Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural UN ESTADO DEL

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
UN ESTADO DEL ARTE DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE EDIFICIOS HISTÓRICOS DE
MAMPOSTERÍA. PARTE I: COMPORTAMIENTO MECÁNICO Y MODELOS CONSTITUTIVOS
Agustín Orduña Bustamante1, Fernando Peña Mondragón2 y Guillermo Roeder Carbo3
RESUMEN
Este artículo, que consta de dos partes, presenta un estado del arte del modelado numérico de edificios
históricos de mampostería. En esta primera parte se discuten los aspectos más importantes del
comportamiento mecánico de la mampostería, donde se enfatiza aquellos que representan un reto al modelado
numérico. Asimismo; se comenta una serie de procedimientos de análisis que se han propuesto para describir
la respuesta mecánica de este tipo de material.
ABSTRACT
This paper has two parts and presents a state of the art about the numerical modeling of historical masonry
buildings. This first part discusses the most important aspects related to the mechanical behavior of masonry,
mainly those representing a challenge to the numerical modeling. The paper comments also a series of
analysis models that have been proposed for masonry.
INTRODUCCIÓN
En distintas partes del mundo se conserva un gran número de monumentos antiguos de mampostería que han
sobrevivido a diversas solicitaciones a lo largo de los años, de los siglos y, en el caso de algunas
construcciones, de los milenios. Históricamente, el empleo de la mampostería ha sido muy importante para las
culturas que la empleaban como material de construcción (figuras 1 y 2). La construcción de estos
monumentos fue posible gracias a la acumulación de conocimientos empíricos que generalmente fueron
transmitidos en secreto de generación en generación.
En la actualidad se cuenta con conocimientos y técnicas avanzadas de análisis que permiten modelar
numéricamente, y con gran precisión, el comportamiento de estructuras complejas. Sin embargo, el análisis
estructural de edificios históricos de mampostería continúa siendo un desafío debido a una serie de factores.
Uno de ellos es la gran heterogeneidad generalmente presente en estas construcciones que dificulta asignar
propiedades mecánicas globales al modelo del material. La mampostería es un material compuesto y esto
también representa un reto; las características de este tipo de construcciones ha llevado a establecer dos
niveles de análisis del comportamiento mecánico de las estructuras: el nivel microscópico y el nivel
macroscópico. En el primero se discrimina el comportamiento mecánico de las piezas, de las juntas de
mortero y de las interfaces entre ellas. En el segundo nivel de análisis, el estudio se enfoca en el
comportamiento de elementos estructurales como muros, arcos y bóvedas, entre otros. La falla por corte en la
mampostería se caracteriza por un ángulo de dilatancia diferente del ángulo de fricción interna, este hecho
1
Profesor e investigador, Facultad de Ingeniería Civil, Universidad de Colima, km 9 carretera ColimaCoquimatlán, 28400, Coquimatlán, Colima. Teléfono: (312)316-1167; Fax: (312)316-1167;
[email protected]
2
Investigador de Postdoctorado, Instituto de Ingeniería, UNAM, Apdo: 70-642. México D.F. 04510
Teléfono: (55)562-23471; Fax: (55)562-23468; [email protected]
3
Investigador de Postdoctorado, Instituto de Ingeniería, UNAM, Apdo: 70-642. México D.F. 04510
Teléfono: (55)5665-9784; Fax: (55)5528-5975; [email protected]
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lleva a la necesidad de utilizar modelos de flujo no asociado que representan otra seria dificultad desde el
punto de vista del análisis numérico.
Figura 1 Pirámides de Egipto
Figura 2 Jeroglífico encontrado en la tumba de Rekhmara en Tebas (1500 a. C) donde se describe la
fabricación de ladrillos
En los últimos años y en diversos países, el interés por conservar el patrimonio construido ha llevado a
diferentes grupos de investigación al desarrollo de una cantidad apreciable de modelos de análisis estructural
para construcciones históricas de mampostería. Se han propuesto diferentes modelos constitutivos, desde los
más simples hasta los más complejos y se han utilizado, asimismo, diversos modelos estructurales,
dependiendo del grado de precisión buscado en el análisis.
