Solución de problemas con incertidumbre y varios objetivos

Ingeniería Investigación y Tecnología, volumen XIV (número 2), abril-junio 2013: 249-256
ISSN 1405-7743 FI-UNAM
(artículo arbitrado)
Solución de problemas con incertidumbre y varios objetivos
Troubleshooting with Uncertainty and Several Objectives
Acosta-Flores José Jesús
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional Autónoma de México
Correo: [email protected]
Información del artículo: recibido: febrero de 2012, reevaluado: junio de 2012, aceptado: agosto de 2012
Resumen
En ingeniería nos enfrentamos con problemas tan diversos como la elección
del sitio donde debe construirse una carretera, una presa, un puente o un
aeropuerto. Las consecuencias de tomar decisiones equivocadas son tan
grandes que es conveniente contar con un método eficiente para enfrentar
dichas situaciones, ya que siempre existe incertidumbre sobre lo que puede
acontecer. En este artículo se presenta dicho método a través de un ejemplo
sobre un sistema de protección de huracanes en el que dos actores serán
fundamentales: el decisor y el analista. Se ha elegido este ejemplo porque
permitiría tomar decisiones que disminuyan los daños que ocasionan los
huracanes en nuestro país.
Descriptores:
• decisiones con incertidumbre
• decisiones con objetivos
múltiples
• análisis de decisiones
Abstract
In engineering, we face problems as diverse as the choice of the site where we must
build a road, a dam, a bridge or an airport. The consequences of wrong decisions are
so great that it is useful to have an efficient method to deal with these situations because there is always uncertainty about what can happen. In this article the method
is presented through an example about a hurricane protection system in which two
actors will be essential: the decision-maker and the analyst. This example has been
chosen because it would allow decisions to reduce the damage caused by hurricanes
in our country.
Keywords:
• decisions under uncertainty
• decisions with multiple
objectives
• decision analysis.
Solución de problemas con incertidumbre y varios objetivos
Introducción
En la mayoría de los problemas donde tenemos que tomar decisiones está presente la incertidumbre. Por
ejemplo, si construimos un puente proyectado para resistir una avenida en determinado sitio de un río, puede ocurrir que llegue una avenida extraordinaria y lo
destruya, otro ejemplo podría ser que el sitio que elijamos para construir un aeropuerto afecte tanto a las personas dueñas de los terrenos donde va a situarse, que
hagan manifestaciones de gran magnitud, que obliguen
a la suspensión de la obra. También, casi siempre hay
varios objetivos, en el caso del puente podrían ser: ma-
ximizar la resistencia y minimizar el costo; en el aeropuerto, maximizar los impactos económicos en la
región y minimizar el número de personas afectadas. A
pesar de la complejidad se deben tomar decisiones, lo
que implica elegir entre varias opciones. Para seleccionar la mejor decisión hay que efectuar un análisis de lo
que hubiera sucedido si cada una de las posibles alternativas se hubiera instrumentado. La toma de decisiones, acto cotidiano en múltiples actividades, general-
mente se hace por técnicas como la adivinanza, la reacción visceral, la intuición o la experiencia basada en
opiniones o sucesos muy parecidos.
Estas técnicas resultan poco eficientes dado que no
suelen incorporar todos los factores que pueden afectar
la decisión y sus resultados. Pocas decisiones se toman
con plena certidumbre sobre sus posibles consecuencias. El proceso de tomar decisiones puede ser mejorado utilizando una metodología que combine una es-
tructura explícita y una técnica cuantitativa de análisis.
La dificultad para tomar una decisión se relaciona
con tres aspectos: estructurales, personales y políticos
(Sánchez et al., 2008) Dentro de los aspectos estructurales está el grado de incertidumbre, la cantidad de opciones disponibles, la diversidad de objetivos, las conse-
cuencias de tomar una decisión y la frecuencia con que
se toman decisiones parecidas. Los aspectos personales
consideran los patrones de personalidad de quien toma
la decisión. En cuanto a los aspectos políticos puede suceder que la alternativa más acertada, elegida mediante un proceso racional y sistematizado, debe supe-
ditarse a consideraciones de orden político que resulten prioritarias.
