Cosecha del 64.Libro definitivo

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Excepcionalmente en 1.960 se realizaron tres convocatorias de exámenes
de ingreso en lugar de las dos convocatoris normales, junio y setiembre, de años
anteriores, añadiéndose una más que se llevó a cabo en febrero.
En esta convocatoria el Tribunal de Ingreso , Plan Antiguo , estuvo
constituido por los siguientes señores:
Presidente............ Sr. D. Rafael López Bosch.
Vocales................. Ilmo. Sr. D. Clemente Sáenz García.
Excmo. Sr. D. Vicente Roglá Altet.
Sr.D. Juan Batanero García- Geraldo.
Sr. D. Carlos Ortuño Medina.
Sr. D. Carlos Benito Hernandez.
Secretario............. Sr. D. Florencio del Pozo Frutos.
Los exámenes tuvieron lugar entre el 8 de febrero y el 2 de marzo y los
ejercicios propuestos fueron los que figuran en las páginas siguientes.
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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PRIMERA ELIMINATORIA
Primer ejercicio.
Tiempo : 2 horas 30 minutos
Los ocho puntos cuyas coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio
son ( + 3 , + 3 , + 3 ) cm. corresponden a los vértices de un cubo de 6 cm. de
arista. Las intersecciones de las caras de este cubo con los cuadrantes positivos de
los planos cartesianos forman una quebrada exagonal alabeada : tomando este
exágono como directriz y como generatrices rectas paralelas a la recta de ecuación
x = y = z se engendra una superficie prismática regular exagonal abierta.
Si se cierra dicha superficie mediante dos planos perpendiculares a las
generatrices y que pasen respectivamente por los puntos (3, 3, 3 ) y (-3, -3, -3 )
extremo de una de las cuatro diagonales mayores del cubo , se define un cierto
prisma regular de bases exagonales y de altura equivalente a la referida diagonal.
Otros tres prismas exagonales más se definen en forma similar a base de
las restantes diagonales : las cuatro figuras se entrecruzan formando un sólido
conjunto.
Dibujar la proyección ortogonal sobre el plano ( x , y ) del sólido en
cuestión, precisamente en papel milimetrado y a escala natural.
Calcular el volumen total del sólido
340
Segundo ejercicio
Tiempo : 1 hora
Suponiendo que u es función de x , y , se llama laplaciano de u a la
función:
Se pide calcular el bilaplaciano de v = y. f (r) siendo r = x + y , o sea
en función de x, y, r y las sucesivas derivadas, f’ (r) , f’’ (r), .....
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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Tercer ejercicio
Obtener la suma de la serie :
expresión en la que x e y representan dos variables reales.
342
Cuarto ejercicio
1 hora
Se considera un polígono alabeado cuyos vértices consecutivos son los
puntos P1, P2, ......, Pi,..... Pn.
Un plano Q corta a los lados P1 P2 , P2 P3 ,....., Pi Pi+1 , .... Pn-1 Pn ,......,
Pn P1 ( o a las prolongaciones de estos lados ) respectivamente en los puntos
O1, O2, Oi , On-1, On .
Se pide el valor numérico de la expresión :
Oi Pi
On-1 Pn-1 On Pn
O1 P1 O2 P2
------- . -------- ,......, --------- ,......, ----------- . -------O1 P2 O2 P3
Oi Pi+1
On-1 Pn On P1
suponiendo que la razón :
Oi Pi
Oi Pi+1
Es negativa cuando Oi está dentro del lado Pi Pi+1 y positiva cuando esta
en su prolongación.
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
343
Quinto ejercicio
Tiempo : 1 hora 30 minutos
Resolver la ecuación :
Hechos los cálculos que se estimen oportunos , presentarlos al final , en
un cuadro en que se contengan todas las soluciones puestas bajo la forma
m + n i poseyendo los coeficientes m y n cuatro cifras decimales exactas.
344
Sexto ejercicio
40 minutos
Representar gráficamente en coordenadas cartesianas , en función de t las
funciones u = f ( t ) y v = g ( t ) definidas mediante :
x , si x > y
1/2
f(x-y) + x+y
= g(y–x) + x =
y , si x < y
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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Séptimo ejercicio.