La participación de los ingenieros en proyectos de conservación o restauración tiene dos fases. Primero, es
necesario evaluar la seguridad estructural de la construcción y después, en caso de ser necesario, diseñar las
soluciones de refuerzo. En ambos casos el ingeniero necesita herramientas de análisis adecuadas y
posiblemente diferentes.
Desde el punto de vista de ingeniería estructural, deben usarse diferentes técnicas para monumentos y para
centros históricos. Un monumento conjunta en una sola unidad todo su valor histórico y cultural, así como su
comportamiento estructural. Es de fundamental importancia que la evaluación estructural sea tan precisa
como sea posible y que las campañas de caracterización de materiales sean extensivas. Al contrario, los
centros históricos tienen su valor histórico y cultural disperso en múltiples y relativamente pequeñas
construcciones. Las características mecánicas de los materiales presentan grandes variaciones de un edificio a
otro. Es prácticamente imposible evaluar estructuralmente cada unidad. En este caso se requieren
herramientas de análisis más practicas, aunque posiblemente menos precisas y únicamente edificios
seleccionados como críticos o representativos pueden ser evaluados individualmente.
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COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LA MAMPOSTERÍA
La mampostería es un material de construcción compuesto por piezas unidas por juntas con o sin mortero.
Esta definición abarca una infinidad de materiales sustancialmente distintos. Las piezas pueden ser naturales,
como piedras labradas o sin labrar, o artificiales, como adobes y ladrillos, por citar las más comúnmente
usadas en mamposterías antiguas. Las juntas pueden ser secas (sin mortero), de barro o de diferentes tipos de
morteros. Los morteros en los edificios históricos generalmente son de cal y arena. Los romanos encontraron
que la adición de puzolanas permite un endurecimiento mucho más rápido y proporciona una mayor
resistencia e impermeabilidad al mortero (Meli, 1998). Desde un punto de vista geométrico, las mamposterías
históricas se pueden clasificar en regulares e irregulares. Las mamposterías regulares generalmente están
hechas de piedras labradas, adobes o ladrillos, y presentan un arreglo definido y periódico. Mientras que las
mamposterías irregulares, hechas de piedras sin labrar, no presentan patrón geométrico alguno. Tanto las
propiedades de los materiales constituyentes, como el arreglo geométrico definen el comportamiento
mecánico global de la mampostería.
Con una diversidad tan grande en materiales y formas, es difícil estudiar el comportamiento mecánico de la
mampostería como material estructural. Sin embargo, hay algunas características comunes a todos los tipos de
mamposterías. En primer lugar, poseen una resistencia en tensión muy baja y con falla casi-frágil. La falla
casi-frágil se caracteriza por el decaimiento de las propiedades mecánicas de los materiales constituyentes
debida a la aparición de imperfecciones en ellos. Por ejemplo, el mortero que une las piezas sólidas en la
mampostería contiene micro-grietas debido a los vacíos que se incorporan durante el mezclado del
cementante y arena con agua, incluyendo también el proceso de hidratación y la contracción por el fraguado.
En el caso de las piezas sólidas fabricadas como el ladrillo, los defectos se producen también durante el
proceso de mezclado, el moldeo de las unidades y su posterior secado en los hornos.
Para entender el proceso de ablandamiento en materiales casi-frágiles, se presentan tres gráficas de esfuerzo
deformación en la figura 3, dos elásticos que representan la descarga del material y uno inelástico que refleja
la pérdida de rigidez en la zona oscura de la barra. Se aprecia que en el equilibrio los valores de
deformaciones son distintos en cada zona. El área del diagrama de esfuerzo-deformación (diagrama central de
la figura 3) describe la cantidad de energía necesaria para que se desarrolle una grieta de área unitaria. Esta
energía, denominada energía de fractura, se supone que es una propiedad del material. Este parámetro permite
introducir el comportamiento de ablandamiento relacionado a los modos de fractura en materiales casifrágiles (figura 4).
σ
σ
σ
σt
σt
σt
σ
σ
σ
εt
ε
εt
ε
εt
ε
Figura 3 Proceso de ablandamiento en una barra con una imperfección en el centro.
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I
(a)
II
(b)
III
(c)
Figura 4 Modos básicos de falla por agrietamiento: (a) apertura, (b) cortante en el plano y (c) cortante
fuera del plano
En el caso de la mampostería, se presentan los dos primeros modos de falla. El primer modo se manifiesta en
las juntas, el mortero comienza a deteriorarse debido a los esfuerzos de tensión en éste. El modo II se
manifiesta cuando la interfase entre el mortero y la pieza sólida se desliza por efectos de esfuerzos cortantes.
Se debe indicar que es muy importante la deliberación sobre el tipo de análisis estructural que se llevará a
cabo en los edificios erigidos con materiales como la mampostería, pues, dependiendo de la elección, se
puede simplificar el comportamiento del material suponiendo que se comporta como frágil o no. En el caso de
análisis de estructuras de mampostería con modelos discretos o de bloques rígidos, es substancial suponer que
la resistencia en tensión es nula, lo que permite simplificar los modelos constitutivos que se utilizan. En el
caso de los modelos continuos (p. ej. elementos finitos) excepto en elementos barra, esta simplificación no es
válida desde un punto de vista físico y numérico. Por ejemplo, en un elemento sujeto a compresión axial pura,
existen esfuerzos de tensión transversal debido al efecto de Poisson; entonces, un modelo continuo, sin
resistencia en tensión, no sería capaz de soportar su propio peso.
La mampostería es un material heterogéneo y ortótropo. Esta ortotropía se debe principalmente a que las
juntas de mortero forman planos de debilidad debido a la baja resistencia a la tensión de estas juntas
(Dhanasekar et al., 1985) con mayores resistencia y rigidez en la dirección vertical que en la horizontal.
MODELOS DE ANÁLISIS
Para fines de análisis estructural, el ingeniero necesita desarrollar modelos del comportamiento mecánico de
los materiales. Estos modelos pueden variar ampliamente entre los muy complejos y precisos y los muy
simples. Los modelos más precisos permiten predecir aproximadamente el comportamiento de las estructuras,
siempre y cuando los parámetros del modelo y las cargas se conozcan con buena precisión. Estos modelos
pueden predecir todas las características esenciales del comportamiento estructural y también muchas que
pueden no ser esenciales en la práctica. Los modelos precisos son los más adecuados en la evaluación de
monumentos. En el otro extremo, los modelos de material muy simplificados producen información limitada
y aproximada acerca del comportamiento estructural. Sin embargo, esta información puede ser suficiente en
cantidad y precisión para fines de ingeniería cuando lo que se conoce acerca de las propiedades mecánicas del
material, las condiciones de apoyo y las cargas es igualmente aproximado. Este es el caso de edificios de
mampostería en centros históricos sujetos a acciones sísmicas.
Junto con el modelo del material, el ingeniero requiere elaborar un modelo de la estructura. Para simplificar
esta tarea, la estructura se divide en elementos. El comportamiento de cada elemento se modela en forma
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separada y posteriormente, se arma el modelo de la estructura a partir de estos elementos. Hay también una
gran variedad de tipos de elementos estructurales, desde muy complejos hasta muy simples. Los primeros
permiten modelar una gran cantidad de estructuras; como ejemplo se tienen los elementos finitos continuos.
En otros casos, el ingeniero suele tomar ventaja de características particulares de los elementos estructurales
para introducir simplificaciones en el modelo, por ejemplo en el elemento viga. Una estrategia de modelado,
que ha demostrado ser útil en estructuras de mampostería, es la combinación de elementos bloque, rígidos o
deformables, con elementos interfaz. Este modelo es atractivo tanto para micro-modelos, en donde los
elementos interfaz representan explícitamente a las juntas de mortero y a la interfaz entre mortero y pieza,
mientras que los bloques representan a las piezas mismas; como para macro-modelos, en donde los elementos
interfaz modelan las (posibles) grietas y los bloques representan mampostería no dañada, o poco dañada.
