2. En el hielo se encuentra una piedra

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE ING. CIVIL
CURSO
DOCENTE:
ING. EDGAR GUSTAVO SPARROW ALAMO
Docente: Ing.EDGAR GUSTAVO SPARROW ALAMO
0
INTRODUCCION
La rama de la mecánica aplicada que estudia el comportamiento de los fluidos ya sea en
reposo o en movimiento constituye la mecánica de fluidos y la hidráulica. Es por ello que en
el desarrollo del curso pudimos conocer los principios que la rigen, y las propiedades que
conforman cada tema de estudio, ya que estas al mismo tiempo juegan un papel
preponderante, mientras que otros influyen muy poco o nada, como sabemos en la estática
de los fluidos el peso específico es la propiedad importante, mientras que en el flujo de los
fluidos la densidad y la viscosidad son las que predominan.
A continuación presentamos un informe resumido y detallado de los temas que conforman
el curso incluyendo algunos ejemplos de resolución.
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1
Resumen histórico de la Mecánica de Fluidos
La Mecánica de fluidos tiene sus orígenes en la hidráulica, tanto en Mesopotamia como en Egipto alrededor
del año 400 a.C. proliferaron las obras hidráulicas que aseguraban el regadío. Posteriormente, los imperios
griegos, chino y especialmente, el romano se caracterizan por una gran profusión de obras hidráulica.
A lo largo de la historia, aparecen inventos e investigadores que aportan mejoras sustanciales en el campo que
hoy se denomina Mecánica de fluidos.
Al final de siglo XIX comienza la unificación entre hidráulicos e hidrodinámicos. La Mecánica de Fluidos
moderna nace con Pascal, que en las primeras décadas del XX elaboró la síntesis entre la hidráulica práctica y
la hidrodinámica teórica.
Cinco matemáticos del siglo XVIII, Bernoulli, Clairaut, D’Alembert, Lagrange y Euler habían elaborado con el
naciente cálculo diferencial e integral una síntesis hidrodinámica perfecta; pero no habían obtenido grandes
resultados prácticos. Por otra parte el técnico hidráulico fue desarrollando multitud de fórmulas empíricas y
experiencias en la resolución de problemas que sus construcciones hidráulicas le presentaban, sin preocuparse
de buscarles base teórica alguna. Excepcionalmente un científico, Reynolds, buscó y halló apoyo experimental
a sus teorías, y un técnico, Froude, buscó basé física a sus experimentos.
A continuación se incluye una lista de algunos de los principales hombres cuyos trabajos
contribuyeron al desarrollo de la ciencia de la Mecánica de Fluidos como hoy la conocemos.
Arquímedes (287-212 a.C.) Leyes de la Flotación.
Leonardo da Vinci (1452-1519) Ecuación de Continuidad.
Torricelli (1608-1647) Salida por un orificio. Relación entre la altura y la presión atmosférica.
Pascal (1623-1662) Ley de Pascal.
Newton (1642-1726) Ley de viscosidad dinámica.
Bernoulli (1700-1782) Teorema de Bernoulli.
Euler (1707-1783) Ecuaciones diferenciales del movimiento del fluido ideal; formulación del
teorema de Bernoulli; Teorema fundamental de las turbomáquinas.
D’Alembert(1717-1783) Ecuación diferencial de continuidad.
Lagrange(1736-1813) Función potencial y función de corriente.
Venturi (1746-1822) Flujo en embocaduras y contracciones; Medidor de Venturi.
Poiseuille(1799-1869) Resistencia en tubos capilares: Ecuación de Poiseuille.
Weisbach(1806-1871) Fórmula de resistencia en tuberías.
Froude(1810-1879) Ley de semejanza de Froude.
Navier(1785-1836) y Stokes (1819-1903) Ecuaciones diferenciales de Navier-Stokes del
movimiento de los fluidos viscosos.
Reynolds (1842-1912) Número de Reynolds; Distinción entre flujo laminar y turbulento.
Rayleigh(1842-1919) Propuso la técnica del análisis dimensional.
Joukowski(1847-1921) Estudios del golpe de ariete; perfiles aerodinámicos de Joukowski.
Prandtl(1875-1953) Teoría de la capa límite. Fundador de la moderna mecánica de fluidos.
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MECANICA DE FLUIDOS I
INDICE
PRIMERA UNIDAD
6
DEFINICION DE FLUIDOS
7
El CONTINUO
10
PROPIEDADES DE LA MECANICA DE FLUIDO
10
MODULO DE ELASTICIDAD VOLUMETRICA
12
UNIDADES DE FUERZA Y MASA
11
PRESION
14
PRESION DE VAPOR
16
TENSIÓN SUPERFICIAL
22
CAPILARIDAD
25
COHESIÓN Y ADHESIÓN DEL AGUA
27
VISCOSIDAD
28
GAS PERFECTO Y ECUACION DE ESTADO
32
PRESION EN UN PUNTO
34
VARIACIÓN DE LA PRESIÓN EN UN FLUIDO EN REPOSO
35
Fluido Incompresible
37
La paradoja de Pasca
37
Fluidos Compresibles
39
Ecuación de la Hidrostática (I)
41
Presión absoluta y manométrica
43
Unidades y escalas de medida de la presión
44
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MECANICA DE FLUIDOS I
SEGUNDA UNIDAD
46
ESTABILIDAD DE FLOTACIÓN Y CUERPOS SUMERGIDOS FLOTANTES
47
TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
63
CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS
65
SISTEMAS Y VOLÚMENES DE CONTROL
67
LINEA DE CORRIENTE
69
Ecuaciones de la línea de corriente
70
Tubo de flujo
71
VORTICIDAD (𝛏)
71
CIRCULACION (𝚪)
71
CLASIFICACION DE LOS FLUJOS
74
FLUJO POTENCIAL
76
ECUACIÓN GENERAL DEL MOVIMIENTO
77
ECUACION DE NAVIER STOKE
77
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
82
ECUACIÓN DE BERNOULLI
84
APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI
85
TERCERA UNIDAD
88
CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 89
Ecuación de la cantidad de movimiento
89
DISTRIBUCION DE FUERZAS DE PRESION EN DIFERENTES V.C
91
Ejercicios
92
CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA NO INERCIAL
97
ECUACION DE MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
100
FLUJO A TRAVES DE ORIFICIOS
102
CLASIFICACION DE LOS ORIFICIOS
102
ORIFIICIOS DE GRANDES DIMENSIONES
109
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ORIFICIO EN PARED DELGADA
110
GRANDES ORIFICIOS EN PARED DELGADA
113
ORIFICIO SUMERGIDO
115
ORIFIICOS PROLONGADOS EN CANAL
116
ORIFICIO EN PARED GRUESA
117
DETERMINACIÓN DE LOS COEFICIENTES DE DESCARGA Y DE CONTRACCIÓN
119
Flujo por un orificio en la pared de un tanque
119
BOQUILLAS
123
CLASIFICACION DE LAS BOQUILLAS
123
BOQUILLAS CILÍNDRICAS
123
BOQUILLAS CÓNICAS
123
BOQUILLAS Y TERMINALES
124
TIPOS DE BOQUILLAS
124
EL DESGASTE DE LAS BOQUILLAS
128
EXPERIENCIA DE VENTURI
129
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA
132
ANÁLISIS DIMENSIONAL
133
TEOREMA DE 𝝅 O BUCKINGHAM
134
APLICACIONES DEL TEOREMA DE π
134
GRUPOS ADIMENSIONALES IMPORTANTES EN LA MECANCIA DE FLUIDOS136
SEMEJANZA DE MODELOS
138
BIBLIOGRAFIA
139
Ejercicios resueltos
140
LA ECUACION DE NAVIER STOKE
181
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MECANICA DE FLUIDOS I
PRIMERA UNIDAD
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MECANICA DE FLUIDOS I
DEFINICION DE FLUIDOS
La materia fundamentalmente se presenta en dosestados:
Los fluidos son sustancias capaces de fluir y que se adaptan a la forma de los recipientes que los contienen.
Cuando están en equilibrio, los fluidos no pueden soportar fuerzas tangenciales o cortantes. Todos los
fluidos son compresibles en cierto grado y ofrecen poca resistencia a los cambios de forma.
En la figura se representa una sustancia que se ha colocado entre dos placas paralelas muy próximas lo
suficientemente largas para que puedan despreciarse las condiciones en los bordes. La placa inferior esta
quieta y sobre la superior se aplica una fuerza F, que origina una tensión de cortadura F/A en la sustancia
colocada entre las placas (A es el área de la placa superior). Cuando esta fuerza F, por muy pequeña que sea,
hace mover a la lámina superior con una velocidad constante (no nula), se puede concluir que la distancia
situada entre las láminas es un fluido.
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MECANICA DE FLUIDOS I
El fluido en inmediato contacto con la pared solida tiene la misma velocidad que la pared, es decir, no hay
ningún deslizamiento del fluido sobre la pared t. es un hecho experimental que se ha comprobado
innumerables ensayos con varios tipos de fluidos y materiales de la pared. El fluido del área abcd se mueve
paralelamente a la lámina y la velocidad u varía uniformemente desde cero en la placa en reposo hasta U en
la lámina superior. La experiencia, demuestra que si las otras magnitudes se mantienen constantes, F es
directamente proporcional a A y a U e inversamente proporcional a t, de manera que
𝐹=𝜇
𝐴𝑈
𝑡
Siendo u el factor de proporcionalidad que hace intervenir el efecto del fluido de que se trate. Como la
tensión de cortadura es 𝜏 = 𝐹 ⁄𝐴, resulta:
𝐹=𝜇
𝑈
𝑡
La relación 𝑈⁄𝑡 es la velocidad angular de la línea ab, o la velocidad angular de deformación del fluido, es
decir, la disminución del ángulo bad en la unidad de tiempo. La velocidad angular puede también escribirse
du/dy y ambas U/t y du/dy, expresan la variación de velocidad dividida por la distancia en la que se produce
dicha variación. Sin embargo, du/dy es más general y sirve en todos los casos, aun en aquellos en que la
velocidad angular y la tensión de cortadura varían. El gradiente de velocidad du/dy puede también ser
considerado como el cociente de la velocidad con que una capa de fluido se mueve en relación con la capa
adyacente. En forma diferencial puede escribirse.
𝜏=𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
……….. (1)
es decir, existe una proporcionalidad entre la tensión de cortadura y la velocidad de deformación angular de
un movimiento unidimensional de un fluido. El factor de proporcionalidad se llama viscosidad del fluido, y la
Ec. (1) es la ley de Newton de la viscosidad. En el segundo libro de su “principia”, newton consideraba el
movimiento circular de los fluidos como parte de sus estudios de los planetas y escribía.
“Hipótesis
La resistencia que se observa debido a la falta de lubricación en las partes de un fluido es, siendo iguales las
demás cosas, proporcionalidad a la velocidad con que se separan una de otra las partes de un fluido.”
Una sustancia plástica no cumple la definición de fluido pro que para producir en ella una deformación
continua debe sobrepasarse una cierta tensión de cortadura inicial. Una sustancia elástica situada entre las
dos láminas anteriormente consideradas se deforma en una cantidad proporcionalidad a la fuerza, pero no
de forma continua. Si existiese el vacío entre las dos laminas no resultaría una velocidad de deformación
constante, si no que sería constantemente creciente. Si se colocase arena entre las láminas, por el
rozamiento seco se necesitaría una fuerza finita para conseguir un movimiento continuo. Por consiguiente,
la arena tampoco satisface la definición de fluido.
Los fluidos pueden clasificarse en newtonianos y no newtonianos. En los primeros existe una relación lineal
entre la tensión de cortadura aplicada y la velocidad de deformación resultante [u constante en la ecuación
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MECANICA DE FLUIDOS I
(1)] como se observa en el gráfico de la figura 1.2. En los segundos no existe tal relación lineal. Un platico
ideal tiene una cierta tensión de cortadura inicial y por encima de ella existe una relación lineal constante
entre 𝜏 y du/dy. Una sustancia tixotrópica, tal como la tinta de imprenta, tiene una viscosidad que depende
de la deformación angular inmediatamente anterior y tiende a un cierto valor cuando la sustancia está en
reposo.
Los gases y los líquidos ligeros se aproximan a los fluidos newtonianos, mientras que los líquidos pesados y
los gases en las cercanías de sus puntos críticos son no newtonianos.
Para facilitar el estudio, frecuentemente se supone que el fluido. A un fluido de viscosidad nula e
incomprensible, se le llama fluido ideal y vendrá representado por el eje de ordenadas de la figura 1.2
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MECANICA DE FLUIDOS I
EL CONTINUO
Al tratar con las relaciones del movimiento de fluidos en una base matemática o analítica, es necesario
considerar que la estructura molecular real se sustituye por un medio continuo hipotético, llamado el
continuo. Por ejemplo, la velocidad en un punto del espacio no está definida en un medio molecular, pues
sería cero siempre excepto cuando una molécula y no la velocidad de masa media de las partículas del
entorno. Se evita este dilema si se considera que la velocidad en un punto es el promedio de la velocidad de
masa de todas las moléculas que rodean el punto, es decir, dentro de una esfera pequeña de radio grande
comparado con la distancia media entre moléculas. Con n moléculas por centímetro cubico, la distancia
media entre moléculas es del orden de 𝑛−1⁄3 cm. Sin embargo, se debe usar la teoría molecular para
calcular las propiedades del fluido (por ejemplo, la viscosidad) que están relacionadas con los movimientos
de las moléculas, pero se pueden emplear las ecuaciones del continuo con los resultados de los cálculos
moleculares.
En los gases enrarecidos, tal como la atmosfera a 80 km por encima del nivel del mar, se utiliza la relación
entre el camino libre medio del gas y una longitud característica del cuerpo o conducto para distinguir el tipo
de movimiento. El régimen de movimiento se llama flujo continuo para valores muy pequeños de dicha
relación, el régimen siguiente se llama flujo suelto o desprendido, y para valores grandes de la relación es el
flujo molecular libre. En este texto solo se estudia el flujo continuo.
Se supone que la densidad, el volumen específico, la presión, la velocidad y la aceleración varían de forma
continua a través del fluido (o son constantes).
DENSIDAD, VOLUMEN ESPECIFICO, PESO RELATIVO, ENSIDAD RELATIVA PRESION
La densidad 𝜌 de un fluido se define como su masa por unidad de volumen. Para definir la densidad en un
punto se divide la masa ∆𝑚 de fluido, en el volumen pequeño ∆∀ que rodea a dicho punto, por ∆∀ y se
toma el limite cuando ∆∀ tiende a 𝑒 3 , donde 𝑒 es aun grande comparado con la distancia media entre
moléculas.
∆𝑚
𝜌 = lim 3
∆∀→𝑒 ∆𝐹
El camino libre medio es la distancia media recorrida entre dos choques moleculares.
Cuando la masa viene expresa en UTM, 𝜌 viene en kilogramos masa por metro cubico. Estas unidades están
relacionadas por
𝜌𝑈𝑇𝑀 =
𝜌𝑘𝑔𝑚
9.81
Para el agua en condiciones normales
𝜌 = 101.94 𝑈𝑇𝑀 ⁄𝑚3 𝑜 1.000 𝑘𝑔𝑚 ⁄𝑚3
El volumen especifico v, es el inverso de la densidad 𝜌; es decir, es el volumen que ocupa la unidad de masa.
Por consiguiente.
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1
𝜌
El peso específico 𝛾 de una sustancia es su peso por una unidad de volumen. Cambia la situación.
𝑣𝑠 =
𝜌𝑘𝑔𝑚 𝑘𝑔
𝑔
9.81 𝑚3
Dependiendo de la gravedad. Es una propiedad conveniente cuando se trata con la estática del fluido o con
líquidos con una superficie libre.
𝛾 = 𝜌𝑈𝑇𝑀 𝑔 =
La densidad relativa S. de una sustancia es la relación entre su peso y el peso de un volumen igual de agua
en condiciones normales. También se puede expresar como la relación entre su densidad, o peso específico
y la del agua.
La fuerza normal que actúa sobre un área plana dividida por el área es la presión media. La presión en un
punto es el límite del cociente de la fuerza normal por el área, cuando el área tiende a cero en el punto. Si
un fluido ejerce una presión contra las paredes de un recipiente, entonces el recipiente ejercerá una
reacción sobre el fluido que será de comprensión.
Los líquidos pueden soportar presiones de comprensión muy elevadas pero a menos que sean
extremadamente puros, son muy débiles frente a la tracción. Esta es la razón por la cual nunca se emplean
en este libro presiones absolutas negativas, ya que implicaría que el fluido estaba sometido a tracción. La
presión tiene unidades de fuerza por unidad de área (kg/cm 2 o kg/m2). También se pueden expresar en
función de una longitud equivalente de una columna de fluido, como se indica en la sección.
UNIDADES DE FUERZA Y MASA
La unidad de fuerza adoptada en este texto es el kilogramo fuerza (kilopondio)(kg). Como unidad de masa
usaremos el kilogramo masa (kgm) y la unidad técnica de masa (UTM). Como las propiedades
termodinámicas se expresan generalmente en la base del kilogramo masa, se representan de acuerdo con
esta unidad, pero los problemas de los ejemplos están resueltos en unidades técnicas de masa.
El kilogramo fuerza se define como la atracción que ejerce la gravedad, en un lugar determinado (normal),
sobre una masa dada de platino, bajo la gravedad normal, g=9.80 m/seg2, el cuerpo que experimenta una
atracción de un kilogramo fuerza tiene una masa de un kilogramo masa. Escribiendo el segundo principio de
newton del movimiento en la forma.
𝐹=
𝑚
𝑎
𝑔0
Y aplicándola a un cuerpo que cae libremente en el vacío en condiciones normales
1 𝑘𝑔 = 1
𝑘𝑔𝑚
𝑓𝑡
32.174
𝑔0
𝑠𝑒𝑔2
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Es evidente que
𝑔0 = 32.174
𝑘𝑔𝑚 . 𝑚
𝑘𝑔. 𝑠𝑒𝑔2
Siempre que utilicemos en este libro el kilogramo masa, le representaremos mediante kgm. El kilogramo
fuerza le representaremos mediante kg. El número g 0 es una constante, independiente del lugar de
aplicación del principio de newton y dependiente solo de las unidades kilogramo, kilogramo masa, metro y
segundo. En cualquier otro lugar distinto del de gravedad normal, la masa de un cuerpo permanece
constante, pero el peso (fuerza o atracción de la gravedad) varía:
𝑊 = 𝑀(𝑘𝑔𝑚 )
𝑔
𝑔0
Por ejemplo, donde g=9.7 m/seg2
5 kgm pesan 9.7 ∗
5
9.80665
= 4.948 𝑘𝑔
La unidad técnica de masa es una unidad de masa derivada, definida como la cantidad de masa que se
acelera un metro por segundo en cada segundo bajo la acción de una fuerza de un kilogramo. Con estas
unidades la constante g0 es la unidad, es decir, 1 UTM-m/kg-seg2. Como la mecánica de los fluidos esta tan
íntimamente ligada al segundo principio de newton, la UTM se define como
𝑘𝑔. 𝑠𝑒𝑔2
𝑚
Y se puede utilizar el sistema acorde de unidades UTM, kg, m, seg son constante dimensional g 0.
1𝑈𝑇𝑀 = 1
En el desarrollo de las ecuaciones en este texto se supone que las unidades son acordes o coherentes y las
ecuaciones aparecen son la constante g0. Si se utiliza el kilogramo masa en las ecuaciones de la dinámica
entonces se debe introducir g0.
Módulo de elasticidad volumétrico
En la sección anterior se describía la compresibilidad de un gas perfecto mediante la ley de los gases
perfectos. En la mayoría de los casos un líquido puede considerarse incompresible; pero cuando los cambios
de presión son muy rápidos o muy grandes, debe tenerse en cuenta la compresibilidad, la cual se expresa
por el módulo de elasticidad volumétrico. La compresibilidad de los líquidos (y de los gases) se hace también
importante cuando se producen cambios de temperatura (por ejemplo, convección libre). Si la presión de la
unidad de volumen del fluido aumenta en dp y el volumen disminuye −𝑑∀, entonces la relación −𝑑𝑝/𝑑∀ es
el módulo de elasticidad volumétrico K. para un volumen ∀ de fluido.
𝐾=−
𝑑𝑝
… … . . (∞)
𝑑∀⁄
∀
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Como 𝑑∀⁄∀ es adimensional, k se expresara en las mismas unidades que p. para el agua a temperatura y
presiones ordinarias, K=21.000 kg/cm2.
Para tener una idea más clara sobre la compresibilidad del agua, supongamos que se aplica una presión de
10 kg/cm2 a 1m3 de agua. La ec. ∞ nos da, al despejar −𝑑∀,
∀𝑑𝑝 1.0 ∗ 10
1
=
=
𝑚3
𝐾
21.000
2.100
Es decir, la aplicación de 10 kg/cm2 al agua en condiciones ordinarias obliga al volumen a disminuir una
parte de 2.100. Cuando se comprime un líquido aumenta la resistencia a la compresión; por eso K aumenta
con la presión. A 3.160 kg/cm2 el valor de K para el agua se ha duplicado.
−𝑑∀=
Para un gas la ecuación de estado se puede escribir de la forma siguiente:
𝑝 = 𝑝(𝑣, 𝑇)
Se ve que la ec. Es 𝑝𝑣𝑠 = 𝑅𝑇 es un ejemplo especifico de esta forma general. Se puede utilizar en la
ecuación 𝑝 = 𝑝(𝑣, 𝑇) el método de derivar una función de dos variables (que se revisa en el apéndice B), de
manera que.
𝜕𝑝
𝜕𝑝
𝑑𝑝 = ( ) 𝑑𝑣𝑠 + ( ) 𝑑𝑇
𝜕𝑣𝑠 𝑇
𝜕𝑇 𝑣𝑠
A temperatura constante, dT=0; y el módulo de elasticidad volumétrico isotérmico es, en virtud de su
𝑑𝑝
definición en la ec. 𝐾 = − 𝑑∀⁄
∀
𝐾 = −𝑣𝑠
𝑑𝑝
𝜕𝑝
= −𝑣𝑠 ( )
𝑑𝑣𝑠
𝜕𝑇 𝑇=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Ejemplo: un líquido comprimido en un cilindro tiene un volumen de 0.400m3 a 70 kg/cm2 y un volumen de
0.396 m3 a 140 kg/cm2. ¿Cuál es el módulo de elasticidad volumétrico?
𝐾=−
∆𝑝
∆∀
∀
140 − 70
= − (0.396−0.400) = 7.000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
0.400
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PRESION
El término presión se usa para indicar la fuerza normal por unidad de área en un punto dado que actúa
sobre un plano específico dentro de la masa de fluido de interés.
•
•
En el interior se transmite igual en todas las direcciones
Se ejerce perpendicularmente a las superficies que lo contienen
La presión en un punto
Considere el diagrama de cuerpo libre obtenido al eliminar una cuña triangular de fluido de alguna ubicación
dentro de una masa de fluido.
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Como no hay esfuerzos cortantes, las únicas fuerzas externas que actúan sobre la cuña se deben a la presión
y al peso.
Las ecuaciones de movimiento (Segunda Ley de Newton, F = m a) en las direcciones Y y Z son,
respectivamente:
∑ 𝐹𝑦 = 𝑝𝑦 . 𝜎𝑥 . 𝜎𝑧 − 𝑝𝑠 . 𝜎𝑥 . 𝜎𝑠 . sin 𝜃 = 𝜌
𝜎𝑥 . 𝜎𝑦 . 𝜎𝑧
. 𝑎𝑦
2
∑ 𝐹𝑍 = 𝑝𝑍 . 𝜎𝑥 . 𝜎𝑦 − 𝑝𝑠 . 𝜎𝑥 . 𝜎𝑠 . cos 𝜃 − 𝑌
𝜎𝑥 . 𝜎𝑦 . 𝜎𝑧
𝜎𝑥 . 𝜎𝑦 . 𝜎𝑧
=𝜌
. 𝑎𝑍
2
2
Donde pS, pY y pZ son las presiones medias sobre las caras, γ y ρ el peso específico y la densidad del fluido,
respectivamente y aY, aZ son las aceleraciones.
Para obtener la fuerza generada por la presión es necesario multiplicar la presión por un área adecuada.
Según la geometría de la cuña, se tiene:
𝜎𝑦 = 𝜎𝑠 . cos 𝜃 𝜎𝑧 = 𝜎𝑠 . sin 𝜃
Por lo que las ecuaciones de movimiento se pueden escribir como:
𝜎𝑦
𝑝𝑦 − 𝑝𝑠 = 𝜌. 𝑎𝑦 .
2
𝜎𝑦
2
Como interesa lo que sucede en un punto, se considera el límite cuando δX, δY y δZ tienden a cero, se
concluye que:
𝑝𝑧 − 𝑝𝑠 = (𝜌. 𝑎𝑧 + 𝑦).
𝑝𝑦 = 𝑝𝑠 𝑃𝑧 = 𝑝𝑠
Es decir:
Ps=py=pz
Según lo anterior se concluye que:
LEY DE PASCAL: La presión en un punto de un fluido en reposo, o en movimiento, es independiente de la
dirección en tanto no haya esfuerzos cortantes
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Propiedades de la presión

La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas direcciones.

La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en
reposo es la misma.

En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior, una parte del fluido con la
otra contigua el mismo tiene la dirección normal a la superficie de contacto.

La fuerza de presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior el fluido, es decir, es
una compresión, no una tracción.

