Cuadernillo de trabajo para el curso de Matemáticas

EJERCICIOS UNIDAD I.- TEORÍA DE CONJUNTOS
1.- Escribir un conjunto formado por los elementos de los nombres de los meses del año.
2.- Escribir un subconjunto del conjunto formado en la pregunta 1, con los meses que no tengan r.
x
3.-Escribir un subconjunto del conjunto formado en la pregunta 2, formado por los meses de invierno.
.m
4.-Escribir los elementos del conjunto de todas las fracciones simples entre 0 y 1 cuyo denominador sea 7.
5.-Una persona tiene 3 monedas, cada una de 1 ó 5 pesos. Escribir los elementos del conjunto de posibles sumas
de capital que puede tener dicha persona. (Por ejemplo, si fuesen 3 monedas de a peso, tendría 3 pesos; si fuesen
dos de a peso y una de 5 pesos, tendría 7 pesos, etc.)
om
6.- Una persona tiene tres monedas cada una de 1, 5 ó 10 pesos. Escribir los elementos del conjunto de posibles
sumas de capital que puede tener.
.c
7.-Hallar el conjunto potencia de los conjuntos:
a) R = {a, b}
b) S = {a, b, c}
c) T = {a, b, c, d}
8.- ¿Cuántos subconjuntos tiene U, si U = {a, b, c, d, e}
lix
to
9.- Considera los conjuntos R, S, T y U de los ejercicios 7 y 8, decir si es falso o verdadero lo siguiente:
a) R⊆R
b) R⊆S
c) S⊆R
d) S⊆T
e) R⊆T
f) R⊂R
g) R⊂S
h) S⊂R
i) S⊂T
j) R⊂T
k) a∈R
l) a⊆R
m) ∅∈T
n) ∅⊆T
o) 3∈T
p) 3∈S
.c
a
9b.-Ahora suponga que X e Y son dos conjuntos tales que X⊆S, ¿Deberá ser X=R?
Y si Y⊆T. ¿deberá ser X⊆Y? Explique su respuesta.
10.-Para los siguientes conjuntos indique si se trata de un conjunto finito o infinito.
a) los puntos de una línea recta
b) las islas de todo el mundo
c) los pelos de un gato
d) el conjunto de los números enteros impares mayores a 5
w
11.- Dar tres distintas correspondencias uno a uno (1 - a - 1) entre los conjuntos {a, b, c} y {x, y, z}.
w
12.- Escriba por comprensión los siguientes conjuntos.
a) A = {2, 4, 6, 8, 10,…}
b) B = {1, 3, 5, 7,…}
c) C = {-1, -2, -3, -5,…}
w
13.-Sean los conjuntos A = {m, e, x, i, c, o}, B = {e, s}, C = {p, a, d, r, i, s, i, m, o}.
a) Encuentra A∪B, A∩C, B∩C y B∪C.
b) muestra que A∩B∩C=∅
c) muestre que A–(B∪C) es un conjunto sin vocales
d) compruebe que B–C = A∩B
e) compruebe que el conjunto {m, a, x, i, m, o} es un subconjunto de A∪C.
12
Prof. Jesús Calixto Suárez
14.- Sea B = {x | x es un mexicano que tiene más de un cónyuge con vida}, sea E = {x | x es un esposo con vida
en México} y C={ x | x es una esposa con vida en México }
Suponga que B=∅. ¿Qué puede decir acerca de E y C? Explique.
.m
x
15.-Sea T = {m, n, q, r, s}.
a) Escribir todos los subconjuntos de T de cardinalidad 2. Llamar A al conjunto de dichos subconjuntos.
b) Escribir todos los subconjuntos de T de cardinalidad 3. Llamar B al conjunto de dichos subconjuntos.
c) ¿son equivalentes A y B? Explique
d) Encontrar #A y #B.
om
16.-Sea H = {1, 2, 3, 4,5}
a) escribir todos los subconjuntos de H de cardinalidad 1
b) escribir todos los subconjuntos de H de cardinalidad 2
c) escribir todos los subconjuntos de H de cardinalidad 3
d) Encontrar la cardinalidad de cada uno de los conjuntos anteriores.
