Transformada Z inversa. Resumen de la teor´ıa de residuos para la

Transformada Z inversa. Resumen de la teorı́a
de residuos para la evaluación de integrales
Carlos H. Muravchik
Cátedra de Señales y Sistemas
Febrero-Julio 2006
1.
Introducción
La teorı́a de residuos es una importante herramienta que permite la simple y rápida evaluación de ciertas integrales del campo complejo. Se presenta un corto resumen con los hechos
básicos necesarios principalmente para el cálculo de las inversas de las transformadas operacionales como la de Laplace y Z. Se pueden hallar desarrollos completos en libros como [1], [2],
[3]. Este resumen está estructurado según uno similar en [4].
Repasaremos brevemente las ideas de series de Laurent y residuos. Luego veremos un teorema de Cauchy que es clave para nuestros propósitos. Finalmente se presentan algunos ejemplos.
2.
Series de Laurent y singularidades
Consideremos una función compleja F (z) de la variable compleja z ∈ C, analı́tica en el
anillo centrado en a, R1 < |z − a| < R2 para R1 < R2 , ambos reales. El siguiente teorema
atribuı́do a Laurent, muestra que una función como esta F (z) puede expandirse en una serie de
potencias positivas y negativas de z − a. Esta serie es la que se conoce como serie de Laurent
alrededor de a.
Teorema: Sea F (z) analı́tica en el anillo R1 < |z − a| < R2 . Luego
ffi
∞
X
1
−n
F (z) =
An (z − a)
donde
An =
F (z) (z − a)n−1 dz
(1)
2πj
C
n=−∞
y C es una curva simple cerrada que separa |z − a| = R1 de |z − a| = R2 y que deja a
|z − a| = R1 dentro (en el sentido de Jordan: recorriendo C en sentido anti-horario, el o los
puntos englobados son los que quedan siempre a la izquierda) de C. Definiendo R10 > R1 y
R20 < R2 , la serie converge uniformemente dentro de R10 < |z − a| < R20 .
¥
Las singularidades de una función F (z) en z0 se pueden clasificar atendiendo a su expansión
en serie de Laurent alrededor de z0 . En efecto, si
F (z) =
N
X
An (z − z0 )−n
para
0 < |z − z0 | < R2
(2)
n=−∞
con 0 < N < ∞ y AN 6= 0, entonces decimos que F (z) tiene un polo de orden N en z0 . En caso
que N = 1 la singularidad de F es llamada polo simple. En general, podemos escribir (2) como
sigue
G(z)
donde
G(z) = AN + AN −1 (z − z0 ) + · · ·
(3)
F (z) =
(z − z0 )N
1
de manera que G(z) es analı́tica en un entorno de z0 y G(z0 ) 6= 0.
Inversamente, una función que satisface (3) tiene un polo de orden N en z0 . Cuando en
la expansión en serie de Laurent aparece un número infinito de potencias negativas de z − z0
entonces se dice que F (z) tiene una singularidad esencial en z0 . Por ejemplo, la función
ez
−1
=
∞
X
z −n
n=0
n!
tiene una singularidad esencial en z = 0.
3.
Residuos
Cuando F (z) tiene una singularidad aislada1 en z = a, se define el residuo de F (z) en z = a
por
ffi
1
Res {F (z), a} =
F (z) dz
(4)
2πj C
donde C es cualquier curva simple cerrada sobre la que F es analı́tica y que encierra a la única
singularidad de F en z = a
Luego, por el teorema de la sección anterior con R1 = 0 de manera que C englobe solamente
al polo en a y n = 1, resulta de (2) que
ffi
1
F (z) dz = Res {F (z), a}
(5)
A1 =
2πj C
Es muy frecuente que en el procesamiento de señales que involucra sistemas lineales e invariantes al desplazamiento o señales estacionarias aparezcan funciones F (z) racionales, que
se caracterizan por tener como singularidades un número finito de polos. Las siguientes reglas
elementales para hallar sus residuos, en polos del plano complejo finito, resultan suficientes:
Regla 1 Si F tiene un polo simple en z = a
Res {F (z), a} = lı́m (z − a)F (z)
z→a
Esto se debe a que por (2) para N = 1,
F (z) =
A1
+ A0 + . . .
z−a
entonces
lı́m (z − a)F (z) = A1
z→a
Regla 2 Si F es de la forma F (z) = B(z)/A(z), con A(z) y B(z) analı́ticas en un entorno de
a, B(a) 6= 0 y A(z) con un cero simple en z = a,
Res {F (z), a} = lı́m B(a)/A0 (a)
z→a
Esto es una simple consecuencia de la Regla 1, teniendo en cuenta que A0 (a) = lı́mz→a A(z)−
A(a)/(z − a).