La superficie libre de un líquido siempre es horizontal, a menos que existan fuerzas externas que
influyan.
PRESION DE VAPOR
Es la presión a la que a cada temperatura la fase líquida y vapor se encuentran en equilibrio dinámico; su
valor es independiente de las cantidades de líquido y vapor presentes mientras existan ambas. En la
situación de equilibrio, las fases reciben la denominación de líquido saturado y vapor saturado. Esta
propiedad posee una relación inversamente proporcional con las Fuerzas de Atracción Intermoleculares,
debido a que cuanto mayor sea el módulo de las mismas, mayor deberá ser la cantidad de energía
entregada (ya sea en forma de calor u otra manifestación) para vencerlas y producir el cambio de estado.
La presión de vapor es la presión de un sistema cuando el sólido o líquido se hallan en equilibrio con su
vapor. Los vapores y los gases, tienden a ocupar el mayor volumen posible y ejercen así sobre las paredes de
los recintos que los contienen, una presión también llamada, fuerza elástica o tensión. Para determinar un
valor sobre esta presión se divide la fuerza total por la superficie en contacto
Inicialmente sólo se produce la evaporación ya que no hay vapor; sin embargo a medida que la cantidad de
vapor aumenta y por tanto la presión en el interior de la ampolla, se va incrementando también la velocidad
de condensación, hasta que transcurrido un cierto tiempo ambas velocidades se igualan. Llegados a este
punto se habrá alcanzado la presión máxima posible en la ampolla (presión de vapor o de saturación) que no
podrá superarse salvo que se incremente la temperatura.
El equilibrio dinámico se alcanzará más rápidamente cuanta mayor sea la superficie de contacto entre el
líquido y el vapor, pues así se favorece la evaporación del líquido; del mismo modo que un charco de agua
extenso pero de poca profundidad se seca más rápido que uno más pequeño pero de mayor profundidad
que contenga igual cantidad de agua. Sin embargo, el equilibrio se alcanza en ambos casos para igual
presión.
El factor más importante que determina el valor de la presión de saturación es la propia naturaleza del
líquido, encontrándose que en general entre líquidos de naturaleza similar, la presión de vapor a una
temperatura dada es tanto menor cuanto mayor es el peso molecular del líquido.
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PROPIEDADES
La regla de fases establece que la presión del vapor de un líquido puro es función única de la temperatura de
saturación. Vemos pues que la presión de vapor en la mayoría de los casos se puede expresar como:
P.V.P. = f (t)
La cual podría estar relacionada con cualquier otra propiedad intensiva de un líquido saturado ( o vapor),
pero es mucho mejor relacionarla directamente con la temperatura de saturación.
¿Cómo se relaciona?
La presión de vapor de un líquido se relaciona con la temperatura por medio de la ecuación de
ClaussiusClapeyron, sin embargo existen muchas ecuaciones que estudian esta propiedad de los fluidos,
pero de todas maneras estas ecuaciones pueden referirse a la ecuación de Clapeyron:
Ln P2/P1 = (DH/R) vaporización (1/T1-1/T2)
Esta ecuación mediante pasos matemáticos, puede convertirse en:
LnPvp = A+B/T
ESTIMACION DE VALORES
En intervalos de baja presión: 10 a 1500 mmHg se estima por varios métodos unos de los cuales son:
-.El método de estimación de Frost-Kalkwarf-Thodors, es el mejor para compuestos orgánicos, el cual se
hace por medio de Cálculos de tipo iterativo, y arroja un máximo porcentaje de error medio de 5.1%
-.El método de Riedel-Plank-Miller es el mejor para compuestos inorgánicos y además es fácil de usar, este
arroja un máximo porcentaje de error medio de 5.2%
-.En intervalos de alta presión: 1500 mmHg hasta la presión crítica también existen varios métodos de los
cuales mencionare algunos:
-.El método de estimación reducida de Kirchhoff, el cual no es muy exacto pero es muy fácil de usar, este
arroja un máximo porcentaje de error medio de 3.2%
-.El método de estimación de Frost-Kalkwarf-Thodors, para intervalos de alta presión también requiere de
cálculos iterativos, sin embargo es muy bueno y arroja un máximo porcentaje de error medio de 1.5%
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Estos métodos anteriores son métodos trabajados con ecuaciones reducidas para los cuales era necesario
conocer tc, pc, tb. Pero existen muchísimos métodos diferentes tanto con ecuaciones reducidas como con
ecuaciones semirreducidas y sin reducir.
Tipo de uso de la presión de vapor
Para mirar un ejemplo de presión de vapor aplicada a tuberías es bueno analizar un poco las plantas
productoras de petroquímicos y refinerías, ya que estas requieren de muchos servicios como: vapor de agua
(enfriamiento, servicio, proceso), aire de instrumentos, energía eléctrica; para ello estas plantas necesitan
grandes sistemas de transformación de energía, y redes de distribución de varios kilómetros, en las cuales se
incurre en pérdidas de energía. Para lo que es necesario usar expresiones matemáticas para calcular dichas
perdidas y llevar a cabo estudios sobre la recuperación de la inversión y la rentabilidad de acciones de
ahorro de energía.
Se debe realizar un pequeño análisis de los sistemas de generación y distribución de vapor, principalmente
de aquellos que por ser de gran tamaño son muy dinámicos cambiando sus condiciones de operación; flujo,
temperatura y presión varias veces al día. Los cambios pueden ser ocasionados por modificación en las
condiciones de operación de las plantas de proceso de mantenimiento predictivo o correctivo de los equipos
generadores y consumidores de vapor y energía eléctrica, o por cambio de las condiciones atmosféricas.
Estos cambios nos proporcionan áreas de oportunidad de ahorro si se mantiene un análisis constante del
sistema de generación y distribución de vapor.
En la generación del vapor vemos como las plantas que lo generan, están formadas por dos o tres niveles de
presión, los cuales son distribuidos según su uso o según la magnitud de la presión del vapor, de esta forma:
para los bloques de generación eléctrica, turbinas para accionar bombas y compresores de plantas de
procesos se usa el vapor de mayor presión; para turbogeneradores eléctricos y grandes turbocompresores,
se usa por lo general extracciones de vapor media; las turbinas de menor capacidad normalmente descargan
a la red de baja presión.
El control de la presión y la temperatura en las redes de distribución de vapor es sumamente importante, ya
que excesos de estas presiones pueden causar un desgaste más acelerado de la tubería y aparte de esto se
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pueden generar muchas pérdidas de energía, lo cual no es conveniente para un proceso en el cual se esta
tratando de aprovechar la energía al máximo.
Para controlar estos excesos o simplemente variantes de las presiones y temperaturas adecuadas se tienen
controles de los generadores de vapor los cuales mantienen estos factores en los valores ajustados, esta
regulación también se lleva a cabo durante todo el proceso ya que en las redes de media y baja presión,
también se cuenta con reguladores de presión y temperatura en turbinas y otros aparatos que intervienen
en el este.
Ya con estos reguladores en el procesos, se puede decir que cuando las condiciones de presión y
temperatura del vapor que llegan a los equipos varían. La demanda de vapor se ajustará dependiendo de la
entalpía y otras características del vapor y del salto entalpia disponible, en el caso de las turbinas.
Para mantener el control en los sistemas de distribución de vapor, es necesario llevar una buena
administración y una constante revisión de toda la red, a su vez mediante los dato recolectado durante las
revisiones periódicas es necesario estar calculando las pérdidas de energía ya que estas afecten
directamente la eficiencia del proceso, por último es necesario determinar los puntos de ajuste adecuados
para la red.
Supongamos un recipiente cerrado en el que hay aire seco (absolutamente seco, sin una sola molécula de
agua volando) y en el que se introduce un poco de agua.
a). Inmediatamente algunas moléculas de agua traspasan la superficie y salen volando, pasando al
estado gaseoso e integrando una fase nueva: el vapor (este proceso se llama evaporación). Los
numeritos representan la cantidad (hipotética) de moléculas que están volando (en el inicio no hay
ninguna, acordarse que en el recipiente había aire seco).
b) Le siguen más y más moléculas que pasan de la fase líquida a la fase gaseosa. Algunas moléculas
retornan a la fase líquida (eso es la condensación); al principio pocas, porque no había muchas
volando en la fase gaseosa.
c) A medida que la fase vapor se va poblando de más y más moléculas, la velocidad de retorno va
creciendo, hasta que se iguala con la velocidad de despegue y se alcanza un equilibrio dinámico.
Supongamos que en ese momento hay 60 moléculas en la fase gaseosa.
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d) La misma cantidad de moléculas que pasan del estado líquido al estado gaseoso, pasan del
gaseoso al líquido. Si 7 moléculas nuevas se evaporan, otras 7 se condensan. Aunque dejemos pasar
dos horas... seguirá habiendo 60 moléculas en la fase gaseosa. Es lo que se llama un equilibrio
dinámico.
La presión parcial de la humedad en la fase gaseosa de agua que partió de cero alcanzó un valor constante.
Este valor se llama presión de vaporde saturación, y sólo depende de la temperatura a la que se realiza el
experimento. Por ejemplo, si el mismo experimento lo hubiésemos realizado un día más caluroso, en lugar
de alcanzar el equilibrio en 60 moléculas, lo habría alcanzado en -por ejemplo- 85. Acá tenemos un gráfico
que cuenta lo mismo que el experimento que te acabo de narrar.
La cantidad de moléculas que tenemos en la fase gaseosa va aumentando a medida que transcurre el
tiempo (curva celeste). Y se aproxima asintóticamente a un valor constante, que no va a superar. Cuando
llega a ese estado decimos que el volumen se halla saturado.
Si el experimento ocurre a una temperatura mayor (T2 > T1) la cantidad de moléculas en la saturación será
mayor (curva verde).
Los valores alcanzados en la saturación son muy robustos. Y a todos los experimentadores les dan los
mismos valores: las cantidades en la saturación son siempre los mismos y dependen exclusivamente de la
temperatura. Es sorprendente que sea independiente de la presión total que haya en el recipiente debido a
la presencia de otros gases: las moléculas de vapor de agua se comportan como si fueran lo único que existe
en el universo. Esas cantidades de vapor en el momento de la saturación están consignados en tablas como
ésta:
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Notemos algunas cosas:
En la escala de temperaturas elegida hay más detalle entre 0 y 30 grados ya que son las temperaturas
ambientales comunes, y los valores consignados tienen importancia para establecer la humedad del
ambiente.
La temperatura 37 grados está consignada porque es la temperatura corporal, y a veces la de la piel
(habitualmente es más fría); la transpiración (básicamente agua) se evapora a la temperatura de la piel.
A 100ºC la presión de vapor es 1 atm. Eso quiere decir que a 100 grados toda la masa líquida pasa a la fase
gaseosa, a la atmósfera... ¡como si el agua entrara en ebullición! (mmm, eso ya lo sabíamos).
Y entonces, a 2 atm, el agua hierve a 120ºC (como en el autoclave).
En el gráfico de presiones de vapor lo único que hice fue llevar los valores de la tabla, de modo que ambos tabla y gráfico- sirven también como tabla o gráfico de puntos de ebullición. Eso quiere decir que a
diferentes presiones la temperatura de ebullición no va a ser la misma.
En el gráfico de presiones de vapor lo único que hice fue llevar los valores de la tabla, de modo que ambos tabla y gráfico- sirven también como tabla o gráfico de puntos de ebullición. Eso quiere decir que a
diferentes presiones la temperatura de ebullición no va a ser la misma.
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IMPORTANTE:
Supongamos que estamos en la etapa d) del experimento, es decir, la presión de vapor ya fue alcanzada en
la temperatura en la que estemos trabajando. ¿Qué pasaría si añadiéramos un poco de vapor extra con una
jeringa? Inmediatamente aumentaría la velocidad de retorno a la fase líquida (condensación) y se
restablecería la presión de vapor al valor de tabla. La condensación puede ocurrir no sólo en la superficie del
líquido sino también en las paredes del recipiente, o en cualquier parte. O sea que la presión de vapor
establece el máximo de vapor que puede coexistir con la fase líquida, pero puede haber menos.
TENSIÓN SUPERFICIAL
La tensión superficial de un líquido es la cantidad de energía necesaria para aumentar su superficie por
unidad de área. Esta definición implica que el líquido presenta una resistencia para aumentar la superficie.
Cabe suponer que los líquidos cuyas moléculas tengan fuerzas de atracción intermoleculares fuertes,
tendrán tensión superficial elevada.
COEFICIENTE DE TENSIÓN SUPERFICIAL
El trabajo necesario para aumentar el área de una superficie liquida resulta ser experimentalmente,
proporcional al aumento definiéndose como coeficiente de tensión superficial la relación entre ambos
conceptos.
Si:
dW = TsdA... (1)
 Ts  dW
O
dA
Ts 
dF
dL
Dónde:
Ts: coeficiente de tensión superficial
El coeficiente mencionado se mide en unidades de trabajo o energía (J/m 2 o N/m)
Asimismo se puede probar que cuando un líquido presenta al aire una superficie curva se genera en ese
menisco curvo un desnivel de presión de modo que la presión en el lado convexo es siempre menor que la
existente en el lado cóncavo
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Dónde:
•
En el dispositivo de la figura se inyecta aire a través de un tubo de pequeño diámetro 1mm aprox. a
través de la boquilla a la presión P
•
El líquido enrasado en el extremo del tubo cede por la presión formando un menisco, el cual
provoca un aumento en la superficie que encierra el tubo. Se demuestra que inmediatamente antes
de que el menisco se rompa al crecer P adopta la forma de una semiesfera.
Entonces el área de una semiesfera:
A  2R 2 ... (2)
R: radio de la semiesfera
Si el radio varia a (R + dR) y reemplazando en (2)
A  dA  2R  dR
2
A  dA  2R 2  4RdR  2dR 2
área de semiesfera

dA  4RdR (para semiesfera )
dA  4RdR ... (3)
(3) reemplazando en (1):
dw  4TsRdR ... (4)
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Sabiendo que:
Pa: Presión atmosférica
Considerando el, área del menisco S:
F  P  Pa .S
y cuando el área del menisco se incrementa dA, la fuerza realiza un trabajo:
FdR  P  Pa s.dR

dw  P  Pa s.dR
... (5)
dR: es la distancia radial recorrida por el menisco
Dónde:
dA  4RdR
A  2R 2
dónde: S = A
... (6)
Reemplazando (6) en (5):
dw  P  Pa 2R 2 dR ... (7)
Igualando (3) y (7):
P  Pa 2R dR  4TsRdR
P  Pa R  2Ts
2
P  Pa 
2Ts
R
... (8)
 Esto demuestra:
Que la presión Pa en el lado convexo del menisco siempre es menor que la presión P en el lado
cóncavo
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CAPILARIDAD
Es la subida espontánea de un líquido en un tubo estrecho (capilar). Se debe a dos tipos de fuerzas
diferentes: cohesión que son las fuerzas entre las moléculas del líquido y fuerzas adhesivas que son las
fuerzas que operan entre las moléculas del líquido y el capilar (tubo)
Tal es el caso de los meniscos pues cualquier superficie encorvada dentro del tubo tiene mayor área que la
superficie plana original. Luego al formar el menisco la superficie liquida almacena energía potencial.
(*1) Por lo tanto si se asimila el trabajo realizado al generado por una fuerza ficticia F en el desplazamiento
dx la energía potencial almacenada será:
dE  Fdx
 F   dE
dx
(*2) La superficie del menisco debe estar en equilibrio luego la condición del menisco debe tenerse F = 0,
entonces:
dE
0
dx
Siendo la condición (*1) a un equilibrio inestable y la (*2) garantiza el equilibrio estable, se
concluye que un tubo capilar de menisco cóncavo debe tender a formar esferas como formas de
equilibrio estable:
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De la figura (b):
R
r
cos 
... (9)
Según (8)
P2  P1 
2Ts
R
 P  Pa 
2Ts
R
Pero:
P1  Pa
... (10)
Reemplazando (9) en ( 10 ) :
P2  Pa 
2Ts cos 

... (11)
Una vez que el agua ha subido la presión en M será:
PM  P2   w h ... (12)
Reemplazando (11) en (12):
PM  Pa 
2Ts cos
  w .h

