ ⎜ i =1 2
D
2
⎜ χ
⎟
⎜
⎟
χ
α'
α'
n −1, 1−
n −1,
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
( )
1
2
⎛
⎛
(Di − D)2χ12, 1− α ⎞⎟
(Di − D)2χ12, 1− α ⎞⎟
⎜
⎜
∑
∑
−
−
n
1
n
1
⎞ i =1
⎞ i =1
⎜ ⎛⎜
⎟ < ε < ⎜ ⎛⎜
⎟
⎟
⎟
SC
2
2
⎜⎝ n ⎠
⎟
⎜
⎟
χ
χ α'
⎝ n ⎠
α'
n −1,
n −1, 1−
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
n
n
1
2
∗
∗∗
EISC
< εSC < EISC
1
∗
∗∗
, EISC
) es un ICB del (1-α’)100% para εSC
Por lo tanto, ( EISC
⎛ ⎛ n − 1⎞ 2 2 ⎞ 2
= ⎜⎜ ⎜
⎟σD χ1,1− α ⎟⎟ , el
⎠
⎝⎝ n ⎠
∗
∗∗
cuantil 1-α de la distribución de D − D . EISC
y EISC
son los límites de confianza inferior y
superior del intervalo para ε SC cuando el modelo presenta SC, y corresponden a los
errores críticos que se obtienen de las regiones de rechazo para las hipótesis nulas
2
2
⎛ n ⎞ e
⎛ n ⎞ e
y σD2 > ⎜
respectivamente, con la diferencia de que α’
σD2 ≤ ⎜
⎟ 2
⎟ 2
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
corresponde a
α'
en sus expresiones.
2
Pueden emplearse, con el error crítico correspondiente, el mismo tipo de gráficas
propuestas para visualizar la validación de un modelo en predicción de varias variables.
En la comparación de dos o más modelos en predicción del mismo sistema, se
emplearía el error crítico correspondiente según el modelo presente SC o no tenga
sesgo.
60
4.3.9. Validación de modelos basada en el valor absoluto del error en
presencia de sesgo proporcional
Sea el caso cuando el modelo presenta sesgo en sus pronósticos zi para los
correspondientes valores observados yi y el sesgo es proporcional (SP), es decir, la
magnitud del sesgo (di=yi-zi) crece o decrece directamente con los valores predichos zi.
También para este caso Freese (1960), no indica explícitamente la traducción de la
exactitud requerida en la Var (D) = σD2 y las razones de emplear los residuos de una
regresión lineal de los valores yi sobre los valores zi (en su notación xi sobre µi) para la
corrección por SP.
Sea Yi~ NI( Zi + S( Yi ), σ2 ) i=1,2,…,n donde S(Yi) denota el sesgo de Yi y es
proporcional como se indico. Así,
E( Yi ) = Zi + S( Yi )
E( Yi ) − Zi = S( Yi )
E( Yi − Zi ) = S( Yi )
E(Di ) = µDi = S( Yi ) = R
Para el caso en que el sesgo (di=yi-zi) crece o decrece directamente con los valores
∧
∧
∧
∧
predichos (zi), un estimador de µDi = S( Yi ) = R es µDi = R = β0 + β1 Zi . Esto se debe a
que para el conjunto (Di, Zi) i=1,2,…,n relacionados por E(Di ) = β0 + β1Zi y Var(Di)=σ2
con
Di~ NI(β0 + β1Zi , σ2 ) ,
es
Di = β0 + β1Zi + εRi
decir,
donde
E(εRi ) = 0
∧
y
∧
Var (εRi ) = σ2 = σR2 , se sigue que εRi = Di − (β0 + β1Zi ) = [Di − E(Di )] ~ NI(0, σR2 ) . Si β0 y β1
son los estimadores por mínimos cuadrados de los parámetros β0 y β1, entonces
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
µDi = R = Di = β0 + β1 Zi . Por lo tanto, Di − R = Di − Di = Di − (β0 + β1 Zi ) es la corrección por
∧
SP (di crece o decrece directamente con zi). La esperanza de Di − Di es
∧
⎛
⎞
⎛∧⎞
⎛∧ ∧ ⎞
E⎜ Di − Di ⎟ = E(Di ) − E⎜ Di ⎟ = β0 + β1Zi − E⎜ β0 + β1 Zi ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
61
⎛∧⎞
⎛∧⎞
= β0 + β1Zi − E⎜ β0 ⎟ − E⎜ β1 ⎟Zi
⎝ ⎠
⎝ ⎠
= β0 + β1Zi − β0 − β1Zi = 0
∧
∧
[Los estimadores por mínimos cuadrados β0 y β1 son estimadores insesgados de los
parámetros β0 y β1 del modelo. Ver pp. 19-20 de Montgomery et al. (2002c)].
Para el caso de que el modelo presente SP se requiere que los residuales
∧
eRi = di − di que son los estimaciones de los errores del modelo y que se obtienen de
∧
∧
εRi = Di − Di , provengan de una distribución normal con media cero y varianza de los
∧
errores constante, es decir, εRi ~ NI(0, σ2 = σR2 ) . Cada valor di es corregido al restársele
∧
∧
di , es decir, los residuales eRi = di − di representan la corrección cuando el sesgo (di)
crece o decrece directamente con los valores zi.
Si εR ~ N(0, σ2 = σR2 ) entonces
εR
σR2
~N(0,1)
⎛ ε
⎜ R
⎜ σ2
⎝ R
[a]
2
2
⎞
⎟ = εR ~ χ 2
1
⎟
σR2
⎠
[b]
⎛ ε2
⎞
P⎜⎜ R2 ≤ χ12,1− α ⎟⎟ = P χ12 ≤ χ12,1− α = 1 − α
⎝ σR
⎠
(
)
[c]
Para e y α tales que satisfacen P( εR ≤ e ) ≥ 1 − α se tiene que
(
)
2
P εR ≤ e 2 ≥ 1 − α
(
)
P (εR ) ≤ e2 ≥ 1 − α
2
⎛ εR2
e2 ⎞
P⎜⎜ 2 ≤ 2 ⎟⎟ ≥ 1 − α
⎝ σR σR ⎠
⎛
e2 ⎞
P⎜⎜ χ12 ≤ 2 ⎟⎟ ≥ 1 − α
σR ⎠
⎝
[d]
Por lo tanto, por [c] y [d] se tiene que
62
e2
≥ χ12,1− α
2
σR
σR2
1
≤ 2
2
χ1,1− α
e
σR2 ≤
e2
χ12,1− α
4.3.9.1. Pruebas estadísticas para la exactitud requerida
El siguiente paso es probar la hipótesis con el planteamiento original o alternativo:
2
HSP
0 : σR ≤
e2
χ12,1− α
vs.
H1SP : σR2 >
'
HSP
: σR2 >
0
e2
χ12,1− α
vs.
H1SP ' : σR2 ≤
e2
χ12,1− α
e2
(40)
χ12,1− α
Note que con εRi ~ NI(0, σ2 = σR2 ) , e y α tales que satisfacen la exactitud requerida
P( εR ≤ e ) ≥ 1 − α
que se traduce en
σR2 ≤
e2
, coincide con los supuestos:
χ12,1− α
εRi ~ NI(0, σ2 = σR2 ) , e y α tales que satisfacen la exactitud requerida P(D ≤ e ) ≥ 1 − α que
e2
una vez que es removido el SP mediante la corrección
se traduce en σ ≤ 2
χ1,1− α
2
D
∧
∧
∧
∧
'
εRi = Di − Di = Di − (β0 + β1 Zi ) . Así, con los últimos supuestos y bajo HSP
( HSP
0
0 ) verdadera,
la estadística de prueba es:
2
V SP =
∧
2
( )=
(n − 2) σ
σ02
(n − 2)
2
∧
⎛
⎞
−
D
D
⎜
∑
i
i⎟
= i =1 ⎝ 2 ⎠ =
σ0
n
n
∧
1
⎛
⎞
⎜ Di − Di ⎟
2
∑
(n − 2) i =1 ⎝
⎠ ~ χ 2 donde σ 2 = e
n−2
0
σ02
χ 12, 1 − α
2
⎛ ∧ ⎞
⎜ εRi ⎟
∑
⎠ = (SCE )D
i =1 ⎝
2
e2
σ0
χ12,1− α
n
63
=
χ12,1− α
e
2
(SCE)D =
donde (SCE)D y (CME)D =
(SCE)D
n−2
χ12,1− α
e
2
(n − 2)(CME)D ~ χn2− 2
(41)
corresponden respectivamente a la suma de
cuadrados del error y al cuadrado medio del error cuando la variable dependiente es D
con variable regresora Z, es decir, del modelo Di = β0 + β1Zi + εRi con εRi ~ NI(0, σ2 = σR2 ) .
( )
∧
(n − 2) σ2
La distribución de
puede consultarse en el Apéndice C (C.3.2) pp. 537-538
σR2
de Montgomery et al. (2002d), en las pp. 487-494 del capítulo X de Mood et al. (1974e)
o en las pp. 204-205 del capítulo 6 de Graybill (1976).
SP '
HSP
se rechazará con un nivel de significación α’ si VcSP > χn2− 2,1− α ' o
0 o H0
VcSP ≤ χn2− 2, α ' , donde VcSP es el valor de la estadística de prueba que se obtendría al usar
no se rechaza o
la información de la muestra (Di, Zi) i=1,2,…,n. Por lo tanto, si HSP
0
’
'
HSP
0 se rechaza con un nivel de significación α entonces el modelo será considerado
aceptable bajo los valores e y α.
Si el modelo presenta SP, Freese (1960) en la determinación de la estadística de
prueba ( V
SP
e2
), utilizó σ ≤ 2
para la exactitud requerida P(D ≤ e ) ≥ 1 − α que se
χ1,1− α
2
e2
traduce precisamente en σ ≤ 2
una vez que es removido el sesgo, la cual coincide
χ1,1− α
2
con los supuestos εRi ~ NI(0, σ2 = σR2 ) , e y α tales que satisfacen P( εR ≤ e ) ≥ 1 − α .
Note que para este caso (SCE)D es la suma de cuadrados del error del modelo
∧
∧
∧
estimado Di = β0 + β1 Zi . Freese (1960) señala que si el modelo presenta SP, es decir, la
magnitud del sesgo (en su notación di=xi-µi) crece o decrece directamente con los
valores reales (en su notación µi), la estadística de prueba con Xi~ N(µi , σ2 ) es
∧
∧
∧
SCE
2
~
χ
donde
la
SCE
se
obtiene
del
modelo
estimado
X
=
β
+
β
−
i
0
1 µi . Por los
n
2
σ2
64
resultados obtenidos en esta sección, la SCE corresponde a la obtenida del modelo
∧
∧
∧
estimado Di = β01 + β11 µi (en su notación). Si se emplea la SCE del modelo estimado
∧
∧
∧
Xi = β0 + β1 µi debe tomarse en cuenta lo siguiente:
Di = Xi − µi = β01 + β11µi + εi
Xi = β01 + β11µi + µi + εi
Xi = β01 + (β11 + 1)µi + εi
Por lo que β0 = β01 , β1 = β11 + 1 y la SCE al emplear como variable dependiente Xi con
∧
∧
⎛ ∧
⎞
variable regresora µi corresponde al modelo estimado Xi = β0 + ⎜ β11 + 1⎟µi .
⎝
⎠
4.3.10. Validación por intervalo de confianza empleando el error crítico en
presencia de sesgo proporcional
Freese (1960), Rennie y Wiant (1978), Reynolds (1984) y Barrales et al. (2004)
no presentaron el error crítico cuando el modelo tiene SC o SP.
Si la magnitud del sesgo (di=yi-zi) crece o decrece directamente con los valores
predichos (zi) y se cumple el supuesto εRi ~ NI(0, σ2 = σR2 ) entonces por los mismos
argumentos empleados en la obtención de los errores críticos E* y E** cuando el
modelo no presenta sesgo [D~ N(0, σD2 ) ], los errores críticos después de remover el SP
corresponden respectivamente a:
1
E∗SP
2 2
n
∧
⎛ 2
⎞
⎛
⎞
1
1
⎜ χ1,1− α ∑ ⎜ Di − Di ⎟ ⎟
2
2
2
2
⎛
⎞
⎛
⎞
(
)
(
)
SCE
(
n
2
)
CME
χ
−
χ
⎜
⎟
D
D
⎠
i =1 ⎝
⎟
⎜ 1,1− α
⎟ = ⎜ 1,1− α 2
=⎜
⎟ = ⎜ χ2
⎜
⎟
⎟
χn2− 2,1− α '
χ
−
−
α
−
−
α
n
2
,
1
'
n
2
,
1
'
⎝
⎠
⎝
⎠
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
E∗∗
SP
2 2
n
∧
⎛ 2
⎞
1
1
⎜ χ1,1− α ∑ ⎛⎜ Di − Di ⎞⎟ ⎟
2
2
2
2
⎛
⎞
⎛
⎞
(
)
(
)
SCE
(
n
2
)
CME
χ
−
χ
⎜
D
D
⎠ ⎟ = ⎜ 1,1− α
i =1 ⎝
⎟
⎟ = ⎜ 1,1− α 2
=⎜
2
2
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
χn − 2, α '
χ
χ
n − 2, α '
n − 2, α '
⎝
⎠
⎝
⎠
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1
65
donde E∗SP .y E∗∗
SP denotan los errores críticos basados en el planteamiento original y
alternativo respectivamente cuando el modelo presenta SP. Si el usuario del modelo
especifica un valor de e tal que e ≥ e∗SP o e ≥ e∗∗
SP entonces el modelo es considerado
aceptable. Los valores e y α son tales que satisfacen la exactitud requerida
P(D ≤ e ) ≥ 1 − α que se traduce en σD2 ≤
∧
∧
∧
e2
una vez que es removido el SP mediante
χ12,1− α
∧
la corrección εRi = Di − Di = Di − (β0 + β1 Zi ) .
El ICB del (1-α’)100% para σR2 con εRi ~ NI(0, σ2 = σR2 ) y variable aleatoria pivote
H(σD2 ) =
( )
∧
2
(n − 2) σ
σR2
2
∧
⎛
⎞
D
−
D
⎜ i
∑
i⎟
(SCE)D
~ χn2− 2 es
= i =1 ⎝ 2 ⎠ =
2
σR
σR
n
⎞
⎛
⎜ (SCE)D (SCE)D ⎟
, 2
⎟
⎜ 2
⎜ χn − 2,1− α ' χn − 2, α ' ⎟
2
2 ⎠
⎝
(SCE)D
(SCE)
< σR2 < 2 D
2
χ
χ α'
α'
n − 2,1−
n − 2,
2
(42)
2
y puede obtenerse de la misma manera como se determinó el resultado (24), el ICB del
(1-α’)100% para σD2 con D~ N(0, σD2 ) .
Considere el parámetro εSP definido por
(
εSP = σR2 χ12,1− α
)
1
2
el cual corresponde al cuantil 1-α de la distribución de εR o equivalentemente (εSP ) es
2
el cuantil 1-α de la distribución de εR2 ya que
⎛ ε2
⎞
1 − α = P⎜⎜ R2 ≤ χ12,1− α ⎟⎟
⎝ σR
⎠
[Si εR ~ N(0, σ2 = σR2 ) entonces
(
⎛ ε
⎜ R
~N(0,1)
y
2
⎜ σ2
σR
⎝ R
εR
1 − α = P εR2 ≤ σR2 χ12,1− α
)
66
2
2
⎞
⎟ = εR ~ χ 2 ]
1
⎟
σR2
⎠
(
= P(| ε
2
= P εR2 ≤ εSP
R
)
2
|2 ≤ εSP
)
= P(| εR |≤ εSP )
Un ICB del (1-α’)100% para εSP a partir del ICB del (1-α’)100% para σR2 con
( ) (
τ σR2 = σR2 χ12,1−α
)
1
2
= ε SP función monótona creciente, está dado por
⎞
⎛
⎞
⎛
⎜ (SCE)D ⎟
⎜ (SCE)D ⎟
2
τ⎜ 2
⎟
⎟ < τ σR < τ⎜ 2
χ
α
'
⎜ χn − 2, α ' ⎟
⎜ n − 2,1− ⎟
2 ⎠
2 ⎠
⎝
⎝
( )
χ12,1− α (SCE)D
χ2
n − 2,1−
< εSP <
α'
2
χ12,1− α (SCE)D
χ2
n − 2,
α'
2
∗
∗∗
EISP
< εSP < EISP
(
)
1
∗
∗∗
, EISP
) es un ICB del (1-α’)100% para εSP = σR2 χ12,1− α 2 , el cuantil 1-α
Por lo tanto, ( EISP
∗
∗∗
de la distribución de εR . EISP
y EISP
son los límites de confianza inferior y superior del
intervalo para εSP cuando el modelo presenta SP y corresponden a los errores críticos
que se obtienen de las regiones de rechazo para las hipótesis nulas σD2 ≤
σD2 >
e2
y
χ12,1− α
e2
α'
respectivamente,
con
la
diferencia
de
que
α’
corresponde
a
en sus
χ12,1− α
2
∗∗
∗∗
expresiones. Para distinguirlos se utilizó la notación E∗∗
SP y EISP , de modo que ESP
∗∗
el
denota al error crítico obtenido de la región de rechazo de la prueba estadística y EISP
∗
es que en el
error crítico empleado en el ICB. La diferencia entre E∗SP y EISP
denominador se tienen respectivamente χn2− 2, 1− α ' y χ 2
α'
n − 2, 1−
2
∗∗
. Para E∗∗
SP y EISP la diferencia
se debe a que en el denominador tienen respectivamente χn2− 2, α ' y χ 2
n − 2,
67
α'
2
.
Pueden utilizarse, con el error crítico correspondiente, el mismo tipo de gráficas
propuestas para visualizar la validación de un modelo en predicción de varias variables.
En la comparación de dos o más modelos en predicción del mismo sistema, se
emplearía el error crítico correspondiente según el modelo presente sesgo proporcional,
constante o no tenga sesgo.
4.3.11. Análisis exploratorio e identificación del sesgo
Un análisis gráfico exploratorio de los valores predichos contra los observados y
de los predichos contra el sesgo, resulta fundamental para visualizar la exactitud,
precisión e identificación del tipo de sesgo.
