Teorema del seno

Demostración del teorema del seno:
Por definición de las razones trigonométricas, h= a senB, luego b senA = a senB de donde se obtiene:
a=b
sen A sen B
C se obtiene de la misma manera que las otras, pero considerando otra de las alturas.
De tal modo que siempre se cumple:
a= b= c
sen A sen B sen C
Estas tres igualdades relacionan 6 datos y nos ayudan a resolver el triángulo. Se demuestra que son igualdades
de la siguiente manera:
A vale 60.07° a vale 8cm
B vale 68.79° b vale 8.60cm
C vale 51.13° c vale 7.18cm
De tal modo que si divido:
a=
8 = 8 = 10.307
sen A sen 50.90° 0.7761
b=
10 = 10 = 10.307
sen B sen 75.96° 0.970
c=
8.24 = 8.24 = 10.307
sen C sen 53.13° 0.8
Como podemos observar, nos da el mismo resultado en los tres casos, y es así como demostramos que se
cumple esta igualdad.
Ejemplo: problema resuelto
Tenemos un triángulo en el cual conocemos: A: 30°; B: 100°; c: 5cm. Y debemos calcular las medidas
restantes.
Como A + B + C = 180°, C = 180 − 30 −100 = 50°
Para el cálculo de las longitudes utilizamos el teorema del seno:
1
a=
c
sen A sen C
a = c senA = 5 sen30° = 2.5 = 3.26
sen C sen 50° 0.76
y b se calcula igual:
b=
c
sen B sen C
b = c senB = 5 sen100° = 4.92 = 6.42
sen C sen 50° 0.76
De tal modo que ya tenemos todos los datos.
Problemas propuestos:
• Resolver un triángulo que mida :
a = 4.5 cm
B = 30°
C = 78°
Solución:
A = 72°
b = 27.75 cm
c = 4.63 cm
• Un carpintero quiere construir una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m otro 1.5m y el ángulo
opuesto al primero debe ser de 40°. Halla el resto de las medidas para que el carpintero pueda construirlo.
Solución:
A = 112.97°
B = 40°
C = 27.03°
a = 3m
b = 2m
2
c = 1.5m
3