7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Teoría y ejercicios de Matemáticas II
Funciones
7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
7.1
CONCEPTOS PREVIOS
Dados dos conjuntos A={x1, x2, x3,...} y B={y1, y2, y3,...} , el par ordenado (xm, yn)
indica que el elemento xm del conjunto A está relacionado con el elemento yn del conjunto B
Se llama producto cartesiano de A por B, A x B, al conjunto de todos los pares
ordenados tales que el primer elemento pertenece al conjunto A, y el segundo elemento al
conjunto B:
A x B = {(x, y)| x∈A , y∈B }
El producto cartesiano puede representares, con la ayuda de un sistema cartesiano,
como los puntos de un plano.
Ejemplo 1.- Dados los conjuntos A={a,b,c,d} y B={1,2,3} , representa el conjunto A x B en
forma de conjunto y en forma gráfica
En forma de conjunto:
A x B = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3) }
En forma gráfica:
Ejemplo 2.-Dados los conjuntos A = {x | x∈R , 2 ≤ x ≤ 4 } y B = {y | y∈R, 3 ≤ x ≤ 4 } . escribe
el conjunto producto cartesiano A x B y represéntalo gráficamente.
A x B = { (x, y) | (x, y) ∈ R2 , 2 ≤ x ≤4 , 3 ≤ y ≤ 4 }
1 de 12
Teoría y ejercicios de Matemáticas II
Funciones
Cualquier subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos
relación entre esos conjuntos
A
por B se llama una
P(relación) = {(x, y) | x∈A e y∈B}
Si a ∈ A , b ∈ B y (a, b) ∈ P , se dice que “a está relacionado con b según la relación P “
Si una relación cumple la siguientes propiedades:
- todo elemento de A está relacionado con algún elemento de B
-cada elemento de A no se relaciona con más de un elemento de B
se dice que la relación es una aplicación entre los conjunto A y B
Generalmente las aplicaciones se representas indicando la relación entre elementos de
A y B de la siguiente forma:
si Q es una aplicación entre A y B ; y (a, b) ∈ Q , representamos la aplicación Q en la forma:
Q: A
a
B
Q(a) = b
y decimos que “b es la imagen de a por la aplicación Q”
Al conjunto A le llamamos conjunto origen y al conjunto B conjunto imagen
Cuando los conjuntos A y B son conjuntos numéricos, la aplicación recibe el nombre de
función
7.2
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Por lo dicho en el apartado anterior, una función real de variable real es una aplicación
en que el conjunto origen y el conjunto imagen es el conjunto de los números reales:
Para explicar
procedimientos:
f:R
R
x
y = f (x) )
una función podemos emplear
cualquiera
de
los
siguientes
-escribir el producto el subconjunto del producto cartesiano de R x R con los
pares ordenados que se relacionan por la función ( normalmente lo escribimos en forma de
tabla )
-representar gráficamente la función en un sistema cartesiano
-escribir la fórmula, o la expresión analítica, que pone en relación los números
del conjunto origen con los del conjunto imagen
2 de 12
Teoría y ejercicios de Matemáticas II
Funciones
Ejemplo 3.- Explica de distintas formas la función
g:R
R
x
y = g (x)
si la fórmula que relaciona los números de ambos conjuntos es “ y = x2 + 2x -1 “
En este caso la función g es g(x) = x2 + 2x -1
La tabla que indica la relación es:
x
g (x)
-2
-1
...
...
-1
-2
...
...
0
-1
...
...
1,5
4,25
...
...
Y su expresión en forma gráfica :
DOMINIO , o campo de existencia,de una función f, Dom f , es el conjunto de números para
el cual está definida función
IMAGEN, o recorrido¸ de una función f, Img f, es el subconjunto de R a los que les
corresponde los elementos del conjunto imagen.
FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS.
Decimos que una función está definida a trozos si se explica con expresiones analíticas
distintas en distintos intervalos de su campo de existencia,.
