Zadunaisky: Introducción a la Astrodinámica Vol. III

Comisi
on Nacional de Actividades Espaciales
Introducci
on a la
Astrodin
amica
Teor
a y M
etodos Num
ericos
Volumen III
(Version preliminar)
Pedro E. Zadunaisky
Buenos Aires - Argentina
A~no 2000
i
Prefacio
El presente volumen es el tercero de la obra titulada "Introduccion a la
Astrodinamica, Teora y Metodos Numericos".Su contenido es el siguiente:
: Teora de los problemas inversos en sistemas dinamicos con
aplicaciones a los movimientos planetarios y al analisis del comportamiento
de un sensor inercial.
: Exposicion de los conceptos modernos sobre las leyes de la
Dinamica con aplicacion a sistemas impulsados articialmente.
:Estudio detallado del movimiento del pendulo de Foucault con
el que se demostro fsicamente el movimiento de rotacion propio de la Tierra.
Por razones de fuerza mayor esta obra queda incompleta porque el proyecto
original inclua un extenso captulo con ejemplos,ejercicios y notas referentes a todos los temas de los tres volumenes y tambien unndice alfabetico
de temas y personas citados en toda la obra. Me corresponde expresar
mi agradecimiento por la colaboracion de los siguientes miembros del personal cientico de l a Comision Nacional de Actividades Espaciales de la
Argentina: Al licenciado Marcelo Suarez con quien realizamos el trabajo
sobre el problema inverso en los movimientos planetarios con aplicacion al
calculo directo y "descubrimiento" del planeta Neptuno.
Al Ingeniero Roberto Alonso por la redaccion preliminar del captulo 2 referente a la revision de las leyes de la Mecanica.
Al Dr.Ricardo Sanchez Pe~na con quien realizamos y publicamos el trabajo
sobre las peque~nas perturbaciones en un sensor inercial.
Al licenciado Cristian Filici por su inestimable cooperacion y ayuda en el
trabajo de redactar la obra por el sistema PCTEX.
Cap
tulo 1
Cap
tulo 2
Cap
tulo 3
ii
Indice General
1
El problema inverso en sistemas din
amicos
1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Ecuaciones de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2
.......................
1.1.3 Ecuaciones de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . .
1.2 El Problema Inverso en los Movimientos Planetarios . . . . .
1.2.1 Noticia historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Simulacion de Movimientos y Observaciones Planetarias
1.2.3 Posiciones del Planeta Desconocido . . . . . . . . . . .
1.2.4 Analisis de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Simulacion del descubrimiento de Neptuno . . . . . .
1.2.6 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Problema Inverso en el Girocompas . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Fundamento Matematico . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Analisis de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Simulacion del Instrumento . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Esquemas Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Experimentos Numericos y Conclusiones . . . . . . . .
1.3.6 Consideraciones nales y bibliografa . . . . . . . . . .
3
4
7
8
11
11
12
13
14
16
17
17
18
20
22
24
27
28
Leyes de la Mec
anica
31
EJEMPLO
2
3
2.1 Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Movimiento del Centro de Masas de un Sistema de
Partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Movimiento Rotacional de un Sistema de Partculas .
2.2.3 El Momento Cinetico de un Cuerpo Rgido . . . . . .
2.2.4 Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Teoremas de Conservacion . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Leyes de la Mecanica para Sistemas Cerrados no Rgidos
2.2.7 Ecuaciones de la Mecanica para Sistemas Abiertos . .
2.2.8 Impulso Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.9 Momento Cinetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
31
32
35
39
41
44
44
48
53
53
57
INDICE GENERAL
3
1
2.3 Ecuaciones de Movimiento para un Sistema de Masas Abierto
2.3.1 Ecuaciones Translacionales . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Ecuaciones Rotacionales . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Ejemplo de Movimiento de Cuerpo Rgido . . . . . . . . . . .
2.4.1 Simplicaciones a las Ecuaciones Dinamicas . . . . . .
2.4.2 Parametros Practicos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 La Ecuacion de Performance . . . . . . . . . . . . . .
60
60
64
66
70
71
72
Rotaci
on de la Tierra
75
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.1 Noticia historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 Teora aproximada del Pendulo de Foucault . . . . . . . . . . 76
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
2
INDICE GENERAL
CONAE - Buenos Aires - Argentina
Cap
tulo 1
El problema inverso en
sistemas din
amicos
1.1
Introducci
on
Los problemas que se trataran en este captulo estaran representados matematicamente en forma general por ecuaciones diferenciales de primer o segundo orden de la forma
y_ = f (t; y) + P (t; y)
(1.1)
y = f (t; y) + P (t; y)
(1.2)
donde f (t; y) es una funcion conocida y P (t; y) es una funcion perturbadora
supuestamente peque~na.
Para simplicar la escritura en lo que sigue consideraremos a y ; f ; P como
funciones simples aunque como veremos nuestros resultados son extensibles
sin dicultad al caso de que sean funciones vectoriales.
El problema directo consistira en resolver el caso cuando la funcion perturbadora P (t; y) es conocida.
El problema inverso, de que se trata en este captulo, es el de estimar la
funcion perturbadora en un conjunto discreto de puntos ti; i = 1; 2; :::; n
cuando se conocen a priori valores correspondientes de yi e y_i; estos valores
pueden ser prejados cuando se trata de problemas de control o bien medidos
fsicamente cuando se analiza la evolucion temporal del sistema dinamico.
La solucion clasica del problema consiste en establecer una funcion modelo
para P (t; y) dependiente de ciertos parametros que se ajustan para representar adecuadamente los datos del problema. Dicho ajuste se realiza
habi-tualmente por el procedimiento de cuadrados mnimos. Este problema
en general es "mal planteado" (ill possed) en el sentido de que errores en los
datos o en un modelo imperfecto afectan demasiado las estimaciones de la
funcion perturbadora.
El metodo que se presenta aqu no requiere una modelizacion a priori del
3
4
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
problema y puede realizarse mediante algoritmos donde los efectos de los
errores en los datos y los inherentes a los metodos de aproximacion pueden
reducirse y en algunos casos eliminarse. El metodo se basa en dos hipotesis
esenciales:
1) La solucion y(t) de las ecuaciones diferenciales es representable a trozos
por una serie de Taylor convergente.
2) La funcion incognita P (t; y) admite una representacion a trozos polinomica
en t y sucientemente precisa.
Sobre esta base se pueden usar algunos operadores lineales que usualmente
conducen a formulas clasicas para la integracion numerica de ecuaciones
diferenciales ordinarias. De esta manera nuestro problema se puede reducir a un sistema de ecuaciones lineales algebraicas en las incognitas P (ti),
i = 1; 2; :::; n (con n = 3 o 5, por ejemplo) y el procedimiemnto se repite en
grupos sucesivos de 3 o 5 puntos dados. Es factible un analisis completo de
la inuencia de los errores en los datos y de truncamiento que permite el
desarrollo de formulas y procedimientos que reducen esas inuencias a un
mnimo.
En lo que sigue se consideraran aquellos casos en que los datos del problema
se suponen obtenidos por mediciones fsicas y~i e y~_i afectadas por errores
alatorios Æyi y Æy_i respectivamente de modo que
y(ti ) = y~i + Æyi
(1.3)
y_ (ti ) = y~_i + Æy_i
(1.4)
1.1.1 Ecuaciones de Primer Orden
La base de nuestro enfoque al problema inverso consiste en establecer un
Problema de Referencia obtenido de (1.1) quitando la perturbacion P(t)
y_j (t) = f (t; yj (t))
(1.5)
y adoptando para ambas ecuaciones (1.1) y (1.5) la misma condicion inicial
y(tj ) = yj (tj ) = y~j
(1.6)
Por otra parte tenemos
y(ti ) = y(ti 1 ) +
Z ti
ti 1
(f (u; y(u) + P (u))du
Para simplicar escribimos (1.7) en la forma
yi = yi 1 + Ji (f (u; y(u) + P (u))
donde para cualquier funcion g(u),
Ji (g(u)) =
Z ti
ti 1
g(u)du
CONAE - Buenos Aires - Argentina
(1.7)
(1.8)
(1.9)
1.1.
5
Introducci
on
En lo que sigue denotaremos con yij el valor de la solucion del problema
de referencia (1.5) en el punto ti con la condicion inicial dada por el valor
medido y~j . Tenemos
yi;i 1 = y~i 1 + Ji (f (u; yi 1 (u))
(1.10)
Substrayendo (1.10) de (1.8) y en virtud de (1.3) se obtiene
y~i yi;i 1 + Æyi Æyi 1 = Ji (f (u) + P (u))
(1.11)
donde
f (u) = f (u; y(u)) f (u; yi 1(u))
(1.12)
Ahora asumiremos que los puntos ti estan dados a intervalos regulares con
un paso constante h; esta condicion no es estrictamente necesaria pero simplicara las explicaciones.
Las integrales Ji (g(u)) se pueden aproximar por expresiones discretas de la
forma
X
Ji (g(u)) = h( Ak gk + )
(1.13)
k
donde Ak son coecientes apropiados y es un error de truncamiento. Para
cada punto dato tk la expresion (1.12) se puede aproximar por
fk;i 1 = f (tk ; y~k ) f (tk ; yk;i 1)
(1.14)
con un error
Æfk = f (tk ; y(tk )) f (tk ; y~k )
(1.15)
Denimos tambien
Rij = (~yi yij )=h
(1.16)
y
X
Fi = Ak fk;i 1
(1.17)
k
Ahora la expresion (1.11) se reduce a
X
Ak Pk = Ri;i
k
con la suma de errores
"k = (Æyi
1
Æyi 1 )=h Fi + "k
(1.18)
X
(1.19)
k
Ak Æfk :
Despreciando por el momento "k tenemos la ecuacion lineal
X
Ak P~k = Ri;i 1 Fi
k
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
(1.20)
6
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
donde P~k son valores aproximados de P (tk ) con errores ÆPk = P (tk ) P~k
que satisfacen ecuaciones de la forma
X
Ak ÆPk = "k
(1.21)
k
Para determinar valores de P~k podemos seleccionar un numero de instantes
t1 ; : : : ; tn (donde, por ejemplo, n = 3 o 5) y establecer un numero N n
de ecuaciones lineales como (1.21). De esa manera se puede establecer una
variedad de sistemas de ecuaciones lineales que no sean singulares ni mal
condicionadas y tales que permitan atenuar, o aun cancelar el efecto de los
errores.
En un ejemplo que describiremos mas adelante hemos adoptado para aplicar
la expresion (1.13) las siguientes formulas que se usan para la integracion
numerica de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden [6]:
Formula de Adams-Moulton de orden 2, (Regla Trapezoidal)
Ji (g(t)) = h(gk + gk 1 )=2;
Formula de Adams-Moulton de orden 3
= O(h3 )
(1.22)
Ji (g(t)) = h(5gk + 8gk 1 gk 2 )=12; = O(h4 )
(1.23)
Consideremos tres puntos sucesivos t1; t2 ; t3 ; si aplicamos la formula (1.23)
para i = 3 con gk = fk + Pk se obtiene
( P~1 + 8P~2 + 5P~3 )=12 = R32 + (f12 5f32 )=12
(1.24)
que es una ecuacion lineal en las incognitas P~1 ; P~2 ; P~3 . Para obtener un
sistema de ecuaciones lineales aplicamos la formula (1.23) para i = 3 y para
i = 1 en sentido reverso y la formula (1.22) para i = 2 saliendo de k = 1 y
tambien saliendo de k = 3, en sentido reverso. Como resultado se obtienen
4 ecuaciones lineales de la forma
~=
(1.25)
donde
0
1
1
+8
+5
B
C
= 1=12 BB@ +05 68 +16 CCA
(1.26)
+6 +6 +0
~ T = (P~1 ; P~2 ; P~3 )
(1.27)
y
1
0
R32 (5f32 f12 )=12
C
B
f23 =2
C
(1.28)
= BB@ RR2312 + (f32 5f12 )=12 CA :
R21 f21 =2
MP
D
M
P
D
CONAE - Buenos Aires - Argentina
1.1.
7
Introducci
on
Obviamente la primera ecuacion es precisamente (1.24)
Puesto que (1.25) es un sistema sobredeterminado de 4 ecuaciones con 3
incognitas aplicaremos
~= +
(1.29)
donde + = ( T ) 1 T es la Pseudonversa de cuyo valor exacto
resulta ser en este caso
0
1
2
:0 1:5 +1:0 +2:5
+=B
1:5 1:0 CA
(1.30)
@ +1:5 +1:0
1:0 2:5 +2:0 +1:5
P
M
M M
M
M
D
M
M
1.1.2 EJEMPLO
En este ejemplo la solucion es conocida lo que permitira comparar la solucion
estimada con la solucion exacta.
La ecuacion diferencial es
y_ (t) = cos t + K (y(t) sen t); : : : y(0) = 1
(1.31)
cuya solucion es
y(t) = sen t + exp(Kt)
(1.32)
Para la constante K asumimos el valor K = 0:01 y la perturbacion que
deseamos estimar es exactamente
P (t) = K (y(t) sen t)
(1.33)
Para
aplicar el metodo hemos considerado tres puntos denidos por t1 =
pi h, t = pi y t = pi + h adoptando el valor h = 2:0. Para simular
2 2
3 2
2
los datos numericos hemos calculado para esos tres puntos los correspondientes valores exactos de y(t) agregandoles luego "errores de medicion" como
numeros al azar con distribucion normal con media cero y un valor adoptado
para la desviacion standard . En el presente caso las funciones involucradas
en la ecuacion eran suaves y en consecuencia los efectos de los errores de
truncamiento fueron despreciables.
Problema Inverso para la Ecuacion
y_ (t) = cos t + K (y(t) sen t), : : : y(0) = 1 : : : K = 0:01 : : : h = 2:0
k
1
2
3
t
=2 h
=2 + h
Perturbaciones
exactas estim( = 0) estim( = 10 5 )
0:009957 0:009955
0:009943
0:010158 0:010159
0:010131
1:010364 0:010362
0:010319
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
8
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
1.1.3 Ecuaciones de Segundo Orden
Las ecuaciones que vamos a considerar tienen la forma (1.2) de las cuales
estableceremos de nuevo un problema de referencia quitando la funcion perturbadora P (t; y(t))
yj (tj ) = f (t; yj (t))
(1.34)
y aplicando para (1.2) y (1.34) las mismas condiciones iniciales
y(tj ) = yj (tj ) = y~j ; y_ (tj ) = y_ j (tj ) = y~_ j
(1.35)
donde y~j e y~_ j son valores medidos.
Desde ahora seguiremos razonamientos y smbolos similares a los de la
seccion anterior.
En base a la hipotesis de que la solucion y(t) de la ecuacion (1.2) es expresable por una serie convergente de Taylor se puede escribir de un modo
conocido en que el resto de la serie tiene forma de integral
yi1 = yi hy_i +
Z ti1
ti
y(u; y(u))(ti1
u)du
(1.36)
y en virtud de (1.2)
yi1 = yi hy_ i +
Z ti1
ti
[f (u; y(u)) + P (u)](ti1
u)du
Sumando yi 1 + yi+1 resulta
yi 1 2yi + yi+1 = Ji (f (u; y(u)) + Ji (P (u))
donde
Ji (g(u)) =
Z ti
ti 1
g(u)(u ti 1 )du +
Z ti+1
ti
g(u)(ti+1
u)du
(1.37)
(1.38)
(1.39)
habiendo puesto por abreviar f (u; y(u))+(P (u) = g(u) Para la ecuacion de
referencia la expresion es similar excluyendo la perturbacion P (u). Restando
esta expresion de la anterior y usando notaciones similares a las de la seccion
anterior se obtiene nalmente
yi 1 yy 1;i + yi+1 yi+1;i + Æyi 1 2Æyi + Æyi+1 = Ji (f (u)+ P (u)) (1.40)
Las integrales Ji(g(u)) se pueden aproximar por formulas discretas Ji (g(u)) =
P
h2 ( k Ak gk + ) similares a (1.13) para obtener una ecuacion lineal para las
incognitas Pk = P (tk ) de la forma, similar a (1.18),
X
Ak Pk = Ri 1;i + Ri+1;i Fi + "k
(1.41)
k
CONAE - Buenos Aires - Argentina
1.1.
9
Introducci
on
donde
Rm;n = (~ym ym;n )=h2
Fi es similar a (1.17) y
"k = (Æyi 1 2Æyi + Æyi+1 )=h2
(1.42)
X
k
Ak Æfk
(1.43)
es la suma de los errores de medicion y de truncamiento (que se desprecian
en los calculos) y donde Æfk es similar a (1.15).
Consideremos por ejemplo un conjunto de 5 puntos ti donde estan dadas
las correspondientes medidas y~i. Entonces se pueden combinar algunas
formulas de Stormer y Cowell que se usan en la integracion numerica de
ecuaciones de segundo orden, como sigue [6]:
Formula de Stormer de orden 3 (S3 (tk ))
Jk (g(t)) = h2 (13gk 2gk1 + gk2 )=12 + h2 ;
(1.44)
3
000
= h g (x)=12; : : : tk 2 x tk+2
(1.45)
Formula de Stormer de orden 4 (S4 (tk ))
Jk (g(t)) = h2 (14gk 5gk1 + 4gk2 gk3 ))=12 + h2 ; (1.46)
= 19h4 giv (x)=240; : : : tk 3 x tk+3
(1.47)
Formula de Cowell de orden 4 (C4 (tk ))
Jk (g(t)) = h2 (gk 1 + 10gk + gk+1 )=12 + h2 ;
(1.48)
4
iv
= h g (x)=240; : : : tk 1 x tk+1
(1.49)
Consideremos un conjunto de cinco instantes sucesivos t1; : : : ; t5 con paso
h y aplicando el operador C4 (t2 ) se, obtiene por simples operaciones algebraicas,
12
P~1 + 10P~2 + P~3 = 2 (R21 + R23 ) f12 f32
(1.50)
h
donde Rmn y fmn estan denidos como en la seccion anterior.
Adoptando en forma sucesiva los siguientes operadores
OP ER = S4 (t2 ); S3 (t3 ); C4 (t2 ); C4 (t4 ); S3+ (t3 ); S4+ (t4 )
(1.51)
resulta un sistema de seis ecuaciones lineales de la forma
~=
(1.52)
donde
MP
D
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
10
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
0 14 5 4 1 1
B 0
0 13 2 1 CCC
B
B
= BBB 10 100 11 100 01 CCC
B
@ 1
2 13 0 0 CA
1 4 5 14 0
~ T = (P~1 ; P~2 ; P~3 ; P~4 ; P~5 )
0
M
(1.53)
(1.54)
P
y
0
D
=
B
B
B
B
B
B
B
B
@
R~ 21 + R~ 23 + (5f32 4f42 ) + 5f52
R~ 32 + R~ 34 + 2f43 f53
R~ 23 + R~ 21 f12 f32
R~ 43 + R~ 45 f34 f54
~R34 + R~ 32 f13 + 2f23
R~ 45 + R~ 43 + f14 f24 + 5f54
1
C
C
C
C
C:
C
C
C
A
(1.55)
donde R~mn = h122 Rmn.
Obviamente la tercera ecuacion es precisamente (1.50)
El sistema (1.52) es sobredeterminado con 6 ecuaciones para 5 incognitas y
para resolverlo aplicamos
~= +
(1.56)
donde
+=( T ) 1 T
(1.57)
es la inversa generalizada de ; en el presente caso el valor calculado de
+ resulta
0
27 77 62 50 43 39 1
B
6 7 5 1 5 0 CCC
B
1
B
+=
(1.58)
144 BB@ 30 75 41 54 77 36 CCA
39 43 50 62 77 27
La formula que resulta de aqu para el punto en el medio es
2
3
(
R~ 12 + R~ 32 ) + 14(R~23 + R~ 43 ) (R~ 34 + R~ 54 )
6
7
7
P~3 = 664 +4(f12 + f54 ) + 19(f32 + f34 )
(1.59)
7 =144
5
12(f42 + f24) + 3(f14 + f52)
7(f13) + f53) + 14(f23 + f43)
Debido a una conocida propiedad de la interpolacion por polinomios esta
estimacion de P~3 es menos efectada por errores de truncamiento que las estimaciones que corresponden a los otros puntos del conjunto. Por esa razon
en un conjunto de 5 puntos, t1; : : : ; t5 es preferible calcular solo P~3 ; en el
P
M
M
D
M M
M
M
M
M
CONAE - Buenos Aires - Argentina
1.2.
11
El Problema Inverso en los Movimientos Planetarios
conjunto subsiguiente, t2 ; : : : ; t6 , calcular P~4 , etcetera.
Para establecer cotas superiores de los errores en las estimaciones P~i es obviamente necesario poseer a priori cotas superiores de los errores que aparecen
en (1.43) . Por otra parte la solucion (1.59) no es la unica posible y se pueden
formar combinaciones distintas de la (1.51) que conducen a algoritmos que
pueden atenuar y aun cancelar los efectos de tales errores. Esto se puede
lograr con procedimientos sistematicos cuya descripcion escapa por su extension al caracter introductorio de esta obra. El lector interesado puede
consultar las referencias [9], [10] y especialmente [11].
Es posible obtener la siguiente formula para acotar el error de la estimacion
(1.59)
6
X
j ÆP~3 j (5:33 + 1:05Lh2 ) Æy2 + 0:011h4 P4 + O(h6 )(Æy + Æy_ + Pi ) (1.60)
h
0
donde Æy y Æy_ son cotas superiores de los errores de medicion y donde
Pi = max j P (i) (t) j para t1 t t5 ; L es la constante de Lipschitz
de f (t; y(t) con respecto a y(t).
