Modelo: Y = β1 + β2 X + u Hipótesis nula: Hipótesis alternativa

CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Modelo:
Y = !1 + !2X + u
Hipótesis nula:
Hipótesis alternativa
H 1 : ! 2 ! ! 20
Ejemplo de modelo:
p = !1 + !2w + u
Hipótesis nula:
Hipótesis alternativa:
H 1 : ! 2 ! 1 .0
Como ilustración, consideremos un modelo que relacione la inflación en precios con la
inflación en salarios. p es la tasa de crecimiento de los precios y w es la tasa de
1
crecimiento de los salarios.
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad de b2
Distribución de b2 si la hipótesis nula H0: !2
=1.0 es cierta (suponemos que conocemos
la desviación típica y que ésta es igual a 0.1)
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
Si la hipótesis nula es cierta, el estimador b2 tendrá una distribución con media 1.0. Para
dibujar la distribución debemos conocer su desviación típica.
2
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
Distribución de b2 si la hipótesis nula H0: !2
=!20 es cierta (la desviación típica se
considera conocida)
!20-4sd !20-3sd !20-2sd !20-sd
!20
!20+sd !20+2sd !20+3sd !20+4sd
b2
Esta sería la distribución de b2 para el caso general. En lo que sigue suponemos que
conocemos la desviación típica (sd=standard deviation).
3
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
Distribución de b2 si la hipótesis nula H0: !2
=1.0 es cierta (suponemos que conocemos
la desviación típica y que ésta es igual a 0.1)
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
Supongamos que tenemos una muestra de datos para estimar el modelo de inflación de
precios frente a la inflación de salarios y que la estimación del coeficiente de pendiente, b2,
es 0.9. Sería este resultado una evidencia suficiente en contra de la hipótesis nula !2 =41.0?
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
Distribución de b2 si la hipótesis nula H0: !2
=1.0 es cierta (suponemos que conocemos
la desviación típica y que ésta es igual a 0.1)
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
¡NO LO ES! Es cierto que la estimación es inferior a 1.0 pero, debido a que existe el término
de perturbación en el modelo, nosotros no podríamos esperar una estimación exactamente
5
igual a 1.0.
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
Distribución de b2 si la hipótesis nula H0: !2
=1.0 es cierta (suponemos que conocemos
la desviación típica y que ésta es igual a 0.1)
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
Si la hipótesis nula fuese cierta, las estimaciones no deberían estar lejos de 1.0. De modo
que no parece existir conflicto entre la estimación y lo que proponemos en la hipótesis
6
nula.
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
!20-4sd !20-3sd !20-2sd !20-sd
!20
!20+sd !20+2sd !20+3sd !20+4sd
b2
En el caso general, el resultado equivale a haber obtenido una estimación que esté
solamente una desviación típica por debajo del valor hipotético.
7
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
!20-4sd !20-3sd !20-2sd !20-sd
!20
!20+sd !20+2sd !20+3sd !20+4sd
b2
Si la hipótesis nula fuese cierta, la probabilidad de obtener una estimación una desviación
típica (o más) por encima o por debajo del valor medio es 31.7%.
8
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
Distribución de b2 si la hipótesis nula H0: !2
=1.0 es cierta (suponemos que conocemos
la desviación típica y que ésta es igual a 0.1)
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
Ahora supongamos que en el modelo de inflación de precios/inflación de salarios,
obtuviésemos una estimación de 1.4. Este resultado claramente entra en conflicto con la
9
hipótesis nula.
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
!20-4sd !20-3sd !20-2sd !20-sd
!20
!20+sd !20+2sd !20+3sd !20+4sd
b2
1.4 está cuatro desviaciones típicas por encima del valor hipotético y la probabilidad de
obtener una estimación más extrema que ésta es sólo del 0.006%. En este caso,
10
rechazaríamos la hipótesis nula.
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
Distribución de b2 si la hipótesis nula H0: !2
=1.0 es cierta (suponemos que conocemos
la desviación típica y que ésta es igual a 0.1)
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
Supongamos que ahora obtemos una estimación igual a 0.77. Este es un resultado
complicado para emitir un juicio sobre la hipótesis nula.
11
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
!20-4sd !20-3sd !20-2sd !20-sd
!20
!20+sd !20+2sd !20+3sd !20+4sd
b2
Si la hipótesis nula fuese cierta, la estimación obtenida estaría entre 2 y 3 desviaciones
típicas por debajo de la media.
12
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
Distribución de b2 si la hipótesis nula H0: !2
=1.0 es cierta (suponemos que conocemos
la desviación típica y que ésta es igual a 0.1)
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
Existen dos posibilidades. La primera es que la hipótesis nula sea cierta y simplemente
hayamos obtenido una estimación anormal (mala suerte con la muestra).
