tarea_casali - U

UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA DE MINAS
Tarea N°1
MI4020-Fundamentos de Procesos
Mineralúrgicos
Alumno: Carol Shand Morales
Profesor: Aldo Casali B.
Profesor Auxiliar: Emilio Castillo D.
Fecha de Entrega: 09 de abril de 2012
INDICE
RESUMEN ............................................................................................................................................ 2
MARCO TEÓRICO ................................................................................................................................. 3
Porcentaje retenido: ....................................................................................................................... 3
Acumulado Bajotamaño: ................................................................................................................. 3
Gaudin-Schuhmann ......................................................................................................................... 3
Rossin-Rammler .............................................................................................................................. 4
RESULTADOS Y DESARROLLO .............................................................................................................. 5
Porcentajes retenidos y acumulados bajotamaño .......................................................................... 5
Distribuciones granulométricas iniciales......................................................................................... 5
Distribuciones granulométricas óptimas (uso de Solver) ............................................................... 6
CONCLUSIONES ................................................................................................................................... 8
ANEXOS ............................................................................................................................................... 9
1
RESUMEN
El siguiente informe refleja los conocimientos obtenidos hasta ahora sobre el análisis de sistemas
particulados aplicados en una tarea, cuyo fin era, en la práctica, constatar los resultados obtenidos
experimentalmente con aquellos calculados según la teoría.
Para lograr esto, se comenzó con una tabla con valores de peso retenido en malla para dos
minerales (A y B), los cuales para efectos prácticos se asumen idénticos en su naturaleza. Se
calcularon las pérdidas de material asociadas al proceso de tamizaje. Luego se calcularon los
porcentajes retenidos, obteniendo su promedio y el porcentaje acumulado bajo tamaño usando
ese promedio.
Luego, utilizando la teoría, se hizo un primer cálculo de los Fu siguiendo los modelos de GaudinSchuhmann y de Rossin-Rammler, utilizando valores dados para los parámetros de estos modelos.
Después de tener estos valores, se utilizó la herramienta Solver de Excel para calcular los valores
óptimos de estos parámetros, es decir, los cuales minimizaran los errores cuadráticos entre los
modelos y los valores experimentales. Este cálculo se utilizó para determinar a qué modelo se
aproximaban los resultados experimentales con mayor precisión.
También se utilizaron los valores de los errores de ajuste y el coeficiente de correlación asociados
para dar una respuesta fundamentada.
Los resultados se presentaron en gráficos comparativos antes y después del arreglo con Solver,
dando una representación más clara de cuál es el modelo que más se asemeja a los valores
experimentales.
2
MARCO TEÓRICO
Para el llenado de la tabla de análisis granulométrico se utilizaron las siguientes relaciones y
fórmulas.
Porcentaje retenido:
𝑓𝑖 (%) =
𝑚𝑖
⋅ 100 (1)
∑𝑚
Acumulado Bajotamaño:
𝐹𝑢𝑖 (%) = 𝐹𝑢𝑖−1 − 𝑓𝑖 (2)
Luego se realiza el análisis de las funciones de distribución de tamaños de Gaudin-Schuhmann y de
Rossin-Rammler.
Gaudin-Schuhmann
Esta distribución de tamaño es la más utilizada, por su simpleza, para representar sistemas
particulados en el campo de la mineralurgia.
𝑥 𝑚
(3)
𝐹𝑢 𝐺 − 𝑆(𝑥) = ( )
𝐾
Donde:
K: Módulo del tamaño. Corresponde al tamaño máximo
m: Módulo de la distribución. Indicativo de la amplitud de la distribución (pendiente).
Fu (x)
100,0
m
10,0
10
Tamaño, x
3
100
K = d100
Rossin-Rammler
Esta distribución de tamaño sigue una línea recta en un gráfico del doble logaritmo del inverso de
𝐹0 (𝑥) versus el logaritmo del tamaño.
𝑥 𝑛
𝐹𝑢 𝑅 − 𝑅(𝑥) = 1 − exp (− ( ) ) (4)
𝑥0
Donde:
𝑥0 : Tamaño característico y tiene unidad de longitud (𝑥0 = 𝑑63,2 ).
n: Módulo de la distribución. Indicativo de la amplitud de la distribución (pendiente).
0,1
Fo (x)
Fu (x)
99,9
20,0
50,0
80,0
63,2
50,0
80,0
20,0
n
10
100
x0 = d63,2
4
Tamaño, x
RESULTADOS Y DESARROLLO
En los anexos 1 y 2 se encuentran las planillas de Excel utilizadas para resolver esta tarea, y a
continuación se dará una breve explicación de los pasos seguidos para llegar a esos resultados
finales.
Porcentajes retenidos y acumulados bajotamaño
Como se explicó en el marco teórico, la tabla de análisis se completó hasta la columna de
Porcentaje acumulado Bajotamaño utilizando las fórmulas (1) y (2).
También se calcularon las perdidas asociadas al proceso, mediante la ecuación:
𝑃é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 (%) =
(𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − ∑𝑝𝑒𝑠𝑜𝑖 )
⋅ 100
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
Distribuciones granulométricas iniciales
Luego utilizando las ecuaciones (4) y (5) se calcularon las distribuciones de Gaudin-Schuhmann y
Rossin-Rammler utilizando los parámetros iniciales presentes en el Anexo 1.
Los parámetros n y m se eligieron arbitrariamente como 1, ya que estamos buscando una relación
aproximada entre los métodos, el parámetro k se eligió como el mayor tamaño de partícula y el
parámetro d63,2 se obtuvo mediante la siguiente interpolación:
ln 78,67 − ln 63,2 ln 78,67 − ln 58,46
=
ln 4750 − ln 𝑑63,2
ln 4750 − ln 3350
Después se calcularon la suma de las diferencias cuadráticas para cada modelo mediante las
ecuaciones:
𝐷𝑖𝑓 𝐺 − 𝑆𝑖2 = 𝐹𝑢𝑖 − (𝐹𝑢 𝐺 − 𝑆)𝑖
𝐷𝑖𝑓 𝑅 − 𝑅𝑖2 = 𝐹𝑢𝑖 − (𝐹𝑢 𝑅 − 𝑅)𝑖
El paso final para esta parte inicial fue obtener los coeficientes de correlación y errores de ajuste,
mediante la ecuación:
𝐸 = √(
∑𝐷𝑖𝑓 2
)
𝑛
Donde n=14 para G-S y n=15 para R-R.
El gráfico 1 muestra la relación entre el resultado experimental y aquellos obtenidos en esta
primera parte.
5
Distribuciones granulométricas óptimas (uso de Solver)
Como se explicó anteriormente, luego de hacer una primera aproximación, se utilizó la
herramienta Solver para minimizar la suma de los errores cuadráticos para ambas funciones de
distribución, poniendo en cada caso como condición que los parámetros n y m fueran positivos.
Los resultados obtenidos se aprecian en el Anexo 2. observándose el cambio en los parámetros y
la disminución de la suma de los errores cuadráticos así como el cambio en los coeficientes de
correlación y los errores de ajuste. El gráfico 2 muestra la relación entre el resultado experimental
y las distribuciones obtenidas con los parámetros óptimos.
6
Porcentaje acumulado pasante Fu (%)
Ajuste de Porcentaje acumulado pasante
inicial
120
100
80
60
Fu (%)
40
Fu G-S (%)
20
Fu R-R (%)
0
Tamaño [mm]
Figura 1.
Porcentaje acumulado pasante Fu (%)
Ajuste de Porcentaje acumulado pasante
Solver
120
100
80
60
Fu (%)
40
Fu G-S (%)
20
Fu R-R (%)
0
Tamaño [mm]
Figura 2.
7
CONCLUSIONES
Se puede decir, sin riesgo a equivocarse, que el modelo que mejor se ajusta a los resultados
experimentales es el de Gaudin-Schuhmann. Esta respuesta se basa en varios factores:
1. Aún antes del ajuste mediante Solver, el coeficiente de correlación del método G-S era 1,
lo cual indica la buena calidad de este ajuste.
2. Así también la suma de diferencias cuadráticas del método G-S, antes y después del ajuste
por Solver era mucho menor al del R-R, llegando a ser casi nulo luego de minimizar este
valor.
3. Por último, en la figura 2. se observa claramente el ajuste casi perfecto entre el método
Gaudin-Schuhmann y el resultado experimental.
Estos resultados fueron los esperados, ya que como se vio en clases, para minerales con
granulometrías más bien pequeñas, la distribución de Gaudin-Schuhmann se ajusta mejor a la
realidad, mientras que el modelo de Rossin-Rammler es más utilizado en rocas tronadas y
trituradas.
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ANEXOS
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