Similarmente al procedimiento empleado por Barrales et al. (2004) para
∧
identificar la presencia de sesgo, éste puede identificarse por la magnitud de B = D y
por la forma en que se distribuyen los puntos provenientes de graficar en un plano de
∧
coordenadas los puntos (zi, di) i=1,2,…,n. El SC es reconocido por un valor de B = D
muy diferente de cero y al graficar los puntos (zi, di) se forme una banda horizontal
centrada alrededor de D , con una distribución sistemática a ser positivos o negativos
(puntos arriba y debajo de la recta d = d ). El SP es reconocido cuando los puntos del
gráfico formen una banda con una tendencia lineal positiva o negativa.
Adicionalmente para verificar que D es “muy diferente de cero”, con D distribuida
aproximadamente normal, puede calcularse un ICB del (1-α)100% para la E(D):
⎛
⎞ SD
⎛
⎞ SD
⎟
⎟
< E(D) < D + ⎜⎜ t
D − ⎜⎜ t
α ⎟
α ⎟
⎝ n −1, 1− 2 ⎠ n
⎝ n −1, 1− 2 ⎠ n
n
donde D =
∑D
i =1
n
i
n
, SD2 =
∑ (D − D)
i =1
2
i
n −1
y t
α
n −1, 1−
2
es el cuantil 1 −
α
de la distribución t con n2
⎡ ⎛
⎞
α⎤
⎟
1
=
−
1 g.l. ⎢P⎜⎜ t n −1 ≤ t
⎥.
α
n −1, 1− ⎟
2 ⎦⎥
2 ⎠
⎣⎢ ⎝
Un análisis de regresión lineal simple del sesgo sobre los simulados
( Di = β0 + β1Zi + εRi ), contribuiría a determinar SP de una manera más objetiva en cuanto
68
a la percepción de que los puntos (zi, di) del gráfico de dispersión formen una banda
con una tendencia lineal positiva o negativa.
69
5. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Una vez expuestos y justificados los desarrollos estadísticos para la validación
de modelos en el capítulo anterior, es este capítulo se presenta y discute la
metodología para aplicar el procedimiento de Freese con sus modificaciones y
extensiones, así como un ejemplo de su aplicación a la validación del modelo Wakax
POS en predicción de la ganancia de peso promedio por día. Adicionalmente se
presenta la validación para la predicción de la materia seca, ácidos grasos volátiles,
acetato, propionato y butirato en el Rumen y Ciego. Esta validación se hizo por medio
de métodos gráficos y de medidas basadas en la comparación entre los valores
observados y los predichos.
5.1. Procedimientos estadísticos para la validación de modelos basados en el
planteamiento de Freese
La validación de modelos mecanísticos basada en: (i) el procedimiento original
de Freese (1960), (ii) los planteamientos de Rennie y Wiant (1978), Reynolds (1984), y
(iii) las modificaciones y extensiones presentadas en este trabajo, constituyen un
método estadístico formado por pruebas de hipótesis e intervalos de confianza, las
cuales representan una alternativa inferencial para determinar si las salidas del modelo
están suficientemente próximas a los valores observados del sistema real, es decir,
cuán bien el modelo se comporta en predicción del sistema. Coincidiendo con Barrales
et al. (2004), estos procedimientos inferenciales permiten determinar cuán bien un
modelo se comporta en predecir los valores observados del sistema real, así mismo,
permiten estudiar datos provenientes de modelos que presenten o no sesgo en sus
pronósticos, y donde el máximo error admisible es expresado en las mismas unidades
del valor real.
La validación de modelos mediante el planteamiento de Freese (1960) y las
extensiones presentadas en este trabajo no requieren el supuesto de que Y se
relacione linealmente con Z, además de que no es necesario para la comparación entre
Y y Z. Adicionalmente, no se ha reportado con regresión una prueba estadística para la
70
exactitud requerida
(P(D ≤ e) ≥ 1 − α )
por el modelador o usuario del modelo en
presencia o no de SC o SP.
5.2. Validación de modelos basada en el valor absoluto del error en ausencia de
sesgo
Freese (1960), no indicó explícitamente la traducción de la exactitud requerida
P(D ≤ e ) ≥ 1 − α en σD2 ≤
e2
, aunque asume como señala también Reynolds (1984)
χ12,1− α
(µD = 0)
que D~N(0, σD2 ). Es decir, el modelo presenta predicción insesgada
precisión de los errores de predicción
(σ )
2
D
debe cumplir σD2 ≤
y la
e2
para que la
χ12,1− α
exactitud requerida se satisfaga y el modelo sea considerado aceptable o
suficientemente confiable para predicción.
5.2.1. Pruebas estadísticas para la exactitud requerida
El siguiente paso es probar las hipótesis con el planteamiento original
H0 : σD2 ≤ e2 χ12,1− α (Freese, 1960) o alternativo H'0 : σD2 > e2 χ12,1− α (Reynolds, 1984). Si
D~N(0, σ ) la estadística de prueba bajo H0 o H verdadera es V =
'
0
2
D
'
0
H0 o H
’
se rechazará con un nivel de significación α si Vc =
χ12,1−α
e2
χ12,1− α
e2
n
2
2
∑ D i ~ χn . La
i =1
n
2
2
∑ di > χn,1− α ' o
i =1
Vc ≤ χn2, α ' , la cual corresponde a la prueba uniformemente más potente de tamaño α’.
Por lo tanto, si H0 no se rechaza o H'0 se rechaza entonces el modelo es considerado
aceptable para predicción.
Como el denominador de la estadística de prueba (V) es e2 y χn2,1− α ' > χn2, α ' cuando
α ' < 0.5 , se sigue que al incrementar los valores de e la estadística de prueba
disminuye conduciendo al rechazo de H'0 , por lo que el planteamiento alternativo es
71
más conservador en el sentido que permite un valor más grande de e para rechazar H'0 .
Reynolds (1984), señala que la prueba estadística de H'0 es más conservadora y
probablemente preferible al planteamiento original por más modeladores quienes
necesitan
estar
razonablemente
seguros
que
el
modelo
cumplirá
con
sus
requerimientos de exactitud. El inconveniente de aplicar el planteamiento original es la
ambigüedad que se presenta al no rechazar a H0, ya que lo que se puede inferir es que
los datos no proporcionan suficiente evidencia para rechazarla, que los datos no
apoyan suficientemente a H1 y no que se acepte la declaración establecida en H0. Una
opción es presentar los resultados de la prueba a través del valor P para tener el nivel
de significación alcanzado en la prueba.
5.3. Validación de modelos basada en el porcentaje del error en ausencia de
sesgo
El porcentaje de error
D
100 que señala Reynolds (1984), no es estrictamente
Y
un porcentaje y puede observarse en los valores posibles de
di
. También bajo los
yi
supuestos Y~N(Z, σ2Y ) entonces D~N(0, σ2Y = σD2 ), la distribución de
D
tiene soporte
Y
ℜ − {1} y no se distribuye normal. Por lo que, el “porcentaje de error” bajo los supuestos
señalados, es un enfoque no apropiado para medir exactitud en comparación con el
error absoluto |D|. En el caso del planteamiento original de Freese, si tiene sentido
hablar del “porcentaje de error”. Freese (1960) señala que si Xi~N(µi,σ2) entonces
n
∑ (X − µ )
i =1
i
i
σ2
2
2
⎛ X − µi ⎞
2
= ∑⎜ i
⎟ ~ χn , donde Xi es el valor estimado por la nueva técnica para
σ ⎠
i =1 ⎝
n
la i-ésima unidad experimental, µi es el valor “verdadero o correcto” medido con la
técnica estándar para la i-ésima unidad experimental y σ2 es la exactitud requerida, es
e2
p2
2
o σ ≤ 2
para el caso del error absoluto o del “porcentaje del valor
decir, σ ≤ 2
χ1,1− α
χ1,1− α
2
verdadero o correcto” respectivamente. Por lo tanto, la expresión del error como un
72
⎛ ⎡ σ ⎤2 ⎞
Di Xi − µi
=
~ N⎜ 0, ⎢ ⎥ ⎟ , tiene una
⎜ ⎣ µi ⎦ ⎟
µi
µi
⎝
⎠
porcentaje del valor verdadero o correcto
interpretación práctica como la exactitud requerida expresada en términos relativos del
valor real en vez de unidades absolutas del valor real.
De aquí en adelante la discusión de los resultados obtenidos sólo se relaciona a
cuando la exactitud requerida es expresada en unidades absolutas del valor real u
observado (Yi), es decir, con el valor absoluto del error [P(D ≤ e ) ≥ 1 − α ] .
5.4. Validación por intervalo de confianza empleando el error crítico en ausencia
de sesgo
En el planteamiento de Freese diferentes usuarios del modelo pueden tener
distintas necesidades de exactitud, la cual conduce a diferentes valores de e. Rennie y
Wiant (1978) y Ek y Monserud (1979), han tratado este problema calculando un error
máximo anticipado o error crítico (e*) el cual es el valor más pequeño de e que
conducirá al no rechazo de H0. Reynolds (1984), planteó un enfoque conservador y
determinó otro error crítico (e**) el cual es el valor más pequeño de e que conducirá al
rechazo de H'0 , y dio una interpretación del error crítico en términos de un ICB.
Los errores críticos e* y e** se determinaron de la región de rechazo para H0 y
12
n
⎛
⎞
H respectivamente, e < e* = ⎜⎜ χ12,1− α ∑ di2 χn2,1− α ' ⎟⎟
i =1
⎝
⎠
'
0
12
n
⎛
⎞
y e ≥ e * * = ⎜⎜ χ12,1− α ∑ di2 χn2, α ' ⎟⎟ . Por
i =1
⎝
⎠
lo tanto, si el modelador o usuario del modelo especifica un valor de e tal que e≥e* o
e≥e** entonces el modelo es considerado adecuado.
Rennie y Wiant (1978) y Reynolds (1984), no indicaron cual es la decisión
cuando e=e*, aunque al señalar que H0 se rechaza cuando Vc > χn2,1− α ' entonces la
región de no rechazo es Vc ≤ χn2,1− α ' por lo que si e=e* la decisión será que el modelo es
adecuado.
73
Análogamente al uso como un índice que le dieron al error crítico (E*) Ek y
12
n
⎛
⎞
Monserud (1979), el error crítico E * * = ⎜⎜ χ12,1− α ∑ Di2 χn2, α ' ⎟⎟ también es una estadística
i =1
⎝
⎠
para comparar dos modelos, de tal manera que el modelo con el menor error crítico
(e**) es el mejor modelo.
Cuando los errores críticos e* o e** se utilizan para determinar si un modelo
satisface la exactitud requerida o para comparar dos o más modelos, la validación se
reduce a calcular el error máximo anticipado o error crítico, en donde el modelador
decide si el modelo es aceptable en predicción del sistema o que un modelo es mejor
que otro, al comparar el error crítico con la exactitud requerida (e) bajo los valores α y α’
especificados con anticipación. Lo anterior implica una buena comprensión del sistema
por parte del modelador o usuario del modelo para establecer la exactitud requerida.
Barrales et al. (2004), señalan que conceptualmente el error límite (e) y el error crítico
(e*) representan lo mismo, pero con la diferencia de que e se establece a priori por el
modelador, mientras que e* se calcula a posteriori.
Los errores críticos e* y e** son similares con excepción de sus denominadores
χn2,1−α ' y χn2, α ' respectivamente. Si α ' = 1 2 entonces χn2,1− α ' = χn2, α ' y e*=e**. Si α ' < 1 2
entonces e*<e**. Así, para un valor α ' < 1 2 y e tal que e*<e<e** se sigue que el modelo
es adecuado empleando la estadística E* y no lo es con la estadística E**. Esto indica
que la prueba estadística para H'0 y por consiguiente E** representan un planteamiento
más conservador que el planteamiento original de Freese (1960), en el sentido que
permite un valor más grande de e para inferir que el modelo es aceptable, la cual desde
el punto de vista de los modeladores o usuarios del modelo no es muy práctico, ya que
lo que se quiere es tener un valor de e suficientemente pequeño tal que cumpla
P(D ≤ e ) ≥ 1 − α con una probabilidad alta.
Reynolds (1984) determinó en términos de los errores críticos un ICB (E*, E**)
(
del (1-2α’)100% para el parámetro ε = σD2 χ12,1− α
)
12
, el cuantil 1-α de la distribución de |D|
o equivalentemente ε2 corresponde al cuantil 1-α de la distribución de D2. Para ello
combinó dos intervalos de confianza unilaterales para ε. Si se reemplaza α’ por α’/2 en
74
las expresiones para E* y E** se obtiene ( EI∗ , EI∗∗ ) un ICB del (1-α’)100% para ε. El ICB
(
)
estimado eI* , eI* * significa que se tiene confianza en un (1-α’)100% que el punto de la
distribución |D| que tiene debajo el (1-α)100% de los errores absolutos está localizado
en alguna parte de dicho intervalo.
En este trabajo se presentó un procedimiento alternativo al Reynolds (1984) para
obtener el ICB ( EI∗ , EI∗∗ ) del (1-α’)100% para ε. Con el supuesto D~N(0, σD2 ),
n
⎛ n 2 2
⎞
⎜ ∑ Di χ α ' , ∑ Di2 χ 2 α ' ⎟ es un ICB del (1-α’)100% para σD2 . Del ICB del (1-α’)100%
⎜
n,1−
n, ⎟
i =1
2
2 ⎠
⎝ i =1
( ) (
para σD2 y de que la función τ σD2 = σD2 χ12,1− α
)
1
2
= ε es monótona creciente, se sigue que:
⎛ n
⎞
⎛ n
⎞
τ ⎜⎜ ∑ Di2 χ 2 α ' ⎟⎟ < τ σD2 < τ ⎜⎜ ∑ Di2 χ 2 α ' ⎟⎟
n,
n,1−
2 ⎠
2 ⎠
⎝ i =1
⎝ i =1
( )
12
⎛ n 2 2
⎞
⎜ ∑ Di χ1,1− α χ 2 α ' ⎟
⎜
n,1− ⎟
2 ⎠
⎝ i =1
12
⎛ n
⎞
< ε < ⎜⎜ ∑ Di2 χ12,1− α χ 2 α ' ⎟⎟
n,
2 ⎠
⎝ i =1
o
EI∗ < ε < EI∗∗
( )
es el ICB del (1-α’)100% para τ σD2 = ε (Mood et al., 1974d). Del análisis efectuado en
la obtención del resultado e*<e**, es necesario especificar un valor α ' < 0.5 .
Aunque para la mayoría de los usuarios de un modelo sea relativamente más
práctico y sencillo trabajar con un IC de σD2 que para un IC del cuantil 1-α de la
distribución de |D|, el ICB del (1-α’)100% de σD2 sólo indica la amplitud de los valores de
σD2 (un intervalo angosto implicaría que la distribución de D es menos variable), por lo
que para determinar si un modelo satisface la exactitud requerida, no es práctico y no
aporta suficiente información para dicho fin que el que proporciona los errores críticos o
el ICB ( EI∗ , EI∗∗ ) del (1-α’)100% para ε, el cuantil 1-α de la distribución de |D|.
5.5. Planteamiento para validar un modelo en predicción de varias variables
Para el caso de tres variables de salida del modelo y en consecuencia tres pares
de conjuntos (Yjk, Zjk) j=1,2,3; k=1,2,…,nj, los mismos valores de exactitud (e y α), y la
misma α’ empleada en las inferencias para la determinación de e*j o e*j * , un gráfico de
75
líneas o barras con los letreros Y1, Y2 y Y3 en el eje de las abscisas y los valores e*j o
e*j * en el eje de las ordenadas, permitiría visualizar para cuales variables el modelo es
más adecuado en predicción. Por ejemplo, si e*2 ≤ e < e1* < e3* entonces el modelo sólo
es adecuado en predicción de la variable Y2. También se tendrá que el modelo es más
adecuado en predicción para Y2, luego para Y1 y finalmente para Y3. Del gráfico de los
(
)
ICB eIj* , eIj* * del (1-α’)100% para εj el cuantil 1-α de la distribución de |Dj|, el intervalo
con el menor valor eIj* * implicaría que para la variable Yj el modelo es más adecuado ya
que contiene el cuantil 1-α de los valores |djk| antes que las otras variables, además de
que primero se cumpliría e ≥ eIj* * que para las restantes variables. En caso de tener
unidades de medida diferentes entre las variables, éstas pueden estandarizarse. El
procedimiento puede emplearse para validar un submodelo en predicción de varias
variables que serán consideradas entradas de otro submodelo.
5.6. Planteamiento para la comparación de dos o más modelos en predicción
Un problema frecuentemente dado en la construcción de un nuevo modelo M2,
para un sistema particular cuando ya se tiene un modelo M1, es decidir cuál modelo es
mejor en cuanto a la exactitud en predicción de los valores del sistema real (Y). Usando
los conjuntos (Yi, Zi1) y (Yi, Zi2) i=1,2,…,n y los mismos valores de α y α’, se pueden
obtener e1* * y e*2* que son respectivamente los errores críticos basados en el
planteamiento alternativo para los modelos M1 y M2. Análogamente al uso como un
índice para comparar dos modelos que le dieron al error crítico (E*) Ek y Monserud
(1979), el error crítico E** también puede emplearse para el mismo fin, de tal manera
que el modelo con el menor error crítico ( e *j* ) será considerado el mejor modelo. Si el
usuario del modelo especifica un valor de e tal que e ≥ e*j * para alguna j (j=1,2)
entonces el modelo j es adecuado. Un gráfico de barras con los letreros M1 y M2 en el
eje de las abscisas y los valores e*j * en el eje de las ordenadas, visualizaría cual es el
mejor modelo en predicción del sistema real (Y). Este procedimiento permite comparar
76
dos o más modelos bajo las mismas consideraciones planteadas para el caso de dos
modelos.
De la sección 5.4 se tiene que la comparación por medio del error crítico basado
en el planteamiento original (e*), exige menor error máximo admisible (e) de las
desviaciones |yi–zi|=|di|.