Es posible combinar los modelos estructurales con los de material. A partir de la década pasada se han
propuesto combinaciones de modelos estructurales precisos, como el método de los elementos finitos (MEF),
con modelos de material complejos. Entre estas propuestas se cuentan tanto modelos discretos (micromodelos), por ejemplo Lofti y Shing (1994) y Lourenço et al. (1998), como modelos continuos anisótropos,
como el de Lourenço y Rots (1997). El método de los elementos discretos usa la estrategia bloque-interfaz.
Este método se desarrolló originalmente para analizar macizos rocosos, pero se ha aplicado con éxito a
estructuras de mampostería, por ejemplo por Lemos (1997) y Sincraian (2001).
Desde el punto de vista práctico, puede decirse que estas herramientas tan precisas tienen la desventaja que
requieren mucho tiempo para elaborar los modelos, para realizar los análisis no lineales y para interpretar
adecuadamente los resultados. Estas herramientas deben usarse únicamente para análisis, y sólo en casos
especiales como estructuras complejas y/o importantes como pueden ser los monumentos históricos.
La caracterización mecánica de las mamposterías antiguas es una tarea difícil porque estas construcciones
fueron hechas con controles de calidad muy deficientes y en muchos casos han sido objeto de importantes
modificaciones. Estos materiales son normalmente muy heterogéneos; por tanto, es muy difícil asignar
valores medios para los parámetros de los modelos. Adicionalmente, los modelos de material muy complejos
requieren parámetros especializados que no son fáciles de evaluar, particularmente si se quieren usar técnicas
no destructivas. En estos casos, el ingeniero de la práctica podrá optar por modelos de material más sencillos.
Varios autores han propuesto modelos de análisis donde se aceptan otras simplificaciones para analizar
estructuras tipo arco como Choo et al. (1991) y Brencich et al. (2001), o estructuras esqueletales
tridimensionales como Molins y Roca (1998). Estas propuestas usan elementos viga y modelos de material
ligeramente simplificados. Formica et al. (2002) aceptaron otro tipo de simplificaciones en su propuesta de un
modelo para analizar muros de cortante, que se basa en la estrategia de bloques rígidos y juntas deformables
no lineales. Modelos propuestos explícitamente para analizar a nivel macroscópico muros de cortante
incluyen los de Braga et al. (1997) y Brencich y Lagomarsino (1997). Aún cuando estos modelos son de
carácter simplificado, todavía requieren de la evaluación de parámetros elásticos e inelásticos, así como de un
procedimiento de solución no lineal.
Por otro lado, Casolo (2000, 2004) primero y Casolo y Peña (2003, 2004) después, han desarrollado un
método de análisis simplificado, el Método de los Elementos Rígidos (MER), que toma en cuenta las
características inelásticas de la mampostería. Este método discretiza las estructuras de mampostería en
elementos rígidos. Estos elementos no representan cada bloque de la mampostería, ni los lados de conexión
representan las juntas. Los elementos rígidos representan grandes porciones de mampostería y en los lados de
conexión se concentran las deformaciones y los esfuerzos. El método toma en cuenta una ley histerética
degradante, con la que se representa el comportamiento frágil de la mampostería. Esto conlleva a tener menos
grados de libertad, lo cual permite realizar análisis en menos tiempo, tanto computacional, como de
preparación de datos e interpretación de resultados.
ANÁLISIS LÍMITE DE ESTRUCTURAS DE MAMPOSTERÍA
El comportamiento dinámico de estructuras antiguas de mampostería se caracteriza por la presencia y
desarrollo de grietas desde niveles bajos de esfuerzo. Este comportamiento no lineal no puede ser estudiado
mediante análisis modales y sus mecanismos de disipación de energía son difíciles de evaluar. Sin embargo,
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para fines de evaluación estructural de estos edificios, a menudo es suficiente conocer las capacidades de
carga y mecanismos de falla para direcciones preestablecidas del movimiento sísmico. Un modelo de material
rígido-perfectamente plástico, dentro del marco del análisis límite, es capaz de proporcionar estos resultados.
