vectores.plano_afin

T2
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
PROYECTO DE ACTIVIDADES:VECTORES.PLANO AFÍN.CURSO:1ºBACH-CIENCIAS
1)REPASA LAS ACTIVIDADES 1) 2) 3) 4) 5) DE OPERACIONES CON VECTORES( GRÁFICAMENTE), DE LA FICHA
ADJUNTA Nº 1.
1m 2)EN CADA UNA DE LAS FICHAS ADJUNTAS Nº 2 , 3 , 4 ,DIBUJAR CON REGLA Y LÁPIZ LOS VECTORES QUE
⃗ ; 𝒂
⃗ ;
⃗ ; 𝟏, 𝟓𝒃
⃗ − ⃗𝒃 ; −𝒂
⃗ + 𝟐 ⃗𝒃 ; −𝟐𝒂
⃗ + ⃗𝒃 ; 𝟐𝒂
⃗ + 𝟑𝒃
RESULTAN DE LAS OPERACIONES : −𝟐𝒂
𝟏
𝟑
⃗ + 𝟐𝒂
⃗ ; −𝒂
⃗ ; (−𝒃
⃗ +𝒂
⃗)
⃗ ; 𝒂
⃗ + 𝒃
⃗ −𝒃
⃗ ) − (𝒂
⃗ −𝒃
−𝟐𝒃
𝟐
𝟐
OBTENER TAMBIÉN LAS COORDENADAS DE LOS RESULTADOS DE LOS VECTORES ANTERIORES,RESPECTO
⃗ , ⃗𝒃}.
DE LA BASE {𝒂
⃗ LOS VECTORES
⃗ ,𝒃
3)EN CADA UNA DE LAS FICHAS ADJUNTAS Nº 2 , 3 , 4 ,OBTENER EN FUNCIÓN DE 𝒂
⃗ , ⃗𝒅 , 𝒆
⃗ , ⃗𝒇 (GRÁFICAMENTE) Y OBTENER SUS COODENADAS RESPECTO DE LA BASE {𝒂
⃗ , ⃗𝒃} .
𝒄
4)EN LA FICHA ADJUNTA Nº 2 ,FÍJATE EN EL POLÍGONO DIBUJADO,OBTENER EN FUNCIÓN DE LOS VECTORES
⃗ , ⃗𝒃} LOS RESULTADOS DE:
QUE UNEN LOS VÉRTICES Y TAMBIÉN DE LOS VECTORES DE LA BASE {𝒂
𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑴𝑮
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒄) 𝑴𝑪
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝟐𝑬𝑮
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑴𝑯
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒆) 𝟐(𝑵𝑮
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑯𝑮
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) + 𝑪𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑬𝑫
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑭𝑯
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒃) 𝟒𝑭𝑮
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑮𝑵
𝒂) 𝑨𝑬
𝒅) 𝑩𝑪
𝟐
5)EN LA FICHA ADJUNTA Nº 3 ,FÍJATE EN EL POLÍGONO DIBUJADO,OBTENER EN FUNCIÓN DE LOS VECTORE
⃗ , ⃗𝒃} LOS RESULTADOS DE:
QUE UNEN LOS VÉRTICES Y TAMBIÉN DE LOS VECTORES DE LA BASE {𝒂
⃗ 𝒆) 𝑭𝑮
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑪𝑫
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝟐𝒃
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑯𝑮
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑬𝑫
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑫𝑬
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑪𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑫
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒂) 𝑯𝑨
𝒃) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑮𝑩 − 𝑪𝑩
𝒄) 𝟐𝑭𝑮
𝒅) 𝑯𝑨
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝟒𝑯𝑮
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒇) − 𝟐𝑩𝑪
6)EN LA FICHA Nº 4 ,FÍJATE EN EL TRIÁNGULO DIBUJADO Y COMPRUEBA SI SON CIERTAS O FALSAS LAS
SIGUIENTES IGUALDADES.LAS FALSAS,CORREGIRLAS PARA QUE SEAN VERDADERAS:
⃗ ; 𝒄) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ ; 𝒅)𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝟐𝑴𝑵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗𝟎
⃗ − 𝟒𝒃
𝒂) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑩 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑴𝑩 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑴𝑨 ; 𝒃) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑷𝑴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑵𝑴 = 𝒂
𝑨𝑷 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑷𝑵 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑩𝑵 = −𝟒𝒃
⃗ ; 𝒇) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ − 𝟐𝒃
𝒆) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑵 − (𝑴𝑵
𝑷𝑴) = 𝟐𝒂
𝑨𝑩 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑩𝑪 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑪𝑨 = ⃗𝟎
7)REALIZAR DE NUEVO EL EJERCICIO 4) , EN CADA APARTADO OBTENER LAS COORDENADAS DE CADA
UNO DE LOS VECTORES QUE SE SUMAN O RESTAN Y REALIZAR DICHA OPERACIÓN CON LAS COODENADA
OBTENIDAS,COMPROBANDO QUE EL RESULTADO OBTENIDO EN 4) COINCIDE CON EL OBTENIDO EN 7).
⃗ (−𝟏, 𝟑) 𝒀 𝒗
⃗ (𝟓, 𝟒) ,CALCULA : 𝒂) 𝒖
⃗ +𝒗
⃗ 𝒃) 𝒖
⃗ −𝒗
⃗ 𝒄) − 𝟐𝒗
⃗ 𝒅)𝟑𝒖
⃗ − 𝟐𝒗
⃗
8)DADOS LOS VECTORES 𝒖
𝟏
𝟏
𝟐
⃗ −𝒗
⃗ 𝒇) 𝟐𝒖
⃗ + 𝒗
⃗
⃗ + 𝒗
⃗
𝒆) − 𝟑𝒖
𝒈) − 𝟐 𝒖
𝟐
𝟑
⃗ (−𝟓, 𝟑) COMO COMBINACIÓN LINEAL DE LOS VECTORES 𝒗
⃗ (−𝟏, 𝟎) 𝒀 𝒘
9)EXPRESA EL VECTOR 𝒖
⃗⃗⃗ (𝟑, 𝟒)
⃗ (−𝟑, 𝟓) SE PUEDA EXPRESAR COMO LA SIGUIENTE
10)HALLA LOS VALORES DE a Y b PARA QUE EL VECTOR 𝒖
⃗ (𝟐, 𝟎) 𝒀 𝒘
⃗ = 𝒂𝒗
⃗ + 𝒃𝒘
COMBINACIÓN LINEAL DE LOS VECTORES 𝒗
⃗⃗⃗ (−𝟕, 𝟑) ∶ 𝒖
⃗⃗⃗
(𝟑,
⃗
11)COMPRUEBA SI EL VECTOR 𝒖
−𝟕) SE PUEDE EXPRESAR COMO COMBINACIÓN LINEAL DE LOS
⃗ (−𝟑, 𝟐) 𝒀 𝒘
VECTORES 𝒗
⃗⃗⃗ (−𝟔, 𝟒) .
12)ESCRIBE LAS COODENADAS DE LOS VECTORES CON ORIGEN “A” Y EXTREMOS LOS PUNTOS INDICADOS:
⃗ (𝟓, 𝟏) , 𝒗
⃗ (−𝟏, 𝟒) , 𝒘
13)CALCULA λ Y µ PARA QUE LOS VECTORES 𝒖
⃗⃗⃗ (𝟏𝟑, 𝟏𝟏) VERIFIQUEN QUE :
⃗ + µ𝒗
⃗ =𝒘
λ𝒖
⃗⃗⃗
⃗ ( 𝟎, 𝟐), 𝒗
⃗ (𝟏, −𝟏) 𝒚 𝒘
14)SEAN LOS VECTORES 𝒖
⃗⃗⃗ (𝟎, −𝟏).CALCULA:
⃗ ∙𝒗
⃗
⃗ ∙ (𝒗
⃗ +𝒘
⃗
⃗ ∙𝒘
⃗ ∙ (𝒗
⃗ − 𝟐𝒘
⃗ ∙ 𝟑𝒗
⃗
𝒂) 𝒖
𝒃) 𝒖
⃗⃗⃗ )
𝒄) 𝒘
⃗⃗⃗ ∙ 𝒗
𝒅)𝒖
⃗⃗⃗
𝒆) 𝒖
⃗⃗⃗ )
𝒇) − 𝟐𝒖
15)EL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES COINCIDE CON EL PRODUCTO DE SUS MÓDULOS.