La otra posibilidad es que la hipótesis nula sea falsa. Es decir, la tasa de inflación en
13
precios no es igual a la tasa de inflación en salarios.
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
Distribución de b2 si la hipótesis nula H0: !2
0
=!20 es cierta
(la desviación típica se
considera conocida)
!20-4sd !20-3sd !20-2sd !20-sd
!20
!20+sd !20+2sd !20+3sd !20+4sd
b2
El procedimiento habitual para tomar decisiones consiste en rechazar la hipótesis nula si
implica que la probabilidad de obtener una estimación tan extrema como la que se ha
obtenido es menor que alguna probabilidad pequeña p.
Por ejemplo, podríamos decidir rechazar la hipótesis nula si ello implicase que la
14
probabilidad de obtener un valor tan extremo como el obtenido fuese menor que 0.05 (5%).
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
Distribución de b2 si la hipótesis nula H0: !2
0
=!2 es cierta
(la desviación típica se
considera conocida)
2.5%
2.5%
!20-4sd !20-3sd !20-2sd !20-sd
!20
!20+sd !20+2sd !20+3sd !20+4sd
b2
De acuerdo con esta regla de decisión, rechazaríamos la hipótesis nula si la estimación
cayese dentro de las colas superior e inferior que acumulan el 2.5% de la probabilidad.
Si aplicamos esta regla decisión al ejemplo de la inflación precios/inflación salarios, la
15
primera estimación de !2 no nos conduciría al rechazo de la hipótesis nula.
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
Distribución de b2 si la hipótesis nula H0: !2
=!2 es cierta (la desviación típica se
considera conocida)
2.5%
0.6
0.7
2.5%
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
La segunda sí conduciría al rechazo.
16
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Función de densidad
de probabilidad b2
Distribución de b2 si la hipótesis nula H0: !2
0
=!2 es cierta
(la desviación típica se
considera conocida)
2.5%
!20-1.96sd !20-sd
2.5%
!20
!20+sd !20+1.96sd
b2
Las colas que acumulan el 2.5% de probabilidad en una distribución normal siempre
comienzan a 1.96 desviaciones típicas de su media.
17
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Regla de decisión (nivel de significación 5%):
Rechazo
Función de densidad
(1) si
(2) si
de probabilidad b2
(1) si
(2) si
(1) si
(2) si
2.5%
!20-1.96sd !20-sd
2.5%
!20
!20+sd !20+1.96sd
b2
Rechazaríamos H0 si la diferencia, expresada en términos de desviaciones típicas, fuese
mayor que 1.96 en valor absoluto.
18
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Regla de decisión (nivel de significación 5%):
Rechazo
Función de densidad
(1) si
(2) si
de probabilidad b2
(1) si z > 1.96
(2) si z < -1.96
Región de aceptación para b2:
2.5%
2.5%
!20-1.96sd !20-sd
!20
b2
!20+sd !20+1.96sd
Los valores de z que definen la región de aceptación son 1.96 y -1.96 (para un nivel de
significación del 5%).
19
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Regla de decisión (nivel de significación 5%):
Rechazo
Función de densidad
(1) si
(2) si
de probabilidad b2
2.5%
0.6
0.7
2.5%
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
Veamos la regla de decisión en el ejemplo de inflación de precios/inflación de salarios. La
hipótesis nula es que el coeficiente de pendiente es igual a 1.0.
20
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Regla de decisión (nivel de significación 5%):
Rechazo
Función de densidad
(1) si
(2) si
de probabilidad b2
(1) si
(2) si
(1) si
(2) si
Región de aceptación para b2:
2.5%
0.6
0.7
2.5%
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
La región de aceptación para b2 es el intervalo 0.804 a 1.196. Una estimación muestral que
caiga en este rango no conducirá a un rechazo de la hipótesis nula.
21
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Error Tipo I: rechazar H0 cuando es cierta
Probabilidad de error Tipo I: en este caso es el 5%
Función de densidad
El nivel de significación del contraste es el 5 %
de probabilidad b2
Rechazo
Rechazo
Región de aceptación
2.5%
!20-1.96sd !20-sd
2.5%
!20
!20+sd !20+1.96sd
b2
El nivel de significación de un contraste se define como la probabilidad de cometer un error
de Tipo I si la hipótesis nula es cierta.