El atractivo de este modelo de material es que requiere solamente de parámetros de resistencia, no es
necesario evaluar ni rigidez ni parámetros de ablandamiento. En contrapartida, es imposible conocer las
deformaciones de la estructura. Los resultados se reducen a la carga última, mecanismo de colapso y
esfuerzos en los puntos críticos. Esta información es suficiente para la evaluación estructural de edificios
pequeños a medianos, característicos de los centros históricos. La combinación de este modelo de material
simplificado con el modelo estructural de bloques rígidos y juntas parece ser adecuado para la evaluación
estructural de edificios con estas características.
MODELO DE ELEMENTOS RÍGIDOS PARA ESTRUCTURAS DE MAMPOSTERÍA
El método de los elementos rígidos es un método simplificado de análisis para estructuras de mampostería, el
cual las considera como un ensamble de elementos rígidos. Estos elementos son cuadriláteros y tienen una
cinemática de cuerpo rígido, con dos desplazamientos lineales y una rotación (Figura 5). Los elementos
rígidos se conectan entre sí mediante tres puntos de conexión (resortes inelásticos). Estos puntos de conexión
son dos axiales, separados entre ellos para tomar en cuenta un par de fuerzas y el tercer punto es una conexión
de cortante, colocado al centro del lado de conexión (Figura 6).
m
F
v
F
u
θ
Figura 5 Fuerzas y desplazamientos de los elementos rígidos
d
d
P
Q
Ass
Sh
b
b
R
Ass
Figura 6 Conexión de dos elementos rígidos
La mampostería es considerada como un material deformable, pero esta deformación se concentra en los
puntos de conexión, mientras que el elemento en sí es indeformable (rígido). Los puntos de conexión se
encuentran cinemáticamente desacoplados entre sí; sin embargo, desde el punto de vista mecánico, se
encuentran acoplados entre ellos mediante las relaciones constitutivas del material. En otras palabras, los
puntos de conexión representan las características mecánicas del material, pero al mismo tiempo representan
la capacidad del modelo para tomar en cuenta la separación o deslizamiento entre elementos.
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Un modelo de elementos rígidos puede ser considerado como un modelo semicontinuo. En un modelo
continuo existe continuidad y compatibilidad entre los elementos que comparten un mismo nodo; mientras
que en un modelo discontinuo, los elementos son capaces de separarse o deslizarse entre ellos. En el método
de los elementos rígidos puede existir un movimiento relativo entre dos elementos (separación o
deslizamiento); sin embargo, las conectividades iniciales del modelo no cambian durante el análisis y existe
una continuidad relativa. De hecho, pueden presentarse separación, deslizamiento o sobreposición entre dos
elementos adyacentes; numéricamente significan tensión, cortante y compresión en los puntos de conexión.
Se supone que cada elemento es independiente en su movimiento, ya que las estructuras de mampostería no
pueden ser consideradas continuas, debido a que parte de su deformación se deriva de un movimiento relativo
entre elementos; sin embargo, sigue existiendo una relación entre los esfuerzos y las deformaciones. Las
conectividades iniciales no cambian durante el análisis para optimizar el tiempo de cómputo.
La idea principal de este método es la de poder analizar en forma simplificada cualquier tipo de estructura de
mampostería, no importando la geometría o las características del material. Cabe hacer la aclaración que, los
puntos de conexión representan los esfuerzos y deformaciones medias al interior de cada uno de los elementos
rígidos, de acuerdo con un volumen tributario. Es decir, cada uno de los puntos de conexión estaría
representando lo que sucede al interior de cada elemento. Por lo tanto, este método no es equivalente a los del
tipo de bloques rígidos y juntas deformables, en los que las características de cada uno de los puntos de
conexión representan la interfaz entre bloques.