Por un proceso similar al descripto, considerando un conjunto de 3 puntos, se obtiene para el valor de la perturbacion en el punto medio
P~2 = [R~ 21 + R~ 32 ) + R~ 12 + R~ 23
(1.61)
6(f21 + f23) + 2(f12 + f32) (f31 + f13)]=24
con un error
2 "
j ÆP~2 j Æhy_ + h j6P2 j
(1.62)
Las referencias [9] y [11] constituyen un extenso estudio de los varios errores
que afectan el proceso y permiten el dise~no de esquemas especiales para la
atenuacion y a veces la eliminacion de sus efectos. Precsamente las formulas
(1.60) y (1.62) demuestran que la formula (1.59) es mayormente efectada por
los errores Æy y la formula (1.61) es efectada solo por los errores Æy_ y es mas
ventajosa como veremos en el primero de los ejemplos que siguen.
1.2
El Problema Inverso en los Movimientos Planetarios
En este ejemplo se trata de determinar la posicion, o posiciones, de un planeta desconocido por las perturbaciones que causa en el movimiento de otro
planeta de movimiento conocido.
1.2.1 Noticia historica
En el siglo pasado se haba observado en el movimiento del planeta Urano
desvos sistematicos de las posiciones calculadas de acuerdo a la ley de la
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
12
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
gravitacion . En 1846 fue descubierto el planeta Neptuno, hasta entonces
desconocido, en una posicion predicha por el astronomo frances
con un error menor de un grado sexagesimal. En la misma epoca el
astronomo ingles
habia obtenido de manera independiente resultados similares. Los procedimientos de Le Verrier se encuentran
detallados en la clasica obra de
[13]. El metodo de Le Verrier
consistio en asumir un modelo aproximado para la orbita del planeta desconocido y ajustar sus parametros en modo de reducir las desviaciones del
movimiento de Urano en el sentido de los cuadrados mnimos. Mas tarde se
descubrio que el modelo de la orbita de Neptuno adoptado por Le Verrier
tena importantes errores y que el exito de su prediccion se debio en buena
parte a una afortunada combinacion de condiciones geometricas y dinamicas
que contribuyeron a atenuar los efectos de esos errores. (v. [4]).
U. Le Ver-
rier
J. Couch Adams
F. Tisserand
1.2.2 Simulacion de Movimientos y Observaciones Planetarias
En este ejemplo consideraremos movimientos simulados, donde las respuestas
correctas ( es decir la masa y posiciones del planeta perturbador m2) son
conocidas a priori lo cual permitira evaluar la precision de los resultados
obtenidos por nuestros metodos descriptos en las secciones anteriores.
Para la descripcion de nuestros experimentos numericos introduciremos una
simplicacion consistente en considerar solo las interacciones entre dos planetas de masas m1 y m2 resp. omitiendo las atracciones gravitatorias de los
restantes miembros del sistema solar. El cambio no es despreciable pero
la naturaleza esencial del proceso queda poco alterada. En consecuencia
el movimiento heliocentrico del planeta m1 (conocido) perturbado por la
atraccion gravitatoria del planeta m2 (desconocido) se representa matematicamente por un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma
1 = k2(1 + m1) r31 + (1y ;2)
(1.63)
y
y
donde
y
1T
1
P
= [x1; y1 ; z1 ] y la perturbacion de m2 sobre m1 es
(1;2) = k2 m2 ( y1 y2 + y2 )
31;2 r23
(1.64)
Py
con
y
31;2 = [(x1
x2 )2 + (y1
y2 )2 + (z1
r22 = x22 + y22 + z22
z2 )2 ]3=2
(1.65)
(1.66)
(ver Caps. 2, 3 y 5 del Vol. 1 de esta obra)
Para el movimiento del planeta m2 perturbado por m1 las ecuaciones son
similares pero con los n dices 1 y 2 intercambiados.
CONAE - Buenos Aires - Argentina
1.2.
El Problema Inverso en los Movimientos Planetarios
13
Las soluciones de las ecuaciones (1.63) dependen de los valores de las masas
m1 y m2 y de las condiciones iniciales
(1.67)
1 (t0 ) = 1;0 : : : : : : _ 1 (t0 ) = _ 1;0
Para simular las observaciones del planeta conocido procedimos como sigue.
Primero integramos numericamente el sistema (1.63) con el efecto de la perturbacion (1y ;2) incluido obteniendo a instantes regulares ti = t0 + ih valores correspondientes de las coordenadas heliocentricas xi ; yi; zi que transformamos en coordenadas cartesianas geocentricas y luego en coordenadas
esfericas (i ; Æi ). A cada par de valores (i; Æi ) agregamos "errores de observacion" en la forma de numeros al azar, generados computacionalmente, con
distribucion normal y media cero y un desvo standard apropiado. Finalmente treansformamos esas "observaciones" de coordenadas esfericas a correspondientes coordenadas cartesianas heliocentricas "observadas". Para todas estas transformaciones se necesitaron las correspondientes coordenadas
heliocentricas de la Tierra que se obtuvieron de una orbita kepleriana osculadora de la orbita real correspondiente al instante medio del intervalo total
de tiempo considerado.
Esas coordenadas heliocentricas "observadas" del planeta conocido junto con
sus derivadas respecto al tiempo, obtenidas por diferenciacion numerica, son
los datos medidos yi, y_i que se asumen conocidos en nuestros esquemas de
las secciones anteriores.
Es necesario destacar el hecho de que al tratar el problema planetario real, en
lugar de uno simulado, los datos disponibles son precisamente un conjunto
de pares de de coordenadas esfericas geocentricas realmente observadas de
las cuales se debe obtener las correspondientes posiciones y velocidades heliocentricas. Para este proposito se puede usar el metodo clasico conocido
que permite obtener valores preliminares de posicion y velocidad en coordenadas cartesianas y luego corregirlos por un proceso de correccion diferencial
(v. [5]). Esta parte del proceso debe realizarse con el mayor cuidado usando
tecnicas estadsticas para proveer un intervalo de conanza en los valores
calculados de y e y_ . En nuestros experimentos numericos hemos encontrado
que nuestros resultados nales eran satisfactorios cuando los errores relativos de los valores "observados" de y e y_ eran no mayores de 10 4 en valor
absoluto.
y
y
y
y
P
1.2.3 Posiciones del Planeta Desconocido
Asumiendo que las componentes cartesianas de las perturbaciones Px(12 ;2) ,
Py(12 ;2) , Pz(12 ;2) de m2 sobre m1 han sido estimadas, en la forma descripta
en las secciones anteriores, tenemos tres ecuaciones de la forma (1.64) en
las coordenadas x2, y2, z2 , del planeta perturbador desconocido. Estas coordenadas aparecen en forma no lineal en 31;2 y en r23 y para resolverlas
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
14
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
aplicaremos un proceso de Newton-Raphson de aproximaciones sucesivas.
Por conveniencia escribimos las acuaciones (1:64) en la forma
2 = 1 + y2 31;2
(1.68)
con
31;2
(1.69)
=1
y
y
r23
P (1;2)
y2 = y 2 m2
k
m2 = 1=m2
(1.70)
(1.71)
Para iniciar el proceso iterativo se puede obtener una primera aproximacion de 2 aplicando (1.68) con = 1 y probando algunos valores tentativos de 1;2 hasta lograr la convergencia del proceso iterativo. Tambien es
necesario adoptar un valor tentativo de m2; el efecto de un valor erroneo de
m2 y de otras fuentes de error se analizaran en la siguiente seccion.
Finalmente para obtener las coordenadas geocentricas angulares (; Æ)
del planeta desconocido se pueden aplicar las formulas
cos Æ cos = x2 + X = cos Æ sen = y2 + Y = (1.72)
sen Æ = z2 + Z = donde es la distancia geocentrica y (X; Y; Z ) son las coordenadas geocentricas
del Sol. Se obtiene nalmente
tan = (1.73)
y
tan Æ =
2
( + 2
(1.74)
p
Es interesante notar que la ecuacion (1.68) admite la solucion trivial 2 = 1
con = 1 y 1;2 = 0 que es independiente del valor de (1y ;2) . De hecho
puede ocurrir que con un valor de (1y ;2) de poca precision el proceso iterativo converja a esa falsa solucion.
y
y
P
P
1.2.4 Analisis de los errores
Este analisis puede realizarse en dos etapas:
a) Determinar cotas superiores j ÆP j del error en la estimacion de la perturbacion P (t) debida a los errores de medicion en posicion y velocidad del
CONAE - Buenos Aires - Argentina
1.2.
El Problema Inverso en los Movimientos Planetarios
15
planeta conocido y a los errores de truncamiento de los operadores en diferencias (formulas (1.60) o (1.62)).
b) Determinar el error en la posicion predicta del planeta desconocido debido al error j ÆP j y al error en su masa asumida.
Escribiendo la expresion (1.68) correspondiente a la coordenada x en la
forma equivalente
Px(1;2) 3
1
x2 = (x1 + 2 m1;2 )
(1.75)
k
y teniendo en cuenta (1.72) resulta
P (1;2)
1
(1.76)
= x2 + X = (x1 + x m3 ) + X
1;2
k2
de donde se obtiene por diferenciacion
3 )
Æ = 1;2 (ÆP m + ÆmP )
y en virtud de (1.75)
k2
Æ = (x2
x
(1.77)
x1
)("Px + "m)
(1.78)
x
donde "Px y "m son los errores relativos
"Px =
Æm
ÆPx
: : : "m =
Px
m
De manera similar se obtiene
Æ = (y2
Æ = (z2
(1.79)
y1
)("Py + "m)
z1
)("Pz + "m)
(1.80)
(1.81)
Finalmente diferenciando las expresiones (1.72 y eliminando Æ se obtiene
= 1 (
cos Æ = 1 (Æ cos Æ
sen Æ cos Æ
sen )
Æ sen Æ sen + ÆcosÆ)
(1.82)
Estas formulas permiten analizar las causas de error en la posicion predicha
del planeta desconocido; es interesante notar que los errores resultantes son
inversamente proporcionales a la distancia geocentrica del planeta desconocido.
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
16
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
1.2.5 Simulacion del descubrimiento de Neptuno
Para ejemplicar la teora desarrollada describiremos el proceso numerico
que conduce a predecir las coordenadas esfericas del planeta Neptuno por
las perturbaciones ocasionadas al movimiento del planeta Urano.
Una circunstancia favorable y decisiva para la prediccion de Le Verrier fue
la posicion heliocentrica relativa de ambos planetas cercana a su conjuncion
cuando los desvos sistematicos de Urano pasaban por un maximo y pudieron
ser observados (en posiciones relativas de oposicion los desvios hubieran sido
peque~nos y practicamente inobservables). Para imitar esta circunstancia
hemos adptado en esta simulacion un periodo de tiempo de las posiciones
de Urano comprendido entre los a~nos 1981 y 2003 pues las posiciones de
conjuncion ocurrieron en 1993; en dicho perodo adoptamos fechas de las
"observaciones" de Urano de la forma ti = t0 + ih con t0 = 17=3=1981 e
intervalos equidistantes h = 1600dias. Los datos necesarios para esta simulacion fueron tomados de las publicaciones [2] y [3] para las coordenadas
cartesianas de Urano y Neptuno y las del Sol respectivamente. Para construir las "observaciones" de Urano se transformaron dichas coordenadas
cartesianas en coordenadas esfericas (; Æ) a las que sumaron errores aleatorios con media cero y desvo standard . Por el proceso descripto mas arriba
se determinaron las perturbaciones estimadas (1;2) y luego se calcularon
las correspondientes posiciones estimadas de Neptuno para compararlas nalmente con las posiciones reales obtenidas de la publicacion [2].
P
Los resultados obtenidos se resumen en las dos tablas siguientes.
TABLA 1. 1
Simulaci
on del descubrimiento de Neptuno
Fecha: 8/5/1994
Errores en las posiciones geoc
entricas estimadas
ma =mr
+
0" 0
0" 5
1" 0
) 0:50 1:00 2:00
Errores
0Æ 82 0Æ 34 0Æ 32
0Æ 87 0Æ 40 0Æ 31
0Æ 91 0Æ 45 0Æ 30
TABLA 1. 2
(h = 1600dias)
( = 0:"5)
Simulaci
on del descubrimiento de Neptuno
para varias fechas
Errores en las posiciones geoc
entricas
estimadas
CONAE - Buenos Aires - Argentina
1.3.
17
Problema Inverso en el Girocomp
as
Fechas
Pert. simuladas Pert. estimadas
17:0=3=1981
4:9 10 11
5:3 10 11
8:0=3=1985
7:6 10 11
7:4 10 11
11
20:0=12=1989 10:6 10
9:7 10 11
24:0=5=1994 12:0 10 11
10:9 10 11
11
24:0=9=1998 10:8 10
10:0 10 11
11
10:0=3=2003
8:1 10
8:0 10 11
Errores
4Æ 18
2Æ 72
1Æ 20
0Æ 31
0Æ 28
0Æ 32
1.2.6 Conclusiones
En primer lugar debe notarse que para obtener los resultados que se consignan
en las dos tablas se ha usado para la estimacion de las perturbaciones la
formula (1.61). En cambio utilizando la formula (1.59) los errores en las
posiciones del planeta perturbador resultaron mayores.
En la T abla1:1 se consignan resultados obtenidos aplicando en las sucesivas simulaciones tres valores distintos del desvo standard de los "errores
de observacion" y tambien tres valores distintos de la masa asumida para
el planeta perturbador. Desde el punto de vista dinamico cuanto mayor
es la masa mayor resulta la distancia al planeta perturbador y los errores
de posicion, que son inversamente proporcionales a esa distancia, resultan
menores como se observa en la tabla.
En la T abla1:2 se consignan resultados correspondientes a seis fechas sucesivas distanciadas entre sde 1600 dias.
Siendo y Æ las diferencias en Ascension Recta y Declinacion respectivamente entre una posicion simulada y la correspondiente posicion estimada
los errores que se indican
en las tablas son las diferencias angulares calcup
ladas por la formula (cosÆ )2 + (Æ)2
1.3
Problema Inverso en el Girocomp
as
El
es un instrumento donde el eje de simetra de un cuerpo
rotante puede quedar limitado a moverse solo en un plano horizontal. Debido
a la rotacion de la Tierra el plano horizontal cambia constantemente de
direccion en relacion a un sistema inercial de referencia; en consecuencia
los soportes del montaje reaccionan sobre el cuerpo rotante en la forma de
un par de fuerzas que originan un movimiento de precesion; mediante el
agregado de un contrapeso adecuado se puede modicar dicha precesion y
lograr que el eje de rotacion del cuerpo, o sea el vector de su momento
angular, tienda a alinearse con una direccion predeterminada, por ejemplo
la del meridiano de un lugar.
En el Cap.1, del Vol.II de esta obra hemos dado una descripcion del
funcionamiento del instrumento tomada en parte de la obra de W.Wrigley
girocomp
as
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
18
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
et al([14] ,cap.10).
Este es un sistema dinamico cuya simulacion matematica
consiste en general en una ecuacion diferencial de la forma
y = f (y; y;_ t) + P (t)+
(1.83)
donde y e y_ son magnitudes medibles, f (y; y;_ t) es una funcion conocida
dependiente de las leyes matematicas que gobiernan el sistema y P (t) es
una perturbacion, en general peque~na,que se desea determinar en base a un
conjunto de mediciones de las cantidades y e y_ ; de hecho se asume que esas
cantidades se miden en un conjunto discreto de puntos tn(n = 1; 2; : : :). En
lo que sigue describiremos en detalle la aplicacion a este problema de los
principios generales descriptos en las secciones anteriores de este captulo
(v.[15].
1.3.1 Fundamento Matematico
Consideremos un conjunto de puntos equidistantes tales que tn+1 = tn + h
con h = constante. Aplicando la formula de Taylor con resto en forma integral tenemos (con notacion algo diferente a la usada en secciones anteriores)
y(tk ) = y(tj ) + hy_ (tj ) +
con j tk
Z tk
tj
[f (y; y;_ u) + P (u)] (tk
u)du
(1.84)
tj = h j Analogamente tenemos para el \problema de referencia"
yj = f (yj ; y_ j ; t)
(1.85)
obtenido de la ecuacion (1.83) eliminando P (t) y asumiendo las condiciones
osculadoras iniciales
yj (tj ) = y(tj )
y_ j (tj ) = y_ (tj )
(1.86)
que son cantidades conocidas por mediciones y afectadas por eso por errores
aleatorios que luego tendremos en cuenta.
Tenemos entonces
yj (tk ) = yj (tj ) + hy_ j (tj ) +
Z t
k
tj
f (yj ; y_ j ; u)(tk
u)du
(1.87)
y comparando con (1.84) y en virtud de (1.86) resulta
y(tk )
yj
(tk ) =
Z t h
k
i
f (y; y;_ u) f (yj ; y_ j ; u) + P (u) (tk
tj
u)du
(1.88)
En adelante pondremos
Rkj = y(tk ) yj (tk )
CONAE - Buenos Aires - Argentina
(1.89)
1.3.
Problema Inverso en el Girocomp
as
19
que es la diferencia o \residuo" entre el valor real de la solucion de la ecuacion
(1.83) en el punto tk y el valor correspondiente yj (tk ) de la solucion de
referencia que satisface las condiciones osculatorias (1.86) en el punto tj .
Poniendo por abreviar
j (u) = f (y; y;_ u) f (yj ; y_ j ; u) + P (u)
(1.90)
resulta
Z t
k
j
Rk =
j (u)(tk u)du
(1.91)
tj
Consideramos ahora tres puntos sucesivos tn 1; tn; tn+1 y denimos una
funcion interpolante cuadratica
z (u) = a + b(tk u) + c(tk u)2
(1.92)
tal que z(u) = (u) en los tres puntos. Los coecientes a; b; c dependen del
punto tk y si tomamos k = n 1 resulta
a = j (tn 1 )
1 [3j (tn 1) 4j (tn) + j (tn+1)]
b =
2h
1 [j (tn 1) 2j (tn) + j (tn+1)]
c =
2h2
Reemplazando z(u) por (u) en (1.91) e integrando se obtiene, para
j = n,
1
5
1
n
2
n
n
n
Rn 1 = h (tn 1 ) + (tn )
(1.93)
8
12
24 (tn+1) + ÆI
donde ÆI es el error de truncamiento introducido al reemplazar z(u) por
(u). Pongamos ahora
h
i
fkj = f [y(tk ); y_ (tk ); tk ] f yj (tk ); y_ j (tk ); tk
(1.94)
y
Rj
R~ kj = 2k
(1.95)
h
Obviamente fkj = 0 para k = j y la ecuacion (1.93) en virtud de (1.90)
toma la forma
1
ÆI 1
5
1 P (tn+1) (1.96)
1
R~ nn 1 + fnn 1 fnn+1 2 = P (tn 1 )+ P (tn )
24
8
h
8
12
24
El mismo razonamiento puede repetirse combinando los tres puntos en
varios pares diferentes; tomando por ejemplo
k=n 1 j=n
k=n
j=n 1
(1.97)
k=n
j = n+1
k = n+1 j = n
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
20
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
se obtiene un sistema de cuatro ecuaciones lineales para P (tn 1),P (tn ) y
P (tn+1 ) como sigue:
2
2
1 fnn 1 + 1 fnn+1 ÆI2 3
n
1 5
1 3
~
R
n
1
8
24
h
24 24 7
7
6 8
6
7
6
72
6
3
7
6 7
7
6
n
1
7
1
1 7 P (tn 1 )
1
ÆI
n
n
1
~
6
6 R
fn + 24 fn+1 h2 77
n
1
4
24 7 6
24
6 24
6
7
7
6
7 4 P (tn )
(1.98)
5=6
6
7
6
6
7 P (t
6
1
1
7
n
+1
1
7
ÆI
~nn+1 + 24 fn 1 24 fnn+1 h2 777
6
7
n+1 )
6 R
24
4
24
7
6
7
6
5
4
5
4
1 5 1
1
1
ÆI
n
n
n
~
R
f
f
24 12 8
n+1 24 n 1 8 n+1 h2
donde precisamente la primera ecuacion es (1.96).
Si escribimos este sistema en la forma
MP = R~
(1.99)
donde MR43 es una matriz rectangular, P es el vector transpuesto de
[P (tn 1 ); P (tn ); P (tn+1 )] y R~ es el vector del miembro derecho de (1.98).
Este sistema lineal es sobredeterminado y se puede obtener la inversa generalizada de M
1
M+ = MT M MT
(1.100)
que en este caso es exactamente
2
3
0
:9 3:7 1:3
2
:1
6
0:5 0:5 1:5 75
(1.101)
4 1:5
2:1 1:3 3:7 0:9
luego
P = M + R~
(1.102)
1.3.2 Analisis de los errores
En la ecuacion (1.102) la inversa generalizada M + no tiene errores y si R~
esta afectada por algunos errores ÆR~ , que analizaremos, entonces para los
errores en las incognitas tenemos
ÆP = M + ÆR~
(1.103)
Errores Inherentes
Este tipo de errores procede de las aproximaciones aplicadas por el metodo.
La integral de la ecuacion (1.91) puede escribirse, por el teorema del valor
medio generalizado para integrales, en la forma
Inn+1
= (tn+1
)
Z tn+1
tn
n (u)du
CONAE - Buenos Aires - Argentina
(1.104)
1.3.
