Capítulo I DESACELERACIÓN Y ENFRIAMIENTO DE PARTÍCULAS

Departamento de Física Aplicada III
Capítulo 1:
Enfriamiento con campos eléctricos
Capítulo I
DESACELERACIÓN Y ENFRIAMIENTO
DE PARTÍCULAS CON CAMPOS
ELÉCTRICOS VARIABLES
EN EL TIEMPO
1.-INTRODUCCIÓN.
El principio fundamental sobre el que se basa la desaceleración de partículas (átomos
o moléculas) en un campo eléctrico que varía con el tiempo es que dicho campo ejerce
una fuerza sobre un dipolo en el sentido del gradiente, pero un campo espacialmente
uniforme, aunque varíe con el tiempo, no ejerce ninguna fuerza sobre el mismo (Maddi
J., Dinneen T., Gould H. 1999).
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Enfriamiento con campos eléctricos
Para observar este fenómeno más gráficamente, imaginemos una molécula polar que
penetra entre dos placas de un condensador eléctrico plano. Inicialmente las placas están
descargadas, y cuando la molécula se encuentra entre las mismas, entonces se cargan a
un determinado voltaje. Sobre el dipolo no actuará ninguna fuerza neta debido a que el
campo eléctrico entre las placas es espacialmente uniforme, por lo cual, y según el
teorema de las fuerzas vivas, mantendrá constante su energía cinética pero su energía
potencial sí disminuirá debido a la acción del campo eléctrico. Entonces, la molécula
seguirá manteniendo la misma velocidad hasta la salida del condensador, donde tiene
lugar el llamado efecto de borde. En este momento, la molécula volverá a ganar la
energía potencial que perdió instantes antes, pero al ser conservativo el campo eléctrico
su energía total debe permanecer constante, por tanto ha de perder energía cinética en la
misma cantidad . En este momento se produce la desaceleración.
También podemos estudiar la desaceleración que sufre el dipolo en el borde del
condensador desde otro punto de vista: en la zona del gradiente el dipolo sufrirá una
fuerza en sentido contrario a su movimiento, es decir, una fuerza en dirección del
gradiente y sentido creciente del mismo.
r
r
r
F = − p * ∇E
En la figura 1 se representa un esquema de la situación.
Fig 1. Diagrama esquemático del efecto de desaceleración con un gradiente de campo eléctrico. Moléculas o átomos neutros
entran en las placas del condensador con el campo apagado (a). Cuando están entre las placas, se aplica un voltaje
produciendo un campo eléctrico uniforme (b).Al salir del condensador, atraviesan un gradiente de campo donde son
desaceleradas (c).Este proceso puede ser repetido situando en paralelo una serie de condensadores iguales al de la figura.
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Este proceso de desaceleración puede ser repetido colocando una serie de placas de
condensadores, de forma que en cada uno de ellos se aplique el voltaje una vez que el
dipolo se encuentra dentro de la zona correspondiente al campo eléctrico uniforme,
pudiendo llegar a dejar la molécula cerca del reposo absoluto con un número
determinado de placas eléctricas.
En cuanto al enfriamiento propiamente dicho, por la propia definición de temperatura
hemos de considerar un paquete de moléculas que realizan el trayecto anterior. Para que
ocurra el enfriamiento hemos de lograr un decremento en el desarrollo de sus
velocidades longitudinales. Con otras palabras, el enfriamiento se producirá si logramos
reducir la energía cinética interna del conjunto de moléculas, referida al centro de
masas. Este hecho es posible si adaptamos la intensidad del campo eléctrico a la
velocidad de las moléculas que atraviesan el gradiente del campo eléctrico, por lo cual
el campo eléctrico debe decrecer con el tiempo. Así, las primeras moléculas que salen
de las placas tienen más velocidad y son desaceleradas en mayor medida que las
ultimas, que sufren un gradiente de campo menor, pues la intensidad del campo ha
disminuido con el tiempo.
En la figura 2 se representa gráficamente la situación que estamos describiendo.
