Lógica 2013 - Álgebra en la Unsl

Unidad 2: Lógica
2.1
Introducción
La lógica es una disciplina que estudia la estructura, el fundamento y el uso de las expresiones del lenguaje
humano. La utilizamos en nuestra vida cotidiana y una de sus principales tareas es la de proporcionar
las reglas por medio de las cuales podemos determinar cuando un razonamiento o argumento es válido.
Aristóteles (384-322 a. C.) fue el formalizador de la lógica formal. Actualmente es muy utilizada en todas
las ramas de las ciencias y tiene importantes aplicaciones prácticas, por ejemplo sus reglas se utilizan en
la escritura de programas de computación y un buen razonamiento lógico es esencial para la construcción
y prueba de dichos programas. Otro ejemplo donde la lógica juega un papel fundemental es en el diseño
de circuitos digitales. También es fundamental en matemáticas y en sus demostraciones.
En este capítulo daremos nociones básicas de lógica, operaciones entre proposiciones usando tablas de
verdad, relaciones entre ellas a travez de leyes lógicas o tautologías, de…niremos funciones proposicionales
y …nalmente introducimos el principio de inducción matemática.
2.2
Proposiciones
Los objetos de la lógica son las proposiciones. Una proposición es una aserción o enunciado expresado
en lenguaje natural escrito o hablado, mediante una expresión declarativa; que puede ser cierta o falsa,
pero no ambas a la vez. Las proposiciones son los elementos de la lógica matemática.
Las proposiciones, en general, son denotadas con las letras p, q, r, etc.
En el estudio de la lógica sólo se admiten como proposiciones a expresiones declarativas, no se admiten
expresiones interrogativas, exclamativas, etc.
Ejemplo 1
1. Oraciones que son proposiciones:
(a) El semáforo está verde.
(b) Los autos pueden avanzar.
(c) Hoy es 17 de marzo.
(d) Hoy es jueves.
(e) 4 es un número par.
2. Oraciones que no son proposiciones:
(a) Deténgase.
(b) ¿Quien viene?
(c) ¿Es divertido este curso?
(d) Si x2 = 9 entonces x = 3:
Diremos que es una proposición es simple si no puede dividirse o analizarse por medio de expresiones declarativas más sencillas. Generalmente nuestros razonamientos son más complejos. Es necesario
combinar expresiones simples para formar otras más complejas, que son las proposiciones compuestas.
13
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
2.2.1
Proposiciones Compuestas y Conectivos Lógicos
A partir de proposiciones simples se pueden generar otras compuestas, agrupándolas mediante conectores,
llamados conectivos lógicos, es decir, una proposición compuesta es una proposición que está formada por
proposiciones simples unida por conectivos lógicos.
Ejemplo 2 Dadas las proposiciones simples:
p : El semáforo está verde.
q : Los autos pueden avanzar.
Construimos, por ejemplo, las siguientes proposiciones compuesta:
1. Si p entonces q: “si el semáforo esta verde entonces los autos pueden avanzar”.
2. Si no p entonces no q: “si el semáforo no esta verde entonces los autos no pueden avanzar”.
Ejemplo 3 Dada la proposición compuesta:
1. “Las compuertas lógicas son la base para el desarrollo de circuitos integrados más complejos y el
diseño de sistemas digitales”
Las proposiciones simples que la componen son:
p : Las compuertas lógicas son la base para el desarrollo de circuitos integrados más complejos.
q : Las compuertas lógicas son la base para el diseño de sistemas digitales.
2. “Todo número natural múltiplo de 4; es múltiplo de 2”.
Las proposiciones simples que la componen son:
r : Todo número natural es múltiplo de 4:
s : Todo número natural es múltiplo de 2:
El valor de verdad de estas proposiciones compuestas dependen del valor de verdad de las proposiciones
simples que la componen y del conectivo que las une. Las proposiciones compuestas son de algunos de los
tres tipos siguientes:
De…nición 1 Una proposición compuesta es una ley lógica o tautología si es verdadera independientemente de los valores de verdad que se asignen a las proposiciones simples que la componen. Es decir que
una ley lógica o tautología es una proposición que es verdadera en cualquier circunstancia.
De…nición 2 Una proposición compuesta es una contradicción si es falsa independientemente de los
valores de verdad que se asignen a las proposiciones simples que la componen. Es decir que es falsa en
cualquier circunstancia.
De…nición 3 Una proposición compuesta es contingencia si no es una tautología ni una contradicción.
En el caso que no se conozcan los valores de verdad de una proposición compuesta, formada por n
proposiciones simples, tendremos que analizar 2n posibles casos. Una forma práctica de conocer todos los
valores, es construir una tabla de verdad.
Una tabla de verdad muestra los valores de verdad de una proposición compuesta para todos los
posibles casos, de verdad o falsedad, de las proposiciones simples.