Mayer y Butler (1993) señalan que medidas de desviación como la media de los
errores absolutos (MAE), la media porcentual de los errores (MA%E) y la raíz cuadrada
de la media del cuadrado de los errores (RMSE), han sido utilizadas para comparar
diferentes modelos o técnicas. Analla (1998), propone el cuadrado medio del error
(CME) de la regresión de Y sobre Z para efectuar una validación y para la comparación
de dos o más modelos en predicción del sistema. Por su parte Kobayashi y Salam
(2000), proponen la media de las desviaciones al cuadrado (MSD) y sus componentes
para validar modelos y para comparar dos o más modelos. Para Tedeschi (2006), el uso
de solamente algunas técnicas puede ser engañoso en la elección de un modelo
apropiado para un escenario determinado. Por su parte Chilibroste (2002), indica que
es importante que al evaluar o comparar modelos, la consideración de los objetivos con
que han sido construidos sea especialmente considerada, a los efectos de poder
extraer conclusiones valederas.
5.7. Validación de modelos basada en el valor absoluto del error en presencia de
sesgo constante
Reynolds (1984) no presentó un planteamiento basado en el procedimiento de
Freese cuando hay sesgo en el modelo, sino que propuso utilizar un ICB del (1-α’)100%
para la E(D) la cual sólo da una idea de la discrepancia entre el parámetro µD=E(D) y su
estimador D . También, propuso utilizar un intervalo de predicción cuando el usuario
está interesado en una predicción futura y un intervalo de tolerancia cuando el usuario
está interesado con la población de errores de un número grande de predicciones.
Menciona que estos dos intervalos no son muy robustos al supuesto de normalidad y
que pueden usarse en presencia o no de sesgo en el modelo.
77
Freese (1960) aunque señala que si el sesgo B es el mismo para todos los
valores Yi (µi en su notación), y que su magnitud puede estimarse por la media de las
⎛∧
⎞
diferencias entre los valores observados y los predichos ⎜ B = D = Y − Z ⎟ , no indicó
⎝
⎠
explícitamente
las
razones.
Si
Di~ NI(µD , σD2 )
entonces
E(Di ) = E( Yi ) − Zi = Zi + S( Yi ) − Zi = S( Yi ) = B , donde S( Yi ) denota el sesgo de Yi. Como
∧
∧
∧
∧
µD = B = D y E(Di − B) = 0 se sigue que Di − B = Di − D = Wi es la corrección por SC B.
Cuando D~ N(µD , σD2 ) y el modelo presenta SC, coincidiendo con Freese (1960),
los valores e y α especificados por el usuario del modelo son tales que satisfacen la
exactitud requerida P(D ≤ e ) ≥ 1 − α que se traduce en σD2 ≤ e2 χ12,1− α , una vez que es
removido el SC mediante la corrección Di − D .
5.7.1. Pruebas estadísticas para la exactitud requerida
El siguiente paso es probar las hipótesis con el planteamiento original
'
HSCW
: σ2W ≤ e2 χ12,1− α (Freese, 1960) o alternativo HSCW
: σ2W > e2 χ12,1− α . Si D~ N(µD , σD2 )
0
0
(
)
'
entonces W = (D − D) ~ N 0 , ([n − 1] n)σD2 , y la estadística de prueba bajo HSCW
o HSCW
0
0
verdadera es V
SCW
2
χ12,1− α ⎡ n 2
⎤
2
SCW
'
= 2 ⎢∑ Di − n(D) ⎥ ~ χn−
o HSCW
se rechazará con un
1 . La H0
0
e ⎣ i =1
⎦
’
SCW
c
nivel de significación α si V
2
χ12,1− α ⎡ n 2
⎤
= 2 ⎢∑ di − n(d) ⎥ > χn2−1,1− α ' o VcSCW ≤ χn2−1, α ' , las cuales
e ⎣ i =1
⎦
corresponden a pruebas de razón de verosimilitudes generalizada de tamaño α’ (Mood
'
et al., 1974c). Por lo tanto, si HSCW
no se rechaza o HSCW
se rechaza entonces el
0
0
modelo es considerado aceptable para predicción.
Si el modelo presenta SC, D~ N(µD , σD2 ) , e y α son tales que satisfacen la
(
)
2
⎛ n ⎞ e
exactitud requerida P( W ≤ e ) = P D − D ≤ e ≥ 1 − α que se traduce en σD2 ≤ ⎜
⎟ 2 ,
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
entonces:
(i)
las
hipótesis
con
el
planteamiento
78
original
y
alternativo
son
2
2
⎛ n ⎞ e
⎛ n ⎞ e
2
SCD '
2
y
σ
≤
σ
>
HSCD
:
H
:
⎜
⎟ 2
⎜
⎟ 2 , y (ii) la estadística de prueba bajo
0
D
0
D
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
⎛ n − 1⎞ χ1,1− α
=⎜
⎟ 2
⎝ n ⎠ e
2
SCD
0
H
SCD '
0
(H
) verdadera es V
SCD
2
⎡n 2
⎤
2
SCD
SCD '
(
)
−
D
n
D
se
∑
i
⎢ i =1
⎥ ~ χn−1 . La H0 o H0
⎣
⎦
⎛ n − 1⎞ χ1,1− α
=⎜
⎟ 2
⎝ n ⎠ e
2
’
SCD
c
rechazará con un nivel de significación α si V
2
⎡n 2
⎤
2
(
)
d
−
n
d
∑
i
⎢i = 1
⎥ > χn −1,1− α ' o
⎣
⎦
VcSCD ≤ χ n2−1, α ' [pruebas de razón de verosimilitudes generalizada de tamaño α’, Mood et
'
no se rechaza o HSCD
se rechaza entonces el modelo
al. (1974c)]. Por lo tanto, si HSCD
0
0
es considerado aceptable para predicción.
Establecer e como el valor máximo admisible de las desviaciones |yi–zi|=|di|, es
quizás más práctico que como el valor máximo admisible de las desviaciones di − d .
5.8. Validación por intervalo de confianza empleando el error crítico en presencia
de sesgo constante
Freese (1960), Rennie y Wiant (1978), Reynolds (1984) y Barrales et al. (2004)
no presentaron el error crítico cuando el modelo tiene SC o SP en sus predicciones.
Cuando
el
modelo
presenta
SC
y
D~ N(µD , σD2 ) ,
los
errores
críticos
correspondientes al planteamiento original y alternativo son:
1
E∗SCW
2
⎛ 2 ⎡n 2
⎤ ⎞2
⎜ χ1,1− α ⎢∑ Di − n(D) ⎥ ⎟
⎜
⎣ i =1
⎦⎟
=⎜
2
⎟
χn −1,1− α '
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎝
1
y E∗∗
SCW
2
⎛ 2 ⎡n 2
⎤ ⎞2
⎜ χ1,1− α ⎢∑ Di − n(D) ⎥ ⎟
⎜
⎣ i =1
⎦⎟
=⎜
2
⎟
χn −1, α '
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎝
Si el modelador o usuario del modelo especifica un valor de e tal que e ≥ e∗SCW o
e ≥ e∗∗
SCW entonces el modelo es considerado aceptable. Los valores e y α son tales que
e2
satisfacen la exactitud requerida P(D ≤ e ) ≥ 1 − α que se traduce en σ ≤ 2
una vez
χ1,1− α
2
D
que es removido el SC mediante la corrección Di − D .
79
Si el modelo presenta SC, D~ N(µD , σD2 ) , e y α son tales que satisfacen la
(
)
2
⎛ n ⎞ e
exactitud requerida P( W ≤ e ) = P D − D ≤ e ≥ 1 − α que se traduce en σ ≤ ⎜
⎟ 2 ,
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
2
D
entonces los errores críticos con base al planteamiento original y alternativo son
1
E∗SCD
1
n
n
2 2
2 2
⎡
⎡
χ12,1− α ∑ (Di − D) ⎤
χ12,1− α ∑ (Di − D) ⎤
n
−
1
n
−
1
⎢⎛
⎥
⎢⎛
⎥
⎞
⎞
i =1
i =1
y E∗∗
= ⎢⎜
⎟
⎟
SCD = ⎢⎜
2
2
⎥
⎥ . Si el modelador o
n ⎠
χn −1,1− α '
n ⎠
χn −1, α '
⎝
⎝
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
usuario del modelo especifica un valor de e tal que e ≥ e∗SCD o e ≥ e∗∗
SCD entonces el
modelo es considerado aceptable.
Reynolds (1984) y Barrales et al. (2004) no presentaron un ICB para
(
εSC = σ χ
2
W
2
1,1− α
)
1
2
1
1
⎛ ⎛ n − 1⎞ 2 2 ⎞ 2 ⎛ n − 1⎞ 2
= ⎜⎜ ⎜
⎟σD χ1,1− α ⎟⎟ = ⎜
⎟ ε , el cuantil 1-α de la distribución de
⎝ n ⎠
⎝⎝ n ⎠
⎠
W = D − D o equivalentemente el cuantil 1-α de la distribución de D corregido por el
1
⎛ n − 1⎞ 2
2
factor ⎜
⎟ . Un ICB del (1-α’)100% para ε SC a partir del ICB del (1-α’)100% para σD
⎝ n ⎠
( )
y con εSC = τ σD2 función monótona creciente es:
1
1
n
n
⎛
⎞2
⎛
⎞2
2
2 2
(
)
(
D
D
Di − D) χ12, 1− α ⎟
−
χ
⎜
⎜
⎟
∑
∑
1, 1− α
i
⎟
⎜ ⎛⎜ n − 1⎞⎟ i =1
⎟ < ε < ⎜ ⎛⎜ n − 1⎞⎟ i =1
SC
2
2
⎜
⎟
⎜⎝ n ⎠
⎟
n
χ
χ
⎝
⎠
α'
α'
n −1,
n −1, 1−
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
∗
∗∗
o EISC
< εSC < EISC
∗
∗∗
EISC
y EISC
corresponden a los errores críticos que se obtienen de las regiones de
'
y HSCD
, con la diferencia de que α’ corresponde a α ' 2 en sus
rechazo para HSCD
0
0
expresiones. El intervalo de confianza estimado significa que se tiene confianza en un
(1-α’)100% que el punto de la distribución W = D − D que tiene debajo el (1-α)100% de
(
)
*
**
los errores absolutos está localizado en alguna parte en el intervalo eISC
, eISC
.
80
5.9. Validación de modelos basada en el valor absoluto del error en presencia de
sesgo proporcional
También para este caso Reynolds (1984), no presentó un planteamiento basado
en el procedimiento de Freese cuando el modelo presenta SP en sus predicciones.
Freese (1960) no indicó explícitamente la traducción de la exactitud requerida
P(D ≤ e ) ≥ 1 − α en σD2 ≤ e2 χ12,1− α , así como las razones de emplear los residuos de una
regresión lineal de los valores yi sobre los valores zi (en su notación xi sobre µi) para la
corrección por SP. Con Yi~ NI( Zi + S( Yi ), σ2 ) i=1,2,…n se tiene que E(Di ) = S( Yi ) = R y si
el sesgo (di=yi-zi) crece o decrece directamente con los valores predichos (zi), un
∧
∧
∧
∧
estimador de R es µDi = R = β0 + β1 Zi . Esto se debe a que para el conjunto (Di, Zi)
∧
∧
i=1,2,…,n relacionados por Di = β0 + β1Zi + εRi donde εRi ~ NI(0, σ2 = σR2 ) , β0 y β1 los
estimadores por mínimos cuadrados de los parámetros β0 y β1 se sigue que
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
⎛
⎞
µD i = R = Di = β0 + β1 Zi y E⎜ Di − Di ⎟ = 0 . Por lo tanto, εRi = Di − Di = Di − (β0 + β1 Zi ) es la
⎝
⎠
corrección por SP.
Si el modelo presenta SP, Freese (1960) en la determinación de la estadística de
prueba utilizó, sin indicarlo explícitamente, σ2 ≤ e 2 χ12,1− α para la exactitud requerida
P(D ≤ e ) ≥ 1 − α que se traduce precisamente en σR2 ≤ e2 χ12,1− α
una vez que es
removido el SP mediante la corrección indicada antes, la cual coincide con los
supuestos εRi ~ NI(0, σR2 ) , e y α tales que satisfacen P( εR ≤ e ) ≥ 1 − α .
5.9.1. Pruebas estadísticas para la exactitud requerida
El siguiente paso es probar las hipótesis con el planteamiento original
2
2
2
SP '
HSP
: σR2 > e 2 χ12,1− α . La estadística de
0 : σR ≤ e χ1,1− α (Freese, 1960) o alternativo H0
prueba
(
εRi ~ NI(0, σ2 = σR2 )
con
y
bajo
)
HSP
0
o
'
HSP
0
verdadera
es
2
SP
'
V SP = χ12,1− α e2 (n − 2)(CME)D ~ χn−
o HSP
se rechazará con un nivel de
2 . La H0
0
81
(
)
significación α’ si VcSP = χ12,1− α e2 (n − 2)(CME)D > χn2− 2,1− α ' o VcSP ≤ χn2− 2, α ' donde (CME)D
∧
∧
∧
corresponde al cuadrado medio del error del modelo estimado Di = β0 + β1 Zi . Por lo
'
tanto, si HSP
no se rechaza o HSP
0
0 se rechaza entonces el modelo es considerado
aceptable.
Freese (1960) señala que si el modelo presenta SP, es decir, la magnitud del
sesgo (en su notación di=xi-µi) crece o decrece directamente con los valores reales (en
su notación µi), la estadística de prueba con Xi~ N(µi , σ2 ) es
∧
∧
SCE
2
~ χn−
2 donde la SCE
σ2
∧
se obtiene del modelo estimado Xi = β0 + β1 µi . Sin embargo, por los resultados
∧
∧
∧
obtenidos la SCE corresponde al modelo estimado Di = β01 + β11 µi (en su notación),
∧
donde el supuesto a verificar es que los residuales estimados eRi = di − di son
independientes y provienen de una distribución normal con media cero y varianza
constante. Si se utiliza como variable dependiente Xi con variable regresora µi, la SCE
∧
∧
⎛ ∧
⎞
corresponde al modelo estimado Xi = β0 + ⎜ β11 + 1⎟µi .
⎝
⎠
5.10. Validación por intervalo de confianza empleando el error crítico en presencia
de sesgo proporcional
También para este caso Freese (1960), Rennie y Wiant (1978), Reynolds (1984)
y Barrales et al. (2004) no presentaron el error crítico cuando el modelo tiene SP en sus
pronósticos.
Si la magnitud del sesgo (di=yi-zi) crece o decrece directamente con los valores
predichos (zi) y se cumple el supuesto εRi ~ NI(0, σ2 = σR2 ) para el modelo estimado
∧
∧
∧
Di = β0 + β1 Zi , los errores críticos correspondientes al planteamiento original y
1
alternativo son E∗SP
1
⎛ χ12,1− α (n − 2)(CME )D ⎞ 2
⎛ χ12,1− α (n − 2)(CME )D ⎞ 2
∗∗
⎜
⎟
⎟ . Si el usuario
=
y ESP = ⎜
2
2
⎜
⎟
⎜
⎟
χ
χ
n − 2,1− α '
n − 2, α '
⎝
⎠
⎝
⎠
82
del modelo especifica un valor de e tal que e ≥ e∗SP o e ≥ e∗∗
SP entonces el modelo es
considerado aceptable. Los valores e y α son tales que satisfacen la exactitud requerida
P(D ≤ e ) ≥ 1 − α que se traduce en σD2 ≤
∧
∧
∧
e2
una vez que es removido el SP mediante
χ12,1− α
∧
la corrección εRi = Di − Di = Di − (β0 + β1 Zi ) .
Reynolds (1984) y Barrales et al. (2004), no presentaron un ICB para
(
)
1
εSP = σR2 χ12,1− α 2 , el cuantil 1-α de la distribución de εR . Un ICB del (1-α’)100% para εSP
( ) (
a partir del ICB del (1-α’)100% para σR2 con τ σR2 = σR2 χ12,1−α
creciente, está dado por
χ12,1− α (SCE )D
χ
2
n − 2,1−
< εSP <
α'
2
χ12,1− α (SCE )D
χ
2
n − 2,
)
1
2
= ε SP función monótona
∗
∗∗
.
, es decir, EISP
< εSP < EISP
α'
2
∗
∗∗
EISP
y EISP
corresponden a los errores críticos E∗SP y E∗∗
SP con la diferencia de que α’ se
sustituye por α’/2. El intervalo de confianza estimado significa que se tiene confianza en
un (1-α’)100% que el punto de la distribución εR que tiene debajo el (1-α)100% de los
(
)
*
**
errores absolutos está localizado en alguna parte en el intervalo eISP
, eISP
.
5.11. Planteamiento para validar un modelo en predicción de varias variables y
para la comparación de dos o más modelos en predicción cuando el
modelo presenta sesgo
Con los errores críticos para SC o SP, pueden emplearse el mismo tipo de
gráficas propuestas para visualizar la validación de un modelo en predicción de varias
variables cuando el modelo no presenta sesgo. En la comparación de dos o más
modelos en predicción del mismo sistema, se emplearía el error crítico correspondiente
según el modelo no presente sesgo, tenga sesgo constante o proporcional. El modelo
con el menor error crítico es el mejor modelo.
83
5.12. Sesgo y supuestos
En los procedimientos tratados se supone básicamente que D~ N(0, σD2 ) para el
caso en el que el modelo no presenta sesgo, y D~ N(µD , σD2 ) cuando el modelo presenta
SC o SP, aunque para este último, el supuesto se traduce en εRi ~ NI(0, σR2 ) para el
modelo Di = β0 + β1Zi + εRi . En el procedimiento de validación cuando el modelo no
presenta sesgo, la suposición D~N(0, σD2 ) significa que el modelo presenta predicción
insesgada
σD2 ≤
(µD = 0 )
( )
y la precisión de los errores de predicción σD2
debe cumplir
e2
para que la exactitud requerida se satisfaga y modelo sea considerado
χ12,1− α
aceptable o suficientemente confiable para predicción.
Un análisis gráfico exploratorio de los valores predichos contra los observados y
de los predichos contra el sesgo, es básico para visualizar la exactitud, precisión e
identificación del tipo de sesgo y así, utilizar el procedimiento apropiado para determinar
si el modelo cumple con la exactitud requerida; por lo que en la aplicación de los
procedimientos, ya sea una prueba de hipótesis, un intervalo de confianza o el error
crítico, es necesario y fundamental establecer la exactitud requerida la cual implica una
comprensión del sistema por parte del modelador o usuario del modelo. Por su parte
Barrales et al. (2004), señalan que se requiere de un compromiso por parte del usuario,
que es decidir el nivel de exactitud asignado al modelo para su aceptación y
adicionalmente, un estudio de la información generada por el modelo, que le permita
seleccionar
de
las
metodologías
propuestas,
aquella
más
adecuada
a
las
características de los datos.