e) Si llamamos A al conjunto del inciso a), B al conjunto del inciso b) y C al conjunto del inciso c). Decir si
son falsas o verdaderas:
A≈B
H≈B
H≈A
H=A
to
.c
17.-Decir si los conjuntos siguientes son finitos o infinitos:
a) los números naturales
b) el conjunto de los números primos entre 13500 y 23750
c) el conjunto de los números naturales menores de 7
d) todos los átomos de la tierra
18.- Sea S = {2, 4, 6, 8, 10, 12} el conjunto de reemplazamiento. Hallar el conjunto de verdad para:
a)  x  S x es un número par
x  S x es un número impar
c)
x  S  x  6  S
d)
x  S
f)
g)
h)
x  S 3x  S
x  S 3  x  10
x  S 3  x y 10  x
x  S x  4
x  S no cumple que x  4
x  S no cumple que x  4
w
i)
x  S  x  3  S
x  S  x  4  S
x  S  x  2  S
.c
a
e)
x  4
lix
b)
j)
w
k)
l)
w
m)
Matemáticas IV.- Álgebra
13
x
19.- Considere a los números naturales N = {1, 2, 3, 4,…} como el conjunto de reemplazamiento. Usar la
notación de conjuntos por comprensión para representar los siguientes conjuntos:
a) {1, 3, 5, 7, 9,…}
b) {3, 6, 9, 12,…}
c) {1, 2, 3, 4, 5}
d) {1, 4, 9, 16, 25,…}
e) {5}
f) { }
c)
x  S n  x   0
x  S x  R y n  x   1
om
b)
.m
20.- Si R = {a, b, c}. Construya S un conjunto formado por todos los subconjuntos de R. Escribir los elementos
de los siguientes conjuntos.
a)  x  S n  x   2
to
.c
21.- Sea el conjunto universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y sea H={1,2,3,4}, J={3,4,5}, K={7,8,9} y
L={5,6,7,8,9,10}. Encontrar:
a) Hc
b) Lc
c) H⋃J
d) H⋃K
e) K⋃L
f) H⋂J
g) K⋂L
h) J⋂K
i) Hc⋂Jc
j) (H⋂J)c
k) (H⋃J)c
l) Hc⋂Kc
c
c
m) H ⋃∅
n) H⋃∅
o) (H⋂J)⋃K
p) H⋂(J⋃K)
q) (J⋃K)⋂L
r) (H⋃K)⋂(J⋃K)
c
c
s) (L–K) ⋂J
t) [(L–J)⋃H]
u) (J–H)c ⋃(L–K)c
.c
a
lix
22.- Sean A y B conjuntos tales que A≠∅, B≠∅. Indicar si las proposiciones siguientes son falsas o verdaderas.
a) Si x∈A, x∈Bc, entonces x∈(A∩B) ...................... ( )
b) Si x∈A, x∈Bc, entonces x∉(A∩B) ...................... ( )
c) Si x∈A, x∉ Bc, entonces x∈(A⋃B) ..................... ( )
d) Si x∉Ac, x∉Bc, entonces x∈(A∩B)..................... ( )
e) Si x∉A, x∈(A⋃B), entonces x∈B....................... ( )
w
w
23.- Para cada una de las representaciones o diagramas de Venn-Euler que se dan (fig.1, fig. 2 y fig. 3), sombrear
el área que representa el conjunto que se indica en cada inciso.
w
Figura 1
14
a) A⋃B
d) A⋂(B⋃C)
g) (Ac⋂Bc)⋂C
Figura 2
b) B⋂C
e) (A⋃B)⋃C
h) (A⋂B)⋃C
Figura 3
c) A⋃(U⋂C)
f) (A⋂B)⋂C
Prof. Jesús Calixto Suárez
24.- Una mesera tomó una orden de 48 hamburguesas: 28 con cebolla, 23 con mostaza y 29 con salsa de tomate.
De éstas, 3 tenían sólo mostaza y 8 sólo salsa; 9 de las hamburguesas tenían solo mostaza y salsa y 5 los tres
ingredientes.
a) ¿Cuántas hamburguesas llevaban cebolla y salsa solamente?
b) ¿Cuántas solo llevaban cebolla?
c) ¿Cuántas hamburguesas sólo llevaban cebolla y mostaza?
