NÚMEROS COMPLEJOS EN CORRIENTE ALTERNA

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ANEXO
NÚMEROS COMPLEJOS EN CORRIENTE ALTERNA
Un número complejo es un número de la forma Z = a + b · j donde a y b son números reales, llamados parte real y
——
parte imaginaria respectivamente, y j o i es la unidad imaginaria que se define como j = i = √−1
Definición 1: Dos números complejos Z = a + b · j y W = c + d · j son iguales si sus partes reales e imaginarias
son iguales entre sí. Es decir, se cumple que:
a=c
∴
b=d
Definición 2: Dado un número complejo, Z = a + b · j, se define su conjugado Z* como aquel número complejo que
tiene la misma parte real y opuesta parte imaginaria. Es decir:
Z* = a − b · j
Operaciones con números complejos
● Suma y resta de números complejos
Dados dos números complejos Z = a + b · j y W = c + d · j , se define su suma como otro número complejo cuya
parte real es la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias.
S = Z + W = (a + c) + (b + d) · j
La resta se define como:
R = Z − W = (a − c) + (b − d) · j
● Producto de números complejos
Dados dos números complejos, Z = a + b · j y W = c + d · j , se define su producto como otro número complejo
de la forma:
P = Z · W = (a·c − b·d) + (a·d + b·c) · j
Recuerda que j2 = −1
● División de números complejos
Dados dos números complejos Z = a + b · j y W = c + d · j con c + d · j ≠ 0 su división es otro número complejo
que se obtiene multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:
C=
Z a +b⋅ j
a + b⋅ j c − d ⋅ j a⋅c + b⋅d b⋅c − a⋅d
⋅j
=
⇒C =
⋅
= 2
+ 2
W c+d⋅ j
c + d2
c+d⋅ j c−d⋅ j
c + d2
Representación gráfica de un número complejo
Los números complejos se pueden representar en el plano. En el eje de
abscisas se presenta la parte real del número complejo y en el eje de ordenadas
la parte imaginaria. Dado el número complejo Z = a + b · j, su representación
en el plano se corresponde con el punto dado por las coordenadas (a, b).
Forma polar de un número complejo
La representación que hemos utilizado hasta ahora se llama forma binómica
pero no es la única posible. Un número complejo Z = a + b · j también se
puede representar en forma polar o módulo-argumento para facilitar la
realización de algunas operaciones.
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Representación en el plano de un número complejo. (M.C.M.)
Definición 3: Se define el módulo o valor absoluto del número complejo Z = a + b · j como la distancia del punto de
coordenadas (a, b) al origen de coordenadas. Se denota |Z | = |a + b · j | y su valor es:
Z = a 2 + b2
Definición 4: Se define el argumento de un número complejo Z = a + b ·j
no nulo como el ángulo que forma el vector que une el origen de coordenadas
con el punto de coordenadas (a, b) con el eje OX positivo. Se denota arg(Z).
Sea θ = arg(Z), su valor es:
⎛b⎞
θ = arg ( Z ) = artg ⎜ ⎟
⎝a⎠
Un número complejo en forma binómica Z = a + b ·j expresado en forma
polar es Z = ρ∠θ, donde tenemos:
Representación polar. (M.C.M.)
ρ = Z = a 2 + b2
⎛b⎞
θ = arg ( Z ) = artg ⎜ ⎟
⎝a⎠
Es posible la transformación inversa, es decir, pasar de una representación en forma polar Z = ρ∠θ a una representación
en forma binómica Z = a + b ·j. La transformación es la siguiente:
a = ρ ⋅ cos θ
b = ρ ⋅ sen θ
Operaciones en forma polar
La forma polar permite la realización de multiplicaciones y divisiones de una forma mucho más sencilla que en la
representación binómica.
Dados dos números complejos en forma polar Z = ρ∠θ y W = σ∠δ se definen las siguientes operaciones:
El producto de dos números complejos en forma polar se obtiene multiplicando sus módulos y sumando sus argumentos,
tal como se muestra a continuación:
P = Z · W = ρ· σ∠θ + δ
El cociente de dos números complejos en forma polar se obtiene dividiendo los módulos y restando los argumentos,
como se indica a continuación:
Z ρ
D=
= ∠θ − δ
W σ
El conjugado de un número Z = ρ∠θ se obtiene como:
Z* = ρ∠−θ
El cálculo del módulo de un número Z = ρ∠θ se realiza empleando la fórmula siguiente:
Z = Z ⋅ Z * = ρ∠θ ⋅ ρ∠ − θ = ρ 2 = ρ
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