Pero cuando alcanza el equilibrio la presión PM debe ser la atmosférica que tiene el líquido que rodea al tubo
en su superficie:
P  Pa :
M
Pa  Pa 
h 
2Ts cos 
  w .h
r
2Ts cos 
r w
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Por otra parte el agua tiene la propiedad de ascender por las paredes de un tubo de vidrio capilar cuando la
superficie del agua toca el vidrio, porque las fuerzas de adhesión agua-vidrio son mayores que las de
cohesión agua-agua por lo que el agua contenida en el capilar sube hasta que las fuerzas de atracción se
hacen iguales al peso de la columna de agua que se forma en su ascenso. El hecho que las fuerzas adhesivas
en el agua sea mayores que las cohesivas, se manifiesta también en la formación de un menisco cóncavo (
redondeado hacia abajo ) en el extremo de la columna cuando las fuerzas cohesivas son mayores que las
adhesivas, como en el caso del líquido mercurio, se forma un menisco convexo ( redondeado hacia arriba )
COHESIÓN Y ADHESIÓN DEL AGUA
El agua manifiesta los fenómenos de cohesión y adhesión. Sus moléculas presentan una fuerte tendencia a
unirse entre sí (cohesión), debido a la presencia de puentes de hidrógeno entre ellas. Dichas moléculas
también se adhieren a otras sustancias (p. ej. aquellas sustancias que tienen en su superficie grupos de
átomos o moléculas cargados). Estas fuerzas de adhesión explican por qué el agua moja algunas cosas.
Las fuerzas de adhesión y cohesión explican la tendencia del agua a ascender por los tubos de calibre muy
pequeño, fenómeno que recibe el nombre de capilaridad. Las fuerzas de adhesión atraen las moléculas de
agua hacia los grupos cargados presentes en las superficies del tubo. Luego, otras moléculas presentes en el
interior del tubo son "arrastradas" por las fuerzas de cohesión (los puentes de hidrógeno que hay entre las
moléculas del agua). En tubos de mayor diámetro hay un menor porcentaje de moléculas de agua adheridas
al vidrio en relación al número de moléculas de agua que hay en la superficie, por lo cual las fuerzas de
adhesión no son suficientemente fuertes como para contrarrestar las fuerzas de cohesión del agua que está
por debajo del nivel de la superficie del recipiente, de modo que el agua en el interior del tubo se eleva sólo
un poco. El agua también se mueve en los espacios microscópicos que hay entre las partículas del suelo, de
modo que llega hasta las raíces de las plantas por capilaridad; este mismo fenómeno contribuye al ascenso
del agua por los tallos de las plantas hasta llegar a las hojas.
El agua tiene un alto grado de tensión superficial (algunos objetos flotan sobre su superficie) debido a la
cohesión de sus moléculas; éstas se atraen entre sí con mayor fuerza que las moléculas del aire. De este
modo, las moléculas de agua de la superficie libre se agrupan, produciendo una fuerte capa debido a la
atracción que ejercen sobre ellas otras moléculas de agua situadas por debajo. Este hecho es importante en
el caso de las plantas acuáticas y en el desarrollo de las larvas de algunos insectos.
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VISCOSIDAD
La viscosidad de un fluido es una medida de se resistencia a fluir, como resultado de la interacción y
cohesión de sus moléculas.
Si se considera el movimiento de un flujo sobre una frontera solida fija, donde las partículas se mueven en
líneas rectas paralelas, se puede suponer que el flujo se produce en forma de capas o láminas de espesor
diferencial cuyas velocidades varían con la distancia y, normal a dicha frontera. (figura1.5)
Según newton, el esfuerzo tangencial que se produce entre dos laminas separadas una distancia dy, y que se
desplazan con velocidades (v) y [𝑣 + (𝜕𝑣/𝜕𝑦)𝑑𝑦] vale:
𝜏=𝜇
𝜕𝑣
… … .1.1
𝜕𝑦
De acuerdo con dicha ley el esfuerzo tangencial es proporcional al gradiente transversal de velocidades
𝜕𝑣/𝜕𝑦. La constante de proporcionalidad u es una magnitud característica de la viscosidad del fluido y se
conoce como viscosidad dinámica o simplemente viscosidad.
De acuerdo con el perfil de velocidades mostrado en la fig. es claro que el esfuerzo cortante generado entre
el fluido y la pared es mayor al que hay entre las capas de fluido adyacente. Los llamados newtonianos se
comportan conforme esta ley; en cambio, en los no newtonianos es distinto, pues en este grupo quedan
comprendidos diferentes tipos (figura 1.6) en los casos extremos se encuentran: el fluido de no viscoso con
viscosidad u=0 y, el elástico, con viscosidad 𝜇 = ∞.
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Las dimensiones de la viscosidad dinámica, en el sistema absoluto, son [𝑀𝐿−1 𝑇 −1 ] y, en el gravitacional,
𝐹𝐿−2 𝑇. Para el sistema absoluto centímetro-gramo masa-segundo, la equivalencia es gm/cmseg, que es
utilizada como unidad de viscosidad cinemática en este sistema y es conocida como poise en honor a
poiseuille:
1𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒 = 1
𝑔𝑚
𝑐𝑚. 𝑠𝑒𝑔
Para el sistema gravitacional es más común la unidad:
1
𝑘𝑔. 𝑠𝑒𝑔
𝑔𝑚
= 98.0665
𝑚2
𝑐𝑚. 𝑠𝑒𝑔
La viscosidad dinámica es función, principalmente, de la temperatura y la presión. La dependencia respecto
de la presión es prácticamente despreciable para los líquidos y pequeña o despreciable para la mayoría de
los gases y vapores, a menos que la presión resulte muy grande. En tanto que la viscosidad de los líquidos
disminuye con la temperatura, la de los gases aumenta.
En la figura 1.7 se muestra la variación de u del agua y del aire, con la temperatura. (se ha dibujado con
datos tomados de la referencia 3).
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Figura 1.7. Viscosidad dinámica del agua y del aire a la presión atmosférica al nivel del mar.
Para los cálculos prácticos es más conveniente relacionar la viscosidad dinámica del fluido y su densidad, con
la fórmula:
𝑣=
𝜇
… .1.2
𝜌
Donde v es la viscosidad cinemática.
La ventaja de usar esta nueva propiedad es evidente ya que sus dimensiones son [𝐿2 𝑇 −1 ], esto es,
independientes de los conceptos de masa y fuerza. En el sistema CGS se emplea comúnmente la unidad
1𝑠𝑡𝑜𝑘𝑒𝑠 = 1
𝑐𝑚2
𝑚2
= 0.0001
𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔
El coeficiente v presenta características semejantes a las de u.
En la figura 1.8 se muestran los valores de v para el agua y el aire, en función de la temperatura y a la
presión atmosférica al nivel del mar, con datos tomados de la referencia 3.
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Figura 1.8. Viscosidad cinemática del agua y del aire a la presión atmosférica del nivel del mar
De acuerdo con la ecuación 1.1, el esfuerzo tangencial en cualquier punto de un fluido puede desaparecer
en algunos de los casos siguientes:
a)
Si se desprecia la acción de viscosidad (fluido no viscoso).
b) Si la distribución de las velocidades es uniforme (v=constante) y por tanto
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0; sucede cuando el
flujo es turbulento y el efecto viscoso es despreciable.
c). en un líquido en reposo donde la velocidad en cada punto (y como consecuencia 𝜕𝑣/𝜕𝑦) vale cero.
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GAS PERFECTO Y ECUACION DE ESTADO
Los gases:
El comportamiento de los gases es diferente al de los líquidos y su estudio requiere de consideraciones
termodinámicas. El estudio de los gases se simplifica bastante si es que aproximadamente se comportan
como los llamados gases perfectos. Afortunadamente es así.
La ecuación de estado de un gas perfecto relaciona el número mínimo de parámetros que son necesarios
para definir el estado del gas. Se expresa:
𝐩 = 𝛄𝐑 𝐎 𝐓 = 𝛒𝐠 𝐑 𝐎 𝐓 = 𝛒 𝐑 𝐓
p:
g:
T:
RO:
R:
‫ﻻ‬:
Ρ:
presión absoluta en kg/m2
9.8 m/sg2
temperatura en ºkelvin
constante para cada gas. Para el aire su valor es = 29.3 m/ºk
g RO
peso específico del gas en kg/m3
densidad del gas en kg.sg2/m4
En los gases perfectos se supone que ante la adición de una pequeña cantidad de calor el proceso de cambio
de las propiedades del gas es muy lento, que los cambios de temperatura y presión son muy pequeños, que
el sistema se conserva siempre en equilibrio y por lo tanto puede ser considerado homogéneo.
Procesos termodinámicos
a)
Proceso a volumen constante: cuando los cambios de temperatura o de presión tienen lugar sin
cambiar el volumen específico del gas.
𝐕𝐒𝟏 = 𝐕𝐒𝟐 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞
b) Proceso isobárico o a presión constante: si es que durante el proceso no cambia la presión del gas.
𝐩𝟏 = 𝐩𝟐 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞
𝛒𝟏 𝐑 𝐓𝟏 = 𝛒𝟐 𝐑 𝐓𝟐 = 𝐜𝐭𝐞.
𝛒𝟏 𝐓𝟏 = 𝛒𝟏 𝐓𝟐 = 𝐜𝐭𝐞.
𝟏
𝟏
=
= 𝐜𝐭𝐞
𝛒𝟏 𝐓𝟏 𝛒𝟐 𝐓𝟐
𝐕𝐒
= 𝐜𝐭𝐞
𝐓
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c)
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proceso isotérmico o a temperatura constante: si es que durante el proceso no cambia el producto RT.
𝐑 𝟏 𝐓𝟏 = 𝐑 𝟐 𝐓𝟐 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞
𝐩𝟏 𝐩𝟐
=
= 𝐜𝐭𝐞.
𝛒𝟏 𝛒𝟐
𝐩𝟏 𝐕𝐒𝟏 = 𝐩𝟐 𝐕𝐒𝟐 = 𝐜𝐭𝐞.
d) Proceso adiabático o sin adición de calor: si además el proceso es reversible, es decir si no se produce
fricción se denomina isotrópico y se cumple:
𝐩𝟏
𝛒𝐤𝟏
=
𝐩𝟐
𝛒𝐤𝟐
= 𝐜𝐭𝐞.
k…….constante de cada gas. Para el aire vale 1.4
Ecuación politropica. Es una ecuación general que rige para cada uno de los procesos precedentes.
𝐩 𝐕𝐬𝐧 =
n= 0
n= 1
n= k
𝐩
= 𝐜𝐭𝐞.
𝛒𝐧
en los procesos isobáricos
en los procesos isotérmicos
en los procesos isotrópicos
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PRESION EN UN PUNTO
La presión en un punto al interior de un fluido que está en reposo, es la misma, cualquiera que sea la
orientación desde donde se haga la medida. Para demostrar esta afirmación, se puede analizar un elemento
de fluido en forma de cuña al interior del fluido en reposo, al que consideraremos como un cuerpo libre. Las
fuerzas que actúan sobre este elemento de fluido, son fuerzas superficiales debido a la presión y la fuerza
másica debido a la gravedad, cuya fuerza resultante es nula ya que está en reposo.
Considere el diagrama de cuerpo libre obtenido al eliminar una cuña triangular de fluido de alguna ubicación
dentro de una masa de fluido.
Fuerzas sobre un elemento de fluido arbitrario en forma de cuña
Como no hay esfuerzos cortantes, las únicas fuerzas externas que actúan sobre la cuña se deben a la presión
y al peso.
Las ecuaciones de movimiento (Segunda Ley de Newton, F = m a) en las direcciones Y y Z son,
respectivamente:
∑ 𝐅𝐲 = 𝐩𝐲 . 𝛔𝐱 . 𝛔𝐳 − 𝐩𝐬 . 𝛔𝐱 . 𝛔𝐬 . 𝐬𝐢𝐧 𝛉 = 𝛒
𝛔 𝐱 . 𝛔 𝐲 . 𝛔𝐳
. 𝐚𝐲
𝟐
∑ 𝐅𝐳 = 𝐩𝐳 . 𝛔𝐱 . 𝛔𝐲 − 𝐩𝐬 . 𝛔𝐱 . 𝛔𝐬 . 𝐜𝐨𝐬 𝛉 − 𝐘.
𝛔 𝐱 . 𝛔 𝐲 . 𝛔𝐳
𝛔 𝐱 . 𝛔 𝐲 . 𝛔𝐳
=𝛒
. 𝐚𝐳
𝟐
𝟐
Donde ps, py y pz son las presiones medias sobre las caras, γ y ρ el peso específico y la densidad del fluido,
respectivamente y ay, az son las aceleraciones.
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Para obtener la fuerza generada por la presión es necesario multiplicar la presión por un área adecuada.
Según la geometría de la cuña, se tiene:
𝛔𝐲 = 𝛔𝐬 . 𝐜𝐨𝐬 𝛉 𝛔𝐳 = 𝛔𝐬 . 𝐬𝐢𝐧 𝛉
Por lo que las ecuaciones de movimiento se pueden escribir como:
𝐩𝐲 − 𝐩𝐬 = 𝛒. 𝐚 𝐲 .
𝛔𝐲
𝟐
𝐩𝐳 − 𝐩𝐬 = (𝛒. 𝐚𝐳 + 𝐘).
𝛔𝐳
𝟐
Como interesa lo que sucede en un punto, se considera el límite cuando δ x, δy y δz tienden a cero, se
concluye que:
𝐩 𝐲 = 𝐩𝐬 𝐩𝐳 = 𝐩𝐬
Es decir:
𝐩𝐬 = 𝐩 𝐲 = 𝐩𝐳
Según lo anterior se concluye que:
LEY DE PASCAL: La presión en un punto de un fluido en reposo, o en movimiento, es independiente de la
dirección en tanto no haya esfuerzos cortantes
VARIACIÓN DE LA PRESIÓN EN UN FLUIDO EN REPOSO
La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es
la misma''.
Para demostrar esta afirmación, imaginemos al interior de un fluido en reposo un “cilindro de fluido”
horizontal de largo l y área basal infinitesimal dA. Las únicas fuerzas que actúan en dirección axial son las
fuerzas de presión pAdA y pBdA, luego:
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En un punto al interior de un fluido que está en reposo, la presión es la misma cualquiera que sea la
orientación desde donde se haga la medida.
𝐩𝐀 𝐝𝐀 − 𝐩𝐁 𝐝𝐀 = 𝟎 → 𝐩𝐀 = 𝐩𝐁
Esto significa que en puntos cualquiera de un mismo plano horizontal en una masa continua de un fluido en
reposo, existe la misma presión ( los puntos A y B son puntos cualquiera del plano horizontal).
Notación para la variación de la presión en un fluido en reposo con una superficie libre
∑ 𝑭𝑽 = 𝑭𝟏 − 𝑭𝟐 − 𝒘 = 𝟎
𝒑𝟏 ∗ 𝑨 − (𝒑𝟏 + 𝒅𝒑) ∗ 𝑨 − 𝒀 ∗ 𝑨 ∗ 𝒅𝒛 = 𝟎
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𝒅𝒑 = −𝒀𝒅𝒛
Ecuación fundamental para fluidos en reposo (se puede utilizar para determinar la forma en que la presión
cambia con la elevación).
La presión disminuye a medida que se efectúa un desplazamiento ascendente en un fluido en reposo.
Para líquidos y gases en reposo, el gradiente de presión en la dirección vertical en cualquier punto del fluido
depende sólo del peso específico del fluido en dicho punto.
Fluido Incompresible
Para líquidos suele ser insignificante la variación de la densidad, inclusive sobre grandes distancias
verticales, de modo que cuando se trata con líquido es aceptable la suposición de que el peso específico es
constante. Por lo que la ecuación anterior puede integrarse como:
𝑷𝟐
𝒁𝟐
∫ 𝒅𝒑 = −𝒀 ∫ 𝒅𝒁
𝑷𝟏
𝒁𝟏
𝑷𝟐 − 𝑷𝟏 = −𝒀. (𝒁𝟐 − 𝒁𝟏 )
𝑷𝟏 = 𝑷𝟐 + 𝒀. (𝒁𝟐 − 𝒁𝟏 )
𝑷𝟏 = 𝑷𝟐 + 𝒀. 𝒉
En un fluido incompresible en reposo la presión varía linealmente con la profundidad.
Dentro de un fluido dos puntos A y B tienen la misma
presión si:
1) El fluido se encuentra en reposo
2) Los puntos A y B se encuentran al mismo nivel
3) Los puntos A y B están dentro de la misma masa contínua de fluido.
La diferencia de presión entre dos puntos puede especificarse mediante la distancia h, es decir:
𝑷𝟏 − 𝑷𝟐
𝒉=
𝒀
En este caso h se denomina cabeza o carga de presión y se interpreta como la altura que de be medir una
columna de fluido de peso específico γ para obtener una diferencia de presión p1-p2.
Por ejemplo, una diferencia de presión de 10 psi se puede especificar en términos de la carga de presión
como 23,1 pies de agua (γ= 62,4 lb/pie3) o como 518 mm-Hg (γ=133 kN/m3)
La paradoja de Pascal
Cuando se trabaja con líquidos a menudo hay una superficie libre (que es conveniente usar como plano de
referencia). La presión de referencia po corresponde a la presión que actúa sobre la superficie libre (que
suele ser la presión atmosférica).
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El cambio de presión depende solamente del cambio de elevación y del tipo de fluido, no del tamaño ni de la
forma del contenedor donde se encuentra el fluido.
La presión es la misma en todos los puntos a lo largo de la recta A-B
Fluido en equilibrio en un estanque de forma arbitraria
El requisito de igualdad de presiones a elevaciones iguales se aplica en prensas hidráulicas, en controles
hidráulicos de aviones y en ciertos tipos de maquinaria pesada.
El efecto de los cambios de elevación suele ser insignificante para éste tipo de dispositivo hidráulico, por lo
que resulta F2= (A2/A1) F1.
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Fluidos Compresibles
Los gases son fluidos compresibles (aire, oxígeno, nitrógeno, etc.) cuya densidad varía de manera
significativa con cambios de presión y de temperatura.
Los pesos específicos de gases comunes son pequeños en comparación con los de los líquidos. Por ejemplo,
a nivel del mar y a 60 ºF el peso específico del aire es de 0,0763 lb/pie3 mientras que el del agua, en las
mismas condiciones, es de 62,4 lb/pie3.
El gradiente de presión en la dirección vertical es pequeño por lo que es posible ignorar el efecto de los
cambios de elevación sobre la presión en gases contenidos en depósitos, balones de gas, tuberías, etc.
En el caso en que la variación de altura es grande, del orden de miles de pies, es necesario considerar el
peso específico del gas.
La ecuación de estado de los gases ideales establece que:
𝑷. 𝑽 = 𝒏. 𝑹. 𝑻
𝑷. 𝑽 =
𝑷=
𝒎
. 𝑹. 𝑻
𝑷𝑴
𝒎 𝑹
.
.𝑻
𝑽 𝑷𝑴
𝑷 = 𝝆. 𝑹. 𝑻
La ecuación fundamental de fluidos en reposo (dp=-γdZ) puede combinarse con la ecuación anterior:
𝐝𝐩
𝐠. 𝐩
= −𝐘 = − ∗
𝐝𝐙
𝐑 .𝐓
Al separar variables se tiene:
𝐝𝐩
𝐠. 𝐝𝐙
=− ∗
𝐏
𝐑 .𝐓
𝑷𝟐
𝒅𝒑
𝑷𝟐
𝒈 𝒁𝟐 𝒅𝒁
∫
= 𝐥𝐧 ( ) = − ∗ ∫
𝑷𝟏
𝑹 𝒁𝟏 𝑻
𝑷𝟏 𝑷
Si la temperatura se considera constante T = T0 (condiciones
isotérmicas) se concluye que:
𝐏𝟐 = 𝐏𝟏 . 𝐞𝐱𝐩 [
−𝐠. (𝐙𝟐 − 𝐙𝟏 )
]
𝐑∗ . 𝐓𝟎
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Ejemplo 11.- Calcular la presión a 1,500 m de profundidad en el mar
a) considerando el agua incompresible {y = 1,025 kg/m3}
b) considerando el agua compresible· lE = 21,000 kg/cm2)
Solución:
a). 𝑝 = 𝛾ℎ = 1.025 ∗ 1500
b). 𝐸 =
𝑑𝑝
𝑑𝛾
𝛾
𝑘𝑔
𝑚2
= 153.75 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
… … … … … (∝)
𝑑𝑝 = 𝐸
𝑑𝛾
𝛾
𝑑
∫ 𝑑𝑝 = 𝐸 ∫
𝛾𝑑
𝛾
𝛾
0
𝛾0
𝑝 = 𝐸 𝑙𝑛
𝛾
… … … (𝛽)
𝛾0
𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 (𝑎)𝑑𝑝 = 𝛾𝑑ℎ:
𝐸=
𝛾𝑑ℎ
𝑑𝛾
𝛾 2 𝑑ℎ
𝑑𝛾
=
𝛾
𝑑ℎ = 𝐸 𝛾 − 2 𝑑𝛾
ℎ
𝛾
∫ 𝑑ℎ = 𝐸 ∫ 𝛾 −2 𝑑𝛾
0
0
−𝐸 𝛾
)
0
𝛾 𝛾
0
𝐸 𝐸
ℎ= −
𝛾0 𝛾
𝐸𝛾0
𝑘𝑔
𝛾=
= 1032.6
𝐸 − 𝛾0 ℎ
𝑐𝑚3
ℎ
(ℎ) ℎ = (
Reemplazando en 𝛽:
𝑝 = 21000𝑙𝑛
1032.6
1025
𝑝 = 154.76 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
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Ecuación de la Hidrostática (I)
Presión de una columna de fluido
𝐩=
𝐅 𝐖 𝐌𝐚𝐬𝐚 (𝛒𝐕)𝐠 𝛒(𝐡𝐀)𝐠
=
=
=
=
= 𝛒𝐠𝐡
𝐀 𝐀
𝐀
𝐀
𝐀
𝐩 = 𝛒𝐠𝐡{
𝐤𝐠
) = 𝟗. 𝟖𝟎𝟎 𝐏𝐚
𝐦𝟑
𝐤𝐠
𝟏 𝐦. 𝐜. 𝐇𝐠 (𝛒 = 𝟏𝟑. 𝟔𝟎𝟎 𝟑 ) = 𝟏𝟑𝟑. 𝟐𝟖𝟎 𝐏𝐚
𝐦
𝟏 𝐦. 𝐜. 𝐚 (𝛒 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎
Elemento diferencial de volumen
𝐦 = 𝐕 𝛒 = 𝐝𝐱 𝐝𝐲 𝐝𝐳 𝛒 = 𝟏
𝛛𝐩
𝐩→𝐩+
𝐝𝐱
𝛛𝐱
𝐅𝐮𝐞𝐫𝐳𝐚 𝐞𝐱𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫: 𝐅(𝐗, 𝐘, 𝐙)
(𝐝𝐱 𝐝𝐲 𝐝𝐳) = 𝟏
𝛛𝐩
𝐝𝐱] 𝐝𝐳 𝐝𝐲 + 𝐗(𝛒 𝐝𝐱 𝐝𝐲 𝐝𝐳) = 𝟎
𝛛𝐱
𝛛𝐩
𝐅⃗(𝐗, 𝐘, 𝐙) 𝐩 𝐝𝐱 𝐝𝐳 − [𝐩 +
𝐝𝐲] 𝐝𝐱 𝐝𝐳 + 𝐘(𝛒 𝐝𝐱 𝐝𝐲 𝐝𝐳) = 𝟎
𝛛𝐲
𝛛𝐩
{𝐩 𝐝𝐱 𝐝𝐲 − [𝐩 + 𝛛𝐳 𝐝𝐳] 𝐝𝐱 𝐝𝐲 + 𝐙(𝛒 𝐝𝐱 𝐝𝐲 𝐝𝐳) = 𝟎
𝐩 𝐝𝐳 𝐝𝐲 − [𝐩 +
𝛛𝐩
𝛛𝐩
𝛛𝐩
− [ 𝐝𝐱] 𝐝𝐳 𝐝𝐲 + 𝐗(𝛒 𝐝𝐱 𝐝𝐲 𝐝𝐳) = 𝟎 = 𝛒𝐗 =
⇒ 𝛒 𝐗 𝐝𝐱 =
𝐝𝐱
𝛛𝐱
𝛛𝐱
𝛛𝐱
𝛛𝐩
𝛛𝐩
𝛛𝐩
− [ 𝐝𝐲] 𝐝𝐱 𝐝𝐳 + 𝐘(𝛒 𝐝𝐱 𝐝𝐲 𝐝𝐳) = 𝟎 = 𝛒𝐘 =
⇒ 𝛒 𝐘 𝐝𝐲 =
𝐝𝐲
𝛛𝐲
𝛛𝐲
𝛛𝐲
𝛛𝐩
𝛛𝐩
𝛛𝐩
{𝐲 − [ 𝛛𝐳 𝐝𝐳] 𝐝𝐱 𝐝𝐲 + 𝐙(𝛒 𝐝𝐱 𝐝𝐲 𝐝𝐳) = 𝟎 = 𝛒𝐙 = 𝛛𝐙 ⇒ 𝛒𝐙𝐝𝐳 = 𝛛𝐳 𝐝𝐳
𝝆 𝑿 𝒅𝒙 + 𝝆 𝒀 𝒅𝒚 + 𝝆 𝒁 𝒅𝒛 =
𝝏𝒑
𝝏𝒑
𝝏𝒑
𝒅𝒙 +
𝒅𝒚 +
𝒅𝒛 = 𝒅𝒑
𝝏𝒙
𝒅𝒚
𝝏𝒛
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𝛒 𝐗 𝐝𝐱 + 𝛒 𝐘 𝐝𝐲 + 𝛒 𝐙 𝐝𝐳 =
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𝛛𝐩
𝛛𝐩
𝛛𝐩
𝐝𝐱 +
𝐝𝐲 +
𝐝𝐳 = 𝐝𝐩
𝛛𝐱
𝛛𝐲
𝛛𝐳
𝐝𝐩
= 𝐗 𝐝𝐱 + 𝐘 𝐝𝐲 + 𝐙𝐝𝐳
𝛒

Si solo existe la gravedad: 𝐅⃗(𝟎, 𝟎, −𝐠)
𝐙 ⇒ 𝐚𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚
𝐝𝐩 = −𝛒 𝐠 𝐝𝐳
𝐩=𝛒𝐠𝐡

si el fluido está sometido a una presión exterior

P. Absoluta
𝐩𝐚𝐛𝐬𝐀 = 𝐩𝐚𝐭𝐦 + 𝛒 𝐠 𝐡

P. Relativa
𝒑𝒓𝒆𝒍𝑨 = 𝝆 𝒈 𝒉
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Presión absoluta y manométrica
La presión de referencia es la atmósfera y la presión resultante que se mide se conoce como presión
manométrica.
La presión que se mide en relación con el vacío perfecto se conoce como presión absoluta.
La relación entre la presión absoluta, presión atmosférica y presión manométrica (o presión relativa) es:
𝐩𝐚𝐛𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐚 = 𝐩𝐦𝐚𝐧𝐨𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚 + 𝐩𝐚𝐭𝐦𝐨𝐬𝐟𝐞𝐫𝐢𝐜𝐚
Para referirse al valor numérico de la presión hay necesidad de distinguir entre presión relativa y presión
absoluta. La primera se mide por encima (positiva) o por debajo (negativa) de la presión atmosférica local..>'
la Segunda (siempre positiva) a partir del cero absoluto que corresponde’ al vacío completo.
Las presiones relativa. Son medidas con instrumentos llamados manómetros y
por eso se denominan también presiones manométricas.
La presión atmosférica
La presión atmosférica se lleva a cabo con un barómetro de mercurio (Experiencia de Evangelista Torricelli
en 1644)
𝐏𝐚𝐭𝐦𝐨𝐬𝐟é𝐫𝐢𝐜𝐚 = 𝐡 + 𝐏𝐯𝐚𝐩𝐨𝐫
La presión de vapor del mercurio por ser muy pequeña (0,000023 psi absolutos a 68 ºF) puede ignorarse,
por lo que:
𝐏𝐚𝐭𝐦𝐨𝐬𝐟é𝐫𝐢𝐜𝐚 = 𝐡
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La presión relativa o manométrica



La presión manométrica se mide con respecto a la presión atmosférica local.
Una presión manométrica de cero corresponde a una presión que es igual a la presión atmosférica
local.
Los dispositivos para medir presión se denominan manómetros (de tubo en U y de Bourdon).
Unidades y escalas de medida de la presión
Las presiones pueden expresarse con referencia a un origen arbitrario.
Los orígenes más usuales son el vacío absoluto y la presión atmosférica local. Cuando se toma como origen
el vacío absoluto, la presión se llama presión absoluta, y cuando se toma como origen la presión atmosférica
local, se llama presión manométrica.
Se llama tipo resorte (fig. 2.5) es uno de los aparatos típicos que se usan parta medir presiones
manométricas. El elemento que soporta la presión es un tubo metálico curvado, cerrado por un extremo y
que por el otro se conecta al recipiente que contiene el fluido cuya presión va a medirse. Cuando la presión
interna aumenta el tubo tiende a enderezarse tirando de un eslabón que actúa sobre la aguja obligándola a
moverse. En la esfera se lee cero cuando en el interior y en el exterior del tubo reina la misma presión,
cualesquiera que sean sus valores particulares. La esfera puede ser graduada con las unidades que se
prefieran, tales como kg/cm2, kg/m2, mm de mercurio o metros de agua. Por su construcción, este
manómetro sirve para medir presiones relativas a la presión del medio que rodea al tubo, que suele ser la
presión atmosférica local.
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Figura 2.5. Manometros (Crosby steam gage and volve Co.)
La figura 2.6 ilustra sobre los orígenes y las relaciones de las unidades de las escalas más frecuentes. La
presión atmosférica normal es la presión media al nivel del mar, 760 mm de mercurio. Cuando la presión se
expresa por la altura de una columna de líquido, se refiere a la fuerza por unidad de área en la base de una
columna del líquido y del altura.
2.6. Unidades y escalas para medidas de la presión
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SEGUNDA UNIDAD
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ESTABILIDAD DE FLOTACIÓN Y CUERPOS SUMERGIDOS FLOTANTES
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES:
El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical
y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado, y cuyo punto de aplicación es el centra de gravedad del
volumen de dicho fluido
La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se indica en las figuras:
1.
2.
El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.
La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.
PORCIÓN DE FLUIDO EN EQUILIBRIO CON EL RESTO DEL FLUIDO:
Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto de fluido.
La fuerza que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de separación es igual a p·dS, donde p
solamente depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie.
Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas a la presión
se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta resultante la denominamos empuje y su punto
de aplicación es el centro de masa de la porción de fluido, denominado centro de empuje.
De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto se cumple
Empuje=peso
f·gV
El peso de la porción de fluido es igual al producto de la densidad del fluido f por la aceleración de la
gravedad g y por el volumen de dicha porción V.Se sustituye la porción de fluido por un cuerpo sólido de la
misma forma y dimensiones. Si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y
dimensiones. Las fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su resultante que hemos denominado
empuje es el mismo, y actúa sobre el mismo punto, es decir, sobre el centro de empuje. Lo que cambia es el
peso del cuerpo y su punto de acción que es su propio centro de masa que puede o no coincidir con el
centro de empuje.
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Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: el empuje y el
peso del cuerpo, que no tienen en principio el mismo valor ni
están aplicadas en el mismo punto.
En los casos más simples, supondremos que el sólido y el
fluido son homogéneos y por tanto, coincide el centro de
masa del cuerpo con el centro de empuje.
EJEMPLO: Supongamos un cuerpo sumergido de densidad ρ rodeado por un fluido de densidad ρf. El área de
la base del cuerpo es A y su altura h.
La presión debida al fluido sobre la base superior es p1=ρfgx, y la presión debida al fluido en la base inferior
es p2=ρfg(x+h). La presión sobre la superficie lateral es variable y depende de la altura, está comprendida
entre p1 y p2.
Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre la superficie lateral se anulan. Las otras fuerzas sobre el
cuerpo son las siguientes:
 Peso del cuerpo, mg
 Fuerza debida a la presión sobre la base superior, p1·A
 Fuerza debida a la presión sobre la base inferior, p2·A
En el equilibrio tendremos que
mg+p1·A=
mg+ρfgx·A= ρfg(x+h)·A
p2·A
O bien,
mg=ρfh·Ag
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El peso del cuerpo mg es igual a la fuerza de empuje ρfh·Ag
Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de presión entre la parte superior y la
parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido. El principio de Arquímedes se enuncia en muchos textos de
Física del siguiente modo:
Cuando un cuerpo está parcialmente o totalmente sumergido en el fluido que le
rodea, una fuerza de empuje actúa sobre el cuerpo. Dicha fuerza tiene dirección
hacia arriba y su magnitud es igual al peso del fluido que ha sido desalojado por el
cuerpo
ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS SUMERGIDOS:
Centro de flotaci6n CF i es el centra de gravedad del volumen desalojado.
Equilibrio indiferente
Equilibrio estable
Equilibrio inestable
El peso del cuerpo sumergido esta apl1cado en su ca y el empuje en el CF
“Peso específico relativo del sólido sumergido = Peso en el aire Pérdida de peso”
FLOTACIÓN: Un cuerpo flota cuando se sumerge parcialmente en un líquido hasta desplazar un volumen
igual a su peso. Para que un cuerpo flote, es necesario que el centro, de flotación esté por debajo del CG del
cuerpo. Para que halle equilibrio y flotación estable, es metacentro de estar por encima del CG del cuerpo.
METACENTRO: Es la posición limite que tiende a ocupar la intersección de la recta formada por el, CG y el
CF primitivos con la recta formada por el nuevo centro de f'lotaci6n CF' cuando el Angulo tiende a cero
Distancia Metacéntrica:CG MC
I = menor momento de inercia de la Superficie de la intercepciónliquido-sólido
Vs=Volumen del sólido sumergido.
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1er. CASO: CUERPOS SUMERGIDOS Y QUE ALCANZAN EL FONDO.
Tenemos un fluido X con su respectiva densidad, en el cual depositamos por ejemplo un cubo compuesto de
material Y también con su respectiva densidad. Con lo que sabemos hasta este momento podemos concluir
que el cubo se desplazara hasta el fondo del recipiente que contiene al fluido X si y solo si la densidad del
material del cual está compuesto nuestro cubo es mayor a la densidad del fluido Y. Claro siempre y cuando
el cubo no tenga nada que le impida llegar hasta el fondo. Esto sucede porque nuestra ecuación de Empuje
se nos convierte en:
Empuje - W = (ρfluidoX - ρcuboY) gV cubo **Resultado Negativo
La Interpretación de esta ecuación puede ser la siguiente: “Si el peso de cuerpo es mayor que el Empuje, la
resultante de las fuerzas estará dirigida hacia abajo y el cuerpo se hundirá”.
2do. CASO: CUERPOS QUE SUMERGIDOS QUE NO ALCANZAN EL FONDO.
Este segundo caso es posible analizarlo principalmente cuando observamos lo que les sucede a los globos
que contienen un fluido de densidad X que son utilizados para la observación de nuestra atmósfera. En un
inicio el globo estando en tierra experimenta un proceso con el cual se logra la disminución de la densidad
de dicho fluido (por ejemplo el calentamiento), con lo cual conseguimos su elevación. Pero alguien puede
hacerse la pregunta ¿Si el globo inicia su ascenso, cuando se detiene?, la respuesta es sencilla si
consideramos que el aire a medida se alcanza una mayor altura se vuelve menos denso, el globo dejara de
subir hasta que ambas fluidos: el que compone el globo y el aire externo desplazado, pesen lo mismo. La
conclusión de este caso es la siguiente: “Si el pero del cuerpo es igual al Empuje, la resultante será nula y el
cuerpo se mantendrá en equilibrio dentro del fluido.”
3er. CASO: CUERPOS QUE FLOTAN.
Ahora analicemos el caso en el que tenemos un fluido de densidad X, y un cubo compuesto de un material
de densidad Y. Si la densidad del fluido X es mayor que la densidad del material Y, el cubo sentirá que es
empujado hacia la superficie del fluido, y nuestra ecuación se convierte en:
Empuje - W = (ρfluidoX - ρcuboY) gVcubo **Resultado Positivo
A medida que el cubo vaya saliendo a la superficie, la fuerza que siente sé ira haciendo cada vez menor
hasta detenerse, puesto que ya no estará totalmente sumergido dado que una parte del cubo estará por
encima de la superficie y otra parte quedara por debajo de la superficie siendo menor la cantidad de fluido
que este desplazando. En este preciso momento la fuerza que siente el cubo será igual al peso del fluido que
la Parte baja del cubo ha desplazado y los dos elementos quedaran en equilibrio.
(Ρfluido)(Volumen fluido)(g) = (ρcubo)(Volumen cubo)(g)
ESTABILIDAD LINEAL Y ESTABILIDAD ROTACIONAL:
Es importante destacar otros elementos importantes en lo referente a la estabilidad de los cuerpos flotantes
o sumergidos en un fluido: Resulta que si por ejemplo tenemos el Caso 3 (Cuerpos que Flotan), y el cuerpo
en cuestión se encuentra como nuestro cubo en la figura (en equilibrio), y aplicamos una pequeña fuerza en
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la cara inferior del cubo dirigida hacia arriba. Por acción y reacción el cubo ejercerá una fuerza igual a la que
siente intentando recuperar su estado anterior. Igual sucedería si la fuerza aplicada estuviera en la cara
superior del cubo, en este caso quien intentaría regresar a su posición anterior seria el fluido. A este
resultado se le conoce como “Estabilidad lineal”. Pero sucede de manera diferente, cuando el desequilibrio
se intenta con un ángulo distinto de 90º con respecto a la superficie del cubo. En este caso se generaran
pares de fuerzas que al igual que en la “Estabilidad Lineal” intentaran regresar al cuerpo a su estado
anterior. Esto se conoce como “Estabilidad Rotacional” .El par de fuerzas estará constituido por: La fuerza
ejercida por el Peso del Cuerpo (W) que actúa hacia abajo y que tiene su línea de acción vertical por el
Centro de Gravedad del Objeto (G). Y La fuerza del Empuje, ejercida por el fluido (E) y que actúa también en
forma vertical pero hacia arriba y que tiene su línea de acción a través del Centroidede la parte sumergida
del cuerpo (B´), o sea la que se encuentra por debajo de la superficie del líquido.
“Cuando la vertical que pasa a través de B´ se intercepta con la línea central original por encima de G, como
se presenta en el punto M, se produce una par restaurador; el cuerpo se encuentra en equilibro Estable.”
Dicho punto M se conoce como Metacentro. “Cuando se encuentra por encima de G el cuerpo es estable.
Cuando se encuentra por debajo de G es Inestable y cuando se encuentra en G, está en equilibrio Neutral. La
distancia de M a G se conoce como Altura Metacéntrica y es una medida directa de la estabilidad del
cuerpo.
EJEMPLOS DE APLICACIÓN:
1. En un vaso de agua un pedazo de hielo. ¿Cómo cambia el nivel del agua en el vaso cuando el hielo se
derrite? Analizar los siguientes
Casos:
1. El hielo es completamente homogéneo.
2. En el hielo se encuentra una piedra fuertemente adherida.
3. Dentro del pedazo de hielo hay una burbuja de aire.
Solución:
1) Como el pedazo de hielo flota, el peso de toda el agua desplazada por este es igual al peso del
propio hielo o del agua recibida de este. Por eso el agua que se forma Después del deshielo ocupara
un volumen igual al volumen de la parte hundida del pedazo de hielo y por consiguiente el nivel del
agua no cambia.
Peso hielo = Empuje
 hielo . Vhielo =  agua . Vhielo sumergido
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Vhielo sumergido =
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 Hielo.Vhielo
…………………..(1)
 agua
 hielo . Vhielo total =  agua . Vhielo derretido
Vhielo derretido =
 Hielo.Vhielo
 agua
V hielo sumergido = V hielo derretido
2) El volumen de la parte sumergida del pedazo de hielo con la piedra es mayor que la suma de los
volúmenes de la piedra y el agua que se obtiene después del deshielo. Por lo .tanto el nivel. Del
agua en el vaso se descenderá.
3) El peso del agua desplazada es igual al peso del hielo (el peso del aire en una burbuja puede
despreciarse). Por eso igualmente como en el caso (1) el nivel del agua no cambiará.
2. Un cuerpo homogéneo y compacto colocado en un líquido con peso específico  1 , pesa
colocado en un líquido con peso específico  2 pesa W2. Determinar el peso específico
W1; y

del cuerpo.
Solución:
El peso del cuerpo hundido en el líquido
1
W1     1 V ……………. (1)
En el segundo caso:
W2     2 V ………………. (2)
De 1 y 2:
W2
W