¿QUÉ SE PUEDE DECIR DE LOS VECTORES?
16)HALLA EL PRODUCTO ESCALAR DE LOS VECTORES ⃗𝒖(𝟑, 𝟐) 𝒚 ⃗𝒗(𝟒, −𝟔) .¿QUÉ DEDUCES ?
⃗ (𝟑, 𝟏) 𝒚 𝒗
⃗ (𝟐, −𝟏) .CALCULA: 𝒂) 𝒖
⃗ ∙𝒗
⃗
⃗ ∙ 𝟐𝒗
⃗
⃗ + 𝟑𝒗
⃗ )∙𝒗
⃗
⃗ ∙ (𝒖
⃗ −𝒗
⃗)
17)SI 𝒖
𝒃) 𝒖
𝒄) (𝟐𝒖
𝒅)𝒖
⃗ 𝒚 𝒗
⃗ 𝒇)CONVERTIR 𝒖
⃗ 𝒚 𝒗
⃗ EN VECTORES UNITARIOS.
𝒆)CALCULA EL MÓDULO DE 𝒖
⃗ = 𝟑𝒊 − 𝟐𝒋 𝒚 𝒗
⃗ = 𝒊 + 𝟐𝒋 ,RESPECTO DE LA BASE ORTONORMAL {𝒊 , 𝒋}.
18)DADOS LOS VECTORES 𝒖
𝟏
⃗ ) ∙ (−𝟑𝒗
⃗ ) 𝒃)|𝒖
⃗ | , |𝒖
⃗ −𝒗
⃗ | , |𝒗
⃗ |𝟐 , 𝒗
⃗ ∙𝒗
⃗
⃗ 𝒗⃗ , 𝑷𝑹𝑶𝒀𝒗
⃗ 𝒖⃗
OBTENER: 𝒂) ( 𝟐 𝒖
,𝑷𝑹𝑶𝒀𝒖
⃗ (𝟒, −𝟐) , 𝒗
⃗ (𝟑, 𝟔) , 𝒘
19)DADOS LOS VECTORES 𝒖
⃗⃗⃗ (−𝟐, 𝟏) :
⃗ , 𝒗
⃗ 𝒚 𝒘
𝒂)¿QUÉ PAREJA DE VECTORES PUEDEN FORMAR ? 𝒃)𝑺𝑰 𝒖
⃗⃗⃗ SON VECTORES RESPECTO DE
⃗ 𝒚 𝒗
⃗ COMO COMBINACIÓN LINEAL DE DICHA BASE.
LA BASE CANÓNICA {𝒊, 𝒋} : 𝟏) EXPRESA 𝒖
⃗ ∙𝒗
⃗ ; |𝒖|𝟐 ; |𝒖
⃗ +𝒗
⃗ |𝟐
𝟐) OBTENER : 𝒊 ∙ 𝒋 ; 𝒊 ∙ 𝒊 ; 𝒋 ∙ 𝒋 ; |𝒊| ; |𝒋| ; |𝒘
⃗⃗⃗ | ; 𝒖
𝟏
⃗ , 𝒗
⃗ 𝒚 𝒘
⃗ ∙ (𝒗
⃗ −𝒘
⃗ −𝒘
⃗)
𝟑) CONVERTIR 𝒖
⃗⃗⃗ EN UNITARIOS. 𝟒) OBTENER: 𝒖
⃗⃗⃗ ) ; ( 𝟐 𝒖
⃗⃗⃗ ) ∙ (𝟐𝒗
⃗ +𝒗
⃗ ) ∙ (𝒖
⃗ −𝒗
⃗ ) ; (𝒖
⃗ +𝒗
⃗ ) ∙ (𝒖
⃗ +𝒗
⃗ ) ; 𝑷𝑹𝑶𝒀𝒖
⃗ 𝒗⃗ ; 𝑷𝑹𝑶𝒀𝒗
⃗ 𝒖⃗ ; 𝑷𝑹𝑶𝒀𝒘
𝟓) OBTENER : (𝒖
⃗⃗⃗ 𝒖⃗
⃗ 𝒚 𝒗
⃗
⃗ 𝒚 𝒘
⃗ 𝒚 𝒘
𝟔) OBTENER EL ÁNGULO QUE FORMAN : 𝒖
;
𝒖
⃗⃗⃗
;
𝒗
⃗⃗⃗
20)CON LOS VECTORES ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑩 𝒚 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑪 DEL EJERCICIO Nº 11 ,CUYAS CORDENADAS ESTÁN REFERIDAS A LA BASE
⃗⃗⃗⃗⃗ | , |𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | , |𝑨𝑪
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
CANÓNICA: 𝒂) DETERMINA SUS COODENADAS 𝒃) HALLA : |𝑨𝑩
𝑨𝑪| , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑩 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑪
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒆) ENCUENTRA UN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝒅) HALLA EL ÁNGULO QUE FORMAN 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒚 𝑨𝑪
𝒄) 𝑷𝑹𝑶𝒀𝑨𝑩
𝑨𝑪
VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCIÓN Y EL SENTIDO DEL VECTOR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑩.
⃗⃗⃗⃗⃗
𝒇) HALLA UN VECTOR ORTOGONAL A 𝑨𝑪 DE MÓDULO UNITARIO.
⃗ (𝟑, 𝟒) 𝒚 𝒗
⃗ (𝟒, 𝟑) ,HALLA: 𝒂) EL ÁNGULO QUE FORMAN 𝒖
⃗ 𝒚 𝒗
⃗
21)DADOS LOS VECTORES 𝒖
⃗ Y SENTIDO OPUESTO.
𝒃) UN VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCIÓN DE 𝒗
⃗ Y 𝟏) DE MÓDULO EL DOBLE QUE 𝒖
⃗ . 𝟐) UNITARIO.
𝒄) UN VECTOR PERPENDICULAR A 𝒖
22)CALCULA EL VALOR DE “k” PARA QUE EL ÁNGULO QUE FORMAN LOS VECTORES ⃗𝒖(𝟑, 𝒌) 𝒚 ⃗𝒗(𝟐, −𝟏)
SEA: 𝒂) 𝟗𝟎° 𝒃) 𝟎° 𝒄) 𝟒𝟓° 𝒅) 𝟔𝟎° .e) HALLA EL VALOR DE “k” PARA QUE LOS DOS VECTORES SEAN
⃗ TENGA DE LONGITUD CINCO UNIDADES.
ORTOGONALES. f) HALLA LOS VALORES DE “k” PARA QUE 𝒖
⃗ 𝒚 𝒗
⃗ ,SABIENDO QUE SE VERIFICAN LAS
23)HALLA EL ÁNGULO QUE FORMAN LOS VECTORES 𝒖
⃗ | = 𝟒 , |𝒗
⃗ | = 𝟔 𝒚 |𝒖
⃗ +𝒗
⃗|=𝟕
SIGUIENTES CONDICIONES: |𝒖
24)DOS VECTORES TALES QUE |𝒖| = 𝟓 , |𝒗| = 𝟐 , Y ADEMÁS , EL ÁNGULO QUE FORMAN AMBOS ES
⃗ −𝒗
⃗ ) ∙ (𝒖
⃗ +𝒗
⃗ ) 𝒃) |𝒖
⃗ +𝒗
⃗ |𝟐
DE 𝟔𝟎° .CALCULA EL VALOR DE : 𝒂) (𝒖
25)UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO DE VÉRTICES A , B y C TIENE DE LADO 4 UNIDADES . M ,N y P SON
LOS PUNTOS MEDIOS DE LOS LADOS AB ,BC y CA RESPECTIVAMENTE .HALLA LOS PRODUCTOS:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒄) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅)𝑵𝑪
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒆) 𝑩𝑵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒈)( 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒂)𝑨𝑩
𝑨𝑪 𝒃)𝑨𝑩
𝑨𝑴 ∙ 𝑨𝑷
𝑩𝑪 𝒇)𝑪𝑴
𝑨𝑪) ∙ 𝑵𝑩
⃗ ,CON MÓDULO √𝟖𝟗 Y TAL QUE 𝒑
⃗ ∙𝒒
⃗ = 𝟏𝟒 , SIENDO 𝒒
⃗ (𝟔, 𝟐) .