.m
x
25.-En una encuesta realizada a 100 estudiantes de la preparatoria tomados al azar, la cantidad de ellos que
cursaban las siguientes materias fue: 60 de inglés, 40 matemáticas, 50 química, 30 inglés y química, 35
matemáticas y química y 25 las tres materias.
a) ¿Cuántos estudiantes cursaron matemáticas y química pero no inglés?
b) ¿Cuántos estudiantes cursaron inglés y química pero no matemáticas?.
om
26.-Los cronistas deportivos de las revistas “Deportes”, “El Gráfico” y “la Afición” han hecho sus predicciones
sobre los cuatro encuentros de fútbol que se jugarán el próximo domingo, los ganadores serán:Según el cronista
de “Deportes”: Atlante, Cruz Azul, América y Universidad. Según el cronista de “El Gráfico”: Cruz Azul,
Universidad, Necaxa y Guadalajara. Según el cronista de “La Afición”: Atlas, América, Universidad y
Guadalajara. Nótese que ninguno escogió como ganador al equipo Celaya. Determine qué equipos serán rivales
en los cuatro encuentros.
lix
to
.c
27.-De 150 alumnos que desean entrar a una institución se tienen los siguientes datos: 63 son mayores de 18
años66 les gusta el deporte 65 aprobaron el examen de admisión22son mayores de 18 y les gusta el deporte25 les
gusta el deporte y aprobaron el examen de admisión23son mayores de 18 y aprobaron el examen de admisión10
son mayores de 18 años, les gusta el deporte y aprobaron el examen de admisión.
¿Cuántos de estos alumnos …
a) …son mayores de 18 años les gusta hacer deportes pero no aprobaron el examen de admisión?
b) …son mayores de 18 no les gusta hacer deportes y no aprobaron el examen de admisión?
c) …son menores de 18 años les gusta hacer deporte y aprobaron el examen de admisión?
d) …son menores de 18 años, no les gusta hacer deporte y no aprobaron el examen de admisión?
.c
a
28.-A los alumnos de un grupo se les pidió que llevaran para la siguiente clase, una hoja de papel cuadro grande,
un compás y un plumón con tinta negra. El grupo tiene 60 alumnos y todos asistieron. De ellos siete llevaron las
tres cosas, 10 llevaron papel y plumón, 12 llevaron papel y compás, 16 sólo llevaron plumón, 18 sólo papel y 4
no llevaron nada. Se pregunta:
a) ¿Cuántos no llevaron compás?
b) ¿Cuántos llevaron plumón?
w
w
29.- Una agencia automotriz vendió 42 automóviles en un mes: 23 de ellos tenían barra estabilizadora; 26 eran
de transmisión automática; 23 tenían reproductor de compactos; 5 tenían barra estabilizadora, transmisión
automática y reproductor de compactos; 12 tenían barra estabilizadora y transmisión automática, pero no tenían
reproductor de compactos; 7 tenían transmisión automática y reproductor de compactos pero no tenían barra
estabilizadora; 4 tenían barra estabilizadora y reproductor de compactos pero no tenían transmisión automática.
¿Cuántos automóviles se vendieron con solamente uno de estos accesorios?
w
30.-En una escuela secundaria se tienen los siguientes datos de 2500 estudiantes: a 750 les gusta español; a 1200
les gusta biología; a 1350 les gusta ciencias sociales; a 250 les gusta español y biología, a 550 les gusta biología
y ciencias sociales; a 300 les gusta ciencias sociales y español; a 100 les gustan español, biología y ciencias
sociales. Indique a cuántos de estos 2500 estudiantes les gusta:
a) sólo un de estas materias
b) exactamente dos de estas tres materias
c) ninguna de las tres materias
d) cuando mucho dos de estas tres materias.
Matemáticas IV.- Álgebra
15
31.- Se hizo una encuesta a 100 actores de televisión sobre las operaciones estéticas que se han realizado: 41 se
operaron la nariz; 47 los párpados; 46 liposucción; 27 nariz y parpados; 19 nariz y liposucción; 20 párpados y
liposucción; y 15 nariz, párpados y liposucción. ¿Cuántos no están operados?
x
32.- En una clase de 30 estudiantes de matemáticas, 15 obtuvieron 10 en el examen de lógica; 14 obtuvieron 10
en el examen de conjuntos; 20 obtuvieron 10 en el examen de desigualdades; 5 obtuvieron 10 en lógica y
conjuntos; 9 obtuvieron 10 en lógica y desigualdades y 7 en conjuntos y desigualdades. No hubo ninguno sin un
10. ¿Cuántos de ellos obtuvieron 10 en los tres exámenes?