Los procedimientos para validar modelos en presencia de SC o SP se aplican sin
que el modelo sea modificado en su estructura, sino que se remueve el tipo de sesgo a
los datos disponibles (zi, yi) a través de los valores del sesgo (di), es decir, Di − D es la
∧
∧
corrección por SC y Di − (β0 + β1 Zi ) es la corrección por SP.
Identificar el tipo de sesgo permitiría corregir al modelo en su estructura y
evaluación a través de cuestionar: (a) las hipótesis que se emplearon en la construcción
84
del modelo, (b) los datos experimentales utilizados en el ajuste de los parámetros, (c)
los métodos para el ajuste de los parámetros, (d) los parámetros tomados de la
literatura, (e) los datos experimentales empleados en la validación del modelo, (f) el
comportamiento en predicción del modelo para diferentes escenarios, y (g) el tipo de
corrección a utilizar en el modelo y en que etapa del diseño del modelo debe realizarse.
Bendell (1986), indica que sólo la validación no es suficiente y que hay que insistir para
un cambio de énfasis en la práctica de la modelación hacia el conocimiento de los datos
y al análisis exploratorio en la etapa de formulación del modelo. Para Barrales et al.
(2004), detectar en el modelo la presencia de un sesgo, ya sea constante o
proporcional, en función de los valores del sistema real, le permitiría al usuario
identificar en su modelo, la o las causas que lo producen, corregir deficiencias en el
comportamiento predictivo, que llevaría a disminuir las discrepancias entre lo estimado
por el modelo y los valores proporcionados por el escenario real, permitiendo que las
conclusiones que se obtengan acerca de la confiabilidad del modelo cumplan con los
objetivos establecidos.
La validación de modelos mediante el planteamiento de Freese (1960) y las
extensiones presentadas en este trabajo no requieren el supuesto de que Y se
relacione linealmente con Z, además de que no es necesario para la comparación entre
Y y Z. Por su parte Kobayashi y Salam (2000) indican que no es garantía el supuesto
de que Y se relacione linealmente con Z y que es innecesario para compararlos.
Reynolds (1984), señala que las predicciones de un simulador estocástico son
por lo general basadas sobre el promedio de varias corridas de simulación, y aplica el
procedimiento de validación para un ejemplo en donde el modelo no presenta sesgo en
sus pronósticos y es un simulador estocástico. Por lo que los procedimientos tratados
en este trabajo pueden utilizarse para modelos o simuladores estocásticos, de modo
que cada predicción sea generada como la media aritmética de varias corridas de
simulación. Así, la varianza de las predicciones promedio es menor que la varianza de
las observaciones usadas para generarlas, ya que si X1,X2,…,Xn es una muestra
aleatoria de una función de densidad de probabilidad f(.) la cual tiene media µ y
varianza finita σ2 entonces E( X) = µ y V( X) = σ2 n .
85
La aplicación de cualquier método inferencial para validar modelos se encuentra
principalmente sujeto a las dificultades para satisfacer sus supuestos. Una gran
variedad de métodos estadísticos suponen normalidad para poder utilizarlos, por lo que
existen variados métodos gráficos e inferenciales para verificarlo. Si la variable de
estudio no se distribuye normal, generalmente se emplea algún tipo de transformación
para aproximar los datos a la distribución normal y el método estadístico se aplica a la
variable transformada. Una transformación es simplemente una reexpresión de los
datos en diferente unidad de medida. Harrison (1990) señala que cuando no se
satisfacen los supuestos del método inferencial, se debe recurrir a métodos descriptivos
y a expertos en el área de estudio para que proporcionen una opinión acerca de la
validación del modelo, o lo adecuado del modelo sea calificado por el modelador de
acuerdo a su criterio y propósitos (Mitchell, 1997). Adicionalmente se pueden utilizar
medidas estadísticas descriptivas basadas en las diferencias entre los valores
observados y simulados.
5.13. Validación del modelo dinámico mecanístico Wakax POS en predicción de la
ganancia de peso
La metodología de validación desarrollada se aplicó a la diferencia entre los
datos experimentales de ganancia de peso promedio (GPP) por día y los simulados con
el modelo Wakax POS. Los valores de la GPP corresponden a las medias de los
experimentos obtenidos de la literatura (Anexo II, Cuadros: II.1 y II.2) con bovinos en
pastoreo suplementado con caña de azúcar, maíz quebrado y/o melaza en una zona
tropical de México. En el Cuadro 1 se muestran las GPP observadas (yi), simuladas o
predichas (zi) y sus diferencias (di=yi-zi).
Cuadro 1. Promedios observados de ganancia de peso (kg) de 34 experimentos y sus
correspondientes simulados con el modelo Wakax POS.
Indentificador Observado Modelado Diferencia
(zi)
(di=yi-zi)
(yi)
V09
0.366
0
0.366
V10
0.398
0
0.398
V11
0.493
0.39
0.103
V12
0.63
0.43
0.2
86
V16
V17
V18
V19
V20
V21
V22
V23
V24
V25
V26
V27
V28
V29
V30
V31
V32
V33
V35
V36
V37
V38
V39
V40
V41
V42
V48
V49
V50
V51
0.43
0.4
0.49
0.6
0
0.43
0.7
0.69
0.5
0.68
0.62
0.52
0.64
0.45
0.43
0.76
0.036
0.019
0.412
0.052
0.414
0.05
0.292
0.054
0.308
0.054
0.037
0.051
0.062
0.364
0.13
0.28
0.23
0.29
0.28
0.09
0.32
0.33
0.02
0
0
0.26
0
0
0.33
0.39
0
0
0
0
0
0
0.35
0
0.39
0
0
0
0
0
0.3
0.12
0.26
0.31
-0.28
0.34
0.38
0.36
0.48
0.68
0.62
0.26
0.64
0.45
0.1
0.37
0.036
0.019
0.412
0.052
0.414
0.05
-0.058
0.054
-0.082
0.054
0.037
0.051
0.062
0.364
La media y desviación estándar de las n=34 diferencias del Cuadro 1 son
d = 0.233 kg y SD = 0.223 kg . De observar las diferencias y el valor de la media se
espera que E(D) = µD ≠ 0 estadísticamente, es decir, el modelo presente algún tipo de
sesgo.
Para probar el supuesto D~ N(0, σD2 ) con varianza no especificada, se utilizaron
las pruebas de bondad de ajuste de Cramér-von Mises (W2=2.172, P<0.003) y
Anderson-Darling (A2=10.733, P<0.003). Ambas pruebas con nivel de significación del
5% (α=0.05) rechazan la hipótesis D~ N(0, σD2 ) . El siguiente paso es probar si
87
D~ N(µD , σD2 ) con media y varianza no especificadas e identificar el tipo de sesgo
presente en el modelo. Los valores de las estadísticas de prueba de Cramér-von Mises,
Anderson-Darling, Shapiro-Wilks, Kolmogorov-Smirnov y sus correspondientes Pvalores son: W2=0.118, P=0.065; A2=0.655, P=0.084; W=0.961, P=0.254; KS=0.135,
P=0.115. Con éstas cuatro pruebas la hipótesis D~ N(µD , σD2 ) no puede ser rechazada
con α=0.05 (P>0.05). La distribución normal ajustada tiene media y desviación estándar
(
)
estimadas d = 0.233 kg y SD = 0.223 kg [D~ N 0.233 kg, [0.223 kg] ].
2
La prueba t para la hipótesis E(D) = µD = 0 determinó que µD ≠ 0 (P<0.05)
[t=6.092, g.l.=33, P=7.361 x 10-7], la cual sugiere que el modelo presenta algún tipo de
sesgo. Para determinar la presencia de SC o SP se obtuvo un gráfico de dispersión de
los valores pronosticados (zi) vs. el sesgo correspondiente (di), con la media de las
diferencias indicada (Figura 6). El gráfico de dispersión de los valores predichos (zi) vs.
los observados (yi) (Figura 7), permite visualizar que tan alejados están los puntos de la
recta y=z, y de posibles tendencias de los puntos respecto a dicha recta.
di 0.92
0.69
0.46
d
0.23
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Zi
-0.23
-0.46
Figura 6. Relación entre el sesgo (di) y los valores simulados (zi) para la GPP.
d = 0.233 kg es la media de las diferencias (di).
88
Yi
0.8
0.7
y=z
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Zi
Figura 7. Dispersión de los puntos (zi, yi) para la GPP. y=z es la recta que representa la
exactitud ideal.
La distribución de los puntos en la Figura 6 muestra un SC, ya que: (i) la
∧
estimación de B = D es muy diferente de cero, la cual fue verificado con la prueba t
( µD ≠ 0 ), y (ii) los puntos (zi, di) forman prácticamente una banda horizontal centrada
alrededor de d , con una distribución sistemática a ser positivos o negativos, es decir,
los puntos se localizan arriba y debajo de la recta d = d .
La distribución de los puntos en la Figura 7 muestra que éstos se encuentran
“alejados” de la exactitud ideal (y=z), aunque si se trasladan una cierta cantidad
perpendicularmente al eje de las abscisas, la exactitud mejorará. Lo anterior refuerza la
percepción de que el modelo presenta SC en sus pronósticos.
Debido a que el modelo presenta SC se procedió a aplicar los procedimientos de
validación correspondientes a este tipo de sesgo. En el Cuadro 2 se presentan los
valores de la corrección por SC (w i = di − d = di − 0.233 ) .
89
Cuadro 2. Diferencia entre los valores observados y predichos, y la corrección por
sesgo constante.
Indentificador Diferencia
(di=yi-zi)
V09
0.366
V10
0.398
V11
0.103
V12
0.2
V16
0.3
V17
0.12
V18
0.26
V19
0.31
V20
-0.28
V21
0.34
V22
0.38
V23
0.36
V24
0.48
V25
0.68
V26
0.62
V27
0.26
V28
0.64
V29
0.45
V30
0.1
V31
0.37
V32
0.036
V33
0.019
V35
0.412
V36
0.052
V37
0.414
V38
0.05
V39
-0.058
V40
0.054
V41
-0.082
V42
0.054
V48
0.037
V49
0.051
V50
0.062
V51
0.364
Corrección por SC
(w i = di − d = di − 0.233 )
0.133
0.165
-0.13
-0.033
0.067
-0.113
0.027
0.077
-0.513
0.107
0.147
0.127
0.247
0.447
0.387
0.027
0.407
0.217
-0.133
0.137
-0.197
-0.214
0.179
-0.181
0.181
-0.183
-0.291
-0.179
-0.315
-0.179
-0.196
-0.182
-0.171
0.131
La media y desviación estándar de las n=34 correcciones por SC (wi) del Cuadro
2 son w = 0 kg y SD = S W = 0.223 kg e indican que en promedio las desviaciones (di=yizi) de cero son 0.223 (0 ± 0.223).
90
Para probar el supuesto W = (D − D ) ~ N(0, σ2W ) con varianza no especificada, se
utilizaron las pruebas de bondad de ajuste de Cramér-von Mises (W2=0.122, P>0.25) y
Anderson-Darling (A2=0.675, P>0.25). Ambas pruebas con α=0.05 no rechazan la
hipótesis W~ N(0, σ2W ) .
En este ejemplo se aplicó el método de calcular los errores máximos anticipados
o errores críticos del planteamiento original ( e∗SCW ) y alternativo ( e∗∗
del
SCW )
procedimiento de Freese. Con este enfoque el modelador o usuario del modelo, decide
si el modelo es aceptable en predicción del sistema al comparar el error crítico con la
exactitud requerida (e) bajo los valores α y α’ especificados con anticipación.
Adicionalmente
(
εSC = σ2W χ12,1− α
)
1
2
se
calculó
el
ICB
del
(1-α’)100%
para
1
⎛ ⎛ n − 1⎞ 2 2 ⎞ 2
= ⎜⎜ ⎜
⎟σD χ1,1− α ⎟⎟ , el cuantil 1-α de la distribución de W = D − D .
⎝⎝ n ⎠
⎠
Con α=α’=0.05 los errores críticos son:
1
e∗SCW
n
⎛ 2
2 ⎞2
⎜ χ1,1− α ∑ (di − d) ⎟
⎛ χ12, 0.95 1.641274(kg)2
i =1
⎜
⎟
=⎜
=
2
⎜
⎜
⎟
χ33
χn2−1,1− α '
, 0.95
⎝
⎜
⎟
⎝
⎠
e∗∗
SCW
⎛ 2
2 ⎞
⎜ χ1,1− α ∑ (di − d) ⎟
2
2
i =1
⎟ = ⎛⎜ χ1, 0.95 1.641274(kg)
=⎜
2
⎜
⎜
⎟
χ33
χn2−1, α '
, 0.05
⎝
⎜
⎟
⎝
⎠
(
n
1
2
(
) ⎞⎟
1
2
) ⎞⎟
1
2
⎟
⎠
⎟
⎠
= 0.365 kg
= 0.550 kg
Por lo tanto, si el modelador o usuario del modelo especifica una exactitud e
(P(D ≤ e) ≥ 0.95 ) tal que e ≥ e
∗
SCW
= 0.365 kg o e ≥ e∗∗
SCW = 0.550 kg entonces el modelo
será considerado suficientemente confiable en predicción del sistema con base en el
planteamiento original y alternativo respectivamente. Lo anterior implica una buena
comprensión del sistema por parte del modelador o usuario del modelo para establecer
la exactitud requerida (e).
El ICB del 1-α’=95% para εSC esta dado por:
91
1
1
n
n
⎛
⎞2
⎛
⎞2
2 2
2
(
)
(
D
D
Di − D) χ12, 1− α ⎟
−
χ
⎜
⎜
⎟
∑
∑
i
1, 1− α
⎟
⎜ ⎛⎜ n − 1⎞⎟ i =1
⎟ < ε < ⎜ ⎛⎜ n − 1⎞⎟ i =1
SC
2
2
⎜
⎟
⎜⎝ n ⎠
⎟
χ α'
χ
⎝ n ⎠
α'
n −1, 1−
n −1,
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
(
)
1
(
)
1
⎛ ⎛ 33 ⎞ 1.641274(kg)2 χ12, 0.95 ⎞ 2
⎛ ⎛ 33 ⎞ 1.641274(kg)2 χ12, 0.95 ⎞ 2
⎜⎜ ⎟
⎟
⎜⎜ ⎟
⎟
<
ε
<
SC
2
2
⎜ ⎝ 34 ⎠
⎟
⎜ ⎝ 34 ⎠
⎟
χ
χ
33
,
0
.
975
33
,
0
.
025
⎝
⎠
⎝
⎠
0.347 kg < εSC < 0.567 kg
Por lo tanto, se tiene confianza en un 1-α’=95% de que el punto de la distribución
W = D − D que tiene debajo el 1-α=95% de los errores absolutos
(d − d )
está
localizado en alguna parte en el intervalo (0.347 kg, 0.567 kg), es decir, con
(
)
probabilidad del 95% la magnitud del error d − d no es más de 0.567 kg.
A pesar de las objeciones señaladas a la regresión para validar modelos (sección
3.4.2.), se procedió a efectuar esta metodología entre la variable dependiente Y y la
variable independiente Z, con la finalidad de establecer alguna similitud con los
resultados previamente obtenidos de la metodología de validación de modelos
mecanísticos basada en el procedimiento de Freese (1960).
El gráfico de dispersión de los valores predichos (zi) vs. observados (yi), junto
con la recta de regresión estimada y la recta y=z (Figura 8), permite visualizar que tan
alejados están los puntos de la recta y=z, de posibles tendencias de los puntos respecto
a dicha recta y de una percepción acerca de la precisión y exactitud basadas según
Tedeschi (2006) en el coeficiente de determinación (r2) como buen indicador de
precisión (un valor alto de r2 precisión alta), y en que los parámetros estimados del
intercepto y la pendiente son buenos indicadores de exactitud; simultáneamente
cercanos a cero y a uno respectivamente, la exactitud es más alta.
Del ajuste por mínimos cuadrados al modelo lineal Yi = β0 + β1Zi + εRi i=1,2,…,34
para describir la relación entre Y y Z, se obtuvo la ecuación del modelo ajustado o
estimado y=0.280+0.648z. Antes de dar una interpretación a dicho modelo se procedió
a verificar los supuestos básicos del método. Las pruebas de bondad de ajuste de
Cramér-von Mises (W2=0.190, P>0.25) y de Anderson-Darling (A2=1.109, P=0.24),
92
indican con α=0.05 que los errores estimados provienen de una distribución normal con
media cero y varianza constante. De los resultados del ANOVA (F1,32=7.64, P=0.009)
existe relación estadísticamente significativa (P<0.05) entre Y y Z. En la Figura 8 se
muestra la recta de regresión ajustada, el coeficiente de determinación y la recta de
exactitud ideal y=z.
Yi
0.8
0.7
y=z
0.6
0.5
0.4
0.3
y=0.2798+0.6475z
R2=0.1927
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Zi
Figura 8. Relación entre los valores predichos (zi) y los observados (yi) para la GPP.
y=0.2798+0.6475z es la recta de regresión ajustada. y=z es la recta de exactitud ideal.
La distribución de los puntos en la Figura 7 y 8 muestran que éstos se
encuentran “alejados” de la exactitud ideal (y=z), aunque si se trasladan una cierta
cantidad perpendicularmente al eje de las abscisas, la exactitud mejorará. En la Figura
8 se observa que la recta de regresión estimada y=0.280+0.648z es “casi paralela” a la
recta y=z que representa la exactitud ideal. Las dos observaciones anteriores refuerzan
la percepción de que el modelo presenta SC en sus pronósticos. Esto concuerda con el
análisis exploratorio realizado en la Figura 6 la cual corresponde al gráfico
recomendado para identificar SC o SP.
Los IC estimados del 95% para los parámetros β0 (ordenada en el origen o
intercepto) y β1 (pendiente) son 0.180 < β0 < 0.379 y 0.170 < β1 < 1.125 . Estos indican
que con una probabilidad del 95% el intercepto es estadísticamente diferente de cero y
la pendiente es estadísticamente uno. El enfoque de intervalos de confianza para
93
determinar si el intercepto es cero y la pendiente uno es más informativo que las
pruebas t para el mismo propósito, ya que proporcionan la amplitud de los posibles
valores de dichos parámetros y no son tan categóricos como las pruebas de hipótesis.