En el lenguaje coloquial una misma expresión puede darse de distintas formas. En lógica dos proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes si tienen igual valor de verdad, para el mismo juego de
verdades de las proposiciones simples que la componen. Formalmente
14
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
De…nición 4 Dos proposiciones p y q son lógicamente equivalentes, lo denotamos p
misma tabla de verdad.
q; si tienen la
A continuación de…niremos las operaciones básicas entre proposiciones simples que forman las proposiciones compuestas
Negación
De…nición 5 La negación de la proposición p, es la proposición v p (se lee no p) que es verdadera
cuando p es f alsa, y es f alsa cuando p es verdadera.
La tabla de verdad es
p vp
V F
F V
La negación de un enunciado se puede expresar pre…jando la frase “no”, “es falso que”, o “no es el caso
que”, etc.
Ejemplo 4 Dada la proposición p : “Todo hombre es honesto”.
La negación de p es la proposición: vp : “No todo hombre es honesto”.
o bien:
vp : No es cierto que todo hombre es honesto.
vp : hay hombres que no son honestos.
vp : Existen hombres deshonestos.
Proposición 1 v(vp) es lógicamente equivalente a p:
Demostración. Para veri…car esta a…rmación analicemos todos los posibles valores de verdad:
p vp
V F
F V
v(vp)
V
F
Observamos que las columnas de la tabla de verdad de p y v(vp) son iguales, por lo tanto, las proposiciones
son lógicamente equivalentes.
Conjunción
De…nición 6 La conjunción de p y q, denotada con p^q, (se lee p y q) es la proposición que es verdadera
cuando ambas, p y q, son verdaderas, y es falsa, cuando p o q, o ambas son falsas.
La tabla de valores de verdad es
p q p^q
V V
V
V F
F
F V
F
F F
F
Ejemplo 5 Dadas las proposiciones p : “3 es un número impar”. q : “8 es un número impar”.
La conjunción de p y q, es: p ^ q : “3 y 8 son números impares”.
Por ser p verdadera y q falsa la conjunción de p y q es falsa.
15
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
Disyunción y Diferencia Simétrica
De…nición 7 La disyunción de p y q, denotada con p_q, (se lee p o q) es la proposición que es verdadera
cuando p o q o ambas son verdaderas, y es falsa, cuando ambas p y q son falsas.
La tabla de valores de verdad es
p q p_q
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
La disyunción de dos enunciados se forma insertando la palabra “o” entre ellos. Los dos componentes
combinados de esta forma se llaman disjuntos o alternativas.
Ejemplo 6 Dadas las proposiciones p : “3 es un número impar” y q : “8 es un número impar”. La
disyunción de p y q, es: p _ q : “3 o 8 son números impares”. Por ser p verdadera la conjunción es
verdadera.
La conjunción “o” puede interpretarse de dos formas distintas.
Una disyunción débil o inclusiva, denotada por p _ q es verdadera solamente cuando una o ambas
alternativas son verdaderas. Solamente si los dos alternativas son falsas, la disyunción inclusiva es
falsa. El “o” inclusivo tiene el sentido de “cualquiera, posiblemente ambos”. En algunas situaciones
se puede representar como “y/o”.
La palabra “o” también se utiliza en un sentido fuerte o exclusivo, en el cual el signi…cado no es
“por lo menos uno” sino “uno y sólo uno”. El “o” exclusivo se denota por p Y q, también se lo llama
diferencia simétrica. La proposición compuesta p Y q es verdadera si una o la otra pero no ambas
proposiciones p, q son verdaderas.
La tabla de valores de verdad es
p q pYq
V V
F
V F
V
F V
V
F F
F
Ejemplo 7 Dada la proposición “El lunes viajaré en colectivo o avión”. Tenemos que p : “El lunes viajaré
en colectivo” y q : “El lunes viajaré en avión”. Observamos que las proposiciones p y q no pueden ser
simultáneamente, verdaderas.
Condicional
De…nición 8 El condicional p ) q (se lee “si p entonces q”) signi…ca que la verdad de p implica la
verdad de q. Es decir, si p es verdadera, entonces q debe ser verdadera. La única manera de la implicación
p ) q sea falso es que p sea verdadera y q es falsa.
16
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
La tabla de valores de verdad es
p q p)q
V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
La proposición p se la denomina antecedente y a q consecuente.
Ejemplo 8 Consideremos la proposición
“Si apruebo el examen entonces te presto el apunte”
(1)
El antecedente es p : “Apruebo el examen” y el consecuente es q : “Te presto el apunte”.
Queremos inducir la verdad o falsedad de la implicación (1), en términos de la V o F de las proposiciones p y q: El enunciado (1) puede pensarse como un compromiso condicionado por p y podemos asociar
su verdad al cumplimiento del compromiso q.
Si p es falso, es decir, “ Si no apruebo el examen”, quedo liberado del compromiso y preste o no
preste el apunte la proposición (1) es verdadera.
