2011/12 - MasMates

Derivadas
Selectividad CCNN 2012
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1. [ANDA] [JUN-A] Sea la función f:    definida por f(x) = ex(x - 2).
a) Calcula la asíntotas de f.
b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento de f.
c) Determinan, si existen, los puntos de inflexión de la gráfica de f.
2. [ANDA] [JUN-B] Sabiendo que lim
a·sen(x)-xex
x2
x0
es finito, calcula el valor de a y el de dicho límite.
x+k si x  0
3. [ANDA] [SEP-A] Sea la función continua f: definida por f(x) =
2
ex -1
x
2
si x > 0
.
a) Calcula el valor de k.
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1.
4. [ANDA] [SEP-B] Sea la función f definida por f(x) =
e-x
para x  1.
1-x
a) Estudia las asíntotas de la gráfica de f.
b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de f.
5. [ARAG] [JUN-A] a) Descomponer el número 12 en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado
del segundo sea máximo.
ex-e-x+kx
= 2.
x0 x-sen(x)
c) Sea f : una función real de variable real, continua y derivable en la recta real. Supongamos que f (0)  0 y
f(x+y) = f(x)·f(y), para todo número real x,y.
Demostrar que f(0) = 1; f (x)  0; f(x) > 0 y f'(x) = f'(0)·f(x) para todo número real x.
b) Hallar el valor de k para que lim
2x
.
x2+1
a) Determine el dominio de continuidad, simetrías, corte con los ejes, y asíntotas de la función f.
b) Calcule, si existen, los extremos relativos y absolutos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
c) Calcule, si existen, los puntos de inflexión de f.
d) Dibuje la gráfica de f.
6. [ARAG] [JUN-B] Sea f la función de variable real definida mediante la expresión f(x) =
7. [ARAG] [SEP-A] Se dispone de una cartulina cuadrada como la del dibujo, cuyo lado mide 50 cm.
En cada una de las esquinas se corta un cuadrado de lado x con el fin de poder doblar la cartulina y
formar una caja, sin tapa.
¿Cuál debe ser el lado del cuadrado a cortar para que el volumen de la caja sea máximo?
8. [ARAG] [SEP-B] Sea la función f(x) =
1
2
x -x-6
.
a) Determine el dominio de f(x).
b) Estudie si la función f(x) es continua. Si no lo es, determine los puntos de discontinuidad.
c) Determine los posibles máximos y mínimos, así como las asíntotas de f(x).
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9. [ASTU] [JUN-A] Halle el rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio 3.
10. [ASTU] [JUN-B] Obtenga una función polinómica de tercer grado y = ax3+bx2+cx+d tal que tenga un mínimo en el punto (1,1) y
un punto de inflexión en el punto (0,3).
11. [ASTU] [SEP-A] Calcule lim
x1
1
1
. (Nota: ln x denota el logaritmo neperiano de x).
x-1 ln x
4
12. [ASTU] [SEP-B] Sea la función f: definida por f(x) =
x
m e -1
x
si x = 0
si x  0
, donde m.
a) Calcule m para que la función sea continua en x = 0.
b) Para el valor de m calculado estudie, usando la definición de derivada, si la función f es derivable en x = 0.
ae2x
, se pide:
1+x
a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en x = 0 valga 2.
b) Para a =1, estudiar el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.
c) Para a =1, hallar sus asíntotas.
13. [C-LE] [JUN-A] Dada la función f(x) =
14. [C-LE] [JUN-B] Se considera la función f(x) =ex + ln(x) , x(0,) donde ln denota el logaritmo neperiano.
a) Estudiar la monotonía y las asíntotas de f(x).
b) Demostrar que la ecuación x2ex -1 = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0,1].
15. [C-LE] [SEP-A] Sea la función f(x) = 2x2+3 ex.
a) Estudiar asíntotas, crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
b) Esbozar su gráfica.
16. [C-LE] [SEP-B] a) Determinar los extremos absolutos de la función f(x) = x2-4x+4 en el intervalo [1,4].
b) Aplicando la definición, estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por f(x) =
x-x2 si 0  x  1
en el punto
ln2(x)
si 1 < x  2
x-1
x = 1, donde ln denota el logaritmo neperiano.
17. [C-MA] [JUN-A] Dada la función f(x) = x3+ax2+bx+c, calcula los parámetros a, b, c   sabiendo que la recta tangente a la
gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = -1 tiene de pendiente -3 y que f(x) tiene un punto de inflexión de coordenadas (1,2).
