maqueta MAPA Herramienta Didáctica – 08

DOCUMENTO DE TRABAJO Nº. 8
Estadistica
ASIGNATURA
CÓDIGO
REQUISITO(S)
OBLIGATORIA/LECTIVA
ANUAL/SEMESTRAL
DIURNA/VESPERTINA
TEÓRICO-PRÁCTICA/PRÁCTICA
CARÁCTER
PLAN DE ESTUDIO
HORAS SEMANALES
II. Aprendizajes Esperados:
Definiciones Espacio muestral muestra, población, sucesos, experimento aleatorio.
Álgebra de sucesos
Definir e identificar conceptos básicos de probabilidad
Identificar y aplicar propiedades de probabilidad
III. Síntesis esquemática de Contenidos
IV. Actividades ( individuales o grupales)
Ejercicio nº 1.-
En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el
número que tiene.
a Describe los sucesos:
A  "Obtener par"
B  "Obtener impar"
C  "Obtener primo"
D  "Obtener impar menor que 9"
escribiendo todos sus elementos.
b ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D?
c ¿Cuál es el suceso A  B? ¿y C  D?
Ejercicio nº 2.-
Sean A y B los sucesos tales que:
P[A]  0,4
P[A'  B]  0,4
P[A  B]  0,1
Calcula P[A  B] y P[B].
Ejercicio nº 3.-
Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que:
P[A']  0,6
P[B]  0,3
P[A'  B']  0,9
a ¿Son independientes A y B?
b Calcula P[A' / B].
Ejercicio nº 4.-
Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de
que las dos personas no piensen el mismo número?
Ejercicio nº 5.-
En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36
saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Ejercicio nº 6.-
Una urna, A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas numeradas del
1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la
urna A y, si sale cruz, la extraemos de B.
a ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?
b Sabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?
Ejercicio nº 7.-
De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.
a ¿Cuál es el espacio muestral?
b Describe los sucesos:
A  "Mayor que 6"
B  "No obtener 6"
C  "Menor que 6"
escribiendo todos sus elementos.
c Halla los sucesos A  B , A  B y B'  A'.
Ejercicio nº 8.-
Sabiendo que:
P[A  B]  0,2
P[B']  0,7
P[A  B']  0,5
Calcula P[A  B] y P[A].
Ejercicio nº 9.-
De dos sucesos A y B sabemos que:
P[A']  0,48
P[A  B]  0,82
P[B]  0,42
a ¿Son A y B independientes?
b ¿Cuánto vale P[A / B]?
Ejercicio nº 10.-
Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que
sean:
a) Las dos de oros.
b) Una de copas u otra de oros.
c) Al menos una de oros.
d) La primera de copas y la segunda de oro.
Ejercicio nº 11.-
Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la
televisión. Los resultados son:
- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.
- A 92 personas les gusta leer.
- A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas:
a ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?
c ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
Ejercicio nº 12.-
El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta
enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los
pacientes que padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa.
Si elegimos al azar un individuo de esa población:
a ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad?
b Si sabemos que ha dado positiva, ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad?
Ejercicio nº 13.-
a) Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad
de que las dos elijan el mismo número?
b) Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la
probabilidad de que las tres elijan el mismo número?
Ejercicio nº 14.-
En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han aprobado inglés y
6 que no han aprobado ninguna de las dos.
Elegimos al azar un alumno de esa clase:
a ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas?
b Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés?
c ¿Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"?
Ejercicio nº 15.-
Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6
bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola
de B.
a ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca?
b ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?
Ejercicio nº 16.-
En un pueblo hay 100 jóvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de
chicas en el pueblo es de 45. Si elegimos un joven de esa localidad al azar:
a ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?
b Si sabemos que juega al tenis, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
c ¿Cuál es la probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis?
Ejercicio nº 17.Una bola bolsa, A, contiene 3 bolas rojas y 5 verdes. Otra bolsa, B, contiene 6 bolas rojas y 4
verdes. Lanzamos un dado: si sale un uno, extraemos una bola de la bolsa A; y si no sale un uno,