Si p es verdadera, es decir “ si apruebo el examen” y no presto el apunte ( q es falsa) el compromiso
no se cumple, y la proposición (1) es f alsa.
Por último, si p y q son verdaderas entonces la implicación es verdadera porque el compromiso se
cumple.
Observación. Al igual que en el lenguaje coloquial un condicional puede expresarse de distintas formas,
como por ejemplo:
“Si apruebo el examen entonces te presto el apunte” es equivalente a
1. Si apruebo el examen, te presto el apunte.
2. Te presto el apunte si apruebo el examen.
3. Observemos que en el caso 1. se enfatiza el antecedente, mientras que en 2. se destaca el consecuente.
Proposición 2 Probar que p ) q es lógicamente equivalente a vp _ q:
Demostración. Para probarlo construyamos las tablas de verdad de las dos proposiciones.
p q vp
V V F
V F F
F V V
F F V
vp _ q
V
F
V
V
p)q
V
F
V
V
Como tienen los mismos valores de verdad, las proposiciones p ) q y vp _ q son lógicamente equivalentes.
Otras equivalencias para la implicación son las siguientes:
Condicionales Asociados
Dado el condicional p ) q; diremos que la proposición q ) p es el recíproco, v p )v q es la
contraria y v q )v p es la contrarecíproca de p ) q.
17
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
Ejemplo 9 Consideremos la proposición compuesta: p ) q “Si está lloviendo entonces hay nubes en el
cielo”. Ésta es una proposición es verdadera, entonces su recíproca q ) p se lee: “Si hay nubes en el cielo
entonces está lloviendo”. Ésta es una proposición que puede ser verdadera o falsa.
La contraria v p )v q; dice: “Si no está lloviendo entonces no hay nubes en el cielo”. Ésta es una
proposición que puede ser verdadera o falsa.
La contrarecíproca v q )v p dice: “Si no hay nubes en el cielo entonces no está lloviendo”. Es una
proposición es verdadera.
El siguiente resultado muestra la relación entre las distintas implicaciones asociadas
Teorema 1 La proposición condicional p ) q y su contrarecíproca v q )v p son lógicamente equivalentes.
Demostración. Para demostrarlo construimos las tablas de verdad de las dos implicaciones:
p q p)q
V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
v q )v p
V
F
V
V
Como las tablas son iguales, p ) q es lógicamente equivalentes a v q )v p.
Una consecuencia del Teorema 1 es
Corolario 1 Los contrarecíprocos son lógicamente equivalentes, es decir
(p ) q)
(q ) p)
(v q )v p)
(v p )v q) :
Mientras que no son lógicamente equivalentes los recíprocos ni los contrarios, es decir
(p ) q) =
(p ) q) =
(q ) p)
(v p )v q) :
En matemática cuando trabajamos con implicaciones verdaderas lo realizamos de la siguiente forma:
Condición necesaria y su…ciente
De…nición 9 Si p ) q es siempre V; diremos que "p ) q" es una implicación y que:
p es condición su…ciente para q
y
q es condición necesaria para p:
Ejemplo 10 Consideremos la proposición
Si un número es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 3:
Donde el antecedente es: p : “Un número es múltiplo de 6”y el consecuente es q : “Un número es múltiplo de 3”.
Queremos inducir la verdad o falsedad de la implicación, en términos de la V o F de las proposiciones p
y q.
Podemos observar que nunca se puede dar el caso que p sea verdad y q sea falso por lo tanto la
proposición condicional p ) q; siempre será verdadera y se lee:
18
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
Si un número es múltiplo de 6 implica que es múltiplo de 3.
Un número múltiplo de 6 es condición su…ciente para que sea múltiplo de 3.
Un número es múltiplo de 3 es condición necesaria para ser múltiplo de 6.
Un número es múltiplo de 6 solo si es múltiplo de 3
Bicondicional
De…nición 10 La proposición “p sí y sólo sí q” denotada con p , q, es verdadera si ambas p y q, son
verdaderas o si ambas p y q son falsas, es decir que ambas tienen el mismo valor de verdad.
La tabla de valores de verdad es
p q p,q
V V
V
V F
F
F V
F
F F
V
Ejemplo 11 Si a; b son números reales y dadas las proposiciones simples p : a = b y q : a2 = b2 . La doble
implicación de p y q, es: p , q : “a = b si y solo si a2 = b2 ”:
La doble implicación es lógicamente equivalente a la conjunción de una implicación y su recíproca.
De este modo, la tabla de valores de verdad de p , q; la obtenemos mediante la tabla de (p ) q)^(q ) p) ;
como sigue
p q p ) q q ) p (p ) q) ^ (q ) p)
p q p,q
V V
V
V
V
V V
V
V F
F
V
F
V F
F
F V
V
F
F
F V
F
F F
V
V
V
F F
V
Es decir, p , q es lógicamente equivalente a (p ) q) ^ (q ) p)
Esta tabla justi…ca porque leemos la doble implicación como si y solo si.