A cada punto X ( x1, x2, x3 ) de una esfera, cuyo centro 0 es el origen de un
sistema cartesiano rectangular de referencia y cuyo radio es la unidad, se hace
corresponder un punto Y ( y1, y2, y3 ) del espacio.
Esta correspondencia es lineal, es decir : que las coordenadas yi ( i= 1, 2, 3 ) son
funciones lineales homogéneas de las coordenadas xj ( j= 1, 2, 3 ).
Si designamos por :
A1 ( 1, 0, 0 ) ; A2 ( 0, 1, 0 ) ; A3 ( 0, 0, 1 )
los tres puntos de intersección de la esfera con los semiejes coordenados positivos, se
supone que se verifica : Que la coordenada yk del punto Y que corresponde a Ah , es igual
a la coordenada yh del punto Y correspondiente a Ak, siendo k = h.
Estas coordenadas yk tienen los valores numéricos siguientes :
\/ 3 cuando h + k = 3
-- 1 cuando h + k = 4
\/ 3 cuando h + k = 5
Se designará por N la proyección ortogonal del punto Y sobre la recta variable
OX.
Para el punto X = A1 de la esfera es : ON = 4
Para el punto X = A2 de la esfera es : ON = 5
Para el punto X = A3 de la esfera es : ON = 7
Se piden los valores estacionarios, máximos o mínimos, de la longitud ON
cuando X varía sobre la esfera, y las coordenadas de X correspondientes a estos valores
estacionarios.
346
Octavo ejercicio
Todo número n primo con 10 , admite un múltiplo, en el sistema decimal
de numeración, que está compuesto solamente de cifras “ uno “ , o sea de la
forma :
N = 111 ...... 1 ( x veces )
Deducir la regla que permite hallar el valor mínimo de x en cada caso.
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
347
Noveno ejercicio.
Se da la elipse cuya ecuación, referida a dos ejes cartesianos rectangulares
ox , oy , es :
Desde un punto exterior a ella , P , se trazan las dos tangentes a la curva,
PM y PN cuyos puntos de contacto se han designado por M y N .
Se pide :
1º.- Ecuación del lugar geométrico de los puntos P tales que la
circunferencia circunscrita al triángulo PMN sea tangente a la elipse dada.
2º.- ¿ En qué transformación geométrica corresponde a la elipse la curva
obtenida anteriormente como el lugar geométrico pedido ?
348
Décimo ejercicio
En una urna existen 3 bolas blancas y 2 negras. El jugador J saca, al azar
una bola , devolviéndola a la urna cunado haya observado su color.
Cada vez que extrae una bola blanca recibe del jugador K una moneda y
cada vez que la extrae negra devuelve a K las monedas que tiene en su poder.
Suponiendo que el jugador J inicia el juego sin poseer moneda alguna , se
pide determinar la probabilidad de que J llegue a reunir simultáneamente tres
monedas , sin que pasen de 10 el número de extracciones, en cuyo caso se
considera que ha ganado el juego en cuestión.
La probabilidad se dará con tres cifras decimales exactas.
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
349
Undécimo ejercicio
En un sistema cartesiano trirrectangular se considera el plano y = 0
y dentro del mismo, el semiplano de las x positivas. En él se dibuja una sinusoide
de amplitud a y periodo 4b , cuyo eje es la recta vertical de evacuación X = 2 a
.La curva pasa por el punto ( 2a , 0 ,0 ) y tiene alli positivo el coeficiente angular
de la tangente dx : dz.
Se imprime al semiplano un movimiento helicoidal uniforme alrededor del
eje z , iniciándolo en el sentido de las y positivas, y de suerte tal que el paso de
rosca o avance en una rotación completa sea precisamente 4b , con lo que se
describe una superficie de “ columna salomónica “.
Se pide :
1º.- La ecuación de la traza de dicha superficie sobre el plano xy.
2º.- Volúmen del sólido comprendido entre los planos z = 0 , y ,
z = 4b.