⎧ f1 ( x )
⎪f (x )
⎪ 2
f( x ) = ⎨
⎪ •••
⎪ fn ( x )
⎩
si x ∈ (x a , x b )
si x ∈ (x c , x d )
•••
si x ∈ (x ni , x nj )
3 de 12
Teoría y ejercicios de Matemáticas II
Funciones
Ejemplo 4.- Explica en forma gráfica la función
⎧− x + 1
si x < 6
⎪
si 6 ≤ x < 2
f( x ) = ⎨5
⎪ 2
si x ≥ 2
⎩x +1
En el intervalo (-∞, -6 ) representamos la recta
x+1
En el intervalo [-6, 2 ) , la gráfica es una recta
al eje paralela al de abscisas
Finalmente, para x igual o superior 2 la gráfica
es una parábola
Ejemplo 5.-Estudia el dominio y el recorrido de la función f (x) = x2 + 2x - 1
Por tratarse de una función polinómica , el valor de f(x) puede calcularse para cualquier
valor de x, luego
Dom f(x) = R
Sabemos de cursos anteriores que la función cuadrática representa una parábola ; en
esta caso por ser el coeficiente de x2 positivo, las ramas de la parábola se dirigen hacia la parte
positiva del eje de ordenadas (ver ejemplo 3 ), luego tendrá un mínimo en el vértice x = -1, de
donde
Img f(x) = [f(-1), ∞ ) = [-2, ∞ )
Ejemplo 6.- Estudia el dominio de la función f(x) =
x +1
x −2
La raíz cuadrada no se puede calcular si el radicando es negativo, luego la función no
existe para los valores de x que cumplan
x +1
<0
x −2
Por otra parte, el radicando es una división que no podemos calcular cuando el divisor
es 0
x-2=0
así pues, la función no existe si:
⎧x - 2 = 0 ⇒ x = 2
⎪
⎧x +1 > 0 ⎫ x > −1⎫
⎪
⎪
⎬⇒
⎬ ⇒ x ∈( −1, 2 )
⎪
⎪
⎪x - 2 < 0 ⎭ x < 2 ⎭
⎪
⎨ x +1
⎪ x - 2 < 0 ⇒ ⎨ o bien
⎪x +1 < 0
⎪
⎫ x < -1⎫
⎪
⎪
⎬⇒
⎬⇒ ∅
⎪
⎪⎩
⎩x - 2 > 0 ⎭ x > 2 ⎭
De esta forma obtenemos que Dom f(x) = R - (-1, 2 ]
4 de 12
Teoría y ejercicios de Matemáticas II
Funciones
PARIDAD Y PERIODICIDAD
Una función f( x ) se dice que es función par si se cumple que
f( x ) = f( -x )
Como es fácil de ver una función par es simétrica respecto del eje de ordenadas
Una función f( x ) se dice que es función impar si se cumple que
f( x ) = - f( -x )
Una función impar es simétrica respecto del origen de coordenadas.
Ejemplo 7.- Estudia la paridad de la función f( x ) =
f( -x ) =
5
( −x)
2
+3
=
5
x 2 +3
5
x 2 +3
=f( x )
Se trata de un función par
Ejemplo 8.- Estudia la paridad de la función f( x ) =
f( -x ) =
2( − x )
( − x ) 2 +3
Se trata de una función impar
= −
2x
x 2 +3
2x
2
x +3
= - f( -x )
Una función puede no ser par ni impar, como puedes comprobar con la función f( x ) =
3
x +1
Una función f( x ) se dice que es periódica de periodo P ,( P >0 ) si cumple :
f( x ) = f( x + kP ) para cualquier valor entero de k
Ejemplo típico de una función periódica es la función f( x ) = sen x .