22
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Regla de decisión (nivel de significación 1%):
Rechazo
Función de densidad
(1) si
(2) si
de probabilidad b2
(1) si z > 2.58
(2) si z < -2.58
Región de aceptación para b2:
0.5%
0.5%
!20-2.58sd
!20-sd
!20
!20+sd
b2
!20+2.58sd
Las colas que acumulan el 0.5% de la probabilidad de una distribución normal comienzan a
2.58 desviaciones típicas de la media, de manera que ahora rechazamos la hipótesis nula si
23
el valor del estadístico z es mayor que 2.58 en valor absoluto.
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Regla de decisión (nivel de significación 1%):
Rechazo
Función de densidad
(1) si
(2) si
de probabilidad b2
(1) si
(2) si
(1) si
(2) si
Región de aceptación para b2:
0.5%
0.6
0.7
0.5%
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
La región de aceptación para b2 es el intervalo entre 0.742 y 1.258. Puesto que es más
amplio que el correspondiente al contraste al nivel de significación del 5%, existe un riesgo
24
menor de cometer un error Tipo I, si la hipótesis nula es cierta.
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Comparación de regiones de aceptación al 5% y 1%
Función de densidad 5%:
de probabilidad b2
1%:
-1.96 < z < 1.96
-2.58 < z < 2.58
nivel 1%
nivel 5%
0.5%
0.5%
!20-4sd !20-3sd !20-2sd !20-sd
!20
!20+sd !20+2sd !20+3sd !20+4sd
b2
Este diagrama compara los procesos de decisión para contrastes al 5% y 1%. Notar que si
se rechaza H0 al 1%, debe rechazarse también al 5%.
25
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Comparación de regiones de aceptación al 5% y 1%
Función de densidad 5%:
de probabilidad b2
1%:
-1.96 < z < 1.96
-2.58 < z < 2.58
nivel 1%
nivel 5%
0.5%
!20-4sd !20-3sd !20-2sd !20-sd
0.5%
!20
!20+sd !20+2sd !20+3sd !20+4sd
b2
Notar también que si b2 cae dentro de la región de aceptación del contraste al 5%, también
debe caer dentro de la región de aceptación al 1%.
26
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Caso general
Decisión
Rechazo H0 al 1% (y también al 5%)
Rechazo H0 al 5% pero no al 1%
No rechazo H0 al 5% (ni al 1%)
Rechazo H0 al 5% pero no al 1%
Ejemplo: Inflación
precios/inflación
salarios
1.258
1.196
1.000
0.804
0.742
Rechazo H0 al 1% (y también al 5%)
El diagrama resume las decisiones posibles en contrastes realizados para niveles de
significación del 5% y del 1%, en el caso general, y en el ejemplo de inflación de precios/
27
salarios.
CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN
Caso general
Decisión
Rechazo H0 al 1% (y también al 5%)
Rechazo H0 al 5% pero no al 1%
No rechazo H0 al 5% (ni al 1%)
Rechazo H0 al 5% pero no al 1%
Ejemplo: Inflación
precios/inflación
salarios
1.258
1.196
1.000
0.804
0.742
Rechazo H0 al 1% (y también al 5%)
Deberías ofrecer los resultados de ambos contrastes sólo si rechazas a un nivel de
significación del 5%, pero no a un nivel del 1%.
28
ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II
distribución hipotética
bajo
región de aceptación de b2
5% nivel
2.5%
2.5%
!20-1.96sd !20-sd
!20
b2
!20+sd !20+1.96sd
Hemos definido error de Tipo I como el rechazo de la hipótesis nula cuando es cierta.
En el contraste de hipótesis, también existe la posibilidad de no rechazar la hipótesis nula
cuando es falsa. Esto se conoce como error de Tipo II.
Aquí demostraremos que existe un intercambio o trade-off entre el riesgo de cometer un
29
error de Tipo I y el riesgo de cometer un error Tipo II.
ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II
distribución hipotética
bajo
región de aceptación de b2
1% nivel
5% nivel
0.5%
!20-2.58sd
0.5%
!20-sd
!20
!20+sd
!20+2.58sd
b2
El gráfico muestra las regiones de aceptación y rechazo para un contraste a un nivel de
significación del 5%. El riesgo de cometer un error Tipo I, si la hipótesis nula es cierta, es
del 5%.
Si realizamos el contraste a un nivel de significación del 1%, el riesgo de cometer un error
de Tipo I se reduce al 1%, si la hipótesis nula es cierta.
30
ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II
distribución hipotética
bajo
región de aceptación de b2
1% nivel
5% nivel
0.5%
0.5%
!20-2.58sd
!20-sd
!20
!20+sd
b2
!20+2.58sd
¿Cuáles son las implicaciones de la elección del nivel de significación si la hipótesis nula
es falsa?