 1   2
 =
W1 2  W2 1
W1  W2
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3. Una tabla que tiene uno de los extremos fuera del agua se apoya en una Piedra que a su vez sobresale del
agua. La tabla tiene una longitud L. Una parte de la tabla de longitud “a” se encuentra sobre el punto de
apoyo .Ver figura. ¿Qué parte de la tabla está hundida si el peso específico de la madera es  ?
Solución:
E1 (l-a-x/2)cos  = P(l/2-a) cos  ....................(1)
Donde:
E1 = S.x.
 0 ………………………….(2)
P = S.l.  ……………………………(2)
Donde además: S = Área de la sección transversal de la tabla:
0
= Peso específico del agua
(2) en (1):
2
Tenemos X = (l-a) + (l  a)  ( /  0 )( l  2a)l
2
X = (l-a) - (l  a)  ( /  0 )( l  2a)l
Como (l-a)X, entonces es válida solamente una solución:
2
X = (l-a) - (l  a)  ( /  0 )( l  2a)l
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4. Se necesita que una esfera hueca, de radio interior “R” llena de un gas de densidad
el material de que está hecha la esfera tiene una densidad
 m , hallar su espesor 
 ,flote en el aire. Si
.
Solución:
Empuje = peso del gas + peso de la bola
g.  aire .(4/3)..(R+  )3 = g.  gas . (4/3)..R3 + g.
 m (4/3)..(R+  )3 -(4/3)..R3
 gas . R3 +  m .(R+  )3 -  m . R3=  aire .(R+  )3
(  gas -  m ).R3 = (  aire -  m ).(R+  )3
  m
R 
= 3 gas
R
 aire   m

= R. 3
 gas   m
R
 aire   m

= R. ( 3
 gas   m
1
 aire   m
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5. Un globo cilíndrico de longitud L y radio r lleva una barquilla de peso W enlazada alglobo con 2n cables.
Determinar la presión mínima p del gas para que el globo permanezcaperfectamente hinchado. Ver figura.
Solución:
La parte superior del globo es la que va a sufrir el
aplastamiento de los cables y la fuerza que va a mantener
hinchado al globo en esa parte es:
F1 = p(2r.L) = 2prL
La fuerza de los n cables sobre el globo es:
F2 = 2.Sn
Y la presión mínima que debe tener el globo para que
permanezca, perfectamente hinchado se obtiene igualando
estas fuerzas, es decir:
F1 = F2
2prL = 2.Sn
Pero:
2Sn.cos  =W
Finalmente la presión mínima es:
P
W
2rL cos 
7. Un g1obo aerostático debe permanecer a un nivel de la atmosfera donde las condiciones hacen que el,
peso específico del aire, sea O.6 kg /m3 para lo cual en momento de la partida debencolocársele peso
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adicional que debe ser calculado sabiendo que el globo es inflado con hidrogeno de peso específico 0.08 kg
/m3 ocupando un volumen 25 m3 y siendo el peso de la parte so1ida 12 kg.
Solución:
Para que e1 globo permanezca estacionario debe cumplirse:
F  0
Entonces: Eaire  W  WH  Wadicional  0
Wadicional  Eaire  W  WH .........................(1)
Eaire =  aire .V = 0.96(25) = 24 kg.
WH =  H .V = 0.08(25) = 2 kg.
Reemplazando los valores anteriores en (1) :
Wadicional = 24-12-2
Wadicional = 10 kg.
8. Un vaso cilíndrico de peso W y sección A se encuentra invertido en fluido de densidad

sobresaliendo
la altura h. Si la relación entre temperatura inicia1 y final del aire dentro del vaso es n, hallar la fuerza
( FIPatm. , A, h; W,  , a),necesaria para sumergirla como muestra la figura.
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Solución:
Por la ecuación de los gases perfectos se sabe que:
P.V
= constante
T
Entonces para el gas dentro del recipiente:
( Pat   . X ).((h  X ) A) ( Pat   )( A )

Tinicial
T final
( Pat  x)( A(h  x))  ( Pat  )( A )n ……………….(1)
en el primer caso:
W = Empuje
W =  . A.x ……………………..(2)
En el segundo caso: F + W =  .( A. ) ………………..(3)
Se reemplaza el valor de x de la ecuación (2) en (1), luego se encuentra
e1 valor  a partir de la ecuacióncuadrática, siendo:
2
P
P
1
W
W
 .   at  at2  ( Pat  )(.g.h  )
2
2
n
A
A
Reemplazando en (3), se tiene:
 P
P
1
W
W
F  A at  ( at ) 2  ( Pat  )( .g.h    W
2
n
A
A
 2
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9. Un cono hueco es forzado dentro del agua hasta la posición mostrada en la figura, mediante una fuerza F.
Desarrollar las ecuaciones necesarias para poder determinar "e". Despreciar el peso del cono y el espesor
de sus paredes establecer las hipótesis necesarias.
Solución:
Las ecuaciones necesarias para obtener e = f(a,F,h,  ) son:
Por la ley de Boyle:
PV= Constante
En un instante antes de sumergirse:
1 a2
P0 (
.h)  c ………………….(1)
3
4
Luego de sumergirse:
1 s 2
P0   (e  x))( .
.(h  x))  c ………………(2)
3 4
dónde:
s
a(h  x)
h
, y finalmente
Por equilibrio: F = Empuje
F
 . .(e  x) 2
( s  sm  m 2 ) …………………………..(3)
12
dónde:
m
a ( h  e)
h
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10.Determinar el peso específico de una esfera que flota entre dos líquidos de densidad 0.8 y l. Sabiendo
que la línea de separación de los dos líquidos pasa por el centro de la esfera.
Solución:
Por el principio de Arquímedes: el
empuje hidrostático es igual al peso
del volumen desalojado.
Los empujes para esta esfera son dos:
Como la estera esta en equilibrio se
debe tener:
Empuje total = Peso de la esfera
O sea que: E1  E2 
4R 3
3
3
Reemplazando E1 y E2 :
4 R3
4R 3
( 1   2 ) 
3
3x 2
3
11. Un buque que flota en equi1ibrio, es cargada con (10,250 kgf), lo que hace que este se
sumerja 4 cm. Hal1ar 1a superficie de flotación sobre el nivel del mar (  AGUADEMAR =
1,025 kg /m3)
Solución
Por el principio de Arquímedes: el
nuevo peso (10,250 kgf) del buque debe
ser igual al peso de1 volumen del
Líquido desalojado:
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Por datos:
Este volumen sumergido debe ser igual a : V=Superficie x h
Como se sumerge h=4cm=0.04cm
Superficie 
V
10