Sabemos que
7.3
sen x =sen(x+360 P)
ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES
Además de las funciones más usuales, estudiadas en cursos anteriores, (racionales,
irracionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas) nos aparecen en el presente curso
nuevas funciones que debemos conocer:
-función parte entera, que representamos por E[ x ] , asigna a cada número real su
parte entera; por ejemplo E[ 5 ] = 2
-función valor absoluto , que representamos por | x | ,asigna a cada número real su
valor absoluto. Una función valor absoluto es equivalente a una función definida a trozos:
⎧x si x ≥ 0
f( x ) = x = ⎨
⎩-x si x < 0
Ejemplo 9.- Define la función f( x ) = 1 − x
⎧1− x
f( x ) = 1 − x = ⎨
⎩-(1 - x)
es decir
si
1 - x ≥ 0 ⇒ x ≤1
si
1 - x < 0 ⇒ x >1
⎧1− x
f( x ) = 1 − x = ⎨
⎩x -1
si x ≤ 1
si
5 de 12
x >1
Teoría y ejercicios de Matemáticas II
7.4
Funciones
OPERACIONES CON FUNCIONES
Dadas dos funciones f( x ) y g( y ) , se llama
-función suma a la función s( x ) = f( x ) + g( x )
-función diferencia a la función
-función producto a la función
d( x ) = f( x ) - g( y )
p( x ) = f( x ) · g( y )
-función cociente a la función q( x ) =
f( x )
si g( x ) ≠ 0
g(x )
Ejemplo 10.- Dadas las funciones f( x ) = x2 - 3 x + 2
funciones suma, diferencia, producto y cociente,
y
g( x ) = x - 2 ; determina las
f( x ) + g( x ) = ( x2 - 3x + 2 ) + ( x - 2 ) = x2 - 2x
f( x ) - g( x ) = ( x2 - 3x + 2 ) - ( x - 2 ) = x2 - 4x + 4 = ( x - 2 )2
f( x ) · g( x ) = ( x2 - 3x + 2 ) · ( x - 2 ) = x3 - 5x2 + 8x – 4
f ( x ) x 2 −3 x +2
=
= x −1
g( x )
x −2
-función opuesta de la función f( x ) a la función -f( x ) ; la suma de una función y su
opuesta es la función nula
1
⎡ 1⎤
-función recíproca de la función f( x ) a la función ⎢ ⎥( x ) =
; el producto de una
f(x)
⎣f ⎦
función con su recíproca es la unidad.
Ejemplo 11.- Las funciones f( x ) =
x −1
x +2
y
g( x ) =
1− x
son opuestas.
x +2
Fácilmente se ve que f( x )+ g( x ) =0
Ejemplo 12.- Las funciones f( x ) =
x −1
x +2
y h( x ) =
x +2
son recíprocas.
x −1
Resulta fácil comprobar que f( x ) · g( x ) = 1
-función compuesta, de la función g con la función f, a la función f
obtiene tomando como argumento de la función f a la función g, es decir:
( f D g ) ( x) = f [ g ( x) ]
La operación “ f D g “ se llama composición de funciones
6 de 12
0
g( x ) que se
Teoría y ejercicios de Matemáticas II
Funciones
Ejemplo 13.- Dadas las funciones f ( x ) =
x -3
x +1
y
g( x ) =
x 2 −1
, calcula las funciones
x
f D g ( x) y g D f ( x)
⎡x
f D g ( x) = f [ g ( x)] = f ⎢
⎣
2
x2 − 1
x 2 − 1 − 3x
3
−
− 1⎤
x2 − 1 − 3x
x
x
= 2
= 2
⎥=
x ⎦ x2 − 1
x −1+ x
x −1+ x
+1
x
x
2
⎛ x −3⎞
⎜
⎟ − 1 ( x − 3) 2 − ( x + 1) 2
8(1 − x)
⎡ x − 3⎤ ⎝ x +1 ⎠
g D f ( x) = g ⎢
=
=
= 2
⎥
x−3
( x − 3)( x + 1)
x − 2x − 3
⎣ x +1⎦
x +1
-función inversa de una función f( x ) es aquella función que compuesta con f da la función
identidad ; es decir si g( x ) es inversa de f( x ) , se cumplirá:
f D g ( x) = x
Ejemplo 14.- Las funciones f( x ) = 2x + 3
y g( X ) =
x −3
son inversas pues
2
⎛ x − 3 ⎞ ⎛ x −3 ⎞
f D g ( x) = f ⎜
⎟ +3 = x
⎟ = 2⎜
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Para calcular la función inversa de un función dada se pueden seguir los siguientes pasos:
1º despejar la variable dependiente
2º intercambiar las variables
3º cambiar de nombre a la función
x −5
x +2
Para encontrar la función inversa seguimos los tres pasos anteriores:
Ejemplo 15.- Encuentra la función inversa de f( x ) =
-despejamos la variable independiente:
(x + 2 )f( x ) = x – 5
x f( x ) + 2 f( x ) = x – 5
x f( x ) - x = -5 - 2 f( x )
x [f ( x ) - 1] = -5 -2 f( x )
− 5 − 2f ( x ) 5 + 2f ( x )
=
f ( x ) −1
1− f ( x )
-intercambiamos las variables:
x=
f( x ) =
5 + 2x
1 - x
7 de 12
Teoría y ejercicios de Matemáticas II
Funciones
-cambiamos el nombre de la función: (como indicamos la función por “f” , la
cambiamos a “
f
−1
”)
f
−1
( x) =
5+2x
1- x
que es la función buscada.