Para el manejo de estos aspectos se han desarrollado
métodos multicriterio, como lo señalan Leyva et al.
(2008). Ellos mencionan: “Durante las últimas décadas,
el desarrollo del Análisis de Decisiones Multicriterio
(MCDA) ha contribuido significativamente a la evolución del campo teórico y aplicado de la Investigación de
Operaciones y de la Ciencia de la Decisión”.
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Sevilla y Escobar (2008) presentan un ejemplo de
aplicación de uno de estos métodos, el Prométhée-Gaia.
A pesar de su amplia aplicación, estos métodos no toman en cuenta las incertidumbres involucradas, lo que
disminuye su efectividad.
De ahí la necesidad de contar con un método que sí
las considere, como el que se presenta a continuación.
Método de análisis de decisiones
con incertidumbre
Los pasos para determinar la estrategia óptima de solución al resolver un problema donde existe incertidumbre y se tienen varios objetivos (Raiffa, 1968; Acosta,
1975, 1999) son cinco y se describe cada uno de ellos a
continuación.
En el primer paso se definirán los objetivos, sus medidas de efectividad o atributos (cada medida o atributo mide el logro de un objetivo), las opciones que se
tienen disponibles y los eventos, es decir, las consecuencias posibles de cada acción. El resultado se presenta en forma de árbol.
En el segundo paso se determinarán las probabilidades de todos los eventos.
En el tercer paso se estimarán las consecuencias finales para cada evento terminal utilizando los atributos.
En el cuarto paso se determinará la mejor estrategia
de solución. Primero se obtendrá la función utilidad
que represente la estructura de preferencias del decisor.
Esta función de utilidad evaluará los atributos y dará
como resultado un número real. Deberá ser válida en el
sentido Von Neumann-Morgenstern (Keeney y Raiffa,
1976) de manera que la utilidad esperada sea un criterio
apropiado para guiar el proceso de selección de la mejor estrategia. Después, se escogerán las acciones que
conduzcan a la mayor utilidad esperada. Con estas acciones se establecerá la mejor estrategia de solución.
Esta estrategia consistirá en una regla que establezca la
mejor decisión que debe elegirse cuando suceda algún
evento.
En el quinto paso, análisis de sensibilidad, se cuestionarán las hipótesis con el fin de determinar aquellas
variables críticas, o sea, aquéllas que pueden hacer que
cambie la mejor estrategia de solución.
Enseguida se detallará el método a través de un
ejemplo.
Sistema de protección de huracanes
Se eligió este sistema porque además de ilustrar el método, puede servir para mejorar las decisiones que deben tomarse en este contexto. Se trata de un ejemplo
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hipotético en donde hay que elegir un sistema que proteja de los huracanes a un puerto pequeño. Este sistema
consiste en la construcción de una barrera protectora.
Se emplearán los cinco pasos.
Paso 1. Se considera que el objetivo del sistema es contar con un sistema de protección ante huracanes lo más
pronto posible, el cual minimice los daños en caso de
tener esos eventos climáticos. Los atributos que miden
el logro de este objetivo son: x1, la duración de la construcción en meses y x2, el daño ocurrido en unidades
monetarias.
Las opciones son dos diseños alternativos a1 y a2. El
primer diseño, a1, protegerá totalmente al puerto y el
tiempo en que puede quedar concluido es de 10, 11 o 12
meses.
El segundo, a2, restringe mucho menos el paso de
los barcos hacia dentro y fuera del puerto, pero permitiría que entraran olas más grandes en el caso de que
llegase un huracán. El funcionamiento de este segundo
diseño depende, en parte, de la intensidad y número de
huracanes que ocurran en la vida útil del proyecto de 50
años. Los eventos son: H0, ningún huracán de intensidad fuerte en los próximos 50 años; H1, un huracán; H2,
dos o más huracanes. Con este diseño el tiempo de
construcción de la barrera protectora puede ser de 5, 6
o 7 meses.