Problema Inverso en el Girocomp
as
21
con (tn; tn+1) de modo que max(tn+1 ) h. El remplazo del integrando
por el interpolante cuadratico (1.92) es equivalente a la regla de Simpson
para integrales y se sabe que el error de truncamiento en ese caso tiene la
forma [ h5 n(iv) (h)=90] con h(tn ; tn+1); el error total en Inn+1 es entonces
j ÆI j=j h6 n(iv) (h)=90 j y en virtud de (1.103) el error inherente es
!
~
Æ
I
(1.105)
j Pinherente jj M + j h2
donde ÆI~=h2 es un vector de cuatro elementos de la forma
j h4ni (iv) (h)=90 j : : : (i = 1; 2; 3; 4)
(1.106)
Errores de Medici
on
En la expresion (1.89) para Rkj la solucion y(t) de la ecuacion (1.83) puede
estar dada en un problema de control. Pero y(t) e y_ (t) pueden ser resultados
de mediciones en un conjunto de puntos tk de modo que
y(tk ) = y~(tk ) k
y_ (tk ) = y~_(tk ) _k
k = 1; 2; : : :
(1.107)
donde k y _k son errores de medicion. Estos errores pueden afectar el
miembro derecho de la ecuacion (1.98) de dos maneras. En efecto si en la
ecuacion (1.87) reemplazamos y(tk ); yj (tj ) e y_ (tj ) por las cantidades medidas
y~(tk ); y~j (tj ) e y~_(tj ), respectivamente introducimos en Rkj denida por (1.95)
un error de la forma
I = (k + j + h_j ) =h2
(1.108)
Analogamente si en lugar de (1.94) ponemos
fkj = f [~y(tk ); y~_(tk ); tk ] f [~yj (tk ); y~_j (tk ); tk ]
introducimos un error de la forma
Æf
Æf II = (k + j + h_j )
_k + ~_k
(1.109)
Æy
Æy_
donde en virtud de (1.83)
~_h = _j + h nf hyj (tj ); y_ j (tj ); tj i + P (tj )o
(1.110)
Resumiendo podemos decir que el error inherente es proporcional a h4 ; los
errores de medicion I son proporcionales en parte a 1=h2 mientras que II
es proporcional a h. Esto indica que en lo posible, para mantener el efecto de
estos errores dentro de lmites aceptables, conviene tomar para h un valor de
compromiso. Las ecuaciones (1.106),(1.108),(1.109) y (1.110) pueden ayudar
para el analisis apropiado en cada problema o situacion.
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
22
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
1.3.3 Simulacion del Instrumento
Para la simulacion matematica del instrumento hemos adoptado la siguiente
ecuacion diferencial de segundo orden
T
y + 2!n y_ + !n2 y = K !x + mt
H
+ Exax + Ez az + Exz axaz
(1.111)
donde
y magnitud producida por el generador de se~nales
H momento angular del instrumento
wn frecuencia natural del instrumento
!x !y !z componentes inerciales de la velocidad angular
factor de amortiguacion
Ex ; Ez factores de error por desbalance en las direcciones x y z
Exz factor de error por disimetra elastica
K factor de escala
Tmt torque aplicado por el motor de torque
ax ; az aceleraciones en las direcciones x y z
En este modelo hemos despreciado errores provenientes de las siguientes
fuentes:
1. acoplamiento cruzado
2. aceleracion angular en el eje de salida como ocurre en los giroscopos y
3. errores constantes y aleatorios.
Procedimos a generar un modelo que represente bien ambos tipos de sensores. De todas maneras los errores constantes pueden ser tomados como
errores en Tmt lo cual no complica las ecuaciones. Ademas el tipo de datos
que introduciremos cancelara los restantes errores. Por eso tales datos
basicamente acentuaran los errores dependientes de la aceleracion en ambos
ejes y de la anisoelasticidad (asimetra elastica) dependiente del producto
de la aceleracion en esos ejes.
En la simulacion presente hemos adoptado
!x = 0
!y = const
Tmt = Hdeseado (!x )
ax = g sen (!y t)
az = g cos(!y t)
(1.112)
,
,
CONAE - Buenos Aires - Argentina
1.3.
Problema Inverso en el Girocomp
as
23
Notamos que, aunque !x es nula podemos desear tener un valor no nulo en
razon de que estamos simulando una velocidad angular inercial !x por medio
del generador de torque Tmt . Con referencia a la ecuacion (1.83) tenemos
T
(1.113)
f (y; t) = 2!n y_ !n2 y + K mt
H
como parte conocida del segundo miembro y
P (t) = Ex g sen (!y t) + Ez g cos(!y t) + (Exz =2)g2 sen (2!y t) (1.114)
como la perturbacion a determinar por nuestro metodo. Con estas hipotesis
y con las condiciones iniciales
y(t0 ) = y0
y_ (t0 ) = y_ 0
(1.115)
donde y0 y y_0 son magnitudes medidas, la solucion de la ecuacion (1.83)
puede expresarse por la forma cerrada que sigue:
p
K!x e !n t senp(!n 1 2 t) K!x
y (t ) =
y_ 0 + y0 !n +
2
!n2
!n
!n 1 i
h
gEx !y 2 2 1 !n2 + !y2 gEz !n !n2 + !y2
+
2
!n2 !y2 + 4 2 !n2 !y2
h
i9
2g2 Exz !y 22 1 !n2 + 4!y2 >=
+ 2
;
!n2 4!y2 + 16 2 !n2 !y2 >
q
x
+ e !n t cos(!n 1 2t) y0 K!
2
!n
9
>
2
2
=
2
2gE ! ! gE ! !
+ x 2n y 22 z 2 n2 2 y + 2 4g E2 xz2 !n!y 2 2 2 >
!n !y + 4 !n!y
!n 4!y + 16 !n !y ;
2
3
2
2
gE
!
!
+
2
gE
!
!
z n y7
+ sen (!y t) 64 x n y 2
5
!n2 !y2 + 4 2 !n2 !y2
3
2
2 !y2 2gEx !n !y
gE
!
z
n
7
+ cos (!y t) 64 5
2
!n2 !y2 + 4 2 !n2 !y2
2
3
2
2
2
2
g
E
!
4
!
+ sen 2(2!y t) 64 xz 2n y 75
!n2 4!y2 + 16 2 !n2 !y2
3
2
2
cos (2!y t) 64 4g Exz !n!y
7
(1.116)
5
2
2
!n2 4!y2 + 16 2 !n2 !y2
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
24
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
Obviamente de esta formula se puede obtener y_ (t) en forma cerrada. En
la aplicacion de este metodo debe naturalmente substituirse el subndice \0"
por los subndices \j " denidos por las ecuaciones 1.97.
Para la ecuacion de referencia
yr =
2!ny_ r
con las condiciones iniciales
!n2 yr + K
Tmt
H
(1.117)
yr (t0 )
y_ r (t0 )
= y(t0 ) = y0
= y_ (t0 ) = y_0
(1.118)
la solucion se obtiene simplemente eliminando en la ecuacion (1.116) los
terminos conteniendo como factores Ex; Ez o Exz . As se puede obtener
para cada instante los correspondientes valores y(t) y y_ (t) y simular las
mediciones y~(t) y y~_(t) por
y~(t) = y(t) + t
y~_(t) = y_ (t) + _t
(1.119)
donde t y _t son numeros al azar con distribucion Gaussiana, media cero y
varianza .
1.3.4 Esquemas Numericos
En todos nuestros experimentos numericos, que describiremos luego, hemos
aplicado la ecuacion (1.102) en conjuntos sucesivos de tres puntos cada uno.
Debido a una conocida propiedad de las interpolaciones por polinomios el
error inherente mnimo ocurre en el punto medio tn. Por eso hemos calculado solamente la perturbacion correspondiente a dicho punto por la simple
formula
h
iT
P (tn ) = 1:5 0:5 0:5 1:5 R~
(1.120)
evitando los calculos de P (tn 1 ) y P (tn+1).
Cada conjunto de tres puntos se sobrepona a dos puntos del conjunto
anterior y de nuevo se obtena la perturbacion correspondiente al punto
medio y as siguiendo. De esta manera el efecto del error inherente se
redujo considerablemente aunque al costo de un esfuerzo computacional
mayor. De esta manera se pudo calcular paso a paso un conjunto de
estimaciones
de la perturbaci
on que pueden representarse por el vector
h
iT
P = P1 P2 : : : PN .
Mediante la ecuacion (1.114) se puede establecer un sistema de ecuaciones de condicion lineales,
P = gAE + r
(1.121)
CONAE - Buenos Aires - Argentina
1.3.
25
Problema Inverso en el Girocomp
as
donde A es una matriz de (N 3) de la forma
2
sen (!y t1 ) cos(!y t1) g2 sen (2!y t1 ) 3
7
...
...
...
(1.122)
A = 64
5
g
sen (!y tN ) cos(!y tN ) 2 sen (2!y tN )
con
h
iT
E = Ex Ez Exz
(1.123)
y r es un vector (N 1) de residuos.
El sistema (1.121) es sobredeterminado y se puede obtener para E una
solucion por cuadrados mnimos
1 1
(1.124)
E~ = AT A AT P
g
que minimiza la funcion
J= P
AE~
T AE~
(1.125)
Finalmente, para tener una valoracion de los resultados, podemos calcular
las diferencias ÆPi = Pi P (ti ) calculando P (ti) por la formula (1.114).
Un buen metodo para apreciar el comportamiento de las diferencias ÆPi
es la siguiente formula emprica que establece el numero de cifras signicativas coincidentes en Pi y P (ti )
EF Fi =
P
jÆPi j log10 10q
(1.126)
donde q es el menor de los exponentes de Pi y P (ti ) en sus expresiones en
punto otante. Cuando EF Fi > 0 su parte entera da el numero de cifras
coincidentes; cuando EF Fi < 0 indica que el orden de magnitud decimal de
Pi y P (ti ) dieren o sea que Pi es una mala estimacion.
Como indicador de la precision de las estimaciones E~x,E~y y E~xz usamos
los errores porcentuales
E~ Ex
100
ex = x
Ex
E~ Ey
ey = y
100
(1.127)
Ey
E~
Exz
exz = xz
100
E
xz
En los calculos nuestras variables fueron las siguientes:
Datos
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
26
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
WX velocidad angular en el caso del giroscopo y aceleracion el caso del
acelerometro que en la practica se simulan con el generador de torques
Tm
SF factor de escala del instrumento
WN frecuencia natural del instrumento (Hz)
A factor de amortiguacion
N numero de puntos en los que se determina la perturbacion
T perodo de muestreo (s)
Y valor inicial de y(t)
YP valor inicial de y_ (t)
WY velocidad angular de la tabla de test respecto al eje y (Æ /seg)
SI del ruido de las mediciones (V)
EX error de la aceleracion en la direccion del eje x ,(Æ /seg/g)
EZ error de la aceleracion en la direccion del eje z ,(Æ /seg/g)
EXZ factor del error por anisoelasticidad (Æ /seg/g)
Resultados
P (t) valor real de la perturbacion, dado por la ecuacion (1.114)
Pi valor estimado de la perturbacion
eciencia en la estimacion Pi dada por la ecuacion (1.126)
MQP valor cuadratico medio de ÆPi
EEX estimacion de E~x por cuadrados mnimos
EEZ estimacion de E~z por cuadrados mnimos
EEXZ estimacion de E~x z por cuadrados mnimos
P EX error porcentual de E~x
P EZ error porcentual de E~z
P EXZ error porcentual de E~xz
EF Fi
CONAE - Buenos Aires - Argentina
1.3.
Problema Inverso en el Girocomp
as
27
ex
ey
ez
Muestras h (ms) EF F a
Varianza
250
0.3
6.6 3 10 5 3 10 5 3 10 5
99
1
4.5
0.003 0.003 0.003
250
3
2.6
0.275 0.277 0.275
=0
250
6
1.3
4.843 4.892 4.877
250
1
2.8
-0.041 0.003 0.056
250
3
2.5
0.275 0.278 0.274 = 10 7
250
6
1.3
4.843 4.892 4.878
250
1
2.0
-0.437 0.003 5.236
250
3
2.5
0.277 0.282 0.193 = 10 6
250
6
1.3
4.840 4.896 4.915
250
1
1.4
-4.402 0.005 5.237
250
3
1.7
0.290 0.331 0.193 = 10 5
250
6
1.3
4.838 4.870 4.915
250
3
0.6
0.417 0.815 -7.92 = 10 4
Tabla 1.1: Resultados de los experimentos numericos.
1.3.5 Experimentos Numericos y Conclusiones
En nuestros experimentos numericos el sensor inercial fue simulado mediante
la ecuacion (1.116). Luego usamos nuestro metodo para estimar las peque~nas
perturbaciones y a continuacion los coecientes Ex ,Ez y Exz como se describio en las secciones (1.1) a (1.4). En todos los casos nuestro simulador
se denio por el siguente conjunto de parametros:
Dato de la velocidad angular !x deseada:30Æ =seg.
Factor de escala del sensor SG = 0:1V=Æ =seg
Frecuencia natural del sensor !n = 30Hz
Factor de amortiguacion del sensor = 0:7
Valor inicial y(0) = 0:0 V
Valor inicial y_ (0) = 0:0 V
Velocidad angular de la mesa de pruebas !y = 200Æ =seg
Ex = 0:05Æ =seg=g
Ez = 0:05Æ =seg=g
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
28
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
Exz = 0:005Æ =seg=g2
En cada experimento tomamos diferentes valores de la variancia para
los errores de medicion aplicados en la ecuacion (1.119) y tambien diferentes
valores del intervalo de muestreo de las mediciones. Con los valores particulares de los parametros que acabamos de dar, la perturbacion a determinar
por nuestro metodo fue del orden de 0:001V=s2 , 3000 veces menor que la
se~nal principal. La velocidad angular !y de la tabla se uso para simular
datos de aceleracion a los ejes x y z del sensor, usando gravitacion vertical.
Los resultados mas signicativos de nuestros numerosos experimentos
numericos estan resumidos en la Tabla 1. De los resultados de la seccion
(1.3) concerniente a los lmites superiores de los errores se puede esperar
que para errores de medicion nulos o peque~nos, nuestro metodo funcione
mejor para menores valores del perodo de muestreo (h), lo cual se observa
claramente en en las secciones correspondientes a = 0 y = 10 7 de la
Tabla 1. Se debe notar que el perodo mnimo de muestreo esta impuesto por
la capacidad intrnseca asumida de los instrumentos de medicion. De todos
modos para peque~nos valores de aun para h = 6ms nuestros resultados
son razonablemente precisos.
Para errores de medicion mayores, es decir, para 10 5 10 4 se
obtienen los mejores resultados para el valor intermedio de h = 3ms.
En la Tabla 2 se muestra otro importante aspecto de nuestro metodo,
que es la capacidad de detectar cambios importantes o irregularidades de las
perturbaciones desconocidas que pueden aparecer en intervalos cortos. En
tales casos, el metodo standard de ajustar por cuadrados mnimos algunos
parametros involucrados en en un modelo predesignado tiende a suavizar
esas irregularidades que, sin embargo pueden afectar de mal modo los resultados nales.
Hemos realizado un experimento de incrementar subitamente la perturbacion P (t) por un factor de 102 en un intervalo corto de de 9ms y asumiendo
= 0. En todos los casos la eciencia del metodo fue constantemente igual a
4:5 decimales que aparecen estimados correctamente. Los malos resultados
que aparecen en los extremos del intervalo de transicion son debidos evidentemente a la incapacidad de la interpolacion cuadratica para representar un
cambio subito en P (t).
1.3.6 Consideraciones nales y bibliografa
Conviene enfatizar que el metodo que hemos presentado es esencialmente
determinstico. Se podra enfocar el problema desde un punto de vista estocastico asumiendo por ejemplo que la perturbacion desconocida pueda ser
aproximada por una secuencia conveniente de Gauss-Markov compuesta por
una funcion del tiempo, como en nuestro metodo, pero agregando un componente puramente aleatorio. Esto ha sido realizado para problemas similares
CONAE - Buenos Aires - Argentina
1.3.
Problema Inverso en el Girocomp
as
29
EF F
Muestreo (s) Valores reales de P (t)
0.095
0.0078946
4.5
0.096
0.0079191
4.5
0.097
0.0079434
4.5
0.098
0.0079676
4.5
0.099
0.0079917
4.5
0.100
0.0080155
-3.7
0.101
0.8039256
-1.7
0.102
0.8062822
4.5
0.103
0.8086230
4.5
1.104
0.8109479
4.5
0.105
0.8132568
4.5
0.106
0.8155498
4.5
0.107
0.8178266
4.5
0.108
0.8200873
4.5
0.109
0.8223317
-1.7
0.110
0.0082456
-3.7
0.111
0.0082667
4.5
0.112
0.0082897
4.5
0.113
0.0083115
4.5
0.114
0.0083331
4.5
0.115
0.0083545
4.5
Tabla 1.2: Caso de un incremento subito de P (t) en un intervalo corto.
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
30
Cap
tulo 1.
El problema inverso en sistemas din
amicos
pero mas complicados por Ingram y Tapley [7] y por Tapley y Schutz [12].
Este metodo puede eventualmente obtener mas informacion de los datos
medidos al costo de un esfuerzo computacional mayor.
La losofa basica de nuestro metodo deterministico es la siguiente.
La precision de los resultados en los metodos estocasticos, sean soluciones
por cuadrados mnimos o tecnicas de ltrado, para la identicacion de
parametros puede se afectada seriamente si los modelos para el sistema
dinamico y para el comportamiento de los errores son inadecuados. Nuestro
metodo se basa solamente en las simples hipotesis de que las soluciones de las
ecuaciones diferenciales pueden expresarse a trozos en intervalos cortos por
un desarrollo de Taylor convergente y similarmente que las perturbaciones
desconocidas pueden tambien aproximarse por polinomios o combinaciones
de otras funciones elementales. Finalmente nuestro metodo determinstico
puede usarse como una primera aproximacion cuyos resultados permitiran
construir un modelo adecuado para luego aplicar una tecnica estocastica
mas renada. Otras aplicaciones de nuestro metodo pueden consultarse en
[16], [17] y [18].
CONAE - Buenos Aires - Argentina
Cap
tulo 2
Leyes de la Mec
anica
El objetivo de este captulo es formular las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de sistemas cerrados (de masa constante) y abiertos
(de masa variable), utilizando para ambos casos la hipotesis simplicativa
de cuerpos es rgidos, consideracion que simplica el analisis.
Ya en el captulo inicial del Volumen II de esta obra se hizo mencion a
las ecuaciones de Lagrange para deducir el comportamiento de un cuerpo
rotante en torno a un eje, lo que supone conocer esta metodologa para formular las ecuaciones diferenciales que describen la translacion y la rotacion
de un cuerpo rgido. En el Volumen I de esta obra por ejemplo se hace un
uso extensivo de estos metodos. El objetivo aqu es partir de las formulaciones basicas que nos permitan trabajar con modelos, ya sea de sistemas
cerrados o abiertos.
2.1
Leyes de Newton
Las leyes de Newton son validas para partculas que son observadas desde
una terna inercial. Una partcula es considerada un objeto espacial descripto
por la posicion solamente, con la propiedad de tender a mantener el estado
de movimiento que posee. Esta propiedad se denomina inercia y es medida
por la masa de la partcula.
Una terna inercial es una terna en la cual las leyes de Newton son validas,
esto es, una terna en la cual la aceleracion de una partcula es proporcional
a la fuerza actuante sobre ella. La existencia de esta terna inercial fue postulada por Isaac Newton. Este postulado fue revisado por Ernest Mach y
Albert Einstein. Mach postulo que la inercia y por lo tanto el movimiento
estaba afectado por masa en la distancia. Einstein, no solo mantuvo este
postulado sino que armo que la presencia de materia determina las caractersticas del espacio y por ende su movimiento.
Para realizaciones practicas esta terna inercial esta centrada en el sol
con ejes no rotantes respecto a las galaxias distantes. Kayton ha calculado
31
32
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
que el mayor efecto producido por el sistema de estrellas triples de Alpha
Centauri, produce un error en el diametro de la orbita terrestre de 310 19 g
terrestres.
Las leyes de Newton postulan:
1. Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento uniforme en linea recta, excepto si por accion de fuerzas es obligado a
cambiar su estado.
2. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza y ocurre en la
recta en la que actua la fuerza.
3. Toda accion tiene siempre una reaccion, igual y contraria; o la acciones
mutuas entre dos cuerpos cualesquiera son siempre iguales en intensidad y de sentido opuesto en la direccion de la recta que une a ambos
cuerpos.
La palabra cuerpo es interpretada como partcula. El termino movimiento
es interpretado como el producto de la masa por la velocidad de modo que
la segunda ley es escrita en la siguiente forma,
= mk p2i IP
(2.1)
donde k corrsponde a una partcula generica; p2i representa la derivada
segunda respecto al tiempo del vector posicion IP .
Fk
R
R
2.2
Fundamentos
Uno de los problemas de los postulados de Newton fue que los conceptos
de masa y fuerza no estaban logicamente denidos. Mach analizo estos
conceptos basandose en cuatro leyes experimentales y deducciones de estos.