1
Un número a ∈ C es una singularidad aislada de una función F si existe un disco abierto Da centrado en
a tal que F es analı́tica u holomorfa en Da − {a} (o sea, en el conjunto obtenido sacando el punto a a Da ).
Recordemos que las funciones meromorfas tienen todas sus singularidades aisladas.
2
Regla 3 Si F tiene un polo de orden N en z = a
¤
1
dN −1 £
N
(z
−
a)
F
(z)
z→a N − 1! dz N −1
Res {F (z), a} = lı́m
Esto se debe a que por (2) es,
(z − a)N F (z) = AN + AN −1 (z − a) + . . . + A1 (z − a)N −1 + A0 (z − a)N + . . .
al derivar N − 1 veces queda (N − 1)!A1 + N !/1!A0 (z − a) + . . . y al tomar lı́mz→a queda
sólo el primer término.
3.1.
Residuos en cero e infinito
Cuando F (z) es analı́tica para D = {z ∈ C : |z| > R} excepto quizás para infinito (por
ejemplo si F (z) = z 2 /(z − R)), entonces el residuo de F (z) en infinito se define como
fi
1
Res {F (z), ∞} =
F (z) dz
(6)
2πj C
donde C es una curva cerrada simple en D recorrida en sentido horario. De esta manera deja
dentro o encierra al polo en infinito. Esa misma C recorrida en el sentido antihorario encierra
todos los polos finitos; o más precisamente, todas las singularidades en el plano complejo finito.
Teorema: Sea A1 el coeficiente de z −1 en la expansión en serie de Laurent de F (z) alrededor
de z = 0, para R < |z| < ∞; entonces
Res {F (z), ∞} = −A1
(7)
Demostración: En la ecuación (1), con n = 1 y usando la definición (6), se obtiene (7).
¥
Las siguientes reglas elementales para hallar residuos de polos en infinito, resultan generalmente
suficientes:
Regla 4 Si F (z) tiene un cero simple en infinito
Res {F (z), ∞} = − lı́m zF (z)
z→∞
Esto es ası́ puesto que cuando F (z) tiene un cero simple en infinito, su serie de Laurent
alrededor de z = 0 es
A1 A2
+ 2 + ···
F (z) =
z
z
de manera que lı́mz→∞ zF (z) = A1 y luego basta usar el terorema de más arriba.
Regla 5 Si F (z) tiene un cero en infinito de orden mayor que 1,
Res {F (z), ∞} = 0
En efecto, en este caso,
F (z) =
Ak Ak+1
+ k+1 + · · ·
zk
z
de manera que A1 = 0.
3
k≥2
Regla 6 En general,
Res {F (z), ∞} = −Res {z −2 F (z −1 ), 0}
Esto significa que se puede llevar el problema de calcular el residuo en infinito al de
calcular el residuo en un polo del plano complejo finito en z = 0; lo que se puede hacer
fácilmente siguiendo las Reglas 1, 2 ó 3. Esto se deriva considerando que en general, para
0 < R < |z| < ∞, se tiene
F (z) = . . . + A−1 z + A0 + A1 z −1 + . . .
y
F (z −1 ) = . . . + A−1 z −1 + A0 + A1 z + . . .
por lo tanto,
z −2 F (z −1 ) = . . . + A−1 z −3 + A0 z −2 + A1 z −1 + . . .
con lo que la Regla 6 se obtiene inmediatamente.
4.
Evaluación de integrales
Para ayudar a la evaluación de las integrales de contorno que aparecen en las secciones
anteriores recordamos que existe el fundamental Teorema de Cauchy de Residuos.
Teorema: Si F (z) es analı́tica en un dominio D y C es una curva cerrada simple en D que recorrida en sentido antihorario engloba un número finito de singularidades {a1 , a2 , . . . , aK K ∈
N}, entonces
1
2πj
ffi
F (z) dz =
C
K
X
Res {F (z), ak }
(8)
k=1
¥
Otra manera de calcular la misma integral de (8) es la siguiente. Si F (z) es analı́tica en un
dominio D y C es una curva cerrada simple en D que recorrida en sentido horario encierra un
número finito de singularidades {b1 , b2 , . . . , bM M ∈ N}, entonces
ffi
M
X
1
Res {F (z), bk } − Res {F (z), ∞}
(9)
F (z) dz = −
2πj C
k=1
5.
Ejemplos
Ilustraremos algo que usualmente causa cierta confusión como es que la misma función de
z puede corresponder a la transformada Z de secuencias diferentes según cuál sea la región de
convergencia especificada.
Consideramos una S(z) dada por
S(z) =
−z
(z − 1/2)(z − 2)
claramente con polos en 1/2, 2.