De nuevo, con base en los IC estimados para los parámetros del modelo
Yi = β0 + β1Zi + εRi , se refuerza la percepción de que el modelo presenta SC ya que el
intercepto es estadísticamente diferente de cero y la pendiente es estadísticamente
uno, es decir, la recta de regresión ajustada es “casi paralela” a la recta determinística
y=z que representa la exactitud ideal. Por su parte Gauch et al. (2003), señalan que
cuando estadísticamente la pendiente es igual a uno y el intercepto es diferente de
cero, se dice que la falta de exactitud es conocida como discrepancia por traslación; en
cambio Tedeschi (2006) le llama un caso inexacto y preciso. Para Flavelle (1992), si se
rechaza la hipótesis de pendiente igual a uno entonces hay algún sesgo en el modelo, y
si no se rechazan las hipótesis de pendiente uno e intercepto cero no significa que el
modelo esta libre de sesgo, únicamente que el análisis de regresión fracasa en
identificarlo. Mayer y Butler (1993), presentaron un ejemplo en donde no resultaron
significativas las pruebas t para las hipótesis de pendiente uno e intercepto cero y sin
embargo, la prueba F simultánea de pendiente uno e intercepto cero sí resultó
significativa. Por su parte Tedeschi (2006), presentó un ejemplo en donde las pruebas t
para pendiente uno e intercepto cero resultaron no significativa y significativa
respectivamente, la cual concordó con la significancia de la prueba F simultánea de
pendiente uno e intercepto cero.
En cuanto al coeficiente de determinación (r2=19.27%), llamado con frecuencia la
proporción de la variación explicada por el regresor (z); indica que el 19.27% de la
variabilidad de los valores observados (y) es explicada por el modelo de regresión
ajustado. Montgomery et al. (2002c), señalan respecto al coeficiente de determinación
en una regresión rectilínea que: (a) un valor grande de r2 puede ser tan sólo el resultado
de que z se haya variado en forma no realista dentro de un intervalo grande. La r2
puede ser pequeña porque el intervalo de las z sea demasiado pequeño como para
permitir detectar su relación con la variable dependiente (y), y (b) un valor grande de r2
no implica que la pendiente sea grande, además, r2 no mide la adecuación del modelo
lineal, porque con frecuencia r2 es grande aunque z y (y) no tengan relación lineal. Una
94
r2 grande no necesariamente implica que el modelo de regresión sea un predictor
exacto.
De los análisis estadísticos realizados se tiene que el modelo Wakax POS puede
usarse para predecir la GPP diaria de bovinos alimentados con caña de azúcar, maíz
quebrado y/o melaza en una zona tropical de México, aunque requerirá un ajuste con
base a la presencia de SC para incrementar la exactitud en sus pronósticos. Desde la
perspectiva de la regresión el modelo presenta discrepancia por traslación, es decir, es
un caso inexacto y preciso.
Determinar comportamientos extraños entre los pronósticos de un modelo y los
valores observados del sistema real, como por ejemplo el tipo de sesgo, es fundamental
para el mejoramiento del modelo a través de cuestionar desde su estructura hasta los
datos y métodos empleados en todos los procesos. Según McCarthy et al. (2001),
probar un modelo ayuda a identificar sus debilidades para que sea mejorado su
desempeño predictivo por medio de un proceso iterativo de desarrollo del modelo,
probarlo, modificarlo y probarlo nuevamente. Para Tedeschi (2006), la identificación y
aceptación de inexactitudes de un modelo es un paso hacia la evolución de un modelo
más exacto y de más confianza.
5.14. Validación del modelo dinámico mecanístico Wakax POS en predicción de la
materia seca, ácidos grasos volátiles, acetato, propionato y butirato en el
Rumen y Ciego
A continuación se validará el modelo Wakax POS en predicción de la materia
seca (DM), ácidos grasos volátiles (AGVs), acetato (Ac), propionato (Pr) y butirato (Bu)
en el Rumen y Ciego.
En el Cuadro II.3 del Anexo II se indican las fuentes e información de los datos
experimentales utilizados en la validación. En el Cuadro 3 se muestran los valores
observados (yi) y predichos (zi) para cada una de dichas variables en el Rumen y Ciego.
Debido al tamaño de muestra pequeño (Cuadro 3) [Rumen: n=3 DM, n=5 AGVs, y n=8
Ac, Pr, Bu; Ciego: n=3 DM, AGVs, Ac, Pr, Bu], se utilizaran métodos gráficos o visuales
de validación como los gráficos de dispersión de Z vs. Y junto con la recta y=z y el
95
gráfico propuesto por Mitchell (1997), en donde se grafica en el eje de las abscisas los
valores predichos, en el eje de las ordenadas las desviaciones (predicho menos
observado) y el porcentaje de puntos que caen dentro de un rango o precisión
aceptable con centro en cero, es usado como un criterio de adecuación del modelo. El
rango de aceptación lo establece el modelador de acuerdo a su criterio y propósitos.
Este gráfico es similar al que se emplea para la determinación de sesgo (zi vs. di), con
la diferencia de que en el eje de las ordenadas se gráfica el sesgo o desviaciones di=yizi (observado menos predicho), la cual no causa ningún problema técnico en cuanto a
visualizar las desviaciones al comparar los observados con los predichos. Aquí se
utilizará la gráfica empleada para determinar sesgo. Adicionalmente se emplearán dos
medidas para efectuar validación que se basan en la comparación entre los valores
observados y los predichos. Estas serán la eficiencia de modelado (MEF) (Loague y
Green, 1991; Mayer y Butler, 1993; Tedeschi, 2006) y el coeficiente de determinación
del modelo (CD) (Tedeschi, 2006).
Cuadro 3. Valores de DM, AGVs, Ac, Pr y Bu observados y predichos con el modelo
Wakax POS en el Rumen y Ciego.
Ind
V32
V42
V43
V44
V45
V46
V47
V51
DM(%)
DM(%)P
AGVs(mM)
14.3
15.3
17.3
6
9
11
149
176
161
116.667
157.333
Ind
V43
V44
V45
DM(%)
14
10.5
10
DM(%)P
55
74
89
AGVs(mM)
63
82
88
Rumen
AGVs(mM)P Ac(%)
59.9
64
40.960
58
67.074
54
94.341
56
63.428
73.333
61.440
76.667
76.9
Ac(%)P
60
60
60
60
60
60
60
60
Pr(%)
21.9
23
28
26
27
18.333
17
17.6
Ciego
AGVs(mM)P Ac(%)
99.377
73
137.103
71
167.709
73
Ac(%)P
79
78
78
Pr(%)
21
22
22
Pr(%)P
35
35
35
33
31
35
35
35
Pr(%)P
16
16
16
Bu(%)
17.9
13
14
20
17
7.667
6.333
5.1
Bu(%)
6
7
5
Bu(%)P
5
5
5
8
9
5
5
5
Bu(%)P
5
6
6
Ind denota Identificador.
Una P al final de cada variable denota sus correspondientes predichos con el modelo Wakax POS.
En las Figuras 9 y 10 se describe la exactitud de las predicciones de Wakax POS
en el Rumen para DM, Ac, Pr, Bu y AGVs respecto a la recta y=z. Las Figuras 11 y 12
describen la relación entre el sesgo (di=yi-zi) y los valores simulados (zi) para dichas
96
variables en el Rumen. De proyectar los puntos de las Figuras 9 y 10 en cada uno de
los ejes y de observar la magnitud del sesgo para cada predicción en las Figuras 11 y
12, se tiene en términos generales que las predicciones para: (a) DM fueron menores a
los observados, (b) Ac fue única (60%) para valores de entre 54% y 76.9%, siendo
mejor para valores intermedios a dichos extremos, (c) Pr fueron mayores a los
observados, (d) Bu fueron mayores a los observados, siendo mejor para valores
observados bajos, y (e) AGVs fueron menores a los observados, quedando
prácticamente cada predicción a la mitad de cada observación del sistema real.
Yi 80
70
y=z
60
DM(%)
50
Ac(%)
40
Pr(%)
30
Bu(%)
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Zi
Figura 9. Dispersión de los puntos (zi, yi) para DM, Ac, Pr y Bu en el Rumen. y=z es la
recta que representa la exactitud ideal.
97
Yi 200
180
y=z
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Zi
Figura 10. Dispersión de los puntos (zi, yi) para AGVs(mM) en el Rumen. y=z es la recta
que representa la exactitud ideal.
di 20
15
10
5
DM(%)P
Ac(%)P
0
-5
0
10
20
30
40
50
60
70
Pr(%)P
Bu(%)P
-10
-15
-20
Zi
Figura 11. Relación entre el sesgo (di=yi-zi) y los valores simulados o predichos (zi) para
DM, Ac, Pr y Bu en el Rumen.
98
di 120
100
80
60
40
20
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Zi
Figura 12. Relación entre el sesgo (di=yi-zi) y los valores simulados o predichos (zi) para
AGVs(mM) en el Rumen.
Del rango de las diferencias (di) para DM, Ac, Pr, Bu y AGVs en el Rumen, se
tiene que el sesgo (di=yi-zi) presenta mayor amplitud para los AGVs, seguido por Ac, Pr,
Bu y DM (Cuadro 4). Esto también puede observarse en las Figuras 11 y 12.
Cuadro 4. Medidas descriptivas de las diferencias entre los valores observados y
predichos para las DM, Ac, Pr, Bu y AGVs en el Rumen y Ciego.
Medidas
descriptivas
n
Media ( d )
Desviación
estándar ( Sd )
Rango
(máx-mín)
Medidas
descriptivas
n
Media ( d )
DDM(%)
Rumen
DAc(%) DPr(%)
DBu(%)
DAGVs(mM)
3
6.967
1.155
8
4.85
9.449
8
-11.896
5.373
8
6.75
4.837
5
86.551
25.274
2
22.9
14
12.8
55.687
DDM(%)
Ciego
DAc(%)
DPr(%)
DBu(%)
DAGVs(mM)
3
-61.167
3
-6
3
0.333
3
-57.063
3
5.667
99
Desviación
19.107
1
0.577
1.155
estándar ( Sd )
Rango
38
2
1
2
(máx-mín)
Una D al inicio de cada variable denota sus diferencias (di=yi-zi).
21.732
43.332
En las Figuras 13 y 14 se describe la exactitud de las predicciones de Wakax
POS en el Ciego para DM, Ac, Pr, Bu y AGVs respecto a la recta y=z. Las Figuras 15 y
16 describen la relación entre el sesgo (di=yi-zi) y los valores simulados (zi) para dichas
variables en el Ciego. De proyectar los puntos de las Figuras 13 y 14 en cada uno de
los ejes y de observar la magnitud del sesgo para cada predicción en las Figuras 15 y
16, se tiene en términos generales que las predicciones para: (a) DM fueron bastante
mayores a los observados y decrecen conforme crecen los observados, (b) Ac y Pr
fueron relativamente exactos, siendo mayores para Ac y menores para Pr, (d) Bu fueron
bastante exactos a los observados, y (e) AGVs fueron mayores a los observados y
decrecen conforme decrecen los observados. En las Figuras 15 y 16 se observa sesgo
proporcional para DM y AGVs.
Yi 100
90
y=z
80
70
DM(%)
60
Ac(%)
50
Pr(%)
40
Bu(%)
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Zi
Figura 13. Dispersión de los puntos (zi, yi) para DM, Ac, Pr y Bu en el Ciego. y=z es la
recta que representa la exactitud ideal.
100
Yi 180
160
y=z
140
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Zi
Figura 14. Dispersión de los puntos (zi, yi) para AGVs(mM) en el Ciego. y=z es la recta
que representa la exactitud ideal.
di 20
10
0
-10 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-20
DM(%)P
-30
Ac(%)P
-40
Pr(%)P
-50
Bu(%)P
-60
-70
-80
-90
Zi
Figura 15. Relación entre el sesgo (di=yi-zi) y los valores simulados o predichos (zi) para
DM, Ac, Pr y Bu en el Ciego.
101
di
0
-10
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
Zi
Figura 16. Relación entre el sesgo (di=yi-zi) y los valores simulados o predichos (zi) para
AGVs(mM) en el Ciego.
Del rango de las diferencias (di) para DM, Ac, Pr, Bu y AGVs en el Ciego, se
tiene que el sesgo (di=yi-zi) presenta mayor amplitud para los AGVs, seguido por DM,
Ac y Bu con igual rango y Pr (Cuadro 4). Esto también puede observarse en las Figuras
15 y 16.
Ahora se describirán la eficiencia de modelado (MEF) y el coeficiente de
determinación del modelo (CD), así como, los resultados obtenidos.
La estadística MEF es similar al coeficiente de correlación de Pearson (r), el cual
es interpretado como la proporción de la variación explicada por la recta de regresión
ajustada, mientras que la MEF es la proporción de la variación explicada por la recta
y=z, y en un ajuste perfecto ambas estadísticas tendrían un valor igual a uno (Tedeschi,
∧
2006). Sustituyendo y i por zi en la expresión de r se obtiene MEF:
2
∧
⎞
⎛
y
y
−
⎜
∑
i
i⎟
⎠
r = 1 − i =1n ⎝
2
∑ (yi − y )
n
i =1
102
n
n
MEF = 1 −
2
∑ (yi − zi )
i =1
n
∑ (y − y )
i =1
2
i
= 1−
∑ (d )
2
i
i =1
n
∑ (y − y )
2
i
i =1
∧
donde yi es el i-ésimo valor observado, yi es el i-ésimo valor predicho por la recta de
regresión ajustada, y es la media aritmética de los valores observados y zi es el i-ésimo
valor simulado o predicho por el modelo a validar. La cota superior de MEF es uno
(Loague y Green, 1991; Tedeschi, 2006), pero puede ser negativo (Loague y Green,
1991) y su cota inferior (teórica) es menos infinito (Tedeschi, 2006). Si MEF<0 los
valores predichos por el modelo son peor que sencillamente usar la media observada y
(Loague y Green, 1991). La MEF puede usarse como un buen indicador de la bondad
del ajuste entre los valores observados y simulados (Mayer y Butler, 1993).
El coeficiente de determinación del modelo (CD) es el cociente de la variación
total de los datos observados entre el total de las diferencias al cuadrado de los valores
simulados respecto a la media de los datos observados.
n
CD =
∑ (y − y )
i =1
n
2
i
∑ (z − y )
i =1
2
i
En un ajuste perfecto CD valdría uno. La estadística CD indica la proporción de la
variación total de los datos observados explicada por los datos simulados (Loague y
Green, 1991). Un valor de CD cercano a uno indica una mejora en las predicciones del
modelo, CD>1 es un indicador de baja predicción y si CD<1 de sobrepredicción
(Tedeschi, 2006).
Debido a que todos los valores de MEF resultaron menores que cero (Cuadro 5),
se tiene que sería mejor usar la media de los valores observados para cada variable
que las predicciones por el modelo, ya sea en el Rumen o en el Ciego. Los dos valores
más grandes de MEF para las variables consideradas en el Rumen corresponden a Ac
(-0.301) y a Bu (-1.357), los cuales indican una mejor exactitud respecto a la recta y=z
para dichas variables (Figura 9). Para el Ciego, el valor más grande de MEF
103
corresponde a Bu (-0.5), la cual indica una mejor exactitud respecto a la recta y=z para
dicha variable (Figura 13).
Según Tedeschi (2006) un valor de CD cercano a uno indica una mejora en las
predicciones del modelo, CD>1 es un indicador de baja predicción y si CD<1 de
sobrepredicción. Por lo tanto de los valores de CD para las variables consideradas en el
Rumen se tiene que el modelo: (a) predice mejor para Bu (0.585), (b) sobrepredice las
variables DM (0.029), AGVs (0.05), Pr (0.117) y Bu (0.585), y (c) proporciona baja
predicción para Ac (3.321) (Cuadro 5). Aunque de las Figuras 9-12 se observó que las
predicciones para: (a) DM fueron menores a los observados, la cual es contrario a lo
indicado con el CD, (c) Pr fueron mayores a los observados, (d) Bu fueron mayores a
los observados, siendo mejor para valores observados bajos, y (e) AGVs fueron
menores a los observados, siendo contrario a lo señalado con el CD. Así, algunas
veces con el CD se obtienen resultados contrarios a lo observado en las técnicas
gráficas de validación y en otras ocasiones resultados coincidentes. Esto se debe a que
con el CD se comparan las distancias al cuadrado de los valores observados y
predichos respecto a la media de los valores observados ( y ), y por consiguiente
depende de que tan lejos se encuentran dichos valores de y . Respecto a los valores de
CD para las variables consideradas en el Ciego se tiene que el modelo: (a)
sobrepredice las variables DM (0.001), AGVs (0.028), Ac (0.025) y Pr (0.007), y (b)
proporciona baja predicción para Bu (2) (Cuadro 5). Aunque de las Figuras 13-16 se
observó que las predicciones para: (a) DM fueron bastante mayores a los observados
(coincide con CD) y decrecen conforme crecen los observados, (b) Ac y Pr fueron
relativamente exactos, siendo mayores para Ac (coincide con CD) y menores para Pr
(contrario a CD), (d) Bu fueron bastante exactos a los observados, y (e) AGVs fueron
mayores a los observados (coincide con CD) y decrecen conforme decrecen los
observados.
104
Cuadro 5. Valores de las estadísticas MEF y CD para las variables DM, AGVs, Ac, Pr y
Bu en el Rumen y Ciego.
Rumen
Estadística DM
AGVs
Ac
Pr
n=3
n=5
n=8
n=8
MEF
-30.772
-19.593
-0.301
-8.896
CD
0.029
0.050
3.321
0.117
15.633% 152mM
64.85% 22.354%
y
Ciego (n=3)
MEF
-1257.342 -30.448
-40.25
-144.5
CD
0.001
0.028
0.025
0.007
11.5%
77.667mM
72.333%
21.667%
y
y denota la media aritmética de los valores observados
Bu
n=8
-1.357
0.585
12.625%
-0.5
2
6%
De los resultados obtenidos por medio de la eficiencia de modelado (MEF) y del
coeficiente de determinación del modelo (CD), se sigue que la MEF proporciona
resultados consistentes con los obtenidos de las técnicas visuales de validación que el
CD.