h 0.04
Superficie de flotación = 250 m2
12. Si una bola de acero pesa en el aire 12 kg. ¿Cuánto pesara en el agua? Densidad del
acero=7.8
Solución:
Se sabe que el peso específico relativo de un so1ido sumergido en un líquido, es igual al
cociente entre su peso en el aire y la pérdida de peso.
1 
P
P  P´
dónde: P=l2, 000 gr
 1 = peso específico relativo del so1ido
P = peso del solido en el liquido
Reemplazando estos valores en la formula, se tine:
7.8 
P´
12,000
12,000  P´
12,000 x7.8  12,000
7. 8
P´ 10,462 gr.
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13. Una pequeña bola de concreto (  =2.4gr/cm3) se deposita suavemente en la superficie de una corriente
de agua, con velocidad de 3m/seg y de profundidad 8m. ¿Cuánto tiempo tarda la bola en tocar el
fondo del canal? ¿A qué distancia medida horizontalmente desde el punto de partida, tocara el fondo?
Solución:
Cuando la bola se encuentre en el agua hay una fuerza resultante R que tiende a bajar al cuerpo:
R = Peso de la bola - Empuje hidrostático
O sea : .ma
 m.g 
Simplificando: a
mg
1
.  mg (1 
)
2.4
2.4
 g (1 
1
)  9.8(5.9)
2.4
a = 5.78m/seg2(aceleración con que baja el sólido de concreto)
con esta aceleración vertical, recorre un espacio vertical de 8m., luego como :
e
at2
,
2
t
2x8
5.78
,
t = 1.66 seg.
Como la velocidad de la corriente es constante e igual a 3 m/s. , la bola recorrerá una distancia :
x  v.t  3(1.66)  4.98m
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14. Determinar el peso específico de una esfera que flota entre dos líquidos de densidad 0.8 y 1. Sabiendo
que la línea de separación de los dos liquidas pasa por el centro de la esfera.
Solución
Por el principio de Arquímedes: el
empuje hidrostático es igual al peso
del volumen desalojado.
Los empujes para esta esfera son dos:
4R 3
E1  Vol * Peso  V   
1
3* 2
4R 3
E2 
2
3* 2
Como la esfera esta en equilibrio se debe tener:
Empuje Total = Peso de la esfera
O sea que:
4R 3
E1  E 2 
3
3
Reemplazando
4R 3
4R 3
 1   2  
E1 yE2 :
3
3* 2
3
De donde:
3 
1
 1   2   0.9 gr3
2
cm
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TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS:
INTRODUCCIÓN:
Un fluido puede estar animado de un movimiento de traslación o rotación, sometido a una aceleración
constante, sin movimiento relativo entre sus partículas. Esta es una de las condiciones de equilibrio relativo
y el fluido está libre de tensiones cortantes. En general no existiría movimiento entre el fluido y el recipiente
que lo contiene. Son aplicables aún los principios de la estática, modificado para tener en cuenta los efectos
de la aceleración.
MOVIMIENTO HORIZONTAL:
En el caso de un movimiento horizontal la superficie libre del líquido adopta una posición inclinada y plana.
La pendiente del plano se determina mediante:
Tgɵ= a (aceleración lineal del recipiente, m/seg2) / g(aceleración de la gravedad/seg2).
MOVIMIENTO VERTICAL:
Para el movimiento vertical la presión (kg/m2) en un punto cualquiera del líquido viene dada por:
ρ = ωh (1 ±a/g)
En la que el signo positivo se aplica cuando la aceleración es hacia arriba y el negativo cuando la aceleración
constante es hacia abajo.
ROTACIÓN DE MASAS FLUIDAS: RECIPIENTES ABIERTOS:
La forma de la superficie libre de un líquido que gira con el recipiente que lo contiene es un paraboloide de
revolución. Cualquier plano vertical que pasa por el eje de revolución corta a la superficie libre según una
parábola. La ecuación es:
y= ω2x2/2g
Donde x e y son las coordenadas, en metros, de un punto genérico de la superficie, medidas con el origen en
el vértice situado en el eje de revolución, y ω la velocidad angular constante, medida en radianes por
segundo.
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ROTACIÓN DE MASAS FLUIDAS: RECIPIENTES CERRADOS:
En los recipientes cerrados aumenta la presión al girar los recipientes. El aumento de presión entre un punto
situado en el eje y otro a una distancia de x metros del eje, en el mismo plano horizontal, es:
P(kg/m2) = ω2x2/2g
Y el aumento de la altura de presión (m) será:
P/ω = y= ω2x2/2g
Que es una ecuación análoga a la aplicable a recipientes abiertos en rotación. Como la velocidad lineal
V=xω, el término ω2x2/2g = V/2g da la altura de velocidad, en m.
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MECANICA DE FLUIDOS I
CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS
Estudia el movimiento de los fluidos desde un punto de vista descriptivo, sin relacionarlo
con las fuerzas que lo generan.
Descripción del movimiento de un fluido.
Una forma de describir el movimiento de un fluido consiste en dividirlo en elementos infinitesimales de
volumen, asimilables al concepto de partícula, y que llamaremos partículas fluidas; entonces, es
cuestión de seguir el movimiento de cada una de esas partículas fluidas. Para ello, debemos asignar
coordenadas (x,y,z) a cada una de las partículas fluidas y especificar dichas coordenadas en función del
tiempo t. Para una partícula fluida que se encontrase en (x0,y0,z0) en el instante t0, las coordenadas
(x,y,z) en un instante t quedarán determinadas por medio de las funciones
𝑥 = 𝑥(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 , 𝑡)
{𝑦 = 𝑦(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 , 𝑡)
𝑧 = 𝑧(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 , 𝑡)
O bien r=r (r0, t), que describirán el movimiento del fluido. Este procedimiento es una generalización
inmediata de los conceptos de la mecánica de las partículas y, aunque debido inicialmente a Euler, fue
desarrollado y aplicado por Joseph Louis LAGRANGE1 (1736-1813).
Sin embargo, existe otro procedimiento que resulta más adecuado para la mayoría de los fines, desarrollado
por Leonhard EULER (1707-1783), consistente en abandonar el intento de describir la historia de cada
partícula fluida y, en su lugar, especificar la densidad y la velocidad del fluido en cada punto del espacio y en
cada instante del tiempo. Este es el procedimiento que seguiremos en estas lecciones. Así, describiremos el
movimiento del fluido especificando la densidad ρ(x, y, z;t) y el vector velocidad v(x,y,z;t) en el punto de
coordenadas (x,y,z) y en el instante t. Así pues, nos interesaremos por lo que está ocurriendo en un cierto
punto del espacio y en un cierto instante de tiempo, en lugar de preocuparnos por lo que le ocurra a una
determinada partícula fluida. Cualquier magnitud física que utilicemos para describir el estado del fluido
(v.g., la presión p) tendrá un valor en cada punto del espacio y en cada instante de tiempo, de modo que
será una función de x, y, z y t (v.g., p=p(x,y,z;t)).
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MECANICA DE FLUIDOS I
EL CAMPO DE VELOCIDADES, DESCRIPCION DE MOVIMIENTOS
Para identificar partículas de un flujo en cada instante, se utilizaran coordenadas espaciales es decir, que la
velocidad de todas las partículas pueden expresarse de la siguiente manera.
⃗⃗ = 𝑉
⃗⃗(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)
𝑉
O desarrollada en sus tres proyecciones es:
⃗⃗
⃗⃗ = 𝑢(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) 𝑖⃗ + 𝑣(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) 𝑗⃗ + 𝑤(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) 𝑘
𝑉
Físicamente, estas ecuaciones indican que en el instante t, la partícula de fluido cuya posición es P(x,y,z),
⃗⃗
tiene una viscosidad 𝑉
Cuando la velocidad es independiente del tiempo el movimiento se llama estacionario o permanente, y:
⃗⃗ = 𝑉
⃗⃗(𝑥,𝑦,𝑧)
𝑉
Método de Euler:
estudia las variaciones del flujo con el tiempo en un punto, proporcionando el
campo de velocidades del fluido en el espacio y en cada instante:
⃗⃗
⃗⃗ = 𝑢(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑖⃗ + 𝑣(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑗⃗ + 𝑤(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑘
𝑉
Método de LaGrange:
consiste en seguir la trayectoria de la partícula, con el tiempo esto significa que
(x,y,z) no permanecerán constantes en la expresión V=V(x,y,z), las coordenadas
espaciales en este caso serán funciones del tiempo, con valores iniciales x0, y0, z0
en el instante t0. Así la velocidad de una partícula en el instante t=t0 pasa por x0,
y0, z0 puede expresarse de la siguiente forma:
𝑉𝑥 = 𝑢(𝑥(𝑡).𝑦(𝑡),𝑧(𝑡))
𝑉𝑦 = 𝑣(𝑥(𝑡).𝑦(𝑡),𝑧(𝑡))
𝑉𝑧 = 𝑤(𝑥(𝑡).𝑦(𝑡),𝑧(𝑡))
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MECANICA DE FLUIDOS I
ACELERACION DE UNA PARTICULA FLUIDA
En el método de LaGrange se observa que x, y, z son funciones del tiempo, luego se puede establecer el
campo de aceleraciones derivando el campo de velocidades con respecto al tiempo.
𝑎⃗ =
⃗⃗ 𝜕𝑉
⃗⃗ 𝑑𝑥 𝜕𝑉
⃗⃗ 𝑑𝑦 𝜕𝑉
⃗⃗ 𝑑𝑧 𝜕𝑉
⃗⃗
𝑑𝑉
=
+
+
+
𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑧 𝑑𝑡 𝜕𝑡
Por definición, las componentes de la velocidad dice son:
𝑢=
𝑎⃗ =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
,
𝑣=
𝜕𝑡
𝑑𝑡
𝑤=
,
𝑑𝑧
𝑑𝑡
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑉
+𝑢
+𝑣
+𝑤
𝜕𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
O lo que es lo mismo:
𝜕𝑉
𝑑𝑦
=
𝑎⃗ =
⃗⃗
𝜕𝑉
𝜕𝑡
⃗⃗ ∗ ∇)𝑉
⃗⃗
+ (𝑉
Aceleración local: proviene de la variación de la velocidad en un punto de la masa fluida, con el
paso del tiempo. Indica la traslación del campo.
⃗⃗ ∗ ∇)𝑉
⃗⃗ =
(𝑉
Aceleración convectiva: proviene de un campo permanente (en un instante t), en el que la
velocidad de una partícula sufrirá variaciones en los diversos puntos del campo. Está
relacionada con el gradiente de las componentes de la velocidad.
SISTEMAS Y VOLÚMENES DE CONTROL
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MECANICA DE FLUIDOS I
Al emplear las leyes básicas y secundarias, pueden adoptarse cualesquiera de los siguientes modos de
aplicación:
1. Las actividades de todas y cada una de las masas deben ser tales que se satisfagan las leyes básicas y las
leyes secundarias pertinentes.
2. Las actividades de todos y cada uno de los volúmenes en el espacio deben ser tales que se satisfagan las
leyes básicas y las leyes secundarias pertinentes.
En el primer caso, las leyes se aplican a una cantidad de materia determinada conocida como sistema. Un
sistema puede cambiar de forma, posición y condición térmica, pero debe contener siempre la misma
materia. Por ejemplo, puede escogerse como el sistema el vapor dentro del cilindro de una máquina (véase
la figura 4.12) después del cierre de la admisión’. A medida que el pistón se mueve, el volumen del sistema
cambia pero no existe cambio en la cantidad ni en la identidad de la masa.
Para el segundo caso, un volumen definido, conocido como volumen de control, se establece en el espacio,
y la frontera de este volumen se conoce como superficie de control lo. La cantidad y la identidad de la
materia en el volumen de control puede cambiar con el tiempo, pero la forma de volumen de control
permanece fija”. Por ejemplo, para estudiar el flujo a través de una boquilla, podría escogerse como
volumen de control el interior de la boquilla, como se muestra en la figura 4.13.
En mecánica de cuerpos rígidos se utilizó invariablemente el enfoque de sistema (conocido en ese momento
como diagrama de cuerpo libre) debido a que era fácil y directo identificar el cuerpo rígido o porciones de
éste en el problema y trabajar con cada cuerpo como una entidad discreta. Sin embargo, debido a que en
mecánica de fluidos deben considerarse números infinitos de partículas con movimientos relativos
complicados entre ellas, usualmente será ventajoso utilizar volúmenes de control en ciertos cálculos.
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Concepto de sistema y volumen de control
El método que se emplea para deducir estas ecuaciones' es el método de Eu1er, que consiste en lo
siguiente:
adoptar una porción fija del espacio dentro del seno fluido de forma y tamaño constantes. Esta
porción de espacio se llama volumen de control y su delimitación superficie de control;
escoger una porción de masa fluida de modo que en un instante dado coincida con el volumen de
control. Esta porción de masase llama sistema y su delimitación contorno.
considerar la coincidencia en un instante t, el sistema desplazado un dt después y aplicarle los
principios de la mecánica.
Las ecuaciones que se deducen en este capítulo son aplicables a los fluidos reales. de manera que rigen
tanto para flujo laminar Como para flujo turbulento y tanto para flujo rotacional como irrotacional.
LINEA DE CORRIENTE
Las líneas de flujo son definidas como aquellas líneas que son tangentes a los vectores velocidad en cada
punto y en un instante dado. Significa que para hallar las líneas de flujo coinciden con las trayectorias en un
instante dado (hacer t= constante).
Las líneas de flujo coinciden con las trayectorias, solamente cuando la velocidad no depende del tiempo.
En el flujo no permanente las variables cinemáticas varían en un mismo punto de un instante a otro.
Supongamos que en un instante se conoce el campo de velocidades V. Se define línea de corriente toda
línea trazada ideal mente en el seno líquido de modo que la tangente en cada uno de sus puntos;
proporcione la dirección del vector velocidad correspondiente. No existe posibilidad de que dos líneas de
corriente tengan un punto coman.
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Trayectoria para la partícula “a”
Si el flujo es no permanente para otro instante t, la configuración de las 1.c. es otra. Si el flujo es
permanente la configuración de las 1.c. es la misma en cualquier momento.
Se define trayectoria la curva que marca el camino que sigue una partícula con el transcurrir del tiempo.
Trayectoria para la partícula “a”
Si el flujo es no permanente l.c. y trayectoria son líneas distintas. Pero si el flujo es permanente significan 10
mismo.
La razón está en que en el flujo permanente el campo de velocidades no cambia con el tiempo:
* Toda partícula que pasa por ao sigue la misma trayectoria.
* En cada punto ao. al …. an el vector velocidad permanece igual.
Ecuaciones de la línea de corriente
De la definición de l. c.:
⃗⃗ =
𝑉
𝑑𝑆⃗
𝑑𝑡
⃗⃗𝑑𝑡
𝑑𝑆⃗ = 𝑉
Ecuación de diferencial de la l.c.
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En términos de las componentes:
dx = Vxdt
dy = vydt
dz = Vzdt
O bien, para un instante t0:
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
=
=
𝑉𝑋
𝑉𝑌
𝑉𝑍
TUBO DE FLUJO
Es la superficie formada por todas las líneas de corriente trazadas por todos los puntos de una curva
cerrada. Si el flujo depende del tiempo, se tendrá en tubo del flujo en un instante.
VORTICIDAD (𝝃)
Nos indica el giro del fluido.
⃗⃗
𝜉 =∇∗𝑉
Por componentes:
𝜉=
𝜕𝑤
𝜕𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑧
,
𝜉=
𝜕𝑢
𝜕𝑧
−
𝜕𝑤
𝜕𝑥
,
𝜉=
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
Se puede demostrar que la vorticidad es dos veces la velocidad angular del fluido:
𝜉 = 2∗𝑤
⃗⃗⃗
CIRCULACION (𝚪)
Se define como la integral de línea en torno a una curva cerrada, en el instante t, de la componente
tangencial de la velocidad a lo largo de dicha curva.
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⃗⃗ . 𝑑𝑠
Γ = ∮𝑉
𝐶
Teorema de Stokes
⃗⃗𝑑𝑠 = ∬(∇ ∗ 𝑉
⃗⃗)𝑑𝐴⃗
Γ = ∮𝑉
𝐶
𝑅
Relación entre Γ 𝑣 𝜉
Del teorema de Stokes;
Como:
⃗⃗)𝑑𝐴⃗ = (∇ ∗ 𝑉
⃗⃗)𝑛⃗⃗𝑑𝐴
𝑑Γ = (∇ ∗ 𝑉
⃗⃗) 𝑑𝐴
𝑑Γ = (∇ ∗ 𝑉
𝑛
⃗⃗
𝜉 =∇∗𝑉
⇒
𝜉=
𝑑Γ
𝑑𝐴
∆Γ
O 𝜉𝑛 = lim ( )
∆𝐴→0 Δ𝐴
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Ejemplo:
Determinar la ecuación de las l.c. de un flujo permanente plano, simétrico respecto del eje Y dirigido hacia
abajo que chica contra una placa horizontal, cuyo campo de velocidad está definido por las componentes.
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MECANICA DE FLUIDOS I
CLASIFICACION DE LOS FLUJOS
En la práctica se presentan diversos tipos de flujo. En vista de que el interés se centra, las descripciones que
siguen se ilustran con esquemas de estas conducciones.
Flujo permanente y no permanente.- En el primero, en una sección de la conducción permanecen
constantes en el tiempo las variables hidráulicas del flujo (velocidad, presión, densidad, etc.). En el segundo
105" valores de estas variables cambian de un instante a otro.
Flujo uniforme y no uniforme.- Considérese un flujo permanente en dos situaciones distintas: una con
tubería de diámetro constante y la otra con tubería de diámetro decreciente.
En el flujo uniforme permanecen constantes a 10 largo de la conducción las variables hidráulicas del flujo
(velocidad, presión, densidad, etc). En el flujo no uniforme los valores de estas variables cambian de un
punto a otro de la conducción; se. le denomina también flujo variado.
Flujo gradualmente variado y rápidamente variado.- El esquema corresponde a un canal que tiene una
grada en el fondo, y es de por sí explicativo. El flujo variado (FV) puede serlo gradualmente (FGV) o
bruscamente (FRV). A la izquierda y a la derecha del flujo variado se desarrolla flujo uniforme.
Flujo unidimensional y bidimensional,- -Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional. Sin
embargo cuando en el flujo prevalece una dirección es considerado unidimensional, como ocurre con las
tuberías y los canales. En el caso de los canales hay circunstancias en las cuales no se puede prescindir de
una segunda dimensión para describir el flujo. Debiendo hacerse el estudio del flujo plano o bidimensional.
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MECANICA DE FLUIDOS I
Flujo laminar y turbulento.- Considérese una tubería de vidrio por la que se hace ~asar agua en movimiento
permanente, uniforme y unidimensional. Si se inyecta un colorante se apreciará que, si la velocidad del
escurrimiento es muy baja, el colorante sigue unas trayectorias ordenadas, rectilíneas y paralelas,
características del flujo laminar. Si la velocidad del agua, en cambio, tiene los valores ordinarios, se
observará que el colora~ te se mezcla por efecto de las trayectorias desordenadas y erráticas, características
del flujo turbulento.
En la práctica, para las velocidades ordinarias, el flujo del agua turbulento en tuberías y canales y laminar en
el subsuelo.
Existe un parámetro que es función de la viscosidad del líquido y cuyo valor permite discernir sobre si el flujo
es laminar o turbulento. Se llama número de Reynolds (Re):
𝑅𝑒 =
𝑉𝐿
𝑣
V…..velocidad media del escurrimiento.
v…..viscosidad de movimiento.
L…..una longitud característica que en tuberías es generalmente el diámetro.
Para los valores de Re de hasta 2300 se verifique que el flujo es laminar y para valores mayores que 4000 se
verifica que es turbulento. Valores intermedios corresponden al periodo de transición. nótese que el Re es
adimensional.
Flujo compresible e incompresible.- Lo ordinario es que el agua se considere incompresible y el aire
compresible. Sólo en aquellas situaciones en que el agua resulta sometida a grandes presiones (como en el
fenómeno del golpe de ariete) es necesario tratarla como compresible. De manera análoga, cuando el aire
soporta presiones muy pequeñas durante su conducción (como en los ductos de ventilación) puede ser
considerado incompresible.
Flujo rotacional e irrotacional.- Un flujo es rotacional si en su seno el campo de vectores rot v adquiere
valores distintos de cero, y es irrotacional si en todo punto y en todo instante rot v = O. En la práctica, para
las velocidades ordinarias el movimiento del agua es rotacional; para velocidades altas puede ser
considerado irrotacional y para la hipótesis de líquido perfecto (sin viscosidad) el movimiento es de hecho
irrotacional. El esquema muestra el diagrama de velocidades en un canal, para cada situación.
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MECANICA DE FLUIDOS I
La misma idea pero graficada para un canal en curva, visto en planta:
FLUJO POTENCIAL
El flujo potencial representa a los flujos sin viscosidad
Es posible estudiarlos teóricamente
Proporciona las condiciones de frontera a utilizarse en la solución de la capa límite.
Objetivo
Superponer varios flujos potenciales simples para construir un fluido
CONCIDERACIONES BÁSICAS
Flujo bidimensional, permanente, incompresible e irrotacional.
Condiciones de contorno para flujo no viscoso. Conservación de masa
Física y matemáticas necesarias para la mecánica de fluidos
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MECANICA DE FLUIDOS I
ECUACIÓN GENERAL DEL MOVIMIENTO
LA ECUACION DE NAVIER STOKE
Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se
trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un
fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de
vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos.
Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a
un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a
su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que
los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de
Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la
resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.
Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales
no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de
flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones
hemos de recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada. A la rama de la mecánica
de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante el ordenador se la denomina dinámica
de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computacional Fluid Dynamics).
El movimiento de los fluidos incompresibles y Newtonianos está descrito por las ecuaciones de Navier
Stokes. Un análisis detallado del movimiento de un fluido con dichas características se logra a partir de la
solución de este sistema de ecuaciones, constituido por expresiones que describen la conservación de la
masa y del momentum lineal. Masa y momentum se expresan en su forma intensiva, es decir, unidad y
velocidad, respectivamente, para formar ecuaciones que establecen relaciones entre los mecanismos de
transporte, la acumulación y las fuentes.
Considerando un análisis de flujo bidimensional en estado estacionario, en ausencia de fuerzas de cuerpo, y
de acuerdo a las características planteadas para el fluido de trabajo, se simplifican las ecuaciones de
conservación para llegar a su forma reducida tanto para la conservación de la masa (1) como para la
ecuación del momentum (2), donde ~u, p, μ y ρ corresponden al vector velocidad (u, v), presión, viscosidad
dinámica y densidad, respectivamente.
∇∗𝑢
⃗⃗ = 0 … … … (1)
⃗⃗𝑝 … … … … … … . (2)
𝜌𝑢
⃗⃗ ∗ ∇𝑢
⃗⃗ − 𝜇∇2 𝑢
⃗⃗ = −∇
Por lo tanto la ecuación de conservación del momentum (2) balancea flujos convectivos (término no lineal),
flujos difusivos (laplaciano de la velocidad) y término fuente (gradiente de presión). Este conjunto de
ecuaciones corresponde al modelo que describe la dinámica del fluido incompresible y Newtoniano, y cuya
solución se obtiene a partir del Método de Volúmenes Finitos para régimen laminar.
El equilibrio de fuerzas que actúan sobre un elemento de volumen de líquido puede ser descrito con
teorema de impulso. La tasa de variación de la dinámica de un volumen cerrado es igual a la suma de las
fuerzas externas que actúan sobre el volumen.
𝑑
∫ 𝜌𝑣
𝑑𝑡 𝜏(𝑡)
𝑑𝜏 = ∑ 𝐹
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MECANICA DE FLUIDOS I
Ellado izquierdode esta ecuación, que es la derivada del tiempototal dela integral de volumense extendía
sobre elρvimpulso,se pueden reorganizarde manera similar ala derivación dela ecuación de continuidad.
Que resulta:
𝑑
𝜕𝜌 𝑣
𝜕𝑣
∫ 𝜌𝑣 𝑑𝜏 = ∫ [
+ ∇ ∗ (𝑝 𝑣 𝑣)] 𝑑𝜏 = ∫ 𝜌 [ + (𝑣 ∗ ∇)𝑣] 𝑑𝜏
𝑑𝑡 𝜏(𝑡)
𝜕𝑡
𝜏(𝑡) 𝜕𝑡
𝜏(𝑡)
El término (vv) es el producto diádica del vector velocidad v. Las fuerzas externas son el volumen
la fuerza, como, por ejemplo, la fuerza de gravedad
𝐹𝑔 = ∫𝜏(𝑡) 𝜌𝑔 𝑑𝜏
Ylas fuerzas de superficie, que se derivan delas tensiones de tensor σ
(𝑛 ∗ 𝜎̿)𝑑𝐴
𝐹𝜎 = − ∫
𝐴(𝜏)
El término (n · ¯ σ) es el producto vectorial de la normal n y el tensor de estrés · σ. La superficie integral
puede volver a ser reemplazada por una integral de volumen.
𝐹𝜎 = − ∫
(𝑛 ∗ 𝜎̿)𝑑𝐴 = − ∫ (∇ ∗ 𝜎̿)𝑑𝜏
𝐴(𝑡)
𝜏(𝑡)
El teorema del impulso de un volumen cerrado de manera arbitraria τ lee
𝜕𝑣
𝜌 [ + (𝑣 ∗ ∇)𝑣] 𝑑𝜏 = ∫ 𝜌 𝑔 𝑑𝜏 − ∫ (∇ ∗ 𝜎̿) 𝑑𝜏
𝜕𝑡
𝜏(𝑡)
𝜏(𝑡)
𝜏(𝑡)
∫
Silas tresintegralesse agrupanen unúnicointegrante, una vez más, quesólopuede desaparecer, si
elintegrandose anula idénticamente:
𝜌[
𝜕𝑣
+ (𝑣 ∗ ∇)𝑣] = 𝜌 𝑔 − (∇ ∗ 𝜎̿)
𝜕𝑡
Los componentes de estaecuación vectorialse pueden escribirenlos sistemas de coordenadasarbitrarias,
adecuadamenteelegido para elproblema considerado. Encoordenadas cartesianasel resultado delas
siguientes ecuacionescon:
𝜎𝑥𝑥
𝜎̿ = ( 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧 )
𝜎𝑧𝑧
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𝜌(
𝜕𝑢
𝜌(
𝜕𝑣
𝜌(
𝜕𝑤
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡
+𝑢
𝜕𝑢
+𝑢
𝜕𝑣
+𝑢
𝜕𝑤
+𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑥
+𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+𝑣
+𝑤
𝜕𝑢
+𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧
+𝑤
) = 𝜌 𝑔𝑥 −
) = 𝜌 𝑔𝑦 −
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝑑𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝜎𝑦𝑥
) = 𝜌 𝑔𝑧 −
𝜕𝑥
−
−
𝑑𝜎𝑧𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜏𝑦𝑦
−
𝜕𝑦
−
−
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑦
MECANICA DE FLUIDOS I
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝜏𝑦𝑧
−
𝜕𝑧
…………….(β)
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
Estas ecuaciones describenlas relaciones entre loscomponentes de la velocidady las tensioneslocalesdel
fluidoconsiderado.Las tensionesinstantáneaspueden estar relacionados conel campo de velocidadesconla
ayudade la hipótesis deStokes, heredadas dela mecánica teórica. Enlaley de Hookelas tensiones sesupone