También podemos leer la doble implicación p , q como: “p es condición necesaria y su…ciente
para q”.
2.2.2
Leyes Lógicas o Tautologías
Las proposiciones que son contradicciones y las tautologías (leyes lógicas) son muy importante para los
razonamientos y la programación.
Los siguientes ejemplo de proposiciones son leyes lógicas, que usaremos habitualmente:
Ejemplo 12 (Modus Ponens)
la tabla de valores de verdad es
p
V
V
F
F
[(p ) q) ^ p] ) q;
q p)q
V
V
F
F
V
V
F
V
(p ) q) ^ p
V
F
F
F
19
[(p ) q) ^ p] ) q
V
V
V
V
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
Ejemplo 13 ( Silogismo hipotético de Aristóteles)
[(p ) q) ^ (q ) r)] ) (p ) r) ;
Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho …las.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r p)q
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
F
V
q)r
V
F
V
V
V
F
V
V
(p ) q) ^ (q ) r) p ) r
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
[(p ) q) ^ (q ) r)] ) (p ) r)
V
V
V
V
V
V
V
V
Es inmediato observar que la negación de una tautología es una contradicción y la negación de una
contradicción es una tautología.
Ejemplo 14 La tabla de valores de verdad que se presenta para la proposición p_ v p es una tautología,
y para la proposición p^ v p , es una contradicción:
p vp
V F
F V
p_ v p
V
V
p^ v p
F
F
Para saber si dos proposiciones son lógicamente equivalentes, realizamos o construimos la tabla de
verdad de ambas y comprobamos que los valores de verdad de ambas son iguales para todas sus posibles
interpretaciones. Por ello es válida la siguiente a…rmación:
Proposición 3 p y q son lógicamente equivalentes si y solo si p , q es una tautología.
Ejemplo 15 Para probar que la tautología (p_ v p) y la negación de la contradicción (p^ v p) son
lógicamente equivalentes, construimos la tabla de verdad de (p_ v p) () v (p^ v p):
p vp
V F
F V
p_ v p
V
V
p^ v p
F
F
(p_ v p) () v (p^ v p)
V
V
En la siguiente tabla mostramos las leyes lógicas o tautologías más usada en el cálculo proposicional,
20
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
que serán demostradas por el alumno:
Nombre
Proposición lógicamente
equivalente
Proposición
v (v p)
p^p
Idempotencia
p_p
p^q
Conmutatividad
p_q
(p ^ q) ^ r
Asociatividad
(p _ q) _ r
(p ^ q) _ r
Distributividad
(p _ q) ^ r
v (p _ q)
Ley de De Morgan
v (p ^ q)
Contrarecíproco
p)q
Implicación
p)q
[(p ^ q) _ p]
Ley de Absorción
[(p _ q) ^ p]
1 Involución
2
3
4
5
6
7
8
9
Tautología
v (v p) , p
(p ^ p) , p
(p _ p) , p
(p ^ q) , (q ^ p)
(p _ q) , (q _ p)
(p ^ q) ^ r , p ^ (q ^ r)
(p _ q) _ r , p _ (q _ r)
(p ^ q) _ r , (p _ r) ^ (q _ r)
(p _ q) ^ r , (p ^ r) _ (q ^ r)
v (p _ q) , (v p^ v q)
v (p ^ q) , (v p_ v q)
(p ) q) , (v q )v p)
(p ) q) , (v p _ q)
[(p ^ q) _ p] , p
[(p _ q) ^ p] , p
p
p
p
q^p
q_p
p ^ (q ^ r)
p _ (q _ r)
(p _ r) ^ (q _ r)
(p ^ r) _ (q ^ r)
v p^ v q
v p_ v q
v q )v p
vp_q
p
Ejemplo 16 Probar, sin usar tabla de verdad, que:
1. s (p ) q)
p^ s q:
2. p ) (q _ r)
(p^ s q) ) r:
Usando las propiedades de las proposiciones, dadas en la tabla anterior, tenemos:
1. s (p ) q)
(8)
2. p ) (q _ r)
2.3
s (s p _ q)
(6)
s p _ (q _ r)
(8)
s (s p) ^ s q
(4)
(1)
(s p _ q) _ r
p^ s q:
(6)
s (p^ s q) _ r
(8)
(p^ s q) ) r:
Funciones Proposicionales. Cuanti…cación
Es frecuente en el lenguaje habitual usar expresiones como
p : Ana es japonesa mientras que Gabriel no lo es:
Con las herramientas del cálculo proposicional podemos hacer un mejor trabajo de simbolización y no
contentarnos con representar esta proposición mediante una sóla letra. Una razón para ello es que en
muchos casos necesitamos sistemas de simbolización más ricos para resolver problemas de manera más
e…ciente. De modo que podemos convenir en que
q : Ana es japonesa
r : Gabriel no es japonés
Por lo tanto p : q ^ r: Sin embargo notemos que q y r son muy parecidas estructuralmente: ambas dicen
que alguien tiene la cualidad de ser japonés. La palabra “alguien”corresponde a la noción más general
21
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
de individuo u objeto y la palabra cualidad hace referencia a la noción general de propiedad (o
predicado). Si antes, nuestro sistema sólo admitía simbolizar proposiciones con letras y las palabras
lógicas “no”, “y”, “o”, “entonces”, etc. Ahora podemos simbolizar los individuos y las propiedades con
letras, de modo que las proposiciones consistan en combinaciones de ellas, más los conectivos lógicos.