18. [C-MA] [JUN-B] La concentración (en %) de nitrógeno de un compuesto viene dada, en función del tiempo, t[0,+) medido en
60
segundos, por la función N(t) =
.
1+2e-t
a ) Comprueba que la concentración de nitrógeno crece con el tiempo. ¿Para qué tiempo t[0,+) la concentración de nitrógeno es
mínima y cuál es esta concentración?
b ) ¿A qué valor tiende la concentración de nitrógeno cuando el tiempo tiende a infinito?
19. [C-MA] [SEP-A] a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle.
b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales distintas de la ecuación x5-5x+3 = 0.
c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas.
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ax2+b
, calcula los parámetros a, b   sabiendo que:
2x+6
> f(x) tiene una asíntota oblicua de pendiente 2.
> f(x) tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x = 0.
20. [C-MA] [SEP-B] Dada la función f(x) =
3x2+sen2x+2 si
21. [CANA] [JUN-A] Dada la función f(x) =
3
x0
x+2a·cosx si 0 < x < 
3
x+b-2
si   x
a) Hallar valores de a y b para que f (x) sea continua en todo  (explicar).
b) Estudiar derivabilidad en todo  de la función f(x), con los valores de a y b obtenidos anteriormente.
22. [CANA] [JUN-B] a) Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones, justificando en cada caso si la función es
creciente o decreciente en el punto indicado:
i) f(x) = arc sen (2x)- tag (3x) , en x = 0.
ii) g(x) =
2-4
ex
+cos(x), en x = 2.
b) Calcular el siguiente límite, explicando cómo lo hace: lim
x0
senx(1-cosx)
ln3(x+1)
.
23. [CANA] [JUN-B] Obtener razonadamente dos números positivos, de forma que se cumplan los siguientes requisitos:
i) La suma de ambos debe ser 60.
ii) El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro resulte de valor máximo.
24. [CANA] [SEP-A] Dada la función f(x) =
2x2+3
x2-4
a) Obtener su dominio y los cortes de su gráfica con los ejes de coordenadas (explicar).
b) Hallar las asíntotas horizontales y verticales de su gráfica, justificándolas.
c) Determinar intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento y extremos relativos de esta función.
Justificar los resultados obtenidos.
25. [CANA] [SEP-A] La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un cierto proceso de 6 horas de
5t-15
duración, viene dada en función del tiempo t transcurrido en ese proceso por la expresión T = 20+
(con 0  t  6)
t2-6t+10
Determinar en qué momento del proceso la pieza alcanza su temperatura máxima y en qué momento alcanza su temperatura
mínima. Justificar las respuestas.
26. [CANA] [SEP-B] a) Dada la función f (x) = cos2(3x), hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a su gráfica en el punto
de abscisa x = /12 (explicar).
b) Hallar los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función g(x) = 2x3-3x2-12x+5. Justificar los resultados obtenidos.
27. [CATA] [JUN] Dadas la recta y=3x+b y la parábola y = x2,
a) Calcule la abscisa del punto en el cual la recta tangente a la parábola es paralela a la recta dada.
b) Calcule el valor del parámetro b para que la recta sea tangente a la parábola.
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28. [CATA] [JUN] Un triángulo equilátero de vértices A, B y C tiene los lados de 8 cm. Se sitúa un punto
P sobre una de las alturas del triángulo, a una distancia x de la base correspondiente.
a) Calcule la altura del triángulo de vértices A, B y C.
b) Indique la distancia del punto P a cada uno de los vértices (en función de x).
c ) Determine el valor de x para el cual la suma de los cuadrados de las distancias del punto P a cada
uno de los tres vértices sea mínima.
ax2
, en que a  0.
x+b
a) Determine si tiene alguna asíntota vertical, en función del parámetro b.
b) Indique el valor de los parámetros a y b para que la función f(x) tenga la recta y =2x-4 como asíntota oblicua en +.
29. [CATA] [SEP] Sea f(x) =
30. [CATA] [SEP] Una fábrica produce cada día x toneladas de un producto A y (40–5x)/(10–x) toneladas de un producto B. La
cantidad máxima de producto A que se puede producir es de 8 toneladas. El precio de venta del producto A es de 100 € por
tonelada y el del producto B es 250 € por tonelada.
a) Construya la función de la variable x que nos proporciona los ingresos diarios, suponiendo que se vende toda la producción.
b) Calcule cuántas toneladas de cada producto se tienen que producir diariamente para obtener el máximo de ingresos, y
compruebe que es realmente un máximo relativo.