que es proporcionala la tensión, yen mecánica de fluidosson las tensionessupone que es proporcionala
lavelocidad de variaciónde la cepa.
Antes de que estasrelacionesse establecen, se observa quelas ecuaciones anterioresdeestadode
movimientoque un elementopequeño volumense mueve con elfluido esacelerado o desaceleradopor
elexteriorfuerzas que actúan sobreél.Se ve queel balance demomentoes totalmente equivalente alde
Newtonsegunda ley del movimiento.
También se observaque(β) es válida para cualquierlíquidoseanewtonianaono-newtonianos.en
ordenutilizar(β) para determinar lavelocidad y la presión, las tensionestienen que serexpresadosen términos
delas derivadas de lascomponentes de la velocidady la viscosidaddel fluido.estohacer a continuaciónparaun
fluido newtoniano.
Relacionestensión-deformación
Para la derivación delas relacionesque describela dependencia delas tensionesen latasa de tiempo
decambiode la cepa, se supone. Hace hincapié enque lanormalσxx, σyy,σzzcausa elongaciones
ycontraccionesєx, єy, єz, yhace hincapié en el corte "𝜏𝑥𝑦 … … … . 𝜏𝑧𝑦 "causadesplazamientos
angulares𝛾𝑥𝑦 … … … … 𝛾𝑧𝑦 Como se indica enel diagrama delos componentes de lavelocidad de variaciónde la
cepase danporlas derivadas parciales delos componentes de velocidaden la dirección delos ejes de
coordenadas.
𝜖𝑥̇ =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜖𝑦̇ =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜖𝑧̇ =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
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MECANICA DE FLUIDOS I
La suma delos componentes de latasa de tiempo decambiode la cepaproduce elcambio relativo
envolumen,porintervalo de tiempo dt(dilataciónde volumen)
𝑒̇ =
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤
+
+
=∇∗𝑣
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
Losdesplazamientos angularesporintervalo de tiempo dtson:
𝛾𝑥𝑦̇ =
𝑑𝛽+𝑑𝛼
𝑑𝑡
= −(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
𝛾𝑦𝑧̇ = − (
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
𝛾𝑥𝑦̇ = − (
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
Las tensiones normalesy tangencialesse relacionan con lavelocidad de variaciónde los componentes dela
tensión ylos desplazamientosangularesde forma linealansatz. Enel estado de reposo, en la que eltasade
variación delas tensiones ylos desplazamientosangularesse desvanecen, las tensiones normalesσxx, σyy,
σzzson independientes dela dirección, yel únicodado porla presión hidrostática. Estecomportamiento del
flujose puede expresar porla siguiente hipótesis, presentada por Stokes
𝜎𝑥𝑥 = 𝑝 − 2𝑢𝜖𝑥̇ − 𝜆̃𝑒̇ ,
𝜎𝑦𝑦 = 𝑝 − 2𝑢𝜖𝑦̇ − 𝜆̃𝑒̇ ,
𝜎𝑧𝑧 = 𝑝 − 2𝑢𝜖𝑧̇ − 𝜆̃𝑒̇ ,
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇 𝛾𝑥𝑦̇
𝜏𝑦𝑧 = 𝜇 𝛾𝑦𝑧̇
,
,
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇 𝛾𝑥𝑧̇
Ya
que
por
razonesde
simetríaτxy=τyx,
τyz=τzyyτxz=τxz,
sólo
tres
normalesy
tres
componentes tangencialtensióndel tensor de tensionesStokesson desconocidos.Por lo tanto,se puede
escribircomo.
𝜎̿ = 𝑝 (
1
1
) − 𝜆̃ (
1
∇∗𝑣
∇∗𝑣
𝜕𝑢
1 𝜕𝑢 𝜕𝑣
( + )
𝜕𝑥
2 𝜕𝑦 𝜕𝑥
1 𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕𝑣
) − 2𝜇
( + )
2 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦
∇∗𝑣
1 𝜕𝑢 𝜕𝑤
1 𝜕𝑣 𝜕𝑤
(2 ( 𝜕𝑧 + 𝜕𝑥 ) 2 ( 𝜕𝑧 + 𝜕𝑧 )
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1 𝜕𝑢 𝜕𝑤
( +
)
2 𝜕𝑧 𝜕𝑥
1 𝜕𝑣 𝜕𝑤
( +
)
2 𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑤
)
𝜕𝑧
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MECANICA DE FLUIDOS I
El coeficienteλ~generalse divide endos partes~λ=μ-23μ. Laμla viscosidadde volumenseen cuenta los
gradosmolecularde la libertad, sino que se desvaneceparamonatomiggases.Las tensiones normalesson:
𝜎𝑥𝑥 = 𝑝 − 2𝑢
𝜕𝑢
2
− (𝜇̂ − 𝜇) (∇ ∗ 𝑣)
𝜕𝑥
3
𝜎𝑦𝑦 = 𝑝 − 2𝑢
𝜕𝑢
2
− (𝜇̂ − 𝜇) (∇ ∗ 𝑣)
𝜕𝑦
3
𝜎𝑧𝑧 = 𝑝 − 2𝑢
𝜕𝑢
2
− (𝜇̂ − 𝜇) (∇ ∗ 𝑣)
𝜕𝑧
3
Su valor medioes:
1
𝜎̿ = (𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 ) = 𝑝 − 𝜇̂ (∇ ∗ 𝑣)
3
Paraincompresible fluyeel valor medioes simplemente¯σ=p.Si las relacionesde tensión-deformaciónse
sustituyen enlas ecuaciones de momento, las ecuaciones de Navier-Stokesecuacionesse obtienen(1823,
1845).
𝜌
𝑑𝑢
𝜕𝑝 𝜕
𝜕𝑢
𝜕
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕
𝜕𝑢 𝜕𝑤
=−
+
[2𝜇
+ 𝜆̃(∇ ∗ 𝑣)] +
[𝜇 ( + )] + [𝜇 ( +
)] + 𝜌 𝑔𝑥
𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜌
𝑑𝑢
𝜕𝑝 𝜕
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕
𝜕𝑢
𝜕
𝜕𝑣 𝜕𝑤
=−
+
[𝜇 ( + )] +
[2𝜇
+ 𝜆̃(∇ ∗ 𝑣)] + [𝜇 ( +
)] + 𝜌 𝑔𝑦
𝑑𝑡
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜌
𝑑𝑢
𝜕𝑝 𝜕
𝜕𝑢 𝜕𝑤
𝜕
𝜕𝑣 𝜕𝑤
𝜕
𝜕𝑢
=−
+
[𝜇 ( +
)] +
[𝜇 ( +
)] + [2𝜇
+ 𝜆̃(∇ ∗ 𝑣)] + +𝜌 𝑔𝑧
𝑑𝑡
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧
Paraflujo incompresiblecon una constanteμviscosidad dinámicade cortede las ecuaciones anterioresse
reducen a:
𝜌
𝑑𝑢
𝜕𝑝
=−
+ 𝜇∇2 𝑢 + 𝜌 𝑔𝑥
𝑑𝑡
𝜕𝑥
𝜌
𝑑𝑣
𝜕𝑝
=−
+ 𝜇∇2 𝑢 + 𝜌 𝑔𝑦
𝑑𝑡
𝜕𝑦
𝜌
𝑑𝑤
𝜕𝑝
=−
+ 𝜇∇2 𝑢 + 𝜌 𝑔𝑧
𝑑𝑡
𝜕𝑧
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MECANICA DE FLUIDOS I
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La aplicación del principio de conservación de masa a un flujo de fluidos permanente y unidimensional, en
un tubo de corriente, nos da la ecuación de continuidad. Consideremos un sistema físico conteniendo una
determinada cantidad de masa de fluido limitada por un tubo de corriente, como se muestra a través del
tubopara un flujo permanente, unidimensional y compresible. Cerca de la sección (1) del tubo, el área de la
sección es A1 y la densidad ρ1, mientras que en la sección (2) el área de la sección es A 2 y la densidad es ρ2. El
volumen de control está representado por las letras I y R, en tanto que la superficie de control coincide con
las paredes del tubo.
 De la figura puede verse que en un tiempo t el sistema está compuesto por el fluido dentro
del volumen de control (I + R), en un tiempo t + dtel sistema se mueve corriente abajo, de
tal forma que según el principio de conservación de masa del sistema se tiene que
masa del fluido en las
Masa del fluido en las
( 𝑧𝑜𝑛𝑎𝑠 𝐼 𝑦 𝑅 𝑒𝑛 𝑢𝑛 ) = ( 𝑧𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑂 𝑦 𝑅 𝑒𝑛 𝑢𝑛 )
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 + 𝑑𝑡
Es decir:
(𝑚𝐼 + 𝑚𝑅 ) = (𝑚𝑂 + 𝑚𝑅 )𝑡+𝑑𝑡
Para el caso de un fluido permanente las propiedades del fluido en puntos del espacio no son funciones del
tiempo, de tal forma que:
(𝑚𝑅 )𝑡 = (𝑚𝑅 )𝑡+𝑑𝑡
Por lo tanto
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MECANICA DE FLUIDOS I
(𝑚𝐼 )𝑡 = (𝑚0 )𝑡+𝑑𝑡
Estos dos términos se expresan fácilmente en función de otras variables como la densidad, el área
de la sección y el desplazamiento de la masa del fluido, es decir
𝜌1 𝐴1 𝑑𝑆1 = 𝜌2 𝐴2 𝑑𝑆2
𝜌1 𝐴1 (𝑑𝑆1 ⁄𝑑𝑡 ) = 𝜌2 𝐴2 (𝑑𝑆2 ⁄𝑑𝑡)
𝜌1 𝐴1 𝑣1 = 𝜌2 𝐴2 𝑣2
Es a la cantidad 𝑚̇ = 𝜌𝐴𝑣 que se le conoce como Régimen de flujo de masa y constituye la
llamada ecuación de la continuidad, la misma que expresa: en un flujo permanente, el régimen
de flujo de masa que pasa a través de todas las secciones de un tubo de corriente, es
constante.
𝑚̇ = 𝜌𝐴𝑣 = 𝑐𝑡𝑒
O
𝑑(𝜌𝐴𝑣) = 0
Por otro lado si se multiplica a la ecuación de continuidad por la aceleración de la gravedad local g
se obtiene el flujo ponderal (G)
𝐺 = 𝑚̇𝑔 = 𝛾𝐴𝑣
Para el caso en el cual el fluido es incompresible la densidad así como el peso específico se
mantiene constante. Entonces la ecuación de la continuidad se expresa en la forma
𝑄 = 𝐴𝑣 = 𝑐𝑡𝑒
A la cantidad Q se le llama Caudal o gasto o régimen de flujo volumétrico o volumen por unidad de
tiempo que pasa a través de un área del tubo de flujo, cuyas unidades son m3/s.
Para flujos bidimensionales el régimen de flujo se expresa por unidad de distancia perpendicular
normal al plano del flujo, la ecuación de continuidad, se escribe
𝐺
= 𝛾ℎ𝑣
𝑏
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MECANICA DE FLUIDOS I
Ecuación de Bernoulli
Es una ecuación fundamental de la mecánica de los fluidos ideales y constituye una expresión del
principio de conservación de la energía. Se considera que en el flujo existen tres tipos de energía:
la energía cinética debida al movimiento, la energía debida a la presión y la energía potencial
gravitatoria debida a la elevación. Se obtiene integrando la ecuación de Euler, esto es
𝑝1 𝑣12
𝑝2 𝑣22
𝑝 𝑣2
+
+ 𝑧1 = +
+ 𝑧2 +
+ 𝑧 = 𝐻 = 𝑐𝑡𝑒
𝛾 2𝑔
𝛾 2𝑔
𝛾 2𝑔
•
La ecuación de Bernoulli, se aplica a todos los puntos de la línea de corriente y provee una
relación útil entre la presión p, la magnitud de la velocidad v y la altura z sobre el plano de
referencia. A la cantidad H se le denomina carga total. La ecuación de Bernoulli, revela
además que las cantidades p/γ, v2/2g y z son distancias verticales. El experimento de Pitot
demuestra que la suma de las cargas de velocidad (v2/2g),la carga de presión (p/γ) así
como la carga de altura zsiempre permanece constante.
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MECANICA DE FLUIDOS I
APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI.
La ecuación de la hidrostática.
Para determinar la ecuación hidrostática se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2
de la
𝑝1 𝑣12
𝑝2 𝑣22
+
+ 𝑧1 = +
+ 𝑧2
𝛾 2𝑔
𝛾 2𝑔
Como el depósito está abierto sobre la superficie libre del fluido actúa la presión atmosférica p0. Así
mismo, debido a que el fluido está en reposo, v1 y v2 son nulas, con lo que la ecuación anterior se
escribe
𝑝1
𝑝0
+ 0 + 𝑧1 = + 0 + 𝑧2
𝛾
𝛾
𝑝1 = 𝑝0 + 𝛾(𝑧2 − 𝑧1 )
𝑝1 = 𝑝0 + 𝛾. ℎ
TEOREMA DE TORRICELLI.
Permite determinar la velocidad de salida de un fluido a través de una boquilla. Se aplica la
conservación de masa
𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2
La ecuación de Bernoulli nos da
𝑝1 𝑣12
𝑝2 𝑣22
+
+ 𝑧1 = +
+ 𝑧2
𝛾 2𝑔
𝛾 2𝑔
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MECANICA DE FLUIDOS I
Debido a que las presiones en los puntos 1 y 2 son las mismas esto es la presión atmosférica p0, la
ecuación anterior se escribe.
𝑝0 𝑣12
𝑝0 𝑣22
+
+ 𝑧1 = +
+ 𝑧2
𝛾 2𝑔
𝛾 2𝑔
𝑣22 − 𝑣12 = 2𝑔(𝑧2 − 𝑧1 )
𝑣22 − 𝑣12 = 2𝑔ℎ
De las ecuaciones anteriores se tiene
𝐴2 2
𝑣22 [1 − ( ) ] = 2𝑔ℎ
𝐴1
𝑣2 = √
2𝑔ℎ
[1 − (𝐴1 ⁄𝐴2 )2 ]
En general el área de la tobera A2 es mucho menor que el área de la sección transversal del
depósito A1, de tal forma que
𝑣2 = √2𝑔ℎ
Esta ecuación indica que la velocidad de descarga es igual a la velocidad que alcanzaría una
partícula cayendo libremente sin fricción desde el punto 1 hasta el punto 2. En otras palabras la
energía potencial de la superficie libre se convierte en energía cinética del chorro.
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MECANICA DE FLUIDOS I
EFECTO VENTURI
Supongamos que tenemos un flujo en el cual no existen diferencias significativas de energía
potencial del fluido en movimiento. Entonces en la ecuación de Bernoulli se puede considerar que
z1 = z2 = 0, con lo que se tiene
𝑝0 𝑣12 𝑝0 𝑣22
+
= +
𝛾 2𝑔
𝛾 2𝑔
De donde
𝑝1 − 𝑝2 =
1
𝛾(𝑣22 − 𝑣12 )
2
En esta expresión, si v1 es mayor que v2, entonces también lo es
(𝑣22 − 𝑣12 )
En consecuencia,(𝑝1 − 𝑝2 )
es negativo, lo que a su vez, es posible solo si p2 es mayor que p1. En términos más simples,
donde la velocidad sea mayor, la presión es menor.
A este fenómeno se le conoce como efecto Venturi.
Este efecto se aprecia con gran facilidad al soplar entre dos hojas de papel separadas unos
cuantos centímetros. La velocidad del aire entre las hojas será mayor que en las caras externas y
por tanto la presión en las caras externas será mayor, uniéndolas.
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MECANICA DE FLUIDOS I
TERCERA UNIDAD
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MECANICA DE FLUIDOS I
CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Ecuación de la cantidad de movimiento
Se puede deducir la ecuación de la cantidad de movimiento a partir del segundo principio de newton para
un sistema mediante procedimientos análogos a los utilizados para deducir las ecuaciones de continuidad y
de la energía.
Figura volumen de control y sistema para la deducción de la ecuación de la cantidad de movimiento..
La ecuación de la cantidad de movimiento se deduce para una dirección arbitraria x, después se puede
considerar para tres ejes mutuamente perpendiculares, y se obtiene la ecuación vectorial de la cantidad de
movimiento por suma vectorial.
Concepto clave:
La ecuación de cantidad de movimiento se utiliza principalmente para determinar las fuerzas inducidas por
el flujo.
Sabemos que:
Para V.c fijo:
𝑑
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝐵𝑠𝑖𝑠 =
𝐵𝑠𝑖𝑠 =
𝑑
𝑑𝑡
⃗⃗𝑟 . 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
𝐵𝑣𝑐 + ∫𝑠𝑐 𝛽𝜌(𝑉
𝑑
⃗⃗. 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
∫ 𝛽𝜌𝑑∀ + ∫𝑠𝑐 𝛽𝜌(𝑉
𝑑𝑡 𝑣𝑐
Aplicando la cantidad de movimiento
Teorema
de transporte
⃗⃗
𝐵 = 𝑚𝑉
{
⃗
⃗
𝛽=𝑉
𝑑
𝑑
⃗⃗) = ∫ 𝑉
⃗⃗𝜌𝑑∀ + ∫ 𝑉
⃗⃗𝜌(𝑉
⃗⃗. 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
𝑚𝑉
𝑠𝑖𝑠
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑣𝑐
𝑆𝐶
Variación
flujo de cantid. De mov.
Temporal
a través de la S.C
De la cant. Mov
Dentro del v.c
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ING. CIVIL
∑ 𝐹⃗𝑣𝑐 =
MECANICA DE FLUIDOS I
𝑑
⃗⃗𝜌𝑑∀ + ∫ 𝑉
⃗⃗𝜌(𝑉
⃗⃗. 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
∫ 𝑉
𝑑𝑡 𝑣𝑐
𝑠𝑐
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 + 𝐹⃗𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝐹⃗𝑚𝑎𝑠𝑖𝑐𝑎 + 𝐹⃗𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠 =
Fuerzas superficiales
𝑑
⃗⃗𝜌𝑑∀
∫ 𝑉
𝑑𝑡 𝑣𝑐
⃗⃗𝜌(𝑉
⃗⃗. 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
+ ∫𝑠𝑐 𝑉
por lo general
Es la fuerza
Gravitatoria
⃗⃗⃗⃗𝑣𝑐 + 𝑅⃗⃗ =
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 + 𝐹⃗𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑊
𝑑
⃗⃗𝜌𝑑∀ + ∫ 𝑉
⃗⃗𝜌(𝑉
⃗⃗. 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
∫ 𝑉
𝑑𝑡 𝑣𝑐
𝑠𝑐
Simplificaciones:
1). V.C fijo con entradas y salidas de flujo uniformes
⃗⃗⃗⃗𝑣𝑐 + 𝑅⃗⃗ =
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 + 𝐹⃗𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑊
𝑑
⃗⃗𝜌𝑑∀ + (∑(𝜌𝑉𝐴)𝑠𝑎𝑙 . 𝑉
⃗⃗𝑠𝑎𝑙 − ∑(𝜌𝑉𝐴)𝑒𝑛𝑡 . 𝑉
⃗⃗𝑒𝑛 )
∫ 𝑉
𝑑𝑡 𝑣𝑐
Flujo neto de cant. De movimiento
2). V.C fijo con entradas y salidas de flujo uniformes y permanentes
⃗⃗⃗⃗𝑣𝑐 + 𝑅⃗⃗ = ∑ 𝑚̇𝑠𝑎𝑙 𝑉
⃗⃗𝑠𝑎𝑙 − ∑ 𝑚̇𝑒𝑛𝑡𝑟 𝑉
⃗⃗𝑒𝑛𝑡𝑟
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 + 𝐹⃗𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑊
⃗⃗𝑠𝑎𝑙 − ∑ 𝑚̇𝑒𝑛𝑡𝑟 𝑉
⃗⃗𝑒𝑛𝑡𝑟
∑ 𝐹⃗𝑣𝑐 = ∑ 𝑚̇𝑠𝑎𝑙 𝑉
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MECANICA DE FLUIDOS I
DISTRIBUCION DE FUERZAS DE PRESION EN DIFERENTES V.C
CALCULO DE FUERZA DE PRESION EN UN V.C TIPICO
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠 = ∫𝑠𝑐 𝑑𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠 = ∫𝑠𝑐 𝑃(−𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
La fuerza de presion en contraria al vector 𝑛⃗⃗ (unitario de d A)
∫ 𝑃(−𝑛⃗⃗)𝑑𝐴 = ∫ 𝑃𝑂 (−𝑛⃗⃗)𝑑𝐴 + ∫ (𝑃1 − 𝑃0 )(−𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗)𝑑𝐴
+ ∫ (𝑃2 − 𝑃0 )(−𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗)𝑑𝐴
1
2
𝑆𝐶
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠 =
∑
𝑠𝑐
𝐴1
𝐴2
∫(𝑃 − 𝑃0 )(−𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑃≠𝑃0
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MECANICA DE FLUIDOS I
EJERCICIOS
Ejemplo 1
⃗𝑭⃗𝒑𝒓𝒆𝒔 = ∫ (𝑃𝟏 − 𝑃𝟎 )(−𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗)𝑑𝐴
= ∫ (40𝑝𝑠𝑖)(−(−𝑖⃗))𝑑𝐴 = (40𝑝𝑠𝑖)(𝑖⃗)𝐴𝟏
𝟏
𝐴1
𝐴𝟏
𝜋
𝑙𝑏𝑓
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠 = (40 ⁄𝑝𝑙𝑔2 ) ( (3)2 𝑝𝑙𝑔2 ) = 282.74 𝑖⃗ 𝑙𝑏𝑓
4
2. ¿Cuál es la fuerza horizontal ejercida por el agua y el aire?
Solución: aplicando cantidad de movimiento
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∑ 𝐹⃗𝑣𝑐 =
⃗⃗⃗⃗𝑣𝑐 + 𝑅⃗⃗ =
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 + 𝐹⃗𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑊
MECANICA DE FLUIDOS I
𝑑
⃗⃗𝜌𝑑∀ + ∫ 𝑉
⃗⃗𝜌(𝑉
⃗⃗. 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
∫𝑉
𝑑𝑡 𝑣𝑐
𝑠𝑐
𝑑
⃗⃗𝜌𝑑∀
∫ 𝑉
𝑑𝑡 𝑣𝑐
⃗⃗𝑠𝑎𝑙 − ∑(𝜌𝑉𝐴)𝑒𝑛𝑡 . 𝑉
⃗⃗𝑒𝑛 )
+ (∑(𝜌𝑉𝐴)𝑠𝑎𝑙 . 𝑉
despreciamos
Flujo permanente
secciones de las sc uniformes
En la dirección x:
𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠 + 𝑅𝑥 = 𝑚̇3 𝑉3𝑥 + 𝑚̇2 𝑉2𝑥 − 𝑚̇1 𝑉1𝑥
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠 = ∫𝐴 𝑃𝑚𝑎𝑛1 (−𝑛⃗⃗1 ) 𝑑𝐴
continuidad para secciones uniformes, flujo
1
permanente incomp
𝑉1 𝐴1 = 𝑉2 𝐴2 + 𝑉3 𝐴3
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠 = 𝑃𝑚𝑎𝑛1 − (−𝑖⃗)𝐴1
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠 = (20
𝑙𝑏𝑓
𝑝𝑢𝑙𝑔2
𝜋
) ( (15)2 ) 𝑝𝑢𝑙𝑔2 𝑖⃗
4
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠 = 3534.29 𝑙𝑖𝑏𝑓 𝑖⃗
𝜋 15 2
𝜋
4 12
4 12
8
2
𝜋
4
4
12
2
10 [ ( ) ] = 20 [ ( ) ] + 𝑉3 [ ( ) ]
𝑉3 = 60.63
𝑝𝑖𝑒⁄
𝑠𝑒𝑔
∴ 𝑉3𝑋 = −𝑉𝟑 = −𝟔𝟎. 𝟔𝟑
𝑝𝑖𝑒⁄
𝑠
3534.29 + 𝑅𝑥 = 𝜌3 𝑉3 𝐴3 (−60.63) + 𝜌2 𝑉2 𝐴2 (20) − 𝜌1 𝑉1 𝐴1 (10)
𝝅
4
𝟒
12
𝟐
𝝅
8
𝟒
12
𝟐
𝝅 15 𝟐
(1.938)(60.63) [ ( ) ] (1.938)(20) [ ( ) ] (1.938)(10) [ ( ) ]
3534.29 + 𝑅𝑥 = 10.254
12
𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑝𝑖𝑒
𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑝𝑖𝑒
𝑠𝑙𝑢𝑔
(10)
(−60.63
) + 13.53
(20
) − 23.783
𝑠
𝑠
𝑠
𝑠
𝑠
3534.29 + 𝑅𝑥 = (−621.7 + 270.6 − 237.8)𝑠𝑙𝑢𝑔 ∗
𝑅𝑥 = −4.123 𝑙𝑖𝑏𝑓
𝟒
𝑝𝑖𝑒
𝑠2
𝑅𝑥 = 4123. 𝑙𝑖𝑏𝑓(←)
3. el sistema que se muestra conduce un caudal de agua de 1 m3/s a través de la tubería EB proveniente
de un gran embalse dividiéndose posteriormente en 1/3 y 2/3 de m3/s. los pesos de las tuberías EB, AB Y
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MECANICA DE FLUIDOS I
BC son 1.06 y 0.8 KN/m. respectivamente. Halle la fuerza total horizontal y vertical ejercida sobre la
tubería por el fluido y el aire al igual que por la gravedad que actúa sobre el agua y la tubería Dato:
𝑷𝑴𝑨𝑵𝑬 = 𝟑𝟗𝟎. 𝟒 𝑲𝑷𝟐
SOLUCION:
Pesos de los tubos y el agua:
𝑊𝑡𝑜𝑡 𝑡𝑢𝑏𝑜𝑠 = 𝑊𝐸𝐵 + 𝑊𝐴𝐵 + 𝑊𝐵𝐶
𝑊𝑡𝑜𝑡 𝑡𝑢𝑏𝑜𝑠 = (200𝑚) (1
𝐾𝑁
𝐾𝑁
𝐾𝑁
) + (30𝑚) (0.6
) + (50𝑚) (0.8
)
𝑚
𝑚
𝑚
𝑊𝑡𝑜𝑡 𝑡𝑢𝑏𝑜𝑠 = 258𝐾𝑁
𝑊𝒕𝒐𝒕 𝒍𝒊𝒒 = 𝑊𝐿𝐼𝑄 𝐸𝐵 + 𝑊𝐿𝐼𝑄 𝐴𝐵 + 𝑊𝐿𝐼𝑄 𝐵𝐶 = 𝛾𝐴𝐺𝑈𝐴 (∀𝐸𝐵 + ∀𝐴𝐵 + ∀𝐵𝐶 )
𝑊𝒕𝒐𝒕 𝒍𝒊𝒒 = 9810
𝑁 𝜋
𝜋
𝜋
[ (0.3)2 ∗ 200 + (0.13)2 ∗ 30 + (0.17)2 ∗ 30]
𝑚3 4
4
4
𝑊𝒕𝒐𝒕 𝒍𝒊𝒒 = 𝟏𝟓𝟑𝟕𝟐𝟓. 𝟐𝟗 𝑵
Calculo del vector fuerza másica:
⃗⃗⃗⃗𝑣𝑐 = 𝑊
⃗⃗⃗⃗𝑇𝑂𝑇
𝐹⃗𝑚𝑎𝑠 = 𝑊
𝑇𝑈𝐵𝑂𝑆
⃗⃗⃗⃗𝑇𝑂𝑇 𝐿𝐼𝑄
+𝑊
𝐹⃗𝑚𝑎𝑠 = (25800 + 153725.29)(−𝐽⃗)
𝐹⃗𝑚𝑎𝑠 = −285595.15 𝑁 𝑗⃗
Calculo del vector fuerza de presión:
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MECANICA DE FLUIDOS I
𝐹⃗𝑃𝑅𝐸𝑆 = ∫ 𝑃(−𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
𝑆𝐶
𝐹⃗𝑃𝑅𝐸𝑆 = ∫
𝑆𝐸𝐶𝐶"𝐸"
𝑃𝑚𝑎𝑛𝐸 (−𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
𝐹⃗𝑃𝑅𝐸𝑆 = 𝑃𝑚𝑎𝑛𝐸 (−𝑛⃗⃗)𝐴𝐸 = (390400
𝑁
𝜋
) [−(+𝑗⃗)] (0.3)2
2
𝑚
4
𝐹⃗𝑃𝑅𝐸𝑆 = −27595.75 𝑁 𝑗⃗
Calculo de flujo de masa entrante al VC
𝑚̇𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝜌𝑉𝐸 𝐴𝐸 = 𝜌𝑄 = (1000
𝑘𝑔
𝑚3
)
(1
)
𝑚3
𝑠
𝑘𝑔
𝑚̇𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 1000 ⁄𝑠
Calculo de la velocidad de entrada al VC
⃗⃗𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = − (𝑄𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 ) 𝑗⃗ = − (𝜋 1 2) 𝑗⃗
𝑉
(0.3)
𝐴𝐸
⃗⃗𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = −14.147 𝑚 𝑗⃗
𝑉
𝑠
4
Cantidad de movimiento para flujo perm. y secc. unif:
⃗⃗)
⃗⃗)
∑ 𝐹⃗𝑉𝐶 = ∑𝑚̇𝑉
− ∑𝑚̇𝑉
𝑆𝐴𝐿
𝑒𝑛𝑡
En la dirección y:
0
𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑦 + 𝐹𝑚𝑎𝑠𝑦 + 𝑅𝑦 = 𝑚̇𝑆𝐴𝐿 𝑉𝑆𝐴𝐿𝑦 − 𝑚̇𝑒𝑛𝑡 𝑉𝐸𝑁𝑇𝑦
−27595.75 − 285595.15 + 𝑅𝑦 = −(1000)(−14.147)
𝑅𝑦 = 453468.04 𝑁
En la dirección x:
0
0
0
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MECANICA DE FLUIDOS I
𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑥 + 𝐹𝑚𝑎𝑠𝑥 + 𝑅𝑥 = 𝑚̇𝑆𝐴𝐿𝐴 𝑉𝐴𝑥 + 𝑚̇𝑆𝐴𝐿 𝐶 𝑉𝐶𝑋 − 𝑚̇𝐸𝑁𝑇 𝑉𝐸𝑋
𝑅𝑥 = (𝑃𝑄𝐴 )𝑉𝐴𝑋 + (𝜌𝑄𝐶 )𝑉𝐶𝑋
2
1
𝑉𝐴𝑋
𝑄𝐴
=−
=−𝜋 3
𝐴𝐴
(0.13)2
4
𝑅𝑥 = −25.1132
𝑚
𝑠
𝑉𝐶𝑋
𝑄𝐶
=−
=−𝜋 3
𝐴𝐶
(0.17)2
4
𝑅𝑥 = 29.3712
𝑚
𝑠
1
2
𝑅𝑋 = (1000 ∗ ) (−25.1132) + (1000 ∗ ) (29.3712)
3
3
𝑅𝑋 = 11209.73 𝑁
CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA NO INERCIAL
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MECANICA DE FLUIDOS I
Sabemos que:
𝑎⃗𝐴𝐵𝑆 =
⃗⃗
𝑑𝑉
+ 𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒
𝑑𝑡
arel..
Pero:
𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 =
⃗⃗
𝑑2 𝑅
𝑑𝑡 2
+
𝑑𝑤
𝑑𝑡
∗ 𝑟⃗
𝑎⃗𝑖 = 𝑎⃗𝑚𝑖 + 𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒
⃗⃗ + 𝑤
+ 2𝑤
⃗⃗⃗ ∗ 𝑉
⃗⃗⃗ ∗ (𝑤
⃗⃗⃗ ∗ 𝑟⃗)
Aceleración aceleraciónaceleraciónaceleración centrípeta
Lineal
tangencial de coriolis
(debido a la
aceleración
angular)
Aplicando 2da ley: ∑ 𝐹⃗𝑖 = 𝑚𝑎⃗𝑖
∑ 𝐹⃗𝑖 = 𝑚(𝑎⃗𝑚𝑖 + 𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 )
∑ 𝐹⃗𝑖 = 𝑚𝑎⃗𝑚𝑖 + 𝑚𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒
∑ 𝐹⃗𝑖 = ∑ 𝐹⃗𝑚𝑖 + ∫𝑣𝑐 𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑚
∑ 𝐹⃗𝑚𝑖 = ∑ 𝐹⃗𝑖 − ∫𝑣𝑐 𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑚
Recordemos:
∑ 𝐹⃗𝑖 = ∑ 𝐹⃗𝑣𝑐 = ∑ 𝐹⃗
∑ 𝐹⃗𝑚𝑖 = ∑ 𝐹⃗ − ∫𝑣𝑐 𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑚
Aplicando la ecuación de movimiento para un sistema no inercial (sistema relativo)
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∑ 𝐹⃗𝑚𝑖 =
MECANICA DE FLUIDOS I
𝑑
⃗⃗𝜌𝑑∀ + ∫ 𝑉
⃗⃗𝜌(𝑉
⃗⃗. 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
∫ 𝑉
𝑑𝑡 𝑣𝑐
𝑠𝑐
∑ 𝐹⃗ − ∫ 𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑚 =
𝑣𝑐
𝑑
⃗⃗𝜌𝑑∀ + ∫ 𝑉
⃗⃗𝜌(𝑉
⃗⃗. 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
∫𝑉
𝑑𝑡 𝑣𝑐
𝑠𝑐
⃗⃗ son velocidades relativas
donde𝑉
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠 + 𝐹⃗𝑣𝑖𝑠𝑐 + 𝐹⃗𝑚𝑎𝑠 + 𝑅⃗⃗ − ∫𝑣𝑐 𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑚 =
𝑑
⃗⃗𝜌𝑑∀
∫ 𝑉
𝑑𝑡 𝒗𝒄
⃗⃗𝜌(𝑉
⃗⃗. 𝑛⃗⃗)𝑑𝐴
+ ∫𝒔𝒄 𝑉
⃗⃗ son velocidades relativas
Donde 𝑉
∑ ⃗𝑭⃗
Simplificaciones
1). Salidas y entradas y uniformes
∑ 𝐹⃗ − ∫ 𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑚 =
𝑣𝑐
𝑑
⃗⃗𝜌𝑑∀ + ∑ 𝑚̇𝑠𝑎𝑙 . 𝑉
⃗⃗𝑠𝑎𝑙 − ∑ 𝑚̇𝑠𝑎𝑙 . 𝑉
⃗⃗𝑒𝑛𝑡 … … … . (1)
∫ 𝑉
𝑑𝑡 𝑣𝑐
2). Salidas y entradas uniformes, flujo permanente
⃗⃗𝑠𝑎𝑙 − ∑ 𝑚̇𝑠𝑎𝑙 . 𝑉
⃗⃗𝑒𝑛𝑡 … … … . (2)
∑ 𝐹⃗ − ∫ 𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑚 = ∑ 𝑚̇𝑠𝑎𝑙 . 𝑉
𝑣𝑐
3). Si además el sistema no inercial solo se traslada y no gira:
𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 =
𝑑 2 𝑅⃗⃗ 𝑑𝑤
⃗⃗⃗
⃗⃗ + 𝑤
+
∗ 𝑟⃗ + 2𝑤
⃗⃗⃗ ∗ 𝑉
⃗⃗⃗ ∗ (𝑤
⃗⃗⃗ ∗ 𝑟⃗)
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 =
𝑑 2 𝑅⃗⃗
𝑑𝑡 2
𝑑 2 𝑅⃗⃗
⃗⃗𝑠𝑎𝑙 − ∑ 𝑚̇𝑒𝑛𝑡𝑟 . 𝑉
⃗⃗𝑒𝑛𝑡𝑟 … … … . . (3)
𝑑𝑚 = ∑ 𝑚̇𝑠𝑎𝑙 . 𝑉
2
𝑣𝑐 𝑑𝑡
∑ 𝐹⃗ − ∫
4). Si el sistema no inercial se desplaza a velocidad constante
𝑎⃗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 0
⃗⃗𝑠𝑎𝑙 − ∑ 𝑚̇𝑒𝑛𝑡𝑟 . 𝑉
⃗⃗𝑒𝑛𝑡𝑟 … … … . . (4)
∑ 𝐹⃗ = ∑ 𝑚̇𝑠𝑎𝑙 . 𝑉
⃗⃗son relativas
Para los 4 casos las velocidades 𝑉
Ejercicio.
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MECANICA DE FLUIDOS I
1.
Un tren se mueve a una velocidad constante de 160 km/h y toma agua de la vía utilizando una
cuchara de 1m. de ancho arrastrando una capa de agua de 25mm. Halle el caudal que toma el tren en lit/s
y ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre el tren debido a esta acción?
Veamos la ecuación 4 (𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 0) el sistema móvil se desplaza a V=constante
0
∑ 𝐹⃗ = ∑ 𝑚̇𝑆𝐴𝐿 𝑉𝑆𝐴𝐿 − ∑ 𝑚̇𝑒𝑛𝑡 𝑉𝐸𝑁𝑇
0
0
⃗⃗⃗⃗ + 𝑅⃗⃗ = −𝑚̇1 𝑉𝑅𝐸𝐿
𝐹⃗𝑝𝑟𝑒𝑠 + 𝐹⃗𝑣𝑖𝑠𝑐 + 𝑊
𝟏
En la dirección x:
𝑅𝑋 = −(𝜌1 𝑉𝑅𝐸𝐿1 𝐴1 )𝜇𝑟𝑒𝑙1
𝑅𝑋 = −(𝜌1 𝑄)𝜇𝑟𝑒𝑙1
𝑅𝑋 = − (1000
𝑘𝑔
𝑚3
1000 𝑚
)
(1.111
) (−160 ∗
)
3
𝑚
𝑠
3600 𝑠
𝑄 = 𝑉𝑅𝐸𝐿1 𝐴1
𝑄 = (160
𝑘𝑚 1000𝑚
1ℎ
∗
∗
) (0.025 ∗ 1)𝑚2
ℎ
𝑘𝑚
3600𝑠
𝑄 = 1.111
𝑚3
𝑠
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𝑅𝑋 = − (1000
MECANICA DE FLUIDOS I
𝑘𝑔
𝑚3
𝑚
)
(1.111
) (−44.44 )
3
𝑚
𝑠
𝑠
𝑅𝑋 = 49.38 𝐾𝑁 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑒 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑒𝑛
𝐹𝑋 = −49.38 𝐾𝑁
𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑒 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎
ECUACION DE MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Para determinar la línea de acción de una componente de fuerza dada, a menudo es necesario aplicar la
ecuación de momento de cantidad de movimiento. Además para analizar la situación de flujo en dispositivos
que tiene componentes rotatorios se requiere la ecuación de momento de cantidad de movimiento para
relacionar la velocidad de rotación con los demás parámetros de flujo. Puesto que es aconsejable fijar el
marco de referencia en el componente rotatorio, se escribirá la ecuación general con las fuerzas inerciales
incluidas. Es
𝐷
∑ 𝑴 − 𝑴𝒕 =
∫ 𝑟 ∗ 𝑉𝜌𝑑∀
𝐷𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
Donde:
𝑀𝑡 = ∫ 𝑟 ∗ [
𝑑2𝑆
𝑑Ω
+ 2Ω ∗ 𝑉 ∗ Ω ∗ (Ω ∗ 𝑟) +
∗ 𝑟] 𝜌𝑑𝑉
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
Este momento inercial M, tiene en cuenta el hecho de que se eligió un marco de referencia no inercial: es
simplemente el momento de F. si se aplica la transformación de sistema de volumen de control, la ecuación
de momento de cantidad de movimiento para un volumen de control es:
∑ 𝑴 − 𝑴𝒕 =
𝑑
∫ 𝑟 ∗ 𝑉𝜌𝑑∀ + ∫ 𝑟 ∗ 𝑉(𝑉 ∗ 𝑛⃗⃗) 𝑑𝐴
𝑑𝑡 𝑣𝑐
𝑠𝑐
A continuación un ejemplo:
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MECANICA DE FLUIDOS I
Un rociador tiene cuatro brazos de 50 cm de largo con boquillas aángulos rectos con los brazos y a 45| con
el suelo. Si la velocidad de flujo total es de 0.01 m3/s y las boquillas son de 12mm de diámetro, calcule la
velocidad de rotación del rociador. Ignore la fricción.
Solución:
la velocidad a la salida de una boquilla como se muestra es:
𝑉𝑡 =
=
𝑄
𝐴
0.01⁄4
= 22.1 𝑚/𝑠
𝜋 ∗ 0.0062
Donde el factor 4 es por las 4 áreas de salida. Fije el marco de referencia en los brazos rotatorios como se
muestra. Luego reconociendo que 𝑟 ∗ [Ω ∗ (Ω ∗ 𝑟)] = 0 y suponiendo un rociador estacionario de modo que
𝑑2𝑆
𝑑𝑡 2
= 0 y velocidad angular constante de modo que
𝑑Ω
𝑑𝑡
= 0, se tiene
𝑀𝑡 = ∫ 𝑟 ∗ (2Ω ∗ 𝑉) 𝜌𝑑∀
𝟎.𝟓
𝑣𝑐
= 𝟒 ∫ 𝑟𝑖 ∗ (2Ω𝑘̂ ∗ 𝑉𝑖)𝜌𝐴𝑑𝑟
𝟎
0.5
8𝜌𝐴𝑉Ω𝑘̂ ∫ 𝑟𝑑𝑟 = 𝜌𝐴𝑉Ω𝑘̂
0
FLUJO A TRAVES DE ORIFICIOS
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MECANICA DE FLUIDOS I
Orificio es toda abertura realizada o existente en un depósito, por debajo del nivel superior del líquido, ya
sea en la pared lateral o en el fondo. Para hacer una clasificación de los orificios se pueden tener en cuenta
algunas características importantes de los mismos, como:
CLASIFICACION DE LOS ORIFICIOS
Según la descarga:


Sumergido
No sumergido
Según el espesor de la pared


Pared delgada
Pared gruesa
Según la formageométrica:

Circular
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

MECANICA DE FLUIDOS I
Cuadrado
Triangular
Examinaremos el carácter del flujo al salir por un pequeño orificio practicado en una pared de un recipiente
y determinaremos la velocidad para altura constante:
Cc 
Ac
A0
Para pequeños orificios Cc = 0.64
Compongamos la ecuación de Bernoulli para las secciones 1 - 2 del recipiente
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MECANICA DE FLUIDOS I
p1 V12
p V 2

 h1  2  2  h2  h f 12
w 2g
w
2g
La velocidad en la sección 1 es pequeña (pero se tiene en consideración).Para tomarla para todos los casos
que se puedan presentar.
Tendremos la ecuación de Bernoulli.
p1


V12
2g
 h1 
p2


V22
2g
 h2  K
V22
2g
Haciendo un análisis según las consideraciones para aplicar la ecuación:
Las pérdidas de carga son iguales a las pérdidas locales debido a la deformación; contracción del chorro al
pasar por el orificio.
p1
 0  Presiónigual a la atmosférica.
p2
 0  Pr esión igual a la atmosférica.


h2  0
h0  h1 
h0  
V12
2g
 Carga total.
V22
V2
 K 2  Ecuaciónde Bernoulli
2g
2g
Sacamosfactorcomùn
V22
2g
v2 – v1 --- Velocidad en 2 es igual a la velocidad en la contracción.
2
V
hO  C   K 
2g
 vC 
1
1
 Cv  vC 
K
K
1
K
2 gh0
2 gh0
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MECANICA DE FLUIDOS I
Cv - Coeficiente de velocidad.
  Coeficient e de coriolis.
K - Coeficiente de perdidas locales..
Cv 
Vr
2gh0
Para orificios pequeños y altos números de Reynolds Cv = 0.97.
El Caudal que pasa por el orificio se calcula por la fórmula:
Q  AC  vC
AC  AO  CC
Cc 
Ac
A0
Cc – Coeficiente de contracción
Ac – Área en la contracción..
Ao – Área del orificio
Q  AO .CC .CV 2 ghO
Cg  CC  CV  0,62
Cg = 0.62 (tabla )
Q  AO .Cg . 2 ghO
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MECANICA DE FLUIDOS I
Flujo con nivel variable.
En los casos anteriores se vio la carga constante. Si el nivel del agua varia, la altura h disminuye.
Con la reducción de la carga, disminuye la descarga por el orificio.
El problema en la práctica consiste en determinar el tiempo necesario para evacuar el recipiente
Siendo:
Ao --- Área del orificio
A --- Área del recipiente (Superficie).
T -- Tiempo necesario para su evacuación (s).
En un pequeño intervalo de tiempo dt, el caudal será:
Cg . Ao 2 gh
Volumen del líquido evacuado:
Cdg . Ao 2 gh.dt
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MECANICA DE FLUIDOS I
En el intervalo de tiempo dt, el nivel en recipiente baja dh, Lo que corresponde a un volumen de líquido de:
A.dh
Igualando tenemos:
dt 
A.dh  Cg . A 2 gh.dt
A.dh
Cg . Ao . 2 gh
Integrando entre dos niveles h1 y h2
t
h1
A
Cg . Ao . 2 g
h
1
2
dh
t
1
1
2A
(h1 2  h2 2 )
Cg . Ao . 2 g
t
1
1
2A
(h1 2  h2 2 )
Cg . Ao . 2 g
h2
Para evacuación completa:
h2 = 0
t
2. A
. h
Cg . Ao 2 g
h1 = h
Expresión aproximada.
Cuando pase un tiempo el flujo por el orificio deja de ser pequeño:
Donde:
Cd = 0, 61
Se encuentra:
2.g  4,43
t  0,74
A
. h
Ao
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MECANICA DE FLUIDOS I
ORIFIICIOS DE GRANDES DIMENSIONES
Salida del liquido por compuerta com fondo horizontal..
Como se ve detrans de la compuerta a la distancia a se forma la sección contraida co una profundidad h c
hc   .a
Zhukovski demostro
 a 
  f  
 H1 
Aplicamos Bernoulli
v02
vc2
 H1 
 hc  hw
2g
2g
Las perdidas de carga son iguales a las perdidas locales
hw  Cr
vc2
2g
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MECANICA DE FLUIDOS I
ORIFICIO EN PARED DELGADA
Se puede suponer que la lámina líquida que sale, toca a la pared sólo en una arista. Debido a la viscosidad y
al rozamiento existente en la proximidad de las paredes, la velocidad de salida es menor que la calculada
teóricamente es decir:
En la que 𝜑 es un coeficiente de reducción de velocidad, comprendido en el intervalo 0.96 < 𝜑 < 0.99 ,
esto supone que la velocidad de salida real puede ponerse en función de una altura h 1, en la forma:
La diferencia entre h y h* determina la altura correspondiente a la pérdida de carga del orificio:
En la que 𝜉 = 0.065. es el coeficiente de perdida de carga.
Rendimiento de un orificio. La altura que se aprovecha para transformar en energía cinética es h* y no la
disponible, por lo que se define el rendimiento de un orificio, como la relación entre la altura realmente
transformada y la totalmente disponible:
Contracción de la vena liquida. Los filetes de la venda liquida son convergentes hasta una sección Ω situada
a una cierta distancia de la pared, a partir de la cual comienza a circular paralelamente.
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MECANICA DE FLUIDOS I
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MECANICA DE FLUIDOS I
A esta sección se la llama sección contraída. La relación entre ambas secciones se denomina coeficiente de
contracción 𝜓 =
Ω
𝑆
siendo 𝜓 < 1, que viene dado experimentalmente, y depende de las dimensiones,
formas, cargas del orificio y proximidad de este a las paredes del depósito.
Cuando exista una causa que vaya en contra de la libertad de la contracción de la vena, diremos que la
contracción es incompleta, siendo el valor de 𝜓 mayor que en el caso de contracción completa. La
contracción será completa, cuando la distancia de los bordes del orificio a las paredes laterales o al fondo,
sea igual o mayor que el doble de la mínima dimensión del orificio.
La relación existente entre los coeficientes de gasto, la reducción de velocidad y de contracción de la vena
liquida, puede deducirse de la siguiente forma:
Característica de un orificio. Es la relación entre el caudal y la carga de la forma:
Que se puede representar conociendo un solo punto de funcionamiento A en coordenadas (QR.h)
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MECANICA DE FLUIDOS I
GRANDES ORIFICIOS EN PARED DELGADA
En grandes orificios, la velocidad varia en los diferentes puntos de la sección del orificio con la altura Z, a no
ser que el orificio este situado en el fondo del depósito.
El caudal infinitesimal que circula a través de la sección (ldz).
ℎ1
ℎ1
𝑄 = 𝜇 ∫ 𝑙 √2𝑔𝑧 𝑑𝑧 = |𝑙 = 𝑓(𝑧)| = 𝜇 √2𝑔 ∫ 𝑓(𝑧)√𝑧 𝑑𝑧
ℎ0
Orificio rectangular.
ℎ0
El valor del caudal es:
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MECANICA DE FLUIDOS I
tomando solo el primer sumando del desarrollo, resulta:
De utilidad en el cálculo de compuertas en pared delgada.
Orificio circular.
En este caso: 𝑙 = 2√𝑟 2 . 𝑧 2 , por lo que:
Integrando y resolviendo como en el caso anterior, se obtiene:
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MECANICA DE FLUIDOS I
ORIFICIO SUMERGIDO
Se tiene derrame sumergido, cuando la vena liquida que sale por el orificio queda por debajo del nivel del
líquido del depósito en cual entra.
Se puede suponer que en B los filetes del líquido saliente son paralelos y que el desnivel entre ambos
depósitos permanece constante: aplicando Bernoulli entre A y B, y tomando como plano de comparación el
que pasa por B se tiene:
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MECANICA DE FLUIDOS I
Si las dos superficies libres están a la misma presión o al aire libre: 𝑝0 = 𝑝′0 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 despejando VB resulta:
En la tabla se dan los valores de u para orificios sumergidos. Cuando el orificio este parcialmente sumergido,
la abertura superior se considera como orificio libre y la inferior como orificio sumergido.
ORIFIICOS PROLONGADOS EN CANAL
Suponiendo que las velocidades de los puntos A y B son VA y VB y considerando que el punto A esta
suficientemente alejado del orificio como para suponer que su velocidad VA es constante aplicando Bernoulli
al filete (AB) se tiene:
Si llamamos l a la anchura del orificio, la expresión del caudal es:
Se tomara, u=0.675, y si las aristas son redondeadas, u=0.7.
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MECANICA DE FLUIDOS I
ORIFICIO EN PARED GRUESA
Que desde el contorno se separe la vena liquida de la pared
Se pueden dar dos casos:
que la vena liquida quede adherida a la misma
Para el primer caso se puede utilizar la formulación desarrollada para los orificios en pared delgada,
tomando para el coeficiente los dados por la tabla, para orificios rectangulares, y por la otra tabla, para
aristas vivas o redondeadas en que hay contracción incompleta. En general se puede tomar:
Cuando el borde inferior del orificio estámás alto que el fondo del recipiente se toma un
valor medio igual a u=0.60
Para los orificios prolongados en canal en los que el borde inferior del orificio está en el
fondo, los valores están comprendidos en el intervalo (0.65<u<0.70); para números de
Reynolds inferiores a un cierto valor. La influencia de la viscosidad es tan grande que la vena
que se adhiere a la pared, despegándose al aumentar Re
Según experiencias realizadas por Venturi, la velocidad en la sección contraída, y el caudal se
puede poner en la forma de:
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MECANICA DE FLUIDOS I
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I.
MECANICA DE FLUIDOS I
DETERMINACIÓN DE LOS COEFICIENTES DE DESCARGA Y DE CONTRACCIÓN
Flujo por un orificio en la pared de un tanque
Supóngase un orificio de pequeña sección sobre la pared lateral de un tanque con fluido a presión en el
interior, por ejemplo con agua con la superficie libre a una cierta altura por encima del orificio, como se
muestra en la Figura 1.
Debido a la presión interior, por el orificio se producirá una descarga de agua, tanto mayor cuanto mayor
sea el tamaño del orificio, en la dirección perpendicular a la pared. Lógicamente el fluido sale a través de
toda la sección del orificio, pero en realidad la dirección de la velocidad en cada posición es distinta. En
efecto, la forma de las líneas de corriente por el interior del tanque hace que en la sección del orificio el
vector velocidad tenga en cada punto una componente radial hacia el eje. El conjunto de estas componentes
hacen que la sección del chorro se reduzca en cierta medida tras pasar el orificio, hasta que las
componentes radiales se contrarrestan entre sí. La zona del chorro en la que la sección es mínima se designa
como vena contracta. El efecto de vena contracta es tanto más acusado cuanto más vivos sean los bordes
del orificio por el interior del tanque, pues más dificultad tienen entonces las líneas de corriente para
adaptarse a la geometría.
Atendiendo a la notación de la Figura 2, la carga H sobre el orificio se mide del centro del orificio a la
superficie libre del líquido. Se supone que la carga permanece constante y que el depósito está abierto a la
atmósfera. La ecuación de Bernoulli, aplicada desde un punto 1 en la superficie libre hasta el centro de la
vena contracta, punto 2, establece que:
En este caso, las presiones p1 y p2, son iguales a la presión atmosférica local que se toma como referencia.
Generalmente, la velocidad en la superficie libre, v1, es suficientemente pequeña, dada la gran sección del
depósito, para poder despreciarla frente al resto de términos. Si además tomamos el punto 2 como punto
de referencia de elevación, entonces z1− z2 = H. Con todo esto, la ecuación (1), se escribe como:
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MECANICA DE FLUIDOS I
que es la expresión del teorema de Torricelli.
La expresión (2) proporciona únicamente la velocidad teórica, ya que se desprecian las pérdidas entre los
dos puntos. El cociente entre la velocidad real, vR, y la teórica, v, recibe el nombre de coeficiente de
velocidad Cv, es decir:
y por lo tanto:
La descarga real, Q, del orificio es el producto de la velocidad real en la vena contracta por el área del
chorro. El cociente entre el área del chorro en la vena contracta, A2, y el área del orificio, Ao, se llama
coeficiente de contracción Cc:
de modo que el área en la vena contracta es Cc A o y por tanto, la descarga real es:
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MECANICA DE FLUIDOS I
Es habitual combinar los dos coeficientes anteriores en uno solo denominado
Coeficiente de descarga CD:
de modo que la descarga real o caudal viene dada por:
Las pérdidas entre los puntos 1 y 2 no admiten un cálculo analítico, por lo que el coeficiente de velocidad
Cvdebe ser determinado experimentalmente. El proceso de obtención experimental de Cv, puede realizarse
por medio de dos métodos diferentes:
a) Medición directa de la velocidad real vR. La determinación de vRse realiza colocando un tubo de pitot en
la vena contracta.
b) Método de la trayectoria. Si se mide la posición de un punto corriente abajo sobre la trayectoria de un
chorro libre desde la vena contracta (Figura 2), es posible calcular la velocidad real vR. Si se desprecia la
resistencia del aire, la componente horizontal de la velocidad no cambia y por tanto una posición de
coordenada x a lo largo del chorro (como el punto 3) verificará: vrt= x, donde t es el tiempo requerido por
una partícula de fluido para viajar desde la vena contracta hasta el punto 3. Durante ese tiempo cada
partícula habrá descendido una cierta distancia y bajo la acción de la gravedad; como la componente vertical
de la velocidad inicial (en la vena contracta) es nula, se verificará que y = g𝑡 2 / 2. Si se elimina el tiempo t en
estas dos expresiones, se obtiene:
Finalmente a partir de vR, es posible determinar el coeficiente de velocidad a partir de la ecuación (3).
Al igual que ocurre con el coeficiente de velocidad, en general no se puede calcular analíticamente la
magnitud de la contracción, Cc, y es necesario recurrir nuevamente a métodos experimentales. El
procedimiento en este caso consiste en la medición directa del diámetro del chorro empleando para ello
calibradores externos.
Finalmente, una vez determinados los coeficientes de velocidad y de contracción, el coeficiente de descarga
se determina aplicando la ecuación (7). La ecuación (8) es válida para cualquier tipo de orificio o boquilla,
variando únicamente en cada caso los valores de los coeficientes de velocidad, de contracción y de descarga.
En la Figura 4 se presentan los valores experimentales de estos coeficientes obtenidos para tres tipos de
boquilla de sección circular.
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MECANICA DE FLUIDOS I
En la Figura 4, la llamada boquilla de Borda está formada por un tubo que penetra en el depósito y tiene
aristas vivas. La boquilla de trompeta tiene un coeficiente de descarga más favorable que la boquilla de
tobera cónica, debido a su forma más bien fuselada, que ha eliminado las pérdidas de forma, quedando
únicamente las de superficie. De cualquier modo, téngase en cuenta que los valores de los coeficientes de
velocidad, contracción y descarga que aparecen en la Figura 4, son solo orientativos y deben usarse con
precaución, puesto que dependen de las dimensiones particulares de cada boquilla. Los coeficientes para
cualquier boquilla deben obtenerse in situ mediante medidas experimentales.
La pérdida de carga en el flujo en un orificio puede determinarse aplicando la ecuación de energía con un
término de pérdidas, hp, para la distancia entre los puntos 1 y 2 (Figura 2):
Considerando despreciable la velocidad en la superficie libre del fluido, sustituyendo el valor de la velocidad
real en el punto 2 (ecuación 4) y tomando la presión atmosférica local como presión de referencia y la cota
geométrica del punto 2 como referencia de elevación, a partir de la ecuación (10) se obtiene que las
pérdidas de carga son:
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II.
MECANICA DE FLUIDOS I
BOQUILLAS
Se llama boquillas a todos los tubos adicionales de pequeña longitud constituidos por piezas tubulares
adaptadas a los orificios. Se emplean para dirigir el chorro líquido. Su longitud debe estar comprendida entre
vez y media (1,5) y tres (3,0) veces su diámetro. De un modo general, y para longitudes mayores, se
consideran longitudes de 1,5 a 3,0 D boquillas; 3,0 a 500 D tubos muy cortos; 500 a 4000 D
(aproximadamente) tuberías cortas; arriba de 4000 D tuberías largas. El estudio de orificios en pared gruesa
se hace del mismo modo que el estudio de las boquillas. Las boquillas pueden ser entrantes o salientes y se
clasifican en cilíndricas, convergentes y divergentes. A las boquillas convergentes suele llamárseles toberas.
CLASIFICACION DE LAS BOQUILLAS
1.
BOQUILLAS CILÍNDRICAS
Se denominan también: boquilla patrón: boquilla cuya longitud iguala 2,5 veces su diámetro y boquilla de
Borda: boquilla interior de longitud patrón.
La contracción de la vena ocurre en el interior de boquillas cilíndricas.
En las boquillas-patrón, la vena puede pegarse o no a sus paredes. Cerrándose el tubo hasta llenarlo, se hace
que la vena quede pegada, resultando un chorro "total" (ocupando totalmente la sección de salida).
Es interesante observar que a la boquilla interior de Borda corresponde al menor caudal: coeficiente de
descarga 0,51 (teóricamente se encuentra Cc=0,5 para vena libre). La boquilla cilíndrica externa con vena
adherente, eleva el caudal: Cd=0,82.
2.
BOQUILLAS CÓNICAS
Con estas boquillas se aumenta el caudal, ya que experimentalmente se verifica que en las boquillas
convergentes la descarga es máxima para = 1330´, lo que da como resultado un coeficiente de descarga de
0.94 (notablemente mayor al de las boquillas cilíndricas). Las boquillas divergentes con la pequeña sección
inicial convergente se denominan Vénturi, puesto que fueron estudiadas por este investigador, que
demostró experimentalmente que un ángulo de divergencia de 5 grados y e = 9d permite los más altos
coeficientes de descarga.
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MECANICA DE FLUIDOS I
BOQUILLAS Y TERMINALES
En la práctica, las boquillas son construidas para varias finalidades: contra incendios, operaciones de
limpieza, servicios de construcción, aplicaciones agrícolas, tratamiento de agua, máquinas hidráulicas’, etc.
Cuatro tipos son los usuales y se muestran en la Figura. Estos son:
a) Boquilla cónica simple
b) Boquilla cónica con extremidad cilíndrica
c) Boquilla convexa
d) Boquilla tipo Rouse
El coeficiente de descarga (Cd), generalmente está comprendido entre 0,95 y 0,98.
Las boquillas de incendio, normalmente tienen de diámetro de salida 1 a 1 1/2 pulgada.
TIPOS DE BOQUILLAS
En el mercado se encuentran diferentes tipos de boquillas, de manera que se puedan conseguir las más
apropiadas para cada tipo de aplicación. La distribución superficial producida y el tamaño de las gotas para
un determinado nivel de presión del líquido que llega a la boquilla son los parámetros que determinan los
criterios de selección.
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
MECANICA DE FLUIDOS I
Boquillas de hendidura, abanico o chorro plano:
En ellas el orificio de salida no es circular, sino alargado en forma de hendidura. La pulverización se consigue
por el choque de dos láminas líquidas convergentes en las proximidades de la hendidura. El chorro de
pulverización es un chorro cónico muy aplastado, con forma de pincel y ángulo entre 600 y 1201, con gotas
más gruesas en los extremos del abanico. El aumento de la presión entre 1 y 4 bar incremento
sensiblemente su caudal, el ángulo de abertura del chorro y su aplastamiento, pero modifica poco la finura
de pulverización.
Proporcionan generalmente gotas de tipo medio, con presiones entre 2 y 4 bar, lo que las hace las más
indicadas para aplicar herbicidas o siempre que se desee una buena distribución superficial sobre cultivos de
poco desarrollo foliar. El perfil superficial de distribución de líquido es generalmente triangular, por lo que
para conseguir una cobertura uniforme se recomienda el solapamiento de los chorros. También se
comercializan boquillas de abanico con perfil de distribución uniforme, especialmente diseñadas para
trabajar separadas en aplicaciones en bandas. Algunos fabricantes ofrecen boquillas de doble salida, lo que
da lugar a dos chorros planos idénticos.
Por solapamiento de chorros de boquillas contiguas, en las condiciones anteriormente señaladas se pueden
conseguir una alta uniformidad de distribución, pero deben estar montados de manera que los chorros de
boquillas contiguas no choquen, para lo que se les da una ligera inclinación respecto al plano transversal en
que están situadas.

Boquillas de turbulencia o de chorro cónico (cono hueco y cono lleno):
Estas boquillas dividen el líquido al convertir su energía potencial bajo presión en velocidad, por variaciones
bruscas de sección y de dirección. Este movimiento, en forma de torbellino, lo provoca una cámara
helicoidal o una hélice giratoria y un orificio calibrado en la placa de salida a la atmósfera. El propio
movimiento helicoidal que toma el líquido en la boquilla se mantiene en el chorro de pulverización, dando
lugar a un chorro cónico de gotas, más gruesas y con más cantidad de líquido en el exterior, y muy pocas y
mucho más finas en el interior (cono hueco). En las cono lleno, en la parte interior del chorro se mantiene
una pulverización abundante. El aumento de presión de la presión de trabajo modifica poco su caudal, pero
aumenta la finura de pulverización. La finura de la población de gotas formada, en comparación con otros
tipos de boquillas, hace que sean recomendadas cuando se busca fuerte penetración y cubierta densa sobre
el vegetal. Se recomiendan para la aplicación de insecticidas y fungicidas, tanto en cultivos bajos como en los
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MECANICA DE FLUIDOS I
de gran desarrollo foliar (en los pulverizadores hidroneumáticos, también conocidos como atomizadores),
con presiones entre 5 y 15 bar.

Boquillas deflectoras, de choque, o de espejo:
Proporcionan un perfil de distribución homogéneo y se pueden utilizar sin solapamiento para conseguir una
distribución uniforme. Frente a la salida calibrada se presenta una superficie pulida e inclinada respecto a
chorro (espejo) que provoca el estallido del mismo y su pulverización según un chorro plano de gran ángulo
de abertura. Dan gotas gruesas de baja deriva y tradicionalmente se han venido aconsejando para
tratamientos sobre suelo desnudo con abonos líquidos, o para herbicidas de acción sistémica en bajo
volumen de agua. Con el mismo concepto de la pulverización por choque, recientemente han aparecido en
el mercado unas boquillas de baja deriva, especialmente diseñadas para sustituir a las de abanico en la
aplicación de todo tipo de herbicidas.
Las boquillas detectoras tienen una gran resistencia a la abrasión, pero es muy importante dejar de
utilizarlas cuando se desgastan, ya que entonces la pulverización es mediocre y el reparto irregular. En las de
diseño convencional, se trabaja generalmente a baja presión, pero los caudales nominales suelen ser altos,
sólo se recomiendan para aplicaciones de herbicidas sistémicos (como el glifosato), en bajo volumen de
agua, o bien abonos líquidos densos, ya que por la forma del orificio de salida permiten el paso de partículas
gruesas.
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
MECANICA DE FLUIDOS I
De tres orificios, o chorros multiples:
Está constituida por una placa perforada con un orificio calibrado, sobre el que se coloca un cuerpo de
plástico con tres o más perforaciones sobre una circunferencia que tiene su centro en línea con el orificio de
la placa.
Salen tres chorros idénticos con una sucesión de gotas gruesas (0,5 a 2 mm) y cuyo impacto sobre el suelo
produce una distribución aceptable para distribución de abonos líquidos. Las presiones de trabajo están
entre 1 y 3 bar sin riesgo de obstrucción, incluso con productos densos. No son apropiadas para la aplicación
de productos fitosanitarios
BOQUILLAS ANTIDERIVA TURBO-DROP
En el lugar de la tuerca estándar (1 y 2), se incorpora el sistema Turbo Drop. Un disco de calibración en
cerámica alúmina (3) controla el caudal de líquido a pulverizar. Este disco de control de caudal proyecta un
chorro redondo en el inyector y arrastra el aire a través del orificio de aspiración (4). En la cámara (5) se
mezcla finalmente el aire con el líquido de aspersión. Las turbulencias resultantes de este proceso son
reducidas dentro de la zona de estabilización (6), y las pulsaciones de inyección son compensadas por la
cámara de aire (7) de forma anular. Esto forma una mezcla homogénea aire-líquido, la que posteriormente
es distribuida a través del orificio de la boquilla (8) abanico, cono hueco. Por lo tanto las gotas finas que se
producen con una boquilla convencional son eliminadas completamente y reemplazadas por burbujas de
agua aire, en conclusión el volumen de la gota será mayor lo cual impide que existan gotas pequeñas que
puedan ser arrastradas por el viento.
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VENTAJAS DE LA BOQUILLA TURBO-DROP
Control de Caudal: El caudal es exclusivamente controlado por la presión de operación sobre la pastilla
calibradora. El calibre de la boquilla de salida no tiene influencia sobre el caudal, modifica únicamente el
tamaño de las gotitas. El tamaño de la gotitas cargadas de aire puede estar adaptado con precisión a cada
aplicación y a cada ambiente (viento). El mejoramiento del tamaño de las gotitas es un medio eficaz para la
lucha contra la deriva y para la precisión de pulverización.
Velocidad y Penetración: La mezcla de aire y líquido esta comprimida antes de la boquilla de salida, al salir
de la boquilla, el aire contenido en el líquido se dilata y aumenta la velocidad de las partículas. La alta
velocidad de las gotitas aumenta la energía de las partículas y mejora la penetración.
Menor volumen de agua: A través del aire mezclado con el líquido, el tamaño de cada gotita es multiplicado
por dos y permite reducir considerablemente el caudal pulverizado
Mejor cobertura: Las gotitas cargadas de aire, parecidas a la espuma, aseguran una mejor y más grande
cobertura de la superficie a tratar
Mayor rango de presión posible: Las boquillas TurboDrop son fabricadas para trabajar con presiones de
trabajo de 2 hasta 20 bar o kg/cm² sin problemas de deriva o grandes desgastes.
Alta resistencia al desgaste: El disco de control de caudal es fabricado en cerámica en alúmina altamente
resistente al desgaste
BOQUILLAS PARA SERVICIO AEREO
Las Boquillas aéreas eliminan la necesidad de las puntas de Fumigación y están diseñadas específicamente
para aplicaciones aéreas. Tienen cuatro orificios y tres planos deflectores, que permiten al piloto marcar la
capacidad de flujo deseada y el espectro de gotas sin cambiar de punta.
Las boquillas de corriente recta están diseñadas para una alta velocidad de vuelo o cuando las regulaciones
locales prohíben cualquier clase de deflexión. En la mayoría de los casos todo lo que requiere para detener
el goteo o limpiar las boquillas obstruidas es hallar un vástago y ya.
EL DESGASTE DE LAS BOQUILLAS
Las boquillas se desgastan con el uso, aumentando el caudal que proporcionan para la misma presión y
mortificándose el espectro de gotas producidas, por lo que se deben cambiar cuando esto suceda.
El desgaste depende del tipo de producto y de las condiciones en que se realiza la aplicación interviniendo
en el mismo tanto la abrasión que producen los materiales que atraviesan la boquilla como los fenómenos
electrolíticos consecuencia de la pulverización y también de la presión de trabajo.
Cuando se realizan ensayos acelerados utilizando materiales abrasivos como el corindón o el oxicloruro de
cobre, las diferencias que aparecen según los materiales de que está construida la boquilla son bastante
significativas. A este respecto puede presentarse los resultados de unos ensayos realizados por Shell sobre
boquillas de abanico de 110º:
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Caudal inicial
Caudal
después
Variación
de 40 horas
[L/min]
[L/min]
[%]
latón
0.85
1.60
+ 88.2
kematal
0.84
1.20
+ 42.9
acero
0.90
1.10
+ 22.2
polipropileno
0.64
0.77
+ 20.3
acero templado
0.61
1.07
+ 17.6
aluminio
1.66
1.70
+ 2.4
Material
En cualquier caso las boquillas de material cerámico (óxido de aluminio) son las más resistentes, seguidas de
las de material sintético de calidad, en las que en los comienzos de la prueba no solo no hay un aumento del
caudal de salida, sino que se produce una reducción de mismo siguiendo posteriormente un desgaste más
rápido que el de las boquillas de cerámica. Las boquillas de metal y las de acero no templado sufren
desgaste, para las mismas condiciones, mucho más intensos.
Por todo ello no se debe admitir el empleo de boquillas sin "marca" y de materiales que sufren un desgaste
rápido, como el latón; se recomiendan las de material cerámico, plásticos endurecidos y acero templado,
más aún cuando se utilizan agroquímicos abrasivos, o se trabaja con muy altas presiones. Para evitar los
efectos negativos que se producen al pulverizar con boquillas desgastadas es necesaria una verificación
periódica dé su estado (al menos cada 100 ha de cultivo tratado) y la sustitución en el momento en que el
desgaste pueda afectar a la calidad de la pulverización.
En las boquillas desgastadas se produce un aumento del caudal concentrándose el chorro en el centro de la
boquilla. En las boquillas con daños se produce un perfil de distribución irregular.
Un aumento del caudal del líquido pulverizado por la boquilla entre el 10 y el 15% (según la volumen que se
utilice) es señal suficiente para su sustitución. En boquillas nuevas no se debe admitir una dispersión de
caudal en el lote que alcance el ± 5% para la presión nominal.
EXPERIENCIA DE VENTURI
Parece paradójico el hecho de que el caudal se eleve con la adición de una boquilla, pues con la misma se
crean nuevos puntos para pérdida de carga. La explicación fue dada por Venturi en un célebre experimento.
La presión media existente en la corona de depresión que envuelve la vena líquida dentro de la boquilla es
menor que la presión atmosférica. Esto fue verificado por Venturi, quien introdujo en esa región, un tubo de
vidrio, conforme muestra la Figura. Se observa que el valor 0,75 h tiene un límite teórico de 1 atmósfera (10
m H20).
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En estas condiciones, la descarga que en un orificio se daría contra la presión atmosférica, con la adición de
una boquilla contra una presión menor, se eleva el caudal. La existencia de la boquilla permite la formación
y mantenimiento de la corona de depresión.
Venturi, abierto siempre a los problemas técnicos, se orientó hacia el estudio experimental de esto, e instaló
en el "teatro físico" de una universidad un dispositivo para el estudio de los chorros, muy parecido al de
Poleni y ejecutó en él experiencias, con la puerta de la sala abierta a todo público interesado o curioso. La
maniobra se realizó con toda precisión con el auxilio de tres operadores: el primero contó en voz alta los
segundos del péndulo, otro abrió el orificio en el instante delos 60 segundos, y el tercero se dedicó a regular
lasalida de agua del tanque superior, controlando que la ventana del intermedio dejara salir
constantemente una lámina de agua muy delgada. El ensayo se repitió muchas veces seguidas hasta que la
concordancia de los resultados eliminara todo temor de equivocación. Sin embargo, Venturi no se contentó
con repetir los ensayos de Poleni, sino que perfeccionó detalles y concibió nuevas aplicaciones.
Por ejemplo; como se muestra en la figura:
Se sabía que la contracción del chorro se produce también cuando al orificio GH se le aplica un tubo
adicional cilíndrico GK. No se disponía entonces, como hoy disponemos, de conductos transparentes de
grandes dimensiones; ¿cómo pues comprobar su presencia y medir la depresión que nace en su interior? Al
tubo adicional, Venturi le agrega una cánula de vidrio QRS, quedando su entrada Q dentro de la zona GMNQ
donde la corriente se separa de la pared. La cánula, que termina con su extremo inferior sumergido en el
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agua coloreada contenida en el vaso T, funciona como barómetro, equilibrando la presión atmosférica con la
interior, que se puede así determinar con base en la altura de la columna US.
Otra investigación interesante es que se dedica a mejorar la forma del tubo adicional con el fin de conseguir
que el gasto que, bajo una carga dada, puede sacarse del orificio, sea el más grande posible. Venturi
descubre que, si al orificio se le aplica un tramo cónico AB convergente:
a fin de seguir la forma de la vena contraída, el gasto aumenta de 10 a 12.1; si además en el extremo C del
tubo cilíndrico BC, de diámetro igual al de la contracción, se adapta un tramo cónico divergente CD, el gasto
crece todavía de 12.1 a 24. Así, utilizando los dos aditamentos, se logra incrementar el gasto de lO a 24, o
sea, el 140 por ciento. ¡Con razón —comenta Venturi— en la antigua Roma, donde los particulares más
adinerados podían adquirir el derecho de derivar a sus casas aguas provenientes de los depósitos públicos,
no se les permitía ensanchar su cañería a un diámetro mayor de aquél que se había concedido para el
orificio de toma! Realmente la cláusula prohibía que la expansión se efectuara a una distancia menor de 50
pies desdela toma; y el legislador —agrega Venturi— "no se había dado cuenta de que era posible estafar la
ley de todos modos, aplicando el aditamento CD más allá de los 50 pies".
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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA
INTRODUCCIÓN
En los temas anteriores hemos analizado el comportamiento de fluidos en el ámbito de estática, en donde
cualquier tipo de problema, se puede abordar y tener una solución analítica directa. También, nos hemos
introducido en la dinámica de fluidos (cuando existe flujo) y lo hemos analizado a través de las tres
ecuaciones básicas mediante el método del volumen de control. En este último caso, no existen soluciones
directas en muchos casos de problemas que se nos pueden plantear, por ejemplo, siempre tenemos el
problema de la valoración de la altura de pérdidas (h friccion), por lo que se ha de recurrir al análisis
experimental, es decir, al trabajo de laboratorio para poder encontrar las correlaciones que nos hacen falta.
En general se aplican estas técnicas cuando se conocen las variables que intervienen en el problema
(fenómeno físico), mientras que la relación que existe entre ellas se desconoce.
Por ejemplo:
Pensemos que quiere determinar la fuerza de arrastre de una pelota lisa de diámetro D, que se mueve a
una cierta velocidad v en un fluido viscoso. Otras variables involucradas son las que nos definen el fluido, es
decir, la densidad y la viscosidad absoluta (por lo que podemos establecer que la fuerza de arrastre F,
es una función desconocida de estas variables:
F = f ( D, v, 
Para determinar experimentalmente la relación se requeriría un trabajo considerable, ya que sólo una de las
variables entre paréntesis debe modificarse cada vez, lo que resulta la acumulación de muchas gráficas, el
uso de diferentes pelotas con diferentes diámetros, y la utilización de muchos fluidos con diferentes
densidades y viscosidades. Lo que implica que para un problema físico casi pueril, una investigación larga y
costosa.
Así en nuestro caso, si hacemos 10 pruebas, entre dos variables, manteniendo el resto de variables
constantes, deberíamos realizar, el siguiente número de pruebas experimentales:
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F 10
En donde podemos representar en abscisas el diámetro, y en ordenadas la velocidad, representando cada
curva, una determinada fuerza de arrastre, esto realizado para una densidad y una viscosidad de fluido
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constante, en total se han realizado 100 pruebas de laboratorio, después realizaríamos este mismo cuadro
de pruebas para 10 densidades diferentes, con lo que ya tenemos 1000 pruebas, y después realizaríamos 10
series pruebas más para encontrar la relación con la viscosidad (viscosidad variable) con lo que
obtendríamos un total de 10.000 pruebas experimentales.
Para evitar esta tediosa tarea, se ha creado un procedimiento denominado análisis dimensional.
ANÁLISIS DIMENSIONAL
Mediante el análisis dimensional, el problema o fenómeno físico, se representa por una función de
los denominados “grupos adimensionales”, en vez de por las variables que intervienen. Con este
procedimiento, se reduce el número de variables, con lo que el coste de la experimentación
disminuye.
Nosotros podemos expresar una dimensión dependiente en función de un conjunto seleccionado
de dimensiones básicas independientes, en nuestro caso como utilizamos el Sistema Internacional
de unidades, estas dimensiones básicas son:
- L, longitud.
- M, masa.
- T, tiempo.
- K, grados kelvin.
Así podemos expresar, por ejemplo, la velocidad dimensionalmente como:
v
L
T
Como una longitud entre un tiempo.
Se denomina grupo adimensional, aquel cuya dimensión es 1; es decir, cuando el producto de un
grupo de cantidades expresadas dimensionalmente es igual a 1.
Por ejemplo:
M
*
L
 * v * D L3 T