La información anterior queda plasmada en el árbol
de decisiones mostrado en la figura 1.
Paso 2. Se calcularán las probabilidades de los eventos.
Estas probabilidades dependen de la localización del
puerto que se esté analizando.
Como este ejemplo es hipotético supondremos que
ya se realizaron dichos cálculos y se estimó que la probabilidad de no tener ningún huracán es 0.1, la de tener un
huracán es 0.3 y la de tener dos o más huracanes es 0.6.
También, que el diseño a1 tardará en construirse 10
meses con probabilidad 0.3, 11 meses con probabilidad
0.4 y 12 meses con probabilidad 0.3; y protegerá totalmente al puerto sea cual sea el número de huracanes
que ocurran.
El segundo diseño, a2, se construirá en 5 meses con
probabilidad 0.2, 6 meses con probabilidad 0.6 y 7 meses con probabilidad 0.2.
Suponiendo que el tiempo que durará la construcción de la barrera protectora y la ocurrencia de huracanes son eventos probabilísticamente independientes,
entonces la probabilidad del evento conjunto es igual al
producto de las probabilidades.
Paso 3. Se estimarán las consecuencias terminales. Con
el diseño a1, sea cual sea el número de huracanes que
sucedan, no se tendrá ningún daño, ya que la protección es total. Se estima que con el diseño a2, si no hay
ningún huracán obviamente no habrá daños; si ocurre
un huracán los daños estimados son 600; si acontecen
dos o más huracanes los daños estimados son 1800. Recordando que x1 es la duración de la construcción en
Figura 1. Árbol de decisión
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meses y x2 es el daño ocurrido en unidades monetarias,
se forma el vector (x1, x2) que se muestra en los nodos
terminales de la figura 2.
Paso 4. Se calculará la estrategia de solución, para ello
hace falta determinar la función utilidad con atributos
múltiples, x1 y x2, donde el primero varía de 5 a 12, y el
segundo de 0 a 1800. Se supondrá una función utilidad
de tipo aditivo:
u(x1, x2) = k1u1(x1) + k2u2(x2) (1)
donde u, u1 y u2 son funciones utilidad con escalas de
cero a uno, k1, k2 > 0 y k1 + k2 = 1.
Primero, se obtendrán las funciones utilidad de un
sólo atributo, u1(x1) y u2(x2) y después, los valores de k1
y k2. Estas funciones dependen de la estructura de preferencias del decisor que puede ser de neutralidad,
aversión o propensión al riesgo. Para determinar dicha
estructura se le pregunta al decisor su equivalente bajo
certeza de situaciones donde existe incertidumbre, a las
que se les denomina loterías. Se compara el equivalente
bajo certeza con el valor esperado de una lotería. Si el
equivalente es menor que el valor esperado se trata de
un caso de aversión al riesgo porque el decisor está dispuesto a cambiar la lotería por un valor menor a su valor esperado. Si es mayor el decisor tiene propensión al
riesgo, lo que implica que estaría dispuesto a pagar
algo por encima de su valor esperado, y si son iguales
se trata de neutralidad, donde el decisor no tiene miedo
ni es temerario.
Regresando a nuestro ejemplo, la duración de la
construcción en meses, x1, puede variar de 5 a 12. Como
se prefiere una duración menor, entonces u1(5) = 1 y
u1(12) = 0.
Se preguntó al decisor el equivalente bajo certeza de
la lotería donde se tienen como resultados 5 y 12 con la
misma probabilidad de 0.5. Se seleccionó esta lotería
porque es más fácil para el decisor pensar en ella, ya que
representa un volado con una moneda balanceada donde existe la misma posibilidad de salir águila que sol.
Su respuesta fue 8.5, que coincide con el valor esperado de la lotería. Se cambiaron las loterías, tanto en
consecuencias como en probabilidades y siempre los
equivalentes bajo certeza coincidieron con el valor esperado, luego se concluyó que este decisor tiene neutralidad al riesgo en este atributo. Así, su función utilidad,
up(x1) = -x1 (Acosta, 2008) donde esta función es preliminar, ya que no tiene una escala de 0 a 1.