3º.- Dibujo en papel milimetrado de la referida traza para a = 4 cm. y
b = 6 cm. , a escala natural.
350
Duodécimo ejercicio
Una mesa, con tablero horizontal de contorno triangular A B C , está
sustentada mediante tres patas verticales que arrancan de cada uno de los tres
vértices A, B, C . Sobre cada uno de los lados AB , BC y CA se toma un punto
C’ , A’ y B’ , respectivamente y de tal forma que se cumplen las relaciones
siguientes :
AC’
BA’
CB’
------- = ------- = ------- = k
AB
BC
CA
siendo k < 1
Las rectas AA’ , BB’ y CC’ definen otro triángulo, D E F , interior al A
B C y que se supone cortado. De esta forma el tablero de la mesa queda definido
por el triángulo arbitrario A B C , en cuyo interior le falta un trozo triangular D
E F.
Se designará por S el área del triángulo A B C y por p el peso del
tablero por unidad de superficie.
Se piden las fuerzas PA , PB y PC que transmitirá el tablero a cada
una de las patas. Las expresiones de estos esfuerzos se darán en función de S , k y
p.
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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Décimotercer ejercicio
Una estación espacial describe libremente una órbita circular de 90.000
Km. de radio , cuyo centro es el centro de la Tierra.
Se pretende enviar pertrechos a dicha estación mediante un cohete que ha
sido previamente puesto en órbita y describe también una circunferencia
concéntrica y coplanaria con la anterior y de 10.000 Km de radio, descrita en el
mismo sentido.
En el momento inicial que se considera, la estación, el cohete y el centro
de la Tierra están en línea recta.
Un dispositivo del cohete le permite aumentos instantáneos de la
magnitud de su velocidad en la propia dirección de su marcha , pero no en
dirección distinta, mediante descarga de gases.
A fin de que el cohete alcance la estación y quede unido a ella sin impacto,
hay que producir dos descargas de gases en el cohete. La primera descarga le
separa de su órbita primitiva y le encamina hacia la estación ; la segunda descarga
tendrá lugar cuando alcance la estación, pero sin poseer su velocidad, velocidad
que el cohete debe entonces igualar.
Se pide :
1º.- Velocidad de la estación espacial y velocidad del cohete antes de la
primera descarga.
352
2º.- Instante, a partir del inicial , en que ha de tener lugar la primera
descarga.
3º.- Incremento de velocidad que dicha descarga primera debe darle al
cohete.
4º.- Tiempo que ha de transcurrir entre la primera y la segunda descarga.
5º.- Incrementode velocidad que le produce la segunda descarga.
Se supondrá despreciable la acción, sobre la estación y sobre el
cohete, de todos los cuerpos celestes aparte la Tierra, alrededor de
cuyo centro se mueven según ña atracción newtoniana y
consiguientes leyes de Kepler.
Se supondrá asimismo una Tierra esférica de 6.366 kilómetros de
radio, ya superficie la aceleración de la gravedad es de 9,80 m/seg.2
Se recuerda que las leyes de Kepler , aplicadas en este caso , son las
siguientes :
1ª.- Todo móvil girando en torno de la Tierra describe una
elipse cuyo foco es el centro de la Tierra, siendo la circunferencia un
caso particular de esta elipse.
2ª.- El radio vector que une el centro de la Tierra con el móvil,
barre áreas iguales en tiempos iguales.
3ª.- Los cuadrados de los tiempos de revolución de los móviles
en torno de la Tierra son proporcionales a los cubos de los semiejes
mayores de las elipses que describen.
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
353
Decimocuarto ejercicio.
Áreas de polígonos esféricos en función de sus ángulos.
354
Decimoquinto ejercicio
Representar mediante dibujo en tinta negra la lámina entregada a escala
mayor que el original.
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
355
Decimosexto ejercicio.
Sistemas de ecuaciones lineales.
Teorema de Rouché.
356
Decimoséptimo ejercicio.