Veamos cómo queda la proposición que estábamos analizando:
Si simbolizamos los objetos así:
g : Gabriel,
a : Ana,
y la propiedad “tener nacionalidad japonesa” por la letra J.
Así tenemos que “Ana es japonesa mientras que Gabriel no lo es”se simbolizará:
p : J(a)^ v J(g)
Oraciones donde aparezcan variables dá lugar a lo que llamaremos funciones proposicionales. Formalmente,
De…nición 11 Una función proposicional de una variable o indeterminada x; es toda oración en la
que …gura x como sujeto u objeto directo, la cual, se convierte en proposición para cada valor particular
de x:
Las funciones proposicionales serán denotadas por P (x) ; Q (x) ; etc.
Ejemplo 17 Ahora analicemos la siguiente oración:
si x2 = 9 entonces x = 3;
no es una proposición, por que no podemos decidir sobre su verdad o falsedad„ésta depende de los valores
que tome la variable x: Si x = 3 la implicación será verdadera, mientras que si x = 3; la implicación
será falsa. Por lo tanto tenemos la siguiente función proposicional:
P (x) : si x2 = 9 entonces x = 3;
así tenemos que cuando asignamos valores a x; la función proposicional se convierte en una proposición
en la que podemos decidir si es verdadero o falso,
P (3)
es una proposición verdadera,
P ( 3) es una proposición falsa,
P (1)
es una proposición verdadera.
También podemos transformar funciones proposicionales en proposiciones mediante un proceso llamado
de cuanti…cación. Los cuanti…cadores asociados a la indeterminada x son:
El cuanti…cador universal: “8 x : P (x)”; se lee “Para todo x; se veri…ca P (x)” o “Para cada x; se
veri…ca P (x)”.
El cuanti…cador existencial: “9 x : P (x)”; se lee “Existe un x; tal que se veri…ca P (x)” o “Existe
al menos un x; tal que se veri…ca P (x)”.
22
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
Una función proposicional P (x) cuanti…cada universalmente, 8 x : P (x) ; es verdadera si y sólo si
todas las proposiciones particulares asociadas a P (x) son verdaderas. En cambio, para que la función
proposicional P (x) cuanti…cada existencialmente, 9 x : P (x) ; sea verdadera, sólo se necesita la verdad
de alguna de las proposiciones asociadas a P (x) :
Ejemplo 18 Analicemos la siguiente proposición: “Todas las computadoras funcionan”. Los elementos
son las computadoras y la cualidad: que funcionan, es decir, tenemos la siguiente función proposicional:
P (x) : x es una computadora que funciona
y el cuanti…cador universal se re…ere al conjunto A de todas las computadoras, tenemos la siguiente proposición falsa:
8 x 2 A : P (x) se lee:
para cada x en A, x es una computadora que funciona, ó
cualquiera sea x; x es una computadora que funciona.
Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición verdadera, del modo siguiente “No todas
las computadoras funcionan” ó “existen computadoras que no funcionan”, en símbolos tenemos
v (8x 2 Z : P (x)) No todas las computadoras funcionan
existen computadoras que no funcionan
9x 2 Z :v P (x)
El ejemplo anterior es un caso particular de la siguiente regla:
Para negar una función proposicional cuanti…cada existencialmente se cambia el cuanti…cador en universal, y se niega la función proposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias
v [8x : P (x)]
v [9x : P (x)]
9x :v P (x)
8x :v P (x)
Ejemplo 19 Sea P (x) : x + 1 < 5: Tenemos que x se re…ere a números reales, así:
9x : P (x) ; es verdadera porque P (1) es Verdadera.
8x : P (x) ; es falsa porque P (7) es Falsa.
El primer caso es verdadera ya que sólo necesitamos que para algún valor lo sea. Mientras que en el
caso del cuanti…cador universal para que sea verdadera necesitamos que para todos los casos lo sean.