Un espacio Euclidiano se asume donde el sentido de la distancia y del
tiempo tienen el signicado clasico en terminos del metro y del segundo como
unidades de medida. Los conceptos aqui resumidos no estan afectados por
terminos relativistas, debido a que sus efectos son despreciables en las aplicaciones siguientes y su incorporacion quitara claridad a las explicaciones.
El metodo de Mach se basa en experimentos ideales con dos cuerpos aislados
en el espacio en interaccion mutua, por ejemplo con un resorte entre ellos
que los aleja, o que se atraen electrica o gravitacionalmente. La distancia y
el tiempo tienen aqu el signicado clasico usando unidades cmo el metro y
el segundo.
Primer experimento ideal:
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.2.
33
Fundamentos
Dos partculas no cargadas denominadas A y B interactuan en una region
del espacio sucientemente lejos de otros cuerpos. La unica restriccion impuesta a la interaccion es que no se halle presente ningun tercer cuerpo de
inercia apreciable. Si el movimiento se reere a un sistema inercial, se halla
que siempre la aceleracion de una partcula sea opuesta en direccion a la
aceleracion de la otra y que la relacion de ambas aceleraciones es la misma
(asumimos que ambas son peque~nas respecto a la velocidad de la luz). Si
la aceleracion de A causada por la accion de B se denomina BA y la aceleracion de B causada por la accion de A se denomina AB . La ley puede
ser expresada analticamente como,
a
a
= mAB AB
(2.2)
donde mAB es una constante positiva e independiente de la naturaleza
de la interaccion entre A y B . Si tomamos a la partcula A como un cuerpo
estandar, la constante mAB se denomina relacion de masa de la partcula B
relativa al cuerpo estandar.
Es decir que la relacion de masa de una partcula respecto de una
partcula estandar se dene como la relacion entre la magnitud de la aceleracion de la partcula estandar respecto de la partcula bajo experimentacion
cuando ambas partculas se hallan aisladas. Esta relacion es importante
porque es independiente de la naturaleza de la interaccion en la que se realiza la medicion.
aBA
a
Segundo experimento ideal
Cuando ambas partculas se hallan aisladas del resto, A y B interactuan
de modo que las aceleraciones de A y de B se hallan relacionadas por,
= mAB AB
(2.3)
Si se extrae del experimento a la partcula B y se introduce una tercera,
C , que interactua con A, tenemos ahora,
aBA
a
= mAC AC
(2.4)
Si el experimento se realiza ahora con las partculas B y C se tiene,
aCA
aCB
a
=
mBC aBC
Las tres constantes mAB , mAC y mBC satisfacen la relacion,
(2.5)
mAC
=m
(2.6)
AB
Esta ley corresponde al segundo experimento ideal y no podra ser inferida desde la primera ley.
mBC
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
34
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
El smbolo mB nombra la masa de la partcula B y mC la masa de la
partcula C relativa a la partcula estandar A. Luego
m
mBC = C
(2.7)
mB
y la relacion entre las aceleraciones entre ambas particulas puede ser
reescrita en la forma
mB CB = mC BC
(2.8)
Esta ley es importante porque las constantes mB y mC aparecen en la
relacion entre las aceleraciones y las mismas son determinadas cuando las
partculas B y C actuan solas con la partcula A.
Estas dos leyes proveen la denicion de masa y un conocimiento de sus
propiedades. La relacion entre las aceleraciones contienen implicitamente la
tercera ley de Newton.
a
a
Tercer experimento ideal
La aceleracion CB de la partcula B debido a la partcula C es la segunda
derivada del vector posicion IB de B relativo al sistema de referencia jo
a la terna inercial del observador. Cuando el movimiento de B es explicado
bajo todas las posibles interacciones entre B y C , se encuentra que CB es
la derivada temporal de mas bajo orden que puede ser expresada como una
funcion vectorial de la distancia BC desde B hasta C que no contengan
constantes dependientes de las condiciones iniciales del movimiento. Este
vector puede contener constantes de naturaleza tales como la constante gravitatoria, la velocidad de la luz o constantes caractersticas de las partculas
como las masas o constantes que parametrizan el tipo de interaccion como
rigidez de resortes, etc pero que no contienen cualquier otro tipo de constantes que dependan de la posicon o velocidad inicial. En lugar de escribir
la aceleracion igual a la otra funcion, lo hacemos como
mB CB = CB
(2.9)
lo que es posible debido a que mB es una constante.
El vector CB se denomina fuerza ejercida por la partcula C sobre la
partcula B y la ecuacion es llamada la Ecuacion Diferencial de Movimiento.
De esta forma la segunda ley de Newton aparece como una denicion de
fuerza.
a
R
a
R
a
F
F
Cuarto experimento ideal
Sea mCDE;B la aceleracion de la partcula B cuando las partculas C , D
y E se hallan presentes en la interaccion. Sean aCB , aDB y aEB respectivamente la acelracion que experimenta B cuando solo las partculas C , D y E
se hallan presentes. Los experimentos ideales muestran que,
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.2.
35
Fundamentos
= CB + bfaDB + EB
(2.10)
Esta ley dice que la interaccion de una partcula sujeta a la accion de
un numero de otras partculas es igual a la suma de las aceleraciones que
hubiesen producido por interaccion con esas partculas tomadas una a su
tiempo. Esto muestra la independencia de las fuerzas actuantes sobre B por
varias partculas
mB CDE;B = mB CB + mB DB + mB EB
(2.11)
o tambien se puede escribir,
(2.12)
CDE;B = CB + DB + EB
que puede ser deducido en terminos de fuerza desde la tercera ley experimental, ya que podra concluirse que
(2.13)
CB =
BC
que puede ser reconocida como la tercera ley de movimiento de Newton.
En esta formulacion la tercera ley aparece como resultado de un experimento
de interaccion entre partculas descargadas.
La tercera ley es ligeramente restrictiva dado que se mantiene para
fuerzas de contacto o interacciones gravitatorias entre partculas. Cuando
se trabaja con partculas cargadas, la propagacion nita de efectos electromagneticos requiere la introduccion de conceptos de campo. El movimiento
de las partculas cargadas esta gobernado por la segunda ley de Newton. En
un sistema de partculas cargadas la tercera ley de movimiento no se halla
en relacion con las fuerzas electromagneticas, dado que las partculas no se
considera que interactuen directamente una con otras, sino que solo lo hacen
a traves de un agente externo que es el campo.
aCDE;B
a
a
a
a
F
F
F
a
F
a
F
F
2.2.1 Movimiento del Centro de Masas de un Sistema de
Partculas
El movimiento de traslacion del centro de masas de un sistema de partculas
puede ser usado para describir el movimiento de todo el sistema como es
comun hacerlo en los primeros cursos de mecanica racional. Esta metodologa
es utilizada aqui para facilitar la notacion.
El movimiento de una partcula aislada es descripta como,
mk p2i IP = k :
(2.14)
donde :
on de la partcula relativa a la terna inercial i con
IP es el vector posici
origen en el punto I .
R
F
R
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
36
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
es la masa de la partcula k.
k es la fuerza resultante actuando sobre la partcula k .
pi es el vector derivada con respecto al tiempo relativo a la terna inercial
Consideremos un sistema de n partculas con masas m1, m2, , mk que
tienen como posicion los vectores I 1 , I 2 , , Ik .
El movimiento de la partcula k se describe con la siguiente ecuacion,
X
mk p2i ik = (ext) k +
(2.15)
hk ;
mk
F
R
R
R
R
F
h
F
donde
(ext) k es la fuerza resultante sobre la partcula k debido a las fuerzas
externas que actuan desde fuera del sistema.
hk es la fuerza actuante sobre la partcula k debido a la partcula h.
P
h hk es la fuerza resultante sobre la partcula k debido a la interaccion
con todas las otras partculas del sistema.
Sumando en la ecuacion (2.15) sobre todas las partculas se tiene,
X
X
XX
mk p2i Ik =
+
(2.16)
hk
(ext)k
F
F
F
R
k
k
F
k
h
F
Dado que hk = kh por la tercera ley de Newton, asumiendo que no
existen fuerzas electromagneticas actuando sobre ninguna de las partculas.
XX
X X
( hk + kh) = 0
(2.17)
hk =
F
F
k
h
F
k>h h
F
F
Denimos,
P
m = k mk como la masa total del sistema.
P
k mk RIK el vector posici
on del centro de masa, C .
=
IC
m
P
(ext) = k (ext)k es la fuerza externa resultante de todas las fuerzas
actuantes sobre el sistema.
El centro de masas es el que tiene la posicion promedio de todas las
partculas del sistema en cualquier instante de tiempo, donde la posicion de
cualquiera de ellas es ponderada de acuerdo a su masa.
Utilizando las deniciones anteriores en la ecuacion (2.16) se tiene,
m p2i IC = (ext)
(2.18)
R
F
F
R
F
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.2.
Fundamentos
37
El centro de masa del sistema actua como si fuera una partcula con una
masa igual a la masa total de sistema hallandose sujeto a la fuerza externa
resultante del conjunto de fuerzas que actuan sobre las partculas.
En todo cuerpo que pueda ser considerado como un sistema de partculas,
las leyes de Newton pueden ser aplicadas para describir el movimiento de su
centro de masas, donde se halla aplicada la resultante de todas las fuerzas
que actuan sobre el cuerpo.
Aceler
ometro Lineal
Un acelerometro lineal es un instrumento dise~nado para medir las caracteristicas del movimiento de traslacion respecto a una terna inercial. Debido
a la equivalencia entre la aceleracion gravitacional y aceleracion inercial, el
instrumento mide una combinacion de ambas aceleraciones cuando se halla
en presencia de un campo gravitacional.
El punto X es el centro de masa del elemento sensible (masa de prueba).
El punto P es la posicion de equilibrio del centro de masa de la masa de
prueba cuando no existen fuerzas externas actuando sobre la carcaza del
instrumento a lo largo del eje sensible. El punto P se halla jo a la carcaza.
La indicacion de la aceleracion medida por el instrumento la denominaremos x y es proporcional al desplazamiento del elemento relativo a su
carcaza.
La masa esta sostenida por un resorte jo a la carcaza y un amortiguador
tambien referido a la carcaza. En la practica el resorte y el amortiguador
son solo idealizaciones de un sistema mucho mas complejo que optimiza las
funciones de estos dos elementos discretos.
Sea,
m es la masa de prueba, elemento sensible.
pi es el vector derivada con respecto al tiempo, relativo a una terna inercial.
p es la derivada con respecto al tiempo relativo a una terna inercial.
es el vector unitario a lo largo del eje sensible del instrumento.
k es la constante elastica del resorte.
c es el coeciente de amortiguacion.
EP ; LP ; SP son los campos gravitacionales tomados en el punto P
debido a la Tierra, la Luna y el Sol respectivamente.
x = P X a es la medicion de salida del instrumento.
1a
G
G
R
G
1
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
38
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
Aplicando la ecuacion (2.18) sobre el eje sensible del instrumento e igualando todas las fuerzas actuantes a lo largo de dicho eje con el producto de
su masa con su aceleracion relativa al espacio inercial se tiene,
m p2i (RIP + RP X ) 1a
[m (GEP + GLP + GSP + )
(2.19)
=
(c p + k) P X ] a
Asumiendo que la velocidad angular respecto al espacio inercial del instrumento es cero o que P X es muy peque~na (una o ambas de esas condiciones deben cumplirse para asegurar un instrumento preciso).
R
1
R
i
mh 2
m 2 c
p + p+1 x=
pi RIP + (GEP + GLP + GSP + ) 1a
k
k
k
(2.20)
La ecuacion anterior muestra que en el comportamiento de un acelerometro
ideal, este mide la aceleracion de la carcaza relativa al espacio inercial con
signo negativo mas la intensidad del campo gravitatorio a lo largo de su eje
sensible.
Aplicando la segunda ley de Newton a todo el instrumento considerado
como rgido,
p2i RIP
= ( EP + LP + SP + )
(2.21)
donde es la fuerza especica no debida a ningun campo que el instrumento ejerce sobre su soporte (fuerza por unidad de masa del acelerometro
completo)
Substituyendo (2.21) en (2.20) se tiene,
G
G
G
f
f
k m 2 c
p + p + 1 x = f 1a
m k
k
(2.22)
La ecuacion anterior muestra que un acelerometro mide las fuerzas especicas no debidas a campo que este instrumento ejerce sobre su soporte a
lo largo de su eje sensitivo. Esta es la razon que este instrumento es conocido
como medidor de fuerza especca.
Un acelerometro ideal mide la aceleracion del instrumento a lo largo de
su eje sensible con respecto a un sistema en caida libre que es no rotante
respecto al espacio inercial, esto surge claramente de la ecuacion (2.20).
Todos los resultados hasta ahora han sido desarrollados usando el origen,
I , de la verdadera terna inercial, i. El uso de la terna inercial centrada en
la Tierra es mas sencilla de visualizar y de implementar, pero la pregunta
es si se trata realmente de una terna inercial.
Comencemos por escribir los siguientes vectores,
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.2.
39
Fundamentos
= IE + EP
(2.23)
2
2
= pi IE + pi EP
(2.24)
= LE + SE + (2.25)
donde LE + SE es el campo gravitatorio en el punto E debido a
la Luna y el Sol respectivamente. Colocando estas ecuaciones en (2.20) se
tiene,
RIP
R
p2i RIP
p2i RIE
G
R
R
G
R
G
G
k m 2 c
p + p + 1 x = p2i REP + GEP +
m k
k
+[( LP LE ) + ( SP SE ) + ] a
(2.26)
Las diferencias entre los terminos gravitacionales tienen magnitudes del
orden de 10 7 EP cuando P esta cerca de la supercie terrestre y puede
ser ignorada sin cometer un signicativo error. Comparando (2.26) y (2.20)
podemos concluir que el gradiente gravitacional que existe entre P y E puede
ser despreciado en virtud de su magnitud, y por lo tanto podemos considerar
la terna inercial centrada en la Tierra como una verdadera terna inercial, de
modo que el campo gravitatorio tomado en el punto P se debe solamente a
la Tierra. En los problemas donde se requiere una alta precision los terminos
de diferencia entre P y E deben ser mantenidos en la ecuacion.
G
G
G
G
1
G
2.2.2 Movimiento Rotacional de un Sistema de Partculas
Consideremos el movimiento de un sistema de partculas como en la seccion
anterior, la ecuacion de movimiento de la particula k es repetida,
X
mk p2i RIk = F(ext) k + Fhk
Se toma el producto cruzado de
obtienen las siguientes igualdades
pi (RIk mk piRIk )
pi (RIk mk piRIk )
=
=
(2.27)
h
RIk
sobre la ecuacion anterior y se
mk p2i RIk X
RIk F
(ext) k + RIk Fhk
RIk
h
(2.28)
(2.29)
La cantidad RIk mk piRIk se llama Momento Cinetico de la particula
k con respecto al origen I . La magnitud RIk Fk es el Momento de la
Fuerza Fk o torque alrededor del punto I .
Para la suma sobre todas las particulas, a partir de (2.29) se tiene,
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
40
Cap
tulo 2.
pi
Dado que
X
k
+
=
Fhk
XX
k
mk piRIk =
RIk
h
Fkh
RIk
X
k
RIk
XX
k
h
Leyes de la Mec
anica
F(ext) k +
RIk
Fhk
(2.30)
por la tercera ley de Newton,
Fhk =
X X
k>h h
(
RIk
RIh
)
Fhk
(2.31)
Si las fuerzas internas hk yacen a lo largo de la linea que conecta las
particulas h y k (Fuerzas Centrales) la ecuacion (2.31) se hace cero. Esta
hipotesis de fuerzas centrales esta comprobada en la practica.
Se dene en forma clasica,
F
1.
= Pk Ik mk pi Ik
Momento cinetico del sistema en torno al punto I .
2. I = Pk Ik (ext) k
Torque total actuando sobre el sistema en torno al punto I .
HI
R
M
R
R
F
La ecuacion (2.30) se trnsforma en
piHI = MI
(2.32)
Esta ecuacion es a veces llamada la forma rotacional de la segunda ley
de Newton escrita a partir del origen de la terna inercial.
La derivada del momento cinetico alrededor del origen (I ) de la terna
inercial es igual al torque ejercido por fuerzas externas en torno al punto I .
En los parrafos proximos se intentara cambiar el origen I por el centro
de masas C , facilitando la interpretacion de las leyes.
Subsituimos Ik = IC +
la izquierda se trasnforman en,
R
piHI
=
=
+
pi
R
X
k
X
k
"
pi
(
RIC
+
RCk
RCk
!
mk
X
k
RIC
en la ecuacion (2.30). Los terminos de
) mk pi (
RIC
p2i RIC + pi
!
mk RCk
X
k
+
RCk
RCk
(2.33)
mk piRCk
piRIC + RIC pi
CONAE - Buenos Aires - Argentina
)
X
k
#
mk RCk
2.2.
41
Fundamentos
Los ultimosP dos terminos de la derecha de la ecuacion (2.34) son ceros
debido a que k mk Ck = m CC , por denicion del centro de masa. La
parte derecha de la ecuacion (2.30) se transforma en,
X
X
+
(2.34)
I = IC
Ck (ext) k
(ext) k
R
M
R
R
k
F
k
R
F
Colocando las ecuaciones (2.34) y (2.34) dentro de la ecuacion (2.30), se
obtiene
m RIC
=
X
k
p2i RIC + pi
RIC
X
F(ext) k +
k
X
k
RCk
RCk
mk piRCk
(2.35)
F(ext) k
Pero de acuerdo a la ecuacion (2.18) se tiene,
m IC p2i IC = IC (ext)
(2.36)
Luego la ecuacion (2.36) se transforma en
pi C = C
(2.37)
donde,
1. C = Pk Ck mk pi Ck
Momento cinetico del sistema en torno al centro de masa C .
2. C = Pk Ck (ext) k
Torque total externo actuando sobre el sistema en torno al centro de
masa C .
La ecuacion (2.37) es expresion de la segunda ley de Newton tomando
como origen el centro de masa del sistema, para movimientos rotacionales.
Las deducciones anteriores parten del razonable supuesto que las fuerzas
internas son centrales, y son validas si el cuerpo es rgido o no.
R
R
R
H
H
R
M
R
F
M
R
F
2.2.3 El Momento Cinetico de un Cuerpo Rgido
Recordamso que en los Cuerpos Rgidos, la distancia entre particulas se
mantiene constante, antes, durante y luego de la accion de las fuerzas y
torques.
El momento cinetico de un cuerpo rgido se dene como,
X
mk Ck pi Ck
(2.38)
C=
H
k
R
R
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
42
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
Denamos la terna ja al cierpo b con origen en su centro de masas C
y sea la velocidad angular de la terna ja al cuerpo respecto del espacio
inercial !ib. Aplicando el teorema de Coriolis se tiene,
pi Ck = pb Ck + !ib Ck
(2.39)
Un sistema de partculas se dene como rgido cuando pb Ck = 0. La
expresion del momento cinetico se transforma entonces,
R
R
R
R
HC
=
X
=
X
(!ib RCk )
mk RCk
k
mk RCk RCk !ib
k
X
k
(2.40)
mk RCk !ib RCk
El segundo termino de la ecuacion anterior (2.41) muestra que en general
el momento cinetico C y la velocidad angular !ib de un cuerpo rgido no
tienen la misma direccion.
Sean i, j y k los vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y y z de la
terna b. El vector Ck se escribe como,
H
R
RCk
!ib
=
=
o tambien
xk i + yk j + zk k
!(ib) x i + !(ib) y j + !(ib) z k
2
b
Rck
= 64
xk
yk
zk
3
2
7
5
!ibb = 64
!(ib) x
!(ib) y
!(ib) z
3
7
5
Subsituyendo (2.43) en (2.41) se tiene,
b
HCb = I !ib
donde I es el tensor de inercia y se dene como sigue,
2
I = 64
Ixx Ixy Ixz
Iyx Iyy Iyz
Izx Izy Izz
(2.41)
(2.42)
(2.43)
(2.44)
3
7
5
(2.45)
mk yk2 + zk2
(2.46)
mk x2k + zk2
(2.47)
Cada elemento del tensor es denido como,
Ixx
=
X
Iyy
=
X
k
k
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.2.
43
Fundamentos
mk x2k + yk2
Izz
=
X
Ixy
=
Iyx =
X
Ixz
=
Izx =
X
Iyz
=
Izy =
X
k
k
k
k
(2.48)
mk xk yk
(2.49)
mk xk zk
(2.50)
mk yk zk
(2.51)
Los terminos Ixx, Iyy , Izz son los llamados Momentos de Inercia alrededor de los ejes x, y y z respectivamente. Los terminos Ixy , Ixz , Iyz son
los llamados Productos de Inercia. El signo menos puede aparecer en la
denicion de los producto de inercia o en la denicion del tensor de inercia
dependiendo del autor.
En la ecuacion (2.44) puede advertirse que el tensor I operando sobre !ib
cambia su magnitud y su direccion para producir el vector C . El tensor
I es conceptualmente diferente a la matriz de actitud, aunque obedece a la
misma algebra matricial. En una terna especica, a la ecuacion C = I !ib
transforma la representacion del vector !ib en la representacion de un vector
diferente en la misma terna. La matriz de actitud por otro lado, transforma
la representacion de un vector en una terna en la representacion de ese
mismo vector en una diferente terna de referencia.
Un teorema general del algebra matricial, dice que para cualquier matriz simetrica real (como lo es I ), existe una transformacion ortogonal cuyo
resultado es una matriz diagonal. En otras palabras existe una terna de
referencia en la cual los productos de inercia desaparecen. Esta terna se
denomina de Ejes Principales.