Se da la sucesión de funciones :
Se pide :
Estudiar la convergencia de fn ( x ) cuando n tiende a infinito y en
particular la convergencia uniforme en un entorno del origen -- < x <
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
357
Decimoctavo y último ejercicio
Se considera la curva :
en la cual el parámetro es un parámetro variable y ( x , y ) las coordenadas
cartesianas rectangulares de un punto de la misma.
Se pide :
1º.- Interpretación geométrica del parámetro
2º.- Expresión del radio de curvatura R1 de la misma en función de
3º.- Valores de para los cuales la curva está definida , estudio de sus
simetrías, puntos singulares , asíntotas, etc.., y representación
gráfica para a = 5 cm.
4º.- En la superficie de revolución engendrada por la curva al girar en
torno del eje x , valor del producto de los radios de curvatura de
dos secciones normales a la superficie y normales entre sí , en un
punto cualquiera
Se recuerda que , para un punto P dado de una superficie , este
358
producto no depende de la orientación de estos planos con tal de
que sean normales a la superficie y normales entre sí.
También se recuerda que dadas dos secciones a una superficie en un
punto P que tienen comun una tangente en P y de las cuales una
es normal a la superficie y otra oblícua , el radio de curvatura de la
sección oblícua es igual al de curvatura de la sección normal por el
coseno del ángulo que forman los planos de las dos secciones.
5º.- Área total de la superficie de revolución que engendra la curva en
su giro alrededor del eje x.
6º.- Volumen total encerrado por dicha superficie.
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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El Tribunal de Ingreso , Plan Antiguo , estuvo constituido por los
siguientes señores:
Presidente............ Ilmo Sr. D. Jose Luis Escario.
Vocales................. Sr. D. Federico Goded.
Excmo. Sr. D. Vicente Roglá Altet.
Sr.D. Florencio del Pozo.
Sr. D. Jaime Badillo Díez.
Sr. D. Carlos Benito Hernandez.
Secretario............. Sr. D. Fernando Oliveros
Los exámenes tuvieron lugar entre los días 1 al 17 de junio y los ejercicios
propuestos fueron los que figuran en las páginas siguientes.
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Primer ejercicio
Tiempo : 2 horas.
Se parte de un icosaedro regular, de arista a .Consideradas las dos aristas
opuestas paralelas, es fácil encontrar otras dos parejas de ellas, de idéntica
condición, cuyos respectivos planos son perpendiculares al de la primera y entre
sí. Suprímanse las 12 caras que pasan por tales aristas y quedarán otras ocho.
Cada una de estas ocho caras restantes determina un plano y los ocho planos,
asociables en cuatro grupos de a dos paralelos, limitan un octaedro forzosamente
regular.
Entendido esto se hacen las dos siguientes preguntas, a las que el
candidato puede responder en orden indistinto :
1º.- ¿ Hasta cuantos octaedros diferentes se obtienen por este proceso ?
2º.- ¿ Cuanto vale la diagonal d del octaedro en funcion de la longitud
de a ?
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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Segundo ejercicio
Tiempo : 45 Minutos
Una partícula de masa material m está sometida a una fuerza cuyas
proyecciones sobre los tres ejes coordenados cartesianos trirrectangulares , x , y ,
z , son , respectivamente
, siendo a , b , c , constantes.
Se pide determinar las condiciones que deben cumplirse para que el
movimiento de la partícula sea periódico.
362
Tercer ejercicio
Tiempo : 2 Horas
Los ángulos de un triángulo esférico son:
A = 100º
B = 70º
C = 50º
Se pide :
1º.- Calcular los lados a , b , c , y el área S del triángulo A B C.
2º.- Llamando A’ B’ y C’ a los puntos medios de los lados a, b y c
y O al centro de la esfera , calcular el volumen del paralelepípedo
cuyas aristas son OA’, OB’ y OC’ . Radio de la esfera : R = 12
metros.
3
El volumen se dará en dm3 y el área del triángulo en cm 2.
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
363
Cuarto ejercicio
Se dan las ecuaciones:
Tiempo : 2 Horas
364
Quinto ejercicio
Tiempo : 1 Hora 30 Minutos
Hallar el valor de la suma :
1
1
1
1
S = -------- + --------- + ---------- + ---------- + .....