7.5
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ELEMENTALES BASÁNDOSE EN LA
REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES PATRÓN
Anteriormente hemos visto que una forma de explicar una función es mediante una
representación gráfica en un sistema cartesiano. En temas posteriores aprenderemos a
encontrar todos los elementos necesarios para llevar a cabo, de forma adecuada, la
representación gráfica de una función; pero hay muchas situaciones en que sólo necesitamos
una representación aproximada.
En esta apartado vamos a ver un método para representar, de forma aproximada, una
función . Para ello nos basaremos en el conocimiento de la representación de lo que
llamaremos “funciones patrón”.
-función lineal:
-la función patrón de la función lineal es “f( x ) = x” ,
sabemos que es:
y
f(x)=x
cuya representación gráfica
x
x
y
Si trasladamos el centro de coordenadas al punto (a, b ) y representamos por (x´, y´) las
coordenadas de cualquier punto respecto al nuevo sistema:
Y Y´
X´
X
(a,b)
(0,0)
X´
X
Y´
Y
vemos que cualquier punto en el primer sistema tiene por coordenadas (x-a, y-b ) en el nuevo ,
luego la recta patrón tendrá por ecuación y - b = x - a en el nuevo sistema.
Por otra parte sabemos que el coeficiente de x afecta a la pendiente de la recta
Por todo ello cualquier función lineal se reduce a la función patrón sin más que
trasladar los ejes
8 de 12
Teoría y ejercicios de Matemáticas II
Funciones
Ejemplo 16.- Representa aproximadamente la recta y = 2x - 6
La recta dada puede escribirse en la forma Y=2(x-3) luego se trata de la recta patrón
de pendiente 2 una vez trasladados los ejes al punto (3,0)
-función cuadrática:
La función patrón para la función cuadrática es f( x ) = a x2 cuya representación para a
= 1 es :
y que abre sus ramas o las cierra según disminuya o aumente el valor de a . Para valores
negativos de a cambia la orientación de las ramas
9 de 12
Teoría y ejercicios de Matemáticas II
Funciones
Ejemplo 17.- Representa de forma aproximada la función f ( x ) = x2 -4 x + 1
Arreglemos la función para que nos aparezca un cuadrado perfecto en el segundo
miembro de la igualdad:
f ( x ) = x2 - 2·2 x +4 -4 +1 = ( x - 2 )2 -3 ↔ f ( x ) + 3 = ( x - 2 )2
Así pues la función dada se reduce a la función patrón al trasladar los ejes al punto (2 , -3 ) ,
por lo que su representación será:
De esta forma ,conociendo las funciones patrón más importantes, podemos realizar un
trazado rápido aproximado de muchas funciones:
f(x)=
1
x
f(x)=ex
f(x)=sen x
f ( x ) = Ln x
10 de 12
Teoría y ejercicios de Matemáticas II
Funciones
f ( x ) = | x|
Ejemplo 18.- Representa de forma aproximada la función f ( x ) =
x −1
x −2
Dividiendo ,la función dada puede escribirse en la forma f ( x ) = 1 +
f(x) -1=
1
o bien
x −2
1
1
, luego tendrá la forma de f ( x ) =
trasladando el origen al punto ( 2 , 1 )
x −2
x
es decir
Ejemplo 19.- Representa de forma aproximada la función f ( x ) = 2 + | x - 3 |
La función puede escribirse en la forma f ( x ) - 2 = | x - 3 |, por lo que si trasladamos
el origen al punto ( 3 , 2 ) , la gráfica patrón será la de f ( x ) = | x |, es decir:
11 de 12
Teoría y ejercicios de Matemáticas II
Funciones
Ejemplo 20.- Representa de forma aproximada la función f ( x ) = |4 x2 - 16x + 15 |
Si introducimos un cuadrado perfecto en el segundo miembro de la función, y prescindimos del
valor absoluto
15
f’ (x) =4 (x 2 -4x +
) = 4 ( x - 2 ) 2 -1
4
que podemos escribir en la forma:
f ( x ) +1 = 4 ( x - 2 ) 2 ,
si tenemos en cuenta que la función valor absoluto no puede tomar valores en ordenadas
negativas, tenemos la representación adjunta:
12 de 12