31. [CATA] [SEP] Dadas la recta y = ax+1 y la parábola y = 3x–x2,
a) Calcule los valores del parámetro a para que sean tangentes.
b) Calcule los puntos de tangencia.
32. [EXTR] [JUN-A] a) Determine el punto (x,y) de la parábola y = x2 en el que la suma x+y alcanza su mínimo valor.
b) Explique por qué dicho mínimo es absoluto.
33. [EXTR] [JUN-B] Considere la función f(x) = |x| + |x-2|.
a) Exprese f(x) como una función definida a trozos.
b) Dibuje la gráfica de f(x).
c) Escriba el intervalo abierto de la recta real formado por los puntos en los que f(x) es derivable y se anula su derivada.
34. [EXTR] [SEP-A] a) Calcule el siguiente límite (ln denota el logsaritmo neperiano): lim x·lnx.
x0+
b) Estudie los extremos relativos, las asíntotas y el signo de la función f(x) = x·lnx definida en el intervalo abierto (0,+).
c) Utilizando los datos obtenidos en los apartados a) y b), represente de forma aproximada la gráfica de la función f(x) del
apartado b).
2
35. [EXTR] [SEP-B] a) Estudie las asíntotas de la función f(x) = e-x .
b) Calcule los extremos relativos y los puntos de inflexión de f(x).
c) Utilizando los datos obtenidos en los apartados a) y b), haga la representación gráfica aproximada de la función f(x).
36. [MADR] [JUN-A] Hallar a, b, c de modo que la funcion f(x) = x3+ax2+bx+c alcance en x = 1 un maximo relativo de valor 2, y
tenga en x = 3 un punto de inflexion.
37. [MADR] [JUN-B] Dadas las funciones f(x) =
3x+ln(x+1)
2
x -3
, g(x) = (ln x)x, h(x) = sen(-x), se pide:
a) Hallar el dominio de f(x) y el lim f(x).
x+
b) Calcular g'(e).
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c) Calcular, en el intervalo (0,2), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y las coordenadas de los
extremos relativos de h(x).
38. [MADR] [SEP-A] Dada la funcion f(x) =
3x+A
si x  3
, se pide:
-4+10x-x si x > 3
a) Hallar el valor de A para que f(x) sea continua. ¿Es derivable para ese valor de A?
b) Hallar los puntos en los que f'(x) = 0.
c) Hallar el maximo absoluto y el mnimo absoluto de f(x) en el intervalo [4,8].
2
2x2+ax+b si x  1
.
lnx-1
si x > 1
Determine los valores de los parámetros a y b sabiendo que f(x) cumple las siguientes propiedades
a) f(x) es continua en todo .
b) f(x) tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0.
39. [MURC] [JUN-A] Considere la función dada por f(x) =
x2-9
, se pide:
x-1
Dominio de definición y cortes con los ejes.
Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
Representación gráfica aproximada.
40. [MURC] [JUN-B] Dada la función f(x) =
a)
b)
c)
d)
x2-3x+a
41. [MURC] [SEP-B] Considere la función dada por f(x) =
si x  0
-x2+bx+b+1 si x > 0
Determine los valores de los parámetros a y b para los cuales f(x) es continua y derivable en todo .
42. [RIOJ] [JUN] Calcula el siguiente límite: lim
x0
1+x-ex
sen2x
.
43. [RIOJ] [JUN] Calcula el dominio y representa gráficamente la función f(x) = ln
x
.
x+1
44. [RIOJ] [JUN] Enuncia el teorema de Rolle. Encuentra los ceros de la primera derivada de la función
f(x) = x3-12x+a. Usa
finalmente la información previa para probar que, con independencia del valor de a, la ecuación x3-12x+a = 0 no tiene dos
soluciones distintas en el intervalo [-2,2].
ex-xcosx-1
x0 senx-x+1-cosx
45. [RIOJ] [SEP] Calcula lim
46. [RIOJ] [SEP] Para a(0,+) determina el dominio y estudia la continuidad y derivabilidad de la función f(x) =
1+ax
2
si x  0
ln x +a si x > 0
.
Describe la función derivada f'(x).