105
6. CONCLUSIONES
La validación de modelos mecanísticos basada en: (i) el procedimiento original
de Freese (1960), (ii) los planteamientos de Rennie y Wiant (1978), Reynolds (1984), y
(iii) las modificaciones y extensiones presentadas en este trabajo, constituyen un
método estadístico formado por pruebas de hipótesis e intervalos de confianza, las
cuales representan una alternativa inferencial para determinar si las salidas del modelo
están suficientemente próximas a los valores observados del sistema real. El método
permite analizar datos provenientes de modelos que presenten o no sesgo en sus
pronósticos sin modificar la estructura del modelo, y donde el máximo error admisible es
expresado en las mismas unidades del valor real.
Se establecieron los supuestos, la estadística de prueba y el error crítico para el
planteamiento original y alternativo del procedimiento de Freese cuando el modelo
presenta o no sesgo en sus predicciones.
El establecimiento de la exactitud requerida con D~ N(µD , σD2 ) y en presencia de
SC puede formularse de dos maneras para e y α especificadas: (i) P(D ≤ e ) ≥ 1 − α se
traduce
en
σD2 ≤
e2
,
χ12,1− α
y
(ii)
(
)
P( W ≤ e ) = P D − D ≤ e ≥ 1 − α
se
traduce
en
2
⎛ n ⎞ e
σD2 ≤ ⎜
⎟ 2 . Siendo (i) el más práctico de establecer.
⎝ n − 1⎠ χ1,1− α
En los procedimientos para el caso en que el modelo presenta SP, se supone
D~ N(µD , σD2 ) que se traduce en εRi ~ NI(0, σR2 ) para el modelo Di = β0 + β1Zi + εRi . La SCE
en el numerador de la estadística de prueba corresponde a la del modelo estimado
∧
∧
∧
∧
∧
∧
Di = β0 + β1 Zi y no a Yi = β01 + β11 Zi como presentó Freese (1960).
106
Se presentó un procedimiento alternativo al de Reynolds (1984) para determinar
el ICB para ε, el cuantil 1-α de la distribución de |D|. Se obtuvo a partir de un ICB del (1-
( ) = (σ
α’)100% para σ y de que la función τ σ
2
D
2
D
2
D
)
1
2
2
1,1− α
χ
= ε es monótona creciente.
Se determinaron en términos del error crítico para el planteamiento original y
alternativo, los ICB para el cuantil 1-α de la distribución de D − D y εR , cuando el
modelo presenta SC o SP respectivamente.
Las pruebas estadísticas y errores críticos para el planteamiento alternativo
representan un enfoque más conservador que el original en el sentido que permite un
valor más grande del máximo error admisible (e) para inferir que el modelo es aceptable
en predicción del sistema.
El error crítico a partir del planteamiento original o alternativo, puede emplearse
para comparar dos o más modelos y para validar un modelo en predicción de varias
variables.
El modelo Wakax POS puede usarse para predecir la GPP por día de bovinos
alimentados con caña de azúcar, maíz quebrado y/o melaza en una zona tropical de
México, aunque requerirá un ajuste con base a la presencia de SC para incrementar la
exactitud en sus pronósticos. Desde la perspectiva de la regresión el modelo presenta
discrepancia por traslación, es un caso inexacto y preciso.
El sesgo de las predicciones en el Rumen presenta mayor amplitud para los
AGVs, seguido por Ac, Pr, Bu y DM. En el Ciego el sesgo tiene mayor amplitud para los
AGVs, seguido por DM, Ac y Bu con igual rango y Pr.
A diferencia del coeficiente de determinación del modelo (CD), la eficiencia de
modelado (MEF) proporciona resultados consistentes con los obtenidos de las técnicas
visuales de validación.
107
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1-38.
115
ANEXO I
I.A. Descripción del modelo mecanístico del sistema crecimiento bacteriano, Turix
El modelo dinámico mecanístico Turix fue desarrollado para la estimación de dos
parámetros cinéticos y uno de rendimiento de ácidos grasos volátiles en un sistema
cerrado de crecimiento bacteriano ruminal. El modelo esta compuesto por 11 variables
de estado que describen el sistema (degradación del alimento, crecimiento y
fermentación bacteriana) (Vargas-Villamil et al., 2004). En la Figura I.1 y Cuadro I.1 se
presentan respectivamente un diagrama del modelo Turix y los símbolos usados. Su
desarrollo, descripción, evaluación matemática y evaluación de un sistema ruminal
basado en caña de azúcar por medio de Turix, se presenta con más detalle en VargasVillamil (2003), Vargas-Villamil et al. (2004) y Vargas-Villamil et al. (2005).
Fuente: Vargas-Villamil et al. (2004)
Figura I.1. Representación esquemática del modelo Turix.
Cuadro I.1. Símbolos usados en el diagrama del modelo Turix.
ND Fracción o fase lentamente degradable del alimento
NS Fracción o fase rápidamente degradable del alimento
SC Fracción o fase inmediatamente degradable del alimento
Sm Sustrato microbiano
L Sustrato intermedio
M Biomasa bacteriana
AGV Ácidos grasos volátiles
AGV + CO2 Productos de la fermentación
Vargas-Villamil et al. (2004)
116
I.B. Notación empleada en el modelo Wakax POS
Cuadro I.2. Notación y abreviaciones empleadas en el modelo Wakax POS con
excepción del submodelo de Crecimiento animal.
(
C
b
D
Sup
Sub
Sup
General CbDSub
Compartimiento o submodelo
Proceso
Descripción
Sección
Sustrato o tamaño de partícula
)
Entrada (CD)
C
D
Co, Pa, ZC, Z, O
In, We (mg/h o g)
(
Parámetro ajustado CbDSup
Sub
C
b
D
Sup
Sub
Co, Pa, ZC, O
c, y, f (ml/h*mg o g/g)
C
R, C
Sm, AGV, Ac, Pr, Bu, Va
(
Parámetro CbDSup
Sub
C
b
D
Sup
Sub
D
)
Co, Pa, ZC, Z, O
i, b, d, p, a (g/g o 1/h)
C
R, C, D
Sm, p, g, l, MS
Constante (D)
InVoRu, InVoCi, SiBa, DiPa, DiZC (ml/g o 1/h)
(
Variable de estado CDSup
Sub
C
D
Sup
Sub
)
Co, Pa, ZC
C, Q (mg o mg/ml, )
R, C, D
Sm, L, M, Ac, Pr, Bu, Va, CO2, MS, U, W, V, Fi
(
Flujo CDSup
C
D
Sup
)
)
Co, Pa, ZC, Z, O
Descripción del proceso de la variable de estado x a y, Ex, In, D (mg/ml*h)
R, C, D, A
117
Variable auxiliar (D)
Descripción de la variable
D
Compartimiento o submodelo
Co
Concentrado
Pa
Pasto
ZC
Caña de azúcar
Z
Melaza
O
No relacionado a un
compartimiento o
submodelo específico
c
y
f
i
d
p
a
b
Proceso
Substrato de salida
Rendimiento de AGV
Coeficiente de fermentación
Entrada de substrato en fracción de MS
Tasa de degradación
Tasa de pasaje
Tasa de absorción
Digestibilidad
Descripción¥
In
Ex
D
We
C
Ingreso al sistema
Salida del sistema
Substrato degradado
Peso del animal
Sup
Concentración del substrato x ( CbCx )
Q
SiBa
InVon
Dii
Von
in
Cantidad del substrato x ( CbQ x )
Síntesis microbial
Índice de volumen en n.
Tasa de reducción de la partícula de i
Volumen en n
Entrada en n de substrato en proporción de volumen en n
relacionado con i
Tasa de pasaje en n de la partícula media relacionado a i
Concentración en n de MS relacionado con i
Flujo de la concentración de Sm y M a través de n relacionado con i
Flujo de la cantidad de Sm y M a través de n relacionado con i
Fracción no degradable de i
Concentration de j dentro de n relacionado con i
Fracción de j en el flujo a Ciego relacionado con i
ipCnm
ismCn
iFluCSmMpn
iFluQSmMpn
Uni
iCnj
ijFlu
Sección
R Rumen
Sup
D
Intestino
C
Ciego
Substrato
p
Partícula pequeña
g
Partícula grande
Sm Substrato microbial
AGV Ácidos grasos volátiles
M
Biomasa
MS
Materia seca
L
Metabolito intermedio U
Fracción no degradable
CO2 Dióxido de carbono
Va
Valerato
W
Biomasa ruminal dentro del Ciego
¥
l
Ac
V
Bu
Fi
Pr
líquido
Acetato
Partícula reducida
Butirato
Fibra
Propionato
i = Co (Concentrado), Pa (Pasto), ZC (Caña de azúcar), Z (Melaza)
118
n = Ru (Rumen), D (Intestino), Ci (Ciego), O (Compartimiento o submodelo no definido)
j = M (Biomasa), Ac (Acetato), Pr (Propionato), Butirato (Bu), Sm (Substrato microbial),
MS (Materia seca).
Cuadro I.3. Notación y abreviaciones empleadas en el submodelo de Crecimiento
animal.
Sup
General CDSub
C
Compartimiento o submodelo
D
Descripción
Sup
Sección
Sub
Sustrato
(
)
Entrada (CD)
C
D
O
We (g)
D
Descripción de la constante
Constante (D)
(
Variable de estado CDSup
Sub
C
D
Sup
Sub
)
O
Q (molo o g)
A
aa, ACA, Pal, Fa
(
Flujo CDSup
)
C
D
Sup
O
Descripción del proceso de la variable de estado x a y, Ex, In, D (mol o g/h)
A
D
Variable auxiliar (D)
Descripción de la variable
Compartimiento o submodelo
O
No relacionado a un compartimiento o submodelo específico
Ex
In
We
Q
Indxy
xy
PMx
Retx
Descripción de constantes
Salida del sistema
Ingreso al sistema
Peso del animal
Sup
Cantidad del substrato x ( CbQ x )
Índice de conversión de y a x
Proporción de x dentro de y
Peso molecular de x
Eficiencia de retención de x
119
Reqxsy
Forxoy
IndMan
MxA
xi
xsy
xdy
xty
Indxy
xMan
Retx
xDa
Sección
A Animal
Requerimiento de x durante la síntesis de y
Formación de x durante la oxidación de y
Energía para “mantenimiento” en relación a su peso metabólico
(kg^.75)
Descripción de variables auxiliares
Moles de x absorbidos
Cantidad de x dentro del compartimiento i
Gasto de x por mol de y sintetizada
x formada por mol de y degradada
x equivalente en mol de y
Índice de conversión de y a x
Moles (o equivalente) de x utilizado para “mantenimiento”
Eficiencia de retención de x
Incremento promedio diario de x
aa aminoácido
Substrato
ACA Acetil Coenzima A
Pal Palmitato
x o y:
Glu = Glucosa, Pro = Proteína, M = Biomasa, MS = Materia Seca, aa = aminoácido,
ATP = Trifosfato de Adenosina, ACA = Acetil Coenzima A, Ac = Acetato, Pr =
Propionato, Bu = Butirato, Pal = Palmitato, Fa = Grasa, Ga = Ganancia de peso
i: A = Animal
120
I.C. Descripción del modelo Wakax POS
A continuación se definen cinco “funciones” llamadas Turix (T), fSup, fD, f1R y
f2C que serán referidas en los submodelos.
Sea la “función” Turix definida por:
⎞
⎛ d CSm d CM d CAc d CPr d CBu d CVa d CL d CCO 2
⎜
; k M, SmL , k LM, YPAGV ,SF , c Ac,Glu , c Pr,Glu , ⎟
,
,
,
,
,
,
,
T⎜ dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎟
⎜c
,
c
⎠
⎝ Bu,Glu Va,Glu
donde las ocho expresiones diferenciales corresponden a las variables de estado del
modelo Turix (Vargas-Villamil et al., 2004). Las siete constantes y parámetros
localizados después del punto y coma, se reescriben en notación según el submodelo y
sección correspondiente del modelo Wakax POS. En general para el submodelo C (Co,
Pa, CZ) sección Sup (R, C):
k M,SmL = CcCSup
Sm ,
k LM = siBa ,
YPAGV ,SF = CyCSup
AGV ,
c Ac,Glu = CfCSup
Ac ,
Sup
c Pr,Glu = CfCPr
,
Sup
c Bu,Glu = CfCBu
, c Va,Glu = CfCSup
Va .
Sea la “función” f Sup definida por:
Sup
Sup
⎛ d CCMSup d CCSup
d CCSup
d CCBu
d CCPr
Sup ⎞
Ac
Va
⎜
⎟
; (CVA )MSup , (CVA )Sup
,
,
,
,
Ac , (CVA )Pr ,
Sup
f ⎜ dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎜ (CVA )Sup , (CVA )Sup ; (CCP)Sup
⎟
Bu
Va
⎝
⎠
donde las cinco expresiones diferenciales corresponden a las variables de estado M,
Ac, Pr, Bu y Va para el submodelo C (Co, Pa, CZ) sección Sup (R, C). (CVA )Sup
Sub con
Sub=M, Ac, Pr, Bu, Va, denota la(s) variable(s) auxiliar(es) para la variable de estado
Sub y sección Sup en el submodelo C. (CCP)Sup denota las constantes y parámetros en
el submodelo C sección Sup.
Ecuaciones diferenciales para las variables de estado M, Ac, Pr, Bu y Va en el
submodelo C sección Rumen (Sup=R):
d CCRM
= −CMMR
dt
d CCRAc
= −CAcAc R − CAcABR
dt
121
d CCRPr
= −C Pr Pr R − C Pr GluR
dt
d CCRBu
= −CBuBuR − CBuABR
dt
d CCRVa
= −CVaVaR − CVaEx R
dt
Variables auxiliares para las variables de estado M, Ac, Pr, Bu y Va en el submodelo C
sección Rumen (Sup=R):
(CVA )RM : CMMR = CpCRm * CCRM
(CVA )RAc : CAcAc R = CpCRl * CCRAc ; CAcABR = CaCRAc * CCRAc
(CVA )RPr : C Pr Pr R = CpCRl * CCRPr ; C Pr GluR = CaCRPr * CCRPr
(CVA )RBu : CBuBuR = CpCRl * CCRBu ; CBuABR = CaCRBu * CCRBu
(CVA )RVa : CVaVaR = CpCRl * CCRVa ; CVaEx R = CaCRVa * CCRVa
(CCP)R se especifican al final de la descripción de cada submodelo C sección Rumen
(Sup=R).
Ecuaciones diferenciales para las variables de estado M, Ac, Pr, Bu y Va en el
submodelo C sección Ciego (Sup=C):
d CCMC
= −CMEx C
dt
d CCCAc
= −CAcAc C − CAcABC
dt
C
d CCPr
= −C Pr Pr C − C Pr GluC
dt
C
d CCBu
= −CBuBuC − CBuABC
dt
d CCCVa
= −CVaVa C − CVaEx C
dt
Variables auxiliares para las variables de estado M, Ac, Pr, Bu y Va en el submodelo C
sección Ciego (Sup=C):
(CVA )MC : CMEx C = CpCRm * CCMC
122
(CVA )CAc : CAcAc C = OpClC * CCCAc ; CAcABC = OaCCAc * CCCAc
C
C
C
C
(CVA )Pr
: C Pr Pr C = OpClC * CCPr
; C Pr GluC = OaCPr
* CCPr
C
C
C
C
(CVA )Bu
: CBuBuC = OpClC * CCBu
; CBuABC = OaCBu
* CCBu
(CVA )CVa : CVaVaC = OpClC * CCCVa ; CVaEx C = OaCCVa * CCCVa
(CCP)C se especifican al final de la descripción de cada submodelo C sección Ciego
(Sup=C).
Sea la “función” f D definida por:
⎛ d CCDSm d CCDMS d CCDM d CCDAc d CCDPr d CCDBu d CCDVa
⎞
⎜
,
,
,
,
,
,
; (CVA )DSm , (CVA )DMS ⎟
D
f ⎜ dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎜ (CVA )D , (CVA )D , (CVA )D , (CVA )D , (CVA )D , (CRMTP); (CCP)D
⎟
M
Ac
Pr
Bu
Va
⎝
⎠
donde las siete expresiones diferenciales corresponden a las variables de estado Sm,
MS, M, Ac, Pr, Bu y Va para el submodelo C (Co, Pa, CZ) sección Intestino (Sup=D).
CRMTP denota la razón media del tamaño de la partícula en el submodelo C. (CVA )DSub
con Sub=Sm, MS, M, Ac, Pr, Bu, Va, denota la(s) variable(s) auxiliar(es) para la variable
de estado Sub y sección D en el submodelo C. (CCP)D denota las constantes y
parámetros para el submodelo C sección D.
Ecuaciones diferenciales para las variables de estado Sm, MS, M, Ac, Pr, Bu y Va en el
submodelo C sección Intestino (Sup=D):
d CCDSm
= CSmSmD − CSmGluD − CSmSmDC
dt
d CCDMS
= CMSMSD − CMSGluD − CMSMSDC
dt
d CCDM
= CMMD − CMaaD − CMSmDC
dt
d CCDAc
= CAcAc D − CAcABD − CAcAc DC
dt
d CCDPr
= C Pr Pr D − C Pr GluD − C Pr Pr DC
dt
d CCDBu
= CBuBuD − CBuABD − CBuBuDC
dt
123
d CCDVa
= CVaVaD − CVaEx D − CVaVaDC
dt
Variables auxiliares para las variables de estado Sm, MS, M, Ac, Pr, Bu y Va en el
submodelo C sección Intestino (Sup=D):
(CVA )DSm : CSmSmD = CSmSmR ; CSmGluD = CCDSm * CpCDl * CbCDSm ;
CSmSmDC = CCDSm * CpCDl * (1 − CbCDSm )
(CVA )DMS : CMSMSD = CUMSR + CMSMSR + CVMSR ; CMSGluD = CpCDm * CbCDM * CCDMS ;
CMSMSDC = CCDMS * CpCDm * (1 − CbCDMS )
(CVA )DM : CMMD = CMMR ; CMaaD = CCDM * CpCDm * CbCDM;
CMSmDC = CCDM * CpCDm * (1 − CbCDM )
(CVA )DAc : CAcAc D = CAcAc R ; CAcABD = CaCDAc * CCDAc ; CAcAc DC = CpCDl * CCDAc
(CVA )DPr : C Pr Pr D = C Pr Pr R ; C Pr GluD = CaCDPr * CCDPr ; C Pr Pr DC = CpCDl * CCDPr
(CVA )DBu : CBuBuD = CBuBuR ; CBuABD = CaCDBu * CCDBu ; CBuBuDC = CpCDl * CCDBu
(CVA )DVa : CVaVaD = CVaVaR ; CVaEx D = CaCDVa * CCDVa ; CVaVaDC = CpCDl * CCDVa
(
)
CRMTP : CpCDm = CpCDp + CpCDg / 2
(CCP)D se especifican al final de la descripción de cada submodelo C sección Intestino
(Sup=D).