Mediante un proceso de identificación de parámetros (Peña, 2001) es posible obtener las propiedades
mecánicas de los puntos de conexión. Este proceso consiste en condensar las propiedades mecánicas de la
mampostería homogenizada, mediante la equivalencia de la energía de deformación entre el material y los
elementos rígidos (Figura 7). A este proceso se le llama condensación por que las propiedades mecánicas de
la mampostería se “condensan” en un simple punto de conexión. El cual debe ser capaz de representar las
propiedades de la mampostería, sean elásticas, inelásticas e histeréticas.
PROMEDIO
Mampostería
CONDENSACIÓN
Características
Promedio
E.R.
Mampostería
IDENTIFICACIÓN
Mortero
Bloque
Puntos de
Conexión
Figura 7 Proceso de identificación para los elementos rígidos
MODELOS DE ANÁLISIS BASADOS EN EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Un método de análisis de estructuras, conocido y reconocido por muchos ingenieros estructuristas, es el
método de los elementos finitos; herramienta que ha extendido su uso de manera impresionante gracias a la
tecnología de los computadores y es cada vez más accesible a los diseñadores de estructuras. Dentro de este
tipo de tecnología, se ha ido incorporando nuevos procedimientos para la solución de sistemas de ecuaciones
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no-lineales, facilitando la tarea de los investigadores que deseen ampliar el intervalo de comportamiento del
material más allá del elástico-lineal.
En el ámbito de la ingeniería estructural, el método de elementos finitos ha sido muy empleado con el modelo
constitutivo elástico-lineal. Un análisis elástico-lineal con el MEF combina un modelo preciso para la
estructura con un modelo muy simplificado del material. No obstante se puede suponer que utilizar un modelo
elástico de material es una solución práctica, aún cuando el tiempo para la elaboración del modelo es
considerable. Sin embargo, debido a la baja resistencia en tensión de la mampostería, este material presenta
comportamiento no lineal desde niveles muy bajos de esfuerzos. Por lo tanto, un análisis elástico lineal
únicamente podrá indicar las zonas en donde se localizan los agrietamientos pero es definitivamente inútil
para evaluar la seguridad de una construcción antigua.
Un punto importante del modelado de edificios antiguos de mampostería con elementos finitos es la
aproximación en los modelos numéricos que se debe emplear para representar la mecánica no-lineal del
material, que depende del nivel de detalle que se requiere en el análisis. Un tipo de modelado de estructuras
con MEF es el micro-modelado, en donde se discrimina el comportamiento de las unidades sólidas, el mortero
de liga y la interfaz entre estos materiales. Este tipo de modelado, al igual que simplificaciones de éste, sólo
permiten caracterizar el comportamiento de estructuras de mampostería de pequeña magnitud. Otra opción
para el análisis, la cual es muy atractiva desde el punto de vista de los ingenieros de la práctica, es la macromodelación, en la cual se permite una representación simplificada del comportamiento no-lineal de este
material, lo que conduce a que los modelos estructurales sean más manejables desde el punto de vista de
cómputo y de procesamiento e interpretación de resultados. Esta última opción de modelado presenta un
futuro promisorio, proporcionando tecnología asequible a los diseñadores actuales. Se debe resaltar también
que este último tipo de modelado es de amplia aplicación en estudios de estructuras complejas las cuales no
han seguido regulaciones de diseño, como por ejemplo las estructuras históricas, y que al ser aplicada con
conocimiento constituye una herramienta poderosa de análisis para ser utilizada en la verificación de la
estabilidad o en el diseño de reforzamiento de estas edificaciones.
MODELOS CONSTITUTIVOS UTILIZADOS CON EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
El estudio del comportamiento a un nivel constitutivo del material que se encuentra sometido a diversas
trayectorias de cargas es un tema de investigación de mucho interés en la mecánica estructural. La idea de
modelar materiales como el concreto y la mampostería emergió en los años 60 del siglo pasado; pero las
formulaciones que se presentaron en aquel entonces carecían completamente de objetividad pues no se
consideraba el daño producido en estos materiales.