Fig. 2: Diagrama esquemático del enfriamiento longitudinal con un gradiente de campo eléctrico que varía con el tiempo. La velocidad
relativa de las partículas está representada por la longitud de sus flechas y la intensidad del campo eléctrico por la densidad de las líneas de
campo. Un pulso de moléculas o de átomos neutros entra en el condensador con las más veloces en cabeza (a). Se sigue el mismo
procedimiento que en la Fig.1 salvo que el campo eléctrico decae con el tiempo. Las partículas más rápidas, que salen primero, pierden más
energía cinética (b) que las más lentas, que salen más tarde, cuando el gradiente de campo es menor (c). Alternativamente, si el campo es
aplicado antes de que todas las partículas hayan entrado en el condensador, las partículas más lentas serán aceleradas al entrar en el mismo.
Con campos suficientemente intensos, las velocidades relativas de las moléculas lentas y rápidas pueden ser intercambiadas y el pulso puede
ser comprimido.
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De esta forma lograríamos estrechar el perfil de velocidades de las moléculas y, en
consecuencia , bajar la energía cinética interna del conjunto , produciéndose el
enfriamiento de la muestra.
2.- ÁTOMOS Y MOLÉCULAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS.
2.1.- Átomos neutros en campos eléctricos.
La desaceleración de partículas mediante campos eléctricos variables en el tiempo se
basa en el cambio que tiene lugar en la energía potencial de un átomo cuando viaja a
través de un campo eléctrico variable en el espacio y en el tiempo. El efecto de un
campo eléctrico sobre dicha energía potencial se puede describir, para bajos órdenes del
campo eléctrico, por la polarizabilidad del átomo, definida como la razón del momento
dipolar inducido por el campo eléctrico externo.
Aunque la polarizabilidad del átomo es un tensor, los términos no escalares son
pequeños normalmente y no afectarán al proceso que será discutido. Así, el momento
dipolar inducido es, en buena aproximación, una magnitud escalar, y la energía
potencial puede ser expresada por:
ε=
− αE 2
2
donde E es la magnitud del campo eléctrico y α es la polarizabilidad escalar. Por
tanto, la energía potencial depende sólo de la magnitud del campo eléctrico y no de su
dirección.
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Un campo eléctrico variable en el espacio provoca una fuerza sobre el átomo:
r 1
F = α∇( E 2 )
2
la cual, para átomos en estado fundamental tiene la dirección del campo eléctrico y va
dirigida en el sentido creciente del mismo (“strong field seeking”). Como en cualquier
campo conservativo, el cambio en la energía cinética cuando el átomo viaja entre dos
puntos es igual al cambio en la energía potencial entre dichos puntos.
Por ejemplo, un átomo de Cs viajando desde una región de campo Ei nulo hacia otra
región con Ef =107 V/m, gana energía cinética de forma que:
∆ε =
(
α E f − Ei
2
2
2
) = 3.3 ⋅10
− 25
J = 24mK
donde se ha usado el valor de 6.63 x 10-39 J/(V/m)2 para la polarizabilidad dipolar del
Cs. Para vi=0, la velocidad final del átomo sería alrededor de vf=1.7 m/s
2.2.- Moléculas polares en campos eléctricos.
Además de polarizabilidad, las moléculas polares tienen una separación intrínseca de
carga que produce un dipolo eléctrico que puede alinearse con un campo eléctrico
externo para formar un momento dipolar eléctrico neto más grande. Cuando la
interacción del momento dipolar eléctrico p de una molécula lineal con un campo
eléctrico externo es grande comparada con la energía rotacional de la misma, entonces
la rotación es suprimida a favor de una liberación a lo largo de la dirección del campo
eléctrico.
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Entonces, la energía potencial para los niveles rotacionales más bajos puede
aproximarse por:
r r
ε = −p⋅E
En un campo eléctrico espacialmente no uniforme, la fuerza resultante es:
r
r
F = p∇E
la cual, para moléculas que se encuentren en estado fundamental, va dirigida en la
dirección del campo eléctrico y sentido creciente del mismo (“strong field seeking”).