Sea la “función” f1R definida por:
⎛ d CCRMS d CCRV d CCRU
⎞
f1R ⎜⎜
,
,
; (CVA )RMS , (CVA )RV , (CVA )RU ; (CCP)1R ⎟⎟
dt
dt
⎝ dt
⎠
donde las tres expresiones diferenciales corresponden a las variables de estado MS, V
y U para el submodelo C (Pa, CZ) sección Rumen (Sup=R). (CVA )RSub con Sub=MS, V,
U denota la(s) variable(s) auxiliar(es) para la variable de estado Sub y sección R en el
submodelo C. (CCP)1R denota las constantes y parámetros en el submodelo C sección
R.
Ecuaciones diferenciales para las variables de estado MS, V y U en el submodelo C
sección Rumen (Sup=R):
124
d CCRMS
= CInMSR − CMSSmR − CMSV R − CMSMSR
dt
d CCRV
= CMSV R − CVSmR − CVMSmR
dt
d CCRU
= CInUR − CUMSR
dt
Variables auxiliares para las variables de estado MS, V y U en el submodelo C sección
Rumen (Sup=R):
(CVA )RMS : CInMSR = CRu * CiCRMS ; CRu = (CIn / VoRu) / 24; CMSSmR = CdCRMS * CCRMS ;
CMSV R = DiC * CCRMS ; CMSMSR = CpCRg * CCRMS
(CVA )RV : CVSmR = CdCRMS * CCRV ; CVMSR = CpCRp * CCRV
(CVA )RU : CInUR = CRu * UnC; UnC = 1 − CiCRMS − CiCRSm ; CUMSR = CpCRg * CCRU
CpCRm = (CpCRg + CpCRp ) / 2
(CCP)1R se especifican al final de la descripción de cada submodelo C sección Rumen
(Sup=R).
Sea la “función” f2C definida por:
C
⎛ d CCMS
⎞
d CCCW
C
f2C ⎜⎜
,
; (CVA )MS
, (CVA )CW ; (CCP)C2 ⎟⎟
dt
⎝ dt
⎠
donde las dos expresiones diferenciales corresponden a las variables de estado MS y
W para el submodelo C (Pa, CZ) sección Ciego (Sup=C). (CVA )CSub con Sub=MS, W
denota la(s) variable(s) auxiliar(es) para la variable de estado Sub y sección C en el
submodelo C. (CCP)C2 denota las constantes y parámetros en el submodelo C sección
C.
Ecuaciones diferenciales para las variables de estado MS y W en el submodelo C
sección Ciego (Sup=C).
C
d CCMS
= CMSMSC − CMSSmC − CMSEx C
dt
d CCCW
= CMWC C − CWSm C − CWEx DC
dt
125
Variables auxiliares para las variables de estado MS y W en el submodelo C sección
Ciego (Sup=C):
C
(CVA )MS
: CMSMSC = CCi * CMSFlu; CCi = CFluQSmMpC / VoCi;
CMSFlu = CMSMSDC / CFluCSmMpC; CFluQSmMpC = CFluCSmMpC * VoRu;
VoCi = We * InVoCi; CFluCSmMpC = CMSmDC + CMSMSDC + CSmSmDC ;
C
C
C
CMSSmC = CdCMS
* CCMS
; CMSEx C = CpCpC * CCMS
(CVA )CW : CMWC C = CCi * CMFlu; CMFlu = CMSmDC / CFluCSmMpC;
CWSm C = CdCCW * CCCW ; CWEx C = CpCpC * CCCW ; CpCCm = (CpCpC + OpClC ) / 2
(CCP)C2 se especifican al final de la descripción de cada submodelo C sección Ciego
(Sup=C).
En los siguientes cuadros se describe cada submodelo con sus secciones.
Cuadro I.4. Submodelo Concentrado (Co).
Sección Rumen
Variable de estado Sm:
dCoCRSm
= Co ln SmR − CoSmSmR − CoSmGluR
dt
Variables auxiliares:
Co ln SmR = CoRu * CoiCRSm
CoRu = (CoIn/VoRu)/24
VoRu = InVoRu*We
CopCRm = (CopCRg + CopCRp ) / 2
CoSmSmR = CopCRl * CoCRSm
CoSmGluR = CoaCRSm * CoCRSm
Las ecuaciones diferenciales y variables auxiliares para las variables de estado M, Ac,
Pr, Bu y Va del submodelo Concentrado sección Rumen se obtienen de las “funciones”
Turix y fSup:
⎞
⎛ d CSm d CM d CAc d CPr d CBu d CVa d CL d CCO 2
⎜
; k M, SmL , k LM, YPAGV ,SF , c Ac,Glu , c Pr,Glu , ⎟
,
,
,
,
,
,
,
T⎜ dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎟
⎜c
⎠
⎝ Bu,Glu , c Va,Glu
Sup
Sup
⎛ d CCMSup d CCSup
d CCPr
d CCBu
d CCSup
Sup ⎞
Ac
Va
⎟
⎜
,
,
,
,
; (CVA )MSup , (CVA )Sup
Ac , (CVA )Pr ,
Sup
f ⎜ dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎟
⎜ (CVA )Sup , (CVA )Sup ; (CCP)Sup
Bu
Va
⎠
⎝
al sustituir C=Co y Sup=R.
126
Constantes y parámetros (CCP)R :
InVoRu, CoiCRSm , CopCRg , CopCRp , CopCRl , CoaCRSm , CoaCRAc , CoaCRPr , CoaCRBu , CoaCRVa
Entradas: Modelo: CoIn, We.
Sección Ciego
Variable de estado Sm:
dCoCCSm
= CoSrSmC − CoSmEx C
dt
Variable auxiliar:
CoSrSmC = CoCi
CoCi = CoFluQSmMpC/VoCi
CoFluQSmMpC = CoFluCSmMpC*VoRu
CoFluCSmMpC = CoMSmDC + CoSmSmDC
VoCi = We*InVoCi
CopCRm = (CopCpC + CopClC ) / 2
CoSmEx C = OpClC * CoCCSm
Las ecuaciones diferenciales y variables auxiliares para las variables de estado M, Ac,
Pr, Bu y Va del submodelo Concentrado sección Ciego se obtienen de las “funciones”
Turix y fSup:
⎞
⎛ d CSm d CM d CAc d CPr d CBu d CVa d CL d CCO 2
⎜
; k M, SmL , k LM, YPAGV ,SF , c Ac,Glu , c Pr,Glu , ⎟
,
,
,
,
,
,
,
T⎜ dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎟
⎜c
⎠
⎝ Bu,Glu , c Va,Glu
Sup
Sup
⎛ d CCMSup d CCSup
d CCPr
d CCBu
d CCSup
Sup ⎞
Ac
Va
⎟
⎜
,
,
,
,
; (CVA )MSup , (CVA )Sup
Ac , (CVA )Pr ,
Sup
f ⎜ dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎟
⎜ (CVA )Sup , (CVA )Sup ; (CCP)Sup
Bu
Va
⎠
⎝
al sustituir C=Co y Sup=C:
C
C
Constantes y parámetros (CCP)C : InVoCi, CopCpC , OpClC , OaCCAc , OaCPr
, OaCBu
, OaCCVa
Entradas: Otro submodelo o sección: CoMSmDC , CoSmSmDC , VoRu
Sección Intestino
Las ecuaciones diferenciales y variables auxiliares para las variables de estado Sm, M,
Ac, Pr, Bu y Va del submodelo Concentrado sección Intestino se obtienen de la
“función” fD:
⎛ d CCDSm d CCDM d CCDAc d CCDPr d CCDBu d CCDVa
⎞
⎜
,
,
,
,
,
; (CVA )DSm , (CVA )DM, (CVA )DAc , ⎟
D
f ⎜ dt
dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎜ (CVA )D , (CVA )D , (CVA )D , (CRMTP); (CCP)D
⎟
Pr
Bu
Va
⎝
⎠
127
al sustituir C=Co, Sup=D y de no tomar en cuenta las que corresponden a MS.
Constantes y parámetros (CCP)D :
CopCDp , CopCDl , CobCDSm , CobCDM, CoaCDAc , CoaCDPr , CoaCDBu , CoaCDVa
Entradas: Otro submodelo o sección:
CoSmSmR , CoMMR , CoAcAc R , CoVaVaR , Co Pr Pr R , CoBuBuR
Cuadro I.5. Submodelo Pasto (Pa).
Sección Rumen
Variable de estado Sm:
dPaCRSm
= PaMSSmR + Pa ln SmR + PaVSmR − PaSmSm R − PaSmGluR
dt
Variable auxiliar:
Pa ln SmR = PaRu * PaiCRSm
PaSmSmR = PapCRl * PaCRSm
PaSmGluR = PaaCRSm * PaCRSm
PapCRm = (PapCRg + PapCRp ) / 2
Las ecuaciones diferenciales y variables auxiliares para las variables de estado M, Ac,
Pr, Bu y Va del submodelo Pasto sección Rumen se obtienen de las “funciones” Turix y
fSup:
⎞
⎛ d CSm d CM d CAc d CPr d CBu d CVa d CL d CCO 2
⎜
; k M, SmL , k LM, YPAGV ,SF , c Ac,Glu , c Pr,Glu , ⎟
,
,
,
,
,
,
,
T⎜ dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎟
⎜c
⎠
⎝ Bu,Glu , c Va,Glu
Sup
Sup
⎛ d CCMSup d CCSup
d CCPr
d CCBu
d CCSup
Sup ⎞
Ac
Va
⎟
⎜
,
,
,
,
; (CVA )MSup , (CVA )Sup
Ac , (CVA )Pr ,
Sup
f ⎜ dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎟
⎜ (CVA )Sup , (CVA )Sup ; (CCP)Sup
Bu
Va
⎠
⎝
al sustituir C=Pa y Sup=R.
Constantes y parámetros (CCP)R :
PapCRg , PapCRp , PapCRl , PaaCRSm , PaiCRSm , PaaCRAc , PaaCRPr , PaaCRBu , PaaCRVa
Entradas: Otro submodelo o sección: PaMSSmR , PaRu
Las ecuaciones diferenciales y variables auxiliares para las variables de estado MS, V
y U del submodelo Pasto sección Rumen se obtienen de la “función” f1R :
⎛ d CCRMS d CCRV d CCRU
⎞
f ⎜⎜
,
,
; (CVA )RMS , (CVA )RV , (CVA )RU ; (CCP)1R ⎟⎟
dt
dt
⎝ dt
⎠
R
1
128
al sustituir C=Pa y Sup=R. Donde a la primera variable auxiliar en (CVA )RMS se le suma
CoInMSR.
Constantes y parámetros (CCP)1R : CoiCRFi, Dipa, PapCRg , PapCRp
Entradas: Modelo: PaIn, PaiCRMS , PaiCRSm
Otro submodelo o sección: CoRu, CoInMSR , PadCRMS , CoInMSR, VoRu
Sección Ciego
Variable de estado Sm:
dPaCCSm
= PaMSSmC + PaWSSm C + PaSmSm C − PaSmEx C
dt
Variable auxiliar:
PaSmSm C = PaSmFlu
PaSmEx C = OpClC * PaCCSm
PapCRm = (PapCpC + PapClC ) / 2
Las ecuaciones diferenciales y variables auxiliares para las variables de estado M, Ac,
Pr, Bu y Va del submodelo Pasto sección Ciego se obtienen de las “funciones” Turix y
fSup:
⎞
⎛ d CSm d CM d CAc d CPr d CBu d CVa d CL d CCO 2
⎜
,
,
,
,
,
,
,
; k M, SmL , k LM, YPAGV ,SF , c Ac,Glu , c Pr,Glu , ⎟
T⎜ dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎟
⎜c
,
c
⎠
⎝ Bu,Glu Va,Glu
Sup
Sup
⎛ d CCMSup d CCSup
d CCPr
d CCBu
d CCSup
Sup ⎞
Ac
Va
⎟
⎜
,
,
,
,
; (CVA )MSup , (CVA )Sup
Ac , (CVA )Pr ,
Sup
f ⎜ dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎟
⎜ (CVA )Sup , (CVA )Sup ; (CCP)Sup
Bu
Va
⎠
⎝
al sustituir C=Pa y Sup=C.
C
C
Constantes y parámetros (CCP)C : PapCpC , OpClC , OaCCAc , OaCPr
, OaCBu
, OaCCVa
Entradas: Otro submodelo o sección : PaSmFlu
Las ecuaciones diferenciales y variables auxiliares para las variables de estado MS y
W del submodelo Pasto sección Ciego se obtienen de la “función” f2C :
C
⎛ d CCMS
⎞
d CCCW
C
f2C ⎜⎜
,
; (CVA )MS
, (CVA )CW ; (CCP)C2 ⎟⎟
dt
⎝ dt
⎠
al sustituir C=Pa y Sup=C.
C
Constantes y parámetros (CCP)C2 : PadCMS
, PapCpC , OpClC , PadCCW
129
Entradas: Modelo: We
Otro submodelo o sección: InVoCi, VoRu, PaMSSmDC , PaSmSmDC , PaMSMSDC ,
PaFluCSmMpC
Sección Intestino
Las ecuaciones diferenciales y variables auxiliares para las variables de estado Sm,
MS, M, Ac, Pr, Bu y Va del submodelo Pasto sección Intestino se obtienen de la
“función” fD:
⎛ d CCDSm d CCDMS d CCDM d CCDAc d CCDPr d CCDBu d CCDVa
⎞
⎜
,
,
,
,
,
,
; (CVA )DSm , (CVA )DMS ⎟
D
f ⎜ dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎜ (CVA )D , (CVA )D , (CVA )D , (CVA )D , (CVA )D , (CRMTP); (CCP)D
⎟
M
Ac
Pr
Bu
Va
⎝
⎠
al sustituir C=Pa y Sup=D.
Constantes y parámetros (CCP)D :
PabCDM, PabCDSm , PabCDMS , PapCDg , PapCDp , PapCDl , PaaCDAc , PaaCDPr , PaaCDBu , PaaCDVa
Entradas: Otro submodelo o sección:
Pa Pr Pr R , PaAcAc R , PaMMR , PaSmSm R , PaVaVaR , PaaCDVa , PaaCDBu , PaBuBuR
Cuadro I.6. Submodelo Caña de azúcar (CZ).
Sección Rumen
Variable de estado Sm:
dCZCRSm
= CZMSSmR + CZInSmR + CZVSmR − CZSmSmR − CZSmGluR
dt
Variable auxiliar:
CZInSmR = CZRu * CZiCRSm
CZSmSmR = CZpCRl + CZCRSm
CZSmGluR = CZaCRSm * CZCRSm
CZpCRm = (CZpCRg + CZpCRp ) / 2
Las ecuaciones diferenciales y variables auxiliares para las variables de estado M, Ac,
Pr, Bu y Va del submodelo Caña de azúcar sección Rumen se obtienen de las
“funciones” Turix y fSup:
⎞
⎛ d CSm d CM d CAc d CPr d CBu d CVa d CL d CCO 2
⎜
; k M, SmL , k LM, YPAGV ,SF , c Ac,Glu , c Pr,Glu , ⎟
,
,
,
,
,
,
,
T⎜ dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎟
⎜c
,
c
⎠
⎝ Bu,Glu Va,Glu
Sup
Sup
⎛ d CCMSup d CCSup
d CCPr
d CCBu
d CCSup
Sup ⎞
Ac
Va
⎟
⎜
,
,
,
,
; (CVA )MSup , (CVA )Sup
Ac , (CVA )Pr ,
Sup
f ⎜ dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎟
⎜ (CVA )Sup , (CVA )Sup ; (CCP)Sup
Bu
Va
⎠
⎝
130
al sustituir C=CZ y Sup=R.
Constantes y parámetros (CCP)R :
CZpCRg , CZpCRp , CZpCRl , CZaCRSm , CZiCRSm , CZaCRAc , CZaCRPr , CZaCRBu , CZaCRVa
Entradas: Otro submodelo o sección: CZMSSmR, ZCRu
Las ecuaciones diferenciales y variables auxiliares para las variables de estado MS, V
y U del submodelo Caña de azúcar sección Rumen se obtienen de la “función” f1R :
⎛ d CCRMS d CCRV d CCRU
⎞
f ⎜⎜
,
,
; (CVA )RMS , (CVA )RV , (CVA )RU ; (CCP)1R ⎟⎟
dt
dt
⎝ dt
⎠
al sustituir C=CZ y Sup=R.
R
1
Constantes y parámetros (CCP)1R : DiZC, CZpCRg , CZpCRp
Entradas: Modelo: CZdCRMS , CZIn, CZiCRMS , CZiCRSm
Otro submodelo o sección: VoRu
Sección Ciego
Variable de estado Sm:
dCZCCSm
= CZMSSmC + CZWSm C + CZSmSm C − CZSmEx C
dt
Variable auxiliar:
CZSmSmC = CZCi * CZSmFlu
CZSmEx C = OpClC * CZCCSm
CZpCRm = (CZpCpC + CZpClC ) / 2
Las ecuaciones diferenciales y variables auxiliares para las variables de estado M, Ac,
Pr, Bu y Va del submodelo Caña de azúcar sección Ciego se obtienen de las
“funciones” Turix y fSup:
⎞
⎛ d CSm d CM d CAc d CPr d CBu d CVa d CL d CCO 2
⎜
; k M, SmL , k LM, YPAGV ,SF , c Ac,Glu , c Pr,Glu , ⎟
,
,
,
,
,
,
,
T⎜ dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎟
⎜c
,
c
⎠
⎝ Bu,Glu Va,Glu
Sup
Sup
⎛ d CCMSup d CCSup
d CCPr
d CCBu
d CCSup
Sup ⎞
Ac
Va
⎟
⎜
,
,
,
,
; (CVA )MSup , (CVA )Sup
Ac , (CVA )Pr ,
Sup
f ⎜ dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎟
⎜ (CVA )Sup , (CVA )Sup ; (CCP)Sup
Bu
Va
⎠
⎝
al sustituir C=CZ y Sup=C.