.m
33.- En una muestra de 75 amas de casa, 35 tenían aspiradora; 48 abrelatas eléctrico y 35 tenían tostadora.
Además, 25 tenían simultáneamente aspiradora y abrelatas; 15, aspiradora y tostadora, y 25, abrelatas y
tostadora. 10 amas de casa tenían los tres aparatos. ¿Cuántas de ellas no tenían ninguno de estos tres aparatos?
om
34.- De 200 maestros de una universidad, 115 tienen su doctorado, y 60 son investigadores de tiempo completo.
De los doctores 33 son investigadores de tiempo completo. Indique cuántos de estos maestros:
a) tienen su doctorado o se dedican a investigar de tiempo completo
b) no tienen su doctorado ni se dedican a investigar de tiempo completo
.c
35.- Al interrogar a un batallón del ejército formado por 300 soldados sobre su preferencia a la comida, se
encontró que 153 prefieren los tacos; 172 prefieren las enchiladas; 165 las tortas; 100 tacos y enchiladas; 78
tacos y tortas; 72 enchiladas y tortas y 35 tenían las tres preferencias. Determine cuántos de estos 300 soldados
tienen:
a) al menos una de estas tres preferencias
b) ninguna de estas tres preferencias
lix
to
36.- En un concurso de baile hay 55 parejas, de las cuales 38 son latinas, 27 bailan tango y 46 salsa, 18 bailan
tango y salsa, 13 son latinas y bailan tango, todas las latinas bailan salsa y todas las parejas tienen al menos una
de las características anteriores. De estas 55 parejas:
a) ¿cuántas tienen las tres características?
b) ¿cuántas tienen exactamente dos características?
c) ¿cuántas tienen exactamente una característica?
w
w
.c
a
37.- Una fábrica de alimentos para bebé realiza una encuesta a 350 mamás para saber las preferencias de los
bebés sobre los envasados de peras, manzanas y frutas tropicales. Se obtienen los siguientes datos: a 255 bebés
les gustan las peras, a 270 las manzanas, a 107 las frutas tropicales, 195 peras y manzanas, 80 manzanas y frutas
tropicales, 22 peras y frutas tropicales únicamente y a 15 bebés no les gusta ninguna de estas tres frutas.
Determine a cuántos de estos bebés les gusta:
a) al menos una de estas tres frutas
b) solo una de estas tres frutas
c) cuando mucho una de estas tres frutas
d) exactamente dos frutas
e) cuando menos dos de estas frutas
f) las tres frutas
38.-Encontrar A×B, si A = {-4, -2, 0, 2} y B = {-3, -1, 1}
w
39.-Si S = {x, y, z} y T = {x2, y2, z2}, encuentre S×T.
40.-Si una central de teléfonos tiene m aparatos conectados, el número posible de llamadas que puede atender es
m( m  1) . Encuentre las parejas ordenadas formadas por el número de teléfonos y el número posible de llamadas
2
que puede atender para 3, 4, 5, 6, 7 y 8 teléfonos.
16
Prof. Jesús Calixto Suárez
41.- En cada uno de los siguientes incisos encuentre el producto cartesiano que se indica y represéntalo
gráficamente.
a) C  C, si C  0, 12 ,1
b) D  E, si D  2, 4 y E  x 
f)
P
, si P   x 
g) B  T, si B  x 
h) A  C, si A  x 
x


1  x
1  x  4 y T  x 
2  x y C  x 
1  x  1
x  5
i)
B  D, si B  x 
x  5 y D  x 
3  x  7
j)
A  B, si A  x 
1  x  5 y B  x 
 2  x  1
42.- Sean A={a, b}, B={2, 3}, C={3, 4}, hallar :
a) A×(B⋃C)
.c
b) (A×B)⋃(A×C)
.m
d)
e)
4  x  6
om
c) A  , si A  x 
1  x  6
c) A×(B∩C)
to
d) (A×B)∩(A×C)
43.- Si A∩B=∅ ¿es cierto que A⊂Bc? Explique
w
w
w
.c
a
lix
44.-Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c} y C = {5, 6, 7}, construir un diagrama de árbol y encontrar A×B×C
Matemáticas IV.- Álgebra
17