Sistemas de Procesamiento Analógico

Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere
Sistemas de Procesamiento Analógico
Bioing. Juan Manuel Reta
Sistemas de Adquisición y Procesamiento
Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere
Sistemas
El primer paso de un diseño:
Concepto
Aproximar las características requeridas con especificaciones
realizables físicamente.
La síntesis del sistema es la determinación de una estructura
realizable que cumpla con las epecificaciones de diseño.
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Contenidos
Procesamiento Analógico
Transformada de Hilbert
Funciones de Transf.
Redes Escalera
Funciones de Transferencia RC
Redes Escalera
Funciones de Transferencia LC
Funciones de Transferencia RLC
Métodos de Darlington
Método de Darlington
Bibliografia
Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere
Consideraciones Generales
Consideremos la siguiente situación:
¿Cómo definimos G (s)?
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Consideraciones Generales
G (s) =
Vo (s)
Vi (s) Io =0
m
P
A (s)
i=0
G (s) =
= n
P
B (s)
i=0
ai si
bi si
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Consideraciones Generales
Matemáticamente podemos caracterizar a G (s) a partir de:
m
P
G (s) =
i=0
n
P
ai si
bi si
impar
z }| {
= M (s) + N (s)
| {z }
par
i=0
Restringiendo el Dominio de G (s):
M (jω) = < {G (jω)} = R (ω)
N (jω) = j · = {G (jω)} = j · X (ω)
G (jω) = R (ω) + j · X (ω)
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Funciones Magnitud y Fase
Consideremos la siguiente situación:
¿Cómo defino G (s) ?
¿Podemos definir G (s) de manera que tenga |G (jω)| y bG (jω)
arbitrarias?
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Transformada de Hilbert
Sea G (s) una función analítica en el semi-plano cerrado
derecho incluyendo el eje imaginario del plano s y:
G (jω) = R (ω) + j · X (ω)
Si l«ımω→∞ = R (∞) = cte real finita, entonces R (ω) y X (ω)
están relacionadas por:
Z
1 ∞ R (ζ)
dζ
X (ω) = −
π −∞ ω − ζ
Z
1 ∞ X (ζ)
R (ω) =
dζ + R (∞)
π −∞ ω − ζ
Esta relación se la conoce como Transformada Hilbert → H { }
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Transformada de Hilbert
Por lo general contamos con la función magnitud de un filtro.
G (jω) = e−[α(ω)+jφ(ω)]
De esta forma, podemos escribir:
γ (ω) = − ln (G (jω))
γ (ω) = [α (ω) + jφ (ω)]
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Funciones Magnitud y Fase
Magnitud
G (jω) = e−α(ω) e−jφ(ω)
= e−[α(ω)+jφ(ω)]
z }| {
α (ω) , ln |G (jω)|
φ (ω) , arg [G (jω)]
| {z }
Fase
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Transformada de Hilbert
T. de Hilbert
Z
1 ∞ α (ζ)
dζ
π −∞ ω − ζ
Z
1 ∞ φ (ζ)
dζ
α (ω) =
π −∞ ω − ζ
φ (ω) = −
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Transformada de Hilbert
Para aplicar la Transformada de Hilbert a las funciones fase y
magnitud, se requiere que γ (s) sea analítica en el semiplano
cerrado derecho, también γ (s).
Esta condición implica que no solo G (s) debe ser analítica en
1
también debe serlo. es decir que
esta región sino que G(s)
G (s) no debe tener ni polos ni ceros en el semiplano cerrado
derecho.
Para que γ (s) cumpla con las condiciones, G (s) debe ser de
fase mínima. De esta forma la Trasnformada de Hilbert
permite obtener la función de transferencia a partir de la
función magnitud (o a partir de la función de fase).
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Consideraciones Generales
¿Cómo definimos G (s) ?
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Redes Escalera
Redes Escalera RC
Una de las estructuras de sistemas pasivos más empleada es
la RED ESCALERA.
Si cada elemento de la red es una resistencia o un capacitor se
la llama RED ESCALERA RC.
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Redes Escalera
Redes Escalera RC
Cero de Transmisión
Un concepto asociado a las redes escaleras es el de Ceros de
Transmisión (CT). Sk es un CT de H (s) si:
H (s) |s=sk = 0
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Redes Escalera
Redes Escalera RC
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Redes Escalera
Redes Escalera RC
Una de las estructuras de sistemas pasivos más empleada es
la RED ESCALERA.
Si cada elemento de la red es una resistencia o un capacitor se
la llama RED ESCALERA RC.
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Redes Escalera
Redes Escalera RC
Cero de Transmisión
Un concepto asociado a las redes escaleras es el de Ceros de
Transmisión (CT). Sk es un CT de H (s) si:
H (s) |s=sk = 0
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Redes Escalera
Redes Escalera RC
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Redes Escalera
Consideraciones Generales
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Redes Escalera LC
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Consideraciones Generales
Proponiendo:
k
+a
Obtenemos una implementación mediante una red escalera
LC.
H (s) =
s2
H (s)LC =
1
LC
s2 +
1
LC
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Métodos de Darlington
Consideraciones Generales
A partir de esto podemos platear tres situaciones:
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Métodos de Darlington
Consideraciones Generales
H (s)LC =
H (s)RLC =
s2 +
1
LC
L
RL
1
LC
s2 +
1
LC
1
LC
+ Rs C s +
1
LC
Rs
RL
+1
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Métodos de Darlington
Consideraciones Generales
H (s)LC =
1
LC
s2 +
1
LC
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Métodos de Darlington
Consideraciones Generales
H (s)RLC =
s2 +
1
LC
L
RL
+
1
LC
Rs
C
s+
1
LC
Rs
RL
+1
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Método de Darlington
Darlington
Caso Rs = 1; RL = ∞
H (s) =
Z21
Rs + Z11
H (s) =
n21 (s)
d21 (s)
(s)
+ nd11
11 (s)
1
H (s) =
A (s)
M1 (s)
=
B (s)
M2 (s) + N2 (s)
ó
H (s) =
A (s)
N1 (s)
=
B (s)
M2 (s) + N2 (s)
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Método de Darlington
Darlington
Caso Rs = 1; RL = ∞
H (s) =
s2
Z11 (s) =
1
+s+1
s2 + 1
s
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Método de Darlington
Darlington
Caso Rs = 0; RL = 1
H (s) =
−Y21
+ Y22
1
RL
(s)
− nd21
21 (s)
H (s) =
1+
H (s) =
n22 (s)
d22 (s)
A (s)
M1 (s)
=
B (s)
M2 (s) + N2 (s)
ó
H (s) =
A (s)
N1 (s)
=
B (s)
M2 (s) + N2 (s)
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Método de Darlington
Darlington
Caso Rs = 0; RL = 1
H (s) =
s2
Y22 (s) =
1
+s+1
s2 + 1
s
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Método de Darlington
Consideraciones Generales
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Bilbliografía