MODELO_TEMATICO

ESCUELA:
Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de
Puebla.
TEMA:
“MODELOS MATEMÁTICOS CON CONOCIMIENTOS DE
CÓNICAS”
MATERIA: GEOMETRIA ANALITICA
SEMESTRE:
3°
DOCENTE:
LIC. MONICA IBETH ESTEVEZ ESPINOZA
ALUMNA:
GRECIA FUENTES FLORES (PGA)
ESTRATEGIA 3:”CONSTRUYE MODELOS MATEMÁTICOS
MODELO MATEMÁTICO
5. Relaciona el arte con la relación de las cónicas.
APLICACIONES DE LAS SECCIONES CÓNICAS:
Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente
útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Resumimos a continuación las
diferentes aplicaciones que las secciones cónicas tienen en la vida real:
1. Una de las propiedades más utilizadas de las parábolas es la de reflexión. Esta
propiedad es la base para la construcción de los espejos parabólicos de los telescopios,
los faros, las reflectoras de ondas eléctricas y conchas acústicas de micrófonos
selectivos.
2. Los cables de los puentes colgantes tienen forma parabólica (forman la envolvente de
una parábola). Se creía hace tiempo que las cuerdas o cadenas que se suspenden
agarradas únicamente por sus extremos también formaban parábolas (hoy sabemos que
la curva que describen es un coseno hiperbólico).
3. Las trayectorias de los proyectiles tienen forma parabólica. Los chorros de agua que
salen de un surtidor tienen también forma parabólica. Si salen varios chorros de un mismo
punto a la misma velocidad inicial pero diferentes inclinaciones, la envolvente de esta
familia de parábolas es otra parábola (llamada en balística parábola de seguridad, pues
por encima de ella no es posible que pase ningún punto de las parábolas de la familia). El
mayor alcance que se puede obtener es aquel en que el ángulo de inclinación inicial es de
45 grados.
4. La forma de los telescopios, detectores de radar y reflectores luminosos son
parabólicas. En los faros de los coches se coloca la fuente de luz en el foco de la
parábola, de modo que los rayos, al reflejarse en la lámpara, salen formando rayos
paralelos. La nave espacial PLUTO de la NASA incorpora también un reflector parabólico.
Recordar también el conocido efecto de quemar una hoja de papel concentrando los
rayos solares mediante un espejo parabólico.
5. Un telescopio de espejo líquido es un telescopio reflectante (es decir, que usa la
propiedad reflectante de la parábola) cuyo espejo principal está hecho de mercurio
líquido. Un famoso ejemplo lo constituye el telescopio HUBBLE situado en el espacio
exterior. El problema es cómo puede un líquido formar un espejo parabólico y por qué se
quiere así. La respuesta es que si se tiene un contenedor giratorio de líquido, la superficie
del mismo formara un paraboloide perfecto, incluso si la superficie interior del contenedor
tiene imperfecciones. De este modo, no es necesario el pulido de los lentes y además los
espejos pueden hacerse más grandes que los sólidos. Al utilizar mercurio líquido se
consigue que los espejos sean más baratos que los tradicionales (sólo hace falta una
capa muy fina de mercurio pues este es muy pesado).
6. Aprovecha dicha construcción para representar o simular el movimiento celeste
mediante modelos matemáticos con conocimientos de cónicas.
Si F es un punto fijo del plano y D una recta, el lugar geométrico de los puntos del plano
cuyas distancias al punto F y a la recta D están en proporción constante es una cónica no
degenerada (elipse, hipérbola, parábola).
Al punto F se le denomina foco de la cónica y a la recta D directriz asociada al foco F.
LA ELIPSE Y LA CIRCUNFERENCIA
EJEMPLO:
La órbita del asteroide Eros
La primera ley de Kepler establece que los planetas describen órbitas elípticas con el sol
situado en uno de sus focos. Dicha ley también es de aplicación a otros pequeños
cuerpos
del
sistema
solar
llamados
planetas
menores
o
asteroides.
En la animación se muestra, en azul, la órbita prácticamente circular de la Tierra
(excentricidad 0.017) y, en rojo, la órbita elíptica (excentricidad 0.223) descrita por el
asteroide
numerado
433
conocido
con
el
nombre
de
"Eros".
La órbita de Eros está contenida en un plano que forma un ángulo de casi 11 grados con
el que contiene a la órbita de la Tierra, también llamado plano de la eclíptica. Lo que se
observa en la animación es la proyección de la elipse descrita por el cometa sobre este
último
plano.
Las esferas azul, roja y amarilla indican sólamente la posición de la Tierra, el asteroide y
el Sol, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ninguno de ellos
sería visible en la animación en el caso de que se representarán a escala.
El internauta interesado en los objetos que, como Eros, describen órbitas próximas a la de
la Tierra puede consultar el sistema NEODyS, donde también encontrará multitud de
enlaces a otras páginas relacionadas con el tema.
La elipse como lugar geométrico:
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano para los que la suma de las
distancia a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Supongamos que los focos son F1=(c,0) y F2=(-c,0) y llamemos 2a a la suma de las
distancias, entonces los puntos (x,y) de la elipse verifican
simplificando esta ecuación se llega a
Esta es la ecuación reducida de la elipse en la que los ejes coordenados son los ejes de
simetría
de
la
elipse
y
el
origen
de
coordenadas
es
su
centro.
Encontremos la ecuación focal de la elipse
Agrupando términos en la última expresión
En esta ecuación focal tenemos que el foco es el punto (c,0) y la directriz es la recta
paralela al eje X: x=a2/c. La excentricidad es e=c/a que es estrictamente menor que 1
puesto que c= (a2-b2)1/2< a.
Una cónica propia es una elipse si la excentricidad es menor que 1: e< 1. Cuando e=0 la
elipse es una circunferencia: la excentricidad en la elipse mide, por tanto, lo que ésta se
aleja de la circularidad. En la circunferencia los dos focos se confunden y son a su vez el
centro de la cónica. En la animación siguiente se ve como varía la elipse al ir
disminuyendo su excentricidad.