El siguiente ejemplo muestra la importancia del dominio o conjunto de de…nición de la variable x:
Ejemplo 20 Dada la función proposicional: P (x) : x2 =
1; consideremos las proposiciones
9x 2 R : P (x) Es falsa por que no existe ningún número real tal que x2 = 1;
9x 2 C : P (x) Es verdadera por que existe el número complejo x = 0 + 1i tal que (0 + 1i)2 =
23
1:
Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
3
Inducción Matemática
3.1
Introducción: Sumatoria
En esta sección daremos un método de demostración utilizado para demostrar proposiciones que son válidas
para todos los números enteros mayores o iguales que un número entero determinado.
Antes introducimos la siguiente notación: supongamos que queremos calcular a1 + a2 + ::: + an ; esta
suma se denota abreviadamente como
n
X
ai ;
i=1
y se lee “la sumatoria o suma de i = 1 hasta n de a sub i”.
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5.
3.2
P5
i=1
P4
j=1
P6
i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
j(j
i=1 (
P4
i=0
Pn
i=k
1) = 1:0 + 2:1 + 3:2 + 4:3: = 0 + 2 + 6 + 12 = 20:
1)i = ( 1)1 + ( 1)2 + ( 1)3 + ( 1)4 + ( 1)5 + ( 1)6 =
1+1
1+1
1 + 1 = 0:
qi = q0 + q1 + q2 + q3 + q4:
ai = ak + ak+1 + ak+2 + ::: + an :
Inducción Matemática
En mi antiguo departamento de estudiante no había mucho que hacer. Como no teníamos televisión,
quedaban pocas alternativas para matar los ratos libres. Durante un tiempo, me a…cioné a derribar …chas
de dominó. Comencé poniéndolas de pie, en …la, una detrás de otra. Tiraba la primera y las demás caían
en una bonita sucesión. Muy pronto, las …las resultaban aburridas y probé con espirales, círculos y todas las
…guras que se me ocurrían. Apilando libros, conseguí que la cadena de derribos subiera y bajara pequeños
escalones y que las …chas dieran fantásticos saltos desde la mesa hasta el suelo, poniendo en marcha otra
sucesión de caídas. Incluso probé con bifurcaciones y cruces. Sólo había que tener en cuenta una regla: al
colocar pacientemente las …chas había que asegurarse de que la caída de cada …cha provocase la caída de
la siguiente.
Imaginemos que una de estas …las de …chas de dominó se extendiese hasta más allá de lo que alcanza
la vista, y supongamos que sabemos que estos dos enunciados son verdad:
Enunciado 1: Alguien ha tirado la primera …cha.
Enunciado 2: Si una …cha es derribada, entonces ésta tira la siguiente.
Aunque no veamos cada una de las …chas, por 1 y 2 podemos concluir que todas caerán. ¿Por
qué? La respuesta es que, en primer lugar, sabemos que la primera ha caído por el enunciado 1. Sabemos
también (por el segundo enunciado) que si la primera …cha cae, entonces derriba la segunda, así que
ésta tendrá que caer. Y si la segunda …cha cae, entonces derriba la tercera (por el enunciado 2)... y así
sucesivamente. Si alguien nos preguntase si la séptima, la décimo cuarta, o la milésima iba a ser derribada,
podríamos responder que sí, que la cadena de derribos se aproxima a ella inexorablemente y que la acabará
tirando. Esto nos lleva a la siguiente a…rmación: En una …la de …chas de dominó en la que son verdad
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Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
los enunciados 1 y 2, todas las …chas son …nalmente derribadas. Esto puede parecer una obviedad, sin
embargo es una idea muy clara que motiva el principio de inducción que a continuación estudiaremos.
Supongamos que una cierta función proposicional p (n) se convierte en una proposición verdadera
cuando n = 1; n = 2; y n = 3: Si sospecháramos que p (n) es verdadera para todo número natural n: ¿Cómo
podríamos demostrarlo? Es imposible veri…car una a una la veracidad de las in…nitas proposiciones p (n) :
El principio de inducción matemática es un axioma con el cual podremos probar este tipo de a…rmaciones,
es decir probaremos la validez de un enunciado del tipo 8n : p (n) :
3.2.1
El Principio de Inducción Matemática
Una función proposicional P (n) es válida para todo número entero n
n0 si:
1. Base de la inducción (B): Si P (no ) es una proposición válida.
2. Paso inductivo (I): La implicación P (k) ) P (k + 1) es verdadera para todo k
n0 .
Toda demostración que se basa en el principio de inducción matemática se denomina: por inducción.
Tal demostración consta necesariamente de dos pasos. Si ambos pasos han sido demostrados, se puede
a…rmar, en virtud de éste principio, que la función proposicional es válida para todo número natural n.
Ejemplo 21 Demostrar la propiedad distributiva de la potencia, con respecto al producto:
(x:y)n = xn :y n
(2)
con x; y números reales, es decir para todo número natural n; vale la igualdad (2).