la extraemos de B.
a ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja?
b Sabiendo que salió roja, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de A?
Ejercicio nº 18.En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85.
Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los
tres temas?
Ejercicio nº 19.Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al zar cada
carta en uno de los sobres, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el
sobre que le corresponde?
Ejercicio nº 20.-
En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2 500 personas para saber la audiencia de un
debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2 100 vieron la película, 1 500 vieron
el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los
encuestados:
a ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate?
b ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate?
c Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?
Ejercicio nº 21.Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas
rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.
a ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
b Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la primera
urna?
V. Evaluación de la actividades
Los alumnos deberán desarrollar todos los ejercicios de la herramienta didactica
VI. Síntesis de los contenidos :
Introducción a la Probabilidad.
Tiene su nacimiento hacia el siglo XV, matemáticos como Jacob Berooulli (1654 - 1705),
Abraham de Moivre (1667 - 1754), el reverendo Thomas Bayes (1702 - 1761) y Joseph Lagrange
(1736 - 1813) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX,
Pierre Simon, marqués de Laplace (1749 - 1827), unificó todas estas primeras ideas y compiló la
primera teor{ia general de la probabilidad.
En la actualidad toda disciplina que toma decisiones que contengan incertidumbre hacen
uso de la probabilidad.
Espacio muestral y álgebra de sucesos:
La probabilidad es la posibilidad de que algo pase. Algunos conceptos que debemos tener e en
cuenta son :
a)
Suceso o Evento: Hecho que se observa y se registra
i. Suceso Elemental: Aquel hecho que se desea estudiar
ii. Suceso compuesto: Aquel hecho que esta formado por dos o más suceso elementales
iii. Suceso seguro: Es aquel hecho que siempre ocurre
iv. Suceso imposible: Es aquel hecho que nunca ocurrirá
v. Suceso complementario: Son los hecho que faltan para completar la totalidad de todos
los hecho en un universo
vi. Mutuamente excluyentes Se dice que dos eventos son si uno y sólo uno de ellos puede
tener lugar a un tiempo.
vii. colectivamente exhaustiva: Cuando en una lista de los posibles eventos que pueden
resultar de un experimento se incluyen todos los resultados posibles, se dice que la lista
es. En una lista colectivamente exhaustiva se presentan todos los resultados posibles.
b)
Experimento Aleatorio: La actividad que da origine a una serie de eventos o sucesos
c)
Espacio muestral: Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
aleatorio.
Álgebra de sucesos: Los sucesos o eventos son denotados por un letra mayúscula. Sea A, B, C de
un espacio muestral E, entonces.
Si ocurre el suceso A o el evento B lo anotaremos como AB
Si ocurre el suceso A y el evento B lo anotaremos como AB
Si ocurre el complemento del suceso A anotaremos como Ac
El trabajo matemático que se hace con los suceso es el mismo que el de teoría de
conjunto, y por lo tanto, los operadores de conjunto (unión, intersección, complemento)
funcionan de la misma forma
Ejemplos:
1) Se considera el sexo de los de las familia que tienen sólo tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor
es una hembra, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. ¿Cuáles son los elementos de A y
B?
Sea V: hijo y M: hija, el espacio muestral está formado por los sucesos elementales:
E={(VVV),(VVM),(VMV),(MVV),(VMM),(MVM),(MMV),(MMM)}
Y los sucesos A y B son compuestos y están formados por los siguientes sucesos
elementales:
A={(MMM),(MMV),(MVM),(MVV)}
B={(VVV),(MVV)}
2) Se lanzan un dado clásico, se observa el resulta para obtener un 4. Determine: el experimento
aleatrio, suceso de estudio, espacio muestral.
Experimento aleatorio: Lanzar un dado clásico
Suceso: obtener un 4
Espacio muestral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3) Se baraja un mazo de naipe ingles de 54 cartas, se saca un naipe, para obtener una jota.
Determine: el experimento aleatrio, suceso de estudio, espacio muestral.
Experimento aleatorio: Barajar un mazo de 54 naipes ingles
Suceso: Obtener una jota
 corazon : as, 2,3, 4,5..... 
 pica :
as, 2,3, 4,5......


