DIFERENCIA Propiedades: A−A = Ø 1.X (A−B)

DIFERENCIA
Propiedades:
• A−A = Ø
1.X (A−B)
2. XA " −XA definición de diferencia
• X Ø} F contradicción
4. A−A = Ø por la definición de diferencia
2) A−(A"B)= A−B
• X [A−(A"B)]XEA "−X (A"B) por la definición de intersección
• XA " −(XA " XB) por la definición de diferencia
• XA " (−XA " ð −XB) de morgan
• (XA " − XA) " X" −XB) contradicción
• F" X (A−B) definición de neutro
• A− (A" B) = A−B definición de diferencia
3) (A−B)
A = (A−B)
1.
X, (X
A" X
B) " X
A por definición de diferencia
2.(X
A" X
B) "(X
A" X
A) distributiva
3.(X
A" X
B) " X
A
4.(X
A" X
B) de la intersección
5.(A−B) definición de diferencia
4) (A−B)
1
B =A
B
1.
X, (X
A" X
B) " X
B definición de diferencia y d unión
2.(X
A" X
B) " (X
B" X
B) distributiva
3. (X
A" X
B) " V neutro
4.(X
A" X
B) definición de intersección
5.A
B
5) A−B = (A
B)−B
• De (A
B)−B
1.X, X
[(A
B) −B]
2. X
[(A
B)−B] definición de diferencia
3. X
(A
B) " X
B definición de unión
4.[ X
A "X
B) " [ X
B"X
B ] distributiva y contradicción
2
5. X
(A−B) definición de diferencia
LUEGO (A
B)−B
A−B
b) De (A−B)
1.X, X
(A−B)
2. X
A"X
B definición de diferencia
3.[ X
A "X
B) " [ X
B"X
B ] dilema
4.(A
B)−B
A−B de condicional
LUEGO A−B
(A
B)−B tanto son iguales
6) (A
B) −B = "
1.
X, X
(A
B) " X
B definición de diferencia
2. (X
A" X
B) " X
B definición de intersección
3. (X
A" X
B) " (X
B" X
B) distributiva
4.(X
A" X
3
B) " " contradicción
5." neutro
• B" (A−B) = Ø
1.XB " (A−B)
2.XB " X (A−B) definición de intersección
3.XB " (XA " −XB) definición de diferencia
4.(XB " ð XB) " XA distributiva
5.X (B−B) " XA contradicción
8) A−(B
C) = (A−B)
(A−C)
1.
X, X
A" X
(B
C) definición de diferencia
2.X
A"(X
B" X
C) definición de unión
3.(X
A"X
B) " (X
A" X
C) distributiva
4.(A−B)
(A−C)
9) A−(B
C) = (A−B)
(A−C)
1.
X, X
A" X
(B
C) definición de diferencia
2. X
A" (X
4
B" X
C) definición de intersección
3.(X
A" X
B) "(X
A"X
C) distributiva
4.A−B)
(A−C)
10) [ [(A
B) − (A
C)]
A
(B−C)
Por probarse dos inclusiones: (A
B) − (A
C)
A
(B−C) " A
(B−C)
(A
B)−(A
C)
Probemos que: [ [(A
B) − (A
C)]
A
(B−C)
•
•
•
x
[(A
B) − (A
C)]
x
(A
B) " x
(A
C)
x
(A
B) " [x
A" x
C)
5
•
•
•
•
x
(A
B) " [x
A'" x
C')
[x
(A
B) " x
A'] " [ x
(A
B) " x
C')
[x
A"x
B] " x
A'] " [x
(A
B) " x
C')
[x
B " (x
A"x
A'] " [x
(A
B) " x
C')
F
•
•
•
•
•
x
(A
B) " x
C')
x
A " [x
B"x
C')
x
A " [x
(B−C)]
x
[A
(B−C)]
6
Por 1 y 11 [ (A
B) − (A
C)]
A
(B−C)
Ahora probemos que: A
(B−C)
(A
B) − (A
C)
•
•
x
[(A
(B−C)] ..................... (hip)
x
A"
(B−C)
•x
A " (x
B "x
C)
• [x
A"x
B] " x
C
•x
(A
B) " x
C
Aplicar la tautologia: F " P = P en particular para F= x
A"x
A
• F " [x
(A
B) "
C']
7