26)ENCUENTRA UN VECTOR 𝒑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | . 𝒃) EL PUNTO
1)DADOS LOS PUNTOS A(1,-1) , B(3,5) ,OBTENER: 𝒂) LAS COORDENADAS DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑩 𝒚 |𝑨𝑩
MEDIO DEL SEGMENTO ̅̅̅̅
𝑨𝑩 . LOS PUNTOS QUE DIVIDEN AL SEGMENTO ̅̅̅̅
𝑨𝑩 EN 3 PARTES.HAZLO
TAMBIEN SI SE DIVIDE EN 5 PARTES. 𝒄)EL PUNTO SIMÉTRICO DE “A” CON RESPECTO “B” Y VICEVERSA.
2)EL MISMO EJERCICIO ANTERIOR PERO CON LOS PUNTOS: A(2,4) y B(-2,0).
̅̅̅̅
2m 3)SI EL PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO 𝑨𝑩 ES M(3,5) , DADO A(9,7).CALCULA EL PUNTO B.
OBTÉN A CON M(-1,5) y B(4,-9).
4)SI A(3,1) , B(5,7) y C(6,4) SON TRES VÉRTICES CONSECUTIVOS DE UN PARALELOGRAMO,¿CUÁL ES EL
CUARTO VÉRTICE?
5)DETERMINA EL VALOR DE “a”, SABIENDO QUE EL MÓDULO DEL VECTOR QUE UNE LOS PUNTOS Q(-6,2) y
P(a,7) ES 13 UNIDADES DE LONGITUD.
𝟐
6)OBTÉN UN PUNTO B DEL SEGMENTO ̅̅̅̅
𝑷𝑸 TAL QUE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑷𝑩 = 𝟑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑷𝑸 . P Y Q LOS PUNTOS DEL EJERCICIO 5).
7)TRES VÉRTICES VÉRTICES CONSECUTIVOS DE UN ROMBO SON A(1,-1) , B(2,1) y C(1,3).OBTENER EL OTRO
VÉRTICE Y EL MÓDULO DE LAS DIAGONALES.
8)DADOS LOS PUNTOS A(1,-1) Y EL VECTOR ⃗𝒅(−𝟏, 𝟐) 𝒂)OBTENER LAS DISTINTAS FORMAS DE LA RECTA
⃗ . 𝒃) COMPROBAR,EN CADA FORMA,
QUE PASA POR EL PUNTO A Y LLEVA LA DIRECCIÓN DEL VECTOR 𝒅
SI LOS PUNTOS B(0,1) y C(1,1) PERTENECEN A LA RECTA DEL APARTADO a) .
𝒙 = −𝝀
9)DADAS LAS RECTAS DE ECUACIÓN 𝒓: 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 y 𝒔: {
:
𝒚=𝟏+𝝀
𝒂)OBTENER DE CADA UNA DE LAS RECTAS UN VECTOR DIRECCIÓN , UNO NORMAL ,LA PENDIENTE Y
DOS PUNTOS. 𝒃)OBTENER DE FORMA DIRECTA Y USANDO LOS DATOS OBTENIDOS EN a)LAS OTRAS
ECUACIONES DE CADA UNA DE LAS RECTAS r y s. 𝒄)REPRESENTA GRÁFICAMENTE DICHAS RECTAS.
10)CONSIDERA LAS RECTAS “𝒓" 𝒚 " 𝒔" DIBUJADAS EN LA FICHA ADJUNTA Nº 2 ,CONSIDERANDO LA BASE
⃗ , ⃗𝒃} Y EL ORIGEN DE COODENADAS “O” →SISTEMA DE REFERENCIA {𝑶, 𝒂
⃗ , ⃗𝒃}.LOS EJES
ORTONORMAL {𝒂
LOS EJES SON LAS RECTAS QUE CONTIENEN A LOS VECTORES DE LA BASE Y AL ORIGEN.
𝒂)OBTENER DE CADA RECTA: DOS PUNTOS, UN VECTOR DIRECCIÓN ,UN VECTOR NORMAL Y LA
PENDIENTE .𝒃)PBTENER LAS DISTINTAS ECUACIONES DE CADA RECTA,DE FORMA DIRECTA,USANDO
LOS DATOS OBTENIDOS EN EL a).
11)DADOS LOS PUNTOS A(-1,1) y B(0,-2) .𝒂)OBTENER LA RECTA QUE PASA POR DICHOS PUNTOS EN
FORMA PUNTO PENDIENTE.COMPROBAR SI LOS PUNTOS C(1,5) y D(-2,4) PERTENECEN A DICHA RECTA.
𝒄)OBTENER LA ECUACIÓN NORMAL DE DICHA RECTA.
12)DADA LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN DE COODENADAS Y QUE FORMA CON EJE DE ABSCISAS UN
𝟑𝝅
ÁNGULO DE 𝟒 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔. 𝒂)OBTENER LA ECUACIÓN DE DICHA RECTA EN LAS DISTINTAS FORMAS.
𝒃)REPRESENTAR GRÁFICAMENTE.
𝑿+𝟏
13)DADAS LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS : 𝒓: −𝟐 = −𝒚 ; 𝒔 ∶ 𝒚 − 𝟏 = −𝟑(𝒙 + 𝟏) .
𝒂)OBTENER, DE CADA RECTA: UN VECTOR DIRECCIÓN,UN VECTOR PERPENDICULAR A LAS RECTA , LA
PENDIENTE Y DOS PUNTOS DE DICHA RECTA .𝒃)OBTENER LAS OTRAS FORMAS DIRECTAMENTE.
14)HALLA LA ECUACIÓN DE LA RECTA(EN TODAS SUS FORMAS)QUE PASA POR EL PUNTO A(3,-2) Y TIENE
⃗ (𝟏, −𝟐).
POR VECTOR NORMAL 𝒏
𝒙=µ
𝒙 = −𝟏
15)DADAS LAS RECTAS DE ECUACIONES : 𝒓 ∶ {
y 𝒔 ∶ {𝒚 = −𝟏 .OBTENER DE CADA UNA DE LAS
𝒚=𝝀
RECTAS , LAS OTRAS FORMAS Y REPRESENTAR GRÁFICAMENTE.
16)COMPROBAR SI LOS PUNTOS : A(-1,2) , B(2,0) y C(-4,4) ESTÁN ALINEADOS.LO MISMO CON LOS PUNTOS
C(2,3) , D(-4,0) y E(4,-4).
1)ESTUDIA LA POSICIÓN RELATIVA DE LAS SIGUIENTES RECTAS:
EN LOS CASOS DE QUE SE CORTEN,COMPROBAR SI LO HACEN PERPENDICULARMENTE Y OBTENER EL
PUNTO DE CORTE.