Recordemos que la secuencia s[n] cuya transformada Z es S(z) está dada por
ffi
1
s[n] =
S(z) z n−1 dz
2πj C
(10)
Podemos ver entonces que cada muestra de la secuencia puede obtenerse calculando la integral
de (10) lo que podemos hacer con la ayuda de (8)-(9) y las reglas 1-6 anteriores, reconociendo
que F (z) = S(z) z n−1 .
4
1. La región de convergencia es |z| > 2 y s[n] resulta unilateral a derecha.
Suponemos primero que n ≥ 0 por lo que para encontrar s[n] consideramos una F (z) =
S(z)z n−1 , o sea
−z n
F (z) =
(z − 1/2)(z − 2)
No conviene utilizar una trayectoria C como la que lleva a (9) pues englobarı́a a un polo en
∞ de orden n cuyo residuo es tedioso calcular (por las derivadas). Por lo tanto pensamos
en una C que esté en la RDC y englobe los polos en {1/2, 2}. Se ve que cualquier cı́rculo
con radio mayor que 2 recorrido en sentido anti-horario hace el truco. En ese caso, para
el polo en 1/2
−(1/2)n
2
Res {F (z), 1/2} =
= (1/2)n
(1/2 − 2)
3
y el residuo para el polo en 2 da
Res {F (z), 2} =
−(2)n
2
= − 2n
(2 − 1/2)
3
Ahora suponemos que n < 0, con lo que
F (z) =
−1
(z − 1/2)(z − 2)z |n|
y ahora hay 3 polos dentro de C. Para ahorrarnos trabajo, exploramos (9) pues en ese
caso C no engloba ningún polo y los residuos son nulos por lo que s[n] ≡ 0, ∀n < 0.
Finalmente
½
0
n<0
n
n
(2/3)(1/2) − (2/3)(2) n ≥ 0
s[n] =
2. La región de convergencia es |z| < 1/2 y s[n] resulta unilateral a izquierda.
Con n ≤ 0 para encontrar s[n] consideramos una F (z) = S(z)z n−1 dada por
F (z) =
−1
(z − 1/2)(z − 2)z |n|
Aquı́ la curva simple cerrada C tiene que estar en |z| < 1/2. No nos conviene recorrerla en
sentido anti-horario porque si bien deja un único polo en z = 0, éste es múltiple y obliga
a tomar derivadas múltiples, lo que resulta tedioso. Elegimos ls trayectoria C recorrida
en forma horaria como en (9), englobando los polos en {1/2, 2};
Res {F (z), 1/2} =
2
−(2)|n|
= (2)|n|
(1/2 − 2)
3
y el residuo para el polo en 2 da
−(1/2)|n|
2
= − (1/2)|n|
(2 − 1/2)
3
Res {F (z), 2} =
Ahora suponemos que n > 0, con lo que
F (z) =
−z n
(z − 1/2)(z − 2)
5
y ahora quedan 3 polos fuera de C. Para ahorrarnos trabajo, exploramos (8) pues en ese
caso C no engloba ningún polo y los residuos son nulos por lo que s[n] ≡ 0, ∀n > 0.
Finalmente, hemos demostrado que
½
0
n>0
s[n] =
|n|
|n|
(2/3)(1/2) − (2/3)(2)
n≤0
3. La región de convergencia es 1/2 < |z| < 2 y s[n] resulta bilateral.
La curva C debe estar en la región 1/2 < |z| < 2 por lo que si n ≥ 0 consideramos una
F (z) =
−z n
(z − 1/2)(z − 2)
si la recorremos en sentido anti-horario engloba un sólo polo y (8) es fácilmente evaluada,
dando
2
s[n] = (1/2)n
n≥0
3
Notemos que si evaluáramos “por fuera” de C con (9) habrı́a que considerar dos polos,
uno en 2 y el otro múltiple en ∞ (de todos modos haciendo el esfuerzo, se obtiene el
mismo resultado; por supuesto!).
Considerando el caso de n < 0, la F (z) es
F (z) =
−1
(z − 1/2)(z − 2)z |n|
y con la C que tenemos nos conviene evaluar “por fuera” de C pues queda englobado sólo
el polo en z = 2. Entonces,
s[n] =
2
(1/2)|n|
3
n≤0
Finalmente, hemos demostrado que
s[n] =
2
(1/2)|n|
3
∀n
Observamos que este es el tı́pico caso de las densidades espectrales. Este ejemplo nos
deja calcular rápidamente el valor cuadrático medio de un proceso con densidad espectral
S(z); pues alcanza con calcular s[0]. En este caso, s[0] = 2/3.
Referencias
[1] L.V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1953.
[2] R.V. Churchill, Introduction to Complex Variables and Applications, 2da. edición, McGrawHill, New York, 1960.
[3] S. Salvioli, Matemáticas Especiales. Variable Compleja, CEILP, La Plata, 1997.
[4] S.V. Tretter, Discrete-Time Signal Processing, John Wiley & Sons, New York, 1976.
6