Solución. Siguiendo el método de inducción, se debe realizar dos pasos. Esto es,
Paso 1 (B). Primero hay que veri…car que la función proposicional se cumple con n = 1, es decir hay que
mostrar que:
(x:y)1 = x1 :y 1 ;
pero esto se cumple por la de…nición de potencia, pues (x:y)1 = x:y = x1 :y 1
Paso 2 (I). Queremos probar La implicación P (k) ) P (k + 1) es verdadera para todo k 1.
Para ello suponemos que la función proposicional es válida para un número n = k, es decir
(x:y)k = xk :y k
es válida (Hipótesis de inducción)
y, bajo esta hipótesis, mostrar que la función proposicional es válida para n = k + 1: Es decir hay que
probar que la igualdad
(3)
(x:y)k+1 = xk+1 :y k+1 es verdadera,
utilizando que (x:y)k = xk :y k y argumentos válidos (que en este caso son algebraicos).
Se tiene lo siguiente:
(x:y)k+1 = (x:y)k (x:y)1
(x:y)k (x:y)1 = xk :y k :x:y
xk :y k :x:y = xk :x:y k :y
xk :x:y k :y = xk+1 :y k+1
por propiedades de la potencia de números reales
porque vale que: (x:y)k = xk :y k (hipótesis de inducción)
por propiedad conmutativa
por propiedad de la potencia.
Es decir que hemos probado la igualdad (3). Por lo tanto, por el principio de inducción matemática vale
que para todo número natural n
(x:y)n = xn :y n :
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Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
Ejemplo 22 Se dice que el gran matemático y físico Karl Friedrich Gauss encontró, siendo un niño, la
fórmula para calcular la suma de los primeros 100 números naturales.
1. Obtener la suma de los primeros 100 números naturales.
2. Calcular la suma de los primeros 200 números naturales.
3. Encontrar una fórmula para calcular cualquier suma de los primeros n números. Demostrarla
Solución. 1.1 Se dice que el razonamiento de Gauss, con tal de no trabajar mucho, fue el siguiente:
1
2
3 ...
100 99 98 . . .
101 101 101 . . .
49 50
52 51
101 101 Hay 50 sumas
y con esto ya tengo la suma de los 100 primeros números. Además, hay 50 sumas, que es la mitad de 100,
cuya suma es 101. Entonces, (101)(50) = 5050. Este es el resultado pedido por el maestro.
2. En forma similar a lo anterior podemos demostrar sumar los 200 primeros números naturales:
1
2
3 ...
200 199 198 . . .
201 201 201 . . .
99 100
102 101
201 201 Hay 100 sumas
por lo tanto tenemos que
200
X
i=1+2+
+ 200 = 201 100 = 20100:
i=1
3. El enunciado clásico de un problema como el anterior es: Para todo número n natural,
n
X
i=1+2+
+n=
i=1
n (n + 1)
:
2
Para demostrarlo siguiendo el método de inducción, se tiene que hacer los dos pasos. Esto es,
Paso 1 (B). Primero veri…camos que la función proposicional
P (n) :
n
X
i=
i=1
n (n + 1)
;
2
se cumple con n = 1. Observamos que:
1
X
i=1
(4)
i=1
y a su vez
1 (1 + 1)
=1
2
Como (4) y (5) son iguales, se cumple para n = 1.
(5)
1
La anécdota con respecto a Gauss (también llamado el Príncipe de las Matemáticas) es más o menos así: Corría 1789.
Se cuenta que estando Gauss en el salón de clases, como buen niño inquieto, empezó a desesperar al profesor. Éste, para
entretenerlo, le pidió que obtuviera la suma de los primeros 100 números naturales, creyendo que lo iba a demorar un buen
rato. Sin embargo, Gauss encontró la respuesta en menos tiempo del que había considerado el profesor.
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Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
Paso 2 (I). Usando el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior, ahora debemos suponer que la
función proposicional es válida para un número n = k.
Si de ahí deducimos, siguiendo una secuencia válida de argumentos, que la función proposicional es
válida para el valor n = k + 1: Esto es, suponemos que:
P (k) :
Pk
k (k + 1)
2
i=
i=1
es válida (hipótesis de inducción)
(6)
Es necesario que comprobemos que la función proposicional es válida para n = k + 1, a partir de (6). Pero
¿qué signi…ca deducir que es válida para n = k + 1?
Signi…ca que, utilizando argumentos válidos, que en este caso son algebraicos, demostremos que la
siguiente igualdad es válida:
k+1
X
(k + 1) (k + 2)
i=
P (k + 1) :
:
2
i=1
Así
Pk+1
i=1
i=
Pk
i=1
i+
Pk+1
i=k+1
i=
Pk
i=1
i + (k + 1)
por propiedades de la suma
Siguiendo con el método de inducción matemática, por nuestra hipótesis de inducción, podemos escribir:
k+1
X
i=
i=1
k
X
i + (k + 1) =
i=1
k (k + 1)
+ (k + 1)
2
La igualdad anterior podemos establecerla, ya que estamos suponiendo que la función proposicional es
verdadera cuando n = k.