𝒙 = −𝟏 + 𝟐𝝀
𝒙−𝟏
𝒂) 𝒓 ∶ {
; 𝒔 ∶ 𝒙+𝒚 =𝟎
𝒃) 𝒓 ∶ 𝟒 = −𝒚 ; 𝒔 ∶ 𝟒𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
𝒚=𝟐−𝝀
𝒙+𝟏
𝒚
𝒄) 𝒓 ∶ (𝒙, 𝒚) = 𝝀(−𝟏, 𝟏) ; 𝒔 ∶ (𝒙, 𝒚) = (−𝟏, 𝟏) + 𝝀(𝟐, −𝟐) ; 𝒅) 𝒓 ∶ −𝟐 = 𝟒 ; 𝒔 ∶ 𝒚 = −𝟐𝒙
𝒙 = 𝟐µ
𝒙 = 𝟑 − 𝟐µ
𝒙=𝟐−𝝀
𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝝀
𝒆) 𝒓 ∶ {
; 𝒔∶ {
𝒇) 𝒓 ∶ {
; 𝒔∶ {
𝒚 = −𝟑 + 𝟑𝝀
𝒚 = −𝟔µ
𝒚 = −𝝀
𝒚 = −𝟏 + 𝟒µ
𝒙=𝟏
𝒙+𝟏
𝒚−𝟑
𝒈) 𝒓: 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏 ; 𝒔 ∶ 𝟐 = 𝟑
𝒉) 𝒓 ∶ 𝒚 − 𝟐 = −𝟐(𝒙 + 𝟐) ; 𝒔 ∶ {
𝒚 = −𝝀
3m
𝒙+𝟏
𝒊) 𝒓 ∶ −𝟏 = 𝒚 − 𝟐 ; 𝒔 ∶ 𝒙 + 𝒚 = 𝟏
𝒋) 𝒓: 𝒚 − 𝟏 = 𝟎(𝒙 − 𝟏) ; 𝒔 ∶ 𝒙 + 𝟐 = 𝟎
2)OBTENER UNA RECTA PARALELA Y OTRA PERPENDICULAR, QUE PASE POR EL PUNTO A(1,-2) A CADA UNA
DE LAS RECTAS SIGUIENTES(DAR DICHAS RECTAS EN FORMA PUNTO PENDIENTE)
𝒙 = −𝟐 + 𝟑𝝀
𝒙−𝟏
−𝒚−𝟏
𝒓∶ {
; 𝒔 ∶ −𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐 = 𝟎 ; 𝒕 ∶ 𝟐 = 𝟑
; 𝒖 ∶ 𝒚 − 𝟑 = −𝟐(𝒙 + 𝟏)
𝒚 = 𝟏 − 𝟒𝝀
𝒗 ∶ 𝟐(𝒙 − 𝟏) + 𝟒(𝒚 + 𝟐) = 𝟎 ; 𝒘 ∶ 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟐 ; 𝒛 ∶ (𝒙, 𝒚) = 𝝀(𝟎, −𝟏)
3)OBTENER UNA RECTA PARALELA Y OTRA PERPENDICULAR Y QUE PASEN POR EL PUNTO P(2,-3):
𝒂)A LAS RECTAS DE LOS EJES COORDENADOS . 𝒃)A LA BISECTRIZ DEL 𝟏𝒆𝒓 𝒀 DEL 𝟑𝒆𝒓 CUADRANTE
̅̅̅̅ ,SIENDO A(-1,-3) y B(2,-5).
𝒄)A LA BISECTRIZ DEL 2º Y 4º CUADRANTE . 𝒅)AL SEGMENTO 𝑨𝑩
4)OBTENER EL ÁNGULO DE LAS PAREJAS DE RECTAS CONSIDERADAS EN EL EJERCICIO 1).
5)CALCULA LOS ÁNGULOS DEL TRIÁNGULO FORMADO CON LOS VÉRTICES A(-4,0) , B(4,0) y C(0,2) .
6)DADAS LAS PAREJAS DE PUNTOS A(1,4) y B(-3,2) ; C(0,1) y D(-1,0) :OBTENER LA ECUACIÓN DE LA
MEDIATRIZ DE CADA UNO DE LOS SEGMENTOS ̅̅̅̅
𝑨𝑩 𝒚 ̅̅̅̅
𝑪𝑫 .
7)OBTENER LA ECUACIÓN DE LA MEDIATRIZ DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO DADO EN EL EJERCICIO 5)
8)EN CADA CASO,CALCULA EL VALOR DEL PARÁMETRO “k” PARA QUE LAS RECTAS TENGAN LA POSICIÓN
RELATIVA INDICADA: 𝒂) 𝒓 ∶ 𝒙 − 𝒌𝒚 + 𝟏 = 𝟎 𝒚 𝒔 ∶ 𝒌𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟑 = 𝟎 𝑷𝑨𝑹𝑨𝑳𝑬𝑳𝑨𝑺.
𝒃) 𝒓 ∶ 𝒌𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟒𝒌 = 𝟎 𝒚 𝒔 ∶ 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟒 = 𝟎 𝑪𝑶𝑰𝑵𝑪𝑰𝑫𝑬𝑵𝑻𝑬𝑺.
𝒄) 𝒓 ∶ 𝟐𝒌𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏 = 𝟎 𝒚 𝒔. 𝟑𝒙 − 𝒌𝒚 + 𝟐 = 𝟎 𝑷𝑨𝑹𝑨𝑳𝑬𝑳𝑨𝑺
9)HALLA PARA QUÉ VALOR DE “m” ,LA RECTA 𝒙 − 𝒎𝒚 = −𝟒𝒎 − 𝟏 ES COINCIDENTE CON LA RECTA QUE
PASA POR LOS PUNTOS A(-1,4) y B(2,3).
10)ENCUENTRA EL VALOR DE “𝜶" PARA QUE LA RECTA 𝜶𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟕 = 𝟎 SEA PARALELA A LA RECTA
𝒙−𝟏
= 𝒚 + 𝟐 . 11)¿PARA QUÉ VALORES DE “m”SON ESTAS RECTAS PERPENDICULARES?
𝟓
𝒂)𝒓 ∶ 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝟔 ; 𝒔 ∶ 𝟖𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟏 = 𝟎 𝒃)𝒓: 𝒚 + 𝟏 = −𝟒𝒙 ; 𝒔: 𝒚 − 𝟏 = −𝒎(𝒙 + 𝟐)
𝒙 = 𝟐 − 𝟑𝝀
12)HALLA LA RECTA 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒂 QUE ES : 𝒂)𝑷𝑨𝑹𝑨𝑳𝑬𝑳𝑨 𝑨 𝒓: {
𝒃) 𝑷𝑬𝑹𝑷𝑬𝑵𝑫𝑰𝑪𝑼𝑳𝑨𝑹 𝑨 𝒓.
𝒚 = −𝟏 + 𝟐𝝀
13)ENCUENTRA EL ÁNGULO QUE FORMA LA RECTA 𝒓 ∶ 𝟖𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝟎 Y LA RECTA “s” QUE ES
𝒙=𝟔−𝝀
PERPENDICULAR A LA RECTA {
Y PASA POR EL PUNTO A(3,-2).
𝒚 = −𝟏 + 𝟑𝝀
14)ENCUENTRA EL VALOR DE “m” PARA QUE 𝒚 = 𝒎𝒙 − 𝟏 FORME UN ÁNGULO DE 𝟒𝟓° CO N LA RECTA
𝒙+𝟐
𝒚−𝟑
DE ECUACIÓN −𝟑 = 𝟔 .
15)OBTÉN EL VALOR QUE DEBE TENER “b” PARA QUE LA RECTA 𝟑𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝟔 = 𝟎 ,FORME UN ÁNGULO
𝒙+𝟒
DE 𝟔𝟎° CON LA RECTA DE ECUACIÓN 𝒚 = −𝟑 .
1)CALCULA LAS LONGITUD DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO CUYOS VÉRTICES SON A(1,-1) , B(0,1) y C(2,1).