Por ejemplo, consideremos la molécula de Fluoruro de cesio, que posee un momento
dipolar grande de valor p= 2.65 x 10-29 J/(V/m) y una constante rotacional pequeña ,
B=0.27 K. En su estado rotacional fundamental, J=0, y viajando desde una región de
campo nula hacia otra de 107 V/m, CsF gana una energía cinética aproximada de:
∆ε = p ⋅ (E f − Ei ) = 2.65 ⋅ 10 −22 J = 19 K
Esta cantidad vemos que es unas 640 veces más grande que para el caso del Cs visto
anteriormente.
Por otro lado , la velocidad final de la molécula de CsF después de atravesar el
gradiente es:
vf =
2
2(∆ε )
M + vi
2
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donde vi , vf son las velocidades inicial y final respectivamente, y M la masa.
Para vi =0, la velocidad final sería vf =47.5 m/s. Equivalentemente, una molécula de
CsF viajando a una velocidad de 47.5 m/s desde una región de campo E=107 V/m
hacia otra región de campo nula, debería ser desacelerada hasta el reposo.
3.-ENERGÍA INTERNA DE UN GAS IDEAL.
Un gas ideal puede imaginarse como un sistema compuesto por un número grande de
moléculas que se mueven libremente en todas las direcciones con velocidades
diferentes. Ocasionalmente, una molécula choca con otra molécula del gas o con las
paredes del recipiente e intercambia cantidad de movimiento y energía, como en la fig.3
(Alonso M., Finn E. 1992)
Cuando una molécula de gas choca con una molécula de la pared, existe un
intercambio de cantidad de movimiento entre las dos moléculas, lo que hace que la
molécula de gas ejerza una fuerza sobre la pared y viceversa. Las fuerzas individuales
ejercidas por las moléculas varían en cada punto. Debido a que hay un gran número de
colisiones sobre cada pequeña porción de la pared, el efecto total del gas se puede
representar por una fuerza media F que actúa en el área total de la pared. Si A es el área
de la pared, entonces la presión p del gas es:
p=
F
A
La presión del gas es un concepto estadístico que sólo es válido cuando interviene un
gran número de moléculas.
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La intuición física y la segunda ley de Newton sugieren que cuanto más grande sea la
cantidad de movimiento de las moléculas, mayor será la fuerza que ejerzan cuando
choquen con la pared. Además, cuanto más grande sea el número n de moléculas por
unidad de volumen y mayor la velocidad v de las moléculas, mayor será el número de
moléculas que chocan con la pared por unidad de tiempo. Por tanto, podemos esperar
que la presión ejercida por el gas sobre la pared sea proporcional a (n)(v)(mv), donde n
es el número de moléculas por unidad de volumen, m su masa y v su velocidad.
Como las moléculas tienen velocidades distintas, la presión media se determina
tomando el promedio de v2.
Figura 3
3.1.-Relación entre la presión de un gas y la energía cinética media de sus
moléculas.
Para obtener la presión ejercida por las moléculas de un gas cuando chocan con las
paredes de un recipiente, podemos suponer que cuando una molécula de masa m que se
mueve con una velocidad v choca con una superficie de área A con un ángulo ? con
respecto a la normal OX a la superficie ( figura 4) (Alonso M., Finn E. 1992),
rebota con la misma velocidad, formando el mismo ángulo con la normal.
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Figura 4
Sean v x = v cosθ la componente perpendicular de la velocidad y nx el número de
moléculas del gas por unidad de volumen que se mueven hacia la pared con una
componente perpendicular de su velocidad igual a vx .Entonces, la presión ejercida por
estas moléculas sobre la superficie es :
p = 2n x mv x
2
En un gas las moléculas se mueven en direcciones diferentes y con velocidades
2
( )
diferentes. Por tanto, para obtener la presión del gas, v x debe ser sustituida por v x
2
med
y nx debe ser ahora el número total de moléculas por unidad de volumen que se mueven
hacia la superficie en cualquier instante, independientemente del valor de v o de la
dirección de movimiento. Es decir:
( )
p = 2n x m v x
2
med
En términos estadísticos, en cualquier instante la mitad de las moléculas por unidad de
volumen en la vecindad del área A tiene una componente de su velocidad dirigida hacia
la pared mientras que la otra mitad se aleja de la pared. Así, si n es el número total de
moléculas por unidad de volumen, debemos sustituir nx por ½ n porque sólo la mitad de
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las moléculas golpearían la pared en A en cada momento. Haciendo este cambio en la
expresión anterior para p obtenemos:
( )
1 
p = 2 n m v x2
2 
med
El módulo de la velocidad molecular está relacionado con sus componentes de forma
( )
que v 2
med
( )
= v x2
( )
+ v y2
med
med
( )
+ v z2
med
Podemos suponer que la velocidad molecular media es la misma en todas las
direcciones; esto es, las velocidades moleculares están distribuidas isotrópicamente.