3x7
11 x 15
19 x 23
27 x 31
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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Sexto ejercicio
Tiempo : 1 Hora 30 Minutos
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Séptimo ejercicio
Tiempo : 2 Horas
Para la mejor explotación de un cuerpo celeste esférico los colonos
astronautas lo perforan según un taladro diametral rectilíneo que comunica entre
sí las antípodas.
El radio R de este cuerpo es de : 5.000 Km; la aceleración g de la
gravedad en los polos del mismo es de 10 m./ seg. y tarda T = 10.000 segundos
en un giro completo alrededor de su eje de revolución.
El cuerpo celeste carece de atmósfera , es perfectamente esférico y en su
interior la densidad e es sólo función de la distancia r al centro de la esfera del
punto que se considere.
El taladro está situado en el plano del ecuador del cuerpo. A lo largo de
este taladro axisten unas guias rectilíneas por las que desliza sin rozamiento un
vehículo de carga y pasaje que es dejado caer sin velocidad inicial en la superficie,
en un extremo del taladro , y recogido en el extremo opuesto.
En el viaje que se considera , el vehículo tiene una masa total de 20 Tn y
se observa que su recorrido obedece a la misma ley que un movimiento oscilatorio
armónico simple.
Se recuerda que en todo cuerpo constituido por capas esféricas
homogéneas y cuya densidad es sólo función de la distancia al centro O , la
aceleración de la gravedad en un punto P de su interior, despreciando la masa
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
367
arrancada al taladrarlo y aparte el efecto centrífugo de su rotación , es
equivalente a la atracción que ejercería la masa encerrada en la esfera concéntrica
que pasa por P concentrada en O , mientras que la masa del cuerpo situada
fuera de esa esfera no ejerce acción gravitatoria en P.
También se recuerda que la componente normal a las guías de la
aceleración del vehículo tiene un valor 2.v.w siendo v la velocidad instantánea
de este vehículo respecto al cuerpo celeste y w la celocidad angular de éste.
Se pide :
1º.- Ley de variación de la densidad
celeste.
p ( r ) en el interior del cuerpo
2º.- Tiempo que tarda en el viaje entre antípodas.
3º.- Máximo valor de la fuerza normal entre el vehículo y sus guias de
viaje, en toneladas peso terrestre.
368
Octavo ejercicio
Julián Núñez Olías
1 Hora 45 Minutos
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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Noveno ejercicio
1 hora 30 minutos
Dada una curva y = f ( x ) , se trazan rectas que cortan en P y Q a
esta curva. , paralelas a la tangente en un punto M de la misma . Se une
M con el punto medio de H de PQ.
Hallar el límite del coeficiente angular de la recta MH cuando PQ
tiende hacia la tangente en M.
370
Décimo ejercicio
Julián Núñez Olías
Tiempo : 1 hora 45 minutos
Cosecha del Sesenta y Cuatro
371
372
Undécimo ejercicio
Tiempo : 2 horas.
Una perspectiva caballera queda definida de la siguiente forma :
El plano X Q Z queda en verdadera magnitud. La parte positiva del eje
OY se proyecta formando un ángulo con la parte negativa del eje OX , cuya
tangente vale 2/3. Los segmentos paralelos al eje OY , al proyectarse , quedan
reducidos a sus dos terceras partes.
Unidad : el centímetro
Dibujar la perspectiva caballera de la superficie , supuesta opaca , que
limita al conjunto de puntos que cumplen con las condiciones indicadas en el
cuadro siguiente, ordenado por filas:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
x+;y+;
x + ; y -- ;
x -- ; y + ;
x -- ; y -- ;
x+; z+;
x + ; z -- ;
x -- ; z + ;
x -- ; z -- ;
y+; z+;
y + ; z -- ;
y -- ; z + ;
y -- ; z -- ;
Julián Núñez Olías
A
4x–y
4x+y
x + 4y
x – 4y
-- x + 4z
4x + z
x + 4z
-- 4x + z
4y – z
4y + z
y + 4z
y – 4z
B
x–4y
x + 4y
4x + y
4x – y
-- 4x + z
x + 4z
4x + z
-- x + 4z
y – 4z
y + 4z
4y + z
4y -- z
Cosecha del Sesenta y Cuatro
373
En todos los casos se ha de verificar que :
374
Duodécimo ejercicio
Tiempo : 1 hora 30 minutos.