2)CALCULA DE FORMA RAZONADA Y POR LA FÓRMULA LA DISTANCIA DE :
𝒙
𝒚−𝟏
−𝟐
𝒂)𝑫𝑬𝑳 𝑷(𝟏, 𝟕) 𝑨 𝑳𝑨 𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨 𝒓 ∶ 𝟒 = 𝟔 𝒃)𝑫𝑬𝑳 𝑸(−𝟐, 𝟏) 𝑨 𝑳𝑨 𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨 𝒔 ∶ 𝒚 − 𝟐 = 𝟑 (𝒙 − 𝟏)
𝒙=𝟑−µ
𝒙
𝒚+𝟏
𝒄)𝑫𝑬𝑳 𝑶(𝟎, 𝟎) 𝑨 𝑳𝑨 𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨 𝒕 ∶ {
𝒅)𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨 𝒖 ∶ 𝟐 = 𝟏 𝑨 𝒗 ∶ −𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐 = 𝟎
𝒚 = 𝟐 + 𝟐µ
𝒆)𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨 𝒘 ∶ 𝟓𝒙 = 𝟐(𝒚 − 𝟏) 𝑨 𝑳𝑨 𝑹𝑬𝑪𝑻𝑨 (𝒙, 𝒚) = (𝟐, 𝟑) + 𝝀(𝟏, 𝟓)
3)OBTENER DEL EJERCICIO ANTERIOR: 𝒂) DEL a) LA PROYECCIÓN ORTOGONAL Y EL SIMÉTRICO DEL PUNTO
P(1,7) CON RESPECTO DE LA RECTA r . 𝒃)DEL b) y c) LO MISMO PERO CON LOS PUNTOS Q(-2,1) y O(0,0).
4)DADO EL TRIÁNGULO DE VÉRTICES A(3,2) , B(1,-2) y C(-1,0) :
𝒂)OBTENER LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS QUE CONTIENEN A LOS LADOS DEL TRIÁNGULO Y LAS
COORDENADAS DE LOS PUNTOS MEDIOS DE LOS LADOS.
4m
𝒃)OBTENER LAS ECUACIONES DE DOS MEDIANAS CUALESQUIERA Y LAS COODENADAS DEL BARICENTRO.
𝒄)OBTENER LAS ECUACIONES DE DOS ALTURAS CUALESQUIERA Y LAS COODENADAS DEL ORTOCENTRO.
𝒅)OBTENER LAS ECUACIONES DE DOS MEDIATRICES Y LAS COODENADAS DE CIRCUNCENTRO.
𝒆)OBTENER EL ÁREA DEL TRIÁNGULO.
5)LO MISMO QUE EN EL EJERCICIO ANTERIOR,CON LOS PUNTOS : A(1,3) , B(-1,2) y C(0,-3)
6)DADO EL TRIÁNGULO CUYOS LADOS ESTÁN EN LAS RECTAS DE ECUACIONES 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟑 ; 𝒚 + 𝟏 = 𝟎
𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 𝒂)OBTENER LOS VÉRTICES.COMPROBAR QUE ES ISÓSCELES.
𝒃)OBTENER LAS COODENADAS DEL CIRCUNCENTRO,BARICENTRO Y DEL ORTOCENTRO.𝒄)SU ÁREA.
7)DADO EL TRIÁNGULO CUYOS VÉRTICES SON A(1,3) , B(1,-1) y C(3,-1) .𝒂)COMPRUEBA QUE ES UN
TRIÁNGULO RECTÁNGULO. 𝒃)OBTENER EL CIRCUNCENTRO,BARICENTRO Y EL ORTOCENTRO. 𝒄)SU ÁREA.
8)COMPROBAR SI EL CUADRILÁTERO FORMADO POR LOS VÉRTICES ABCD ,DONDE A(8,3) , B(6,-1) , C(2,0)
y D(4,4) , ES UN PARALELOGRAMO. CALCULA EL ÁREA DEL CUADRILÁTERO.
9)HALLA EL PUNTO DE LA RECTA 𝒓 ∶ 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟏 = 𝟎 ,QUE EQUIDISTA DE LOS PUNTOS A(2,2) y B(-2,4).
10)HALLA LOS PUNTOS DE LA RECTA 𝒓 ∶ 𝒙 + 𝒚 − 𝟑 = 𝟎 , QUE ESTÁN A DISTANCIA UNO DEL PUNTO P(1,1).
11)CALCULA EL VALOR DE “k” PARA QUE EL TRIÁNGULO DE VÉRTICES A(4,3) , B(6,-3) y C(6,k) TENGA POR
ÁREA 20 UNIDADES CUADRADAS.
12)CALCULA EL VALOR DE “k” PARA QUE LA RECTA 𝒓 ∶ 𝒙 + 𝒚 = 𝒌 , FORME CON LOS EJES COORDENADOS
UN TRIÁNGULO DE CINCO UNIDADES CUADRADAS DE ÁREA.
13)OBTENER LAS RECTAS QUE PASAN POR EL PUNTO P(1,2) Y QUE DETERMINAN CON LOS EJES
COORDENADOS UN TRIÁNGULO DE ÁREA 4,5 UNIDADES CUADRADAS.
14)LOS PUNTOS A(2,2) y B(-10,-2) SON LOS VÉRTICES CORRESPONDIENTES AL LADO DESIGUAL DE UN
𝒙 = 𝟏 − 𝟔𝝀
TRIÁNGULO ISÓSCELES.EL OTRO VÉRTICE ESTÁ SOBRE LA RECTA 𝒓: {
.
𝒚 = 𝟏 + 𝟐𝝀
OBTENER EL VÉRTICE Y EL ÁREA DEL TRIÁNGULO.
15)ENCUENTRA UN PUNTO EN EL EJE DE ABSCISAS QUE ESTÉ A LA MISMA DISTANCIA DEL PUNTO A(5,4)
𝒙+𝟏
𝒚−𝟒
QUE DE LA RECTA 𝒓 ∶ 𝟒 = 𝟑 .
16)ENCUENTRA UN PUNTO DE LA RECTA 𝒓 ∶ −𝒙 + 𝒚 = 𝟏 ,QUE FORME CON LOS PUNTOS A(0,0) y B(2,1):
𝒂)UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EN “B”.𝒃)OTRO PERO EN “A” . 𝒄)UN TRIÁNGULO ISÓSCELES.
17)LOS VÉRTICES OPUESTOS DE UN CUADRADO SON A(0,3) y C(4,0).OBTENER LOS OTROS Y EL ÁREA.
18)HALLA LA ECUACIÓN DE LAS RECTAS PARALELAS A 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟔 = 𝟎 ,QUE DISTEN DE ELLA 2 UNIDADES
19)CALCULA EL VALOR DE “c” PARA QUE LA DISTANCIA DEL PUNTO P(1,-1) A LA RECTA 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝒄 = 𝟎
SEA DE UNA UNIDAD DE LONGITUD
20)ENCUENTRA UNA RECTA 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 QUE FORME UN ÁNGULO DE 60° CON LA RECTA
𝒙=𝟑+𝝀
{
Y QUE PASE POR EL PUNTO P(-4,2) .
𝒚 = −𝟏 + 𝟑𝝀
SOLUCIONARIO
𝟏 𝟑
2)COORDENADAS→(−𝟐, 𝟎) , (𝟎, 𝟏, 𝟓) , (𝟏, −𝟏) , (−𝟏, 𝟐) , (−𝟐, 𝟏) , (𝟐, 𝟑), (𝟐, −𝟐) , (𝟐 , 𝟐) , (−𝟏, −𝟏), (𝟎, 𝟎)
⃗ (𝟎, 𝟏) , 𝒄
⃗ (−𝟐, −𝟐) , 𝒆
⃗ (−𝟏, −𝟐)
⃗ (𝟏, 𝟎) , 𝒃
⃗ (𝟑, 𝟐) , 𝒅
⃗ (−𝟏, 𝟓, −𝟐) , 𝒇
1m 3)ANEXO 2 →𝒂
⃗ (𝟏, 𝟎) , ⃗𝒃(𝟎, 𝟏) , 𝒄
⃗ (𝟎, −𝟒) , ⃗𝒅(−𝟏, −𝟒) , 𝒆
⃗ (−𝟐, 𝟐) , ⃗𝒇(𝟏 , 𝟑)
ANEXO 3→𝒂
⃗ (𝟎, 𝟏) , 𝒄
⃗ (𝟏 , −𝟐) , 𝒆
⃗ (−𝟏, 𝟓 , 𝟎)
⃗ (𝟏, 𝟎) , 𝒃
⃗ (−𝟏, 𝟐) , 𝒅
⃗ (−𝟏 , 𝟏, 𝟓) , 𝒇
ANEXO 4→𝒂
𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ , 𝒃)𝑩𝑬
⃗ , 𝒄)𝟎
⃗ , 𝒅)𝑩𝑨
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐𝒂
⃗ = 𝟎𝒂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟑𝒂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝟒𝒂
⃗ + 𝟐𝒃
⃗ − 𝟐𝒃
⃗ + 𝟎𝒃
⃗ − 𝟐𝒃 , 𝒆)𝑫𝑩
⃗ + 𝟎𝒃
4)𝒂)𝑨𝑮
⃗ , 𝒃)𝑮𝑫
⃗ , 𝒅)𝑭𝑨
⃗ , 𝒆)𝑭𝑫
⃗ , 𝒇)𝑪𝑭
⃗
⃗ = 𝟎𝒂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟑𝒂
⃗⃗⃗⃗⃗ = -2𝒂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝒂
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟔𝒃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐𝒂
⃗ + 𝟗𝒃
⃗ , 𝒄)𝑫𝑩
⃗ + 𝟒𝒃
⃗ + 𝟐𝒃
⃗⃗⃗ - 4𝒃
5)𝒂)𝟎
⃗ 𝒅)𝑭𝑨𝑳𝑺𝑨 → 𝟐𝑨𝑩
⃗ 𝒆)𝑽𝑬𝑹𝑫 𝒇) 𝑽𝑬𝑹𝑫
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟖𝒃
6) 𝒂)𝑭𝑨𝑳𝑺𝑨 → ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑴 𝒃)𝑽𝑬𝑹𝑫 𝒄)𝑭𝑨𝑳𝑺𝑨 → ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑩 = 𝟒𝒃
7)COMPROBAR CON EL 4).