Así,
(v )
2
x med
( )
= v y2
med
( )
= v z2
med
=
( )
1 2
v
3
med
1 2
= v rms
3
Haciendo esta sustitución en la expresión para p, obtenemos:
p=
1
2
nmv rms
3
3.2.- Temperatura y energía
Hemos de recordar, antes de seguir adelante, que en cualquier sistema de partículas,
incluido el gas ideal, hay que diferenciar la energía asociada con el movimiento del
sistema como un todo y la energía asociada con el movimiento interno de sus partículas
o moléculas. El movimiento molecular interno se conoce a menudo como desordenado
debido a que las moléculas se mueven en muchas direcciones, mientras que el
movimiento colectivo de la materia en bloque parece ser ordenado.
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Por ejemplo, un cuerpo sólido puede tener movimientos de traslación y rotación, que
son movimientos colectivos; además, dentro de cada pequeño volumen de sólido las
moléculas están vibrando en direcciones diferentes y con diferentes energías; éstos son
movimientos internos.
La temperatura de un sistema de partículas es una cantidad relacionada con la
energía cinética media del movimiento interno de las partículas en el sistema C de
referencia centro de masas. Por consiguiente, la temperatura es una propiedad del
sistema que se define independientemente del movimiento colectivo del sistema con
respecto al observador. También, se dice que tiene la misma temperatura en todo su
volumen, de manera que la energía cinética media de las moléculas en todas las
direcciones del sistema sea la misma, está en equilibrio térmico. Dos cuerpos que están
en contacto a la misma temperatura también están en equilibrio térmico.
Esta definición de temperatura se puede conciliar con la asociada con las sensaciones
de calor y frío, debido a que nuestro sistema nervioso se ve afectado por la energía
media de las moléculas, lo que da como resultado diferentes sensaciones. Tenemos
también que la separación media de las moléculas de un líquido o de un sólido aumenta
con su energía media, lo que trae como consecuencia un aumento de volumen. Esto
justifica el uso de la expansión o dilatación de una sustancia para medir la temperatura.
El hecho de que estamos refiriendo los movimientos a sistemas C locales con el fin
de definir la temperatura es algo importante. Supongamos que tenemos en nuestro
laboratorio una bola metálica caliente en reposo y una bola idéntica fría que se mueve
con mucha rapidez. La bola caliente tiene una temperatura alta, o sea, una energía
cinética molecular grande con respecto a su CM, que está en reposo en el laboratorio.
Por otro lado, la bola fría tiene una temperatura baja. Esto significa que tiene una
energía molecular baja con respecto a su CM, que en nuestro caso está en movimiento
con respecto al observador. La bola fría que se mueve a gran velocidad puede tener una
energía cinética total más grande en relación con el laboratorio que la bola caliente
estacionaria, pero parte de la energía cinética de la bola fría es de traslación y está
relacionada con su movimiento colectivo, que no cuenta para la temperatura.