M

*L
1
L *T
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Este grupo adimensional recibe un nombre particular, el número de Reynolds.
La manera de relacionar estos grupos adimensionales y las variables que afectan a un fenómeno físico en
cuestión, nos viene relacionado por el teorema de Buckingham o teorema de .
TEOREMA DE 𝜋 O BUCKINGHAM
Este teorema dice lo siguiente:
“Si se sabe que un proceso físico es gobernado por una relación dimensionalmente homogénea que
comprende a n parámetros dimensionales, tales como:
x1 = f (x2, x3,...., xn)
donde las “x” son variables dimensionales, existe una relación equivalente que contiene un número (n - k)
de parámetros adimensionales, tales como:
f’(n-k)
donde los “” son grupos adimensionales que se construyen a partir de las “x”. La reducción “k”
generalmente es igual al número de dimensiones fundamentales contenidas en “x”, pero nunca mayor que
él”.
APLICACIONES DEL TEOREMA DE π
El teorema pi, lo único que nos dice es el número mínimo de grupos adimensionales. Para la construcción
completa de un sistema de grupos adimensionales, se debe seguir con el siguiente método:
1) Escribir una relación funcional para la relación dimensional que se investiga, asegurándose de incluir
todos los parámetros dimensionales relevantes.
Así podemos escribir la pérdida de altura por fricción (H fricción) en una tubería recta de sección circular,
que depende de:
H fricción  f L, D, v; , ,  
Donde  es la rugosidad absoluta de la tubería (dimensión longitud).
2) Determinar el número de parámetros adimensionales que se requieren construir.
Para ello cada variable la expresamos dimensionalmente:
Hfricción
L
D
V



=
=
=
=
=
=
=
L
L
L
L/T
M/L3
M/(L*T)
L
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En donde tenemos 7 variables (n) y 3 dimensiones (k). Por tanto el número de grupos adimensionales
que tendremos según el teorema de “pi” es de:
n – k = 7 – 3 = 4 grupos adimensionales.
3) Cálculo de los grupos adimensionales.
La relación funcional se expresa dimensionalmente, elevando las variables dependientes a coeficientes:
[L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]c, [M*L-3]d, [M*L-1*T-1]e, [L]f)
Como debe ser una ecuación dimensionalmente homogénea, el lado izquierdo de la igualdad tiene que
tener la misma dimensión que el lado derecho de la igualdad, por tanto se cumple:
[L]
1 = a + b + c – 3d – e + f
[T]
0=-c–e
[M]
0=d+e
Nos produce un sistema de 3 ecuaciones con 6 incógnitas, por lo que se escogen tres variables (que
queramos que se repitan en los diferentes grupos adimensionales), y se ponen en función de las demás.
En este caso escogeremos la densidad (d), la velocidad (c) y el diámetro (f):
d=-e
c=-e
1 = a + b – e – 3*(- e) – e + f
1=a+b+e+f
f=1–a–b–e
Sustituyendo en la misma relación:
[L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]-e, [M*L-3]-e, [M*L-1*T-1]e, [L]1-a-b-e)
y agrupando las potencias se obtiene:
H fricción
D


 L
 f 
, , 
 D*  *v D D 
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Con lo que hemos obtenido cuatro grupos adimensionales, tales como habíamos deducido por la
aplicación del teorema de pi.
GRUPOS ADIMENSIONALES IMPORTANTES EN LA MECANCIA DE FLUIDOS
En todos los problemas relacionados con la Mecánica de Fluidos, aparece siempre un número determinado de
grupos adimensionales. Veamos cuales son, y por qué son estos y no otros.
Así, a nivel general, sabemos que la suma de fuerzas que actúan sobre un fluido, puede provocar una
aceleración del mismo:


F
  m*a
Esta fuerza de inercia se puede expresar como:

m * a   * v 2 * L2
Las fuerzas que componen el sumatorio de fuerzas, son las másicas y las superficiales, y pueden ser:
a)
Fuerzas másicas:
1) Fuerzas debido a la gravedad:
Fm  L3 *  * g
b) Fuerzas superficiales:
1) Fuerzas normales o de presión:
Fp  L2 * p
2) Fuerzas tangenciales o de fricción debido a la viscosidad:
F fricción  L *  * v
3) Fuerzas tangenciales debido a la tensión superficial:
F  L * 
4) Fuerzas normales debido a la compresibilidad:
F  L2 * 
Sumando todas las fuerzas e igualando a las de inercia, obtenemos:
L3 *  * g  L2 * p  L *  * v  L *  L2 *   * v 2 * L2
Esta es una expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:
f l , p,  , g , v,  ,  ,    0
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Como intervienen 3 magnitudes básicas (masa, longitud y tiempo), se han de obtener 5 grupos
adimensionales:
Dividiendo la ecuación del
F
por las fuerzas de inercia, obtendremos:
L* g
p





1
2
2
2
v
 *v
L * v *   * v2
Estos cinco números adimensionales, en general, se les da otra forma y se les asigna unos nombres
particulares:

Número de Reynolds.
Re 
 * l * v l *

; es el cociente entre las fuerzas de inercia y las de fricción producida


por la viscosidad.

Número de Euler.
v
Eu 
2*
p
; representa la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de

presión.

Número de Froude.
Fr 

l*g
; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de gravedad.
Número de Mach.
Ma 
Siendo

v
v


; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de elasticidad.

la velocidad del sonido en el fluido en cuestión.

Número de Weber.
We 
v

 *l
; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las debidas a la
tensión superficial.
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SEMEJANZA DE MODELOS
Muchas veces, con la experimentación; en vez de examinar un fenómeno físico, que ocurre en un objeto
particular o en un conjunto de objetos, nos interesa estudiar un conjunto de fenómenos, sobre un objeto o
conjunto de objetos. Por ejemplo, se quiere predecir el campo de presiones en un pilar de un puente que
está sobre un río. Para ello tenemos dos opciones:
a)
Construirlo a escala 1:1, y medir directamente las presiones. Si la resistencia es adecuada dejarlo, y si
no, destruirlo y volverlo a construir adecuadamente.
b) Construir un modelo a escala, por ejemplo 1:60, y realizar pruebas en un laboratorio de hidráulica, y
extrapolar los resultados para construir un pilar adecuado.
Como es obvio la opción a) es inviable y tendremos que recurrir a la opción b).
Para ello deberemos relacionar el modelo a escala con el prototipo real, de alguna manera; para poder
predecir el comportamiento de éste a partir de los resultados obtenidos experimentalmente en el modelo a
escala. Por ello debemos hablar de las leyes de semejanza.
Leyes de semejanza.
Para poder extrapolar los resultados, previamente se han de cumplir:
a)
El modelo ha de ser geométricamente igual que el prototipo.
Por tanto, las longitudes L, superficies A y volúmenes V deben ser homólogos entre el prototipo y el
modelo, y han de verificar la siguiente relación:
Lp
Ap
Vp
 ;
 2 ;
 3
Lm
Am
Vm
Siendo  la escala del prototipo en relación al modelo.
b) El modelo ha de ser dinámicamente semejante al prototipo.
Para que los fenómenos en el modelo y en el prototipo sean comparables no basta que los modelos de
estructuras o máquinas hidráulicas sean geométricamente semejantes a los prototipos, sino que
también los flujos, o sea las líneas de corriente, han de ser semejantes. Para ello es necesario que las
velocidades, aceleraciones, y fuerzas sean semejantes.
Cuando se cumple la semejanza geométrica y dinámica se dice que el modelo tiene semejanza
cinemática con el prototipo.
Por lo tanto para una semejanza completa, supuesta la intervención de todas las fuerzas señaladas
anteriormente, se debería cumplir:
Eup = Eum; Frp = Frm; Map = Mam; Rep = Rem; Wep = Wem
Esta condición sólo se cumple cuando el modelo y el prototipo tienen el mismo tamaño.
Afortunadamente, en un buen número de casos puede prescindirse de la influencia de tres de las
fuerzas y consecuentemente, de sus tres adimensionales correspondientes.
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BIBLIOGRAFIA
LIBRO Hidráulica General: volumen 1 (Sotelo)
Libro Mecánica de los fluidos (Víctor L. Streeter), profesor de hidráulica de la universidad
de Michigan
Libro Mecánica de los Fluidos e Hidráulica. (Ronald V. Giles)
http://libros.redsauce.net/
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ANEXO
LA ECUACION DE NAVIER STOKE
El movimiento de los fluidos incompresibles y Newtonianos está descrito por las
ecuaciones de Navier Stokes. Un análisis detallado del movimiento de un fluido
con dichas características se logra a partir de la solución de este sistema de
ecuaciones, constituido por expresiones que describen la conservación de la masa
y del momento lineal. Masa y momento se expresan en su forma intensiva, es
decir, unidad y velocidad, respectivamente, para formar ecuaciones que
establecen relaciones entre los mecanismos de transporte, la acumulación y las
fuentes.
Considerando un análisis de flujo bidimensional en estado estacionario, en
ausencia de fuerzas de cuerpo, y de acuerdo a las características planteadas para
el fluido de trabajo, se simplifican las ecuaciones de conservación para llegar a su
forma reducida tanto para la conservación de la masa (1) como para la ecuación
del momento (2), donde ~u, p, μ y ρ corresponden al vector velocidad (u, v),
presión, viscosidad dinámica y densidad, respectivamente.
∇∗𝑢
⃗⃗ = 0 … … … (1)
⃗⃗𝑝 … … … … … … . (2)
𝜌𝑢
⃗⃗ ∗ ∇𝑢
⃗⃗ − 𝜇∇2 𝑢
⃗⃗ = −∇
Por lo tanto la ecuación de conservación del momento (2) balancea flujos
conectivos (término no lineal), flujos difusivos (palaciano de la velocidad) y término
fuente (gradiente de presión). Este conjunto de ecuaciones corresponde al modelo
que describe la dinámica del fluido incompresible y Newtoniano, y cuya solución
se obtiene a partir del Método de Volúmenes Finitos para régimen laminar.
El equilibrio de fuerzas que actúan sobre un elemento de volumen de líquido
puede ser descrito con teorema de impulso. La tasa de variación de la dinámica de
un volumen cerrado es igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre
el volumen.
𝑑
∫ 𝜌𝑣
𝑑𝑡 𝜏(𝑡)
𝑑𝜏 = ∑ 𝐹
E lado izquierdode esta ecuación, que es la derivada del tiempototal dela integral
de volumense extendía sobre elρvimpulso,se pueden reorganizarde manera
similar ala derivación dela ecuación de continuidad. Que resulta:
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𝑑
𝜕𝜌 𝑣
𝜕𝑣
∫ 𝜌𝑣 𝑑𝜏 = ∫ [
+ ∇ ∗ (𝑝 𝑣 𝑣)] 𝑑𝜏 = ∫ 𝜌 [ + (𝑣 ∗ ∇)𝑣] 𝑑𝜏
𝑑𝑡 𝜏(𝑡)
𝜕𝑡
𝜏(𝑡) 𝜕𝑡
𝜏(𝑡)
El término (vv) es el producto diádica del vector velocidad v. Las fuerzas externas
son
el
volumen
la fuerza, como, por ejemplo, la fuerza de gravedad
𝐹𝑔 = ∫𝜏(𝑡) 𝜌𝑔 𝑑𝜏
Ylas fuerzas de superficie, que se derivan delas tensiones de tensor σ
(𝑛 ∗ 𝜎̿)𝑑𝐴
𝐹𝜎 = − ∫
𝐴(𝜏)
El término (n · ¯ σ) es el producto vectorial de la normal n y el tensor de estrés · σ.
La superficie integral puede volver a ser reemplazada por una integral de volumen.
𝐹𝜎 = − ∫
(𝑛 ∗ 𝜎̿)𝑑𝐴 = − ∫ (∇ ∗ 𝜎̿)𝑑𝜏
𝐴(𝑡)
𝜏(𝑡)
El teorema del impulso de un volumen cerrado de manera arbitraria τ lee
∫
𝜌[
𝜏(𝑡)
𝜕𝑣
+ (𝑣 ∗ ∇)𝑣] 𝑑𝜏 = ∫ 𝜌 𝑔 𝑑𝜏 − ∫ (∇ ∗ 𝜎̿) 𝑑𝜏
𝜕𝑡
𝜏(𝑡)
𝜏(𝑡)
Silas tresintegralesse agrupanen unúnicointegrante, una vez más, quesólopuede
desaparecer, si elintegrandose anula idénticamente:
𝜌[
𝜕𝑣
+ (𝑣 ∗ ∇)𝑣] = 𝜌 𝑔 − (∇ ∗ 𝜎̿)
𝜕𝑡
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Los componentes de estaecuación vectorialse pueden escribir enlos sistemas de
coordenadasarbitrarias, adecuadamenteelegido para elproblema considerado.
Encoordenadas cartesianasel resultado delas siguientes ecuacionescon:
𝜎𝑥𝑥
𝜎̿ = ( 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑢
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑢
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧 )
𝜎𝑧𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜌 ( 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑧 ) = 𝜌 𝑔𝑥 −
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜌 ( 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑧 ) = 𝜌 𝑔𝑦 −
𝜕𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑤
𝜌 ( 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑦 + 𝑤
𝜕𝑤
𝑑𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝜎𝑦𝑥
) = 𝜌 𝑔𝑧 −
𝜕𝑧
𝜕𝑥
−
−
𝑑𝜎𝑧𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜏𝑦𝑦
−
𝜕𝑦
−
−
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝜏𝑦𝑧
−
𝜕𝑧
…………….(β)
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
Estas ecuaciones describenlas relaciones entre loscomponentes de la velocidady
las tensioneslocalesdel fluidoconsiderando. Las tensionesinstantáneaspueden
estar relacionados conel campo de velocidadesconla ayudade la hipótesis
deStokes, heredadas dela mecánica teórica. Enlaley de Hookelas tensiones
sesupone que es proporcionala la tensión, yen mecánica de fluidosson las
tensionessupone que es proporcional a la velocidad de variaciónde la cepa.
Antes de que estasrelacionesse establecen, se observa quelas ecuaciones
anterioresdeestadonde movimientoque un elementopequeño volumense mueve
con elfluido esacelerado o desaceleradopor elexteriorfuerzas que actúan
sobreél.Se ve queel balance demomentoes totalmente equivalente alde
Newtonsegunda ley del movimiento.
También se observaque(β) es válida para cualquierlíquidoseanewtonianaononewtonianos.en ordenutilizar(β) para determinar lavelocidad y la presión, las
tensionestienen que serexpresadosen términos delas derivadas de
lascomponentes de la velocidady la viscosidaddel fluido.Estohacer a
continuaciónparaun fluido newtoniano.
Relacionestensión-deformación
Para la derivación delas relacionesque describela dependencia delas tensionesen
latasa de tiempo decambiode la cepa, se supone. Hace hincapié enque
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lanormalσxx, σyy,σzzcausa elongaciones ycontraccionesєx, єy, єz, yhace hincapié en
el corte "𝜏𝑥𝑦 … … … . 𝜏𝑧𝑦 "causadesplazamientos angulares𝛾𝑥𝑦 … … … … 𝛾𝑧𝑦 Como se
indica enel diagrama delos componentes de lavelocidad de variaciónde la cepase
danporlas derivadas parciales delos componentes de velocidaden la dirección
delos ejes de coordenadas.
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝜖𝑥̇ = 𝜕𝑥
𝜖𝑦̇ = 𝜕𝑦
𝜖𝑧̇ =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
La suma delos componentes de latasa de tiempo decambiode la cepa produce
elcambio relativo en volumen,por intervalo de tiempo dt(dilatación de volumen)
𝑒̇ =
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤
+
+
= ∇∗𝑣
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
Losdesplazamientos angularesporintervalo de tiempo dtson:
𝛾𝑥𝑦̇ =
𝑑𝛽+𝑑𝛼
𝑑𝑡
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑤
= − (𝜕𝑦 + 𝜕𝑥) 𝛾𝑦𝑧̇ = − (𝜕𝑧 + 𝜕𝑦 )
𝜕𝑢
𝛾𝑥𝑦̇ = − ( 𝜕𝑧 +
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
Las tensiones normalesy tangencialesse relacionan con lavelocidad de
variaciónde los componentes dela tensión ylos desplazamientosangularesde forma
linealansatz. Enel estado de reposo, en la que eltasade variación delas tensiones
ylos desplazamientosangularesse desvanecen, las tensiones normalesσxx, σyy,
σzzson independientes dela dirección, yel únicodado porla presión hidrostática.
Estecomportamiento del flujose puede expresar porla siguiente hipótesis,
presentada por Stokes
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𝜎𝑥𝑥 = 𝑝 − 2𝑢𝜖𝑥̇ − 𝜆̃𝑒̇ ,
𝜎𝑦𝑦 = 𝑝 − 2𝑢𝜖𝑦̇ − 𝜆̃𝑒̇ ,
𝜎𝑧𝑧 = 𝑝 − 2𝑢𝜖𝑧̇ − 𝜆̃𝑒̇ ,
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇 𝛾𝑥𝑦̇ ,
𝜏𝑦𝑧 = 𝜇 𝛾𝑦𝑧̇ ,
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇 𝛾𝑥𝑧̇
Ya que por razonesde simetríaτxy=τyx, τyz=τzyyτxz=τxz, sólo tres normalesy tres
componentes
tangencialtensióndel
tensor
de
tensionesStokesson
desconocidos.Por lo tanto,se puede escribircomo.
𝜎̿ = 𝑝 (
1
1
) − 𝜆̃ (
∇∗𝑣
1
∇∗𝑣
𝜕𝑢
1 𝜕𝑢 𝜕𝑣
( + )
𝜕𝑥
2 𝜕𝑦 𝜕𝑥
1 𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕𝑣
) − 2𝜇
( + )
2 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦
∇∗𝑣
1 𝜕𝑢 𝜕𝑤
1 𝜕𝑣 𝜕𝑤
(2 ( 𝜕𝑧 + 𝜕𝑥 ) 2 ( 𝜕𝑧 + 𝜕𝑧 )
1 𝜕𝑢 𝜕𝑤
( +
)
2 𝜕𝑧 𝜕𝑥
1 𝜕𝑣 𝜕𝑤
( +
)
2 𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑤
)
𝜕𝑧
El coeficienteλ~generalse divide endos partes~λ=μ-23μ. Laμla viscosidadde
volumenseen cuenta los gradosmolecularde la libertad, sino que se
desvaneceparamonatomiggases.Las tensiones normalesson:
𝜎𝑥𝑥 = 𝑝 − 2𝑢
𝜕𝑢
2
− (𝜇̂ − 𝜇) (∇ ∗ 𝑣)
𝜕𝑥
3
𝜎𝑦𝑦 = 𝑝 − 2𝑢
𝜕𝑢
2
− (𝜇̂ − 𝜇) (∇ ∗ 𝑣)
𝜕𝑦
3
𝜎𝑧𝑧 = 𝑝 − 2𝑢
𝜕𝑢
2
− (𝜇̂ − 𝜇) (∇ ∗ 𝑣)
𝜕𝑧
3
Su valor medio es:
𝜎̿ =
1
(𝜎 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 ) = 𝑝 − 𝜇̂ (∇ ∗ 𝑣)
3 𝑥𝑥
Paraincompresible fluyeel valor medioes simplemente¯σ=p.Si las relacionesde
tensión-deformaciónse sustituyen enlas ecuaciones de momento, las ecuaciones
de Navier-Stokesecuacionesse obtienen(1823, 1845).
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𝜌
𝑑𝑢
𝜕𝑝 𝜕
𝜕𝑢
𝜕
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕
𝜕𝑢 𝜕𝑤
=−
+
[2𝜇
+ 𝜆̃(∇ ∗ 𝑣)] +
[𝜇 ( + )] + [𝜇 ( +
)] + 𝜌 𝑔𝑥
𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜌
𝑑𝑢
𝜕𝑝 𝜕
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕
𝜕𝑢
𝜕
𝜕𝑣 𝜕𝑤
=−
+
[𝜇 ( + )] +
[2𝜇
+ 𝜆̃(∇ ∗ 𝑣)] + [𝜇 ( +
)] + 𝜌 𝑔𝑦
𝑑𝑡
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜌
𝑑𝑢
𝜕𝑝 𝜕
𝜕𝑢 𝜕𝑤
𝜕
𝜕𝑣 𝜕𝑤
𝜕
𝜕𝑢
=−
+
[𝜇 ( +
)] +
[𝜇 ( +
)] + [2𝜇
+ 𝜆̃(∇ ∗ 𝑣)] + +𝜌 𝑔𝑧
𝑑𝑡
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧
Paraflujo incompresiblecon una constanteμviscosidad dinámicade cortede las
ecuaciones anterioresse reducen a
𝜌
𝑑𝑢
𝜕𝑝
=−
+ 𝜇∇2 𝑢 + 𝜌 𝑔𝑥
𝑑𝑡
𝜕𝑥
𝜌
𝑑𝑣
𝜕𝑝
=−
+ 𝜇∇2 𝑢 + 𝜌 𝑔𝑦
𝑑𝑡
𝜕𝑦
Docente: Ing.EDGAR GUSTAVO SPARROW ALAMO
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