La expresion del momento cinetico es ahora,
H
H
= Ix !(ib) x + Iy !(ib) y + Iz !(ib) z
(2.52)
donde el doble subndice es substituido por una sola letra como indicacion
que se esta mencionando a los ejes principales de inercia.
De la ecuacion (2.52) se observa que la velocidad angular y el momento
cinetico son solo paralelos si el cuerpo rgido se halla rotando alrededor de
un eje principal de inercia. Existen dos casos de simetria, la esferica donde
I1 = I2 = I3 , de modo que toda terna es un eje principal de inercia y es
siempre paralelo a !ib, y la simetria axial I1 = I2 I3 , de modo que cualquier
eje en el plano perpendicular a es un eje principal de inercia. En general,
los tres momentos de inercia son diferentes, los ejes principales de inercia son
unicos. Cabe notar que los ejes principales de inercia simplican el trabajo
analtico, aunque en simulaciones conviene trabajar con los momentos de
inercia computados en los ejes seleccionados para trabajar que casi siempre
no son justamente los principales de inercia.
HC
i
j
k
H
k
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
44
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
2.2.4 Ecuaciones de Euler
Como se ha visto los movimientos rotacionales se describen por la ecuacion
vectorial,
pi c = c
(2.53)
La derivada inercial puede expandirse por medio del teorema de Coriolis
en termino de las derivadas respecto de los ejes del cuerpo b, y la velocidad
angular !ib , del cuerpo respecto al espacio inercial,
pb c + ! ib c = c
(2.54)
El momento aplicado en el centro de masa es igual al la variacion del momento cinetico tomado este respecto de los ejes del cuerpo, mas el producto
vectorial entre la velocidad angular y el momento cinetico.
Expandiendo la ecuacion vectorial en tres ecuaciones escalares se tiene,
H
H
M
H
M
Ix p!(ib) x + (Iz Iy ) !(ib) y !(ib) z
Iy p!(ib) y + (Ix Iz ) !(ib) x !(ib) z
Iz p!(ib) z + (Iy Ix ) !(ib) x !(ib) y
= MC x
= MC y
= MC z
(2.55)
En (2.55) los ejes del cuerpo son ejes principales de inercia para tener
mayor simplicidad en las expresiones. El cuerpo es considerado rigido con
origen de la terna b en su centro de masa.
Estas ecuaciones conocidas como Ecuaciones de Euler son altamente nolineales y presentan dicultades para su solucion analtica en casos generales,
es por ello que se utilizan simulaciones numericas para la obtencion de las
velocidades angulares del cuerpo respecto del espacio inercial en terna del
cuerpo.
Normalmente los momentos son conocidos o estimados,
las inercias sonit
h
medidas o calculadas y la incognita a resolver es el vector !(ib) x !(ib) y !(ib) z .
2.2.5 Teoremas de Conservacion
Las experiencias ideales de Mach tienen un sentido fsico muy profundo,
pues colocan claramente por encima de todo el proceso elemental de "interaccion", reconocido como el concepto fundamental para el estudio de la
estructura de nuestro Universo. El metodo de Mach nos ense~na que en ese
proceso elemental existen ciertas "regularidades", cierto "orden" independientes del caso en estudio en particular, normalmente se utiliza la masa
y la fuerza como entes fsicos para representar "ese orden establecido". La
masa es un concepto asociado a cada uno de los cuerpos interactuantes en
forma independiente de la interaccion, en cambio la fuerza esta asociada a
la interaccion en si.
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.2.
45
Fundamentos
Se pueden deducir de las experiencias de Mach, relaciones que limitan
la posibilidad de movimiento de los cuerpos interactuantes. Cada una de
estas relaciones constituye lo que se denominan Teoremas de Conservacion
(no principios ya que son consecuencias de las leyes de Mach). Cada uno de
estos dene una nueva magnitud fsica, cuyo valor permanece constante y
esta jado por las condiciones iniciales del sistema de masas interactuantes.
La importancia de estas relaciones es que ayudan a predecir la evolucion del
movimiento con independencia del caso particular en estudio. La descripcion
no es completa (salvo en casos muy especiales) pero en general brindan un
marco restrictivo al movimiento y por ende simplican el analisis de los
resultados.
Aqui se utilizan dos de estas relaciones llamadas tambien Integrales de
Movimiento, la conservacion del impulso lineal y la conservacion del impulso
angular (momento cinetico).
Fuerzas de Retropopulsi
on y Movimiento de un Cohete
Como ejemplo del teorema de conservacion de conservacion del impulso
lineal, veremos el movimiento de un cohete. Primero veamos la denicion
del impulso lineal.
Partamos de la relacion,
m1 a1 + m2 a2 = 0
(2.56)
Se puede escribir la siguiente relacion dada la denicion de aceleracion,
d
(m v + m2 v2 ) = 0
dt 1 1
(2.57)
El vector dado en el parentesis sera constante:
= m1 1 + m2 2 = cte = m1 1(0) + m2 2(0)
(2.58)
donde 1(0) y 2(0) son las velocidades iniciales. Cualquiera sea el mecanismo de interaccion entre los dos cuerpos, el vector m1 1 + m2 2 es siempre
el mismo, estando determinado exclusivamente por las condiciones iniciales.
Este vector que no puede ser modicado por las interacciones entre dos cuerpos se denomina
del sistema. Los vectores 1 = m1 1 y
2 = m2 2 se llaman vectores impulso de cada cuerpo.
La expresion (2.58) es independiente del tiempo, de modo que si bien 1
y 2 varian cada uno de acuerdo con el mecanismo en cuestion, siendo en
general funciones del tiempo, la suma vectorial debe permanecer necesariamente jada por las condiciones iniciales. La expresion (2.58) es valida aun
despues que la interaccion haya cesado.
P
v
v
v
v
v
v
v
Impulso Lineal
P
v
P
v
v
P
P
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
46
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
Como ejemplo del teorema de conservacion del impulso lineal reproduciremos un ejemplo clasico que es el principio de funcionamiento del motor
de retropropulsion.
El cohete tiene una masa M y se mueve a una velocidad V respecto al
sistema de referencia. En un peque~no intervalo de tiempo t, se expulsa una
masa de combustible m con una velocidad relativa vr respecto al cohete, en
velocidad opuesta a la velocidad V del cohete. En consecuencia la velocidad
de los gases respecto al sistema de referencia sera v = vr + V .
Antes de la expulsion de gases el impulso total del sistema estaba compuesto por el producto de la masa y la velocidad,
=MV
(2.59)
Se plantea el sistema en la direccion de avance del cohete por ello las
ecuaciones son de caracter escalar.
Luego de la expulsion de gases, el impulso se compone de dos terminos, el
del cohete remanente (M m) (V + V ) y el de la masa ejectada m v.
P
= (M m) (V + V ) + m v
(2.60)
donde V es la variacion de velocidad del cohete. Por el teorema de
conservacion del impulso lineal tenemos,
P
= M V = m vr + M V + M V m V
(2.61)
Despreciando el producto m V la variacion de velocidad en el cohete
a lo largo de la lnea de empuje es,
(2.62)
V = m vr
P
M
La aceleracion es luego calculada
V
1 dm
(2.63)
a = lim
t!0 t = M dt vr
Llamando caudal masico = dm
dt , se tiene la conocida ecuacion de un
motor,
Ma=F
= vr
(2.64)
donde F es la fuerza de empuje del cohete. La fuerza corresponde a la
interaccion entre el cohete y el chorro de gas. La otra fuerza esta aplicada
sobre la masa de gas que se aleja del vehculo.
Mcanismo del Yo-Yo
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.2.
47
Fundamentos
Como ejemplo del teorema de conservacion del momento cinetico, se
describe un mecanismo muy usado para reducir o cancelar la rotacion de
satelites rotantes, denominado Mecanismo del Yo-Yo. Muchos lanzadores
para asegurar su estabilidad introducen una velocidad angular en su eje
longitudinal, antes de la eyeccion del satelite. En este instante inicial ambos
cuerpos se hallan rotando a la misma velcidad. Al separarse el satelite se
halla con una velocidad angular respecto de un eje que es necesario reducir
o eliminar.
El mecanismo del Yo-Yo consiste en dos masas unidad por cables al
cuerpo del satelite. En su condicion de lanzamiento se hallan arrolladas a lo
largo de la supercie externa y trabadas de modo de impedir su despliegue
antes de tiempo. En el momento que se requiera cancelar la velocidad angular del satelite, se destraba las cuerdas y las masas se alejan de la supercie
externa aumentando asi el momento de inercia del sistema y reduciendo la
velocidad angular de conjunto.
La velocidad de la masa relativa al satelite es siempre normal al cable
con un valor s _ , donde s es la longitud del cable liberado y es el angulo
de liberacion del cable.
De la geometria conocemos que s = R , donde R es el radio del satelite.
Siendo I el momento de inercia del satelite sin considerar las masas m del
mecanismo del Yo-Yo, y ! la velocidad angular del cuerpo respecto de una
terna inercial, la energia cinetica del sistema se computa como,
= 21 I !2 + m (s_ + s!)2 + (R!)2
(2.65)
h
i
1
T = I !2 + m R2 2 (dot + !)2 + !2
(2.66)
2
En ausencia de fuerzas externas es constante. Considerando la condicion
inicial ! = !o la energa cinetica esta dada por la siguiente expresion,
h
T
i
1 I !2 + m R2 h 2 (dot + !)2 + !2i = 1 I !2 + m R2 !2
(2.67)
o
2
2
La misma relacion puede establecerse con el momento cinetico que se
mantiene constante, en ausencia de torques externos.
h
i
I ! + 2m R2 2 (dot + !) + ! = cte = I !o + 2m R2 !o
(2.68)
Las ecuaciones (2.67) y (2.68) pueden ser escritas como,
I + m R2
!o2
I + m R2 (!o
= 2 m R2 2 (_ + !)2
!) = 2 m R2 2 (_ + !)
!2
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
(2.69)
(2.70)
48
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
Dividiendo ambas ecuaciones podemos concluir que _ = !o = constante,
lo que signica que la velocidad con que la cuerda se libera es constante.
Si se requiere que si la velocidad de rotacion nal sea constante, !_ = 0
se tiene por conservacion del momento cinetico que,
I!o + 2 m R2 2 !o !o = 0
(2.71)
o
1 = 2 mI R2
Finalmente la longitud del cable esta dada por la expresion,
2
s=R=R
s
I
2 m R2
(2.72)
1
(2.73)
2.2.6 Leyes de la Mecanica para Sistemas Cerrados no Rgidos
En las secciones anteriores nos hemos referido a los sistemas cerrados pero
rigidos, en la presente seccion deduciremos las expresiones para el impulso
lineal y el momento cinetico referido a sistemas cerrados pero de geometra
variable o simplemente no rgidos.
Impulso Lineal
El impulso lineal de una particula se ha denido como el producto de la
masa por su velocidad respecto al espacio inercial. En uns sistema contnuo
del sistema se dene como la suma de los impulsos elementales de las
pertculas que componen el cuerpo.
P
Z
= V dm
(2.74)
donde V representa el volumen ocupado por el sistema, dm es el diferencial de masa, y es la velocidad respecto del sistema inercial de la partcula
elemental. Esta velocidad esta computada de la siguiente manera. Sea el vector posicion de la masa elemental en el tiempo t coincidente con un
punto arbitrario del sistema denido por el vector . Denamos ahora una
terna ja al cuerpo b y sea el vector posicion de la masa elemental referido
a la terna b. Se tiene entonces,
(2.75)
nu = F + donde F es el vector posicion del origen de la terna b ja al cuerpo. La
velocidad de la masa elemental respecto al espacio inercial es _ ,
= pi nu = pi F + pi (2.76)
P
v
v
R
R
r
R
R
r
R
v
v
R
R
r
CONAE - Buenos Aires - Argentina
R
2.2.
49
Fundamentos
Aplicando Coriolis al vector pi se tiene
r
= pi F + pb + !ib (2.77)
donde !ib es la velcidad angular de la terna b respecto al espacio inercial
i, denominando a pb = t como velocidad de transporte, o sea la velocidad
de cada elemento de masa respecto a los ejes jos al cuerpo.
Dado que al tiempo t los vectores y el vector posicion del punto arbitrario jo al sistema, , son coincidentes, la ecuacion (2.78) se transforma
en
v
r
R
r
r
V
r
r
= pi F + t + !ib (2.78)
De la denicion de y utilizando la formula de Coriolis se tiene,
v
R
v
r
r
= pi F + pi
(2.79)
= pi F + !ib (2.80)
Dado que es un punto jo en el sistema, la derivada pb es nula. La
expresion (2.78) se transforma en,
pi R
pi R
R
r
R
r
r
r
= pi + t
(2.81)
Colocando (2.78) en (2.74) resulta,
Z
Z
1
1
(2.82)
= m pi F + m V t dm + !ib m V dm
donde m es la Rmasa total del sistema.
La integral m1 V dm es la denicion del vector que une el origen de la
terna b con el centro
de masas del sistema C .
R
1
La integral m V t dm es el vector promedio del ujo de masa interno,
que se designa con i.
Finalmente, concluimos que el impulso lineal se computa como,
v
P
R
v
v
R
r
r
r
v
v
= m [pi F + i + !ib C ]
(2.83)
Esta expresion permite calcular el impulso lineal en funcion del origen
de coordenadas de la terna ja al cuerpo. Este punto se mueve y por lo
tanto es conveniente hallar una expresion que tenga en cuenta al centro de
masa que constituye un punto unico para cada instante t del sistema.
Denamos al vector C al vector posicion del centro de masa del sistema,
C , referido al espacio inercial. Sea el vector que reere el punto arbitrario
del sistema respecto del centro de masa C .
Por geometria se tiene,
P
R
v
r
R
r
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
50
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
SISTEMA
DE MASA
SISTEMA
DE MASA
EJES DEL
CUERPO
EJES DEL
CUERPO
r
f
f
dm
r
r
dm
Rf
Rf
R
R
R
PUNTO FIJADO ARBITRARIAMENTE
EN EL SISTEMA DE MASA
PUNTO FIJADO ARBITRARIAMENTE
EN EL SISTEMA DE MASA
0
0
EJES
INERCIALES
EJES
INERCIALES
CONDICIONES EN EL MOMENTO t
CONDICIONES EN EL MOMENTO t + t
Figura 2.1: Geometra de los Vectores Utilizados en la Deduccion de las
Formulas
= C+ (2.84)
Diferenciando la anterior y utilizando las expresiones (2.81) y (2.74) tenemos,
R
R
r
Z
= V (pi C + pi + t ) dm
Utilizando la formula de Coriolis en el vector P
R
r
(2.85)
v
r
Z
= V (pi C + pb + !ib + t ) dm
(2.86)
Utilizando la expresion dada por la geometra,
(2.87)
=
C
pb =
(2.88)
C
Dado que pb = 0 por ser un vector jo en la terna del cuerpo. Utilizando
(2.88) en (2.86) se tiene
P
R
r
r
r
r
v
r
r
r
r
P
=
Z
V
Z
pi RC dm
V
pb rC dm + !ib
Z
Integrando sobre la denicion del vector
denicion de se tiene,
V
r
r
dm +
=
r
Z
V
rC
vt
dm
(2.89)
y utilizando la
r
Z
V
Z
ZV
V
r
dm
=
r
dm
r
dm
=
=
Z
(
V
m
r
r
1Z
m
m rC
V
) dm
r
dm
m rC
=0
CONAE - Buenos Aires - Argentina
(2.90)
m rC
(2.91)
(2.92)
2.2.
51
Fundamentos
SISTEMA
DE MASA
PUNTO FIJADO
EN EL SISTEMA
DE MASA
CENTRO
DE MASA
c
rc
f
r
Rf
Rc
R
PUNTO FIJADO ARBITRARIAMENTE
EN EL SISTEMA DE MASA
0
PUNTO FIJO EN EL
ESPACIO INERCIAL
Figura 2.2: Geometra de un Cuerpo Generico
Entonces la expresion nal del impulso lineal para sistemas cerrados no
rgidos tiene la forma,
= m _ C pb C + i
(2.93)
Para un cuerpo rgido los dos ultimos terminos no existen y el impulso
lineal es solo = m _ C , como era de esperar.
P
P
R
r
v
R
Momento Cin
etico
El momento cinetico de una masa elemental dm en torno a un punto se
dene como
(2.94)
donde es el vector tomado desde el punto hasta la masa elemental
dm y dm es el impulso lineal de la masa elemental dm con respecto al
punto . Se tiene ademas que, = pi , es la velocidad del elemento de
masa respecto al punto , o sea la velocidad de dm menos la velocidad del
punto, ambos tomados respecto del espacio inercial.
El momento cinetico o momento angular del cuerpo respecto al punto
es la suma de los momentos angulares elementales tomados respecto al
r
v dm
r
v
v
r
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
52
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
mismo punto. La expresion de la velocidad se calcula utilizando las
mismas relaciones geometricas usadas en la seccion anterior.
v
v
v
Utilizando que =
r
R
=
=
pi R + vt pi RC
pi (R RC ) + vt
RC
(2.95)
(2.96)
, se tiene
= pi + t
(2.97)
Aplicando (2.97) a la expresion elemental del momento cinetico e integrando sobre todo el volumen ocupado por el sistema se tiene la expresion
del momento cinetico o momento angular respecto a su centro de masa ( c)
v
r
v
H
Z
(2.98)
= V (pi + t ) dm
En la denicion (2.94) el vector es reemplazado por el vector ya
que el punto seleccionado es el centro de masas.
Aplicando Coriolis a (2.98) se tiene,
HC
r
r
v
r
HC
HC
=
=
Z
ZV
V
r
rrho
(pbr + !ib r + vt ) dm
rrho
pbr dm +
Z
V
(2.99)
(! ib + t ) dm (2.100)
pb r
r
v
Utilizando la expresion (2.88) se tiene que
Z
V
r
Z
pbr dm =
V
r
dm
Ademas se tiene de la expresion ( ) que RV
obtenemos,
??
Z
(2.101)
dm = 0, de esta manera
pbrC
r
Z
= V rho (!ib ) dm + V t dm
(2.102)
De la denicon de momentos de inercia se observa que el primer integrando es justamente el tensor de inercia respecto al centro de masa multiplicado la velocidad angular entre la terna del cuerpo y la terna inercial,
HC
r
r
r
Z
v
= Ic !ib + V t dm
(2.103)
Para un cuerpo rgido el ultimo termino es nulo, y el momento cinetico
recupera su conocida forma de C = Ic !ib.
HC
r
v
H
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.2.
53
Fundamentos
2.2.7 Ecuaciones de la Mecanica para Sistemas Abiertos
Las leyes de Newton-Mach solo son validas para sistemas cerrados; cuando
el sistema gana o pierde masa las mismas deben modicarse. Ese es el punto
en esta seccion, desarrollar la formulacion del inpulso lineal y del momento
cinetico para sistemas abiertos.
2.2.8 Impulso Lineal
Consideremos dos sistemas de partculas, uno denominado S que gana o
pierde masa y otro S ? que envuelve al anterior y que es cerrado, de modo
que en todo momento S S ? . En el instante t0 ambos sistemas coinciden.
Aplicando las leyes de Newton-Mach al sistema cerrado S ?,
= pi ?
(2.104)
donde ? es la resultante de las fuerzas actuantes sobre el sistema cerrado
?
S , y es el impulso lineal en S ? .
Asumiendo que p? es diferenciable en el intervalo temporal [t0 t0 + t],
el teorema del valor medio expresa,
?
F
p
F
p
(t1) t = ? (t0 + t) ? (t0 )
(2.105)
para algun tiempo t1 de modo que se cumpla t0 t1 t0 + t.
Dado que en el instante t0 los sistemas S y S ? coinciden,
F
?
p
p
(t0) = (t0)
(2.106)
donde es el impulso lineal del sistema S .
El impulso angular de S ? en el tiempo t0 + t puede expresarse como
la suma de dos terminos, el impulso lineal del sistema S calculado en el
tiempo t0 + t y el impulso lineal (p) que es igual al impulso lineal de las
partculas que se han escapado del sistema S en el intervalo t0, t0 +t menos
el momento lineal de las partculas que han entrado en el mismo intervalo
temporal.
Esto se expresa como,
?
p
p
p
(t0 + t) = (t0 + t) + (p)
(2.107)
La subsitucion de las ecuaciones (2.154) y de (2.107) en (2.105) brinda
la siguiente expresion,
?
p
p
(t1) t = (t0 + t) p (t0) + (p)
(2.108)
La ecuacion anterior es valida asi como para un cuerpo continuo o para
una coleccion de partculas.
?
F
p
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
54
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
Dividiendo ambos lados por t y tomando limites para t ! 0 y asumiendo que ? es contnua en t0, se tiene,
(2.109)
(t0) = pi (t0 ) + lim
t!0 t
Donde se usa la hipotesis que los sistemas S y S ? coinciden en t0 y que
? (t ) = (t ).
0
0
Dado que t0 es arbitrario, la ecuacion se mantiene para todo el tiempo,
esto es,
F
F
F
p
p
F
= pa
(2.110)
p
siendo p la velocidad al cual el impulso lineal es transferido hacia el
sistema,
lim
(2.111)
p=
t!0 t
O sea que la resultante de las fuerzas externas que actuan sobre un
sistema de masas es igual a la derivada del impulso lineal menos la velocidad
con que el impulso lineal se transere al sistema. Para cuerpos rgidos el
termino p es nulo.