Se conoce que se puede utilizar una función estratégicamente equivalente a up(x1) para que tenga dicha escala. O sea, u1(x1) = a + bup(x1), donde b debe ser mayor
que 0.
Ya que u1(5) = 1 y u1(12) = 0, las ecuaciones de u1(x1)
para dichos valores son:
u1(5) = 1 = a + bup(5)
u1(12) = 0 = a + bup(12)
sustituyendo up(x1) = -x1, quedan las siguientes ecuaciones:
1 = a + b(–5)
0 = a + b(–12)
Al resolver este sistema, se tienen a = 12/7 y b = 1/7; por
lo que u1(x1) = 12/7 – x1/7 = (12 – x1)/7
Se continúa ahora con el daño en unidades monetarias, x2, que puede estar entre 0 y 1800. Como se prefiere
un daño menor, entonces u2(0) = 1 y u2(1800) = 0.
Figura 2. Árbol de decisión
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Se preguntó al decisor el equivalente bajo certeza de
la lotería cuyos resultados son 0 y 1800, cada uno con
una probabilidad de 0.5 Su respuesta fue 1000, más
grande que el valor esperado de la lotería, 900. Se cambiaron las loterías, tanto en consecuencias como en probabilidades, y siempre los equivalentes bajo certeza
fueron mayores que el valor esperado, luego este comportamiento indica que se trata de aversión al riesgo en
este atributo. Se calcularon también las primas de riesgo, como la diferencia de equivalente bajo certeza menos su valor esperado, PR = EBC – VE, para diferentes
valores de capital.
En cada lotería, al variar el capital se mantuvo constante la prima de riesgo. Por tanto, se trata de aversión
constante al riesgo.
Así, su función utilidad, up(x2) = – ecx2 (Acosta, 2008)
donde c debe ser mayor que cero. De nuevo, esta función es preliminar, ya que no tiene una escala de 0 a 1.
Se considera que una función es estratégicamente
equivalente a otra cuando ambas son iguales al adicionarle a una de ellas una constante y se le multiplica por
una constante positiva. En este caso de equivalencia estratégica se puede usar cualquiera de ellas para tomar
una decisión, ya que ambas conducen al mismo resultado. Entonces se usará una función estratégicamente
equivalente a up(x2) que tenga la escala de 0 a 1. Es decir,
u2(x2) = d + fup(x2), donde f > 0.
Para obtener el valor de f, ya que el equivalente bajo
certeza de la lotería [0, 1800; 0.5, 0.5] fue 1000, entonces,
up(1000) = 0.5up(0) + 0.5 up(1800); es decir,
– e1000c = – 0.5e0 – 0.5e1800c ; una ecuación con una sola incógnita.
Resolviendo esta ecuación se obtiene el valor c =
0.00024895. De esta manera, up(x2) = – e0.00024895x 2
Como u2(0) = 1 y u2(1800) = 0, las ecuaciones de u2(x2)
para dichos valores son
Por lo anterior, u2(x2) = 2.7688 – 1.7688e0.00024895x 2 . Al
sustituir u1(x1) y u2(x2) en la ecuación (1), queda
u(x1, x2) = k1(12/7 – x1/7) + k2(2.7688 – 1.7688e0.00024895x 2) (2)
Para tener totalmente definida u(x1, x2) se calcularán k1
y k2.
Primero, se forma la tabla 1 con cuatro columnas cuyos encabezados son: opciones, x1, x2 y u(x1, x2).
En el segundo renglón se deja en blanco la primera
columna y en las dos siguientes se escribe lo peor de los
dos atributos.
La columna 1 con las opciones hipotéticas α y β.
En el tercero, se escribe lo mejor de x1 y lo peor de x2,
a esta opción se le llama α.
En el cuarto, se escribe lo mejor de x2 y lo peor de x1,
a esta opción se le denomina β.
En el último renglón, se escribe lo mejor de los dos.