El gráfico explica cómo se toman las decisiones, pero no presenta la verdadera distribución
de b2 si la hipótesis nula es falsa.
31
ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II
distribución hipotética
bajo
región de aceptación de b2
1% nivel
distribución bajo
5% nivel
0.5%
0.5%
!20
!21-2sd !21-sd
!21
!21+sd !21+2sd
b2
Supongamos que H1: !2 = !21 es cierta y, por tanto, la distribución de b2 es la curva que se
presenta en la parte derecha.
Si tuviésemos datos para estimar la regresión, la estimación de b2 sería la que se muestra.
En este caso, tomaríamos la decisión correcta y rechazaríamos H0, independientemente del
32
nivel de significación que se adoptase.
ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II
distribución hipotética
bajo
región de aceptación de b2
1% nivel
distribución bajo
5% nivel
0.5%
0.5%
!20
!21-2sd !21-sd
!21
!21+sd !21+2sd
b2
Aquí tenemos otra estimación (suponemos que hemos conseguido una muestra distinta a
la anterior). De nuevo, la decisión correcta sería rechazar la hipótesis nula, tanto para un
33
nivel de significación del 5% como del 1%.
ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II
distribución hipotética
bajo
región de aceptación de b2
1% nivel
distribución bajo
5% nivel
0.5%
0.5%
!20
!21-2sd !21-sd
!21
!21+sd !21+2sd
b2
En el caso que se muestra ahora, cometeríamos un error de Tipo II y no rechazaríamos la
hipótesis nula para esos niveles de significación.
34
ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II
distribución hipotética
bajo
región de aceptación de b2
1% nivel
distribución bajo
5% nivel
0.5%
0.5%
!20
!21-2sd !21-sd
!21
!21+sd !21+2sd
b2
Pero, en el caso de esta estimación, podríamos tomar la decisión correcta si realizamos el
contraste a un nivel de significación del 5%, mientras que cometeríamos un error Tipo II si
35
utilizásemos un nivel de significación del 1%.
ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II
distribución hipotética
bajo
región de aceptación de b2
1% nivel
distribución bajo
5% nivel
0.5%
0.5%
!20
!21-2sd !21-sd
!21
!21+sd !21+2sd
b2
La probabilidad de cometer un error de Tipo II si realizamos el contraste al nivel del 1%
viene dado por la probablidad de que b2 caiga dentro de la región de aceptación para ese
36
nivel de significación, es decir, el intervalo entre las líneas rojas punteadas.
ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II
distribución hipotética
bajo
región de aceptación de b2
1% nivel
distribución bajo
5% nivel
0.5%
0.5%
!20
!21-2sd !21-sd
!21
!21+sd !21+2sd
b2
Dado que H1 es cierto, la probabilidad de que b2 caiga en la región de aceptación es el área
sombreada que corresponde a la distribución bajo H1.
37
ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II
distribución hipotética
bajo
región de aceptación de b2
1% nivel
distribución bajo
5% nivel
0.5%
0.5%
!20
!21-2sd !21-sd
!21
!21+sd !21+2sd
b2
Si realizásemos el contraste a un nivel de significación del 5%, la probabilidad de cometer
error Tipo II si H1 es cierta, viene dada por el área que está bajo la distribución
correspondiente a H1, dentro de la región de aceptación a ese nivel de significación.
Es el área gris del gráfico. En este caso particular, si realizásemos el contraste al 5% en vez
de al 1%, el riesgo de cometer error Tipo II se reduciría casi a la mitad.
38
ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II
distribución hipotética
bajo
región de aceptación de b2
1% nivel
distribución bajo
5% nivel
0.5%
0.5%
!20
!21-2sd !21-sd
!21
!21+sd !21+2sd
b2
El problema es, por supuesto, que nunca sabemos si H0 es cierta o falsa. Si lo supiéramos,
¿para qué ibamos a hacer contrastes?
39
ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II
distribución hipotética
bajo
región de aceptación de b2
1% nivel
distribución bajo
5% nivel
0.5%
0.5%
!20
!21-2sd !21-sd
!21
!21+sd !21+2sd
b2
Recapitulemos: si H0 fuese cierta, realizar el contraste a un nivel de significación del 1% en
vez de al 5%, reduciría enormemente el riesgo de cometer un error Tipo I (no cometeríamos
error Tipo II).
...sin embargo, si H0 fuese falsa, realizar el contraste a un nivel de significación del 1% en
vez de al 5% aumentaría el riesgo de cometer un error Tipo II (en este caso no podríamos
40
cometer error Tipo I).
CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN
s.d. de b2 conocida
s.d. de b2 desconocida
Discrepancia entre el valor
hipotético y la estimación
muestral, en términos de s.d:
Discrepancia entre el valor
hipotético y la estimación
muestral, en términos de s.e.:
Nivel de significación 5%:
Nivel de significación 5%:
rechazo H0: !2 = !20 si
rechazo H0: !2 = !20 si
z > 1.96 o z < -1.96
t > tcrit o t < -tcrit
La clave está en observar el valor crítico de la distribución t, y si el valor del estadístico t en
nuestra muestra es mayor (en valor absoluto) que dicho valor crítico, rechazamos la
41
hipótesis nula. Y si es menor (en valor absoluto) no la rechazamos.
CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN
normal
t, 10 g.l.
Este es el gráfico corespondiente a una distribución normal con media 0 y varianza 1.
También tenemos una distribución t con 10 grados de libertad (enseguida definiremos este
concepto).
Cuando el número de grados de libertad es grande, la distribución t se parece mucho a la
distribución normal (y confome los grados de libertad siguen aumentando, la t converge
42 a
la normal).
CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN
normal
t, 10 g.l.
t, 5 g.l.
Si son tan parecidas, ¿por qué utilizar una distribución t en vez de una normal como
referencia? ¿Pasaría algo si nosotros utilizásemos los valores críticos de la normal, es
decir, el 1.96 para un nivel de significación del 5 %, y el 2.58 para un nivel del 1%?
La respuesta es que sí hay diferencia. Aunque las distribuciones se parecen, la distribución
t tiene colas más largas que la normal y esta diferencia es tanto mayor, cuanto más
pequeño sea el número de grados de libertad.
43
CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN
normal
t, 10 g.l.
t, 5 g.l.
Por tanto, la probabilidad de obtener un valor elevado del estadístico es mayor con una
distribución t que con una distribución normal.
Esto significa que las regiones de rechazo tienen que empezar a más desviaciones típicas
de distancia respecto a 0, en el caso de la distribución t.
44
CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN
normal
t, 10 g.l.
t, 5 g.l.
-2.33
La cola del 2.5% de probabilidad de una distribución normal comienza a 1.96 desviaciones
típicas de su media.
Y la cola del 2.5% de probabilidad de una distribución t con 10 grados de libertad comienza
a 2.33 desviaciones típicas de su media.
45
CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN
Distribución t: valores críticos
Grados de
libertad
1
2
3
4
5
…
…
18
19
20
…
…
120
Dos colas
Una cola
10%
5%
5%
2.5%
2%
1%
1%
0.5%
0.2%
0.1%
0.1%
0.05%
6.314 12.706 31.821 63.657 318.31 636.62
2.920 4.303 6.965 9.925 22.327 31.598
2.353 3.182 4.541 5.841 10.214 12.924
2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.610
2.015 2.571 3.365 4.032 5.893 6.869
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1.734 2.101 2.552 2.878 3.610 3.922
1.729 2.093 2.539 2.861 3.579 3.883
1.725 2.086 2.528 2.845 3.552 3.850
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1.658 1.980 2.358 2.617 3.160 3.373
1.645 1.960 2.326 2.576 3.090 3.291
Por esta razón, necesitamos mirar la tabla de valores críticos de la t cuando realizamos
contrastes de significación sobre los coeficientes de la regresión.
Grados de libertad = nº de observaciones – nº de parámetros estimados.
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CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN
s.d. de b2 conocida
Discrepancia entre el valor
hipotético y la estimación
muestral, en términos de s.d:
Nivel de significación 5%:
rechazo H0: !2 = !20 si
z > 1.96 o z < -1.96
s.d. de b2 desconocida
Discrepancia entre el valor
hipotético y la estimación
muestral, en términos de s.e.:
Nivel de significación 5%:
rechazo H0: !2 = !20 si
t > 2.101 o t < -2.101
Volviendo al resumen del procedimiento de contrastación de hipótesis, si realizamos el
contraste a un nivel de significación del 5%, deberíamos rechazar la hipótesis nula si el
valor absoluto de t fuese mayor que 2.101.
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CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN
s.d. de b2 conocida
Discrepancia entre el valor
hipotético y la estimación
muestral, en términos de s.d:
Nivel de significación 5%:
rechazo H0: !2 = !20 si
z
> 1.96 o
z
< -1.96
s.d. de b2 desconocida
Discrepancia entre el valor
hipotético y la estimación
muestral, en términos de s.e.:
Nivel de significación 1%:
rechazo H0: !2 = !20 si
t > 2.878 o t < -2.878
Si quisiésemos hacer el contraste a un nivel de significación del 1%, el valor crítico de la
distribución t sería 2.878. Por tanto, en este caso…
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