F
p
D
D
p
D
D
Veamos antes de continuar un ejemplo de sistemas de masas variables.
Supongamos un carrito con un tanque de agua con un velocidad inicial
(libre de fuerzas exteriores) que pierde lquido hacia abajo con un caudal
= dm
dt , donde m es la masa del carro.
Existe un aparente conicto entre las relaciones posibles de ser utilizadas
para sistemas cerrados, es decir,
v
= m
= pi
Si la primera es v'alida entonces la segunda nos queda,
F
a
F
p
pi p = pi (m v) = m a + v m_ = F + v m_
Si la segunda ley es valida se tiene para la primera,
m a = pi (m v )
F
v
m_
a
CONAE - Buenos Aires - Argentina
6= F
(2.114)
(2.115)
La pregunta es cual es la correcta?. Para ello hallemos el movimiento del
carro utilizando = m = 0, debido a la no existencia de fuerzas exteriores
en la direccion de movimiento. El movimiento sera uniforme e independiente
del caudal del agua derramada.
v
m_ = F
6= F
(2.112)
(2.113)
2.2.
55
Fundamentos
Si en cambio utilizamos la expresion =v pi = 0 se obtiene, pi =
pi (m ) = m
= 0, de modo que = m , o sea que el movimiento es
acelererado.
Pero experimentalmente se nota que el movimiento es uniforme, lo que no
signica que = pi sea incorrecta, sino que debe ser usada correctamente.
Se debe tener gran cuidado al denir lo que se entiende por variacion de
impulso,
Denimos, d = impulso del sistema en (t + Æt)-impulso del sistema en
(t).
El impulso del sistema en t + dt se compone del impulso lineal del carrito
(m + dm) ( + d ), notando que dm < 0 mas el impulso que se lleva la
masa del agua dt en dt y que sigue en la direccion del movimiento del
carro. Por lo tanto
F
v
a
v
F
p
p
a
p
p
v
v
v
dp = (m + dm)(v + dv) + dtv m v = d (m v) + v dt
(2.116)
Dividiendo por dt se tiene
Finalmente,
pi p =
d
dm
(
m v) + v = m a + v + v
dt
dt
pi p = m a = 0
(2.117)
(2.118)
En el caso de masas variables es necesario incluir el impulso que se lleva
la fracion de masa que se va (o que trae la fraccion de masa que viene en el
caso que dm > 0).
Es decir que interviene la variacion del impulso lineal del sistema.
= pi
(2.119)
Esto estantimamente ligado con el principio de conservacion de la masa.
Este principio dice que si la masa de un cuerpo disminuye (o aumenta)
en m, esa porcion de masa m necesariamente debe irse (o venir) de
alguna parte con una velocidad dada. La porcion lleva o trae un impulso
= m .
Donde es la velocidad con que se va (o con que viene) la porcion m.
F
p
p
v
v
Para terminar, veamos el caso de un carro de masa m que pierde lquido
horizontalmente hacia atras con un caudal = dm
dt y a una velocidad
relativa r al carrito.
Lo que se ha visto en la ecuacion del cohete, la fuerza de retropulsion
= .
v
F
v
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
56
Cap
tulo 2.
Utilizando = m =
F
de modo que la aceleracion es
vr
a
Leyes de la Mec
anica
a=
v
m r
(2.120)
O sea que el carro se movera en una direcion opuesta a r .
Si ahora en cambio se usa = pi , teniendo en cuenta de agregar el
impulso que se lleva la masa de agua dt, expelida hacia atras,
v
F
p
= (t0 + t) (t0)
(2.121)
= (m + dm) ( + d ) + dt ( r + ) m
(2.122)
= d (m ) + dt ( r + )
(2.123)
donde ( r + ) es la velocidad de la masa de agua expelida, respecto al
suelo, quedando entonces,
dp
dp
dp
v
p
p
v
v
v
v
v
v
v
v
v
pi p
pi p
pi p
=
=
=
pi (m v) + (vr + v)
m a + m_ v + vr + v
m a + vr
(2.124)
(2.125)
(2.126)
Luego,
F
luego
=
vr = m a + vr
(2.127)
= 2 m r
(2.128)
Se nota que (2.120) es la mitad de (2.128), cual es ahora el conicto?
En la expresion = pi , no deben incluirse las fuerzas de retropulsion,
sino las fuerzas de interaccion con masas que no formaban (ni habran de
formar) parte del cuerpo cuyo movimiento se esta describiendo. Las fuerzas
que actuan son las exteriores "genuinas" es decir, frotamiento, gravitacion,
etc. Si bien la fuerza generada por el lquido expelido es una fuerza "exterior"
al carrito, es en realidad una fuerza interior al sistema carro + lquido, cuyo
impulso lineal total interviene en el calculo de .
Cada vez que una porcion de masa se aleja o se acerca al cuerpo con
una velocidad diferente del cuerpo central ( r 6= 0) aparece una fuerza de
retropopulsion que proviene de la interaccion entre esa porcion de masa y el
cuerpo central.
Asi podemos concluir que en
1. = m
a
F
v
p
p
v
F
a
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.2.
57
Fundamentos
Se deben considerar todas las fuerzas de interaccion, sin excepcion,
actuantes sobre m
2. = pi
Se debe calcular correctamente la varicion del impulso lineal, incluyendo el impulso que se lleva (otrae) la fraccion de masa saliente
(o entrante) del sistem. Deben excluirse todas las fuerzas de
retropopulsion
F
p
2.2.9 Momento Cinetico
En un sistema cerrado de particulas (S ? ) se demostro que se puede describir
el movimiento con la siguiente ley,
(2.129)
C = pi C
Utilizaremos los mismos sistemas S ? (cuyo centro de masas es c? ) y el
sistema abierto S (cuyo centro de masas es c). Formalmente se tiene ahora,
?? =p ??
(2.130)
i C
C
Si ?C ? es diferenciable en el intervalo (t0 t0 + t), el teorema del valor
medio, se puede expresar :
? ? (t ) t = ? ? (t + t)
? ? (t )
(2.131)
0
0
C 1
C
C
donde t0 t1 t0 + t.
A continuacion se evaluara cada termino en forma separada,
M
H
M
H
M
H
H
H
(t0 + t)
Sea el vector desde el centro de masa c del sistema S a la particula i
de S o de S ?, y sea ? tomada desde el centro de masa c? hacia la misma
partcula. Los torques externos actuante sobre el sistema S ? alrededor de
su centro de masas en el tiempo t1 esta dado por,
?
HC ?
r
r
?
HC ?
(t1) =
?
X
i
?
r
i
(t1 ) i (t1)
F
(2.132)
donde P?i representa la suma sobre todas las partculas de S ? y i son
las fuerzas externas actuante sobre la partcula i. Asumiendo que ? y i
sean contnuas en t0 y tomando el lmite sobre t ! 0, la equacion (refb4)
se transforma en,
F
r
lim
t!0
?
HC ?
(t1 ) =
?
X
i
?
r
i
(t0) i (t0)
F
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
F
(2.133)
58
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
Pero S y S ? y por end c y c? son coincidentes para t0, luego se tiene
lim
t!0
?
HC ?
X
(t1) =
i
(t0) i (t0)
r i
(2.134)
F
Por denicion de torques externos actuando sobre el sistema S alrededor
de su centro de masas tomadas al tiempo t0, de modo que
lim ?C ? (t1) = C (t0 )
(2.135)
El impulso angular o momento cinetico ?C ? de S ? alrededor del centro
de masa C ? esta relacionado (en cualquier tiempo) respecto de cualquier
punto tomando como base o referencia el momento angular baricentrico,
t!0
H
H
H
= ?C ? + m? pi (2.136)
donde es el vector desde C hacia C ? y m? es la masa del sistema S ? .
De este modo para el tiempo t0 + t, se tiene
?
HC
H
r
r
r
(t0 + t) = ?C (t0 + t) m? (t0 + t) pi (t0 + t) (2.137)
El momento cinetico de S ? alrededor de C es la suma del momento
cinetico de S alrededor de C y del momento cinetico C que es el momento
cinetico de las partculas alrededor del centro de masas C , que escapan desde
S en el intervalo [t0 t0 + t] menos el momento angular alrededor del mismo
punto C de las partculas que han entrado en S durante el mismo intervalo
de tiempo. De esta manera se tiene en t0 + t,
?
HC ?
H
r
r
H
(t0 + t) = C (t0 + t) + ( C )
Combinando esta relacion con la ecuaci'on (2.137) se tiene,
?
HC
?
H
(2.138)
H
(t0 + t) = C (t0 + t) + ( C ) m? (t0 + t) pi (t0 + t)
(2.139)
Aplicando el teorema del valor medio al vector se produce,
HC ?
H
H
r
r
r
(t0 + t) = (t0) + pi (t2 )t
(2.140)
Para algun tiempo intermedio t0 < t2 < t0 + t.
Dado que el centro de masa C coincide con C ? en el tiempo t0, (t0) es
cero y entonces,
r
r
r
r
(t0 + t) = pi (t2) t
Substituyendo (2.141) en (2.139) se tiene,
r
r
CONAE - Buenos Aires - Argentina
(2.141)
2.2.
59
Fundamentos
(t0 + t) = C (t0 + t) + ( C ) m? (t2 ) pi (t0 + t)
(2.142)
Dado que S y S ? son iguales en t0 , el momento cinetico de ambos sistemas
en torno a un dado punto son iguales, esto es
? ? (t ) =
(2.143)
C ? (t0 )
C 0
Expresando el lado derecho de esta ecuacion como una sumatoria de
partculas de S se tiene,
? ? = X m ? (t ) p ? (t )
(2.144)
i i 0
i i 0
C
?
HC ?
H
H
H
r
r
H
H
r
i
r
La ecuacion (2.144) escrita en terminos de los vectores and ,
r
= i (2.145)
= pi i pi (2.146)
Entonces, se tiene que para el tiempo t0 la ecuacion 2.144 se transforma
?
r
r
i
pi r?i
en,
r
?
HC ?
( t0 ) =
X
i
r
r
mi ri (t0 )
r
[piri (t0) piri (t0)]
(2.147)
Expandiendo el lado derecho de la ecuacion anterior se tiene,
?
HC ?
(t0 ) =
X
i
mi ri (t0 )
"
piri (t0)
X
i
#
ri
(t0) pi i (t0) (2.148)
r
Como ya se ha visto en las secciones anteriores Pi mi
? star (t ) = X m
0
i i pi i (t0 )
C
H
r
i
ri
r
= 0, luego
(2.149)
La parte derecha de esta ecuacion es el momento angular de S alrededor
de su centro de masa C . En consecuencia se tiene
?? =
(2.150)
C (t0 )
C
Substituyendo (2.142) y (2.150) en (2.131) se tiene
H
?
H
(t1)t = C (t0 + t)+ C m? pi (t2 ) pi (t0 + t)t C (t0)
(2.151)
Rearmando los terminos y dividiendo pot t tenemos,
MC ?
H
H
r
r
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
H
60
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
(t0 + t) C (t0) + C (t0) m? pi (t2) pi (t0 + t)
t
t
(2.152)
Tomando lmites a esta ecuacion de modo que t ! 0 y utilizando
(2.135) asumiendo continuidad en pi en t0 se tiene,
?
MC ?
(t1) =
HC
H
H
r
r
r
MC
(t0) = pi
HC
C
(t0) + lim
t ! 0 t
H
m? pi r (t0 ) pi r (t0 )
{z
}
|
0
(2.153)
Dado que t0 es un tiempo arbitrario se tiene,
(2.154)
C (t) = pi C (t) DHC
donde DHC es la velocidad a la cual el momento angular o cinetico es
transferido hacia el sistema,
C
DHC = lim
(2.155)
t ! 0 t
Se puede concluir que los torques externos actuando sobre la masa del
sistema alrededor de su centro de masa es igual a la derivada temporal respecto del espacio inercial del momento angular o cinetico (tomado alrededor
del centro de masa del sistema) menos la velocidad a la cual el momento
angular, tambien tomado respecto de su centro de masa es transferido dentro del sistema. Es necesario aclarar que todas las derivadas temporales son
tomadas respecto del espacio inercial.
Para un cuerpo rgido DHC = 0 y la ecuacion (2.154) se transforma en
la conocida,
(2.156)
C (t) = pi C (t)
M
H
H
M
2.3
H
Ecuaciones de Movimiento para un Sistema de
Masas Abierto
En la seccion anterior se han descripto las ecuaciones de la mecanica para
describir el movimiento de un sistema abierto de masas. Comenzaremos por
especializarlas a caso de un vehculo autopropulsado.
2.3.1 Ecuaciones Translacionales
Hemos visto la aparicion de una nueva cantidad Dp que tiene en cuenta la
velocidad con la que el impulso lineal es transferido al sistema, el objetivo
ahora es hallar expresiones faciles de utilizar para su calculo. La velocidad
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.3.
61
Ecuaciones de Movimiento para un Sistema de Masas Abierto
del ujo del ujo de masa, respecto de un sistema de referencia jo al cuerpo
(terna b) se denomino, velocidad de transporte, Pb = t ( ; t). Se lee, velocidad de transporte, respecto al sistema b en el punto ( ; t). Es util recordar
que la velocidad de transporte tiene el mismo signicado en sistemas abiertos o sistemas cerrados no rgidos. En la supercie del sistema podemos
calcular la componente perpendicular de la velocidad de transporte como
t ( ; t) ( ; t), donde ( ; t) es el vector unitario normal a la supercie en
la posicion y el tiempo t. El vector normal se dene saliente de la spercie. Para tratar de denir la cantidad de masa que se escapa o se acerca
por unidad de tiempo, debemos considerar su velocidad relativa (del ujo
de masa) frente al contorno del sistema abierto, para conocer si la masa se
anexa o se desprende.
Sea s ( ; t) la componente normal de la velocidad de la supercie respecto a la terna de referencia ja al sistema S, tomada en el instante t y en
el punto .
r
v
r
r
v
r
v r
n r
r
v
r
r
= vs ( ; t)
(2.157)
donde vs = limt ! 0 st . La cantidad s es la distancia recorrida por la
supercie, a lo largo de ( ; t) desde t hasta el tiempo t + t.
La componente normal de la velocidad relativa de la partcula de masa
con coordenadas ( ; t) respecto de la supercie del sistema es rel ( ; t) =
r ( ; t)
s ( ; t).
El caudal masico que se mueve en el sistema es ahora computado como,
V =
(2.158)
t rel ( ; t) s
donde V es la variacion de volumen ocurrida en el t considerado.
Multiplicando termino a termino por m
vs
n r
n r
r
v
r
v
v
r
r
v
n r
m Vt = m rel ( ; t) s
m
m =
rel ( ; t) s
t
V
Tomando lmites en la expresion anterior se tiene,
v
v
n r
n r
= vrel n (r; t) Æ (r; t) ds
(2.159)
(2.160)
(2.161)
donde = dm
dt es la velocidad de cambio de la masa del sistema (en
forma menos precisa es la velocidad con que la masa es entrada o sacada del
sistema sobre una unidad de supercie) y Æ ( ; t) es la densidad masica del
sistema de parculas que se hallan sobre la supercie del sistema.
r
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
62
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
Es util apreciar los dos casos posibles (masa entrante o saliente). El
signo del paramtro esta dado por un observador colocado en la masa en
transito y m_ se mide desde el sistema de modo que = m_ .
1. Masa entrante al sistema
vt < vs
<0
m_ > 0
2. Masa saliendo del sistema
vt > vs
>0
m_ > 0
La velocidad del ujo de masa saliendo del sistema, tomado sobre la
totalidad de la supercie, menos la velocidad con que el ujo de masa entra
al sistema a traves de la supercie, brinda la velocidad con la cual se pierde
masa en el sistema,
Z
m_ =
(2.162)
El impulso lineal (cantidad de movimiento) por unidad de area y por
unidad de tiempo de la masa que se escapa del sistema esta dada por d =
= (pi + t ), donde las magnitudes y t ya fueron denidas en las
secciones anteriores.
El impulso lineal por unidad de tiempo esta dada por la integral
S
dS
P
v
R
v
R
Z
S
v
(pi R + vt ) dS
(2.163)
Debido a la denicion de DP se puede escribir,
Z
DP = lim
= S (pi + t ) dS
t!0 t
La ecuacion anterior en terminos de F se tiene,
P
R
v
(2.164)
R
DP
=
=
Z
(pi RF + pi r + vt ) dS
S Z
RF
S
! ib dS
Utilizando las relaciones entre ,
epresion (2.162) se tiene,
r
RF
Z
S
r dS
Z
S
vt dS
(2.165)
(2.166)
y , el teorema de Coriolis y la
R
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.3.
Ecuaciones de Movimiento para un Sistema de Masas Abierto
! ib m1_
DP = m_ pi RF
Z
S
1Z m_ S
r dS
vt
dS
63
(2.167)
Llamando,
1. e = m1_ RS dS
Vector posicion tomado desde el origen de la terna b hasta un punto
llamado centro de escape del sistema de masas
2. e = m1_ RS t dS
Velocidad promedio de escape del sistema de masas.
La relacion para DP en terminos de F se transforma en,
DP = m_ (pi F + ! ib e + e )
(2.168)
Si queremos expresar (2.168) en termino de pi C se tiene,
r
r
v
v
R
R
r
v
R
Z
= S (pi C + + t ) dS
Z
Z
Z
Z
DP =
dS
pb C
t dS ! ib dS
F
S
S
S
S
Luego se escribe,
DP = m_ (pi C pb C + !ib e + e )
(2.169)
A partir de (2.168) y de (2.169) se podra expresar la ecuacion translacional en terminos de F y de C .
= pi m_ (pi F + !ib e + e)
(2.170)
En la seccion anterior se haba deducido la expresion denominada ( ),
= m ( F + i + !ib C ). Derivando esta expresion respecto del espacio inercial se tiene,
pi = m p2i F + m_ pi F + pi [m ( i + ! ib C )]
(2.171)
Using (2.170) se tiene,
DP
R
r
v
R
r
R
R
F
v
r
r
r
v
R
P
R
r
v
??
P
R
v
P
r
R
R
v
r
= m p2i F m_ ( e + !ib e) pi [m ( i + !ib C )] (2.172)
Falta entonces expresar la ecuacion translacional en terminos del centro
de masas C . Siguiendo el mismo procedimiento que en el caso anterior se
tiene,
F
R
v
r
v
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
r
64
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
= pi DP
= pi m_ [pi C + e pb C + !ib e]
(2.173)
Se habia deducido la expresion nombrada (2.93) que relacionaba con
el vector C , = m [pi C + i pb C ], diferenciandola respecto al espacio
inercial se tiene,
F
P
P
R
v
r
r
P
R
P
R
v
r
= pi [m (pi C + i pb C )]
= m_ pi C + m p2i C + pi [m ( i pb C )]
(2.174)
Por ultimo se tiene como ecuacion translacional a la expresion,
pi P
R
R
F
R
r
R
= m p2i C +mp
_ i C +pi [m (
R
v
vi
V
R
pb rC )] m_ [pi RC + Ve pb rC + ! ib re]
En el caso especial de un cuerpo rgido se tiene, m_ = 0, pb
= 0. Luego se tiene la ecuacion conocida para el cuerpo rgido,
= m p2i C
(2.176)
r
vi
(2.175)
C = 0 y
F
R
2.3.2 Ecuaciones Rotacionales
La ecuacion rotacional de un sistema de masas esta basado en la expresion
ya vista en las secciones anteriores,
(2.177)
C (t) = pi C
HC
Esto induce a que la magnitud HC , la velocidad instantanea de
descarga del momento cinetico, deba ser evaluada.
La velocidad con la cual la masa se escapa de la supercie en el punto
( ; t) con respecto al centro de masa se ha denido en la ecuacion (2.97) y
se repite aqui por simplicidad,
(2.178)
= pi + t
El impulso lineal, con respecto al centro de masa se escribe como
= (pi + t)
(2.179)
El momento angular o cinetico con respecto al centro de masas del
sistema por unidad de area y por unidad de tiempo es en consecuencia,
M
H
D
D
r
v
p
r
r
v
v
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.3.
65
Ecuaciones de Movimiento para un Sistema de Masas Abierto
= (pi + t )
(2.180)
El momento cietico o angular con respecto al centro de masas, de todo
el cuerpo por unidad de tiempo esta dado por,
hC
r
r
v
Z
= S (pi + t ) dS
(2.181)
Si las particulas entran al cuerpo el signa de cambia y esta eventualidad
es tenida en cuenta en la ecuacion anterior
Aplicando Coriolis a (2.181) se tiene,
DHC
DHC
Z
=
S
r
r
v
Z
(pbr + !ib r ) dS
r
S
r
Utilizando la expresion dada en (2.88) (pb =
anterior se tiene,
pb rC )
r
DHC
=
Z
S
r dS
pbrC
Z
S
r
vt dS
(!ib r) dS
O tambien se puede escribir como,
DHC
= m_ e pb
r
Z
rC
r
S
(!ib r) dS
Z
S
r
(2.182)
en la formula
Z
S
r
vt dS
(2.183)
vt dS (2.184)
La primera integral de la ecuacion (2.184) tiene la misma forma que la
integral que dene el tensor de inercia.
Por denicion del tensor de inercia se tiene,
Z
(2.185)
En realidad para una denicion mas formal en (2.184) se debera reemplazar la integral de supercie (RS ) por la integral de volumen (RV ), por
y dm por dS para que las integrales sean identicas.
