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CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS
ACTIVIDAD ACADEMICA: ESTADISTICA DE LA PROBABILIDAD
DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA
UNIDAD N° 5: DISTRIBUCION NORMAL
1. DISTRIBUCION BINOMIAL
La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una
secuencia de n ensayos independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los
ensayos
Una distribución binomial se caracteriza por
a. El experimento aleatorio consta de n ensayos idénticos
b. Los resultados del experimento aleatorio se clasifican en uno de dos resultados mutuamente excluyentes
clasificados como éxito o fracaso.
c. La probabilidad de éxito de un solo ensayo es igual a p y permanece constante de uno u otro ensayo. La
probabilidad de fracaso es q = 1 – p
d. Las pruebas son independientes
e. Interesa conocer x, el número de éxitos observados en n pruebas
1.1 FUNCION DE PROBABILIDAD
Para resolver una probabilidad con la distribución binomial se aplica la siguiente fórmula
P( x) 
n!
p x q n x ,
x!n  x !
x= 0, 1,2,3,…,n
Para el manejo de la distribución binomial es necesario determinar los valores de n y p. En forma abreviada se
dice que x tiene una distribución binomial con parámetros n y p y se representa como: x~b(n, p)
Ejemplo: Por experiencia un vendedor de seguros de vida sabe que la probabilidad que efectúe una venta en la
primera visita es de 0,2. Suponga que el vendedor visita a cuatro posibles compradores. Cuál es la probabilidad
que:
a. ¿Exactamente dos compren el producto?
b. Al menos dos compren el producto
c. Todos compren el producto
Solución
Se define la variable aleatoria.
x: El número de personas que si compran el producto entre los cuatro posibles compradores visitados
Entonces x tiene distribución binomial con parámetros n=4, p=0,2, es decir,
X ~ b(4, 0.2)
Donde:
n!
P( x) 
p x q n x
a.
x!n  x !
P(2) 
4!
(0.2) 2 (0.8) 42
2!4  2!
Material compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
P(2) 
24
(0.04)(0.64)  0.153
2 2
b. P(x≥2) = P(2)+P(3) + P(4) o b también
P(x≥2) = 1- P(0) – P(1) por complemento
4!
4!
P( x  2)  1 
(0.2) 0 (0.8) 4 
(0.2)1 (0.8) 3  1  0.4096  0.4096  0,18
0!(4  0)!
1!(4  1)!
c.
P(4) 
4!
(0.2) 4 (0.8) 0  0,0016
0!(4  0)!
2. La probabilidad de que un prospecto de ventas aleatoriamente elegido realice una compra es de 0,20. Si un
representante de ventas visita a 6 prospectos calcule:
a. La probabilidad de que realice exactamente cuatro ventas
b. La probabilidad de que el vendedor realice cuatro o más ventas
Solución
Se tiene n= 6, X=4, p=0,20
q= 1-0,20=0,8
a. Por definición
n x n  x
P( X )    p  q
Reemplazando valores
 x
6!
6
4
64
P( x  4)   (0,2)  (0,8)

(0,0016)(0,64)  0,015
2!.4!
 2
b. La probabilidad de que el vendedor realice cuatro o más ventas se determina de la siguiente manera:
P(x≥4)= P(X=4)+ P(X=5) +P(X=6)
P( X  4) 
6!
6!
6!
4
2
5
1
6
0
(0,2)  (0,8) 
(0,2)  (0,8) 
(0,2)  (0,8)
4!.2!
5!.1!
6!.0!
P( X  4)  0,017
3. Si la probabilidad de que un prospecto de ventas aleatoriamente elegido realice una compra es de 0,20
Calcule la probabilidad de que un vendedor que visita 15 prospectos realice menos de tres ventas es
Solución
Puesto que el uso de la fórmula binomial implica un gran número de operaciones aritméticas cuando la muestra
es relativamente grande, suelen emplearse tablas de probabilidades binomiales (véase apéndice)
La probabilidad de que un vendedor que visita 15 prospectos realice menos de tres ventas es
P(X<3)= P(X==) + (P(X=1) + P(X=2)
siguiendo la tabla
P(X<3)=0,0352 + 0,1319 + 0,2309
P(X<3)=0,3980
3. Se sabe que en la manufactura de cierto artículo, uno de cada diez resulta defectuoso. Cual es la probabilidad
que en una muestra aleatoria de 4 artículos contenga:
a. Ninguno defectuoso
b. Exactamente uno defectuoso
c. Exactamente dos defectuosos
d. no más de dos defectuosos
Material compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Se tiene n=4
Por definición
p= 1/10 = 0,1
Solución
q= 1-0,10 = 0,90
n x n  x
P( X )    p  q
en cada caso
 x
a. Ninguno defectuoso
4!
 4
0
40
0
4
P( X  0)   (0,1)  (0,9)

(0,1)  (0,9)  1(1)(0,6551)  0,6561 65,61%
0
!.
4
!.
0
 
b. Exactamente uno defectuoso
4!
 4 1
4 1
1
3
P( X  1)   (0,1)  (0,9)

(0,1)  (0,9)  4(0,1)(0,729)  0,2916  29,16%
1
!.
3
!
1
 
c. Exactamente dos defectuosos
4!
 4
2
42
2
2
P( X  2)   (0,1)  (0,9)

(0,1)  (0,9)  6(0,01)(0,81)  0,0486  4,86%
2
!.
2
!
2
 
d. No más de dos defectuosos
P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P( X  2) 
4!
4!
4!
0
4
1
3
2
2
(0,1)  (0,9) 
(0,1)  (0,9) 
(0,1)  (0,9)
0!.4!.
1!.3!
2!.2!
P( X  2)  0,6561 0,2916 0,0486
P( X  2)  0,9963 99,63%
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Se sabe que en la manufactura de cierto artículo, uno de cada 10 resulta defectuoso, ¿Cuál es la
probabilidad de que una muestra aleatoria de 4 artículos contenga:
a. Ninguno defectuoso
b. Exactamente uno defectuoso
c. Exactamente dos defectuosos
d. No más de dos defectuosos
2. En una fábrica el 20% de los artículos que produce una máquina resultan defectuosos. Si 10 artículos
son elegidos al azar, de todos los productos en el día por dicha máquina. Calcular la probabilidad de
que haya:
a. Exactamente dos defectuosos
b. 3 o más defectuosos
c. Más de 5 defectuosos
d. Ninguno defectuoso
3. Los registros hospitalarios indican que el 10% de los casos de cierta enfermedad resultan fatales. Si hay
5 pacientes que sufren de la enfermedad, encontrar la probabilidad de que.
a. Todos sanen
b. Por lo menos 3 mueran
c. Exactamente 3 mueran
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ANEXO
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BIBLIOGRAFIA:
Estadística aplicada a la economía y administración Leonard Kazmier Mc Graw Hill
Estadística y muestreo: Ciro Martinez Bencardino. Eco ediciones
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