𝟏
𝟐𝟑 𝟕
8)𝒂)(𝟒, 𝟕) , 𝒃)(−𝟔, −𝟏) , 𝒄)(−𝟏𝟎, −𝟖) , 𝒅)(−𝟏𝟑, 𝟏) , 𝒆)(−𝟐, −𝟏𝟑) , 𝒇) (𝟐 , 𝟏𝟎) , 𝒈)( 𝟔 , 𝟔).
𝟐𝟗
𝟑
𝟏𝟑
𝟓
⃗ 𝒚 𝒖
⃗ 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 𝒂 𝒖.
⃗⃗⃗
9)(−𝟓, 𝟑) = 𝟒 (−𝟏, 𝟎) + 𝟒 (𝟑, 𝟒) 10)𝒂 = 𝟑 , 𝒃 = 𝟑 11)𝑵𝑶, 𝑷𝒖𝒆𝒔 𝒘
⃗⃗⃗ = 𝟐𝒗
⃗⃗⃗⃗⃗ (−𝟑, −𝟐) , 𝑨𝑫
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝟔, −𝟐) , 𝑨𝑪
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝟎, −𝟔) , 𝑨𝑬
⃗⃗⃗⃗⃗ (𝟑, −𝟕) 13)𝝀 = 𝟑 , µ = 𝟐
12)𝑨𝑩
14)𝒂) − 𝟐 𝒃) − 𝟒 𝒄)𝟏 𝒅) − 𝟐 𝒆)𝟐 𝒇)𝟏𝟐 . 𝟏𝟓) = 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝟏𝟔) 𝟎 ; 𝒑𝒆𝒓𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆
𝟑
𝟏
𝟐 −𝟏
⃗ | = √𝟏𝟎 , |𝒗
⃗ | = √𝟓 𝒇) ( , ) ; ( , )
17)𝒂)𝟓 𝒃)𝟏𝟎 𝒄)𝟐𝟓 𝒅)𝟓 𝒆)|𝒖
𝟑
18)𝒂) 𝟐
𝒃)√𝟏𝟑
, 𝟐√𝟓 , 𝟓 , 𝟓
⃗ = 𝟒𝒊 − 𝟐𝒋
𝒃)𝟏)𝒖
𝟏
,
⃗ = 𝟑𝒊 + 𝟔𝒋
, 𝒗
√𝟓
𝟏
,
√𝟏𝟑
√𝟓 √𝟓
√𝟏𝟎 √𝟏𝟎
⃗⃗⃗ 𝒚 𝒗
⃗⃗⃗ 𝒔𝒊 ; 𝒗
⃗⃗⃗ 𝒚 𝒘
⃗⃗⃗ 𝒚 𝒘
19)𝒂) 𝒖
⃗⃗⃗ 𝒔𝒊 ; 𝒖
⃗⃗⃗ 𝒏𝒐
𝟐) 𝟎 ; 𝟏 ; 𝟏 ; 𝟏 ; 𝟏 ; √𝟓 ; 𝟎 ; 𝟐𝟎 ; 𝟔𝟓 .
𝟒)𝟏𝟎 , 𝟎 𝟓) − 𝟐𝟓 , 𝟔𝟓 , 𝟎 , 𝟎 ,
𝟓
𝟔)
√𝟓
𝝅
𝟐
𝒓𝒂𝒅 ; 𝝅 𝒓𝒂𝒅 ;
𝝅
𝟐
,
−𝟏
√𝟓 √𝟓
), (
𝟏
,
𝟐
), (
√𝟓 √𝟓
−𝟐
,
𝟏
)
√𝟓 √𝟓
𝒓𝒂𝒅
𝟐
−𝟕
𝟑
−𝟏
𝟐
−𝟑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝟔, −𝟐) , ⃗⃗⃗⃗⃗
20)𝒂)𝑨𝑩
𝑨𝑪(−𝟑, −𝟐) 𝒃)√𝟒𝟎 ; √𝟏𝟑 ; 𝟓 ; −𝟏𝟒 𝒄)
𝒅)𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(
) 𝒆)( , ) , 𝒇)( , )
√𝟏𝟑
√𝟏𝟑𝟎
√𝟏𝟎 √𝟏𝟎
√𝟏𝟑 √𝟏𝟑
𝟐𝟒
−𝟒 −𝟑
21)𝒂)𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝟓) , 𝒃) ( 𝟓 ,
𝟓
−𝟏𝟒
𝟑)(
𝟒 −𝟑
) , 𝒄)𝟏)(𝟖, −𝟔) , 𝟐) (𝟓 ,
𝟓
) 22)𝒂)𝒌 = 𝟔 𝒃)𝒌 =
−𝟑
𝟐
𝒄)𝒌 = −𝟗; 𝒌 = 𝟏
𝒅)𝒌 = −𝟐𝟒 ± 𝟏𝟓√𝟑 𝒆)𝒌 = 𝟔 𝒇)𝒌 = ±𝟒 23) 𝜶 ≅ 𝟗𝟑°𝟑𝟓′ 24)𝒂)𝟐𝟏 𝒃)𝟑𝟗
−𝟒 𝟒𝟕
25)𝒂)𝟖 𝒃)𝟏𝟐 𝒄)𝟐 𝒅)𝟎 𝒆)𝟖 𝒇) − 𝟔 𝒈)𝟎
26)(𝟓, −𝟖) , ( 𝟓 , 𝟓 )
𝟓
𝟕
𝟕 𝟏
𝟗 𝟕
𝟏𝟏 𝟏𝟑
1)𝒂)(𝟐, 𝟔) ; √𝟒𝟎 𝒃)(𝟐, 𝟐) ; 𝒆𝒏 𝟑 → (𝟑 , 𝟏) , (𝟑 , 𝟑) ; 𝒆𝒏 𝟓 → (𝟓 , 𝟓) , (𝟓 , 𝟓) , ( 𝟓 ,
𝟐 𝟏
𝒄)(𝟓, 𝟏𝟏) ; (−𝟏, −𝟕)
𝒆𝒏 𝟓 → (𝟎,
2m
𝟏𝟏
𝟓
) , (𝟏,
−𝟑
𝟓
𝟕 −𝟏𝟑
2)𝒂)(𝟓, −𝟏𝟒) ; √𝟐𝟐𝟏 𝒃)𝒆𝒏 𝟑 → (𝟑 , 𝟑) , (𝟑 ,
) , (𝟐,
−𝟏𝟕
) , (𝟑,
𝟓
𝟏𝟏
−𝟑𝟏
𝟓
) 𝒄)(−𝟔, −𝟒) ; (𝟔, 𝟖)
𝟑
𝟏𝟑 𝟐𝟑
),( 𝟓 ,
𝟓
𝟓
)
)
3)𝑩(−𝟑, 𝟑) , 𝑨(−𝟔, 𝟏𝟗) 4)𝑫(𝟒, −𝟐)
𝟏𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝟒 ; |𝑫𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝟐
5)𝒂 = 𝟔 ; 𝒂 = −𝟏𝟖 6)𝑩(−𝟐, 𝟑 )(a=6) ; 𝑩(𝟏𝟒, 𝟑 )(a=-18) 7)𝑫(𝟎, 𝟏) ; |𝑨𝑪
8)𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ; 𝑩 ∈ 𝒓 ; 𝑪 ∉ 𝒓 9)𝑫𝒆 r → (−𝟏, 𝟐) ; (𝟐, 𝟏); 𝒎 = −𝟐 ; 𝑷(𝟎, 𝟏), 𝑸(−𝟏, 𝟑)
𝑫𝒆 s → (−𝟏, 𝟏) ; (𝟏, 𝟏) 𝒎 = −𝟏 ; 𝑹(𝟎, 𝟏) , 𝑺(𝟏, 𝟎).