Actualmente, se ha dado mayor énfasis a la definición de relaciones constitutivas a partir de ecuaciones de
flujo inelástico que describen las condiciones cinemáticas, o de energía, en que se encuentra el medio
continuo en el nuevo comportamiento ocasionado por el daño (Belytschko et al., 2000).
El uso de estas relaciones constitutivas no es una cuestión trivial, especialmente en materiales donde el
problema de objetividad y las incertidumbres en variables como la energía de fractura son bastante
acentuados; pues éstas son sólo simplificaciones matemáticas de un comportamiento físico bastante complejo
ante estados de deformaciones que se producen en el continuo. Aunque no existe un modelo estricto que
pueda representar el verdadero comportamiento del material; es importante comprender primero el problema
físico que se está estudiando para elegir el modelo matemático de mejor aproximación y, segundo, establecer
los procedimientos de solución apropiados que se usarán para resolver el problema numérico según esta
elección, especialmente cuando existe la posibilidad de perder la elipticidad en las ecuaciones de flujo
(Roeder, 2004).
Modelos constitutivos basados en la teoría de la plasticidad
La observación fundamental al hacer una comparación entre el comportamiento elástico y plástico del
material, es que en el primero no se presentan deformaciones permanentes en la estructura al destituir las
cargas a la que se encontraba sometida; en el segundo comportamiento ocurren deformaciones permanentes.
Aunque este fenómeno de deformaciones irreversibles está relacionado con el comportamiento molecular,
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como el deslizamiento entre las partículas cristalinas en metales, se pueden utilizar las formulaciones
matemáticas desarrolladas para estimar el comportamiento del material en un contexto más amplio.
Desde la aparición del método de los elementos finitos en los años sesenta, la relación constitutiva que ha
dominado ha sido la elástica-lineal. El uso de la relación elástica-lineal no siempre se justifica, debido a que
ésta solo debe emplearse para describir el comportamiento mecánico de un sólido donde se producen
esfuerzos de pequeña magnitud, o los esfuerzos no sobrepasan el rango elástico.
Para limitar el espacio de esfuerzos es muy común aplicar la teoría de la plasticidad. En la teoría de la
plasticidad el espacio de esfuerzos admisibles está delimitado por superficies, denominadas superficies de
fluencia. Con la ecuación de las superficies de fluencia, las ecuaciones de evolución de las variables internas
de ablandamiento y la descomposición aditiva de las deformaciones totales en deformaciones plásticas y
elásticas se establecen las ecuaciones de flujo plástico que definen el comportamiento no-lineal del material.
Entre los criterios de fluencia más conocidos se pueden mencionar los siguientes: Von Mises, Drücker-Präger,
Hill, Rankine y Mohr-Coulomb y se describen en el espacio de Westergard o de esfuerzos principales
(figura 8).
El uso de estos criterios no es trivial; ya que debe ser avalado por pruebas experimentales para obtener los
parámetros que describen la superficie de falla. Además, las curvas experimentales también permiten definir,
mediante hipótesis de trabajo o de deformaciones plásticas, la función matemática que describe la relación
esfuerzo-deformación durante la simulación numérica del daño que se produce en el material ante distintas
trayectorias de carga (Lubliner, 1990).
Von Mises
σ1=σ2=σ3
σ3
·c
3·c
otφ
σ2
Drücker-Präger
σ1
Figura 8 Superficie de fluencia de Von Mises y de Drücker-Präger.