Se tiene por similutud,
V
r
(!ib r) dm = I !ib
r
r
Z
(2.186)
donde es el tensor de salida de masa. En cualquier terna ortogonal se
puede expresar como una matriz simetrica.
S
r
(!ib r) dS = E !ib
E
2
E
= 64
Exx Exy Exz
Eyx Eyy Eyz
Ezx Ezy Ezz
3
7
5
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
(2.187)
66
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
donde,
Exx
Exy
=
=
Z
(
S
r
Z
S
rx
rx rx
) dS =
Z
ry
S
+
rz
dS
dS
(2.188)
(2.189)
y los otros elementos del tensor se denen en forma similar.
Utilizando las ecuaciones (2.184) y (2.186) la ecuacion (2.154) se transforma en
MC
= pb
HC
+ m_
Z
re
pbrC + E!ib + r vt dS
S
(2.190)
Diferenciando la expresion (2.103) y reemplazandola en la ecuacion anterior se tiene,
Z
= pi ( C !ib) + pi V t dm +
(2.191)
Esta es la ecuacion rotacional para un sistema de masas abierto, referida
a su centro de masas.
Para el caso de un cuerpo rgido la expresion anterior se reduce a la
conocida expresion,
(2.192)
C = pi ( C ! ib )
MC
I
r
M
2.4
v
I
Ejemplo de Movimiento de Cuerpo R
gido
Un sistema o cuerpo se dene como una volumen cerrado y la masa contenida en su interior. Este volumen puede tener una envoltura no necesariamente material ni tampoco rgida. El movimiento de la masa encerrada
signica que un sistema de ejes interno se mueve, y cada partcula se puede
mover respecto a este sistema de referencia. Adicionalmente, puede ganarse
o perderse masa que entra o sale del volumen de referencia. En consecuencia
la masa no puede ser destruida o creada en este sistema.
Los cohetes autopropulsados son un buen ejemplo de este sistema. El
volumen esta representado por la cubierta del vehculo ademas de la tobera
que es una supercie que completa la clausura. En esta supercie parte de
la masa escapa del volumen.
En las seciones anteriores se ha dado una extensa explicacion de las
leyes que rigen el movimiento de este tipo de sistemas, pero para poder
especicar correctamente el movimiento se necesitan dos funciones extras:
la distribucion de la funcion densidad dentro del vehculo y la derivada del
caudal masico en el sistema.
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.4.
67
Ejemplo de Movimiento de Cuerpo R
gido
CENTRO
DE MASA
c
PUNTO FIJADO ARBITRARIAMENTE
EN EL VEHICULO
r
r
re
rc
r
PUNTO DE REFERENCIA
FIJO EN EL
VEHICULO
f
e
Rc
CENTRO
DE SALIDA
Rf
R
0
PUNTO FIJO EN EL
ESPACIO INERCIAL
Figura 2.3: Especicacion de los Vectores en un Cohete
El Empuje de un cohete esta determinado atando al cuerpo a un soporte completamente rgido con respecto de la Tierra y midiendo las fuerzas
externas que actuan sobre el cohete mientra este se halla eyectando masa.
Las fuerzas externas que actuan sobre el cohete son las siguientes:
1. C la fuerza ejercida por el mecanismo de sujeccion del vehculo.
2. P la fuerza debida a la presion estatica
3. G la fuerza debida a las fuerzas de campo, donde la gravitacion es la
mas importante pero tambien entrarian las fuerzas magneticas, etc.
De esta manera las fuerzas externas actuantes sobre el cohete tomado
rigidamente esta dada por
= C+ P+ G
(2.193)
Llamando S a la fuerza necesaria que el sistema de sujeccion debera
realizar en el caso que el cohete no se hallara eyectando masa. Si en cambio se realiza ejerciendo el empuje, el mecanismo externo debe ejercer una
fuerza adicional para mantenerlo estacionario. A esta fuerza adicional es la
equilibrante del empuje .
De esta manera se tiene,
)
(2.194)
C = S +(
Asi el total de fuerzas externas es entonces,
F
F
F
F
F
F
F
F
F
T
F
F
T
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
68
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
T
F
P
F
S
F
G
Figura 2.4: Fuerzas Externas en un Cohete
= S + P+ G
(2.195)
La fuerza P se puede explicar de la siguiente manera. La presion
estastica actua sobre la supercie del cohete completo contribuyendo con
una fuerza nula. Se pude concluir de lo anterior que la fuerza derivada de
presion estatica actuando sobre una supercie del cohete es igual y opuesta
en signo a la fuerza debido a la presion estatica actuando sobre el resto de
del vehculo. Asi la fuerza actuando sobre todo la supercie del cohete, excepto el area de escape de la tobera es igual y negativa a la presion estatica
actuando sobre la supercie de escape. Si pe es la presion real actuando sobre todos los puntos del area de salida y pa es la presion atmosferica, luego
la presion estatica realiza una fuerza P dada por,
F
F
T
F
F
F
F
Z
= S pe pa d
(2.196)
Esta integral se toma sobre toda la supercie del cohete, pero sobre
aquellos puntos donde no existe area de salida de masa la presion real y al
atmosferica son identicas y la integral no toma valor.
FP
S
Para determinar el comportamiento de cada termino en las condiciones
de medicionn del empuje de un cohete, se parte de la ecuacion ( ) y se
aplica el teorema de Coriolis,
??
= m p2i F m_ ( e + !ib e) pi [m ( i + !ib C )] +
+ m pb ( i + !ib C ) + m !ib ( i + !ib C )
(2.197)
Se nota que pi !ib = pb !ib + !ib !ib = pb !ib.
F
R
v
v
r
r
v
v
CONAE - Buenos Aires - Argentina
r
r
2.4.
69
Ejemplo de Movimiento de Cuerpo R
gido
Bajo las condiciones de medicion del empuje, el cohete tiene una peque~na
aceleracion, pi F , que es mayormente debido a la rotacion de la Tierra, y
similarmente una peque~na velocidad angular !ib. La fuerza esta dada
(2.195) y (2.197) se transforma en
R
F
mp2i RF
=
+ G + m_ [ e i + !ib ( e C )]
[pb i + !ib [pb C + i + !ib C ] + pb!ib C ](2.198)
En el caso que el cohete no se halla soltando masa a traves de su tobera
se tiene, = 0, P = 0, m_ = 0, pb C = 0 y i = 0. La ecuacion (2.197) se
transforma en
FS
T
+
FP
F
v
T
v
r
F
v
v
r
r
r
r
v
= G + m p2i F + m [!ib (!ib C ) + pb!ib C ]
Combinando (2.198) y (2.199) se tiene,
FS
F
r
R
r
r
(2.199)
= m_ ( e i) + P m pb i +
+ !ib [m_ ( e C ) m pb C m i ]
(2.200)
Esta es la expresion de empuje de un cohete cuando este se halla siendo
medido.
Si se desea obtener la ecuacion del torque (alrededor del centro de masas)
cuando se esta midiendo el empuje de la misma manera se tienen los siguientes torques externos,
1. El torque externo ejercido por el cohete al dispositivo de jacion es el
resultante de dos torques: CS es el torque necesario para mantener
el cohete en su estado cuando este se halla inactivo y CT es el torque
adicional requerido cuando el cohete se halla expeliendo masa.
2. CP es Rel torque debido a la presion estatica, y se halla denido por
CP = S (pe pa ) d
3. CG es el torque resultante debido a las fuerzas de campo
El torque externo C actuando sobre el cohete durante las mediciones
esta dado por,
(2.201)
C = CS
CT CP + CG
T
v
v
F
r
v
r
r
v
T
T
T
T
r
S
T
T
T
T
T
T
T
Partiendo de la ecuacion ( ) y aplicando el teorema de Coriolis se tiene,
??
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
70
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
Z
= pb ( C !ib) + !ib C !ib + pb V t dm +
Z
+ !ib V t dm + m_ e pb C + !ib +
Z
+ S t dS
(2.202)
Cuando se mide el torque que aparece debido a la medicion delempuje,
el cohete tiene una velocidad angular !ib y el torque resultante sobre el
cuerpo esta dada por (2.201). Bajo esas condiciones la ecuacion (2.202) se
transforma en
MC
I
I
r
r
IC
pb ! ib
=
r
v
r
v
r
E
v
TCS
TCT
+
TCP
+
m_ re
TCG
Z
[pb C + ] !ib !ib C !ib
I
E
Z
I
Z
pbrC
r vt dS
S
(2.203)
Si el cohete esta amarrado a Tierra sin expelir masa se tiene, CT = 0,
CP = 0, pb C , = 0, t = 0, de modo que (2.202) se transforma,
(2.204)
C pb ! ib = CS
CG ! ib C ! ib
Combinando (2.203) y (2.204) se tiene,
pb
V
r
vt dm !ib V
r
vt dm
T
T
I
E
v
I
TCT
=
Z
S
T
r
T
I
vt dS + TCP m_ re pbrC pb
Z
Z
V
r
vt dm
[pb C = ] !ib !ib V t dm
(2.205)
Esta expresion reeja la dinamica del cohete cuando se esta midiendo el
empuje.
I
E
r
v
2.4.1 Simplicaciones a las Ecuaciones Dinamicas
Para simplicar las ecuaciones dinamicas tanto translaciones como rotacionales normalmente se utilizan las siguientes hipotesis,
1. pb C 0 la velocidad del centro de masa respecto a una terna ja al
cuerpo.
2. p2b C 0 aceleracion del centro de masa respecto de la terna ja al
cuerpo.
3. bfvt 0 velocidad de transporte dentro del vehculo.
r
r
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.4.
Ejemplo de Movimiento de Cuerpo R
gido
71
4. Vehculo con estructura rgida y simetra axial.
5. Un solo punto de escape
Las expresiones quedan entonces,
F
MC
=
=
mp2i RC m_ (ve + ! ib re )
pi (IC ! ib ) m_ [re (ve + !ib re )]
(2.206)
(2.207)
2.4.2 Parametros Practicos
Los siguientes son coecientes que denen caracteristicas del motor o del
vehculo. Se enumeran los m'as comunmente usados.
Impulso Especco
Es la relacion entre el impulso total por unidad de peso de propelante
usado. Su unidad es en segundos.
(2.208)
= WIT = mITg = mT_
p
p 0
donde IT = R T dt donde T es el impulso, g0 es la aceleracion debido a
la gravedad en la supercie de la Tierra.
Normalmente el impulso especco para los combustibles utilizados varian entre 200 segundos (Hidracina monopropelente) hasta 450 segundos
(uor-hidrogeno.
ISP
Fraccion Masica de Propelente
Dene la relacion entre la masa de propelante (mp) y la masa inicial
(mi). La misma relcion se puede expresar en terminos de pesos.
P
p
= mmp = W
<1
W
i
i
(2.209)
Coeciente de Empuje
Esta parametro relaciona, el empuje (T ), la presion en la camara de
combustion (pt ) y el area de garganta (At )
CF
= ptTAt
(2.210)
Velocidad Caracterstica de Salida
c? =
pt At
m_
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
(2.211)
72
Cap
tulo 2.
Leyes de la Mec
anica
2.4.3 La Ecuacion de Performance
Simplicaremos el analisis utilizando la ecuacion escalar de movimiento,
cuerpo rgido, es decir la expresion mas simple.
= m dv
(2.212)
dt
donde m es la masa instantanea del vehculo que incluye la masa de
propelante mp, v es la velocidad del cemtro de masa del cuerpo rgido con
respecto al espacio inercial.
Cuando se disparan los motores, se genera un empuje T que actua sobre
el cuerpo. Este empuje puede simplicarse como,
F
p
= m_ p c = dm
c
(2.213)
dt
donde c es la velocidad de escape, mp es la masa de combustible. Ya se
ha visto que dmdtp = dm
dt . La expresion (2.213) se transforma en,
T
= m dv
(2.214)
dt
En el caso que el tiempo sea excluido de la ecuacion y m y v se separan
se tiene,
c
dm
dt
dv = c
dm
m
(2.215)
Integrando desde el inicio de la combustion (i) hasta el instante nal (f ),
y asumiendo c constante, se obtiene,
(2.216)
v = c ln mmi = c ln RM
f
donde RM es la relacion de masas entre el comienzo de la combustion y
el n de la misma. Siempre MR > 1.
Tenemos entonces, mf = mi mp, donde mp es el propelente consumido en la combustion. Utilizando el ndice P se tiene,
mp = Wp < 1
P =
(2.217)
mi
Wi
y la relacion de masas se expresa como,
1
RM =
(2.218)
1 P
La masa inicial del vehculo o de cualquier etapa, se puede expresar como
mi = ms + mp + mP L , donde ms es la masa de toda la estructura (tanques,
soportes, tubos, toberas, etc), mp es la masa del propelante (incluyendo los
CONAE - Buenos Aires - Argentina
2.4.
Ejemplo de Movimiento de Cuerpo R
gido
73
residuos y margenes) y mP L que es la masa de la carga util). Para seguir
trabajando con ndices se escribe,
1 = mms + mmp + mmP L
(2.219)
i
i
i
Rearmando los terminos es posible escribir cada termino o factor de la
siguiente forma,
mP L
mi
ms
mi
ms
mi
=
=
=
s
1 mmpi m
mi
mP L mp 1 mi + mi
1 (2.220)
donde, = mpm+sms y = RMRM 1 .
El objetivo del dise~no de cohetes y boosters es optimizar la relacion
mP L . Para ello se debe lograr bajos valores de , de la fraccion masica de
mi
propelante
y de conocido como el factor estructural efectivo.
Otro parametro de interes es la relacion entre el empuje a masa, que es
una funcion de la masa instantanea del vehculo y el empuje instantaneo.
T
W
= ga0
(2.221)
donde a es la aceleracion debida al empuje, en la ausencia de otras fuerzas
(draf, etc) la relacion WT representa la aceleracion del vehculo. En casos
donde se expresa WT = 1:25 indica una aceleracion 1:25 g0 .
por ultimo el tiempo de quemado del combustible tb es inversamente
proporcional a la relacion WT .
tb =
ISP
T
W
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
(2.222)
74
Cap
tulo 2.
CONAE - Buenos Aires - Argentina
Leyes de la Mec
anica
Cap
tulo 3
Rotaci
on de la Tierra
3.1
Introduction
A mediados del siglo 19 el astronomo frances Leon Foucault realizo dos experimentos para demostrar fsicamente el fenomeno de la rotacion diurna de la
Tierra. Un experimento consistio en la observacion del movimiento aparente,
respecto a un sistema inercial (representado por las estrellas), del eje de la
rotacion rapida de un giroscopo orientado inicialmente en la direccion del
meridiano local. El otro experimento consistio tambien en la observacion
del movimiento aparente del plano instantaneo de oscilacion de un pendulo
de gran longitud suspendido desde la cupula del Panteon de Paris.
La teora del movimiento del "Giroscopo de Foucault" en su version
moderna denominada el "Girocompas" se encuentra descripta en el captulo
1, Vol. II, de esta obra. Esencialmente el experimento consiste en montar
un giroscopo en el centro de una suspension cardanica en modo de anular
el par gravitatorio. Ademas el eje de rotacion esta vinculado a moverse en
un plano horizontal . Al rotar el giroscopo en la supercie de la Tierra
se suma tambien la rotacion terrestre que se trata de demostrar ; resulta
as un movimiento de precesion, del eje, alrededor de la direccion inicial
de amplitud tanto mas peque~na cuanto mayor sea la velocidad angular del
giroscopo con respecto a la velocidad angular de la Tierra. En resumen
el movimiento aparente de la direccion del eje con respecto a un sistema
inercial resulta aproximadamente similar al de una brujula.
La teora del movimiento del "Pendulo de Foucault" se encuentra explicada
en la mayora de los tratados de Mecanica Clasica. En el presente captulo
trataremos dicha teora de una manera aaproximada que conduce a una
aplicacion de la teora de las "Funciones Casi-Periodicas" y a un analisis del
movimiento de la proyeccion del pendulo sobre el plano horizontal ortogonal
a la vertical en el punto de suspension. Pero comenzaremos con una noticia
historica sobre las diversas hipotesis acerca del movimiento diurno de la
75
76
Cap
tulo 3.
Rotaci
on de la Tierra
Tierra que culminan con los experimentos de Foucault.
3.1.1 Noticia historica
La explicacion cinematica de los movimientos del Sol, la Luna o las estrellas
historicamente podia hacerse de manera coincidente con la hipotesis de que
la Tierra gira alrededor de su eje o viceversa con la hipotesis de la Tierra ja
y los astros girando a su alrededor; la eleccion de una u otra hipotesis dependa pues de argumentos ajenos al metod cientco. El primer astronomo
del que se sabe que crea en la rotacion de la Tierra es Filolao, un losofo
pitagorico que vivio en el siglo V, (A. C. ); sus ideas parecen haber tenido
cierta inuencia y fueron citadas por Copernico (1473-1543)en su famosa
teora de los movimientos en el sistema solar. Aristoteles (384-322, A. C.
) reconocio el hecho de que las dos hipotesis permitan explicar igualmente
bien los movimientos observados de las estrellas. Aristarco de Samos (310250, A. C. ) enuncio claramente las hipotesis de la rotacion y de la revolucion
heliocentrica de la Tierra. Sin embargo Hiparco (180-110, A. C. ), famoso por
sus descubrimientos astronomicos, entre ellos el movimiento de Precesion de
los Equinocios, crea en la hipotesis de la Tierra inmovil. Esta misma idea
fue seguida por Ptolomeo, astronomo de Alejandria, (100-170, A. D. ), quien
imagino la Tierra ja en el centro del universo y elaboro un complicado sistema para explicar satisfactoriamente los movimientos observados del Sol, la
Luna y los planetas conocidos en su epoca. Por los cuatro siglos siguientes
no hubo nuevos descubrimientos importantes hasta el advenimiento de la
teora heliocentrica de Copernico(1473-1543) que marco la transicion de la
astronoma antigua a la moderna y que realmente comenzo con las obras de
Kepler (1571-1630) y de Galileo (1564-1642).
El objeto de esta breve noticia historica es el de enfatizar que desde la antiguedad hasta esas fechas (siglo XV) la posible rotacion o no de la Tierra
continuaban siendo hipotesis que permitan explicar los movimientos observados de los objetos celestes pero sin conrmar experimentalmente su
validez.
En 1679 Newton propuso el experimento de arrojar desde una torre elevada un objeto pesado y medir su desviacion hacia el este con respecto a
la direccion vertical. Esta desviacion resulto demasiado peque~na y sujeta a
errores que invalidaban el experimento.
Los experimentos de Foucault, en 1851, permitieron por n mostrar de un
modo visible y fehaciente la validez de la hipotesis de la rotacion de la Tierra.
3.2
Teor
a aproximada del P
endulo de Foucault
Esta teora se basa en el hecho de que en el pendulo de Foucault debido a su
longitud (del orden de 67 metros) se puede considerar que aproximadamente
el extremo del mismo se mueve en un plano tengente a la supercie de la
CONAE - Buenos Aires - Argentina
3.2.
77
Teor
a aproximada del P
endulo de Foucault
Tierra atrado hacia el punto de contacto de este plano y segun las leyes del
movimiento armonico. Por otra parte, debido al movimiento de rotaci'on
diurno de la Tierra, el plano tiene un desplazamiento instantaneo que se
puede descomponer en una traslacion paralela a la tangente al paralelo geograco mas una rotacion alrededor de un eje paralelo al eje terrestre que
pasa por el lugar de la experiencia. La primera, tratandose de una traslacion
paralela al plano de movimiento no tiene inuencia dinamica. La rotacion
puede todava descomponerse en una rotacion alrededor de un eje tangente
al meridiano y otra alrededor de la normal al plano; esta ultima implica
solo un giro de ejes de referencia del que nos ocuparemos mas adelante y
consideraremos por ahora el siguiente
Primer problema
Un punto de masa m se mueve sobre un plano y es atraido hacia un
punto jo O del plano con una fuerza proporcional a la distancia mientras
el plano gira con velocidad angular constante alrededor de un eje situado en
el plano y que pasa por el punto O. Se trata de describir el movimiento de
m con respecto a un sistema de coordenadas ortogonales (x, y) con el eje y
coincidente con el eje de giro del plano.
Las ecuaciones diferenciales del movimiento son
x = (A B )x
(3.1)
y = Ay
(3.2)
donde A es una constante y B = ( 2T )2 siendo T el tiempo de un giro completo del plano y Bx la aceleracion centrifuga por el giro del plano.
No es difcil demostrar que las soluciones de estas ecuaciones son respectivamente
p
p
V
(3.3)
x = x0 cos A Bt + p 0x sen A Bt
A B
y
=
p
V
y0 cos At + p0y
A
con las condiciones iniciales
x(0) = x0 ;
y(0) = y0 ;
sen
p
(3.4)
At
x_ (0) = V0x ;
y_ (0) = V0y
EJERCICIO
(3.5)
Demostrar y describir los resultados siguientes dependientes de las relaciones
entre las constantes A y B .
I)A = B
La ecuacion diferencial para x se reduce a x = 0 y resulta x = x0 + V0xt. El
punto (x; y) resulta animado de un movimiento progresivo e la direccion de
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
78
Cap
tulo 3.
Rotaci
on de la Tierra
x y periodico en la direccion de y.