10)𝑫𝒆 r → 𝑷(𝟐, 𝟏)𝑸(𝟏, −𝟏): (−𝟏, −𝟐) ; (𝟐, −𝟏) ; 𝒎 = 𝟐 ; 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟑 = 𝟎
−𝟏
𝑫𝒆 𝒔 → 𝑴(𝟏, −𝟏)𝑵(−𝟏, 𝟎) ; (−𝟐, 𝟏) ; (𝟏, 𝟐) ; 𝒎 = 𝟐 ; 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟎
𝒙=𝝀
11)𝒚 − 𝟏 = −𝟑(𝒙 + 𝟏) ; 𝑪 ∉ 𝒓 ; 𝑫 ∈ 𝒓 ; 𝟑(𝒙 + 𝟏) + 𝟏(𝒚 − 𝟏) = 𝟎 12)𝒚 = −𝒙 , {
𝒙+𝒚=𝟎
𝒚 = −𝝀
𝒙
𝒚
𝟏
(𝒙, 𝒚) = (𝟎, 𝟎) + 𝝀(−𝟏, 𝟏) 13)𝑫𝒆 𝒓 → (−𝟐, −𝟏) ; (𝟏, −𝟐) ; 𝒎 =
=
;
𝒚
−
𝟎
=
𝟏(𝒙
−
𝟎)
;
−𝟏
𝟏
𝟐
𝑷(−𝟏, 𝟎), 𝑸(𝟏, 𝟏) . 𝑫𝒆 𝒔 → (𝟏, −𝟑) ; (𝟑, 𝟏) ; 𝒎 = −𝟑 ; 𝑴(−𝟏, 𝟏), 𝑵(−𝟐, 𝟒)
𝒙 = 𝟑 + 𝟐𝝀
𝒙−𝟑
𝒚+𝟐
𝟏
14)(𝒙, 𝒚) = (𝟑, −𝟐) + 𝝀(𝟐, 𝟏) ; {
; 𝟐 = 𝟏 ; 𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟕 = 𝟎 ; 𝒚 + 𝟐 = 𝟐 (𝒙 − 𝟑)
𝒚 = −𝟐 + 𝝀
𝟏
𝟕
𝒙+𝟏
𝒚
𝒙
𝒚+𝟏
𝒚 = 𝟐 𝒙 − 𝟐 ; 𝟏(𝒙 − 𝟑) + 𝟐(𝒚 + 𝟐) 15) 𝒓 → 𝟎 = 𝟏 ; 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ; 𝒔 → 𝟏 = 𝟎 , 𝒚 + 𝟏 = 𝟎
16)𝑨 , 𝑩 𝒚 𝑪 𝒆𝒔𝒕á𝒏 𝒂𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒅𝒐𝒔 , 𝑪 , 𝑫 𝒚 𝑬 𝒏𝒐 𝒆𝒔𝒕á𝒏 𝒂𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒅𝒐𝒔
𝟓
𝟑
1)𝒂)𝑺𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 . 𝑷(−𝟑, 𝟑) . 𝑵𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔. 𝒃)𝑺𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 . 𝑷 (𝟏𝟕 , 𝟏𝟕) . 𝑷𝒆𝒓𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔.
𝒄)𝑪𝒐𝒊𝒏𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅)𝑷𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒂𝒔 𝒆)𝑷𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒂𝒔 𝒇)𝑺𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 . 𝑷(𝟑, −𝟏) . 𝑵𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔
𝒈)𝑷𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒂𝒔 𝒉)𝑺𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 . 𝑷(𝟏, −𝟒) . 𝑵𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 𝒊)𝑪𝒐𝒊𝒏𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
𝒋)𝑺𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 . 𝑷(−𝟐, 𝟏) . 𝑷𝒆𝒓𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔.
−𝟒
𝟑
𝟑
−𝟐
(𝒙 − 𝟏) ; 𝒚 + 𝟐 = (𝒙 − 𝟏) ; 𝒔 → 𝒚 + 𝟐 = (𝒙 − 𝟏); 𝒚 + 𝟐 = (𝒙 − 𝟏)
3m 2) 𝒓 → 𝒚 + 𝟐 =
𝟑
𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
𝒕 → 𝒚 + 𝟐 = 𝟐 (𝒙 − 𝟏) ; 𝒚 + 𝟐 =
−𝟏
−𝟐
𝟑
(𝒙 − 𝟏) ;
𝟏
𝒖 → 𝒚 + 𝟐 = −𝟐(𝒙 − 𝟏) ; 𝒚 + 𝟐 = 𝟐 (𝒙 − 𝟏)
𝟏
𝒗 → 𝒚 + 𝟐 = 𝟐 (𝒙 − 𝟏) ; 𝒚 + 𝟐 = 𝟐(𝒙 − 𝟏) ; 𝒘 → 𝒚 + 𝟐 = −𝟑(𝒙 − 𝟏) ; 𝒚 + 𝟐 = 𝟑 (𝒙 − 𝟏) . 𝒛 → 𝒗𝒆𝒓
3)𝒂)𝒆𝒋𝒆 𝒙 → 𝒚 = −𝟑 ; 𝒙 = 𝟐 . 𝒆𝒋𝒆 𝒚 → 𝒙 = 𝟐 ; 𝒚 = −𝟑 𝒃) 𝒚 + 𝟑 = 𝟏(𝒙 − 𝟐) ; 𝒚 + 𝟑 = −𝟏(𝒙 − 𝟐)
−𝟐
𝟑
𝒄) 𝒚 + 𝟑 = −𝟏(𝒙 − 𝟐) ; 𝒚 + 𝟑 = 𝟏(𝒙 − 𝟐) 𝒅)𝒚 + 𝟑 = 𝟑 (𝒙 − 𝟐) ; 𝒚 + 𝟑 = 𝟐 (𝒙 − 𝟐)
4)𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (
𝟑
𝟒
) 𝒃) 𝟗𝟎° 𝒄) 𝟎° 𝒅) 𝟎° 𝒆) 𝟎° 𝒇) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (𝟓)
√𝟏𝟎
𝟐
𝒈) 𝟎° 𝒉) 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 ( )
𝒊) 𝟎°
√𝟓
𝒋) 𝟗𝟎°
̂ = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟐𝑨
̅̅̅̅ → 𝒙 + 𝒚 = 𝟎
̂=𝑩
̂ = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 ( 𝟐 ) ; 𝑪
̂ 6) 𝑨𝑩
̅̅̅̅ → 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ; 𝑪𝑫
5)𝑨
√𝟓
𝟐
̅̅̅̅ → 𝒙 = 𝟎 ; ̅̅̅̅
7)𝑨𝑩
𝑨𝑪 → 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 ; ̅̅̅̅
𝑩𝑪 → −𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎
9)𝒎 = −𝟑
𝟏𝟎) 𝜶 =
13)𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (
𝟕
√𝟏𝟕𝟎
)
−𝟑
𝟏𝟏) 𝒂) 𝒎 =
𝟓
𝟏𝟒) 𝒎 = 𝟑 ; 𝒎 =
−𝟓
−𝟏
𝟖
𝟑
𝒃) 𝒎 =
𝟏𝟓) 𝒃 =
1)𝒅(𝑨, 𝑩) = √𝟓 ; 𝒅(𝑩, 𝑪) = 𝟐 ; 𝒅(𝑪, 𝑨) = √𝟓
𝒄)𝒅(𝑶, 𝒕) =
𝟒𝟎 𝟕𝟑
𝟖√𝟓
𝟓
𝒅)𝒅(𝒖, 𝒗) =
𝟔𝟕 𝟓𝟓
3)𝒂)Ṗ (𝟏𝟑 , 𝟏𝟑) ; Ṡ (𝟏𝟑 , 𝟏𝟑)
4m 4)𝒂)𝒓𝑨𝑩 : 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟒 = 𝟎 ;
𝒃)𝒎𝑨 : 𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ;
𝒄)𝒉𝑨 : 𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ;
𝟒√𝟓
𝟓
−𝟖 𝟒𝟎
−𝟏
8) 𝒂) 𝒌 = ±𝟐 ; 𝒃)𝒌 = 𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏𝟐) 𝒂)𝒚 = − 𝟑 𝒙 − 𝟑
𝒄)𝑵𝑶
𝟑
𝒃)𝒚 = 𝟐 𝒙 + 𝟐
𝟒
−𝟏𝟖±𝟏𝟓√𝟑
𝟏𝟑
𝟐)𝒂)𝒅(𝑷, 𝒓) =
𝟗√𝟏𝟑
𝒃)𝒅(𝑸, 𝒔) =
𝟏𝟑
𝟗√𝟏𝟑
𝟏𝟑
𝒆)𝒅(𝒘, 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂) = 𝟎 . 𝑬𝑵 𝑼𝑵𝑰𝑫𝑨𝑫𝑬𝑺 𝑫𝑬 𝑳𝑶𝑵𝑮𝑰𝑻𝑼𝑫.