Determinar el lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos
lados son tangentes a dos círculos dados.
Deducir la forma de efectuar el trazado gráfico de la tamgente en un
punto del lugar.
Estudiar el caso en que los circulos sean ortogonales.
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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Decimotercer ejercicio
Tiempo : 2 horas.
Por el punto medio O de un segmento AB se traza la normal al
segmento , o sea , su mediatriz.
Considérese un par ordenado de puntos cualesquiera de la mediatriz M
Los puntos Oi y O j .
Unase el primero de ellos, O i , con A , y el segundo , O j , con B.
Estas dos rectas se encuentran en un punto C.
Se asociará a cada par ordenado de puntos Oi Oj , un número tal que :
1º.- Se pide determinar la función de dos variables :
376
z = f(x,y)
tal que se verifique :
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
377
Decimocuarto ejercicio
Tiempo : 1 hora 15 minutos
378
Decimoquinto ejercicio
Tiempo :2 horas 30 minutos.
En un plano P se considera una circunferencia C de radio unidad y uno
de los puntos V de la circunferencia.
Esta circunferencia es el desarrollo sobre P de una linea L trazada en un
cono de revolución , es decir que al rodar el cono sobre el plano P con vértice en
V , van coincidiendo L y C punto a punto.
Aparte el vértice V , se sabe que la línea L tiene un único punto dobke
D , en el cual las dos tangentes son ortogonales entre sí.
Se pide :
1º.- Semiángulo del cono.
2º.- Número de tangentes a L en V .
3º.- Ecuaciones paramétricas intrínsecas de L y radios de curvatura de
flexión y torsión que corresponden a L en D .
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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Decimosexto ejercicio
Evoluta y evolvente . Propiedades.
Tiempo : 45 minutos.
380
Decimoséptimo ejercicio
Tiempo : 2 horas
Dibujar la presente figura en un tamaño vez y media mayor que el dado
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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Decimoctavo ejercicio
Tiempo : 45 minutos
Generación proyectiva de cónicas.
( Aplicación a la obtención de puntos y tangentes)
382
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( B.O. del Estado de 21 de Enero de 1.960. Pág. 869 )
El Tribunal de Ingreso , Plan Antiguo , estuvo constituido por los
siguientes señores:
Presidente............ D.Rafael López Bosch
Vocales............... Excmo. Sr. D. Vicente Roglá Altet.
Sr.D. Florencio del Pozo.
Sr. D. Jaime Badillo Díez.
Sr. D. Carlos Benito Hernandez.
Sr. D. Juan Batanero
Secretario............. Sr. D. Federico Goded
Los exámenes tuvieron lugar entre los días 15 de setiembre al 1 de
octubre y los ejercicios propuestos fueron los que figuran en las páginas
siguientes.
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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Primer ejercicio.
Encontrar las ecuaciones de la curva trazada sobre el helicoide :
y
z = a.. arc tg . -------- que pasa por el punto ( 0 , 0 , 0 ) y cuyas
z
tangentes forman ángulo de 45º con las generatrices rectilíneas del
helicoide.
384
Segundo ejercicio.
Un móvil puntual de masa m tiene como trayectoria obligada la
circunferencia de radio R y centro O por la que se desplaza sin
rozamiento alguno.
Sobre un diámetro de la misma , a distancia 3 R y 2R de O y en
sentidos opuestos, se hallan los puntos fijos A1 y A2 , respectivamente.
El móvil se encuentra constantemente atraido hacia A1 por una fuerza de
magnitud : K.m.r1 y hacia A2 por otra fuerza de magnitud K.M.r2
siendo r1 y r2 las distancias del móvil a los puntos A1 y A2
respectivamente y K una constante.
Sobre el móvil no actúa ni la gravedad ni otras fuerzas , exceptuando las
mencionadas.