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3.3.- Energía interna del gas
2
La ecuación anterior también puede escribirse como p = 1 ( N / V )mv rms
3
porque
n=N/V, donde N es el número total de moléculas y V el volumen del recipiente. Por
tanto:
pV =
1
2
Nmvrms
3
(1.1)
Sabiendo que la energía cinética media de una molécula de gas puede expresarse
como:
E k ,med =
1 2
mv rms
2
entonces podemos escribir la ec.(1.1) como:
pV =
2
NE K ,med
3
Comparando este resultado con la ecuación del gas ideal pV=kNT, concluimos que la
energía cinética media de una molécula de gas está relacionada con la temperatura
absoluta del gas mediante la expresión:
E K ,med =
3
kT
2
(1.2)
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En la mayoría de los gases, en especial a altas temperaturas y pequeñas densidades, el
efecto de las fuerzas intermoleculares es relativamente débil de modo que la energía
potencial interna del gas puede ser despreciable en comparación con la energía cinética
de las moléculas. Así pues, redefinimos un gas ideal como un gas cuyas fuerzas
intermoleculares son despreciables y cuyas moléculas pueden considerarse como masas
puntuales sin estructura interna. Por tanto, la energía interna de un gas ideal es
exclusivamente energía cinética molecular.
1
1 2 
U = ∑ mvi2 = N  mvrms
 =NE K ,med
2

i 2
(1.3)
Comparando las ecuaciones (1.2) y (1.3), llegamos a la conclusión de que la energía
interna de un gas ideal compuesto por N partículas y a una temperatura T es:
U=
3
kNT
2
Por tanto, la energía interna de un gas ideal sólo depende de su temperatura. Esta
relación no es válida para los gases reales, cuya energía potencial interna no es cero y
más bien depende de las distancias intermoleculares, es decir, de la densidad del gas.
Para bajas temperaturas (cuando la energía molecular es relativamente pequeña) o
grandes densidades ( cuando las moléculas están muy próximas), se debe tomar en
cuenta el efecto de las fuerzas intermoleculares y el de las dimensiones moleculares.
El modelo del gas ideal describe con bastante precisión a los gases reales si la
densidad del gas es lo suficientemente pequeña para que la distancia intermolecular
media sea grande en comparación con el tamaño molecular, y si la temperatura es alta
para que la energía potencial intermolecular media sea pequeña comparada con le
energía cinética molecular.
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4.-EXPANSION LIBRE DE UN GAS IDEAL DE MOLÉCULAS
POLARES.
Consideremos en primer lugar el experimento de expansión libre de un gas ideal.
Introducimos un gas ideal en un cilindro aislado del exterior y lo cerramos en un
volumen pequeño. Al otro lado del cilindro tenemos practicado el vacío, es decir,
Pext=0.
Si dejamos expandir el gas libremente al quitar el trinquete no habrá cambio en la
energía interna del gas, pues el cilindro esta aislado y el gas no realiza trabajo alguno al
ser la presión exterior nula, ya que:
W ≅ Pext ⋅ ∆v = 0
Se observa que en el proceso hay un cambio en la presión y en el volumen del gas
pero su temperatura después de la expansión es la misma. Podemos concluir que la
energía cinética de las moléculas del gas no cambia durante el proceso, según (1.2).
Sin embargo, cabe pensar que cuando el gas se expande aumenta su energía
potencial media debido a que ha aumentado el volumen y, por tanto, la separación
media de las moléculas es mayor. Este fenómeno implicaría que las fuerzas
intermoleculares tuvieron que hacer un trabajo interno negativo.
Entonces, como U es la suma de las energías cinética y potencial interna, ?U=0
requeriría una disminución de la energía cinética interna con una correspondiente
disminución de la temperatura, ya que como sabemos para los gases ideales la energía
cinética interna es función únicamente de la temperatura.
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De cualquier forma el caso del
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gas ideal es especial, ya que éste encuentra
suficientemente diluido y sus moléculas suficientemente espaciadas para considerar que
la energía potencial de las mismas es prácticamente nula, o al menos despreciable frente
a su energía cinética. Esta es la causa por la que la temperatura permanezca constante o
tenga pequeños cambios no apreciables. Para ello, claro, el gas debe ser poco denso y
encontrarse a temperaturas suficientemente altas.
El concepto de expansión libre de un gas ideal, con todas sus consecuencias, es
crucial para el resto del trabajo.
5.- EXPANSIÓN LIBRE DE UN GAS IDEAL DE H2O EN UN
CAMPO ELÉCTRICO QUE DECAE CON EL TIEMPO.
En esta ocasión, el experimento consistirá en un dispositivo análogo al anterior, pero
introduciremos el cilindro adiabático entre las placas eléctricas de un condensador.