as, 2,3, 4,5..... 
Espacio muestral:  trebol :
 diamante : as, 2,3, 4,5..... 


 joker1, jocker2

4) En una urna don hay 2 bolas rojas y 3 azules, se mezclan y se sacan dos bolas. Se desea obtener
dos bola rojas. Determine: el experimento aleatrio, suceso de estudio, espacio muestral.
Experimento aleatorio: Mezclar bolas en una urna
Suceso: obtener dos bolas rojas
Espacio muestral: {(Ri,Aj)(Ri,Aj)(Ri,Rj)(Ai,Aj)}
Donde i = 1, 2 y j = 1, 2, 3
5) En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:

A = "sacar un número par".

B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 ó 5".

C = {4,6} = "obtener un 4 ó un 6".

D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 ó 6".

F = {1,3} = "obtener un 1 ó un 3".

G = "obtener un múltiplo de 3".
Entonces :
1. A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.
2. C está contenido en A. Luego C∩ A = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4
ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par.
3. B y C son incompatibles, ya que B ∩ C = Ø y complementarios, al cumplirse BC = E.
4. AB= "sacar un número par" {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E.
5. AB = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos "sacar un
número par" y "obtener un múltiplo de tres" es "sacar un 6".
6. B-D = B  DC = {1,2,3,5}
{1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un número impar" = AC
7. C y F son incompatibles puesto que CF = Ø.
Probabilidad. Definición y propiedades.
a) Definición axiomática: La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien
consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número
de veces que se realiza el experimento es muy grande.
Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de cada suceso
es un número que verifica:
i.
Cualquiera que sea el suceso A, P(A)
0.
ii.
Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus
probabilidades.
A∩ B = Ø
iii.
P(A  B) = P(A) + P(B).
La probabilidad total es 1. P(E) = 1.
b) Definición de Laplace.: En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E
sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número
de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados
posibles del experimento.
Si E={x1, x2, ... ,xk} y P(x1) = P(x2) = ... = P(xk), entonces: se define
P(A) =
Propiedades.
núm ero de casos favorables al suceso A
núm ero de casos posibles
1. P(Ac) = 1 – P(A)
2. P(Ø) = 0
3. Si A
B
P( B ) = P( A ) + P(A- B)
4. Si A
B
P( A )
P( B )
5. Si A1 , A2 , ... , Ak , son incompatibles dos a dos, entonces:
P( A1 A2 ...  Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )
6. P(A  B) = P( A ) + P( B ) - P(A∩ B)
7. Si el espacio muestral E es finito y un sucesos es A={x1 , x2 , ... , xK}, entonces:
P( A ) = P( x1 ) + P( x2 ) + ... + P( xK )
Ejemplos:
1) Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que
consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los
siguientes sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un número cuadrado". Responde a las
cuestiones siguientes:
a) Calcula los sucesos A  B y A∩ B
b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?.
c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B.
Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que pueden verse a continuación:
A = {2,3,5,7}
B = {1,4,9}
A partir de estos conjuntos, tenemos: La unión e intersección de A y B son:
A  B = {1,2,3,4,5,7,9}
A∩ B = Ø
Al ser A∩ B = Ø, los sucesos A y B son incompatibles.
El suceso contrario de A es Ac = {1,4,6,8,9}
El suceso contrario de B es Bc= {2,3,5,6,7,8}
2) Consideremos el experimento "lanzar un dado clásico y anotar el resultado". El espacio muestral
es E = {1,2,3,4,5,6}.
Las probabilidades de cada uno de los sucesos son:
A = No obtener ningún resultado
B = Obtener un 1
C = Obtener un uno o un dos
D = Obtener un 4 y un 6
P(A) = 0
P(B) = 1/6
P(C) = P({1} {2}) =P({1}) + P({2}) - P({1,2}) = 1/6 + 1/6 - 0= 2/6 = 1/3
P(D)= P(({4}∩ {6}) = P(4)  P(6) = 1/6  suceso imposible = 0 (no se puede obtener un seis al
mismo tiempo que un 4)
2) En una baraja de 40 cartas españoles, ¿cuál es la probabilidad de obtener un As?, ¿Y obtener un
oro?
P(as) 
núm ero de Ases
4

 0,1
núm ero total de cartas 40
P(Oros) 
núm ero de Oros
10

 0,25
núm ero total de cartas 40
3) En una baraja un mazo de españoles donde hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan,
se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas:
P(REY)=0,15
P(BASTOS)=0,3
P("carta que no sea REY ni BASTOS") = 0,6.
¿Está entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad.
¿Cuántas cartas hay?
P( ni REY ni BASTOS )=P(REYc  BASTOSc) ==> P( REY
BASTOS ) = 1 - 0.6 = 0.4
P( REY BASTOS ) = P( REY ) + P( BASTOS ) - P( REYBASTOS )
Sustituyendo:
0.4 = 0.15 + 0.3 - P( REYBASTOS ) ==> P( REYBASTOS ) = 0.05
Por tanto, el REY de BASTOS está y su probabilidad es:
P(REY DE BASTOS)= P( REYBASTOS ) = 0,05
4) Se lanzan dos dados clásicos equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6.
Se pide:
a) Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea
múltiplo de tres.
b)
¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de
dos?
El espacio muestral del experimento es:
E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)}
y está formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de
casos posibles del experimento. Siempre para averiguar la cantidad de casos totales en un
experimento es conveniente utilizar la técnica del cajos, esto es:
Se tienen dos resultado, por lo tanto dos cajones:
El primer cajón existen 6 posible resultado y el segundo también existen 6 posible
resultados, por lo tanto se tiene
6
6
= 6 * 6 = 36 total de casos
Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos
piden: Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al
suceso A son:
A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.
Por tanto, P( A ) = 12/36 = 1/3
Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una cantidad mayor
que dos", los casos favorables al suceso B son:
B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6); (6,3)}.
Por tanto, P( B ) = 12/36 = 1/3
VII. Glosario
Links de interés
http://www.sectormatematica.cl/psu/Psu%20Probabilidades.pdf
http://www.ciencia-ahora.cl/Revista18/12Probabilidades.pdf