Se pide :
Hallar la velocidad angular máxima del móvil y su posición en dicho
instante.
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
385
Tercer ejercicio.
En un tablero hay n compartimentos iguales y cuatro objetos distintos
a , b , c , y d.
Se desa saber :
1º.- De cuantas formas diferentes es posible colocar los cuatro objetos en
los n compartimentos teniendo en cuenta que un solo compartimento
puede alojar un número cualquiera de objetos o ninguno.
2º.- Suponiendo ahora una cabida máxima de dos objetos por
compartimento y que los cuatro objetos son idénticos entre si , cuantas
serían las formas diferentes posibles de distribución.
386
Cuarto ejercicio.
Hallar :
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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Quinto ejercicio.
Se considera la curva y = log nep cos x
Se pide :
Hallar la relación que liga s y R . Se entiende por orientación positiva
aquella en la que s y x crecen simultáneamente.
3º.- Ecuación de la evoluta.
4º.- Línea descrita por el centro de curvatura cuando
deslizar sobre el eje ox .
rueda sin
5º.- Menor valor de x no nulo y positivo correspondiente al punto M
de la curva y = log nep cos x tal que el centro de curvatura
correspondiente este en el eje oy calculado con un error menor de 0,001
388
Sexto ejercicio.
En el sistema de numeración de base ocho se pide hallar tres números
cuyos productos por 5, 15, y 22 , respectivamente suman 1.475 y por 13, 24 y
45 , respectivamente, suman 3.512.
Todos los datos del problema están expresados en el sistema de base ocho
Julián Núñez Olías
Cosecha del Sesenta y Cuatro
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Séptimo ejercicio.
Dada una función z ( u , v ) de las dos variables independientes x e y
se desea expresar z en función de dos nuevas variables, u y v :
z (u,v)
de modo que se cumplan las siguientes condiciones :
1ª.- Se cumplirán idénticamente :
2ª.- Siendo a una cosntante dada , se verificará idénticamente :
u = 0 , cuando x – a.y = 0
3ª.- También se cumplirá idénticamente :
x = 0 , cuando u + a.v = 0
Se pide determinar las funciones u ( x, y ) y
v(x,y)
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Octavo ejercicio.
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Noveno ejercicio.
Una elipse tiene de semiejes a y a (
2 -- 1 )
Se pide:
1º.- Radio del círculo osculador a la elipse que es ortogonal a la misma.
Expresar su valor en función de a , indicando el coeficiente con tres
cifras decimales exactas.
2º.- Area de la parte común a la elipse y al círculo osculador citado.
Expresar su valor en función de a2 indicando el coeficiente con tres
cifras decimales exactas.
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Décimo ejercicio.
En una esfera de radio r = 125 m se da el triángulo esférico cuyos lados
son :
a = 25º
b = 65º
c = 72º 30’
Se pide :
1º.- Angulos del triángulo ABC ( Aproximación hasta décimas de
segundo )
2º.- Area del mismo triángulo, en metros cuadrados ( Aproximación hasta
las centésimas )
3º.- Area, también en metros cuadrados y con la misma aproximación ,
encerrada por el lugar geométrico del punto P situado sobre la superficie
de la esfera y tal que el área del triángulo PBC sea igual a la del triángulo
ABC.
Nota: El candidato deberá dejar reflejadas en las cuartillas que entregue
las operaciones intermedias.
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Undécimo ejercicio.
Un círculo de radio 2R rueda sin deslizar en el espacio sobre el círculo
z=0
x+ y = R
sobre oz .
de manera que su centro esté constantemente situado
Se pide :
1º.- Ecuaciones paramétricas de la curva ( c ) descrita por el punto M
del círculo móvil cuyas coordenadas iniciales son ( R , O , O )
2º.- Dibujar la proyección ortogonal de ( c ) sobre el plano xy
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Duodécimo ejercicio.
De un punto A parten dos semirrectas, R1 y R2 , que forman entre sí
un ángulo a
Sea O un punto situado en el plano de estas dos semirrectas e interior al
ángulo a
El punto O queda definido por sus distancias h1 , h2 a las semirrectas
R1 , R2 respectivamente.