C
C
Constantes y parámetros (CCP)C : CZpCpC , OpClC , OaCCAc , OaCPr
, OaCBu
, OaCCVa
131
Entradas: Otro submodelo o sección: CZSmFlu, CZCi, CZSmFlu
Las ecuaciones diferenciales y variables auxiliares para las variables de estado MS y
W del submodelo Caña de azúcar sección Ciego se obtienen de la “función” f2C :
C
⎛ d CCMS
⎞
d CCCW
C
f ⎜⎜
,
; (CVA )MS
, (CVA )CW ; (CCP)C2 ⎟⎟
dt
⎝ dt
⎠
al sustituir C=CZ y Sup=C.
C
2
C
Constantes y parámetros (CCP)C2 : CZdCMS
, CZdCCW , CZpCpC , OpClC
Entradas: Modelo: We
Otro submodelo o sección: CZMSMSDC , PaMSmDC , PaSmSmDC , InVoCi,
VoRu, PaFluCSmMpC
Sección Intestino
Las ecuaciones diferenciales y variables auxiliares para las variables de estado Sm,
MS, M, Ac, Pr, Bu y Va del submodelo Caña de azúcar sección Intestino se obtienen
de la “función” fD:
⎛ d CCDSm d CCDMS d CCDM d CCDAc d CCDPr d CCDBu d CCDVa
⎞
⎜
,
,
,
,
,
,
; (CVA )DSm , (CVA )DMS ⎟
D
f ⎜ dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
⎟
⎜ (CVA )D , (CVA )D , (CVA )D , (CVA )D , (CVA )D , (CRMTP); (CCP)D
⎟
M
Ac
Pr
Bu
Va
⎝
⎠
al sustituir C=CZ y Sup=D.
Constantes y parámetros (CCP)D :
CZbCDSm , CZbCDMS , CZbCDM, CZaCDAc , CZaCDPr , CZaCDBu , CZaCDVa , CZpCDg , CZpCDp , CZpCDl
Entradas: Otro submodelo o sección:
CZVaVaR , CZBuBuR , CZ Pr Pr R , CZAcAc R , CZMMR , CZSmSmR
Cuadro I.7. Submodelo Melaza.
Variable de estado Sm:
dZCDSm
= ZInSmR
dt
Variable auxiliar:
ZInSmR = ZiCRSm * ZRu
ZRu = (ZIn / VoRu) / 24
Constantes y parámetros: ZiCRSm
Entradas: Modelo: ZIn
Otro submodelo o sección: VoRu
132
Cuadro I.8. Ecuaciones descriptivas.
OsmCR = CosmCR + PasmCR + ZCsmCR
OsmCC = CosmCC + PasmCC + ZCsmCC
OCRM = CoCRM + PaCRM + ZCCRM
OCRAc = CoCRAc + PaCRAc + ZCCRAc
OCRPr = CoCRPr + PaCRPr + ZCCRPr
OCRBu = CoCRBu + PaCRBu + ZCCRBu
OCRVa = CoCRVa + PaCRVa + ZCCRVa
OCCM = CoCCM + PaCCM + ZCCCM
OCCAc = CoCCAc + PaCCAc + ZCCCAc
OCCPr = CoCCPr + PaCCPr + ZCCCPr
OCCBu = CoCCBu + PaCCBu + ZCCCBu
OCCVa = CoCCVa + PaCCVa + ZCCCVa
CosmCR = CoCRM + CoCRSm + CoCRAc + CoCRPr + CoCRBu + CoCRVa
C
C
CosmCC = CoCMC + CoCCSm + CoCCAc + CoCPr
+ CoCBu
+ CoCCVa
PasmCR = PaCRU + PaCRMS + PaCRV + PaCRSm + PaCRM + PaCRAc + PaCRPr + PaCRBu + PaCRVa
C
C
C
PasmCC = PaCMS
+ PaCCSm + PaCMC + PaCCAc + PaCPr
+ PaCBu
+ PaCCVa
CZsmCR = CZCRU + CZCRMS + CZCRV + CZCRSm + CZCRM + CZCRAc + CZCRPr + CZCRBu + CZCRVa
C
C
C
CZsmCC = CZCMS
+ CZCCSm + CZCMC + CZCCAc + CZCPr
+ CZCBu
+ CZCCVa
CoInMSR = CoRu * CoiCRFi
Cuadro I.9. Submodelo Crecimiento animal.
Proteína
ProA = (((CoMaaD+PaMaaD+ZCMaaD)*VoRu)*ProM)+(MSA*ProMS)
Ácidos grasos volátiles
AcA = AcR+AcD+AcC
AcR = (CoAcABR+PaAcABR+ZCAcABR)*VoRu
AcD = (CoAcABD+PaAcABD+ZCAcABD)*VoRu
AcC = (CoAcABC+PaAcABC+ZCAcABC)*VoCi
PrA = PrC+PrD+PrR
PrR = (CoPrGluR+PaPrGluR+ZCPrGluR)*VoRu
PrD = (CoPrGluD+PaPrGluD+ZCPrGluD)*VoRu
PrC = (CoPrGluC+PaPrGluC+ZCPrGluC)*VoCi
PrBu = BuR+BuD+BuC
BuR = (CoBuABR+PaBuABR+ZCBuABR)*VoRu
BuD = (CoBuABD+PaBuABD+ZCBuABD)*VoRu
BuC = (CoBuABC+PaBuABC+ZCBuABC)*VoCi
VaA = VaR+VaD+VaC
VaR = (CoVaExR+PaVaExR+ZCVaExR)*VoRu
VaD = (CoVaExD+PaVaExD+ZCVaExD)*VoRu
VaC = (CoVaExCa+PaVaExCa+ZCVaExCa)*VoCi
133
Entrada: Del modelo Ruminal: CoMaaD, PaMaaD, ZCMaaD, VoRu, ProM, MSA,
ProMS, CoAcABR, PaAcABR, ZCAcABR, CoAcABD, PaAcABD, ZCAcABD,
CoAcABC, PaAcABC, ZCAcABC, CoPrGluR, PaPrGluR, ZCPrGluR, CoPrGluD,
PaPrGluD, ZCPrGluD, CoPrGluC, PaPrGluC, ZCPrGluC, CoBuABR, PaBuABR,
ZCBuABR, CoBuABD, PaBuABD, ZCBuABD, CoBuABC, PaBuABC, ZCBuABC,
CoVaExD, PaVaExD, ZCVaExD, CoVaExCa, PaVaExCa, ZCVaExCa
Variable de estado aa:
A
dOQaa
= OMaa A − Oaa Pr o A − OaaEx A
dt
Variable auxiliar:
OMaa A = aaA
Oaa Pr o A = OMaaA * Re tPC
aaA = ((ProA*aaPC)/1000)/PMaa
OaaEx A = OMaaA − Oaa Pr o A
Entrada: Otro submodelo o sección: ProA
Constantes y parámetros: aaPC, PMaa, RetPC
Variable de estado ACA:
dOQ AACA
= OInACA A − OACAACA A − OACAManA − OACAEx A
dt
Variable auxiliar:
OInACAA = ACAtAcBu+ACAtGlu+ACAtPr+ACAtaa
ACAtAcBu = (((AcA/1000)/PMAc)*IndACAAc)+ (((BuA/1000)/PMBu)*IndACABu)
ACAtGlu = ((SmA/1000)/PMGlu)*IndACAGlu
ACAtPr = IndACAPr * mPrA
IndACAPr = ForATPoPr/ForATPoACA
mPrA = (PrA/1000)/PMPr
ACAtaa = ATPdeaa/ForATPoACA
ATPdeaa = ATPdaa-ATPsPro
ATPdaa = OaaExA * ForATPoaa
ATPsPro = ReqATPsaa*OaaProA
OACAACA A = (OInACA A − OACAManA ) * Re tPal
RetPal = 1-(ACAsPal/(ACAsPal+ReqACAsPal))
ACAsPal = ReqATPsPal/ForATPoACA
OACAManA = ACAMan
ACAMan = ATPMan/ForATPoACA
ATPMan = (((IndMan*(OWe/1000)^.75)/IndCalATP)/24)*cC
OACAEx A = (OInACA A − OACAManA ) * (1 − Re tPal)
Entrada: Otro submodelo o sección: AcA, BuA, SmA, para, cC
Constantes y parámetros: PMAc, IndACAAc, PMBu, IndACABu, PMGlu, IndACAGlu,
134
ForATPoPr, ForATPoACA, PMPr, ForATPoaa, ReqATPsaa,
ReqATPsPal, ForATPoACA, ReqACAsPal, OWe, IndMan, IndCalATP
ForATPoACA,
Variable de estado Pal:
A
dOQPal
= OACAPal A − OPalPal A − OPalEx A
dt
OACAPalA = OACAACA A / Re qACAsPal
OPalPalA = OACAPalA - OPalExA
OPalExA = PalNo
PalNo = ACAsFa/ReqACAsPal
ACAsFa = ATPsFa/ForATPoACA
ATPsFa = OACAPalA * ReqATPsFa
Entrada: Otro submodelo o sección: OACAACAA
Constantes y parámetros: ReqATPsFa
Variable de estado Fa:
A
dOQFa
= OPalFa A + OGliFa A
dt
OPalFaA = RetFa * OPalPalA * PMPal
RetFa = 1-(PalsFa/(PalsFa+ReqPalsFa))
PalsFa = GlusFa/ReqACAsPal
GlusFa = ReqGlusFa/ForATPoACA
OGliFaA = (OPalPalA * RetFa/3)*PMGli
Entrada: Otro submodelo o sección: OPalPalA, PMGli
Constantes y parámetros: ReqGlusFa, ForATPoACA, ReqACAsPal, ReqPalsFa,
PMPal
Ganancia de peso
GaDa = ProDa + FaDa
ProDa = ((OaaProACorregido*PMaa)/.2201)*24
OaaProACorregido = OaaProA
Difaa = DifATP/ForATPoaa
DifATP = DifACA * ForATPoACA
DifACA = ACAMan-OInACAA
FaDa = O3Pal1GliFaA * 24
O3Pal1GliFaA = OPalFaA + OGliFaA
Entrada: Otro submodelo o sección: OaaProA, ACAMan, OInACAA, OPalFaA, OGliFaA
Constantes y parámetros: PMaa, ForATPoACA, ForATPoaa
135
ANEXO II
Cuadro II.1. Fuentes de los datos experimentales utilizados en la validación del modelo
Wakax POS en predicción de la GPP por día.
Indentificador
Bibliografía
V09-V12
M Ferreira and T R Preston (1976) Effect of different concentrations
of urea in final molasses given as a supplement to chopped
sugarcane for fattening cattle. Trop Anim Prod. 1(2)66-71.
V16-V31
R Silvestre, NA MacLeod and TR Preston (1976) Supplementation of
sugar cane/urea for growing cattle: levels of maize grain and a
protein concentrate. Trop Anim Prod. 1:206-214.
V32
FJ Alvarez, A Priego and TR Preston (1977) Comportamiento animal
en caña de azúcar ensilada. Prod Anim Trop. 2:27-33.
V33 y V35
HM Ferreiro, TR Preston and TM Sutherland (1977) Limitaciones
dietéticas de raciones basadas en caña de azúcar. Prod Anim Trop.
2:58-63.
V36-V41
R Silvestre, NA MacLeod and TR Preston (1977) Suplementación de
caña de azúcar con urea para engorde de ganado: efecto del maíz y
diferentes niveles y fuentes de proteínas. Prod Anim Trop. 2:84-92.
V42
R Silvestre, NA MacLeod and TR Preston (1977) Effect of meal, dried
cassava root and groundnut oil in diets based on sugar cane/urea, or
molasses/urea. Trop Anim Prod. 2:151-157.
V48 y V49
HM Ferreiro, TM Sutherland, A Wilson and TR Preston (1977)
Engorde de ganado con caña de azúcar: comparación de diferentes
suplementos. Prod Anim Trop. 2:319-324.
V50
R Silvestre and FD DeB Hovell (1978) Growth of fattening cattle given
chopped sugar cane supplement with different levels of wheat bran.
Trop Anim Prod. 3:148-151.
V51
A Fernandez, JB Rowe ant TR Preston (1980) Effect of a methane
inhibitor on growth performance and rumen VFA of steers fed sugar
cane and molasses. Trop Anim Prod. 5:172-176.
136
Cuadro II.2. Datos de los animales, cantidades de los alimentos suministrados y la GPP por día observada y modelada
con el modelo Wakax POS.
Indentificador
V09
V10
V11
V12
V16
V17
V18
V19
V20
V21
V22
V23
V24
V25
V26
V27
V28
V29
V30
V31
V32
V33
V35
V36
V37
V38
V39
V40
V41
Peso (kg)
281.5
280
244
246.5
179
199
214.5
207
228.5
248
229.5
226
208
221.5
238
225
228
248
229.5
226
305
221.1
208.5
163.5
222.5
169.5
212
188
197
Raza
Cebú (toro)
Cebú (toro)
Cebú (toro)
Cebú (toro)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (toro)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
Cebú (novillo)
CZI (kg)
3.3823
4.2588
4.6297
4.9254
3.682
3.948
3.944
3.8
3.826
3.822
3.788
3.644
3.4617
3.3664
2.739
3.3966
2.7007
2.8341
3.2923
3.3783
3.84798
2.18
4.17
3.083
3.4636
3.467
4.154
3.342
4.212
Tipo
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
Suplemento
Melaza con 4% urea
Melaza con 6% urea
Melaza con 8% urea
Melaza con 10% urea
Maíz+urea
Maíz+urea
Maíz+urea
Maíz+urea
Maíz+urea
Maíz+urea
Maíz+urea
Maíz+urea
Maíz+ Melaza+urea
Maíz+ Melaza+urea
Maíz+ Melaza+urea
Maíz+ Melaza+urea
Maíz+ Melaza+urea
Maíz+ Melaza+urea
Maíz+ Melaza+urea
Maíz+ Melaza+urea
Miel final
Urea
Urea
Urea+amonio
Maíz+urea
Urea+amonio
Maíz +urea+amonio
Urea+amonio
Maíz+urea+amonio
137
Maíz
0
0
0
0
0.348
0.522
0.696
0.87
1.044
1.218
1.392
1.566
0.348
0.522
0.696
0.87
1.044
1.218
1.392
1.566
0
0
0
0
0.87
0
0.87
0
0.87
Melaza
2.6967
1.7622
1.4863
1.3706
0
0
0
0
0
0
0
0
1.1303
1.2816
1.335
0.9434
1.5753
0.9879
1.1357
1.0057
0.46102
0
0
0
0
0
0
0
0
Observado
0.366
0.398
0.493
0.63
0.43
0.4
0.49
0.6
0
0.43
0.7
0.69
0.5
0.68
0.62
0.52
0.64
0.45
0.43
0.76
0.036
0.019
0.412
0.052
0.414
0.05
0.292
0.054
0.308
Modelado
0
0
0.39
0.43
0.13
0.28
0.23
0.29
0.28
0.09
0.32
0.33
0.02
0
0
0.26
0
0
0.33
0.39
0
0
0
0
0
0
0.35
0
0.39
V42
243 Cebú (novillo)
3.502
V48
214 Cebú (toro)
3.1009
V49
276.5 Cebú (toro)
3.149
V50
227.5 Cebú (toro)
3.39
V51
225 Cebú (toro)
1.5394
CZI=Caña de azúcar sin raíz, CZP=Caña de azúcar picada
CZP
CZP
CZP
CZP
CZP
Urea+amonio
Miel+urea
Maíz+urea
Melaza+urea
138
0
0
0.435
0
0
0
1.0591
0
0
3.1836
0.054
0.037
0.051
0.062
0.364
0
0
0
0
0
Cuadro II.3. Fuentes e información de los datos experimentales utilizados en la validación del modelo Wakax POS en
predicción en el Rumen y Ciego de DM(%), AGVs(mM), Ac(%), Pr(%) y Bu(%).
Indentificador
V32
V42
V43-V45
V44
V45
V46 y V47
V47
V51
Bibliografía
FJ Alvarez, A Priego and TR Preston (1977)
Comportamiento animal en caña de azúcar
ensilada. Prod Anim Trop. 2:27-33.
R Silvestre, NA MacLeod and TR Preston (1977)
Effect of meal, dried cassava root and groundnut oil
in diets based on sugar cane/urea, or
molasses/urea. Trop Anim Prod. 2:151-157.
S Minor, NA MacLeod, TR Preston and RA Leng
(1977) Studies on digestion in different sections of
the intestinal tract of bulls fed sugar cane/urea with
different supplements. Trop Anim Prod. 2(2):163174.
A Priego, A Wilson and TM Sutherland (1977)
Efecto de la caña de azúcar picada y
suplementada con pulidura de arroz o harina de
yuca sobre los parámetros de fermentación ruminal
y tasa de líquido ruminal en toros cebu. Prod Anim
Trop. 2:301-308.
A Fernandez, JB Rowe ant TR Preston (1980)
Effect of a methane inhibitor on growth
performance and rumen VFA of steers fed sugar
cane and molasses. Trop Anim Pro. 5:172-176.
CZI=Caña de azúcar sin raíz, CZP=Caña de azúcar picada
Peso (kg)
305
Raza
Cebú (toro)
CZI (kg)
3.84798
Tipo
CZP
Suplemento
Miel final
243
Cebú (novillo)
3.502
CZP
Urea+amonio
325
Cebú (toro)
3.315
CZP
Urea
396
346
300
Cebú (toro)
Cebú (toro)
Cebú (toro)
5.4264
5.699
4.74
CZP
CZP
CZP
Maíz+urea
Maíz+urea
Urea
300
225
Cebú (toro)
Cebú (toro)
4.59
1.5394
CZP
CZP
Urea
Melaza+urea
139