En realidad, lo que buscamos es estudiar qué le ocurre al gas que forman las moléculas
de H2O (que, como sabemos, es una molécula polar) que hay en el interior del cilindro
cuando, al expandirse, se ven sometidas a un gradiente de campo eléctrico que va
disminuyendo con el tiempo: desaceleración de las moléculas y enfriamiento.
Desaceleración de las moléculas de H2O
Como se comentó anteriormente, un dispositivo práctico para producir dicho campo
eléctrico es un condensador plano conectado a una fuente de voltaje, pues el gradiente
de campo que se consigue en este caso es perpendicular al propio campo. Si no fuera
así, el conjunto de partículas (fueran átomos o moléculas) podría golpear una de las
superficies usadas para formar el campo eléctrico, o en este caso el cilindro.
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Para trabajar con un conjunto de
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condensadores de forma que constituyan un
dispositivo que produzcan desaceleraciones en moléculas con campos eléctricos
variables en el tiempo debemos hacer lo siguiente: una molécula entra en el interior de
las placas con el campo inicialmente apagado. Cuando la molécula se encuentra entre
las placas del condensador, conectamos la fuente del mismo a un voltaje determinado,
produciendo un campo eléctrico constante en su interior.
Figura 5: Situación inicial del dispositivo. Las placas del condensador están apagadas,
y el gas comprimido por un pistón en un volumen muy pequeño.
Entonces, la energía potencial de la molécula baja debido a la acción del campo, pero
al ser éste un campo eléctrico uniforme espacialmente, no realiza trabajo sobre el dipolo
(pues atrae a la carga positiva con la misma fuerza que a la negativa), así que no se
produce cambio en la energía cinética de la molécula. Cuando la molécula sale de las
placas del condensador, entonces atraviesa la zona del gradiente eléctrico hasta llegar a
una región donde la influencia del campo es nula, ganando energía potencial y
perdiendo energía cinética.
Este proceso que se ha visto para un condensador por separado puede repetirse tantas
veces como se quiera colocando una serie de condensadores en paralelo a lo largo del
cilindro, y sintonizando cada uno de ellos de forma que se aplique el voltaje en los
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mismos una vez la molécula haya entrado en la región de campo uniforme. Entonces, el
cambio en la energía de la molécula se va acumulando, de forma que con un número
suficiente de condensadores sería posible llevar a la molécula cerca del reposo absoluto.
El proceso de desaceleración es análogo, pero al contrario, al que tiene lugar en los
aceleradores lineales de partículas y aceleradores cíclicos, en lo cuales las partículas
cargadas se aceleran a través de una secuencia de pequeños gradientes de voltaje.
El mismo principio de desaceleración puede aplicarse usando grandes gradientes de
campos magnéticos en átomos o moléculas paramagnéticas, sin embargo, es mucho más
difícil cambiar la dirección en campos magnéticos demasiados intensos.
Enfriamiento de las moléculas de H2O
De acuerdo con todo lo visto en capítulos precedentes acerca de la temperatura y
energía interna de un gas ideal, para que se produzca un enfriamiento del mismo
debemos disminuir su energía cinética interna, es decir, su energía referida al sistema
de referencia centro de masas CM.
Figura 6: Esquema simplificado de la expansión de un gas de moléculas en un cilindro,
sometidas a un gradiente de campo eléctrico.
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Más intuitivamente, tenemos que conseguir que la mayoría de las moléculas de
H2O que conforman el gas se desplacen con un rango de velocidades lo más estrecho
posible. Este decremento en el desarrollo de la velocidad longitudinal puede ser
conseguido aplicando un campo eléctrico que disminuye con el tiempo. De esta forma,
las primeras moléculas en salir del condensador, que son las más veloces, son
desaceleradas en mayor medida que las últimas en salir, pues éstas sufren un gradiente
de campo menor al haber transcurrido un cierto intervalo de tiempo
Se ha demostrado que esta forma de enfriar moléculas es eficaz incluso para
distribuciones que no sean de Maxwell-Boltzmann, y es análogo al proceso de
separación de moléculas cargadas que tiene lugar en un acelerador.
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