Se pide :
1º.- Dibujar, utilizando únicamente la regla y el compás , el dodecágono
regukar convexo de centro O y que tiene dos vértices consecutivos en
las semirrectas R1 y R2 ( uno sobre cada una de ellas ).
2º.- Discusión del número de soluciones posibles.
3º.- Area de los dodecágonos así definidos en función de a , h1 y h2.
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Decimotercer ejercicio.
Un satélite artificial , tipo Eco , tiene la forma de un paralelepipedo recto
rectangular, cuyas aristas miden , respectivamente : a , b , c , siendo
a >b > c
Un observador terrestre, en un momento determinado , dirige al satélite
una potente radiación electromagnética que, reflejada en las caras del satélite , es
devuelta parcialmente al mismo observador, quien detecta y mide la intensidad
recibida.
Se supone :
Que el satélite es opaco y sólo refleja las caras que el observador podría
ver.
Que tanto los rayos que alcanzan las caras visibles del satélite como los
rayos reflejados que se reciben son paralelos a una misma recta visual R.
Que la intensidad que se recibe de cada una de las caras alcanzadas por la
radiación es igual al producto de una constante B común a todas las caras por el
área de la cara en cuestión y por el cuadrado del coseno del ángulo que forma la
normal a esa cara con la recta R.
Que la intensidad total I recibida es la suma de las que corresponden a
las caras alcanzadas por la radiación.
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Se desea saber en el momento de dicha observación :
1º.- Las orientaciones del satélite respecto a la recta R que proporcionan
las intensidades totales I máximas y mínimas y valores de I correspondientes.
2º.- En la hipótesis de que todas las orientaciones del satélite respecto a la
recta R sean igualmente probables :
a) Valor medio de I
b) Probabilidad de que I supere a : B.a.c
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Decimocuarto ejercicio.
Integración numérica y gráfica. Método de Simpson.
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Decimoquinto ejercicio.
Se considera un sistema de tres ejes cartesianos rectangulares . Las
coordenadas de un punto del espacio referido a estos ejes se designarán
respectivamente por los subíndices 1 , 2, 3.
A cada punto P ( x1 , x2 , x3 ) se le hace corresponder un punto
Q ( y1 , y2 , y3 ) mediante una transformación lineal y homogénea que
está representada por una matriz simétrica A.
Se sabe que existen dos rectas , R , tales que , cuando P está en una de
ellas , Q coincide con P .
Una de estas rectas R es :
x 1 = 3 x2
x3 = 0
La segunda recta R está en el plano :
x 3 = - 2 x2
También se sabe que a puntos P que ocupan un cierto volumen
corresponden puntos Q que ocupan un volumen doble.
Se pide determinar los elementos de la matriz A .
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Decimosexto ejercicio.
Reproducir a escala doble la lámina , pasándola a tinta negra.
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Decimoséptimo ejercicio.
Un sólido esta limitado por seis cuadrados y 32 triángulos equiláteros ,
todos ellos de 4 cm de arista y de tal manera distribuidos que en cada
vértice concurren siempre un cuadrado y cuatro triángulos.
Se pide :
1º.- Proyección con líneas vistas y ocultas sobre un plano que contenga una
cara cuadrada.
2º.- Distancia en centímetros y con error menor de una décima de
milímetro entre dos caras opuestas.
3º.- Perspectiva caballera del sólido , orientado de tal manera que los
semiejes positivos OX y OY coincidan con dos aristas pertenecientes a
una cara cuadrada y el sólido quede por encima del plano XOY . La
perspectiva quedará definida de la siguiente forma : El plano XOZ queda
en verdadera magnitud ; el semieje positivo OY se proyecta formando un
ángulo con el semieje negativo OX , cuya tangente vale 2/3.Los segmentos
paralelos al eje OY , al proyectarse , quedan reducidos a sus dos terceras
partes.
Los planos coordenados son transparentes, el sólido es opaco y sólo deben
dibujarse las partes vistas.
Julián Núñez Olías
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