Modelado de estructuras de mampostería utilizando conceptos de agrietamiento distribuido
Dentro del grupo de modelos constitutivos que están basados en la mecánica se encuentran los modelos de
agrietamiento distribuido. Estos modelos son el resultado de considerar hipótesis simplificadoras en el sólido
real. El concepto de agrietamiento distribuido fue introducido inicialmente por Rashid (1968) utilizando
hipótesis y parámetros de la mecánica de la fractura. La ventaja que se aprecia con este tipo de modelado del
daño en materiales como la mampostería, es que se pueden incluir de manera sencilla otros fenómenos ajenos
a la fractura, como son los problemas viscosos, la plasticidad, etc. (Oller, 2001). Estos modelos se emplean
generalmente en estructuras casi-frágiles donde el deterioro del material se debe a los esfuerzos de tensión en
el continuo. Entre los modelos de agrietamiento distribuido se encuentran el modelo de agrietamiento
distribuido de Hillerborg et al. (1976) y el modelo de agrietamiento distribuido de Rots (1988). Este último es
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uno de los más reconocidos debido a que se establece una relación constitutiva en la zona fracturada, además
de dividir las deformaciones totales en deformaciones por localización de agrietamiento y deformaciones
elásticas. Desde su aparición los modelos numéricos basados en conceptos de agrietamiento distribuido se han
utilizado para analizar estructuras de concreto reforzado; además, han logrado aceptación para ser utilizados
en el modelado de estructuras de mampostería usando también modelos de plasticidad para reflejar el daño
por tensión y compresión en los elementos estructurales respectivamente.
Modelos de daño de continuo
La mecánica del daño del continuo ha sido introducida y muy utilizada para describir la degradación
progresiva de las propiedades mecánicas que sufren los materiales cuando comienzan a formarse las grietas
sin dirección o en todas las direcciones en él. La teoría de la mecánica del daño del continuo está basada en la
termodinámica de los procesos irreversibles y la teoría de las variables de estado interno como también es el
caso de la plasticidad. Para modelar el daño isótropo en el material es suficiente considerar un parámetro,
mientras que en el caso de modelos de daño anisótropo la descripción debe ser mediante cantidades
tensoriales.
El desarrollo de modelos de daño se puede enmarcar dentro de dos formulaciones, una basada en el espacio de
deformaciones y la otra en el espacio de los esfuerzos. Estas dos formulaciones pueden describir el
comportamiento no-lineal y la respuesta general en el rango inelástico del material (Simo y Ju, 1987).
σ
σ
M-1
1
ε
1
ε
(a)
σ
σ
M
1
ε
1
ε
(b)
Figura 9 Representación esquemática de (a) deformaciones equivalentes y (b) esfuerzos equivalentes
Los modelos de daño se suelen acoplar a los modelos constitutivos elásticos, plásticos, visco-elásticos, etc, y
se emplean con éxito en el modelado de estructuras de concreto y de mampostería sometidas a cargas casiestáticas. Para el caso de cargas cíclicas, como las que se producen durante un evento sísmico, los modelos de
plasticidad, de daño o los basados en conceptos de agrietamiento distribuido, difícilmente pueden capturar la
característica principal de la respuesta: el lazo histerético residual. Por ello se cree conveniente hacer hincapié
en que, para modelar este tipo de respuesta, es necesario acoplar el efecto de fricción interna que existe en las
superficies de agrietamiento, que está relacionado con el amortiguamiento global de las estructuras, al modelo
constitutivo del material (Regueneau et al., 2000).
CONCLUSIONES
En resumen, los modelos complejos, como el MEF no lineal y otros, son apropiados para la evaluación de
monumentos históricos importantes, mientras que los modelos simplificados, como el análisis límite entre
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otros, son una mejor elección para edificios pequeños. El MER al ser un modelo intermedio entre el MEF y el
análisis al límite, puede ser usado en ambos casos. El MER permite obtener el comportamiento global de la
estructura, tanto a nivel de esfuerzos y deformaciones, como de mecanismos de colapso y patrón de daño.
Si la evaluación estructural indica incapacidad de resistir las acciones estimadas, es necesario diseñar
soluciones de refuerzo. Los métodos no lineales basados en desplazamientos son definitivamente inadecuados
para esta tarea, debido a que consumirían una cantidad excesiva de tiempo por la naturaleza iterativa del
diseño. Aún en el caso de monumentos grandes e importantes, una vez identificados los modos de falla a
través de modelos complejos, los modelos simplificados son mejores herramientas prácticas para el diseño del
refuerzo.
REFERENCIAS
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