𝟏𝟎 𝟔𝟕
𝟏𝟔 𝟖
𝟑𝟐 𝟏𝟔
𝒃)Ṗ ( 𝟏𝟑 , 𝟏𝟑) ; Ṡ (𝟏𝟑 , 𝟏𝟑) 𝒄)Ṗ ( 𝟓 , 𝟓) ; Ṡ( 𝟓 , 𝟓 ) .
𝑴(𝟐, 𝟎) ; 𝒓𝑨𝑪 : 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟎 𝑴(𝟏, 𝟏) ; 𝒓𝑩𝑪 : 𝒙 + 𝒚 + 𝟏 = 𝟎 ; 𝑴(𝟎, −𝟏)
𝒎𝑩 : 𝒙 = 𝟏 ; 𝒎𝑪 : 𝒚 = 𝟎 ; 𝑩𝑨𝑹(𝟏, 𝟎)
𝟏 −𝟐
𝒉𝑩 : 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟎 ; 𝒉𝑪 : 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟎 ; 𝑶𝑹𝑻(𝟑 , 𝟑 )
𝟒 𝟏
𝒅)𝒎𝑨𝑩 : 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐 = 𝟎 ; 𝒎𝑨𝑪 : 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑 = 𝟎 ; 𝒎𝑩𝑪 : 𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ; 𝑪𝑰𝑹 (𝟑 , 𝟑) 𝒆)𝑨 = 𝟔 𝒖𝟐
𝟓
−𝟏 −𝟏
5)𝒂)𝒓𝑨𝑩 : 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟓 = 𝟎 ; 𝑴 (𝟎, 𝟐) ; 𝒓𝑩𝑪 : 𝟓𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 ; 𝑴 ( 𝟐 ,
𝒃)𝒎𝑨 : 𝟕𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐 = 𝟎 ;
𝒄)𝒉𝑨 : 𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟏𝟒 = 𝟎 ;
𝒎𝑩 : 𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟐 = 𝟎
𝒉𝑩 : 𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎
;
𝟐
𝟏
) ; 𝒓𝑨𝑪 : 𝟔𝒙 − 𝒚 − 𝟑 = 𝟎 ; 𝑴(𝟐 , 𝟎)
𝟐
𝒎𝑪 : 𝒙 = 𝟎 ; 𝑩𝑨𝑹(𝟎, 𝟑)
, 𝒉𝑪 : 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎
;
−𝟐𝟗 𝟐𝟓
𝑶𝑹𝑻( 𝟏𝟏 , 𝟏𝟏)
𝟐𝟗 −𝟑
𝒅)𝒎𝑨𝑩 : 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟓 = 𝟎 ; 𝒎𝑩𝑪 : 𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟐 = 𝟎 ; 𝒎𝑨𝑪 : 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ; 𝑪𝑰𝑹 (𝟐𝟐 , 𝟐𝟐 ) ; 𝒆)𝑨 =
𝟏
𝟏
𝟏𝟏
𝟐
𝒖𝟐
6)𝒂)𝑨(𝟐, −𝟏) ; 𝑩(−𝟐, −𝟏) ; 𝑪(𝟎, 𝟑); 𝑺Í 𝑬𝑺 𝑰𝑺Ó𝑺𝑪𝑬𝑳𝑬𝑺 𝒃)𝑪𝑰𝑹 (𝟎, 𝟐) ; 𝑩𝑨𝑹 (𝟎, 𝟑) ; 𝑶𝑹𝑻(𝟎, 𝟎) 𝒄)𝑨 = 𝟖𝒖𝟐
𝟓 𝟏
7)𝒃)𝑪𝑰𝑹(𝟐, 𝟏) ; 𝑩𝑨𝑹 (𝟑 , 𝟑) ; 𝑶𝑹𝑻(𝟏, −𝟏) 𝒄) 𝑨 = 𝟐𝒖𝟐 𝟖)𝑺𝑰 𝑬𝑺 𝑼𝑵 𝑷𝑨𝑹𝑨𝑳𝑬𝑳𝑶𝑮𝑹𝑨𝑴𝑶 ; 𝑨 = 𝟗𝒖𝟐
9)𝑷(−𝟏, 𝟏)
𝟏𝟎)𝑷𝟏 (𝟏, 𝟐) ; 𝑷𝟐 (𝟐, 𝟏)
𝟏𝟏)𝒌 = 𝟏𝟕 , 𝒌 = −𝟐𝟑
10 𝒚 = −𝟒𝒙 + 𝟔 ; 𝒚 = −𝒙 + 𝟑
𝟏𝟒)𝑷(−𝟓, 𝟑) ; 𝑨 = 𝟐𝟎𝒖𝟐
𝟒 𝟕
−𝟏 𝟐
16)𝒂)𝑷 (𝟑 , 𝟑)
𝒃)𝑷 ( 𝟑 , 𝟑)
18)𝒌 = −𝟒 ; 𝒌 = 𝟏𝟔
20)𝒚 − 𝟐 =
−𝟔+𝟓√𝟏𝟑
𝟏𝟑
(𝒙 + 𝟒)
𝟏 𝟑
𝒄)𝑷 (𝟐 , 𝟐)
𝟏𝟗)𝒄 = 𝟐 ;
;
𝒚−𝟐=
𝟕 𝟕
𝟏 −𝟏
𝟏𝟕)𝑩 (𝟐 , 𝟐) ; 𝑫 (𝟐 ,
𝒄 = 𝟏𝟐
−𝟔−𝟓√𝟏𝟑
𝟏𝟑
(𝒙 + 𝟒)
)
𝟐
𝟏𝟐) 𝒌 = ±√𝟏𝟎
𝟖𝟑
𝟏𝟓) 𝑷𝟏 (𝟐, 𝟎) ; 𝑷𝟐 ( 𝟒 , 𝟎)
;
𝑨=
𝟐𝟓
𝟐
𝒖𝟐