47. [RIOJ] [SEP] Enuncia el teorema de Bolzano y úsalo para probar que la ecuación x = cosx tiene una única solución. Debes
justificar adecuadamente por qué es única. (Puede serte útil dibujar las gráficas de las funciones f(x) = x y g(x) = cosx).
48. [VALE] [SEP-B] Se desea construir un depósito cilíndrico de 100 m3 de capacidad, abierto por la parte superior. Su base es un
círculo en posición horizontal de radio x y la pared vertical del depósito es una superficie cilíndrica perpendicular a su base. El
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precio del material de la base del depósito es 4 euros/m2. El precio del material de la pared vertical es 2 euros/m2.
Obtener razonadamente:
a) El área de la base en función de su radio x.
b) El área de la pared vertical del cilindro en función de x.
c) La función f (x) que da el coste del depósito.
d) El valor x del radio de la base para el que el coste del depósito es mínimo y el valor de dicho coste mínimo.
Soluciones
1. a) y = 0 b) crec: (1,+); min: (1,-e) c) (0,-2) 2. 1; -1 3. a) k = 1 b) y = 2x+e-3 4. a) x = 1; y = 0 b) crec: (0,1)(1,+); min: (0,1) 5. a) 4, 8 b) -2 6. a) ; sim. resp.
2 Y
1
el origen; (0,0), y = 0 b) crec: (-1,1), max: 1; min: -1 c) 0,  3 d)
-2 -1
X
7. 8'33 cm 8. a) -{-2,3} b) -{-2,3} c) max:
1 2 3
1
; asint: x = -2; x = 3; y = 0 9.
2
-2
Y
2
3 2 3 2
x
2
2
10. y = x3-3x+3 11.
-1
2
-1
-1
,+ ; min:
c) x = -1; y = 0 14. a) crec: (0,+) c)
2
2
12. a) 4 b) f'(0) = 2 13. a) 2 b) crec:
1
X
-1
1
15. a) a.h. y
2
-1
= 0; crec: ; conv: -,
4 Y
3
2
1 X
-4+ 2
-4- 2 -4+ 2
-4- 2

,+ ; p.i:
,
b)
2
2
2
2
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
b)
-3
4
-9
4
20. 4, 0
21. a) 1, 0 b) -{0}
22. a) f'(x) =
Y
1-4x2
-
3
cos23x
; dec; g'(x) =
2
2xex -4-sen(x)
Y
3
Y
2
1
c) (0,2) 34. a) 0 b) min: ; positiva en (1,+) c) 1
e
2
1
-1
1
1
; crec b)
23. 24, 36 24. a) -{-2,2};
2
2
2 ex -4+cos(x)
-3
+2
1
-18
1
3
b) x = -2; x = 2; y = 2 c) crec: (-,-2)(-2,0); max: 0,
25. max: (4,22'5); min: (2,17'5) 26. a) y = -3x+
; y = xb) max: -1; min: 2; p.i:
27. a)
4
4
3
36
2
2
-2x+2 si x < 0
4 3
-1 1
28. a) 4 3 b) 4 3-x; x2+16 c)
29. x = -b (b0) b) 2, 2 30. 15, 7 31. a) 1, 5 b) (-1,-4), (1,2) 32.
,
33. a)
2
si 0  x < 2 b)
2 4
3
2x-2 si x  2
t=0; 20% b) tiende al 60%
0,
2
16. a) mx: (4,4); min: (2,0) b) cont.; no deriv. 17. -3, -12, 16 18. a) crec;
X
X
1
- 2
2
35. a) y = 0 b) max: 0; p.i.:
,
c)
2
2
X
-1
1 2 3
1
36. -9, 15, -5 37. a)
2
-1
1 2 3
3,+ ; 3 b) 1 c) (,0); max:

,1 ; min:
2
3
,1
2
38. a) 8; deriv: -{3} b) 5 c) max: (5,21); min: (8,12) 39. 0, -3 40. a) D: (-,-3][3,+); (-3,0), (3,0) b) y = -1, y = 1
1 Y
Y
c) crec: (-,-3)(3,9); max: 9 d)
-5
deriv. en -{0}; f'(x) =
-3
1
X
-1
-2
1 2 3 4 5 6
41. -2, -3 42.
-1
2
X
43. D(f) = (-,-1)(1,+)
-2 -1
1
2
45. 1
46. Dom: ; cont en  si a=e2;
-2
axlna si x < 0
48. a) x2 b) 2xh c) 4x2+4xh c) 2'515; 238'53
2x
si x > 0
x2+a
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