Al obtener el común denominador, se tiene que:
k+1
X
i=1
i=
k (k + 1)
k (k + 1) + 2 (k + 1)
+ (k + 1) =
2
2
De lo anterior podemos observar que extrayendo factor común (k + 1) se tiene:
k+1
X
i=1
i=
(k + 1) (k + 2)
:
2
que es el objetivo esperado. Luego, por el principio de inducción hemos probado que:
8n 2 N :
n
X
i=1+2+
i=1
+n=
n (n + 1)
2
es una proposición válida.
Ejemplo 23 Demuestre que la función proposicional P (n) : 2n > n + 20; es una proposición verdadera
para todo n 5:
Solución. Siguiendo el Principio de inducción, se debe realizar dos pasos. Esto es,
Paso 1 (B). Primero hay que veri…car que la función proposicional es verdadera para n = 5, es decir hay
que mostrar que:
P (5) : 25 > 5 + 20
(7)
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Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
pero esto se cumple por la de…nición de potencia, pues 25 = 32 > 25 = 5 + 20
Nota: veri…que que P (1); P (2); P (3) y P (4) son falsas.
Paso 2 (I). Queremos probar “La implicación P (k) ) P (k + 1) es verdadera para todo k 5”.
Para ello suponemos que la función proposicional es válida para un número n = k, es decir
P (k) : 2k > k + 20 es válida (Hipótesis de inducción)
(8)
y, bajo esta hipótesis, mostrar que la función proposicional es válida para n = k + 1: Es decir hay que
probar que la desigualdad
P (k + 1) : 2k+1 > (k + 1) + 20 es verdadera,
(9)
utilizando argumentos válidos.
Se tiene lo siguiente:
2k+1 = 2k 21
2k 21 > 2 (k + 20)
2 (k + 20) = 2k + 40
2k + 40 > k + 21
por propiedades de la potencia
porque vale que: 2k > k + 20 (hipótesis de inducción)
por propiedad Distributiva
por 2k > k > 5 y 40 > 21.
Es decir que hemos probado la desigualdad (9). Por lo tanto, por el principio de inducción matemática
vale que
8n 5 : 2n > n + 20:
Los siguientes ejemplos muestran que el cumplimiento de los pasos 1 y 2 es independiente uno del otro.
Además muestran la necesidad de que los dos pasos, paso base y paso inductivo, deben ser verdaderos
para usar el principio de inducción matemática.
Ejemplo 24 Dada P (n) :“n2 n + 41 es un número primo". Demuestre que P (1) es una proposición
verdadera; pero P (k) ) P (k + 1) es falsa para k = 40:
Solución. P (1) es verdadera por que 12 1 + 41 = 41 es un número primo.
Veamos que P (k) ) P (k + 1); es una proposición falsa para k = 40.
P (40); 402 40+41 = 1601 es verdadera por que 1601 es un número primo. Pero P (41) : 412 41+41 =
412 ; es falsa por que 412 no es un número primo. Luego P (40) ) P (41); es un implicación falsa.
Nota: Se puede veri…car, con un poco de trabajo, que P (k) es un también número primo2 para todo
2 k 39:
Ejemplo 25 Demuestre que la función proposicional P (n) : 2 + 4 + ::: + 2n = n2 + n + 2; veri…ca el paso
2, pero no existe ningún n0 de modo que se cumpla el paso 1.
Solución. P (1) es falso, por que 2 6= 4 = 12 + 1 + 2: Veamos que no existe ningún n0 de modo que P (n)
es verdadero. Tenemos que:
2 + 4 + ::: + 2n = 2(1 + 2 + ::: + n) = 2
n (n + 1)
= n2 + n 6= n2 + n + 2:
2
Probemos que el paso inductivo es verdadero es decir que:
P (k) ) P (k + 1) es verdadera
2
http://primes.utm.edu/, es una página interesante sobre número primos.
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Álgebra 2013, segundo cuatrimestre
Para ello suponemos que la función proposicional es válida para un número n = k, es decir
2 + 4 + ::: + 2k = k 2 + k + 2 es válida
(10)
y, bajo esta hipótesis, mostrar que la función proposicional es válida para n = k + 1: Es decir hay que
probar que la igualdad
2 + 4 + ::: + 2 (k + 1) = (k + 1)2 + (k + 1) + 2 es verdadera,
utilizando argumentos válidos (que en este caso son algebraicos).
Se tiene lo siguiente:
2 + 4 + :::2k + 2 (k + 1) = k 2 + k + 2 + 2 (k + 1)
k 2 + k + 2 + 2 (k + 1) = 3k + k 2 + 4
3k + k 2 + 4 = (k + 1)2 + (k + 1) + 2
por (10)
por propiedades de números
por desarrollo de binómio.
Luego probamos que se veri…ca el paso inductivo del principio de inducción matemática.
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