II)A < B p
Poniendo A B = p 1pB A y aplicando las formulas
obtiene x(t) = x1(t) + x2(t) con
p
exp(
B At) V
x1 (t) =
x0 + p 0x
2
B A
de Euler se
(3.6)
p
B At) V
exp(+
x0 p 0x
x2 (t) =
(3.7)
2
B A
El termino x1(t) tiende a cero con t ! 1 mientras que x2 (t) crece indenidamente. El movimiento resultante es analogo al anterior pero ahora
lasa distancias entre los puntos de interseccion de la trayectoria con el eje x
no son constantes sino que crecen con t.
III)A > B En este caso las ecuaciones (3.3) y (3.4) representan dos movimientos armonicos ortogonales de distinto perodo y amplitud. Poniendo
p
p
A = a;
A B=b
(3.8)
tenemos
V
x = x0 cos bt + 0x sen bt
b
V0x
y = y0 cos at +
sen at
(3.9)
a
y por tanto
x_ = x0 b sen bt + V0x cos bt
y_ = y0 a sen at + V0x cos at
(3.10)
Para que el movimiento resultante sea tambien periodico debe ser
m b
2m = 2n ;
= =
(3.11)
b
a
n a
con m y n enteros.
CASO 1: es un numero racional
En este caso el perodo del movimiento resultante es
2q = 2p
T=
(3.12)
a
b
donde = p=q es expresado como fraccion irreductible.
EJERCICIO: El caso mas general es aquel en que la velocidad inicial V0
es distinta de cero y no pasa por el origen de coordenadas. Se trata de
comprobar que la trayectoria resultante, en el caso en que a = b, es una
elipse denida por dos ecuaciones de la forma
Y = N sen [a(t + )]
X = M cos[a(t + )]
(3.13)
CONAE - Buenos Aires - Argentina
3.2.
Teor
a aproximada del P
endulo de Foucault
79
Esquema de la solucion
Poniendo por abreviar
resulta
V0x
a
= w;
V0y
a
=v
x = x0 cos at + w sen at
y = y0 cos at + v sen at
Por una rotacion de un angulo de los ejes cordenados resulta
X = x cos y sen Y = x sen + y cos Poniendo ahora
+ x0 y0)
tan 2 = y2 2(+wv
2
0 x0 + v 2 w 2
+ y0 cos tan a = xw0 sen
sen + v cos y
x cos y0 sen M = 0
cos a
x0 sen + y0 cos N =
sen a
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
resultan las ecuaciones (3.13) de la elipse.
CASO 2: es un numero irracional
En este caso no se puede expresar bajo la forma racional p : q y el
movimiento resultante es casi periodico. Esto signica que el punto despues
de cierto tiempo vuelve a posiciones y velocidades tan proximas como se
quiera a las que correspondan a cualquier posicion anterior pero sin pasar
dos veces por la misma posicion con la misma velocidad.
Se denomina el casi-perodo al tiempo necesario para que el movil, despues
de recorrer su trayectoria, se encuentre dentro de un entorno dado del punto
que ocupaba en el instante t animado de una velocidad que se aproxime a
la que tena en aquel instante en un valor dado. Naturalmente este casiperiodo variara con las dimensiones de dichos entornos.
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
80
Cap
tulo 3.
Rotaci
on de la Tierra
EJERCICIO: Determinacion del casi-perodo
Poniendo
V0x
V0y
= w;
=v
(3.20)
b
a
las ecuaciones del movimiento son
x(t) = x0 cos bt + w sen bt
y(t) = y0 cos at + v sen at
x_ (t) = x0 b sen bt + wb cos bt
y_ (t) = y0 a sen at + va cos at
y expresiones analogas substituyendo t por t + donde es el casi-perodo
que se quiere determinar. La condicion de casi - periodicidad que se impone
es que los cuatro entornos x(t) x(t + ), y(t) y(t + ), x_ (t) x_ (t + ),
y_ (t) y_ (t + ) sean en valor absoluto menores que un valor pequeo " dado.
Con una simple transformacion trigonometrica se obtiene
x(t) x(t + ) = [2x0 sen b(t + =2) + 2w cos b(t + =2)] sen b=2 (3.21)
o sea
j x(t) x(t + ) j< [2(j x0 j + j w j)] sen b=2
(3.22)
y similarmente se obtiene
j y(t) y(t + ) j< [2(j y0 j + j v j)] sen a=2
j x_ (t) x_ (t + ) j< [2b(j x0 j + j w j)] sen b=2
j y_ (t) y_ (t + ) j< [2a(j y0 j + j v j)] sen a=2
Indicando ahora un numero r, mayor que cualquiera de los terminos entre
corchetes, el casi-perodo debe satisfacer las desigualdades
j sen b 2 j< "r ;
j sen b 2 j< r"
(3.23)
Se~nalemos con un numero tal que sea
(3.24)
sen 2 < r"
Demostraremos que se pueden determinar dos numeros enteros K1 y K2 y
un numero tales que
K1 + >
sera entonces
b
4 > K1
;
a
K2 + > > K2 4
j sen b 2 j; j sen a 2 j < sen 2
CONAE - Buenos Aires - Argentina
(3.25)
(3.26)
3.2.
Teor
a aproximada del P
endulo de Foucault
81
y por lo tanto se vericaran las condiciones (3.23).
Tenemos ahora
b
a
> j K1
(3.27)
4 j; j K2 4 j :
Recordemos que el numero irracional admite un desarrollo en fraccion
continua ilimitada. Comparando con la reducida enesima se sabe que
j QPn j< Q12
(3.28)
n
n
y substituyendo por su valor b=a
(3.29)
j Pbn Qan j< bQ1
n
Se sabe tambien que los numeros Qn ! 1 con n y por lo tanto se encontrara
un valor tal que
1 < ; ;
(3.30)
bQn
b
tomando K1 = Pn y K2 = Qn resultara
a
j Kb1 Ka2 j< b ; a
(3.31)
y bastara elegir de manera que : 4 este comprendido entre Kb1 y
K2 para asegurar que en ese instante el movil se encuentre en las condia
ciones de velocidad y posicion propuestos. Evidentemente siendo innitos
los pares (Pn ; Qn) = (K1 ; K2 ) los valores de que satisfacen estas condiciones llenan un sistema innito de trayectorias casi-periodicas tan proximas
como se quiera a otras ya recorridas.
Se inere de all que podra demostrarse que el lugar geometrico de las posiciones ocupadas por el movil llena con densidad innita un area determinada
cuando el tiempo tiende a 1. El lector puede demostrar rigurosamente que
las intersecciones de la trayectoria con una recta paralela a uno de los ejes
coordenados constituyen un sistema de puntos denso sobre cierto segmento
de dicha recta y el area de que se habla sera el lugar geometrico de dichos
segmentos.
Segundo problema
Nos proponemos escribir las ecuaciones diferenciales del movimiento aparente
del pendulo de Foucault con respecto al plano horizontal del lugar; para especicar la posicion del pendulo a un instante t denimos dos ejes (x; y) vinculados a la rotacion de la Tierra constituidos por las rectas respectivamente
tangentes al paralelo y al meridiano del lugar (eje de rotacion instantaneo
del plano). Para abreviar consideramos el vector de posicion
(t) = [x; y]T
(3.32)
P
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
82
Cap
tulo 3.
Rotaci
on de la Tierra
El problema consiste en escribir la expresion de la segunda derivada  (t) en
funcion de tres posiciones sucesivas aplicando la conocida relacion
 (t) = lim (t + 2h) 2 2(t + h) + (t)
(3.33)
P
P
h!1
P
P
h
P
La posicion inicial (t) se supone conocida; para determinar (t+h) notamos que la nueva posicion del punto se debe al movimiento instantaneo resultante de la atraccion del punto O (origen de coordenadas) y de la rotaci"on
del plano alrededor del eje y, como se considero en el primer problema,
donde como hemos visto
P
P
x(t)
y(t)
x_ (t)
y_ (t)
= x0 cos bt + w sen bt
= y0 cos at + v sen at
= x0 b sen bt + wb cos bt
(3.34)
= y0a sen at + va cos at
Pero al nal del peque~no intervalo h los ejes de referencia no son los iniciales
(x; y) sino las nuevas posiciones de la tangente al meridiano y al paralelo
por efecto de la rotaci"on del plano alrededor de la normal; por lo tanto
debemos aplicar en segundo lugar la tranformacion correspondiente.
Aplicando (3.34) y despreciando terminos de orden superior en h resulta
xh = x + bwh
yh = y + avh
x_ h = x_ b2 xh
(3.35)
2
y_h = y_ a yh
La rotacion del plano alrededor de la normal se traduce en un giro del sistema
de referencia representado por
x = yh sen t + xh cos t
y = yh cos t xh sen t
(3.36)
(3.37)
donde es la velocidad angular de la rotacion.
Despreciando terminos de orden superior en se obtiene
xh = xh + yh h
yh = yh xh h
x_ h = x_ h + y_h h
(3.38)
y_ h = y_h x_ h h
(3.39)
CONAE - Buenos Aires - Argentina
3.2.
83
Teor
a aproximada del P
endulo de Foucault
y relacionando (3.35) con (3.38) obtenemos nalmente para el punto (t + h)
xh = x + (x_ + y)h
yh = y + (y_ x)h
x_ h = x_ (b2 x y
_ )h
(3.40)
2
y_ h = y_ (a y + x
_ )h
A partir de este punto (t+h) con analgo razonamiento buscaremos el
punto (t+2h) que nos falta para aplicar (3.33). Llegaremos a una expresion
analoga a la (3.40) pero ahora el punto de partida es el denido por las
coordenadas xh e yh en lugar de x e y y as velocidades no son x_ e y_ sino x_ h
e y_h dadas por (3.40).
Haciendo pues en dicha expresion las substituciones se~naladas llegamos a
x2h = x + 2(y_ + x)h (b2 x 2y
_ + x2 )h2
(3.41)
2
2
2
y2h = x + 2(x_ + y)h (a x 2x
_ + y )h
conservando todava los terminos en h2 .
Aplicando nalmente (3.33) resulta
(b2x 2y
_ + x2 )h2 = 2y
x = lim
_ x(b2 + 2 ) (3.42)
h!1
h2
(a2y + 2x
_ + y2 )h2 = 2x
_ y(a2 + 2 )
y = lim
P
P
P
h!1
h2
A este paso al lmite corresponden los innitesimos despreciados a lo
largo del calculo, si se hubieran mantenido habran desaparecido ahora como
es f"acil ver.
Finalmente vamos a determinar las constantes que guran en (3.42).
Siendo ! la velocidad angular de la rotacion terrestre y la latitud del lugar
las componentes de dicha rotacion segun la normal al plano horizontal y a
la tangente al meridiano son respectivamente
= ! sen ;
cos (3.43)
Por otra parte, recordando las deniciones de a; b; A y B del primer problema
y tambien un resultado de la teora elemental de las peque~nas oscilaciones
del pendulo simple, tenemos
g
a2 = A =
(3.44)
l
donde g es la aceleracion media de la gravedad y l la longitud del pendulo.
Ademas
g
g
b2 = A B =
2 =
!2 cos2 l
l
g
b2 + 2 =
!2 cos 2
l
g
a2 + 2 = + !2 sen l
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
84
Cap
tulo 3.
Rotaci
on de la Tierra
y bastara substituir estos valores en (3.42) para tener las ecuaciones denitivas. Concretamente tenemos
2 seg 1 ;
g = 980cm:seg 2
(3.45)
!=
86400
y teniendo en cuenta que el pendulo de Foucault tena 67m de largo seg observa que los terminos em !2 son despreciables en comparacion con l y lo
ser"an tanto mas cuanto menor sea la longitud l.
Notamos quew despreciar !2 equivale a despreciar 2 es decir no tener en
cuenta la rotacion de movimiento alrededor del eje tangente al meridiano.
Esto explica que se pueda aceptar la teora elemental del pendulo de Foucault en la cual se compone simplemente el movimiento oscilatorio con la
rotacion del planop tangente a la Tierra alrededor del eje vertical del lugar.
En resumen las ecuaciones aproximadas ddl movimiento respecto al plano
horizontal resultan de la forma
x = 2y!
_ sen gl x
(3.46)
y = 2x!
_ sen gl y
(3.47)
Estas mismas ecuaciones se encuentran en los tratados de Mecanica Racional
obtenidas mediante la aplicacion del Metodo de D'Alembert o su equivalente
el Metodo de las ecuaciones de Lagrange (ver por ejemplo el clasico tratado
de T. Levi-Civita y U. Amaldi [8]
Nuestra presentacion mas elemental ha permitido explicitar las diversas simplicaciones en que se basa la teora aproximada del pendulo.
Soluci
on de las ecuaciones de movimiento
Para abreviar escribimos las ecuaciones de movimiento en la forma
x 2y_ + Ax = 0
(3.48)
y + 2x_ + Ay = 0
donde obviamente = ! sen y A = g=l Estas son dos ecuaciones diferenciales lineales homogeneas a coecientes constantes cuya solucion se obtiene
por el metodo estandar de empezar poniendo
x = Cert ;
y = Dert
(3.49)
Reemplazando en las ecuaciones diferenciales comienza un proceso de
transformaciones que conduce a obtener cuatro soluciones particulares cuyas
combinaciones lineales a coecientes indeterminados proveen la solucion general del problema. Una transformacion ulterior conduce a una solucion general de la forma
x = k1 cos(pt + r) + k2 cos(qt + s)
(3.50)
2
2
A p
A q
y =
k1 sen (pt + r) +
2p
2q k2 sen (qt + s)
CONAE - Buenos Aires - Argentina
3.2.
85
Teor
a aproximada del P
endulo de Foucault
p
p
donde p = A + 2 + , q = A + 2 + y k1 ; k2 ; r; s son constantes arbitrarias y que se puede comprobar que satisface las ecuaciones de movimiento
(3.48)
An
alisis del movimiento del p
endulo
Para este analisis asumimos que el movimiento de rotacion del plano horizontal respecto a un eje ortogonal al mismo es sucientemente lento para
que los terminos en 2 sean despreciables con lo cual las ecuaciones (3.50)
se reducen a las formas mas simples
x = k1 cos(pt + r) + k2 cos(qt + s)
(3.51)
q
p
y = p k1 sen (pt + r) + p k2 sen (qt + s)
A
A
Siempre teniendo en cuenta que es un numero peque~no consideraremos
tambien despreciables los productos de la forma donde represente un
intervalode tiempo sucientemente corto. En estas condiciones nos proponemos estudiar la curva (3.51) a partir de un instante arbitrario t1 y
durante un intervalo [t1; t1 + ] suponiendo que para 0 < < valga
dicha aproximacion. Poniendo en (3.51) t = t1 + y observando que con la
aproximacion citada sean sen = 0 y cos = 1 las ecuaciones (3.51) se
reducen a las formas
x = f cos(a ) h sen (a )
(3.52)
y = ( m + h)cos(a ) + ( n + f ) sen (a )
a
a
habiendo puesto para abreviar
k1 sen (pt1 + r) + k2 sen (qt1 + s) = h
k1 cos(pt1 + r) + k2 cos(qt1 + s) = f
(3.53)
k1 sen (pt1 + r) k2 sen (qt1 + s) = m
k1 cos(pt1 + r) k2 cos(qt1 + s) = n
p
y recordando que a = pg=l = A.
Las ecuaciones (3.52) son similares a las ecuaciones (3.15) y por lo tanto
denen una elipse cuyo tiempo de su recorrido es
2
T=
(3.54)
a
Observando que entonces
42
T =
86400
s
l
g
1
' 2400
s
l
g
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
(3.55)
86
Cap
tulo 3.
Rotaci
on de la Tierra
puede considerarse despreciable en comparacion con las demas constantes
fsicas del problema se puede decir en conclusion que el pendulo a partir de
un instante cualquiera recorre con bastante aproximacion y durante algunas
oscilaciones una elipse.
Evidentemente por ser esta elipse solo aproximada se deforma y desplaza al
variar el instante de partida t1.
Para estudiar este desplazamiento volvamos a las formulas del primer problema que dan la posicion y magnitud de los ejes de la elipse representada
por (3.15); obtendremos los valores correspondientes a la elipse representada
por (3.52) poniendo en lugar de x0; y0; w; v los valores
x0 = f;
y0 = m + h;
w = h;
v = n+ f
(3.56)
a
a
Resulta, despreciando siempre los terminos en 2 y teniendo en cuenta las
formulas (3.53
x0 y0 + wv = 2k1 k2 sen ( 2t1 + s r)
2
2
y0 x0 + v2 w2 = 4k1 k2 cos( 2t1 + s r) 2 (k12 k22 )
a
y por n sustituyendo en (3.17)
tan 2 = tan(2t1 + s
donde
r)
1
1 + k12
k22
2ak1 k2 cos(2t1 + r s)
(3.57)
(3.58)
es una constante. Por un simple calculo, bajo las mismas aproximaciones,
se obtiene
tan 2 = tan(2t1 + 2
)
(3.59)
donde es un angulo constante de la forma r s + y nalmente
= t1 + (3.60)
es decir que los ejes de la conica (3.52) giran con la velocidad constante .
Una vez determinado se puede calcular los semiejes M y N de la elipse
cuya relacion resulta ser
N
w sen + v cos v + w tan =
=
(3.61)
M x0 cos y0 sen x0 y0 tan Esta relacion resulta peque~na pues el numerador depende de la velocidad
angular de la rotacion terrestre y el denominador depende de las dimensiones
geometricas del experimento de Foucault.
En consecuencia la excentricidad
q
de la elipse es a cada instante e = 1 MN 22 ' 1 que aproximadamente
=
CONAE - Buenos Aires - Argentina
3.2.
Teor
a aproximada del P
endulo de Foucault
87
coresponde a una rama de parabola.
Finalmente si comparamos las expresiones (3.16) y (3.36) ambas representan
sendas rotaciones de los ejes coordenados pero de sentids contrarios; siendo
_ = deducimos en conclusion que mientra el pendulo recorre la elipse en
un sentido los ejes de la elipse giran en sentido contrario.
c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 2000
88
Cap
tulo 3.
CONAE - Buenos Aires - Argentina
Rotaci
on de la Tierra
Bibliograf
a
[1] R. H. Battin; An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, AIAA, Education Series, 1987.
[2] D. Brouwer, G. Clemence, J. W. Eckert; Solar coordinates of the
Five Outer Planets Astronomical Papers prepared for the American
Ephemeris and Nautical Almanac, vol. XII, 1950.
[3] P. Herget; Solar Coordinates 1800-2000, Astronomical Papers prepared
for the American Ephemeris and Nautical Almanac, vol. XIV, 1953
[4] C. J. Brookes; On the Prediction of Neptune, Celestial Mechanics, ,
67-80, 1970.
[5] P. R. Escobal; Methods of Orbit Determination,Wiley, 1965
[6] P. Henrici; Discrete Variable Methods for Ordinary Dierential Equations, Wiley, 1962
[7] Ingram, D. S. and Tapley, B. D.; Lunar Orbit Determinations in the
Presence of Unmodeled Accelerations, Celestial Mechanics, vol. 9, pp.
191-211, 1974.
[8] T. Levi-Civita, U. Amaldi; Lezioni di Meccanica Razionale,vol.II,parte
I , N. Zamichelli, (pag.190).
[9] R. Rodriguez; Estimacion de Perturbaciones en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias,Tesis Doctoral, Universidad Nacional de La Plata,
Argentina,1987
[10] R. Rodriguez, P. E. Zadunaisky; A Stable Method to Estimate Perturbations in Dierential Equations, Comp. and Math. with Appls.,
,
1275-1286, 1986.
[11] R. Rodriguez; Estimations of Perturbations Without Modeling Assumptions on Second Order ODEsNotas de Matematica, Univ. Nacional de
La Plata, Fac. de Ciencias Exactas, Depto.de Matematica CC. 172 1900, La Plata, Argentina, 1988.
89
3
12B
90
BIBLIOGRAF
IA
[12] Tapley, B. D., Scutz, B. E. Estimation of Unmodeled Forces in a Lunar
Satellite Celestial Mechanics, Vol. 12. pp. 440-442,1975.
[13] F. Tisserand; Traite de Mecanique Celeste, Tomo I, Cap.XXIII, 1888,
Gauthier-Villars (1960).
[14] W. Wrigley, W. M. Hollister, W. G. Denard; Gyroscopic Theory, Design
and Instrumentation, The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.,USA,1961.
[15] P. E. Zadunaisky, R. S. S. Sanchez Pe~na; Estimation of Small Perturbations in an Inertial Sensor, AIAA Journal of Guidance, Control and
Dynamics, vol.11, No.2, 1988, p. 167-171.
[16] Zadunaisky, P. E. A Method for the Estimation of Small Perturbations
Proceedings of the Conference on the Motion of Planets and Natural
and Articial Satellites, S. Ferraz-Mello and P. Nacozy (eds) Universidade de Sa~o Paulo, Brazil, pp. 91-102, 1983.
[17] Zadunaisky, P. E. On the Estimation of Small Perturbations in Ordinary Dierential Equations in International Workshop on "Numerical
Treatment of Inverse Problems In Dierential and Integral Equations",
P. Deuhard and E. Hairer (eds), Birkhauser, Universitat Heidelberg,
FRG, pp. 62-72, 1983.
[18] Zadunaisky, P. E. The Inverse Problem in Ordinary Dierential Equations in Proceedings of a Conference on Computational Ordinary Differential Equations, J. R. Cash and I. Gladwell (eds), Imperial College,
University of London, pp. 237-249, 1989.
CONAE - Buenos Aires - Argentina