Esfera De Wikipedia, la enciclopedia libre

Esfera
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Para otros usos de este término, véase Esfera (desambiguación).
Una esfera, en geometría, es un cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos
puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. También se denomina
esfera, o superficie esférica, a la conformada por los puntos del espacio tales que la
distancia (llamada radio) a un punto denominado centro, es siempre la misma.
La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie
semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14).
Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar).
Coloquialmente hablado, se emplean palabras como bola, globo (globo terrestre), etc.,
para describir un volumen esférico.
Una de las esferas más perfectas creadas por el ser humano, refractando la imagen de
Albert Einstein. Se aproxima a la esfera ideal con un error menor que el tamaño de
cuarenta átomos alineados.
Contenido
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1 Área y volumen
2 Ecuación cartesiana
3 Secciones
4 Coordenadas sobre la esfera
5 Generalizaciones de la esfera
o 5.1 Esferas en dimensiones superiores
o 5.2 Esferas en otras métricas
o 5.3 Esferas en topología
6 Esferas en física
7 Referencias
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8 Véase también
9 Enlaces externos
Área y volumen [editar]
El área de una superficie esférica de radio r, es:
El volumen de una esfera de radio r, es:
Ecuación cartesiana [editar]
En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclídeo tridimiensional, la
ecuación de la esfera unitaria (de radio 1), con centro en el origen, es:
Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector
normal OM es igual a 1.
Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:
La ecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante el
desdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:
y en el segundo ejemplo:
Secciones [editar]
Sección de una esfera por un plano
La intersección de un plano y una esfera siempre es un círculo. La esfera es el único
volumen que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de
contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de la
intersección).
Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la
esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo.
Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando
el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:
Intersección de esferas
Por otra parte, dos esferas se intersectan si:
y
(son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma
de los otros dos), es decir, si existe un triángulo con lados que midan r, r' y d, donde d
es la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios.
En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las
desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un punto, que equivale a
una circunferencia de radio cero.
En general, el radio es:
el
medio perímetro.
Coordenadas sobre la esfera [editar]
Para localizar un punto de la superficie esférica, las coordenadas cartesianas no son las
más adecuadas, por varias razones: en primer lugar, porque hay tres coordenadas
cartesianas, mientras que la superficie esférica es un espacio bidimensional. En segundo
lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más adecuado que las
coordenadas ortogonales.
Se elige un ecuador y un punto I del mismo como origen de los ángulos horizontales; se
escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo φ; se escoge uno de
los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador –llamados polos, K en la figura–
para definir el signo del ángulo θ.
Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ.
Este resultado es muy intuitivo: con un ángulo sobre el plano horizontal (plano del
ecuador) y otro vertical (hacia un polo) desde el punto I, se puede localizar cualquier
punto de la esfera.
En geometría, normalmente, se expresan estos ángulos en radianes (pues permite
calcular longitudes de arcos de circunferencia), mientras que en geografía se usan los
grados sexagesimales o centesimales: en este caso, θ es la latitud del punto y φ su
longitud si se toma I en el punto del ecuador del meridiano de Greenwich y K en el polo
norte. Las latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y longitudes positivas al
hemisferio Este (véase M en la figura).
Introducir el tercer parámetro r = OM permite localizar cualquier punto del espacio con
las coordenadas esféricas (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un intervalo semi-abierto de
longitud 2π y θ en uno de longitud π, entonces, cualquier punto del espacio tiene
coordenadas esféricas únicas, salvo los del eje vertical (OK) (donde cualquier valor de φ
vale).
Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas (0, I, J, K) vienen
dadas por:
Recíprocamente, a partir de las coordenadas cartesianas, se obtienen las esféricas con
las fórmulas:
Generalizaciones de la esfera [editar]
Esferas en dimensiones superiores [editar]
Se puede generalizar la noción de esfera en espacios vectoriales de dimensiones
superiores a tres. A partir de la cuarta dimensión ya no es representable gráficamente,
pero la definición sigue siendo que la esfera es el conjunto de los puntos equidistantes
de un punto fijo. En un espacio euclídeo de cuatro dimensiones, usando un sistema de
coordenadas cartesianas la ecuación de la esfera de radio 1 centrada en el origen es:
donde t es la cuarta coordenada. Análogamente en un espacio euclídeo de n
dimensiones:
Y para una esfera de radio r, y centro (c1, c2, ..., cn):
El volumen de la esfera contenida en la superficie anterior, en dimensión n se calcula
por inducción sobre n. Aquí están los diez primeros valores de Vn(r) y las superficies
correspondientes:
Dimensión 1
Volumen
Superficie
3
4
5
6
7
8
9
10
3
2 4
2 5 3 6
3 7 4 8
4 9 5 10
4πr π r 8π r π r 16π r π r 32π r π r
2r πr2
3
2
15 6 105 24 945 120
2
2
2πr 4πr2 2π2r3
8π2r4 3 5 16π3r6 π4r7 32π4r8 π5r9
πr
3
15
3 105 12
El volumen de la bola alcanza su máximo en dimensión 5, mientras que la superficie de
la esfera lo alcanza en dimensión 7.
Medici�n del volumen de la esfera
El volumen de una esfera de radio r se obtiene a trav�s de la f�rmula:
Arqu�mides ide� un m�todo simple para determinar el volumen de la esfera.
Imagin� una semiesfera, un cono y un cilindro juntos. Supuso que la esfera ten�a
radio R y tanto el cono como el cilindro con el mismo radio basal R. Tambi�n
supuso que las alturas del cono y el cilindro med�an R como muestra la siguiente
figura:
De estas figuras, son conocidos los vol�menes:
- Del cilindro: radio R y altura R, o sea p�R2�R = p�R3
- Del cono: radio R y altura R, o sea (p�R2�R )/3 = (p�R3)/3
Luego cort� las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro y del cono y
a una distancia d de la parte superior de las figuras. Luego se pregunt� c�mo
ser�an las secciones determinados por este plano en la semiesfera, el cono y el
cilindro:

La secci�n del cilindro
En el cilindro la secci�n que determina el plano es claramente un c�rculo de radio
R y su �rea es:

La secci�n de la semiesfera
En la semiesfera, la secci�n circular que determina el plano que corta a la
semiesfera, tiene un radio r (menor a R ) que depende de la distancia d. La
siguiente figura muestra la situaci�n:
El �rea del c�rculo de radio r, es:
Adem�s, usando el Teorema de Pit�goras, en el tri�ngulo rect�ngulo de lados
R , d y r se cumple que:

La secci�n en el cono
El cono que consider� Arqu�mides, tiene altura y radio basal R, por lo tanto el
tri�ngulo formado por dicho radio basal, la altura y la pared del cono es
rect�ngulo e is�sceles. Por semejanza de tri�ngulos, el circulo que determina el
plano que corta al cono tiene radio d. La siguiente figura lo muestra:
En el cono, la secci�n que determina el plano, es un c�rculo de radio d y su �rea
es:

Juntando las f�rmulas
Hasta ahora sabemos que:
pero de la semiesfera obtuvimos que:
Si en el �rea del cilindro reemplazamos R2 por r2 + d2 entonces tendremos que:
Es decir, la suma de las �reas de las secciones del cono y la semiesfera es igual al
�rea de la secci�n del cilindro.
Esto ocurre para cualquier valor de d, por lo tanto, si consideramos las secciones
(que forma el plano al cortar las figuras) como rebanadas finas, para cada tr�o de
rebanadas tendr�amos que:
Rebanada del cilindro = Rebanada de la semiesfera + Rebanada del cono
De la relaci�n anterior podr�amos suponer entonces que:
Volumen del cilindro = Volumen de la semiesfera + Volumen del cono
y si reemplazamos en esta relaci�n las f�rmulas conocidas del volumen del cono y
el cilindro, entonces es posible determinar el volumen de la semiesfera:
Despejando,
Por lo tanto, el volumen de la esfera es el doble del de la semiesfera: