módulo # 23: sistema de partículas –dinámica del

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO # 23: SISTEMA DE PARTÍCULAS –DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO (II)Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1



Temas
Introducción
Dinámica del movimiento plano de un cuerpo rígido respecto a un marco de referencia inercial
Ejemplos
Introducción
Las relaciones fundamentales de la cantidad de movimiento lineal, la cantidad de movimiento angular y la
energía cinética (teorema TE) para un sistema de partículas, son aplicables al movimiento de un cuerpo
rígido, que es un sistema de partículas con la condición especial de que las distancias entre ellas
permanecen constantes. En el módulo # 21 se mostró que para el caso del teorema TE, el trabajo interno
en un cuerpo rígido es cero. Así, las relaciones fundamentales para el estudio del movimiento de un cuerpo
rígido son,
F=
dP
= Ma CM
dt
τ=
dL
dt
W = ΔK
donde F , τ y W son la fuerza, el torque, el trabajo, externos, totales. Esas relaciones son válidas
respecto a un marco inercial de referencia, con la cantidad de movimiento angular y el torque calculados
respecto al mismo punto fijo en dicho marco. La relación de la cantidad de movimiento angular es también
válida respecto al marco de referencia del centro de masa (que no necesariamente debe ser inercial), con
el torque y la cantidad de movimiento angular evaluados respecto a dicho centro de masa.
En el módulo # 22 se estudió la dinámica de la rotación del cuerpo rígido respecto a un eje fijo. En este
módulo se estudiará la dinámica del movimiento plano de un cuerpo rígido respecto a un marco de
referencia inercial.
Dinámica del movimiento plano de un cuerpo rígido respecto a un marco de referencia inercial
Segunda ley de Newton de traslación:
Para la traslación del cuerpo rígido se analizará el movimiento de su centro de masa,
F = Ma CM
[1]
en donde F corresponde a la fuerza externa neta que actúa sobre el cuerpo rígido.
Segunda ley de Newton de rotación
Sea un cuerpo rígido que se mueve con movimiento plano respecto a un marco inercial de referencia. Como
se analizó en el módulo # 22, este movimiento puede ser analizado como la superposición de una traslación
del centro de masa y una rotación respecto a un eje por el centro de masa y perpendicular al plano del
movimiento. Desde el punto de vista del marco inercial es un eje que se traslada, manteniéndose paralelo a
sí mismo. Desde el punto de vista del marco del centro de masa es un eje fijo que en el caso de ser un eje
de simetría del cuerpo, o bien que el cuerpo esté contenido en un plano, se cumple que,
LS / CM = ICM ω
En donde
[2]
LS / CM , ICM representan respectivamente la cantidad de movimiento angular y el momento de
inercia del cuerpo rígido respecto a un eje que pasa por el CM.
De esta forma la equivalente a la segunda ley de Newton de traslación para el caso de rotación queda,
τCM =
d  ICM ω 
dLS / CM
=
dt
dt
τCM = ICM α
[3]
En el módulo # 21 se demostró que la energía cinética de un sistema de partículas es,
Ks =
1
2
MVCM
 K s / CM
2
Para el caso de un cuerpo rígido,
1
K S / CM = ICM ω2
2
[4]
y por lo tanto la energía cinética total del cuerpo rígido respecto a un marco inercial es,
K=
1
1
2
MVCM
+ ICM ω2
2
2
[5]
2
El primer término de la derecha corresponde a la energía cinética de traslación y el segundo a la energía
cinética de rotación.
Ejemplos
Ejemplo 1
Estudiar el movimiento de rodadura por un plano inclinado de los siguientes cuerpos (sólidos de revolución)
de radio R y masa M, Figura 1:




aro, cilindro hueco,
disco, cilindro macizo,
esfera hueca,
esfera maciza.
Figura 1
Solución:
En la Figura 1 se ilustra la situación física, el sistema de coordenadas elegido y el diagrama de fuerzas
sobre el cuerpo. El marco de referencia inercial es el mismo plano.
Aplicando las leyes de Newton,
 Fx = MaCM  - f + mgsenφ = MaCM

F
y
= 0  - N + mgcosφ = 0
  τCM = ICMα  f R = ICMα
(1)
(2)
(3)
3
Sea la aceleración del centro de masa igual a
a , a CM = a .
De la cinemática, debido a que hay rodamiento
sin deslizamiento (el punto de contacto con el plano es un centro instantáneo de rotación y se encuentra en
reposo respecto a éste), Figura 2, se cumple que la aceleración del centro de masa es igual a,
a CM = a = αR
(4)
4
Figura 2
De las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se obtiene,
a=
f=
Mg senφ
I
M + CM2
R
Mg ICM senφ
MR 2 + ICM
(5)
(6)
Caso crítico:
Si el ángulo del plano inclinado aumenta, llegará el instante en que comience a deslizar el cuerpo y no ruede.
En esta situación la fuerza de fricción estática cumple,
fmax = μs N = μs Mg cosφ
Es decir, pata que haya rodamiento sin deslizar debe cumplirse la siguiente condición,
f  fmax
Por lo tanto,
Mg ICM senφ
 μ s Mg cosφ
MR 2 + ICM
 MR 2 + ICM 
tanφ  μ s 

ICM


(7)
Los momentos de inercia respecto a un eje que pasa por el CM de los cuerpos rígidos
analizando son,

Aro, cilindro hueco:

Disco, cilindro macizo:

Esfera hueca:

Esfera maciza:
que se están
ICM = MR 2
1
ICM = MR 2
2
2
ICM = MR 2
3
2
ICM = MR 2
5
5
Reemplazando estos momentos de inercia en las ecuaciones (5), (6) y en la inecuación (7) se obtiene la
tabla 1.
Tabla 1
Aro, cilindro hueco
Disco, cilindro macizo
Esfera hueca
1
a=
g senφ
2
1
f=
m g senφ
2
2
a=
g senφ
3
1
f = m g senφ
3
tan φ  2μs
tan φ  3μs
3
a = g senφ
5
2
f=
m g senφ
5
5
tan φ  μ s
2
Esfera maciza
a=
5
g senφ
7
2
m g senφ
7
7
tan φ  μ s
2
f=
Recordar que en el caso de un cuerpo que solo desliza por un plano inclinado (partícula) y despreciando la
fuerza de fricción,
a = g senφ
Además si se considera la fuerza de fricción el cuerpo (partícula) en movimiento inminente cumple que,
tan φ  μs
Ejemplo 2
El cilindro macizo de masa M y radio R, Figura 3, desciende al irse desenrollando de la cuerda. Encontrar la
aceleración con la cual desciende (aceleración del centro de masa) y la velocidad (del centro de masa)
cuando ha descendido una distancia h.
6
Figura 3
Solución:
En la Figura 3 se ilustra la situación física, el sistema de coordenadas elegido y el diagrama de fuerzas
sobre el cuerpo. El marco de referencia inercial es el techo que está fijo a la Tierra.
Aplicando las leyes de Newton,

F
y
τ
CM
= Ma CM  mg - T = Ma CM
(1)
= ICMα  T R = ICMα
(2)
Sea la aceleración del centro de masa igual a
a , a CM = a .
De la cinemática, debido a que hay rodamiento
sin deslizamiento (el punto de contacto con la cuerda, Q, es un centro instantáneo de rotación y se
encuentra en reposo respecto a la cuerda), Figura 3, se cumple que la aceleración del centro de masa es
igual a,
a CM = a = αR
(3)
Adicionalmente,
ICM =
1
MR 2
2
De las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se obtiene,
a=
2
g
3
Esta aceleración es menor que en “caída libre” en donde es g.
(4)
Para calcular la velocidad de descenso se puede recurrir a la cinemática, teniendo en cuenta que el centro
de masa desciende con aceleración constante y rectilíneamente (MUV),
Vy2 = Voy2 + 2a  y - yo 
Pero, Voy
Vy =
= 0 , y - yo = h , a =
2
g,
3
7
4
gh
3
Este último cálculo también se hubiera podido realizar aplicando el teorema TE,
Wexternas = ΔK
Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido son la tensión T y el peso P. La tensión T no realiza trabajo
ya que el punto de aplicación de ésta es un punto que se encuentra permanentemente en reposo respecto al
marco de referencia inercial. El peso es una fuerza conservativa, por lo tanto la ecuación anterior se
convierte en la ecuación de conservación de la energía mecánica,
UA + K A = U B + K B
Pero
KA = 0 y UB = 0 ,
mgh =
1
1
2
MVCM
+ ICM ω2
2
2
Adicionalmente debido a que hay rodamiento sin deslizamiento, VCM
VCM =
= ωR , por lo tanto,
4
gh
3
Ejemplo 3
La famosa carrera: una esfera maciza, una esfera hueca, un cilindro macizo y un aro todos de igual masa M
y radio R se sueltan simultáneamente desde un plano inclinado y desde la misma posición, Figura 4. Si
ruedan sin deslizar, ¿cuál es el orden de llegada a la base del plano?
8
Figura 4
Solución:
En la Figura 3 se ilustra la situación física, el sistema de coordenadas elegido y el diagrama de fuerzas
sobre el cuerpo. El marco de referencia inercial es el mismo plano. La fuerza de rozamiento por
rodamiento sin deslizamiento NO realiza trabajo y el trabajo realizado por la fuerza de gravedad es
igual a menos el cambio de la energía potencial asociada,
Wexternas = ΔK
Wfriccion + Wpeso = ΔK
Wpeso = ΔK
- ΔU = ΔK
UA - UB = K B - K A
UA + K A  UB + K B
Pero,
KA = 0 y UB = 0
Por lo tanto,
Mgh =
1
1
2
MVCM
+ I CM ω2
2
2
Adicionalmente debido a que hay rodamiento sin deslizamiento, VCM
obtiene,
= ωR . Si se define ICM = C MR 2 , se
2gh
1+C
VCM =
Aquí hay algo sorprendente: la velocidad de llegada es independiente del radio y de la masa de los cuerpos
rodantes y si depende de la forma de estos: todos los cilindros macizos llegan iguales, todas las esferas
macizas llegan iguales, todas las esferas huecas llegan iguales y todos los anillos llegan iguales.
El valor de C varía entre 0 y 1. Vale 0 para una partícula y 1 para un aro:




Esfera maciza: C=0,4.
Esfera hueca: C=0,6.
Cilindro macizo: C=0.5
Aro: C=1
El orden de llegada es: Esfera maciza, cilindro macizo, esfera hueca, anillo.
Ejemplo 4:
Una canica sólida uniforme de radio r parte del reposo con su centro de masa a una altura h sobre el punto
más bajo de una pista con un rizo de radio R. La canica rueda sin resbalar, Figura 5. ¿Qué valor mínimo
debe tener h para que la canica no se salga de pista en la parte superior del rizo? (Nota: r no es
despreciable en comparación con R.)
Figura 5
Solución:
En la Figura 5 se ilustra la situación física, el sistema de coordenadas elegido y el diagrama de fuerzas
sobre el cuerpo. El marco de referencia inercial es el piso. La fuerza de rozamiento por rodamiento sin
deslizamiento no realiza trabajo, la fuerza normal tampoco realiza trabajo y el trabajo realizado por la
fuerza de gravedad es igual a menos el cambio de la energía potencial asociada,
Wexternas = ΔK
9
Wfriccion + Wnormal + Wpeso = ΔK
Wpeso = ΔK
- ΔU = ΔK
10
UA - UB = K B - K A
UA + K A  UB + K B
Pero,
KA = 0 , en B h' = R -  R - r  cosφ
1
1
2
Mgh = Mg  R -  R - r  cos φ  + MVCM
+ ICM ω2
2
2
Como la esfera rueda sin deslizar, Vcm=wr, y como Icm=(2/5)MR2 se obtiene,
1 2
1 2
gh = g  R -  R - r  cos φ  + VCM
+ VCM
2
5
7 2
gh = g  R -  R - r  cos φ  +
VCM
10
(1)
Aplicando la segunda ley de Newton para el CM en dirección normal se obtiene,
 FN = Ma N  N - mgcosφ =
2
MVCM
R - r
(2)
Para calcular la altura mínima h min para que cuando llegue la canica al punto C logre completar el rizo se
hace N=0 en =, quedando las ecuaciones (1) y (2),
gh min = g  2R - r  +
7 2
VCM
10
2
VCM
 g R - r 
De las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,
h min = 2,7R - 1,7r
(3)
(4)
Taller
1.
Una bolita de radio r , inicialmente en reposo en el punto más alto de una gran semiesfera fija de radio
R , Figura 6, comienza a rodar sin deslizamiento por la superficie de la esfera. Determinar el ángulo
desde el polo de la semiesfera hasta el punto donde la bolita pierde el contacto con aquella.
Rp. 54o
Ayuda: Aplicar la conservación de la energía mecánica para el cuerpo rígido.
Figura 6
Pendientes otros cuatro ejercicios
FIN.
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