En la cuarta columna, empleando la ecuación (2), se
calcula la utilidad de cada una de estas opciones.
Tabla 1. Utilidades de opciones hipotéticas
Opciones
x1
x2
u(x1, x2)
12
1800
0
α
5
1800
k1
β
12
0
5
0
k2
k1 + k2 = 1 (3)
Se pide al decisor que compare α y β. Su respuesta fue
que prefiere β sobre α. Entonces, se deberá cumplir que
k2 > k1.
Se graficarán β y α en la figura 3.
u2(0) = 1 = d + fup(0)
u2(1800) = 0 = d + fup(1800)
sustituyendo up(x2) = -e0.00024895x 2, quedan
1 = d + f(– e0)
0 = d + f(– e0.00024895*1800)
Calculando los valores de la exponencial, se obtiene
1=d–f
0 = d – 1.56535087f
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Las
soluciones de este sistema son: d = 2.7688 y f = 1.7688.
Figura 3. Duración y daños
En la figura 3 se ha dibujado el eje de las abscisas de
derecha a izquierda y el de las ordenadas de arriba abajo porque en ambos casos se desea minimizar tanto los
daños como la duración. De esta manera el origen representa la peor situación posible.
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Como β se prefiere sobre α, se pueden ir aumentando los daños en el eje de las ordenadas, hasta que el
decisor sea indiferente entre ese punto y α.
Sea una cantidad de daños igual a 500 la que cumple
con esa condición, (12, 500) es indiferente a α.
Como existe indiferencia, la utilidad de ambos puntos debe ser la misma, es decir, u(12, 500) = u(α). Usando nuevamente la ecuación (1) queda: k1u1(12) +
k2u2(500) = k1.
Puesto que u1(12) = 0 y u2(500) = 0.766, se tiene que
0.766k2 = k1 (4)
Las ecuaciones (3) y (4) constituyen un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas, cuya solución es: k1 =
0.566 y k2 = 0.434, de forma que la ecuación (2) queda
u(x1, x2) = (0.566)(12/7 – x1/7) + (0.434)(2.7688
– 1.7688e0.00024895x 2 )
(5)
Con esta ecuación se evalúan las consecuencias terminales, lo que se muestra a continuación:
u(5, 0) = 0.999
u(5, 600) = 0.875
u(5, 1800) = 0.565
u(6, 0) = 0.918
u(6, 600) = 0.794
u(6, 1800) = 0.484
u(7, 0) = 0.837
Sustituyendo las consecuencias terminales por las utilidades correspondientes en la figura 2 se obtiene la
figura 4.
La utilidad del diseño a1 se calculó como
(0.3)(0.594) + (0.4)(0.513) + (0.3)(0.432) = 0.513, es decir,
la suma de los productos de la utilidad por su probabilidad correspondiente. De igual manera se procedió en
el cálculo de la utilidad del diseño a2, quedando igual a
0.620. Como 0.620 > 0.513, se recomienda emplear el diseño a2.
Paso 5. Análisis de sensibilidad. Se desea conocer cuánto debe ser el tiempo en que debe construirse el diseño
a1 para que sea equivalente al diseño a2.
Son equivalentes cuando
haciendo operaciones
u(x1, x2) = 2.172 – 0.081x1 – 0.768e0.00024895x 2
u(7, 600) = 0.713
u(7, 1800) = 0.403
u(10, 0) = 0.594
u(11, 0) = 0.513
u(12, 0) = 0.432
u(a1) = u(a2).
En u(a1) se dejará como variable el atributo x1.
Empleando la ecuación (10), u(x1, x2) = 2.172 – 0.081x1
– 0.768e0.00024895x 2 se obtiene u(a1) = u(x1, 0) = 1.404 – 0.081x1
y u(a2) = 0.620
Igualando y despejando a x1 se obtiene x1 = (1.404 –
0.620)/0.081 = 9.68 meses.
O sea, que si la duración de la construcción usando
el diseño a1 es menor que esa cantidad la decisión óptima en vez de ser a2 cambia a a1.
Figura 4. Árbol de decisión
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Conclusiones
Se presentó un método para resolver problemas donde
existe incertidumbre y objetivos múltiples. Se tienen
dos personas clave: el decisor y el analista. El analista
hace preguntas relativamente sencillas al decisor y con
sus respuestas, como insumo, obtiene la mejor estrategia de solución.
Este método permite determinar la ponderación de
los atributos sin preguntar de manera directa al decisor,
en cambio, otros métodos sí piden al decisor que dé esa
ponderación, lo cual es difícil.
También se pide al decisor el equivalente bajo certeza de un volado, lo cual es sencillo, y con su respuesta
comparándola con el valor esperado del mismo, el analista determina si el decisor tiene aversión, propensión
o neutralidad al riesgo. Otros métodos, en lugar de ello,
piden al decisor que diga cuál es la forma de su función
utilidad, lo cual es muy difícil para él.
El ejemplo tuvo solamente dos atributos, pero se
puede incrementar el número de éstos sin que aumente la dificultad del método, lo que amplía notablemente su rango de aplicación. Por ejemplo, en la locali-
zación de un aeropuerto se puede considerar además
de minimizar el número de personas desplazadas de
sus hogares por la construcción y maximizar el desarrollo económico de la región, minimizar el número de
personas afectadas por el ruido, la cantidad de daño
en caso de un accidente, tanto material como de personas, maximizar la capacidad tanto en el espacio aéreo
como en tierra, minimizar el tiempo de acceso al aeropuerto, etcétera.
Por lo anterior podemos concluir que con este método aún cuando el analista tiene que trabajar (trabajo
que inclusive se puede programar en computadora) se
facilitan las respuestas del decisor y es posible proporcionarle las mejores estrategias de solución a sus problemas.
Referencias
Acosta-Flores J.J. Teoría de decisiones en el sector público y en la iniciativa privada, México, Alfaomega editores, 1975.
Acosta-Flores J.J. Cómo mejorar su habilidad para tomar decisiones,
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CV, 1999.
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Este artículo se cita:
Citación estilo Chicago
Acosta-Flores, José Jesus. Solución de problemas con incertidumbre y varios objetivos. Ingeniería Investigación y Tecnología, XIV, 02
(2013): 249-255.
Citación estilo ISO 690
Acosta-Flores J.J. Solución de problemas con incertidumbre y varios objetivos. Ingeniería Investigación y Tecnología, volumen XIV
(número 2), abril-junio 2013: 249-255.
Semblanza del autor
José Jesús Acosta-Flores. Es egresado de la Facultad de Ingeniería, UNAM, donde
estudió ingeniería civil. Obtuvo los grados de maestro en ingeniería (planeación) y doctor en ingeniería (investigación de operaciones). Cursó el programa
de estudios de ingeniería avanzada en el Instituto Tecnológico de Massachussets. Es profesor desde 1965 en la UNAM. Fue coordinador del Plan de Desarrollo 1995-2000, subjefe de la División de Estudios de Posgrado, jefe del
Departamento de Ingeniería de Sistemas, miembro del Consejo Interno de
Posgrado, de la Comisión Dictaminadora de la División de Ingeniería Mecánica e Industrial durante dos períodos y de la Comisión Evaluadora de las Primas de Desempeño en la Facultad de Ingeniería. El consejo técnico de dicha
Facultad, le otorgó la Cátedra Especial Javier Barros Sierra en dos ocasiones; y
en 2012 la Cátedra Especial Carlos Ramírez Ulloa. Fue director de tesis de más
de 40 alumnos de licenciatura, maestría y doctorado. Es coautor del libro:
«Métodos de optimización» y autor de “La Teoría de decisiones en el sector
público y en la empresa privada”, “Cómo mejorar su habilidad para tomar
decisiones”, “Planeación integral prospectiva y participativa”, “Ingeniería de
sistemas, métodos probabilistas” y “Análisis de decisiones”, asimismo, coordinador de los libros: “Ingeniería de sistemas: tópicos y ensayos” e “Ingeniería
de sistemas: un enfoque interdisciplinario”.
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